MA211 - Lista 04
Regra da Cadeia, Derivadas
Direcionais e Vetor Gradiente
21 de agosto de 2015
1. Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt.
a) z = x2 y + xy 2 ,
p
b) z = x2 + y 2 ,
x = 2 + t2 ,
y = e−2t .
√
x = πt, y = t.
x = e2t ,
c) F z = sen x cos y,
d) z = tg−1 (x/y),
e) w = xey/z ,
y = 1 − t3 .
y = 1 − e−t .
x = et ,
x = t2 ,
y = 1 − t,
z = 1 + 2t.
2. Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂s e ∂z/∂t.
a) z = x2 y 3 ,
x = s cos t,
x = s2 + t2 ,
b) z = arcsen(x − y),
c) F z = sen θ cos φ,
d) z = ex+2y ,
y = s sen t.
θ = st2 ,
x = s/t,
y = 1 − 2st.
φ = s2 t.
y = t/s.
√
θ = s2 + t2 .
e) z = er cos θ,
r = st,
f ) z = tg(u/v),
u = 2s + 3t,
v = 3s − 2t.
3. Se z = f (x, y), onde f é diferenciável, e
x = g(t)
g(3) = 2
g 0 (3) = 5
fx (2, 7) = 6
y = h(t)
h(3) = 7
h0 (3) = −4
fy (2, 7) = −8,
determine dz/dt quando t = 3.
4. Seja W (s, t) = F (u(s, t), v(s, t)), onde F ,
u(1, 0) = 2
us (1, 0) = −2
ut (1, 0) = 6
Fu (2, 3) = −1
u e v são diferenciáveis, e
v(1, 0) = 3
vs (1, 0) = 5
vt (1, 0) = 4
Fv (2, 3) = 10.
Determine Ws (1, 0) e Wt (1, 0).
5. Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso
dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.
a) w = f (r, s, t), onde r = r(x, y),
s = s(x, y),
b) t = f (u, v, w), onde u = u(p, q, r, s),
1
t = t(x, y).
v = v(p, q, r, s),
w = w(p, q, r, s).
6. Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
a) F z = x2 + xy 3 , x = uv 2 + w3 , y = u + uew ;
∂z
∂z
∂z
,
,
quando u = 2, v = 1, w = 0.
∂u
∂v
∂w
√
b) u = r2 + s2 , r = y + x cos t, s = x + y sen t;
∂u
∂u
∂u
,
,
quando x = 1, y = 2, t = 0.
∂x
∂y
∂t
c) Y = w tg−1 (uv), u = r + s, v = s + t; w = t + r
∂Y
∂Y
∂Y
,
,
quando r = 1, s = 0, t = 1.
∂r
∂s
∂t
7. Utilizando derivação implı́cita, determine dy/dx.
√
a) xy = 1 + x2 y
b) cos(x − y) = xey
8. Utilizando derivação implı́cita, determine ∂z/∂x e ∂z/∂y.
a) x2 + y 2 + z 2 = 3xyz
b) xyz = cos(x + y + z)
c) yz = ln(x + z)
9. A temperatura em um ponto (x, y) é T (x, y), medida em graus Celsius. Um
inseto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por
√
1
x = 1 + t e y = 2 + t, onde x e y são medidas em centı́metros. A função
3
temperatura satisfaz Tx (2, 3) = 4 e Ty (2, 3) = 3. Quão rápido a temperatura
aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?
10. F O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o
tempo. Em certo instante, as dimensões da caixa são l = 1 m e w = h = 2 m.
l e w aumentam a uma taxa de 2 m/s, ao passo que h diminui a uma taxa de
3 m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades
estão variando.
a) O volume.
b) A área da superfı́cie.
c) O comprimento da diagonal.
11. Se z = f (x, y), onde x = r cos θ e y = r sen θ,
∂z ∂z
e
.
∂r ∂θ
2 2 2
2
∂z
∂z
∂z
1 ∂z
b) Mostre que
+
=
+ 2
.
∂x
∂y
∂r
r ∂θ
a) Determine
2
12. Se u = f (x, y), onde x = es cos t e y = es sen t, mostre que
∂u
∂x
2
+
∂u
∂y
2
−2s
=e
∂u
∂s
2
+
∂u
∂t
2 .
