Matemática 2
aula 6
4.
GEOMETRIA PLANA – IV
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
PARA
SALA
Sendo AÔB = α, teremos a seguinte distribuição:
α=
q − AB
p
ACB
2
I.
Como CÔD = 60o, então:
3α = 60o
α = 20o
Resposta correta: B
2.
o
Se CD = R, então CD corresponde a um arco de 60 .
a−b
= 47 ⇒ a − b = 94
2
II. Como sabemos que a + b = 360°, temos o sistema:
⎧a + b = 360° +
⎨
⎩a − b = 94
α=
2a = 454
a = 227
a = 133
100o + 60o
2
α = 80o
Resposta correta: A
Resposta correta: 80º
3.
5.
Ângulo inscrito:
Temos a circunferência abaixo, de diâmetro AC .
1
1
do comde
3
4
primento de uma circunferência com raio de 48m. Daí,
como temos 4 pedaços, concluímos que:
1 1
Perímetro = 4 . . (2 . 48π ) = 32πm
3 4
Note que cada pedaço marcado vale
Resposta correta: C
Resposta correta: B
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
1
3.
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
Temos que:
I.
Como NB é lado de um triângulo equilátero, o arco NB
é igual ao ângulo central que este triângulo determina
na circunferência:
360°
NB = ac =
= 120°
3
BE
B C E =
2
25º =
O mesmo para AM :
BE
2
AM = ac =
BE = 50º
Como AB é diâmetro:
D = CD − BE
II. C A
2
40º =
AN + NB = 180°
I.
CD − 50º
2
AN + 120° = 180°
AN = 60°
CD = 130º
II. AM + MB = 180°
BE + CD
2
50º + 130º
x=
2
x = 90º
90° + MB = 180°
III. x =
MB = 90°
III. NAM = AN + AM = 60° + 90° = 150°
Resposta correta: A
2.
IV. NBM = NB + MB = 120° + 90° = 210°
Como a corda AC é o lado de um hexágono regular,
então o arco AC é igual ao ângulo central desse hexágono.
AC = ac =
Desta maneira:
α=
360° 360°
=
= 60°
n
6
AÔC = 60º
p
DB
2
60°
BÂD =
2
III. BÂD =
BÂD = 30°
NAM − NBM 210°−150°
=
= 30°
2
2
Resposta correta: 30º
4.
Desta maneira:
= AC
I. AOC
360°
= 90°
4
Considere o triângulo inscrito na circunferência. Como B
e C são fixos, o arco BC será constante.
= DB
II. DOB
60° = DB
DB = 60°
IV. CÔB + DÔB = 180°
CÔB + 60° = 180°
CÔB = 120°
Resposta correta: 30º e 120º
2
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
= BC .
O ângulo  será igual à metade do arco BC A
2
Para que o ângulo não mude, A tem de se localizar sobre o arco BEC ou sobre o arco BDC .
Desta maneira, o vértice A pode ser qualquer ponto dos
arcos BDC e BEC .
7.
Resposta correta: C
5.
I.
AB =
360º
6
AB = 60º
II. CD =
360º
4
CD = 90º
Observe que:
AB
α=
2
15° =
AB + CD
2
60º + 90º
180º – α =
2
180º – α = 75º
α = 105º
III. 180º – α =
BAD
β=
2
AB
2
β=
AB = 30°
AED + AB
2
como AED = 180°:
Resposta correta: E
180°+30°
2
β = 105°
β=
8.
A tangente forma com o raio um ângulo de 90°.
Resposta correta: B
6.
Os arcos AB =
360º
360º
= 45º e AC =
= 90º, por8
4
tanto:
Observe que os triângulos OCR e OQR são congruen = QOR
= α , da mesma maneira que
tes sendo OCR
CÔR = QÔR = β. PÔR = α + β.
I.
CB = 360º – 90º – 45º
CB = 225º
56º
CB =
4
B = CB
II. C A
2
5π
α= 4
2
5π
α=
rad
8
Resposta correta: C
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
3
Com os prolongamentos dos lados BH e FC obtemos o
ângulo α:
FH − BC 80°− 40°
α=
=
= 20°
2
2
Como o ângulo  é 28°
90° – 2β + 90° – 2α = 28°
2α + 2β = 180° – 28°
2(α + β) = 152°
O ângulo β é um ângulo inscrito:
120°
β=
= 60°
2
α + β = 76°
PÔR = 76º
O ângulo θ tem seu vértice no interior da circunferência
Resposta correta: 76º
9.
