UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
Departamento de Ciências Exatas
Colegiado de Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática
Trabalho de Conclusão de Curso
A UTILIZAÇÃO DO CABRI - GÉOMÈTRE II NO
ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Josué Santos Oliveira
Feira de Santana
Setembro de 2008
Banca Examinadora
Orientadora: Profa. Msc. Fabı́ola de Oliveira Pedreira Lima
Prof. Dr. João de Azevedo Cardeal
Profa. Esp. Joilma Silva Carneiro
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
Departamento de Ciências Exatas
Colegiado de Matemática
Curso de Licenciatura em Matemática
Trabalho de Conclusão de Curso
A UTILIZAÇÃO DO CABRI - GÉOMÈTRE II NO
ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Trabalho realizado sob a orientação da Profa
Msc.Fabı́ola Pedreira como requisito parcial
para a obtenção do tı́tulo de Licenciado em
Matemática junto ao Departamento de Ciências
Exatas da Universidade Estadual de Feira de
Santana.
Feira de Santana
Setembro de 2008
Dedicatória
Aos meus pais, que apesar da pouca instrução nos estudos, puderam me incentivar na
busca de novos conhecimentos.
Agradecimentos
A Deus, pela saúde e pelos livramentos que tem me dado em minha caminhada
acadêmica.
A Universidade Estadual de Feira de Santana pelo curso de licenciatura em matemática.
Aos meus orientadores, Inácio de Souza Fadigas, pelas pesquisas iniciais e pela definição
do tema.
A Fabı́ola de Oliveira Pedreira, pela sua paciência na estruturação dessa monografia
e principalmente pelas idéias finais para a conclusão desse trabalho.
A minha famı́lia, pela insistência pela prática de estudar.
Aos colegas de graduação e amigos, pela cooperação na sugestão de leituras, principalmente a Claudemir Mota da Cruz, Pryscilla Ferreira, pelas suas sugestões e crı́ticas
aos capı́tulos desta monografia.
A Aline da Silva pelo grande incentivo na produção desse trabalho.
Às demais pessoas, que de forma implı́cita ou explı́cita, contribuı́ram na produção
dessa monografia, como a professora Doutora Girlene Portela.
i
Resumo
Neste trabalho, buscamos exibir uma sucinta retrospectiva da informática como modo
de ensino, enfatizando a importância do software Cabri-Géomètre II na condução do
processo de aprendizagem. Discutiremos um pouco a respeito da história dos números
complexos e algumas aplicações, além de mostrarmos algumas atividades nas quais podemos utilizar o Cabri Géomètre II, no ensino de números complexos, enfatizando que a
parte geométrica pode ser um veı́culo importante na aprendizagem dos alunos.
Palavras-chave: Cabri Géomètre II, Números complexos, Educação Matemática,
Ensino-aprendizagem.
iii
Abstract
In this work, we search to show one quick retrospect of information technology as
education way, emphasizing the importance of software Cabri-Géomètre II in the conduction of the learning process. We will argue a little regarding the history of the complex
numbers and some applications, beyond showing some activities in which we can use the
Cabri Géomètre II, in the teaching of complex numbers, emphasizing that the geometric
part can be an important vehicle in the learning of the pupils.
KeyWords:Cabri Géomètre II, Complex numbers, Mathematical Education, Teachlearning.
v
Sumário
Introdução
1
Metodologia
3
1 Informática
1.1 História da Informática no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Informática e Educação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 O Uso do Computador no Ensino de Matemática . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
8
2 Números Complexos
11
2.1 Um Pouco da História dos Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Aplicações na Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Algumas Considerações Sobre a Abordagem dos Números Complexos no
Livro-Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 O Cabri-Géomètre II no Ensino de Números Complexos
25
3.1 O Cabri-Géomètre II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Atividades com o Cabri Géomètre II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Considerações Finais
39
Referências
42
vii
Lista de Figuras
2.1
2.2
2.3
Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Conjunto de Júlia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Tela inicial do Cabri . . . . .
Ferramentas da Janela 11 . .
Sistema Ortogonal . . . . . .
Soma de 2 complexos . . . . .
Manipulando com o conjugado
Rotações . . . . . . . . . . . .
Forma Trigonométrica . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ix
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
32
33
35
36
37
39
Introdução
A utilização da informática no ensino de qualquer ciência é muito significativo, pois
é uma ferramenta importante que auxilia o docente na manipulação de alguns temas no
seu cotidiano escolar, assim disponibiliza ao discente uma alternativa de conhecer novas
teorias a partir dessa nova metodologia. No ensino de matemática , podemos utilizar
a informática como uma alternativa para discutir alguns temas dessa ciência, que sem
um recurso computacional, seriam mais limitadas as discussões no bojo desse temas.
Um recurso que pode ser utilizado são os softwares, os quais têm papéis particulares
no tratamento de temas a saber e eles fornecem ferramentas que são de grande valia
, na abordagem de temas no ensino e aprendizagem em matemática. Assim, o avanço
tecnológico vem tornando a vida cada vez melhor, com isso a informática se tornou uma
grande aliada no ensino, trazendo benefı́cios em todas as áreas. Na Matemática, ela vem
a contribuir com a criação de vários softwares que auxiliam e estimulam o ensino nos
mais diversos temas desta ciência.
Um desses softwares é o Cabri-Géomètre II, o qual é bastante rico em opções para
o professor de matemática, proporcionando ao mesmo um excelente recurso, a partir da
visualização e manipulação, para estimular seus alunos.
O aprendizado em matemática sempre foi uma grande barreira para muitos alunos,
vários conteúdos são considerados por eles, muito complicados.Além disso, alguns professores não fazem conexão entre estes conteúdos. Esse trabalho vem com a proposta de
sugerir atividades, que possam ser trabalhadas pelo educador em sala de aula, sobre o
ensino de números complexos, utilizando o Cabri e fazendo, quando possı́vel, algumas
conecções com temas da matemática.
Inicialmente apresenta-se no capı́tulo I, a trajetória da informática em alguns paı́ses,
que acabou por influenciar o Brasil na sua utilização e algumas conseqüências desses
modelos no ensino brasileiro.
Pretende-se discutir alguns pontos, como o papel do professor nas atividades utilizando
a informática, o aluno como ser reflexivo, pois acreditamos que o uso do software contribui
para a construção e reconstrução de alguns significados em várias ciências, em particular
em matemática.
Discuti-se no capı́tulo II um pouco sobre a história e aplicações dos números complexos,
pois acreditamos que isto possa motivar os docentes e discentes no estudo desta temática.
1
Observa-se também a abordagem dos números complexos nos livros didáticos, a fim
de direcionar o professor na crı́tica do texto a ser utilizado em sala de aula.
E por fim, mostra-se no capı́tulo III sugestões de algumas atividades utilizando o
Cabri-Géomètre II, que podem ser utilizadas no ensino dos números complexos, nas quais
são bem destacadas as construções geométricas e a discussão dos conceitos que envolvem
os números complexos, além de outros temas da matemática, como a trigonometria, geometria analı́tica e plana.
Com isso, o uso da informática pode ajudar e motivar, professores e alunos na condução
de temas da matemática, através da riqueza de detalhes que os recursos computacionais
podem oferecer aos principais envolvidos no processo de ensino e aprendizagem, através
dos softwares presentes no mercado, os quais podem ser de grande valia para docentes e
discentes na construção de conhecimentos em Matemática.
2
Metodologia
O Presente trabalho foi desenvolvido a partir de algumas pesquisas, nas quais podemos coletar e confeccionar alguns materiais, que utilizaremos em parte, ao longo desse
trabalho. Nessa pesquisa desenvolvemos algumas atividades a fim de serem utilizadas em
laboratórios de informática, com o intuito de discutir conceitos dos números complexos,
explorando ao máximo a parte geométrica desse conteúdo.
Fizemos durante essa pesquisa considerações sobre história dos números complexos e
suas aplicações, a partir de algumas literaturas usuais e digitais disponı́veis.
Esperamos, em uma segunda pesquisa ,aplicar as atividades defendidas nesse trabalho
e poder comparar essa construção com a habitual desenvolvida na sala de aula, sem a
utilização de software que defendemos, a fim de discutir os resultados.
3
Capı́tulo 1
Informática
1.1
História da Informática no Brasil
A inserção da informática no Brasil se deu por volta das décadas de 1930 e 1940, com
o objetivo de torná-lo uma potência na América do Sul. Essa iniciativa teve uma grande
contribuição do estado brasileiro que incentivou o desenvolvimento da informática no paı́s.
Alguns paı́ses tiveram destaque com o uso da informática no ensino, que de certa
forma, influenciaram os projetos de informática educativa no Brasil, como foi o caso dos
Estados Unidos, que por volta da década de 1970, pôde incrementar a informática no seu
âmbito educacional, priorizando os softwares e o incremento de cursos de aperfeiçoamento
de professores para trabalhar com esses programas.
No mesmo perı́odo, a França desenvolveu trabalhos interessantes no âmbito da informática e em particular voltados para a educação, com medidas bem direcionadas,
como a formação docente, voltada para a utilização da informática no ensino. O sistema
francês buscava formar o cidadão a partir do uso da informática na rede de ensino, com
o intuito de garantir a inclusão digital da população.
Os dois sistemas não funcionaram da mesma forma, não tendo sido o sistema americano
eficaz como o francês, de acordo com isso, Souza (2001) coloca que:
A formação dos professores voltada para o uso pedagógico do computador nos
Estados Unidos não aconteceu de maneira organizada e sistemática como em
França, pois foram treinados somente para o uso de softwares, em vez de
participarem de cursos de formação de caráter pedagógico. Mesmo nos dias de
hoje, a preparação dos professores continua sendo feita de maneira a atuarem
em um sistema transmissor de informações, não havendo, portanto, mudanças
no paradigma educacional. (SOUZA, 2001, p.35)
Observa-se que um dos pontos relevantes a se considerar é a capacitação do professor na
utilização dessas mı́dias, pois nada adianta se o professor não é capacitado para conduzir
esse processo.