13. Se z = f (x − y), mostre que
∂z ∂z
+
= 0.
∂x ∂y
14. Mostre que qualquer função da forma
z = f (x + at) + g(x − at)
é uma solução da equação de onda
2
∂ 2z
2∂ z
=
a
.
∂t2
∂x2
(Sugestão: Tome u = x + at, v = x − at.)
15. Se z = f (x, y), onde x = r2 + s2 e y = 2rs, determine ∂ 2 z/∂r∂s. (Compare
com o Exemplo 7, Seção 14.5 de [1].)
16. Suponha que a equação F (x, y, z) = 0 defina implicitamente cada uma
das três variáveis x, y e z como função das outras duas: z = f (x, y),
y = g(x, y) e x = h(y, z). Se F for diferenciável e Fx , Fy e Fz forem todas não nulas, mostre que
∂z ∂x ∂y
= −1.
∂x ∂y ∂z
17. Calcule dz/dt pelos dois processos descritos no Exemplo 2, Seção 12.1 de [2].
a) z = sen(xy), x = 3t e y = t2 .
b) z = x2 + 3y 2 , x = sen t e y = cos t.
c) z = ln(1 + x2 + y 2 ), x = sen 3t e y = cos 3t.
18. Seja g(t) = f (3t, 2t2 − 1).
0
a) Expresse g (t) em termos das derivadas parciais de f .
∂f
1
0
b) Calcule g (0) admitindo
(0, −1) = .
∂x
3
3
19. Expresse ∂z/∂t em termos das derivadas parciais de f , sendo z = f (x, y) e
a) x = t2 e y = 3t.
b) x = sen 3t e y = cos 2t.
20. Suponha que, para todo t, f (t2 , 2t) = t3 − 3t. Mostre que
∂f
∂f
(1, 2) = − (1, 2).
∂x
∂y
21. Suponha que, para todo x, f (3x, x3 ) = arctg(x).
∂f
∂f
(3, 1) admitindo
(3, 1) = 2.
∂x
∂y
b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (3, 1, f (3, 1)).
a) Calcule
22. Admita que, para todo (x, y),
4y
∂f
∂f
(x, y) − x
(x, y) = 2.
∂x
∂y
0
Calcule g (t), sendo g(t) = f (2 cos t, sen t).
23. Admita que, para todo (x, y),
4y
∂f
∂f
(x, y) − x
(x, y) = 0.
∂x
∂y
Prove que f é constante sobre a elipse
x2
+ y 2 = 1.
4
24. Seja z = f (u + 2v, u2 − v). Expresse ∂z/∂u e ∂z/∂v em termos das derivadas
parciais de f .
25. Seja z = f (u − v, v − u). Verifique que
∂z ∂z
+
= 0.
∂u ∂v
x y
26. Considere a função F (x, y) = f
,
. Mostre que
y x
x
∂F
∂F
+y
= 0.
∂x
∂y
27. f (t) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que g(t, f (t)) = 0 para todo t.
∂g
∂g
(0, 1) = 2 e
(0, 1) = 4. Determine a equação da
Suponha f (0) = 1,
∂x
∂y
reta tangente a γ(t) = (t, f (t)), no ponto γ(0).
4
28. f (x, y, z) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que, para todo (x, y) no
∂f
domı́nio de g, f (x, y, g(x, y)) = 0. Suponha g(1, 1) = 3,
(1, 1, 3) = 2,
∂x
∂f
∂f
(1, 1, 3) = 5 e
(1, 1, 3) = 10. Determine a equação do plano tangente
∂y
∂z
ao gráfico de g no ponto (1, 1, 3).
29. Seja g(t) = f (3t2 , t3 , e2t ) e suponha
∂f
(0, 0, 1) = 4.
∂z
0
a) Expresse g (t) em termos das derivadas parciais de f.
0
b) Calcule g (0).
30. Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo
menos uma função diferenciável y = y(x). Expresse dy/dx em termos de x e
y.
a) x2 y + sen(y) = x
b) y 4 + x2 y 2 + x4 = 3
31. Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos
uma função diferenciável z = z(x, y). Expresse ∂z/∂x e ∂z/∂y em termos
de x, y e z.
a) ex+y+z + xyz = 1
b) x3 + y 3 + z 3 = x + y + z
32. Afunção
diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela equação
x
∂f
f
, z = 0, onde f (u, v) é suposta diferenciável e
(u, v) 6= 0. Veriy
∂v
fique que
∂z
∂z
+y
= 0.
x
∂x
∂y
33. Afunção diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela equação
x z
f
,
= 0 (λ 6= 0 um número real fixo), onde f (u, v) é suposta diy xλ
∂f
(u, v) 6= 0. Verifique que
ferenciável e
∂v
x
∂z
∂z
+y
= λz.
∂x
∂y
5
34. Nos itens abaixo: (i) expresse dw/dt como uma função de t, usando a Regra
da Cadeia, expressando w em termos de t e diferenciando em relação a t;
(ii) calcule dw/dt no valor dado de t.
a) w = x2 + y 2 ,
x = cos t,
b) w = x2 + y 2 ,
x = cos t + sen t,
y = sen t;
t = π.
y = cos t − sen t;
t = 0.
35. Nos itens abaixo: (i) expresse ∂w/∂u e ∂w/∂v como funções de u e v, usando
a Regra da Cadeia e também expressando w diretamente em termos e u e v
antes de diferenciar; (ii) calcule ∂w/∂u e ∂w/∂v no ponto dado (u, v).
a) w = xy + yz + xz,
2
2
y = u − v,
x = u + v,
2
b) w = ln(x + y + z ),
(u, v) = (−2, 0).
v
z = uv;
(u, v) = (1/2, 1).
v
x = ue sen u,
y = ue cos u,
z = uev ;
36. Encontre os valores de ∂z/∂x e ∂z/∂y nos pontos indicados.
a) z 3 − xy + yz + y 3 − 2 = 0, (1, 1, 1).
1 1 1
b) + + − 1 = 0, (2, 3, 6).
x y z
37. Encontre ∂w/∂r quando r = 1, s = −1 se w = (x + y + z)2 , x = r − s,
y = cos(r + s), z = sen(r + s).
38. Se f (u, v, w) é diferenciável, u = x − y, v = y − z e w = z − x, mostre que
∂f
∂f
∂f
+
+
= 0.
∂x ∂y
∂z
39. Suponha que substituamos coordenadas polares x = r cos θ e y = r sen θ
em uma função diferenciável w = f (x, y).
a) Mostre que
∂w
= fx cos θ + fy sen θ
∂r
e
1 ∂w
= −fx sen θ + fy cos θ.
r ∂θ
b) Resolva as equações no item (a) para expressar fx e fy em termos de
∂w/∂r e ∂w/∂θ.
c) Mostre que
2
2
(fx ) + (fy ) =
6
∂w
∂r
2
1
+ 2
r
∂w
∂θ
2
.
40. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à razão de
0, 01 cm/min e 0, 02 cm/min, respectivamente.
a) Ache a taxa de variação do volume quando r = 4 cm e h = 7 cm.
b) A que taxa a área da superfı́cie curva está variando nesse instante?
41. Os lados iguais e o ângulo correspondente de um triângulo isósceles estão
aumentando à razão de 3 cm/h e 2◦ /h, respectivamente. Ache a taxa à qual
a área do triângulo está aumentando no instante em que o comprimento de
cada um dos lados iguais é de 6 metros e o ângulo correspondente é 60◦ .
42. Quando o tamanho das moléculas e suas forças de atração são levadas em
conta, a pressão P , o volume V e a temperatura T de um mol de gás confinado
estão relacionados pela equação de van der Waals
a
P + 2 (V − b) = kT,
V
em que a, b e k são constantes positivas. Se t é o tempo, estabeleça uma
fórmula para dT /dt em termos de dP/dt, dV /dt, P e V .
43. Suponha que u = f (x, y) e v = g(x, y) verifiquem as equações de
Cauchy- Riemann ux = vy e uy = −vx . Se x = r cos θ e y = r sen θ, mostre
que
1 ∂v
∂v
1 ∂u
∂u
=
e
=−
.