θ=
Lembrando:
• Todo polígono regular é inscritível a uma circunferência.
• Se o pentágono é regular, os seus vértices formam
cinco arcos iguais de 72°
O ângulo γ também tem seu vértice no interior, então:
γ=
α=
HG + DE 40°+ 40°
=
= 40°
2
2
p + AB
p
CD
2
GE + BD 80°+ 80°
=
= 80°
2
2
O único ângulo que não pode ser obtido é 30° .
Resposta correta: B
11. Temos que:
I.
I.
A B C =
x=
AEC
2
AEC
2
AEC = 2x
II. A E D =
II.
y=
ABD
2
ABD
2
ABD = 2y
III. ABC = ABD – CD
ABC = 2y – 60º
α=
72° + 144°
⇒ a = 108°
2
IV. ABC + AEC = 360º
2y – 60º + 2x = 360º
2x + 2y = 420º
x + y = 210º
Resposta correta: 108°
10. Cada arco mede
Resposta correta: D
360°
= 40° , pois cada AB é lado de
9
um eneágono.
12.
I.
4
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
II.
MGN − MFN
2
288
º
−
72º
M P N =
2
M P N = 108º
III. M P N =
Resposta correta: D
15. Como a corda AB é o lado de um triângulo equilátero,
360º
2π
então AB =
= 120º e α = AB = 120º =
rad
3
3
Resposta correta: 162°
Resposta correta: A
13. Observe a figura:
aula 7
GEOMETRIA PLANA – V
O
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
O E B =
70º =
SALA
Pela condição de existência de um triângulo, sabemos
que qualquer lado deve ser menor que a soma dos outros dois.
I.
I.
PARA
Da figura podemos localizar três triângulos:
ΔNOP, ΔPOM e ΔMON
AC + BD
2
AC + 90º
2
AC + 90º = 140º
AC = 50º
II. Do triângulo NOP, temos: 16 < a + c ⇒ a + c > 16
Do triângulo POM, temos: 18 < c + b ⇒ b + c > 18 +
Do triângulo MON, temos: 30 < a + b ⇒ a + b > 30
II. AC + CD = 180º
50º + CD = 180º
CD = 130º
2a + 2b + 2c > 64 ⇒
⇒ a + b + c ⇒ 32
CD − AC
2
130º − 50º
α=
2
α = 40º
III. α =
Resposta correta: C
2.
Resposta correta: D
14. I.
MGN + MFN = 360º
4 . MFN + MFN = 360º
5 MFN = 360º
MFN = 72º
Pela desigualdade triangular, temos:
AP + NA > PN
PB + BM > PM
Somando
NC + MC > MN
(AP + PB) + (AN + NC) + (BM + MC) > PN + PM + MN
AB + AC + BC > PN + PM + MN
II. MGN = 4 MFN
MGN = 4 . 72º
MGN = 288º
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
5
3.
Suponha que a medida seja 14cm, mas 14 + 14 < 38, absurdo, pois isso vai de encontro a desigualdade triangular.
Então 38cm é a resposta, mas mesmo assim, façamos o
teste, 38 + 38 > 14
38 + 14 > 38
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
I. 4y + 80 = 180 ⇒
y= 25º
Resposta correta: 38cm
II. x + 2y = 180
⇒
x= 130º
4.
Prolongue AM até um
ponto M’ de tal forma que
MM‘ = AM (1)
Note que esse é um quadrilátero em que as diagonais
se cortam ao meio, ou seja,
é um paralelogramo.
Daí, BM’ = AC
I. Da desigualdade triangular, temos:
AM + MM’ < AB + BM’ ⇒ ZAM < AB + AC.
Analogamente
2CP < AC + BC
2BN < AB + BC
Somando as três
2(AM + CP + BN) < 2 (AB + BC + CA) ⇒
⇒ AM + CP + BN < AB + BC + CA
II. Da desigualdade triangular
⎧AM + BM > AB
+ ⇒ ZAM + BC > AB + AC
⎨
⎩AM + MC > AC
Resposta correta: D
2.
5.