5
Os projetos de Informática educativa desenvolvidos no Brasil tiveram uma grande influência dos Estados Unidos e França, o que resultou na criação, em 9 de abril de 1997,
do PROINFO (O Programa Nacional de Tecnologia Educacional) projeto de informática
educativa que visava a formação de NTEs (Núcleos de Tecnologias Educacionais) em todos os estados do Paı́s. A proposta é que esses NTEs fossem compostos por professores
que passassem por uma capacitação de pós-graduação referente a informática educacional,
para que pudessem exercer o papel de multiplicadores dessa polı́tica. Como ampliação
disso, o Governo Federal propôs um projeto chamado UCA (um computador por aluno),
que se iniciou em 2005, e que tem como objetivo disponibilizar ”notebook”para os alunos
da rede pública. Inicialmente estes seriam distribuı́dos em escolas piloto, a fim de incentivar o uso e pesquisa em informática, complementando a proposta inicial de capacitar os
profissionais para trabalhar com informática na escola.
Os projetos anteriores ao PROINFO tiveram um caráter mais tecnicista, como os desenvolvidos nos Estados Unidos. Mas apesar de seu projeto inicial dar grande ênfase aos
aspectos pedagógicos, tentando buscar maior inspiração no modelo francês, as questões
polı́tico-administrativas continuam inviabilizando sua realização conforme o projeto inicial, no que diz respeito, por exemplo, em relação ao espaço fı́sico e garantias da capacitação docente.
Espera-se que iniciativas desse âmbito possam incentivar o uso da informática de
maneira crı́tica e reflexiva, e que os professores possam direcionar os alunos para a pesquisa
e construção de novos conhecimentos.
1.2
Informática e Educação Matemática
A educação matemática traz questionamentos pertinentes sobre a utilização da informática no ensino e aprendizagem, promovendo a crı́tica em relação aos próprios valores
que a envolvem. Acredita-se que o acesso à informática na educação matemática deve ser
visto como um direito, e, portanto,nas escolas públicas e particulares, o estudante deve
usufruir de uma educação que inclua, no mı́nimo, uma alfabetização tecnológica.
Deste modo, o acesso à informática deve ser visto não apenas como um direito, mas
como parte de um projeto coletivo que prevê a democratização de acessos a tecnologias
desenvolvidas por essa mesma sociedade.
Sugere-se assim o exemplo do modelo Francês, no qual trabalhava a educação e aperfeiçoamento profissional, buscando incentivar e patrocinar o professor, na utilização da
informática. Assim, como diz Borba (2001), ”A inserção da tecnologia na escola estimula o aperfeiçoamento profissional para que eles (professores) possam trabalhar com a
informática”. (BORBA, 2001, p. 17).
Em contrapartida, Miranda (2007), destaca que:
O professor ainda teme as mudanças, resiste em traçar uma sala com
6
aula expositiva, considerada por ele um meio eficaz (.....), ainda que a sociedade informacional lhe ofereça possibilidades e recursos tecnológicos para
facilitar a mediação didática com o uso de ferramentas desenvolvidas pela microeletrônica. (MIRANDA, 2007, p.73 )
Essa resistência pode ser proveniente do fato de inexistir, para esse professor, oportunidades de manipular essas tecnologias , podendo ser diminuı́da com intensos trabalhos
de instrumentalização dos professores na condução dessas mı́dias.
Nesse sentido, Figueiredo (1997, p.3) diz que “a presença da informática nos dias
atuais deve ser encarada como aliada e não como inimiga”.
Os comentários de Figueiredo vêm ratificar que o uso da informática não deve substituir a formação teórica e sim servir de meio para que alunos e professores construam uma
aprendizagem mais significativa, e olhem os conceitos sobre novos ângulos.
Assim, apesar do grande papel da informática no ensino e aprendizagem, o professor
é um veı́culo importante nesse processo. Contudo, se faz necessário a sua capacitação,
como afirma Meyer (2002)
Não se devem esperar grandes efeitos da tecnologia, ignorando as perspectivas pedagógicas que estão subjacentes à sua utilização. O professor terá sempre
que ter um papel chave será e sempre o responsável pela orientação das atividades. As necessidades de formação não podem, por isso, ser menosprezadas.
(MEYER, 2002, p.4)
Apesar das contribuições que o uso da informática pode trazer para o ensino, é
necessário estarmos atentos para alguns conflitos, como escreve Borba (2001) “Um dos
perigos da informática seria que o aluno só aperte as teclas e obedeça a orientação dada
pela máquina, isso contribuiria ainda mais para torná-lo um mero repetidor de tarefas”.
(BORBA, 2001, p. 11)
Nesse sentido, o docente tem que intervir para que o processo de ensino, através da
informática, não tenha os mesmos problemas que o ensino convencional, que algumas
vezes leva os alunos a fazer repetições sem a devida reflexão.
Acredita-se que a ausência de disciplinas que abordem as novas tecnologias, na formação
do docente, ainda seja a causa da não utilização da informática no contexto escolar. A
assim Souza (2001), escreve:
A interação aluno e computador precisa ser medida por um professor
preparado, para provocar situações que favoreçam a aprendizagem dos alunos.
A exigência de tornar os alunos competentes produtores do próprio conhecimento implica valorizar a reflexão, a ação, a curiosidade, o espı́rito crı́tico, a
incerteza, o caráter provisório dos fatos, o questionamento e, para tanto, faz
necessário que o professor reconstrua a prática conservadora que vem desenvolvendo em sala de aula. ( SOUZA, 2001, p. 44)
7
Por conseguinte, o contato do professor com as novas tecnologias pode ser um caminho
importante para um bom trabalho no contexto escolar, provocando uma discussão entre
professor e aluno nesse ambiente, trazendo contribuições significativas para a aprendizagem de ambos.
1.3
O Uso do Computador no Ensino de Matemática
Os computadores podem servir de ferramenta para o ensino, pois a quantidade de
programas educacionais e as diferentes maneiras de uso mostram que esta tecnologia pode
ser bastante útil no processo de ensino e aprendizagem. É uma alternativa interessante
para o ambiente escolar, e tem que ser explorado sempre, sendo com os pacotes Office, ou
outros Softwares.
Assim é importante uma boa “manipulação”do computador, na medida em que a
utilização dessas máquinas não seja simplesmente como no quadro negro, nas aulas convencionais, mas outro recurso que possa propiciar uma motivação aos discentes envolvidos
no processo.
Sobre o uso dos computadores no ensino, Borba (2001), traz comentários importantes
sobre a sua utilização:
Muitos advogam que o uso do computador, devido à motivação que ele
traria à sala de aula, a variedade de cores, do ponto de vista social, o seu
uso na educação poderia ser a solução para a falta da motivação dos alunos.
(BORBA, 2001, p.17)
Reitera também o papel do professor nesse processo, principalmente no conhecimento
da matemática.
O professor é o responsável direto pelo uso do computador na sala de aula
e as possibilidades de trabalho dependerão do seu desempenho, o que confirma
a hipótese de que a utilização da informática pode moldar a forma como se
elabora o conhecimento matemático. (BORBA, 2001, p.10)
Sobre a elaboração do conhecimento, Figueiredo (1997), afirma que:
O computador pode ser utilizado como simulador de conjecturas que devem
ser provadas para consolidar o conhecimento adquirido, ou ainda, como instrumento de visualização de conceitos e suporte para uma melhor compreensão e
aprofundamento do que está sendo apreendido. (FIGUEIREDO, 1997, p. 4)
Nesse sentido, Souza (2001), se posiciona da seguinte forma:
8
Em geral, o conhecimento da informática por parte dos professores é
mı́nimo, o ideal seria o professor aproveitar o conhecimento informático trazido
pelos alunos a fim de buscar uma nova postura frente à construção do conhecimento junto a eles. (SOUZA, 2001, p. 82)
Sobre as dificuldades que possam surgir no uso da informática, pode-se pontuar que não
podemos deixar o computador “pensar pelos alunos”e que a construção do conhecimento
seja mediada pelo professor, para evitarmos, portanto, a supremacia do computador em
relação às reflexões feitas pelos discentes no contexto educacional. De acordo com Borba
(2001), “Se o raciocı́nio matemático passar a ser realizado pelo computador, o aluno não
precisará raciocinar mais e deixará de desenvolver sua inteligência”. ( BORBA, 2001,
p.11)
Devemos salientar que o lápis e o papel dificilmente serão banidos do contexto educacional, pois, para alguns teóricos, são considerados também tecnologias, que por muitos
anos, foram o grande começo para a aprendizagem dos discentes, como escreve Borba
(2001),
Parece que não consideram o lápis e o papel como tecnologias, da mesma
forma que o fazem com o computador. Para eles, o conhecimento produzido
quando o lápis e papel estão disponı́veis não causa dependência, é como se a
caneta, por exemplo, fosse transparente, para os que advogam essa posição,
para nós, entretanto, sempre há uma dada mı́dia envolvida no processo de
conhecimento, dessa forma, essa dependência sempre existirá e estará bastante
relacionada ao contexto educacional em que nos encontraremos. ( BORBA,
2001, p.13)
Atualmente o ensino de temas a partir de computadores está intimamente ligado aos
programas ou softwares existem nessas maquinas. Assim para a utilização desses recursos
na educação, partirá desses Softwares que podem ser utilizados para melhorar o ensino de
matemática,como por exemplo, o Excel, que é um elemento importante do oficce, que pode
ser explorado desde o ensino fundamental, até o ensino médio, pois o mesmo, apresenta
uma fonte de temas numéricos e geométricos, que podem ser explorados no ensino de
matemática.
Encontra-se disponı́veis para a utilização no ensino, alguns softwares como Winplot,
Wingeom, Mupad, Cabri-Géomètre, Maple, Xaos entre outros. Softwares esses que permitem trabalhar conceitos aritméticos, geométricos e até algébricos. Nesse trabalho,
falaremos um pouco sobre o Software Cabri, relacionando-o ao estudo dos números complexos, dando sugestões de atividades que podem ser executadas em sala de aula, para
facilitar a compreensão do conteúdo.
