Instituto Politécnico de Leiria
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Análise Matemática
EI, EE, ERSC (D + PL)
Ano letivo 2014/2015
Folha de apoio: Funções Vetoriais
Definições iniciais
Definição: Uma função vetorial é uma função
−
→
r :
D⊆R
−→
t
−→
Rn
−
→
r (t) = (r1 (t) , ..., rn (t))
onde cada função ri é uma função real de variável real, designada por função componente.
→
Assim, a cada t a função −
r faz corresponder um vetor de Rn .
As funções vetoriais e as curvas no plano e no espaço estão diretamente relacionadas, já que podemos
usar as funções vetoriais para definir curvas no plano e no espaço. Este tipo de função é útil na descrição da
trajetória de uma partícula, por exemplo:
Exemplo 1:
3
−
→
r (t) = (cos t, sin t) , t ∈ 0, π
2
t
−
→
r (t) = sin t, cos t,
10
, t ∈ [0, 20]
−
→
r (t) = 2t, t2 , t ∈ [0, 3]
−
→
r (t) = ((4 + sin (20t)) cos t, (4 + sin (20t)) sin t, cos (20t)) , t ∈ [0, 2π]
1
→
Definição: O domínio D da função vetorial −
r é o conjunto de todos os valores de t onde a função
→
−
→
r é a interseção dos domínios das suas funções
r (t) = (r1 (t) , ..., rn (t)) está definida. O domínio de −
componentes r1 , ..., rn .
→
Definição: Seja −
r (t) = (r1 (t) , ..., rn (t)), t ∈ D, uma função vetorial.
→
→
• o limite de −
r quando t tende para t0 , lim −
r (t) , é o vetor dado por
t→t0
→
lim −
r (t) =
lim r1 (t) , ..., lim rn (t) ,
t→t0
t→t0
t→t0
assumindo que cada um dos limites das funções componentes existe.
→
• a função vetorial −
r diz-se contínua em t0 , t0 ∈ D, se
→
→
lim −
r (t) = −
r (t0 ) ,
t→t0
ou seja, se cada uma das funções componentes for contínua em t0,
lim r1 (t) , ..., lim rn (t)
t→t0
t→t0
= (r1 (t0 ) , ..., rn (t0 )) .
• Uma função vetorial diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio D.
→
→
r ′ (t0 ) , é o vetor dado por
• a derivada de −
r em t0 , −
−
→
r ′ (t0 ) = (r1′ (t0 ) , ..., rn′ (t0 ))
já que
−
→
→
r (t0 + h) − −
r (t0 )
−
→
r ′ (t0 ) = lim
=
h→0
h
lim
h→0
r1 (t0 + h) − r1 (t0 )
rn (t0 + h) − rn (t0 )
, ..., lim
h→0
h
h
,
assumindo que cada um dos limites anteriores existe e é finito.
→
• chamamos integral indefinido ou primitiva de −
r ao vetor
−
→
r (t) dt =
r1 (t) dt, ...,
rn (t) dt .
• supondo que cada uma das funções componentes é integrável no intervalo [a, b] ⊆ D, chamamos inte→
gral definido de −
r em [a, b] ao vetor
b
a
b
−
→
r (t) dt =
b
r1 (t) dt, ...,
a
rn (t) dt .
a
2
Parametrização de uma curva
→
→
→
Definição: Dada uma curva C ⊂ Rn , se −
r : [a; b] −→ Rn for tal que −
r ([a; b]) = C então −
r diz-se uma
parametrização da curva C. A orientação natural do intervalo [a; b] induz uma orientação na curva C; o
sentido positivo corresponde ao aumento da variável t e o sentido negativo ao decrescimento de t.
→
De salientar que −
r não é necessariamente injetiva, logo o mesmo ponto poderá ser obtido para diferentes
valores de t.
Parametrizações de curvas no plano e no espaço
→
Consideremos uma função vetorial −
r (t) = (r1 (t) , r2 (t)) definida num intervalo I ⊆ R. Esta função
vetorial define uma curva no plano dada por
C = {(r1 (t) , r2 (t)) , t ∈ I} .
→
A função −
r é uma parametrização da curva C; às equações


 x = r1 (t)

 y = r2 (t)
chamamos equações paramétricas da curva C. A variável t designa-se por parâmetro.
→
De notar que −
r (t) = (r1 (t) , r2 (t)) = r1 (t) i + r2 (t) j, sendo i e j os versores dos eixos coordenados.
De forma análoga, poderemos parametrizar uma curva no espaço dada por
C = {(r1 (t) , r2 (t) , r3 (t)) , t ∈ I}
→
recorrendo à função vetorial −
r (t) = (r1 (t) , r2 (t) , r3 (t)) , t ∈ I ⊆ R. Às equações



x = r1 (t)




y = r2 (t)





 z = r3 (t)
chamamos equações paramétricas da curva C.
→
Usando outra notação, −
r (t) = (r1 (t) , r2 (t) , r3 (t)) = r1 (t) i + r2 (t) j + r3 (t) k, sendo i, j e k os versores
dos eixos ordenados.
Exemplo 2: Consideremos
Verificamos que:


 x = 2t
,

 y = t2 − 1
quando t = −1 obtemos o ponto (x, y) = (−2, 0) ,
quando t = 0 obtemos o ponto (x, y) = (0, −1) ,
quando t = 2 obtemos o ponto (x, y) = (4, 3) .
Assim a representação da curva C, dada por
C=
2t, t2 − 1 , t ∈ [−1, 2] ,
pode ser observada na figura lateral.
3
t ∈ [−1, 2] .
Exemplo 3: Para identificar a curva cujas equações paramétricas são


 x = a cos t
, a > 0, t ∈ [0, 2π] ,

 y = a sen t
(1)
procede-se do seguinte modo:
x2 + y 2 = a2 cos2 t + a2 sen2 t = a2 cos2 t + sen2 t = a2 .
Logo as equações paramétricas dadas definem a circunferência de centro na origem e raio a, tomando
t ∈ [0, 2π] .
Nota: No exemplo 1, a primeira curva também é definida por equações paramétricas da forma (1), sendo
3
a = 1. No entanto, como t ∈ 0, π , obtém-se apenas parte da circunferência de centro na origem e raio 1.
2
De notar que uma curva C poderá ter diferentes parametrizações:
Exemplo 4: A curva no plano representada na figura que se segue
pode ser parametrizada por qualquer uma das seguintes funções vetoriais:
−
→
r (t) = t4 , t2 , t ∈ [0, 2]
ou
−
→
s (t) = t2 , −t , t ∈ [−4, 0] .
→
→
→
As curvas −
r ([0, 2]) e −
s ([−4, 0]) coincidem enquanto conjunto de pontos; no entanto, −
r percorre a curva
→
com o dobro da velocidade de −
s , mas no sentido contrário.
Exemplo 5:
De forma análoga, a curva no espaço representada na
figura lateral pode ser parametrizada por qualquer uma
das seguintes parametrizações:
−
→
r (t) = (2 cos t, 2 sin t, t) ,
t ∈ [−4, 4]
ou
−
→
s (t) = (2 cos (2t) , 2 sin (2t) , 2t) ,
t ∈ [−2, 2] .
→
→
As curvas −
r ([−4, 4]) e −
s ([−2, 2]) coincidem enquanto
→
conjunto de pontos; no entanto, −
r percorre a curva
→
com metade da velocidade de −
s , no mesmo sentido.
4
Vetor tangente
→
→
Definição: A função vetorial −
r diz-se suave se a sua derivada −
r ′ existir e for contínua e ainda se
−
→
−
→
r ′ (t) = 0 , qualquer que seja o t ∈ I ⊆ R.
→
Definição: Seja C uma curva parametrizada pela função vetorial suave −
r e P um ponto pertencente à
−
→
→
curva C tal que r (t ) = P. Designa-se por vetor tangente a C, no ponto P, o vetor dado por −
r ′ (t ) . O
0
0
vetor tangente a C aponta no sentido do parâmetro crescente (sentido positivo).
→
→
Teorema: Seja −
r uma função vetorial suave e C uma curva parametrizada por −
r . Então o comprimento
da curva, L, de t = a a t = b é dado por
b
L=
−
→
r ′ (t) dt.
(2)
a
Movimento de uma partícula ao longo de uma curva
→
Definição: Seja −
r uma função vetorial suave que parametriza uma determinada curva, descrevendo o
movimento de uma partícula que percorre esta mesma trajetória.
→
• O vetor posição −
r (t) indica a posição da partícula no instante t;
→
→
• O vetor velocidade −
v (t) = −
r ′ (t) indica a velocidade da partícula no instante t;
→
→
→
• O vetor aceleração −
a (t) = −
v ′ (t) = −
r ′′ (t) indica a aceleração da partícula no instante t.
→
→
• A velocidade escalar de uma partícula no instante t é dada por −
v (t) = −
r ′ (t) .
Exemplo 6: O vetor posição de uma partícula que se move num plano é dado por
−
→
r (t) = t3 , t + 2 .
Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante t = 1.
−
→
r (t) = t3 , t + 2
−
→
r (1) = (1, 3)
−
→
→
v (t) = −
r ′ (t) = 3t2 , 1
−
→
v (1) = (3, 1)
−
→
→
a (t) = −
v ′ (t) = (6t, 0)
−
→
a (1) = (6, 0)
5
→
Definição: Consideremos −
r uma função vetorial suave que parametriza uma determinada curva C. Se
uma partícula percorre esta trajetória entre os instantes t1 e t2 :
• o deslocamento da partícula entre t1 e t2 é dado por
→
∆−
r =
t2
−
→
→
→
v (t) dt = −
r (t2 ) − −
r (t1 ) .
t1
• a distância percorrida pela partícula entre t1 e t2 é dada por
t2
L=
−
→
v (t) dt.
t1
A distância percorrida pela partícula entre os instantes t1 e t2 corresponde ao comprimento da curva C