2y + 80 = 180 ⇒ 2y = 100 ⇒
y = 50º
II.
y + 2x = 180 ⇒ 2x = 130 ⇒
x = 65º
Resposta correta: D
⇒ 2AM > AB + AC – BC
Analogamente
2BN > AB + BC – CA
2CP > AC + BC – AB
Somando as três:
2(AM + BN + CP) > AB + BC + CA ⇒
AB + BC + CA
AM + BN + CP >
2
I.
3.
O triângulo ADE é isósceles, pois AD = AE , sendo
ˆ = DEA
ˆ = α:
DAE
Traçando a mediana relativa ao triângulo BDE e considerando DE = 2A:
No triângulo ADE:
α + 90° + 60° + α = 180°
α = 15°
F ⇒ B F̂ A
ABF é isósceles ⇒ B A
x é ângulo externo do triângulo ADF, portanto:
x = 90° + α
x = 90 + 15
Observe o triângulo BDF:
x = 105°
Resposta correta: 105º
4.
ˆ então:
Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180°, como B̂ = C,
20° + B̂ + B̂ = 180°
x + 72º + 72º = 180º
x = 36º
B̂ = 80°
Ĉ = 80°
Resposta correta: 36º
6
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
6.
• α é ângulo externo do triângulo AEC, α = 60° + 20° = 80°.
Então EBC é um triângulo isósceles, sendo EC = BC .
Todos os 9 losangos são congruentes, então o ângulo α
360
mede α =
= 40°
9
α + α + β + β = 360°
2α + 2β = 360°
2 . 40° + 2β = 360°
β = 140°
I.
• β é ângulo externo do triângulo ABC, β = 20° + 30° = 50°
Então EDC é um triângulo isósceles, sendo EC = DC.
II. x + β + β = 360°
x + 140° + 140° = 360°
x = 80°
Resposta correta: C
7.
Observe que BC = DC, então os ângulos Ê e D̂ do triângulo EDC são iguais:
Ê + D̂ + 60° = 180°
D̂ + D̂ + 60° = 180°
2 D̂ = 120° ⇒ D̂ = 60°
Observe que EFC é um triângulo isósceles, pois EC = FC
α + α + 30° + 60° = 180°
⇒
α = 45°
x é ângulo externo do triângulo FGC, então:
x = α + 60°
x = 45° + 60°
Como D̂ = x + 50°, então:
60 = x + 50°
x = 105°
x = 10°
Resposta correta: 105º
Resposta correta: 10º
5.
Observe os lados e ângulos iguais:
8.
Observe parte da estrela:
Como APQ é um triângulo isósceles, então os ânguˆ
ˆ e PQA
são iguais a β:
los APQ
Do triângulo APQ:
β + β + 45° = 180°
2β + 135°
β = 67°30’
ˆ e APD
ˆ são iguais a 90o:
Os ângulos BPA
α + β = 90°
α + 67°30’ = 90°
α = 22º30’
O polígono central é um octógono:
360°
360°
⇒ ae =
⇒ ae = 45°
ae =
n
8
x é ângulo externo do triângulo
x = ae + ae ⇒ x = 2ae ⇒ x = 2 . 45° ⇒ x = 90°
Resposta correta: C
Resposta correta: D
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
7
9.
Do triângulo abaixo, temos:
12.
M é ponto médio de BC.
Primeiro ficaremos com UACM e UABM isósceles. Daí
α + α + β + β = 180 ⇒ 2(α + β) = 180º ⇒ 2 + β = 90º ⇒
⇒ UABC é retângulo em A.
|11 – 3| < a > 11 + 3
9 < a < 14, como a é par e inteiro, temos que a = 10 ou
a = 12.
Resposta correta: 10cm ou 12cm
13. Se a2 > b2 + c2, o triângulo é obtusângulo (1 ângulo
obtuso). O maior lado é o a, se opondo ao maior ângulo, o obtuso.
10.
14.
I.
No UABC:
β + 3β + 80 = 180 ⇒ 4β = 100 ⇒
β= 25
II. No UCEP:
x + 100º + 180 – 6β = 180 ⇒ x = 6β – 100 ⇒ x= 50º
Resposta correta: C
L = BCB1C1B2C2...
L = 2A1 + 2A2 + 2A3 +…
11.
L = 2(A1 + A2 + A3 +…)
L = 2C
Resposta correta: A
15. Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos da
base são iguais a 70o para soma total ser 180o.