9
Capı́tulo 2
Números Complexos
2.1
Um Pouco da História dos Números Complexos
A História dos números complexos nos apresenta trechos importantes que nos orientam
sobre o real papel desse conceito no âmbito da matemática. Assim Karlson (1961), diz
que:
A natureza, mãe eterna diversidade, ou melhor, o espı́rito divino está
agrupado em uma única espécie. E deste modo ele encontra um expediente
maravilhoso no milagre da análise, espécie de monstro do mundo das idéias,
que poderı́amos quase dizer hı́brido de ser ou não ser, que costumamos denominar raiz imaginária (...).(LEIBNIZ apud KARLSON,1961 p. 596)
As idéias compiladas por Karlson, em referência a Leibniz, estiveram bem presentes
nesta produção textual, pois proporcionaram questionamentos sobre a origem dos números
complexos.
Um fato interessante é a ordem em que os conjuntos numéricos foram compreendidos
conforme citado pelo historiador Bell (1996):
La sorpresa mayor que contiene La história de las matemáticas es el hecho
de que los números complexos fueram compreendidos, tanto sinteticamente
como analiticamente, antes que los números negativos(...).(BELL, 1996, p.
18)1
Inicialmente, para compreender a idéia dos números complexos, temos que atentar
para a não linearidade na construção dos conjuntos numéricos, pois, em geral, algumas
literaturas no nı́vel básico de ensino trazem a construção de tais conjuntos como algo
progressivo e linear. O que não aconteceu com os mesmos e os números complexos.
Sobre a suspeita do aparecimento dos números complexos, Millis (1993) escreve que:
1
A surpresa maior que contém a história da matemática é o fato de que os números complexos foram
compreendidos, tanto sinteticamente como analiticamente antes dos números negativos. (Tradução Livre)
11
As equações do segundo grau apareceram na matemática já em tabuletas
de argila da suméria, por volta de 1700 a.C. ocasionalmente, levaram aos
radicais de números negativos, porém, não foram eles, em momento algum,
que sugeriram o uso dos números complexos (...). (MILLIS, 1993, p. 4)
Esses primeiros registros sumérios, sobre a possibilidade do surgimento dos números
complexos, levaram alguns autores de livros de ensino médio a afirmarem, erroneamente,
que essas equações quadráticas foram as responsáveis pelo surgimento desse tema.
Já na era Cristã, existiram alguns fatos ligados a radicais de ı́ndice 2, que mostravam
a necessidade de um conjunto no qual contemplasse os números cujos quadrados eram
negativos como, por exemplo, nos trabalhos do matemático Herón2 , em 75 d.C., onde
√
surgiu a necessidade de calcular 81 − 144, nas projeções de um desenho de uma pirâmide.
Caso semelhante aparece na “Aritmética de Diophanto”, aproximadamente no ano de
275 d.C.. Diophanto considera o seguinte problema: “Se um triângulo retângulo tem área
igual a 7uc e o seu perı́metro é 12uc, então determinar as dimensões desse polı́gono”.
(MILLIS, 1993, p.4)
Na resolução deste problema, houve a necessidade de determinar uma das dimensões
desse polı́gono que era dada pelo número
x=
43 ±
√
−167
.
12
Observando a literatura nota-se que o surgimento dos números complexos só pôde ser
registrado a partir de seqüências de acontecimentos históricos. Todavia, é bom salientar
que quando falamos de história da matemática, precisamos observar cada contribuição ao
longo do percurso histórico, considerando o que de fato foi decisivo para o conteúdo a ser
pesquisado. Borges (1996) destaca este pensamento escrevendo que:
Ainda que ao generalizar-se um conceito, deve tratar de conservar-se o
maior número de possibilidades, ao novo conceito, deve corresponder como
caso particular o generalizado... (BORGES, 1996, p.3)
Através do comentário de Borges(1996), percebe-se que a criação de um novo conjunto
tende a reaproveitar propriedades de conjuntos já existentes e somar as novas criações que
venham surgir e, no caso dos números complexos, pode-se aproveitar algumas propriedades
existentes dos números reais.
2
Heron (também escrito como Hero e Herão) de Alexandria (10 d.C. - 70 d.C.) foi um sábio do começo
da era cristã. Geômetra e engenheiro grego, Heron esteve ativo em torno do ano 62. É especialmente
conhecido pela fórmula que leva seu nome e se aplica ao cálculo da área do triângulo. Seu trabalho mais
importante no campo da Geometria Métrica, permaneceu desaparecido até 1896. Ficou conhecido por
inventar um mecanismo para provar a pressão do ar sobre os corpos, que ficou para a história como o
primeiro motor a vapor documentado.
12
Para a criação desse novo conjunto, partiu-se de impossibilidades, em particular, os
radicais de ı́ndice par com radicando negativo, os quais tiveram um papel importante na
resolução de equações cúbicas, servindo à aceitação inicial dos números complexos.
Pode-se destacar que a possibilidade de representação geométrica dos números complexos a partir de pares ordenados, foi um fato importante para aceitação dos números
complexos.
Sobre a resolução de equações cúbicas, alguns historiadores como Garbi (1996) e Struik
(1992), trazem relatos sobre os números complexos como, por exemplo, o caso do professor
de matemática, chamado de Scipio (1465-1526), o qual resolveu algumas equações cúbicas
por volta de 1470 a 1480.
No século XVI, na Itália, em plena idade média, mentes brilhantes conseguiram trazer
contribuições marcantes à matemática no âmbito da resolução de equações. Dois nomes
ficaram marcados em toda a história, devido à resolução dessas equações: Nicolo Fontana
de Bréscia (1500-1557), apelidado de “Tartáglia”, e Girolamo Cardano (1501-1576), conhecido como “Cardan”.
Tartáglia3 era muito pobre e não tinha condições financeiras para estudar, pois na
época tinham direito a educação apenas os filhos dos senhores feudais, tendo ele que
estudar com livros velhos e insuficientes. Tempos depois, ele começou a lecionar em um
retiro de religiosos e posteriormente, ingressou na área da matemática em estudos mais
avançados.
Naquela época eram comuns desafios para resolver questões relacionadas à matemática,
no qual Tartáglia teve uma participação decisiva em um embate com António Maria Fior
(um aluno do professor Scı́pio). No dia 30-12-1534, eles trocaram 40 questões entre si, que
envolviam a resolução de equações cúbicas, fixando 50 dias para resolvê-las, porém no dia
18/02/1535, Tartáglia já havia resolvido todas as questões propostas por Fior, enquanto
este não passou da 20a .
Esse fato foi marcante para toda a sociedade da época, pois se descobriu uma maneira
de resolver, ao menos 40 questões, que envolviam equações cúbicas, deixando todos curiosos para saber a fórmula que as resolvia. É importante frisar que, as questões resolvidas
por Tartáglia, eram casos que na época não eram possı́veis de resolução.
Essa famosa fórmula, que tanto chamou a atenção da comunidade da época, foi apropriada por Cardano, que era um médico de Milão e admirador da matemática. Este
convenceu Tartáglia a lhe revelar o método de resolução dessas equações. Munindo-se
desta, em 1545, publicou o “Ars Magna”com a fórmula de Tartáglia, tendo toda glória sobre a legitimidade da resolução da equação, pois Tartáglia, apesar da criação, não publicou
os seus resultados, creditando o nome da fórmula a Cardano apenas.
3
Tartáglia, que em latim significa “gago”, recebeu esse apelido devido a complicações que tinha na
fala, por ter sofrido um corte profundo no rosto, após uma invasão bárbara que houve em sua cidade,
onde muitas pessoas foram mortas e muitos outros ficaram mutilados.
13
Segue abaixo a fórmula que determina as raı́zes de uma equação cúbica do tipo
x3 + px = q
Daı́ a solução é
r
x=
3
q
2
r
q
q
p 3
q 2
+ ( 2 ) + ( 3 ) − 3 −( 2q )2 + ( 2q )2 + ( p3 )3
Uma dedução dessa fórmula pode ser encontrada em alguns livros da história da
matemática, como o de Garbi(1996), com uma riqueza de detalhes.
Em 1572, Rafael Bombelli (1526-1572), destacou em seu artigo que se ( 2q )2 + ( p3 )3 era
não positivo, então a equação não possui raı́zes reais e consiste assim, no caso irredutı́vel
das equações cúbicas.
√
A representação de entes 0 − 9 era escrita da forma R[0m.9], R para a raiz, m
para o sinal de menos e 0 para o zero. O material produzido por Bombelli teve como
leitores ilustres Leibniz (1646 -1716) e Euler (1707- 1783), que a partir dessas discussões
começaram a investigar o comportamento destes números, com a caracterı́stica discutida
por Bombelli. (STRUIK, 1992)
Euler foi o primeiro matemático a admitir que i2 = −1 , o que já tinha sido cogitado
√
por Alberto Girard em 1629 somente como −1 , sem relacionar com qualquer letra.
Euler admitiu esse valor em 1777 e se tornou amplamente aceito após os estudos de Gauss
(1777- 1875) em 1801. De acordo com Eves (1997),
Os termos imaginário e real foram empregados por René Descartes (15961650) em 1637 e a expressão número complexo foi introduzida por Carl Friederich
Gauss em 1832. ( EVES, 1997, p.315)
Euler também estudou séries infinitas ex , sen(x), cos(x), em que nessas relações apareciam radicais com radicando negativo do tipo:
√
sen(x) =
e
−x
√
− e−
√
2 −1
−x
Além de ter chegado a seguinte relação:
eiθ = cos(θ) + isen(θ)
Tomando θ = π, temos:
eiπ = cos(π) + isen(π) = −1
p√
p√
Leibniz fatorou x4 + a4 em (x + a
−1)2 .(x − a
−1)2 , uma decomposição imaginária de um número real positivo que surpreendeu seus contemporâneos.
14
Outro matemático que também trabalhou com esses números foi D’ Alembert (17171783), que gastou muito tempo e esforço para provar que toda equação polinomial, com
coeficientes complexos, e de grau ≥ 1, tem pelo menos uma raiz complexa. Trabalhou
também com a expressão (a + bi)c+di e num dado momento tomou a base (a + bi) como
sendo uma variável e diferenciou a função, sendo assim uma antecipação da teoria das
variáveis complexas, a qual foi desenvolvida no século XIX.
De Moivre (1667-1754), utilizou elementos trigonométricos para trabalhar com números
complexos através da expressão
(cos(α) + isen(α))n = (cos(αn) + isen(αn).
Wallis (1616-1703) teve a idéia de que os números imaginários puros eram suscetı́veis
de serem representados numa reta perpendicular ao eixo real.
