Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Departamento Acadêmico de Matemática
PROFMAT – Mestrado Profissional em Matemática
Disciplina: Geometria Espacial (MA39) / 1o Semestre de 2012
Professor: Rudimar Luiz Nós
PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
(Data de entrega: 19/05/2012)
01. (Valor; 1,0) Sejam o plano α , os pontos A , B , C e D pertencentes a α e o
ponto M não pertencente a α . Classifique cada uma das afirmativas a seguir em
verdadeira ou falsa, justificando. Faça um esboço para cada uma das situações.
(a) Se C divide o segmento AB em partes iguais e MA = MB , então o
segmento MC é perpendicular a α .
(b) Se o ∆ABC é equilátero e D é equidistante de A , B e C , então o segmento
MD é perpendicular a α .
(c) Se o ∆ABC é equilátero e D é equidistante de A , B e C , então
MA = MB = MC implica que o segmento MD é perpendicular a α .
(d) Se o ∆ABC é equilátero e o segmento MD é perpendicular a α , então D é
equidistante de A , B e C .
02. (Valor: 0,5) Sejam r e s duas retas reversas ortogonais e MN o segmento da
perpendicular comum ( MN = d r ,s ). Tomam-se um ponto A sobre r e um ponto B
sobre s . Calcule o comprimento do segmento AB em função de MA = a ,
NB = b e MN = c .
03. (Valor: 1,5) Considere um octaedro regular de aresta a . Determine:
(a) a distância entre duas faces opostas;
(b) o ângulo diedro formado por duas faces adjacentes.
04. (Valor: 1,5) Seja ABCD um quadrado de lado a e PA um segmento,
também de comprimento a , perpendicular ao plano do quadrado. Calcule a
medida do diedro determinado pelos triângulos PCB e PCD .
05. (Valor: 1,0) Considere três retas mutuamente perpendiculares x , y e z ,
concorrentes em O . Uma reta r passa por O e forma ângulos iguais a α , β e γ
com x , y e z , respectivamente.
2
2
2
(a) Mostre que cos α + cos β + cos γ = 1 .
(b) Calcule γ se α = β =
π
.
3
06. (Valor: 1,0) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e
quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces
triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão
aritmética. Determine o número de arestas e o número de faces do poliedro.
07. (Valor: 0,5) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede
x e cuja altura é igual à medida do menor lado de um triângulo ABC inscrito em
uma circunferência de raio x . Sabendo que o triângulo ABC é semelhante ao
triângulo de lados 3 , 4 e 5 , calcule o volume e a área total do prisma.
08. (Valor: 1,5) Seja V o vértice de uma pirâmide com base triangular ABC . O
segmento AV , de comprimento unitário, é perpendicular à base e os ângulos das
o
faces laterais, no vértice V , são todos de 45 .
(a) Calcule o volume da pirâmide VABC .
(b) Determine a relação que permite transformar radicais duplos na soma ou
diferença de radicais simples e, se possível, expresse o volume da pirâmide
VABC em função de radicais simples.
09. (Valor: 1,0) Dado um cilindro de revolução de raio r e altura h , sabe-se que a
média harmônica entre o raio e a altura é 4 e que a área total do cilindro é 2πu.a.
Estabeleça a equação que deve ser satisfeita pela medida do raio do cilindro.
Você consegue determinar as raízes dessa equação? Justifique.
10. (Valor: 0,5) A geratriz de um cone circular reto forma com o eixo do cone um
o
ângulo de 45 . Sabendo que o perímetro da secção meridiana do cone mede
2cm , calcule a área total e o volume do cone.
OBSERVAÇÕES:
1a) Faça referência à bibliografia consultada.
2a) Em geometria, esboços e construções são importantes. Faça construções
empregando instrumentos de desenho (régua e compasso) e observe que esboço
não é sinônimo de rascunho.
3a) “Listas de padaria” terão como destino a lixeira (organização é fundamental!).
4a) Videntes, telepatas e almas gêmeas terão a mesma nota: ZERO.
5a) Não sou arqueólogo. Portanto, não decifro hieróglifos.
6a) Em um trabalho escrito, o que conta é o que está escrito. Faça-o de forma
ordenada, clara e sucinta.
7a) Sugestão: Use papel reciclado.