∂r
r ∂θ
∂r
r ∂θ
44. Seja g(x, y) = f (x2 + y 2 ), onde f : R → R é uma função diferenciável.
Mostre que
∂g
∂g
y
−x
= 0.
∂x
∂y
45. Suponha que w = f (x, y) é diferenciável e que exista uma constante α tal
que
x = u cos(α) − v sen(α)
y = u sen(α) + v cos(α).
Mostre que
∂w
∂u
2
+
∂w
∂v
2
=
∂w
∂x
2
+
∂w
∂y
2
.
46. Se z = f (x, y) com x = u + v e y = u − v, demonstre que
∂z ∂z
∂f
+
=2 .
∂u ∂v
∂x
7
47. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada
pelo ângulo θ.
a) f (x, y) = x2 y 3 − y 4 ,
b) f (x, y) = ye−x ,
(2, 1),
(0, 4),
θ = π/4.
θ = 2π/3.
48. Nos itens (a) - (d): (i) determine o gradiente de f ; (ii) calcule o gradiente
no ponto P ; e (iii) determine a taxa de variação de f em P na direção do
vetor u.
5 12
, 13 .
a) F f (x, y) = 5xy 2 − 4x3 y, P = (1, 2), u = 13
b) f (x, y) = y ln x, P = (1, −3), u = − 45 , 35 .
2 1
2
,
−
,
.
c) f (x, y, z) = xe2yz , P = (1, −3),
3
3 3
√
d) f (x, y, z) = x + yz, P = (1, 3, 1), u = 27 , 37 , 76 .
49. Calcule ∇f (x, y).
a) f (x, y) = x2 y
x
c) f (x, y) =
y
b) f (x, y) = ex
2 −y 2
d) f (x, y) = arctg
x
y
50. Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule ∇f (x, y, z).
p
a) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
b) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
2
x
c) f (x, y, z) = (x2 + y 2 + 1)z
d) f (x, y, z) = z arctg
y
51. Seja f uma função de três variáveis independentes x, y e z. Mostre que
Di f = fx , Dj f = fy e Dk f = fz .
52. Calcule Du f (x0 , y0 ), sendo dados
a) f (x, y) = x2 − 3y 2 , (x0 , y0 ) = (1, 2) e u o versor de 2i + j.
b) f (x, y) = ex
2 −y 2
, (x0 , y0 ) = (1, 1) e u o versor de (3, 4).
x
c) f (x, y) = arctg , (x0 , y0 ) = (3, 3) e u = √12 , √12 .
y
d) f (x, y) = xy, (x0 , y0 ) = (1, 1) e u o versor de i + j.
53. Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do
vetor v.
√
a) f (x, y) = 1 + 2x y,
b) g(p, q) = p4 − p2 q 3 ,
(3, 4),
(2, 1),
v = (4, −3) .
v = (−1, 2) .
c) f (x, y, z) = xey + yez + zex , (0, 0, 0), v = (5, 1, −2) .
√
d) f (x, y, z) = xyz, (3, 2, 6), v = (−1, −2, 2) .
8
54. Determine a derivada direcional de f (x, y, z) = xy+yz+zx em P = (1, −1, 3)
na direção de Q = (2, 4, 5).
55. F Considere a função
(
x + y,
f (x, y) =
1,
se xy = 0,
caso contrário.
Mostre que f não possui derivada direcional em (0, 0) na direção de um vetor
v = (a, b) com a2 + b2 = 1 e ab 6= 0.
√
56. Considere o vetor unitário u = ( 3/2, 1/2) e a função

2
 xy ,
se (x, y) 6= (0, 0),
f (x, y) = x2 + y 4

0,
se (x, y) = (0, 0).
a) Determine a derivada direcional Du f (0, 0).
b) Explique por que o produto escalar ∇f (0, 0) · u não fornece a derivada
direcional de f em (0, 0) na direção de u.
57. Encontre a derivada direcional de f (x, y) = x2 + y 2 na direção do versor
tangente da curva
r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t − t cos t)j,
t > 0.
58. Seja f : R → R uma função diferenciável de uma variável. Defina
p
g(x, y) = f (r), r = x2 + y 2 .