Pensamento semelhante teve Wessel, ao apresentar um artigo a real academia dinamarquesa de ciências em 1797, sobre a representação de números complexos no plano.
Porém esse artigo permaneceu excluı́do do mundo matemático e redescoberto cem anos
após a sua apresentação. Esse atraso no reconhecimento da realização do trabalho de
Wessel explica o porque do plano complexo vir a ser chamado de plano de Argand em vez
de Wessel.
O segundo nome que geralmente acompanha o plano é do Gauss (1777-1875) o qual
deu contribuições em trabalho apresentado a real sociedade de Göhingem em 1831, isto
explica o porque do plano ser também chamado de Gauss.
A simples idéia de considerar as partes reais e imaginárias de um número complexo
z, como coordenadas retangulares de um ponto no plano, fez com que os matemáticos se
sentissem mais a vontade com os números imaginários, pois esses podiam ser efetivamente
visualizados. No sentido de que a cada número complexo corresponde um único ponto do
plano.
A geometria permaneceu acorrentada à sua versão euclidiana até que Lobachevisky
e Bolvai, em 1829 e 1832 respectivamente, libertaram-na de suas amarras, criando uma
geometria igualmente consistente, que abriu mão de um dos postulados de Euclides.
Para a álgebra, aconteceu uma história semelhante, pois parecia incabı́vel, no inı́cio
do século XIX, haver uma álgebra distinta da trabalhada habitualmente. Nesse sentido,
em 1843, William Hamilton (1805-1865) foi forçado, por considerações fı́sicas, a criar
uma álgebra em que a lei comutativa era difı́cil de ser concebida. A criação de Hamilton
nos levaria muito longe com o elegante tratamento dos números complexos como pares
ordenados de números reais.
Para obter um número complexo, a partir da forma de Hamilton, notemos que todo
z = a + bi, com a e b reais, pode ser escrito na forma de pares ordenados, como segue
15
abaixo:
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, b).(0, 1) = a + bi.
Onde se representa (0, 1) pelo sı́mbolo i e se identificam (a, 0) e (0, b) com os números
reais a e b . Finalmente observamos que
(0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 = i2 .
Dessa forma eliminou-se a polêmica que cercava os números complexos, pois não há
nada mı́stico num par ordenado de números reais. Esse foi um grande feito matemático
de Hamilton.
O sistema dos números complexos é extremamente conveniente para o estudo dos
vetores e das rotações no plano. Em suas pesquisas, Hamilton foi levado a considerar,
não os pares ordenados (a, b) de números reais, mas as quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de
números reais, tendo imersos neles, tanto os números reais como os números complexos.
Chamando essas quádruplas ordenadas de números reais, de quatérnios, Hamilton
chegou à conclusão de que, para seus vários propósitos, tinha que definir a adição e a
multiplicação de quatérnios, assim o fez da seguinte maneira:
i) (a, b, c, d) + (e, f, g, h) = (a + e, b + f, c + g, d + h)
ii) (a, b, c, d).(e, f, g, h) = (ae − bf − cg − dh, af + be + ch − dg, ag + ce + df − bh, ah +
bg + de − cf )
A partir dessas definições, pode-se mostrar que os sistemas dos números reais e dos
complexos estão imersos no dos quatérnios, indentificando o quatérnio (m, 0, 0, 0) com o
número real m.
Pode-se mostrar também que a adição de quatérnios é comutativa e associativa, e que
a multiplicação é associativa e distributiva, em relação à soma, mas que não vale a lei
comutativa da multiplicação. Para verificar isso, basta tomar os quatérnios (0, 1, 0, 0) e
(0, 0, 1, 0) e obteremos
(0, 1, 0, 0).(0, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 1)
enquanto
(0, 0, 1, 0).(0, 1, 0, 0) = (0, 0, 0, −1)
Isso contrariava a lei comutativa da multiplicação existente até então, causando um
grande impacto na época, pois não se imaginava uma álgebra não comutativa.
Em 1833 comunicou-se à academia Irlandesa um significativo artigo em que a álgebra
dos números complexos era encarada como uma álgebra de pares ordenados de números
reais.
16
É verdade que os quatérnios foram, em parte, revividos em 1927 com as “variáveis
spim” na teoria quântica de Wolfgang Pauli (1900-1958) e pode ser que no futuro se
reserve uma nova função para eles.
De qualquer maneira, a grande importância dos quatérnios na matemática reside na
sua criação por Hamilton, em 1843, libertando a álgebra de suas amarras a aritmética dos
números reais, abrindo as portas para a álgebra abstrata.
2.2
Aplicações na Matemática
Os números complexos são bastante utilizados em várias áreas da matemática, além
de serem utilizados também em outras áreas. Veremos algumas aplicações deles na
trigonometria, álgebra e nos fractais.
Trigonometria e Números Complexos
Inicialmente faremos algumas considerações sobre os números complexos, nas formas
algébrica e trigonométrica. Na seqüência discutiremos sobre a utilidade deles na obtenção
de fórmulas, e no teorema fundamental da trigonometria. Um número complexo z = a+bi,
com a e b reais, pode ser pensado como um ponto do plano de coordenadas (a, b), ou
como um vetor oz, de origem O e extremidade (a, b). Vamos inicialmente interpretar
geometricamente a multiplicação de dois números complexos, de módulo unitário, onde
w1 = cos(θ1 ) + isen(θ1 )
e u = i.
Considerando
u.w1 = i(cos(θ1 ) + isen(θ1 )) = −sen(θ1 ) + icos(θ1 ) = cos(θ1 +
π
π
) + isen(θ1 + )
2
2
e representando no cı́rculo unitário S 1 . Concluı́mos que multiplicar w1 por i significa
efetuar no vetor w1 uma rotação positiva de π2 rad.
Tomando agora outro número complexo de módulo unitário
w2 = cos(θ2 ) + isen(θ2 ),
temos
w2 .w1 = (cos(θ2 ) + isen(θ2 ))w1 = cos(θ2 )w1 + isen(θ2 )w1
O vetor que representa w2 .w1 é a soma (diagonal do paralelogramo) dos vetores perpendiculares cos(θ2 )w1 e isen(θ2 )w1 , tomando um sistema de coordenadas xoy, obteremos
que o ângulo de w1 com w1 .w2 é θ2 (figura 2.1).
17
De uma maneira geral, se w1 e w2 são números complexos, de módulo unitário, temos:
w1 .w2 = cos(θ1 + θ2 ) + isen(θ1 + θ2 )
Figura 2.1: Rotação
A conseqüência importante da interpretação que acabamos de estabelecer é a seguinte
proposição, que é considerada como o teorema fundamental da trigonometria.
Teorema 2.2.1 (fórmulas de adição da trigonometria) Se x e y são reais quaisquer:
• cos(x + y) = cos(x).cos(y) − sen(x).sen(y)
• sen(x + y) = sen(x).cos(y) + sen(y).cos(x)
Demonstração 2.2.1 Se x e y satisfazem à condição 0 ≤ x < 2π e 0 ≤ y < 2π
escrevemos:
w1 = cos(x) + isen(x)
e
w2 = cos(y) + isen(y)
Pela interpretação geométrica do produto, w1 .w2 é obtido de w1 dando-lhe uma rotação
positiva de ângulo y, temos portanto:
1. w1 .w2 = cos(x + y) + isen(x + y)
Por outro lado, tomando i2 = −1 temos
18
2. w1 .w2 = [cos(x) + isen(x)].[cos(y) + isen(y)] =
= cos(x).cos(y) − sen(x).sen(y) + i(sen(x).cos(y) + sen(y).cos(x))
Igualando as partes reais e imaginárias de 1) e 2) obtemos:
cos(x + y) = cos(x).cos(y) − sen(x).sen(y)
sen(x + y) = sen(x).cos(y) + sen(y).cos(x)
c.q.d
Como conseqüência ainda do produto de números complexos, temos:
[cos(x) + isen(x)]n = cos(nx) + isen(nx)
,
n∈N∗.
Geometricamente, a fórmula acima significa que a multiplicação de um número complexo unitário, por si próprio n vezes, é equivale a dar-lhe n rotações sucessivas de um
ângulo x. Uma das utilidades da fórmula de DE Moivre é permitir a determinação do
cos(nx) e sen(nx), sem o uso das fórmulas de adição.
Uma aplicação da fórmula de DE Moivre é a determinação das raı́zes de números
√
complexos, como por exemplo, as raı́zes cúbicas de z = 23 + 2i .
Como |z| = 1 vemos que: cos(β) =
β = π6 + 2kπ, k ∈ Z.
a
1
√
=
3
2
e sen(β) =
b
1
=
1
2
o que nos garante que
Assim podemos escrever o número complexo na forma trigonométrica:
z = cos(
π
π
+ 2kπ) + isen( + 2kπ), k ∈ Z
6
6
Tomando cuidado de incluir todas as determinações do argumento de z. É claro que
π
π
+2kπ
+2kπ
qualquer número complexo da forma Wk = cos( 6 3 ) + isen( 6 3 ) é uma raı́z de z,
pois pela fórmula de De Moivre (Wk )3 = z.
Daı́ para um número complexo de módulo unitário, a raı́z n-ésima deste é dado por:
Wk = cos(
θ + 2kπ
θ + 2kπ
) + isen(
)
n
n
Variando k, percebe-se que a partir de W3 as raı́zes começam a se repetir. Além disso,
usando valores negativos de k, vemos facilmente que, para k = −1 obteremos W2 e assim
sucessivamente para outros valores de k ∈ Z.
19
Concluı́mos então que existem exatamente três raı́zes cúbicas de z, a saber, W0 , W1
e W2 , que se distribuem como na figura abaixo, formando entre si ângulos de 120o . De
uma maneira geral, a fórmula de De Moivre, gera polı́gonos regulares de n lados .
Figura 2.2: Triângulo
Fı́sica
Matrizes complexas, que são aquelas cujas entradas são números complexos são utilizadas em problemas da fı́sica, como por exemplo, a resolução de problemas de cálculo
de fluxos de potência e curto-circuito em Sistemas Elétricos de Potência,ou seja, serão alguns problemas referentes a eletricidade, os quais recairão em matrizes complexas, nesse
sentido ver, Bittencourt 2007.