= ACB
=β
ABC é um triângulo isósceles ⇒ ABC
ˆ = AÊD = θ
ADE é um triângulo isósceles ⇒ ADE
ˆ (α + θ) é externo ao triângulo ABD:
O ângulo ADC
α + θ = 20° + β
θ = 20° + β – α (I)
Observe que BP é bissetriz e altura no triângulo EBC, já
que este é isósceles, desta maneira BP também será
mediana. Da mesma maneira, no triângulo EDC, PD é altura e mediana, então EDC é um triângulo isósceles,
sendo PD bissetriz, portanto:
PÊD = PDC
O ângulo AÊD (θ) é externo ao triângulo ECD:
θ = α + β (II)
Igualando (I) e (II)
α + β = 20° + β – α
2α = 20° ⇒ α = 10°
x = 75°
Resposta correta: 75º
Resposta correta: B
8
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
aula 8
3.
1.
2.
3.
4.
SALA
4.
1. Falso. São concêntricas num triângulo equilátero.
2. Verdadeiro.
3. Verdadeiro. O lado oposto ao ângulo reto mede 2r,
ou seja, 4cm.
4. Falso. Isso acontece no centro da circunferência circunscrita.
5.
I.
GEOMETRIA PLANA – VI
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
PARA
1.
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro, pois os catetos servem de altura.
Primeiro comprovaremos um lema que ajudará bastante
na demonstração, na verdade, ele é a demonstração.
Lema: a base média de um triângulo é paralela ao lado
correspondente. Prova:
Observe o triângulo ABC.
AM AN
=
=1
MB NC
Pela recíproca do Teorema de Tales MN // BC.
Sendo assim:
• MN é base média do ΔABD → MN // DB.
• DP é base média do ΔBCD → OP // DB.
Daí, MN // OP, analogamente MP // NO.
Conclusão: MNOP é paralelogramo.
Como AD é bissetriz e o ângulo é formado por AD e BE,
ˆ ≡ DEÂ.
ˆ . Assim ΔABD ≡ ΔADE.
temos que DBA
Como m é ponto base média do ΔEBC. Assim:
EC
6
II. DM =
⇒ =3
2
2
2.
Resposta correta: B
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
α=
Alternos internos:
I. 110 + 2y = 180 → 2y = 70 → y = 35°
II.
2
θ
3
x + 2z = 180
Soma dos ângulos internos do ΔCDP:
x – 15 + 2 + 35 = 180 → x + z = 160
⎧ x + 2z = 180
subtraindo z = 20 →
Temos um sistema ⎨
⎩ x + z = 160
→ x = 140
ˆ = 2z = 40°
e BCD
ˆ = 40°
Resposta correta: x = 140° e BCD
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
Soma dos ângulos internos de BPSQ,
2
α + θ + 90 + 90 = 360 → θ + θ = 180 × ( 3) →
3
→ 2θ + 3θ = 3 . 180 → 5θ = 3 . 180 → θ = 3 . 36 →
2
→ α = . 3 . 36 → α = 72°
3
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
9
Soma dos ângulos internos do ΔABC:
2α + β = 180 → β = 180 − 144 = 36°
5.
ˆ
ˆ
e RQB
são iguais, pois são alternos
Os ângulos QBC
= QCB.
ˆ
Desta maneira
internos, do mesmo modo SQC
os triângulos RQB e QSC são isósceles.
Resposta correta: 36°, 72°, 72°
2.
A mediana relativa à hipotenusa é igual à metade desta,
AC 30
=
= 15cm, sabemos ainda que O
portanto BP =
2
2
é o baricentro do triângulo ABC, portanto BO = 2PO .
BP = 15
PO + BO = 15
PO + 2PO = 15
3PO = 15
PO = 5cm
O perímetro do triângulo ARS é:
Resposta correta: 5cm
2p = 15 – x + x + y + 18 – y ⇒
3.
2p = 33
Resposta correta: 33
6.
⎧r1 + r2 = 7
⎪
⎨r2 + r3 = 6
⎪r + r = 5
⎩1 3
– ⎧⎪r1 + r2 = 7
→ ⎨r3 − r1 = −1 →
⎪r + r = 5 +
⎩1 3
⎧r1 + r2 = 7
⎪
⎨r1 − r3 = 1
⎪r = 2
⎩3
Podemos afirmar que MP ≡ QN, pois ambos são bases
médias de triângulos que possuem a mesma base (11).