Calcule a derivada direcional da função g no ponto (x, y) 6= (0, 0) e na direção
do vetor (x, y).
59. Determine as direções em que a derivada direcional da função
f (x, y) = x2 + sen xy no ponto (1, 0) tem valor 1.
60. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em
que isso ocorre.
a)
b)
c)
d)
y2
f (x, y) = , (2, 4).
x
f (x, y) = sen xy, (1, 0).
x+y
f (x, y, z) =
, (1, 1, −1).
z
p
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , (3, 6, −2).
e) f (x, y, z) = tg (x + 2y + 3z),
(−5, 1, 1).
9
61. Existe uma direção u na qual a taxa de variação de f (x, y) = x2 − 3xy + 4y 2
em P = (1, 2) é igual a 14? Justifique sua resposta.
62. Mostre que uma função diferenciável f decresce mais rapidamente em x na
direção oposta à do vetor gradiente, ou seja, na direção de −∇f (x).
63. Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto
dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a) f (x, y) = x2 + xy + y 2 em (1, 1).
b) f (x, y) = ln ||(x, y)|| em (1, −1).
p
1
2
2
.
c) f (x, y) = 4 − x − 2y em 1,
2
64. A superfı́cie de um lago é representada por uma região D no plano xy, tal
que a profundidade (em pés) sob o ponto correspondente a (x, y) é dada por
f (x, y) = 300 − 2x2 − 3y 2 .
Se um nadador está no ponto (4, 9), em que direção deve nadar para que a
profundidade sob ele decresça mais rapidamente?
x
65. Seja f (x, y) = x arctg . Calcule Du f (1, 1), em que u aponta na direção e
y
sentido de máximo crescimento de f , no ponto (1, 1).
66. Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função
f (x, y) = x2 + y 2 − 2x − 4y é i + j.
67. Seja
f (x, y) = x − y sen (π(x2 + y 2 )).
a) Calcule a √
derivada direcional de f no ponto (0, 0) na direção de
v = (1/2, 3/2).
b) Em que direção a taxa de variação de f no ponto (0, 0) é máxima? Qual
é o valor da taxa máxima nesse ponto?
68. Considere a função
f (x, y) = ln (x2 + y 2 ).
a) Determine a taxa de variação máxima de f em (1, 1) e a direção em que
isso ocorre.
b) Determine a derivada direcional de f em (1, 1) na direção do vetor
v = (3, 4).
10
69. A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à
distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura
no ponto (1, 2, 2) é de 120◦ .
a) Determine a taxa de variação de T em (1, 2, 2) em direção ao ponto
(2, 1, 3).
b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento
na temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem.
70. A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por
T (x, y, z) = 200e−x
2 −3y 2 −9z 2
,
em que T é medido em ◦ C e x, y e z em metros.
a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P = (2, −1, 2)
em direção ao ponto (3, −3, 3).
b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P ?
c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P .
71. Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja
dado por V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz.
a) Determine a taxa de variação do potencial em P = (3, 4, 5) na direção do
vetor v = i + j − k.
b) Em que direção V varia mais rapidamente em P ?
c) Qual a taxa máxima de variação em P ?
72. Seja f uma função de duas variáveis que tenha derivadas parciais contı́nuas
e considere os pontos A = (1, 3), B = (3, 3), C = (1, 7) e D = (6, 15). A
−→
derivada direcional em A na direção do vetor AB é 3, e a derivada direcional
−→
em A na direção AC é 26. Determine a derivada direcional de f em A na
−−→
direção do vetor AD.
73. Mostre que a operação de calcular o gradiente de uma função tem a propriedade fornecida. Suponha que u e v sejam funções de x e y, diferenciáveis, e
a e b sejam constantes.
b) ∇(uv) = u∇v + v∇u
a) ∇(au + bv) = a∇u + b∇v
u v∇u − u∇v
d) ∇un = nun−1 ∇u
=
c) ∇
v
v2
74. É dada uma curva γ que passa pelo ponto γ(t0 ) = (1, 3) e cuja imagem está
contida na curva de nı́vel x2 + y 2 = 10. Suponha γ 0 (t0 ) 6= 0.
a) Determine a equação da reta tangente a γ no ponto (1, 3).
b) Determine uma curva γ(t) satisfazendo as condições acima.