Números Complexos e Fractais
Uma das grandes aplicações dos números complexos é na construção dos fractais. Os
fractais são figuras geradas por processos iterativos, que chegam a ser caóticos muitas
vezes, e que atualmente possuem grande aplicação em várias áreas do conhecimento como
medicina, biologia, geologia, e até na informática na compressão de dados.
Seu surgimento se deu por volta de 1905, quando o matemático francês Pierre Fatou
descobre que certas equações que envolvem números complexos e iteratividade de funções
complexas, podem ser representadas por figuras que possuem auto-similaridade4 , as quais
chamamos de fractais.
4
Possuir auto-similaridade é possuir semelhança com o todo por maior que seja o nı́vel de ampliação
dado em uma porção da figura.
20
Figura 2.3: Conjunto de Júlia
Este fractal foi gerado pela função f (z) = z 2 − 0, 213548 + 0, 686165i
2.3
Algumas Considerações Sobre a Abordagem dos
Números Complexos no Livro-Texto
O livro didático é uma importante fonte de pesquisa para os alunos, uma vez que,
para eles é o primeiro contato com a teoria, após a exposição do professor.
Nesse sentido, se faz necessário que o livro apresente certa qualidade em temas importantes para a construção do conhecimento do aluno. Assim Lima (2001), diz que:
A Conceituação compreende a formulação de definições, o enunciado
de proposições, o estabelecimento de conexões entre os diversos tipos de conceitos, bem como a interpretação e a reformulação dos mesmos sob diferentes
aspectos. È importante destacar que a conceituação precisa é indispensável
para o êxito das aplicações.
A Manipulação, de caráter essencialmente (mas não exclusivamente),
algébrico, está para o ensino e o aprendizado da Matemática assim como a
prática dos exercı́cios e escalas musicais está para a música. A habilidade no
manuseio de equações, fórmulas, operações e construções geométricas básicas,
o desenvolvimento de atitudes mentais automáticas, verdadeiros reflexos condicionados, permitem ao usuário da Matemática concentrar sua atenção consciente nos pontos realmente cruciais, sem perder tempo e energia com detalhes.
A Aplicação é o emprego de noções e teorias da Matemática em situações
21
que vão de problemas triviais do dia-a-dia a questões mais sutis provenientes
de outras áreas, quer cientificas ou tecnológicas. Ela é a principal razão pela
qual o ensino de Matemática é tão difundido e tão necessário. (LIMA, 2001,
p.5)
Essa trı́ade apresentada por idem é um roteiro que permite um bom caminho para o
estudante consultar o livro didático e poder tirar as considerações relevantes para a sua
aprendizagem.
Lima (2001), traz umas reflexões sobre os livros utilizados no ano de 2001 no ensino brasileiro: “(....) Ele é muito bem impresso e diagramado, em várias cores, com
belas ilustrações, embora as figuras matemáticas contenham muitas imprecisões e erros”.
(LIMA,2001, p. 462)
Das três componentes básicas do ensino da matemática nos livros brasileiros em 2001
(Conceituação, Manipulação, Aplicações), há o privilegio da manipulação.
Sobre o tema Números complexos, nos livros analisados em 2001, Lima diz:
Na aritmética não há dificuldades. A conexão com a geômetra analı́tica,
porém é deficiente, o que é estranho, pois a Geometria analı́tica acabou de
ser estudada. É mais um exemplo de falta de ligação entre os capı́tulos.
As aplicações geométricas dos números complexos (principalmente a multiplicação) tão belas como variadas, não são exploradas. Isto é imperdoável,
pois todo matemático ou usuário da matemática, ao pensar num número complexo, sempre imagina como um ponto do plano coordenado e as operações são
interpretadas como transformações geométricas. (LIMA, 2001,p. 467)
É comum encontrar nos livros didáticos pouca informação sobre a origem dos números
complexos. Muitas vezes é associado esse conteúdo apenas à resolução de equações do
segundo grau, entre outros erros que ocorrem.
Assim entre os erros mais comuns, consoante Lima( 2001), vemos que:
• A abordagem dos números complexos costuma ser meramente algébrica:
o número “caiu do céu”;
• Muitos livros afirmam que os números complexos “nasceram”, sem maiores
explicações, da necessidade de resolver, equações do 2◦ grau com descriminante negativo;
• Outras falam que surgiram da resolução de equações do 3◦ grau (corretamente), porém não aparece a fórmula de Cardano;
• Os livros didáticos sempre chamam a imagem de um número complexo de
“afixo”quando é o contrário: A imagem de um complexo é um ponto que
o representa, e o afixo de um ponto é o complexo por ele representado;
• Em muitos livros não aparecem notas históricas situando estes números
na evolução da matemática;
22
• Alguns livros usam a palavra “vetores”, mas não explicam o que vem a
ser um vetor e a sua importância;
• A fórmula de De Moivre é “chutada”, sem explicações nem aplicações, e
nem ilustrações geométricas. ( LIMA, 2001, p.450)
Além de situações que não são deixadas claras e que causam uma contradição muito
grande em matemática, como é o caso da omissão do módulo em contas, como a ilustrada
abaixo:
3=
√
9=
√
√ √
p
√ √
(−3).(−3) = 3i2 .3i2 = 3i2 . 3i2 = 3. 3.i.i = 3i2 = −3
Ao tratar de trigonometria, alguns livros também pecam ao não considerar ângulos
maiores que 360o e mesmo assim trabalhar livremente a multiplicação. Negligenciam uma
representação geométrica simples que é a multiplicação de um complexo z por i, ou seja,
rotações de 90o . Alguns livros não ilustram geometricamente a fórmula de De Moivre,
que é um veı́culo importante para aplicação de números complexos a geometria plana.
23
Capı́tulo 3
O Cabri-Géomètre II no Ensino de
Números Complexos
Como mencionado, esse trabalho tem o intuito de dar sugestões de atividades a serem
desenvolvidas, no processo de ensino e aprendizagem dos números complexos, utilizando
o software Cabri. Por traz desse processo, está o poder de visualização de alunos e
professores na utilização desse software.
Algumas considerações sobre o que é visualização e seu papel no conhecimento matemático,
são feitas por Gusmàn (1996),
Visualización en matemáticas no es lo miesmo que lo que algunas corrientes de psicólogos llaman visualización. Para ellos la visualización es una
técnica, entroncada en el análisis transaccional iniciado por Eric Berne(añnos
50), que pretende uma reestructuración de ciertos aspectos Del subconsciente.
Tiene mucho más que ver con componentes afectivos que con componentes
propriamente cognitivos1 . (GUSMÀN, 1996, p.1)
Dessa maneira, a utilização técnica está ligada a construções de conhecimentos, apesar
de em outras áreas ter outra utilização. Em relação à matemática ele coloca:
Con la Visualización en matemáticas se pretende otra cosa. Las ideas,
conceptos y métodos de las matemáticas presentan una gran riqueza de contenidos visuales, representables intuitivamente, geometricamente, cuya utilización resulta muy provechosa, tanto en la manipulación com ellos para
las tareas de presentación y manejo de tales conceptos y métodos como en
la manipulación con ellos para la resolución de los problemas Del campo.
2
(GUSMÀN, 1996, p.1)
1
A visualização em matemática não é o mesmo que em algumas áreas correntes dos psicólogos, para
estes a visualização é uma técnica, associada nas análises transacionais, iniciadas por Eric Berne (anos
50), que pretendia uma reestruturação de certos aspectos do subconsciente, a qual está associada mais
com aspectos afetivos do que componentes propriamente cognitivos. (tradução livre)
2
Com a visualização em matemática se pretende outra coisa, explorar as idéias, conceitos e métodos
matemáticos presentes através de uma riqueza de detalhes através da imagem, representada intuitiva-
25
As idéias básicas do estudo elementar, por exemplo, de ordem, distância, operações
entre números nascem de situações bem concretas e visuais. Que podem com o CabriGéomètre II ser bem exploradas. A visualização contribui com um aspecto extraordinário
na atividade matemática que é algo totalmente natural, apesar das demonstrações serem
necessárias, mas a visualização se configura como uma alternativa importante para entendimento dos alunos.
Assim para Gusmàn (1996),
La visualización aparece ası́ como algo profundamente natural tanto en el
nascimiento del pensamiento matemático como en el descubrimiento de nuevas
relaciones entre los objetos matemáticos, y también, naturalmente, en la transmisión y comunicación propias del quehacer matemático3 . (GUSMÁN, 1996,
p.2)
No contexto dos números complexos a visualização é extremamente útil, pois pode
nos ajudar em conjecturas de caráter manipulativo, e assim se tornar uma ferramenta
importante, por exemplo, para o ensino de algumas operações como a soma, analisar
a interpretação do módulo, o comportamento geométrico dos números complexos, entre
outras coisas. Além de servir de parâmetro para o docente comparar o ensino convencional
com o ensino utilizando o programa.
3.1
O Cabri-Géomètre II
O Cabri-Géomètre é um software que permite construir todas as figuras da geometria
elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e de um compasso. Uma vez
construı́das, as figuras podem se movimentar conservando as propriedades que lhes haviam
sido atribuı́das. Essa possibilidade de deformação permite o acesso rápido e contı́nuo a
todos os casos, constituindo-se numa ferramenta rica de validação experimental de fatos
geométricos. Ele tem outros aspectos que vão muito além da manipulação dinâmica e
imediata das figuras. O Cabri está disponı́vel em mais de 40 paı́ses e em 24 idiomas
diferentes. Ele é uma ferramenta auxiliar no ensino-aprendizagem da Geometria e é
utilizado no Ensino Fundamental, Ensino Médio e Ensino Superior.
São caracterı́sticas do Cabri Géometrè II:
• Geometria Dinâmica:
- Figura com movimento mantendo as suas propriedades;
mente, geometricamente, cuja utilização é muito proveitosa, tanto nas tarefas de exibição e manejo de
tais conceitos e métodos como na manipulação com eles, servem para a resolução de problemas de campo.