11
Assim, MP ≡ QN = .
2
CD + AB
,
Sabemos também que MN =
2
11
x + 11
Assim: 2 .
+3=
⇒ x + 11 = 28 ⇒ x = 17
2
2
Daí, r1 = 3 e r2 = 4
Resposta correta: r1 = 3; r2 = 4
4.
Seja o triângulo:
Traçando a diagonal BD veremos que P é o baricentro
do triângulo ABD:
Resposta correta: C
7.
Considere o triângulo abaixo:
I. PN =
16
= 8
2
14
= 7
2
III. 2P do •MNP =
II. MN =
16 = 2 . x
6 + 8 + 7 = 21
x=8
Resposta correta: A
Resposta correta: 8
10
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
8.
Observe a figura:
10.
PA = 2R
Chamaremos o perímetro do ΔPDE de S.
S = DO' + O'E + PE + PD.
Pelo teorema do bico:
AD = DO' e O'E = BE
Então,
S = PE + BE + PD + AD → S = PA + PB
Também pelo teorema do bico:
PA = PB
Assim, S = 2PA → s = 12r
Como o triângulo AMB é equilátero, então AM = 15
Resposta correta: D
11. I.
P é o baricentro, portanto:
I. PA = 2 PM
PA + PM = AM = 15
2PM + PM = 15
3PM = 15
PM = 5
Temos a figura:
II. PA = 2PM
PA = 2 . 5
PA = 10
Resposta correta: 10
Como MN // BD , M e N são pontos médios de seus respecBD
BD
tivos lados, temos que MN =
⇒ 2=
⇒ BD = 4 .
2
2
9.
II. Como AB ≡ BD ≡ DA , temos que o triângulo é
equilátero; logo, os ângulos internos medem 60°.
III. 60° + a = 150° ⇒ a = 90° .
IV. Área =
B . h 4 . 10
=
= 20 .
2
2
Resposta correta: C
12. Sendo G o baricentro, teremos AG = 2GM
Sendo S o ponto médio de PQ ¨, então AS é a mediana saindo do vértice A. Sabemos que a mediana relativa a hipotenusa é a metade da medida da hipotenusa; assim, PS ≡ SQ ≡ AS = R.
II. Como PQ ≡ 0A ≡ R.
l = 52 .
ˆ = AOS
III. O triângulo OAS é isósceles, então OSA
l
IV. Assim AON = 52° + 26° = 78°
I.
Resposta correta: C
Sabemos que AM = 12, então:
AM = 12
AG + GM = 12
2GM + GM = 12
3GM = 12 ⇒ GM = 4
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
11
Portanto:
AG = 2GM
AG = 2 . 4
II. sen30o =
⇒
2
h'
1 2
=
2 h'
h’ = 4
AG = 8
Resposta correta: A
13. Considerando um triângulo obtusângulo:
III. H = 2 + h + h’
9
+4
H=2+
2
H = 10,5cm
Resposta correta: B
aula 9
GEOMETRIA PLANA – VII
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
PARA
SALA
1.
O circuncentro e o ortocentro podem ser externos ao
triângulo.
Resposta correta: D
14. Traçando as alturas relativas aos vértices B e C:
I.
•
Considerando o quadrilátero AHDH’:
α + 90° + 90° + 110° = 360°
α = 70°
•
Resposta correta: C
sen60° =
2.
h
3 3
Pelo teorema da bissetriz:
3
2
= → 3x = 8 + 2x → x = 8
4+x x
3
h
=
2
3 3
9
h=
2
12
Depois de localizarmos os ângulos na figura, retirarmos dois triângulos (I e II) que são semelhantes. Assim:
x
1
=
⇒ x2 + x = 1 ⇒ x2 + x − 1 = 0
1 x +1
Resposta correta: D
15. Observe a figura:
I.
II.
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
Demonstração do teorema da bissetriz:
Igualando (I) e (II):
8
14 + x
=
6
x
8x = 84 + 6x
2x = 84
x = 42
Resposta correta: 42
Por C passa uma paralela a AD. Digamos que tal reta
toca AD em E.
ˆ = α e também AEC
ˆ = α , daí
Por alternos internos ACE
5.
o ΔACE é isósceles → AE = AC *.