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75. Determine a equação da reta tangente à curva γ no ponto γ(t0 ) = (2, 5)
sabendo-se que γ 0 (t) 6= 0 e que sua imagem está contida na curva de nı́vel
xy = 10. Qual a equação da reta normal a γ, neste ponto?
76. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfı́cie
dada, no ponto dado.
a) x2 + 3y 2 + 4z 2 = 8, em (1, −1, 1).
1
, 1, 3 .
b) 2xyz = 3, em
2
c) zex−y + z 3 = 2 em (2, 2, 1).
d) x2 − 2y 2 + z 2 + yz = 2 em (2, 1, −1).
77. F A função diferenciável z = f (x, y) é dada implicitamente pela equação
x3 + y 3 + z 3 = 10. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f
no ponto (1, 1, f (1, 1)).
78. Se g(x, y) = x2 + y 2 − 4x, encontre o vetor gradiente ∇g(1, 2) e use-o para
encontrar a reta tangente à curva de nı́vel g(x, y) = 1 no ponto (1, 2). Esboce
a curva de nı́vel, a reta tangente e o vetor gradiente.
79. Determine a equação da reta tangente à curva de nı́vel dada, no ponto dado.
a) x2 + xy + y 2 − 3y = 1, em (1, 2).
1
2x−y
b) e
+ 2x + 2y = 4, em
,1 .
2
80. Seja g(x, y) = f (x2 + y 2 ), em que f é uma função diferenciável. Sabendo que
f 0 (2) = 1, determine a equação da reta tangente à curva de nı́vel de g que
passa pelo ponto (1, 1).
81. Mostre que a equação do plano tangente ao elipsoide x2 /a2 +y 2 /b2 +z 2 /c2 =
1 no ponto (x0 , y0 , z0 ) pode ser escrita como
xx0 yy0 zz0
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
82. Determine uma reta que seja tangente à elipse 2x2 + y 2 = 3 e paralela à reta
2x + y = 5.
83. Determine uma reta que seja tangente à curva x2 + xy + y 2 = 7 e paralela à
reta 4x + 5y = 17.
84. Existem pontos no hiperboloide x2 − y 2 − z 2 = 1 nos quais o plano tangente
é paralelo ao plano z = x + y?
85. Determine os pontos da superfı́cie x2 + 2y 2 + 3z 2 = 1 nos quais o plano
tangente é paralelo ao plano 3x − y + 3z = 1.
12
11
86. Determine um plano que seja tangente à superfı́cie x2 + 3y 2 + 2z 2 =
e
6
paralelo ao plano x + y + z = 10.
87. Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva formada pela
intersecção do paraboloide z = x2 + y 2 com o elipsoide 4x2 + y 2 + z 2 = 9 no
ponto (−1, 1, 2).
88. a) Duas superfı́cies são ditas ortogonais em um ponto de intersecção se
suas normais são perpendiculares nesse ponto. Mostre que superfı́cies
com equação F (x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0 são ortogonais em um ponto
P , em que ∇F 6= 0 e ∇G 6= 0, se, e somente se, em P ,
Fx Gx + Fy Gy + Fz Gz = 0.
b) Use a parte (a) para mostrar que as superfı́cies z 2 = x2 + y 2 e
x2 + y 2 + z 2 = r2 são ortogonais em todo ponto de intersecção. Você
pode ver isso sem fazer os cálculos?
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Referências
[1] J. Stewart. Cálculo, Volume 2, 6a Edição, São Paulo, Pioneira/ Thomson Learning.
[2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Cálculo, Volume 2, 5a Edição, 2002, Rio de
Janeiro.
[3] G. B. Thomas. Cálculo, Volume 2, 10a edição, São Paulo, AddisonWesley/Pearson,2002.
[4] C.H,Edwards Jr; D. E. Penney, Cálculo com Geometria Analı́tica, Volumes 2
e 3, Prentice Hall do Brasil, 1997.
[5] E. W. Swokowski, Cálculo com Geometria Analı́tica, Volume 2, 2a Edição,
Markron Books, 1995.
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