(tradução livre)
3
A visualização aparece assim como algo profundamente natural tanto no nascimento do pensamento
matemático, como no descobrimento das novas relações entre os abjetos matemáticos e também, naturalmente, na transformação e comunicação de qualquer matemático. ( tradução livre)
26
• Construtivista:
- O aluno cria as suas atividades construindo seu conhecimento;
• Software Aberto:
- O professor cria as atividades como queira;
• Trabalhar Conceitos:
- Construções de figuras geométricas;
• Explorar Propriedades dos Objetos e suas Relações:
- Comprovar Experimentalmente;
• Construção de Figuras Geométricas;
• Formulação de Hipóteses e Conjecturas;
• Históricos das Construções;
• Criação de Macros.
O Cabri permite ao professor criar livremente atividades para suas aulas, ele é assim
caracterizado como um software aberto. Ele pode ser utilizado desde o primário até a
Universidade em diversas áreas como Matemática, Fı́sica e Desenho Artı́stico por exemplo.
O Cabri-Géomètre é um software desenvolvido por J. M. Laborde4 , Franck Bellemain5
e Y. Baulac, no Laboratório de Estruturas Discretas e de Didática da Universidade de
Grenoble. Este é um laboratório associado ao CNRS, instituição francesa equivalente ao
CNPq brasileiro.
O Cabri-Géomètre é representado no BRASIL desde 1992 pela PROEM na PUC-SP
e no site que leva o nome do programa, é possı́vel saber o preço para adquire o software
e outras informações sobre o mesmo.
O software é um componente fundamental para a utilização do computador, como diz
Henriques (2001):
O software é um ingrediente tão importante quanto os outros, pois sem
ele, o computador poderia jamais ser utilizado na educação. ( VALENTE
apud HENRIQUES, 2001, p. 39)
4
Fundador e diretor de investigação do laboratório de estruturas discretas e didáticas do instituto de
informática e matemática aplicada de Grenoble. Graduou-se em matemática (1969) na escola normal superior em Paris. Obteve doutorado em Ciência da Computação em (1977) pela Universidade de Grenoble
- França.
5
Dr. em Ciência Computacional(1992) pela Universidade de Joseph Fourier - França
27
Um desses softwares é o Cabri-Géomètre II, o qual tem uma utilização fantástica
para o ensino de conceitos geométricos, e que poderemos visualizar a partir de algumas
atividades, as quais serão descritas aqui com os números complexos. Segundo Souza
(2001),
O Cabri-Géomètre é um dos softwares matemáticos mais usados no mundo
(Guia do Software Educacional, 1999). É um programa aberto e interativo que
permite ao aluno ampla possibilidade para construir o próprio conhecimento,
através das construções geométricas dinâmicas possibilitadas pelo software. O
programa permite construir todas as figuras da Geometria Elementar que podem ser traçadas com a ajuda de régua e compasso. (SOUZA, 2001, p.80)
Por mais de duas décadas o Cabri vem sendo estudado e utilizado por muitos, em
vários paı́ses, como podemos ver nos dados abaixo:
• 1981-1985 Trabalho sobre o Cabri em teoria dos grafos.
• 1985 - Especificações informais para a criação de um caderno de rascunho
informático.
• 1986- Protótipos de Cabri (três teses de doutoramento).
• 1987 - Pré-produto e experimentações em classes.
• 1988 - Troféu Apple por ser o melhor software para o ensino de Geometria. 1a demonstração pública (ICME-Budapeste).
• 1989 - Primeira edição do Cabri na França. Adoção generalizada na
Suı́ça.
• 1990 - Habilitação do projeto IMAG Cabri-Géomètre.
• 1992 - Criação do grupo de pesquisa internacional Cabri.
• 1993 - Cabri é traduzido em 25 lı́nguas e comercializado em 40 paı́ses.
( SOUZA, 2001, p. 70)
No Brasil, o software é comercializado pela PUC-SP. Com este software é possı́vel:
• A construção intuitiva de pontos, retas, triângulos, polı́gonos, cı́rculos e outros
objetos básicos;
• Transladar, ampliar (ou reduzir) e girar os objetos geométricos em relação aos seus
centros geométricos e a pontos especificados, além de possibilitar a simetria axial,
central e a inversão dos objetos;
• Construir facilmente cônica, como elipses e hipérboles;
• Explorar conceitos avançados em Geometria Descritiva e Hiperbólica;
28
• Construir e medir figuras, com atualização automática dos valores quando são movimentadas;
• Utilizar coordenadas cartesianas e polares;
• Proporcionar a apresentação das equações de objetos geométricos, incluindo retas,
circunferências, elipses e coordenadas de pontos;
• Permitir ao professor configurar os menus das ferramentas para ”disponibilizar”
somente as funções que achar necessárias, de acordo com o nı́vel dos estudantes;
• Comprovar as propriedades geométricas para provar hipóteses baseadas nos cinco
postulados de Euclides;
• Ocultar objetos utilizados nas construções para melhor organização da tela;
• Diferenciar os objetos mediante o uso de cores e linhas variadas;
• Ilustrar as caracterı́sticas dinâmicas das figuras por meio de animações;
• Rever, passo a passo, o histórico da última construção efetivada.
Desta forma, o Cabri-Géomètre é um software que apresenta caracterı́sticas as quais
permitem utilizar o computador como ferramenta auxiliar para investigação e construção
de conceitos geométricos, permitindo certa interatividade do aluno com o meio, possibilitando fazer, por comandos bem definidos em linguagem geométrica, as construções que
se fazem no ambiente com papel e lápis.
Essa relação se torna muito mais difı́cil no ambiente com papel e lápis, pois, em razão
do caráter estático do desenho, não facilita a identificação das propriedades.
A manipulação de objetos geométricos, no ambiente Cabri-Géomètre II, flexibiliza a
interação do aluno com esse meio, numa situação de ação, na medida em que o obriga
a fazer escolhas e tomar decisões. Como resultado dessa ação, o ambiente Cabri retoma
informações (feedback), que permitem ao aluno julgar o resultado de sua produção e, se
necessário, tomar novas decisões que o levem a mudá-la ou melhorá-la.
Assim, acreditamos que o ambiente com o Cabri promove processos de aprendizagem
especı́ficos de alcance difı́cil por outras mı́dias. É um ambiente desafiador para o professor
e para o aluno. Além de ser voltado para o ensino da Geometria, é também propicio a
pesquisas e experimentações matemáticas.
Alguns trabalhos vêm sendo desenvolvidos, ilustrando atividades e experiências no
ensino com o Cabri e outros programas. Como exemplo, temos os artigos de Meyer (2002),
Figueiredo (1997), Miranda (2007), que mostram de maneira satisfatória essa experiência
no ensino de cálculo, e que acabaram nos motivando na produção desse trabalho.
29
3.2
Atividades com o Cabri Géomètre II
É comum algumas atividades serem repercutidas em periódicos como a ZETETIQUÈ,
em que programas ou softwares estão sendo utilizados para o ensino de conceitos em
matemática e apresentam uma boa receptividade por parte dos alunos como diz Araújo
(2005),
(....) Esse tipo de atividade foi excelente para despertar o interesse dos
alunos em trazer a informática para a sala de aula e para resolver problemas
do dia a dia....(ARAÚJO, 2005, p. 157)
Como já mencionado, trabalhos que usem programas ou softwares, podem melhorar a
aprendizagem de estudantes do ensino fundamental e médio, devido à agilidade que esses
programas podem permitir e a exploração visual dos conceitos. Outra discussão que pode
ser traçada é a utilização de programas computacionais no ensino superior, de acordo com
Meyer (2002),
O uso dos aplicativos computacionais algébricos no ensino da matemática
em disciplinas básicas de cursos superiores pode ser examinado sob duas vertentes: Como recurso pedagógico para a construção de conceitos de matemática
superior e como treinamento do estudante na aplicação de uma ferramenta
muito eficaz na resolução de problemas, que exigem o emprego de algoritmos
matemáticos. (MEYER, 2002, p.140)
A utilização de atividades que explorem programas como Cabri, Excel, Maple, entre
outros no ensino superior são de extrema importância, uma vez que pode instrumentalizar
e instigar os alunos e futuros professores a utilizarem esses programas no seu contexto,
enquanto professores da rede de ensino.
Atualmente vários cursos de graduação, como é o caso da licenciatura em matemática
da UEFS, já tem em sua grade curricular, uma disciplina eletiva que trabalha em particular os Softwares em matemática, nesse sentido, é importante para o futuro docente
esse contato na licenciatura com esses softwares, assim lhe instrumentalizando para a sua
prática futura.
Descreveremos exemplos de atividades, utilizando o Cabri-Géomètre II, que podem
ser utilizadas pelos professores no ensino de números complexos, além de servirem como
base para que outras sejam desenvolvidas.
O docente tendo a oportunidade de instalar esse aplicativo nos equipamentos disponı́veis
na escola, terá uma boa alternativa para as aulas tradicionais e uma forma mais atrativa
de apresentar esse conteúdo.
Temos abaixo a tela inicial do Cabri, com algumas ferramentas.
30
Figura 3.1: Tela inicial do Cabri
Atividade 3.2.1 Inicialmente faremos a representação no plano de Argand-Gauss do
número complexo z = a + bi.
Passo 1: Aberta a tela do Cabri, peça para os alunos clicarem na janela6 11 na opção
“Mostrar Eixos”. Em seguida rotular a origem de O através da janela 10.
6
A contagem das janelas é feita da esquerda para a direita, onde a janela 1 é a que contém o ponteiro
do mouse, como segue na figura 6.
31
Figura 3.2: Ferramentas da Janela 11
Com a opção “Comentário”na janela 10, edite o eixo das ordenadas como Im(z) e o
eixo das abscissas como Re(z), em seguida marque um ponto sobre o plano, através da
janela 2, no 1o quadrante.
Temos então representados o eixo real e imaginário e o plano cartesiano, que agora
representa o plano de Argand-Gauss.
Nesse momento seria importante que os alunos registrassem as suas lembranças sobre
o plano cartesiano e suas principais manipulações. Posteriormente a essa discussão,
o docente através do Cabri-Géomètre pode movimentar o ponto criado anteriormente,
através do “Ponteiro”, janela 1, e assim mediar essa discussão.
Passo 2: Clique na janela 3 e selecione a opção vetor, em seguida clique sobre a origem
O e prolongue esse vetor até o ponto anteriormente marcado no 1o quadrante.