Note que ΔBCE ∼ ΔBDA, então:
AB BE ** EA ( *) AB AC
=
=
→
=
BD BC
CD
BD CD
(**) Teorema de Tales.
3.
A situação é representada pela figura abaixo:
I. Pelo teorema do bico sabemos que:
AD = 3; CF = 6 ( *) , BF = x
(*)
II. Como Cz = 7 → CF + Fz = Cz → Fz = 7 − 6 = 1 ( **)
(**)
e BF = x → Fz + zB = BF → zB = x − 1
III. Pelo teorema da bissetriz interna:
AC AB
9 3+ x
=
→ =
→ 9x – 9 = 21 + 7x →
Cz
zB
7 x −1
→ 2x = 30 → x = 15
Aplicando o teorema da bissetriz externa:
7
6
=
5+ x x
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
7x = 6x + 30
1.
Do enunciado, temos:
x = 30
Resposta correta: 30
4.
Aplicando os teoremas da bissetrizes interna e externa:
6
5
12
10
=
⇒ 6x = 40 + 5x ⇒ x = 40
8+x
x
Resposta correta: 40
2.
I.
a
b
a 8
= ⇒ =
8
6
b 6
II.
b
a 14 + x
a
= ⇒ =
x
b
x
8+6+ x
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
A questão exige que apliquemos os teoremas das bissetrizes (internas e externas). Chamemos AB = a e AC = b .
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
13
I.
II. Chamando AD = x ⇒ DC = 13 − x. Aplicando o teorema da bissetriz interna, temos:
3
4
=
⇒ 7x = 3. 13 , como 13 ≅ 3,6; temos
x
13 − x
que 7x = 3.3,6 ⇒ 7x = 10,81 ⇒ x = 1,54
Resposta correta: C
a
b
=
⇒ 2a = 5b
15 6
5
5.
Temos a figura:
2
II.
Aplicando o teorema da bissetriz externa, temos:
15
8
30
16
⇒ 15x = 8(28+x) ⇒ x = 32
=
x
28 + x
a
b
2a
2b
5b
2b
=
⇒
=
⇒
=
⇒ x = 14
21 + x
x
21 + x
x
21 + x
x
Assim: CD = 32 e BD = 28 + 32 ⇒ BD = 60
Resposta correta: C
3.
Considere o trapézio abaixo.
Resposta correta: CD = 32 e BD = 60
6.
Temos a seguinte figura:
Pelo Teorema de Tales, temos:
10
x
=
⇒ 3x 2 + 2x = 10x + 60 ⇒ 3 x 2 − 8 x − 60 = 0 ⇒
3x + 2 x + 6
⇒ x’ = 6 e x” = F (pois é negativo e, isso não é possível,
porque “x” é uma medida).
Resposta correta: C
4.
Observe que os degraus estão representados pelos segmentos AB, CD, EF, GH e IJ . Assim, devemos somar todos.
Seja a figura:
I.
EF é base média do trapézio ABIJ. Assim:
x=
I.
14
Pela Lei dos cossenos, temos:
2
2
2
(AC) = 3 + 4 − 2 . 3 . 4 . cos60o
1
2
(AC) = 9 + 16 − 2 . 3 . 4 . ⇒ AC =
2
II. z =
30 + 45
⇒ z = 37,5
2
III. y =
45 + 60
⇒ y = 52,5
2
IV. Somando todos, temos:
30 + 37,5 + 45 + 52,5 + 60 = 225
13
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
30 + 60
= 45
2
Resposta correta: D
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
7.
Atenção!
BC = b e CD = d
10. Observe a figura:
I.
AD 2b
=
⇒ AD = 2d
d
b
II.
Aplicando Teorema de Pitágoras, temos:
(2d) = (d + b) + (2b) ⇒
2
2
2
2
⇒ 4d = d + 2bd + b + 4b ⇒
2
2
3d − 2bd − 5b = 0
2
2
2
Observe que AS’ é bissetriz do ângulo externo do triângulo ABC. Assim, temos a proporção:
3
variável “d”
2
d=
1
15
10
=
⇒ x + 26 = 39
x + 26 26
Δ = 64b
2b + 8b 5b
=
d’ =
2 .3
3
d” =
2
13
2b − 8b
= −b (não convém)
2 .3
x = 13
Resposta correta: D
5b
3
aula 10
Resposta correta: C
8.
