parte C
Resoluções das atividades adicionais
Aula 106
78. alternativa B
Sejam a, b e c as medidas das arestas do paralelepípedo. Temos
4a + 4b + 4c = 140 ⇔ a + b + c = 35 cm.
Como a distância máxima entre dois vértices do paralelepípedo é
igual à sua diagonal,
a 2 + b 2 + c 2 = 21 ⇔ a 2 + b 2 + c 2
= 441.
Sendo (a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc , a área
total 2ab + 2ac + 2bc é igual a (a + b + c )2 − (a 2 + b 2 + c 2 )
= 352 − 441 = 784 cm2 .
79. alternativa A
3a
e x as dimensões do paralelepípe4
do reto-retângulo. Como seu volume é igual ao volume de um
cubo de aresta a, temos:
3a
4a
a⋅
⋅ x = a3 ⇔ x =
4
3
Logo a diferença entre a área total do paralelepípedo e a área
total do cubo é:
3a
4a 3a
4a ⎞
1
⋅ a2
2 ⋅ ⎛⎜a ⋅
+
⋅
+a ⋅
⎟ − 6a 2 =
⎠
⎝
4
3
4
3
6
Sejam a, (1 − 0,25)a =
80. alternativa C
G
H
F
E
D
M
a
2
A
C
O
B
a 2
2
Sendo O o centro do quadrado ABCD, temos AO =
=
a 2
.
2
1
AC
2
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo MAO, retângulo
em A, temos:
2
(OM )
2
2
2
= ( AM ) + ( AO ) ⇔ (OM )
a
= ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 2⎠
2
⎛a 2 ⎞
+⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
2
a 3
2
A distância do ponto M ao centro O do quadrado ABCD é igual
a 3
a OM =
.
2
⇔ OM =
81. a) O volume do sólido final é igual ao volume do cubo menos o
volume de 6 “cubinhos” de aresta 1 m, retirados de cada face,
e de 1 “cubinho” central de aresta 1 m, encontro dos 3 furos, ou
seja, 3 3 − 6 ⋅ 13 − 13 = 20 m3 .
O custo da liga utilizada na fabricação do sólido final é, portanto, 20 ⋅ R$ 18,20 = R$ 364,00.
b) Em cada face, cada furo diminui a área de um quadrado de
área 1 × 1 = 1 m2 , mas aumenta a área, devido à perfuração,
de 4 quadrados de área 1 × 1 = 1 m2 .
Portanto o aumento percentual da área das paredes do sólido final em relação às paredes do cubo inicial é
(3 2 − 1 + 4 ⋅ 1) − 3 2
1
=
≅ 0,33 = 33%.
2
3
3
82. alternativa B
A
2 2
7
3
D
1
M
E
2
1
1
B
2
C
A base BCED do paralelepípedo é um quadrado e CD, uma
de suas diagonais. Assim, CD = 2 ⋅ 2 = 2 e, sendo M o
ponto médio de CD, CM = DM = 1.
Como AC e AD são diagonais de faces congruentes do paralelepípedo, o triângulo ACD é isósceles de base CD e altura AM.
Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos ABC e ACM,
respectivamente, AC 2 = AB 2 + BC 2 ⇔ AC 2 = ( 7 )2 + ( 2 )2
⇔ AC = 3 e AC 2 = AM 2 + CM 2 ⇔ AM 2 = 3 2 − 12
2
⇔ AM = 2 2 .
Logo, a distância d do vértice B ao plano que contém A, D e C,
que é a altura relativa ao lado AM do triângulo retângulo ABM,
14
.
é tal que AM ⋅ d = BM ⋅ AB ⇔ 2 2 ⋅ d = 1 ⋅ 7 ⇔ d =
4
83.
Como as arestas do cubo medem 12 cm, então
EP = EH − HP = 12 − 8 = 4 cm e AQ = AB − BQ = 12 − 9
= 3 cm. Sendo P ’ a projeção ortogonal de P sobre AD, então
AP ’ = EP = 4 cm e PP ’ = AE = DH = 12 cm. Observe que o
triângulo QAP’ é retângulo em A, logo, aplicando o Teorema de
Pitágoras a esse triângulo, temos:
P ’Q 2 = AP ’2 + AQ 2 ⇔ P ’Q 2 = 4 2 + 3 2 ⇔ P ’Q 2 = 25
⇔ P ’Q = 5 cm.
Agora, note que PP ’ // AE // DH, assim P’P é perpendicular ao
plano que contém a face ABCD do cubo. Logo PP’ é perpendicular a P’Q e, desse modo, o triângulo PP’Q é retângulo em P’.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo PP’Q, temos:
PQ 2 = PP ’2 + P ’Q 2 ⇔ PQ 2 = 122 + 52 ⇔ PQ 2 = 169
⇔ PQ = 13 cm.
Portanto, a distância entre os pontos P e Q é 13 cm.
3