Passo 3: Assim aparecerá uma flecha com a origem em O e apontando para o ponto
clicado. Rotule z = a + bi na forma de coordenadas, determinando assim o afixo (a, b).
Passo 4: Nesse momento sugira para seus alunos clicarem na janela 9 e determinarem
as coordenadas do número complexo. Escreva através do ı́cone ”Equações e Coordenadas”,
substituindo assim o afixo genérico (a, b).
Passo 5: Peça para clicarem na janela 9, no ı́cone “Calculadora”, loga essa será
mostrada na tela. Posteriormente clique na abscissa do ponto (a, b), e em seguida na
igualdade da calculadora, arrastando o valor encontrado na 2a parte da igualdade para
o eixo horizontal. Proceda analogamente para a ordenada do ponto (a,b). Sugira aos
alunos clicarem nesses valores encontrados, podendo assim editá-los. Troque a palavra
32
“Resultado:”por “b=”ou “a=”, de acordo com os coeficientes da parte real ou imaginária
abordados no rótulo.
Passo 6: Através da janela 5 sugira aos alunos que tracem as perpendiculares passando
pelo ponto (a, b) e interceptando os eixos coordenados. Em seguida, peça para traçarem
segmentos paralelos a essa perpendicular através da janela 3, no ı́cone “Segmento”, a partir de intersecção da perpendicular com o eixo, terminando nas coordenadas de z. Depois
peça para esconder as retas perpendiculares, criadas anteriormente, por meio da janela
11, na opção “Esconder-Mostrar”. Por fim, peça para os alunos pontilharem as âncoras
que ligam o ponto às suas coordenadas, através da janela 11, no ı́cone “ Pontilhado”.
Passo 7: Na janela 9 peça para os alunos medirem a distância da origem ao afixo(a, b).
Indague-os sobre outra maneira de calcular essa mesma distância. Nesse momento, podemos fazer uma relação entre a matemática e a geometria plana oportunizando a definição
de módulo de um número complexo.
Passo 8: Sugira que eles calculem o ângulo formado entre o vetor e o eixo das abscissas através das janelas 9 e 10 opção “Ângulo”e “Marca de Ângulo”, respectivamente.
Para executá-los comece sempre da extremidade do vetor, passando pela origem e clicando
sobre o eixo das abscissas, para determinar o ângulo e a sua marca. Segue abaixo essa
construção feita na figura 3.3.
Figura 3.3: Sistema Ortogonal
Essa atividade inicial buscou uma manipulação na forma algébrica dos números complexos no plano. O docente pode instigar outras discussões em áreas da matemática, como
33
na geometria analı́tica e plana. Podendo também trabalhar o módulo de um número complexo.
Atividade 3.2.2 Gostarı́amos de explorar a soma de dois números complexos através
do Cabri-Geomètre II, assim se faz necessário considerar as coordenadas de um número
complexo como sendo as coordenadas de um vetor.
Passo 1: Semelhante aos procedimentos da atividade 1, marque os novos eixos e os
principais elementos do plano de Argand-Gauss, através das janelas 10 e 11.
Passo 2: Marque dois pontos através da janela 2. Depois, utilizando a janela 3, através
na opção “Vetor”, construa dois vetores. Usando a janela 10, na opção “Rótulo”escreva
os pontos z, w para ilustrar os vetores construı́dos anteriormente, partindo da origem e
com extremidade nos pontos criados anteriormente.
Passo 3: Na janela 5, na opção “Soma de Vetores”, opere os vetores construı́dos
anteriormente, clicando nos vetores a serem somados e por último na origem. Depois
clique na janela 2 e marque o ponto na extremidade desse vetor soma e o seu rótulo como
sendo z + w, na janela 10.
Passo 4: Na janela 9, no ı́cone “ Equações e Coordenadas”, exiba as coordenadas dos
pontos, que estão sobre as extremidade dos vetores criados até o momento.
Passo 5: Usando a janela 5, na opção “Reta Paralela”, crie uma reta paralela ao
vetor z, passando pela extremidade do vetor w. De modo análogo crie uma reta paralela
ao vetor w, passando pela extremidade do vetor z. Com isso, verificaremos que ambas as
retas se encontrarão na extremidade do vetor soma z + w.
Passo 6: Peça para os alunos construı́rem segmentos a partir da janela 3, na opção
“Segmento”de modo que, o aluno considerará os 2 vetores construı́dos (z e w). O segmento
partirá da extremidade dos vetores z e w, até o ponto de intersecção das retas.
Passo 7: Construa 2 retas perpendiculares, uma ao eixo real e a outra ao eixo imaginário, através da janela 5 opção “reta perpendicular”, de modo que cada reta passe pela
extremidade de um vetor construı́do. Posteriormente, use a janela 3 para criar dois segmentos partindo dos eixos até a extremidade de cada vetor. Em seguida clique na janela
11 e na opção ”Esconder/Mostrar”execute o comando nas retas perpendiculares criadas
anteriormente.
Nesse momento temos uma boa oportunidade de relacionar números complexos com
geometria plana e analı́tica, como a distância entre dois pontos e as propriedades do
paralelogramo.
Passo 8: Utilizando o Cabri para medir os ângulos (janela 11) opostos desse polı́gono
formado, peça para os alunos dissertarem sobre os resultados.
Passo 9: Peça para os alunos escreverem através da janela 10, no ı́cone comentário,
as siglas Im(z) e Re(z), para descrever o eixo que representa a parte real e o eixo que
representa a parte imaginária.
34
Passo 10: Exibir a calculadora, com a janela 9 e editar os valores da parte real e da
parte imaginária dos complexos construı́dos (z e w) e editar nos eixos coordenados, como
a e c , b e d, respectivamente as partes reais e imaginárias de z, e w, como no Passo 5,
da atividade 1.
Passo 11: Peça para os alunos calcularem o ângulo formado em cada vértice e comparar os ângulos opostos. Sugira que eles comentem sobre os resultados e calculem a
medida dos segmentos paralelos.
Gostarı́amos de salientar que é necessário acrescentar mais alguns comentários para
os números complexos nessa atividade, ficando a critério do professor fazer os encaminhamentos necessários entre as definições de Número Complexo e a manipulação com o
programa. Mas de uma maneira geral, essa atividade é uma oportunidade de caracterizar
uma propriedade geométrica dos números complexos. Assim segue a construção feita
anteriormente.
Figura 3.4: Soma de 2 complexos
Nessa atividade querı́amos explorar os números complexos, através da soma de dois
entes dessa natureza. O resultado dessa atividade é uma conseqüência natural da conjectura de Hamilton no século XIX, em que associou os números complexos como pares
de vetores. Nesse sentido, o docente pode explorar diversas conjecturas, como a localização desse novo número complexo, fazer uma relação com o conceito matemático de
vetor presente na fı́sica, e discutir a apresentação geométrica dessa operação.
Atividade 3.2.3 Nessa próxima atividade temos como objetivo a apresentação do conjugado de um número complexo utilizando o Cabri.
35
Passo 1: Peça para os alunos mostrarem os eixos clicando na janela 11 e posteriormente rotularem a origem como O, através da janela 10, e por fim, editarem as palavras
Re(z) e Im(z) como rótulos dos eixos.
Passo 2: Através da janela 2 marque um ponto e o rotule de z. Em seguida, através
da janela 3, marque o vetor correspondente.
Passo 3: Peça para os alunos escreverem as coordenadas desse vetor através da janela
9 opção “Equação e Coordenadas”.
Passo 4: Chame de w outro número complexo, de modo que z e w possuam a parte
imaginária simétricos entre si, mas mesma parte real. Em seguida, através da janela 3,
marque o vetor correspondente.
Passo 5: Utilizando a soma de vetores na janela 5 some w +z. Sugira para seus alunos
comentarem o resultado e o rotularem, através da janela 10.
Nesse comentário compete aos alunos associarem as coordenadas do número complexo como número real. Tem o professor uma boa oportunidade de explorar algumas
propriedades que envolvem o conjugado, como a soma de um complexo z com o seu conjugado, comprimento de z e de seu conjugado.
Passo 6: Sugira aos alunos que calculem o comprimento dos vetores z e w e pergunte
se existem outras maneiras algébricas de calcular essas distâncias.
Aproveitando a oportunidade, o docente pode abordar temas como distância entre dois
pontos. Abaixo podemos ver a construção feita nessa atividade.
Figura 3.5: Manipulando com o conjugado
Atividade 3.2.4 Temos como objetivo nessa atividade trabalharmos as multiplicações de
um número complexo sucessivamente por i.
36
Passo 1: Sugira aos alunos abrirem o Cabri e mostrarem os eixos através da janela 11
em seguida marcar os eixos real e imaginário através da janela 10 na seção comentário.
Passo 2: Peça aos alunos para considerarem o número complexo z = 3i, marcando-o
e o rotulando em seguida.
Passo 3: Sugira que marquem o número complexo iz, e as sucessivas multiplicações
de z por i. Peça para considerarem i2 = −1 , fazendo as contas manualmente. Pergunte
a eles quais são as conseqüências dessas multiplicações. Encontrando assim os números
complexos iz = −3, t = −3i e por fim g = 3. Marque esses números complexos através
da janela 2.
Passo 4: Sugira que os alunos determinem os vetores, através da janela 3. A partir
das coordenadas de z, iz, t, g peça ao grupo que meça o ângulo de cada número complexo
ou vetor, através da janela 9 e a marca de cada ângulo a partir da janela 10.
Passo 5: Através dos números complexos multiplicados sucessivas vezes por i, qual a
melhor curva que vai se adequar aos pontos encontrados?
Compete ao docente discutir noções intuitivas de circunferência, abordando sua forma
reduzida e trabalhar distância entre pontos para definir o raio da circunferência, como
mostraremos a seguir na figura 12.
Figura 3.6: Rotações
Nessa atividade 4 tivemos como objetivo, propor a discussão das sucessivas multiplicações por i e mostrar que elas produzem uma quantidade limitada de números complexos, que se repetem de quatro em quatro multiplicações, fundamentando o caráter
37
geométrico e o algoritmo utilizado nas potências de i, ou seja, as rotações.