Seja o triângulo equilátero abaixo. Traçamos MN // BC,
de modo que 2P1 (triângulo AMN) = 2P2 (trapézio MNBC).
2p1 = 2y + x
2p2 = 24 − 2y + x
Como 2p1 = 2p2
2y + x = 24 − 2y + x
4y = 24
GEOMETRIA PLANA – VIII
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
PARA
SALA
1.
y=6
Resposta correta: E
9.
Note que ΔABC ∼ ΔADB:
10
4
=
→ 4 + x = 25 → x = 21
4 + x 10
Seja a figura:
Resposta correta: D
2.
Aplicando o teorema de tales, temos:
7
5
= ⇒ 5x − 35 = 49
x−7 7
5x = 84
tgα =
a−b b
b2
= → x=
b
x
a−b
x = 16,8
Resposta correta:
b
2
a−b
Resposta correta: D
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
15
3.
O pentágono regular pode ser inscrito numa circunfe360o
= 72°.
rência. Cada arco da circunferência será de
5
Pela simetria, os segmentos BF , BG e AF são iguais:
4.
I.
Da figura destacamos os triângulos semelhantes PST
e PRQ.
Observe os triângulos semelhantes ABG e BFG:
3 5
3y
= ⇒x=
x y
5
II. Aplicando o Teorema de Pitágoras no ΔPQR, temos:
y = 8 + x ⇒ y = 64 +
2
4
4− y
=
4− y
y
2
16 – 8y + y = 4
2
2
2
9y2
⇒ y = 10
25
III. Se y = 10, então x = 6
Resposta correta: B
2
y – 12y + 16 = 0
5.
I.
Considere o triângulo ABC abaixo:
Δ = (–12) – 4 . 1 . 16 = 80
2
y’ =
12 + 4 5
= 6 + 2 5 não convém, pois y < 4
2 .1
y’’ =
12 − 4 5
=6–2 5
2
Ao trocarmos duas diagonais teremos os segmentos:
II. Separando os triângulos, temos:
O menor segmento será 4 – y, portanto:
x=4–y
x = 4 – (6 – 2 5 )
x=2 5 –2
Portanto:
( 5 + 1) x = ( 5 + 1) (2 5 – 2)
( 5 + 1) x = 10 – 2 5 + 2 5 – 2
( 5 + 1) x = 8
Resposta correta: 8
16
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
Como ΔABC ∼ ΔBCM, temos:
x
2
2
2 = y ⇒ x = y2 ⇒ x = 2 ⇒ x = 2
2
y x
2
y
y
7x = 12 3
x=
Resposta correta: B
12 3
7
Observe o triângulo ADE:
x
sen45o =
AD
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
2
x
=
2 AD
2 AD = 2x , como x =
12 3
,
3
então:
2 AD = 2 .
12 3
7
7 2 AD = 24 3
7 2 . 3 . AD = 24 3 . 3
É fácil perceber que <BAD = <DEC.
Daí, ΔABC ∼ ΔCDE.
x
15
45
=
→ x=
15 20
4
7 6 AD = 72
Resposta correta: 72
Resposta correta: E
3.
2.
(x 3 )
Observe a figura:
Traçando uma reta perpendicular a AC , passando por
D, formaremos um triângulo isósceles, ADE.
Do triângulo retângulo:
d2 = 62 + 82
d = 10
Os triângulos ABC e CDE são semelhantes, pois possuem
ângulos iguais.
Resposta correta: A
4.
3 3
4 3
=
Note que <ABC = <AEC = α
Então, pelo caso AAA:
ΔABD ∼ ΔACE
AB AE
6 30
Assim,
=
→ =
→ h = 2cm
AD AC
n 10
x
4 3 −x
4x = 12 3 − 3x
Resposta correta: B
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
17
5.
7.
Os triângulos ABC e CDE são semelhantes:
EF + EG = 12
Mas note que ΔCDE ∼ ΔMBE e
MB 1
(razão de seme=
DC 2
lhança).
Daí, EG = 2EF → 3EF = 12 → EF = 4
Resposta correta: D
Podemos fazer uma proporção entre os lados opostos
aos ângulos iguais e as áreas dos triângulos:
F
GH
A ABC
2 3
=
ACDE
3
I
JK
8.
