ESTATÍSTICA
‹
3.9.1 - Aproximação da distribuição binomial pela
normal
O modelo Binomial (discreto) também pode ser
aproximado também pelo modelo Normal
(contínuo) se certas condições forem satisfeitas:
‹ quando o valor de n (número de ensaios) for tal
que os cálculos binomiais forem trabalhosos
demais.
‹ quando
a probabilidade de sucessos p
permanecer constante.
‹ quando o produto n x p (o valor esperado do
modelo Binomial) e o produto n x (1 - p) forem
AMBOS maiores ou iguais a 5.
Então uma distribuição binomial de parâmetros n e
p pode ser aproximada por uma normal com
parâmetros:
Média = µ = n × p (Valor esperado da binomial)
Variância = σ2 = n × p × (1 - p)(Variância da
binomial)
1
2
ESTATÍSTICA
Correção de continuidade
Usando a distribuição normal (contínua) para
aproximar uma binomial (discreta) é necessária
uma correção de continuidade: associar um
intervalo (na distribuição contínua) ao valor
discreto.
Binomial
k
X=k
Normal
k - 0,5
k
k + 0,5
k - 0,5 ≤ X ≤ k + 0,5
X<k
X ≤ k - 0,5
X≤k
X ≤ k + 0,5
X>k
X ≥ k + 0,5
X≥k
X ≥ k - 0,5
3
ESTATÍSTICA
‹
3.9.2 - Teorema do Limite Central
‹ “As médias de amostras aleatórias de n
elementos retiradas de uma população
seguirão uma distribuição normal, com
média igual a µ (média populacional) e
desvio padrão igual a σ/√n (desvio padrão
populacional dividido por √n ) ,
INDEPENDENTEMENTE da forma da
distribuição da população, se n for
suficientemente grande”.
‹ Se a distribuição da variável na população
for normal, SEGURAMENTE a distribuição
das médias de amostras aleatórias, para
qualquer valor de n, será normal.
‹ O valor suficientemente grande de n varia
de distribuição para distribuição:
 n = 2 é suficiente para algumas;
 n = 30 ainda não é suficiente para
outras;
4
 usualmente, n = 30 é suficiente.
Distribuição normal: média = 50, desvio padrão = 10
500 elementos
Média = 50,44 Desvio padrão = 10,15
105
98
91
84
77
70
63
Freq.
56
49
42
35
28
21
14
7
0
<= 20
(25;30]
(35;40]
(45;50]
(55;60]
(65;70]
(75;80]
(20;25]
(30;35]
(40;45]
(50;55]
(60;65]
(70;75]
> 80
Distribuição normal: média = 50; desvio padrão = 10
Médias de 500 amostras de 2 elementos
Média = 49,64 Desvio padrão = 6,99
150
140
130
120
Freq.
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
<= 25
(30;35]
(40;45]
(50;55]
(60;65]
> 70
(25;30]
(35;40]
(45;50]
(55;60]
(65;70]
5
Distribuição normal: média = 50; desvio padrão =10
Médias de 500 Amostras de 8 elementos
120
112
104
96
88
80
72
64
56
48
40
32
24
16
8
0
<= 38
(38;40]
(40;42]
(42;44]
(44;46]
(46;48]
(48;50]
(50;52]
(52;54]
(54;56]
(56;58]
(58;60]
> 60
Freq.
Média = 49,77 Desvio padrão = 3,55
Distribuição normal: média = 50; desvio padrão = 10
Médias de 500 amostras de 30 elementos
120
112
104
96
88
80
72
64
56
48
40
32
24
16
8
0
Desvio padrão = 1,84
<= 45
(46;47]
(48;49]
(50;51]
(52;53]
(54;55]
> 56
Média = 50,06
6
Distribuição uniforme entre 10 e 50
500 elementos
Média = 29,68 Desvio padrão = 11,31
90
84
78
72
66
60
Freq.
54
48
42
36
30
24
18
12
6
0
<= 10
(10;15]
(15;20]
(20;25]
(25;30]
(30;35]
(35;40]
(40;45]
(45;50]
> 50
(40;45]
(45;50]
> 50
Distribuição uniforme entre 10 e 50
Médias de 500 amostras de 2 elementos
Média = 30,25
Desvio padrão = 8,15
126
117
108
99
90
Freq.
81
72
63
54
45
36
27
18
9
0
<= 10
(10;15]
(15;20]
(20;25]
(25;30]
(30;35]
(35;40]
7
Distribuição uniforme entre 10 e 50
Médias de 500 amostras de 8 elementos
Média = 30,00
Desvio padrão = 4,09
255
238
221
204
187
170
Freq.
153
136
119
102
85
68
51
34
17
0
<= 20
(20;25]
(25;30]
(30;35]
(35;40]
(40;45]
> 45
Distribuição uniforme entre 10 e 50
Médias de 500 amostras de 30 elementos
> 37
(35;36]
(33;34]
(31;32]
(29;30]
Desvio padrão = 2,13
(27;28]
(25;26]
120
112
104
96
88
80
72
64
56
48
40
32
24
16
8
0
<= 24
Freq.
Média = 29,92
8
Distribuição exponencial - média = 10, desvio padrão = 10
500 elementos
Média = 9,68
Desvio padrão = 9,70
330
308
286
264
242
220
Freq.
198
176
154
132
110
88
66
44
22
0
(0;10]
(10;20]
(20;30]
(30;40]
(40;50]
(50;60]
> 60
Distribuição exponencial: média = 10, desvio padrão = 10
Médias de 500 amostras de 2 elementos
Freq.
Média = 9,23
Desvio padrão = 6,57
165
154
143
132
121
110
99
88
77
66
55
44
33
22
11
0
(0;5]
(5;10]
(10;15]
(20;25]
(30;35]
(40;45]
> 50
(15;20]
(25;30]
(35;40]
(45;50]
9
Distribuição exponencial: média = 10, desvio padrão = 10
Médias de 500 amostras de 8 elementos
135
126
117
108
99
90
81
72
63
54
45
36
27
18
9
0
Desvio padrão = 3,62
<= 2
(2;4]
(4;6]
(6;8]
(8;10]
(10;12]
(12;14]
(14;16]
(16;18]
(18;20]
(20;22]
(22;24]
(24;26]
> 26
Freq.
Média = 9,75
Distribuição normal: média = 10, desvio padrão =10
Médias de 500 amostras de 30 elementos
120
112
104
96
88
80
72
64
56
48
40
32
24
16
8
0
Desvio padrão = 1,78
<= 5
(6;7]
(8;9]
(10;11]
(12;13]
(14;15]
> 16
Freq.
Média = 10
10