Poderı́amos também discutir com o grupo essas rotações de 90o que um número sofre
ao ser multiplicado por i, totalizando 360o após 4 multiplicações, coincidindo com o
ponto inicial. Portanto, podemos fazer algumas indagações, principalmente na forma
trigonométrica, que será destacada na atividade 5. Abaixo segue alguns questionamentos:
• A partir das considerações geométricas qual seria a fórmula geral que representaria
essa circunferência analisada?
• Qual a relação entre o módulo do número complexo e a distância da origem a
qualquer ponto desse cı́rculo?
• Qual a expressão matemática que representa o diâmetro em relação ao módulo de
z?
• Se pensássemos em três pontos: um interno, um pertencente à circunferência e outro
fora do cı́rculo como poderı́amos relacionar com o módulo de z?
• Como você relacionou o raio da circunferência e o módulo de z, se fosse com o
conjugado de z terı́amos alguma diferença?
Esses são questionamentos significativos que apresentamos nessa atividade, fornecendo
uma riqueza de conceitos e interpretações geométricas, que se apropriam do caráter visual
defendido por Gusmàn (1996), como um instrumento de ensino de matemática.
Atividade 3.2.5 Temos como meta nessa atividade trabalhar a forma trigonométrica de
um número complexo e suas principais conseqüências.
Passo 1: Mostre os eixos coordenados janela 11 e marque a origem O do sistema com
o ı́cone ”Comentário”. Também rotule Re(z), Im(z) e escreva z como Re(z) + Im(z)i,
através da janela 10.
Passo 2: Marque um ponto no plano utilizando a janela 2, e uma circunferência
passando por esse ponto e centrada na origem, através da janela 4.
Passo 3: Marque as coordenadas desse ponto (janela 9) e o represente nos respectivos
eixos utilizando a opção calculadora. Depois marque o vetor de origem O, e extremidade
no ponto construı́do sobre a circunferência, utilizando a janela 3. Também determine o
seu comprimento a partir da janela 9.
Passo 4: Marque as retas, construindo-as perpendicularmente aos eixos, passando pelo
ponto construı́do na circunferência. Posteriormente crie segmentos que ligam o ponto a
cada eixo coordenado (sobre a reta), e por fim, peça para esconder as retas perpendiculares
construı́das, na janela 11.
38
Passo 5: Marque o rótulo de z, na circunferência, já construı́do anteriormente. Depois
determine o ângulo que é formado pelo vetor e o eixo real, e a sua marca através das
d através do ponto construı́do
janelas 9 e 10, respectivamente. Marque o ângulo reto zaO,
na circunferência unitária. Segue abaixo a manipulação feita no Cabri.
Figura 3.7: Forma Trigonométrica
A partir dessa construção poderemos instigar os alunos a reconstruir a idéia de número
complexo, utilizando os elementos presentes nessa manipulação, como o módulo, o ângulo
do vetor formado com o eixo Re(z). Assim teremos uma nova representação para o
número complexo, partindo das relações do triângulo retângulo que podem ser sugeridas,
envolvendo o módulo e as partes real e imaginária, na chamada forma trigonométrica,
descrita por:
z = |z|(cos(θ) + isen(θ))
Será uma boa oportunidade para destacar as propriedades na forma trigonométrica
de um número complexo, com o ângulo θ variando de 0 a 2kπ . Com essa idéia podemos
representar vários números complexos variando simplesmente o valor de k, onde k ∈ Z.
39
Considerações Finais
A informática é um veı́culo que pode ser explorado no ensino de matemática, por isso,
esperamos que esse material seja um ponto de partida para algumas atividades utilizando
o Cabri. Assim, pretendemos com esse trabalho incentivar os docentes a inserir, quando
possı́vel, as novas tecnologias na sala de aula. Deste modo, o professor poderá aguçar a
curiosidade dos discentes em cada comando executado.
A partir desse programa, esperamos melhorar a visualização geométrica de muitos
objetos com os números complexos que, para muitos, ficam apenas no papel.
As atividades que foram sugeridas nesse trabalho servem, inicialmente, para uma
discussão sobre alguns conceitos dos números complexos que podem ser ilustrados por
meio do software Cabri-Géomètre II. Fica a critério do docente trabalhar esses conceitos
através do programa, ou manipular-los a partir de um conhecimento prévio do tema.
É importante que o decente ministre uma aula sobre os comandos básicos do Cabri
para os alunos, pois essa instrumentalização sobre o Cabri, é importante para conhecer
alguns comandos, e assim dar um melhor andamento nas atividades.
Temos que considerar a história dos números complexos como um meio interessante
para pontuar seu ensino na matemática, pois existem em relação aos números complexos
algumas contradições sobre a sua origem, que devem ser comentadas pelo professor, para
que haja uma boa compreensão do que foi, e do que é um número complexo.
Sobre as aplicações dos números complexos temos algumas ressalvas, pois depende
muito do conhecimento prévio da turma, que dependendo das discussões sobre essas
aplicações, possa por hora, não serem interessantes para os alunos. A junção da geometria analı́tica e a trigonometria com os números complexos pode motivar os estudantes
na manipulação desse tema.
A geometria fractal, por exemplo, pode ser explorada pelo professor, através do aplicativo xaos, que gera fractais. O docente pode fazer uma correspondência entre a geometria
plana e a geometria fractal, apesar desse trabalho não ter aprofundado as suas atenções
nas aplicações dos números complexos.
A informática é um meio em que deve-se acreditar, pois o mundo sofre uma transformação constante nesse meio, principalmente na criação de novos softwares e no acesso
mais comum dos estudantes a computadores, no âmbito da exploração da internet.
Ter um professor preparado é fundamental para o processo de ensino e aprendizagem,
41
a fim de incitar e conduzir discussões importantes na exploração dos softwares no contexto escolar. Nesse sentido, esperamos mais projetos de cunho estadual e federal que
possam capacitar os docentes e instrumentalizar as escolas na prática do ensino através
da informática.
42
Referências Bibliográficas
[1] ARAÚJO, M.L, et al., A Planilha Excel como Instrumento Pedagógico na Formação
do Professor de Matemática. Zetetiké, v.13, no 23. Campinas: 2005.
[2] BALDIN, Y.Y., VILLAGRA, Y.Y., Atividades com Cabri-Céomètre II para Cursos de
Licenciatura em Matemática e Professores do Ensino Fundamental e Médio. UFSCar,
São Carlos: 2001.
[3] BELL, E.T., Ampliações Del Concepto de Número, artigo, Madri: 1997.
[4] BORBA, M.C., et al., Informática e Educação Matemática, 2a ed., Belo Horizonte,
Autêntica: 2001.
[5] BORBA, M.C., et al., A Informática em Ação, São Paulo, Olho d’água: 2000.
[6] BORGES, C, C., Folhetim de Educação Matemática, UEFS, Janeiro: 1996.
[7] CARNEIRO, J.P.,WANDERLEY,A.,
Dinâmica,in:http://ensino.univates.br/
07/07/2007
Os Números Complexos e Geometria
chaet/Materiais/complexos.Acessado em
[8] CRUZ, C.M., Introdução ao Estudo dos Fractais:História,Topologia e Sistemas
dinâmicos Complexos, UEFS: 2008(inédito).
[9] EVES, H., Introdução à História da Matemática, São Paulo, Unicamp: 1997.
[10] FIGUEIREDO, V.L.X. e SANTOS, S.A., O Computador no Ensino de Cálculo: O
Problema no Lixo da UNICAMP. Zetetiké, v.5, no 7. Campinas: 1997.
[11] GARBI, G.G., O Romance das Equações Algébricas, São Paulo, Makron Books: 1992.
[12] GUZMÁN, M., El Papel de la Visualización, Pirâmide, Madrid: 1996.
[13] HAUSER, A.A., Complex variables with physical applications, E.U.A:1966.
[14] HENRIQUES,A.,Dinâmica Dos elementos da Geometria Plana em Ambiente Computacional Cabri Géomètre II, UESC:2001.
[15] LIMA, E.L., A Matemática do Ensino Médio, Impa, Rio de Janeiro: 2002.
43
[16] LIMA, E.L., et al,Exame de Textos: Análise de Livros de Matemática para o Ensino
Médio, SBM, Rio de Janeiro:2001.
[17] KARLSON, P.A., A Magia dos Números, São Paulo, Globo: 1961.
[18] MEYER, J.F.C.A., JÚNIOR, A.J.S., A Utilização do Computador no Processo de
Ensinar- Aprender Cálculo: a constituição de grupos de ensino com pesquisa no interior da universidade, Zetetiké, v.10, no 17/18, Campinas:2002.
[19] MILIES, C.P; A Emergência Dos Números Complexos, RPM, no 24: 1993.
[20] MIRANDA, D.F. M. e LAUDARES, J.B., Informatização no Ensino da Matemática:
Investigando no Ambiente de Aprendizagem. Zetetiké, v.15, no 27, Minas:2007.
[21] ROCHA, L.R., A Concepção de Pesquisa no Cotidiano Escolar: Possibilidades de
Utilização da Metodologia Webquest na Educação pela Pesquisa. UFP, Curitiba: 2001.
[22] MORGADO, A.C., et al, em Trigonometria e Números Complexos,IMPA, Rio de
Janeiro:2001.
[23] SERRA, C.P. KARAS, E.W., Fractais Gerados por sistemas dinâmicos complexos,
Coritiba, Champagnat: 1997.
[24] SOUZA, M.J.A.,Iformática Educativa na Educação Matemática:Estudo de Geometria
no Ambiente do Software Cabri Géomètre,Ceará:2001.
[25] STRUIK, D.J., História Concisa da Matemática, Lisboa, Gradiva: 1992.
[26] STRUIK, D.J., La Matemática Sus Orı́genes
www.elaleph.com,1999. Acessado em 16/03/2007.
Y
Su
Desarrollo,
in:
[27] http://www.cabri.com.br/index.php. Acessado em 20/05/2005.
[28] http://www.lec.ufrgs.br index.php Projeto UCA (Um Computador por Aluno). Acessado em 10/06/2008.
[29] fractalhttp://www.futuro.eng.br/ images/ fractais.jpg. Acessado dia 08 de agosto de
2008.
[30] http://www1.webng.com/nbittencourt. Acessado em 12/10/2008.
44