Temos que:
2
=4
Resposta correta: B
6.
Os triângulos AFG e ADE são semelhantes:
Os triângulos BEF e BAD são semelhantes, então:
20 100
=
h
y
y = 5h
Os triângulos ABC e AEF são semelhantes, então:
2d = 32
80 100
=
h
x
100h
x=
80
x = 1,25h
Como x + y = 100, então:
d = 16
1,25h + 5h = 100 ⇒
d+ 4
4
=
d + 14
6
6d + 24 = 4d + 56
A altura do triângulo é d + 4 + 4 + 6 + 6 = 36m
h = 16
Resposta correta: B
Resposta correta: E
18
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
9.
Seja a figura:
PM + MN AD
=
⇒ PM + MN = 2 AD
x
2x
⇒
Resposta correta: D
11. Os triângulos indicados são semelhantes:
I.
(Δ BDM ~ ΔEFD)
5
16
30
=
⇒x=
x 6+x
11
F
II. AC = AE + EC
30
10 = AE +
11
110
30
= AE +
11
11
80
AE =
11
Portanto:
3 6−x
=
6
x
3x = 36 – 6x
9x = 36 ⇒ x = 4
O perímetro do quadrado será 2p = 4x = 4 . 4 = 16
Resposta correta: E
Resposta correta: 16
10. Observe a figura:
12. Observe a figura:
Temos: ΔPMC ~ ΔACD e ΔABD ~ ΔMNB, veja:
I.
Os triângulos ASR e ABC são semelhantes, pois possuem
ângulos iguais.
PM x + a
AD
PM
=
⇒
=
AD
x
x
x +a
II.
x 5
=
8 10
AD
x
AD MN
=
⇒
=
MN x − a
x
x −a
⇒
x=4
Resposta correta: 4
13. Separando os triângulos:
III. Igualando (I) e (II), temos:
=
FG AD IJ
HxK
PM
MN
PM + MN
PM
=
⇒
=
⇒
x +a x −a
( x + a) + ( x − a)
x +a
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2
19
Observe que os triângulos possuem um ângulo comum e
8 10
dois lados proporcionais
, então os triângulos
=
20 25
são semelhantes, pois possuem dois lados proporcionais
e o ângulo entre eles igual, caso L.A.L.
Completando a proporção com o terceiro lado:
8 10 12
=
=
20 25 x
10 12
⇒ 10x = 300 ⇒
=
25 x
x = 30
⎛ 18r ⎞
⎜⎝ r −
⎟
25 ⎠
2
2
2
+ h = r (II)
Das equações (I) e (II):
2
⎧⎛
18r ⎞
2
2
⎪⎜ 2r −
⎟ + h = 16
25 ⎠
⎪⎝
⎨
⎪⎛ 18 ⎞ 2
2
2
⎪⎜ r − 25 ⎟ + h = r
⎠
⎝
⎩
⎧1024 2
2
⎪⎪ 625 r + h = 256
⎨
2
⎪ 49r + h2 = r 2 x (–1)
⎪⎩ 625
Resposta correta: 30
14. Observe a figura:
⎧1024r 2
+ h2 = 256
⎪⎪
625
⎨
2
⎪ − 49r − h2 = −r 2
⎪⎩ 625
+
39r 2
= 256 – r2
25
2
Temos dois triângulos semelhantes: ABC e ADE:
2
39r = 6400 – 25r
2
64r = 6400
2
r = 100
r = 10
1024
2
2
+ r + h = 256, então:
625
Desta maneira:
Como
16
25
=
2r − x 2r
48
1024 . 10 2
+ h2 = 256 ∴ h =
625
5
2r = 50r – 25x
Resposta correta:
18r
25
25x = 18r ⇒ x =
48
5
15. Os triângulos ACE e ADB possuem ângulos iguais:
Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos ADE e
OED:
2
2
2
h + (2r – x) = 16
2
18r ⎞
⎛
2
h2 + ⎜ 2r −
⎟ = 16 (I)
⎝
25 ⎠
11 5
=
5+ x 8
25 +5x = 88 ⇒ 5x = 63 ⇒
Resposta correta:
2
2
2
(r – x) + h = r , como x =
20
63
5
63
5
18r
25
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
x=
-22109
Rev.: Jéssica
|
VOLUME 2
|
MATEMÁTICA 2