1.3. TRIGONOMETRIA 1.3.1. MEDIDAS DE ÂNGULOS O grau é uma medida de ângulo. Um grau, notado por 1o , equivale a 1/180 de um ângulo raso ou 1/360 de um ângulo correspondente a uma volta completa em torno de um eixo. Outra medida de ângulo é o radiano. Um radiano, denotado por 1 rad, equivalente ao ângulo central quando o comprimento de arco equivale ao raio da circunferência em questão (veja figura abaixo). (fonte da imagem: http://www.sofisica.com.br/conteudos/dicionario/figuras/radiano.jpg) Há uma equivalência entre grau e radiano: π radianos equivalem a 180 graus (π é uma constante numérica equivalente a 3,14159...). Exercício resolvido: a) Qual o valor de 90o em radianos? b) Qual o valor de π/6 radianos em graus? Resolução: a) Seja x o valor procurado. Como π rad = 180o , então temos x = 180 90 Segue que x = 90(π/180) = π/2 radianos. Logo, 90o = π/2 rad. b) Seja x o valor procurado. Como π rad = 180o , então temos /6 = 180 x Segue que x = 180/6 = 30 graus. Logo, π/6 rad = 30o. 1.3.2. COMPRIMENTO DE ARCO Em uma circunferência de raio r, o comprimento s do arco subentendido por um ângulo θ em radianos é s = Rθ Se o ângulo é dado em graus, s é dado por s = π r θ / 180 Exercício resolvido: Qual é o valor do perímetro de uma fatia de pizza com ângulo central de 45 o se o raio da pizza for de 30cm? Resolução: O perímetro da fatia é dado por P = 2R + s. O valor de s é dado por s = π r θ / 180 = π (30cm) 45o / 180 = 7,5 π ≈ 23,5 cm Assim, o perímetro é P ≈ 2(30cm) + 23,5 cm = 83,5 cm 1.3.3. TRIÂNGULOS RETÂNGULOS E O TEOREMA DE PITÁGORAS Um triângulo retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto, isto é, possui 90 graus. Os lados menores de um triângulo retângulo são chamados catetos, e o lado menor é chamado hipotenusa (ver figura logo abaixo). A relação entre catetos e hipotenusa é dada pelo Teorema de Pitágoras: o quadrado do valor da hipotenusa equivale à soma dos quadrados dos valores dos catetos. Isto é, se a é o valor da hipotenusa e b e c são os valores dos catetos de um triângulo retângulo, então a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras) Nota: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 graus. Exercício resolvido: Se um cateto de um triângulo retângulo tem comprimento 7 e a hipotenusa tem comprimento 11, qual é o valor do outro cateto? Resolução: Se x é o cateto desconhecido, temos, pelo Teorema de Pitágoras: 112 = 72 + x2 Segue que x2 = 112 – 72 = 121 – 49 = 72 Logo, x = 72 = 6 2 ≈ 8,5 1.3.4. MEDIDAS TRIGONOMÉTRICAS As principais medidas trigonométricas associadas um ângulo são definidas a partir do triângulo retângulo, como na figura abaixo. (fonte da imagem: http://cabelovivaolinux.files.wordpress.com/2009/08/fig_tri-6.jpg?w=284&h=353 ) Exercício resolvido: Um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento 8 possui um ângulo interno de 30o. Sabendo que sen 30o = ½, determine: a) o valor dos catetos dos triângulos b) o valor de cos 30o e tg 30o. Resolução: a) Se chamarmos b o cateto oposto ao ângulo de 30o, pela definição de seno temos que sen 30o = (cateto oposto a 30o) / (hipotenusa) = b / 8 Como sen 30o = ½, logo b/8 = ½. Segue que b = 8/2 = 4. Se chamarmos c o cateto adjacente a 30o, pelo Teorema de Pitágoras temos 82 = 42 + c2 Logo c2 = 82 – 42 = 64 – 16 = 48. Segue que c = 48 = 2 12 . Nota: 48 = 4.12 = 4 12 = 2 12 b) Por definição, temos cos 30o = (cateto adjacente a 30o) / (hipotenusa) = c / 8 = 2 12 = 8 tg 30o = (cateto oposto a 30o) / (cateto adjacente a 30) = b / c = Nota: 4 2 2 12 2 12 12 = = . = = 12 6 2 12 12 12 12 Imagens: acesso em agosto de 2010 12 e 4 4 = 2 12 12 6