→
→
entre os dois pontos P1 = −
r (t1 ) e P2 = −
r (t2 ) .
Exemplo 7: Considerando o movimento da partícula, caracterizado no exemplo 6 por
−
→
r (t) = t3 , t + 2 ,
determine o deslocamento e a distância percorrida entre os instantes t = 1 e t = 2.
O deslocamento entre os instantes t = 1 e t = 2 é dado por
2
→
∆−
r =
−
→
→
→
v (t) dt = −
r (2) − −
r (1) = (8, 4) − (1, 3) = (7, 1)
1
A distância percorrida entre os instantes t = 1 e t = 2 é dada por
2
L=
3t2 , 1
2
9t4 + 1 dt.
dt =
1
1
6
Integrais curvilíneos
Integral curvilíneo sobre um campo escalar
Como integrar uma função ao longo de uma curva/linha?
Definição: Um campo escalar é uma função f : D ⊆ Rn → R, ou seja, é uma função que associa a
um vetor de Rn um valor real.
Teorema: Seja f : D ⊆ R2 → R uma função limitada e seja C uma curva contida em D. Se f é contínua
em C então f é integrável ao longo de C.
Denotemos por
−
(C,→
r)
f ds o integral curvilíneo de f ao longo de C.
Comecemos por introduzir uma interpretação geométrica deste conceito:
→
seja −
r : [a; b] → R2 uma função vetorial suave que parametriza uma determinada curva C no plano e f uma
função positiva integrável ao longo de C. Neste caso, o integral curvilíneo
superfície limitada:
−
(C,→
r)
f ds representa a área da
• pela curva C, contida no plano xOy;
• pelo gráfico de f restrito a C;
→
• pela reta que une o ponto (x, y) = −
r (a) do plano xOy ao ponto (x, y, f (x, y)) ;
→
• pela reta que une o ponto (x, y) = −
r (b) do plano xOy ao ponto (x, y, f (x, y)) .
→
Exemplo 8: Consideremos −
r (t) = (t cos t, t sin t),
com t ∈ [0; 5] , a parametrização da espiral C no
plano xOy e f (x, y) =
25 − x2 − y2 a função
cujo gráfico é uma semi-superfície esférica.
A área da superfície representada na figura lateral, limitada:
• pela espiral C;
• pelo gráfico de f restrito a C;
→
• pela reta que une o ponto (x, y) = −
r (0) = (0, 0)
do plano xOy ao ponto (x, y, f (x, y)) = (0, 0, 5) ;
→
• pela reta que une o ponto (x, y) = −
r (5) = (5 cos 5, 5 sin 5)
do plano xOy ao ponto (x, y, f (x, y)) = (5 cos 5, 5 sin 5, 0) ;
é dada por
−
(C,→
r)
f ds.
7
Para calcular o integral curvilíneo sobre o campo escalar f ao longo de C,
seguinte resultado:
−
(C,→
r)
f ds, usamos o
→
Proposição: Seja −
r : [a; b] → R2 uma parametrização suave de uma curva C e f : D ⊆ R2 → R uma
função integrável ao longo de C. Então o integral curvilíneo de f ao longo de C é dado por
b
−
(C,→
r)
f ds =
→
→
f (−
r (t)) −
r ′ (t) dt.
a
De notar que o valor do integral curvilíneo
−
(C,→
r)
→
f ds não depende da parametrização −
r da curva C
→
→
r2 de C, temos
considerada, ou seja, dadas duas parametrizações −
r1 e −
podemos denotar o integral curvilíneo de f ao longo de C apenas por
−
(C,→
r1 )
f ds =
−
(C,→
r2 )
f ds. Assim,
f ds.
C
3π
→
Exemplo 9: Seja −
r (t) = (2 cos t, 2 sin t), t ∈ 0;
,
2
uma parametrização da curva C contida no plano xOy
e f (x, y) = 5 − x − y um campo escalar cujo gráfico é
um plano.
A área da superfície representada na figura lateral, limitada:
• pela curva C (parte de uma circunferência);
• pelo gráfico de f restrito a C;
→
• pela reta que une o ponto (x, y) = −
r (0) = (2, 0)
do plano xOy ao ponto (x, y, f (x, y)) = (2, 0, 3) ;
→
• pela reta que une o ponto (x, y) = −
r
3π
2
= (0, −2)
do plano xOy ao ponto (x, y, f (x, y)) = (0, −2, 7) ;
é dada por
−
(C,→
r)
f ds.
→
→
Calculemos a área desta superfície usando a parametrização −
r =−
r (t) da curva C definida inicialmente,
b
a área desta superfície é dada pelo integral curvilíneo
−
(C,→
r)
3
2π
f ds =
−
(C,→
r)
f ds =
→
→
f (−
r (t)) −
r ′ (t) dt, ou seja,
a
(5 − 2 cos t − 2 sin t) (−2 sin t, 2 cos t) dt
0
3
2π
=
(5 − 2 cos t − 2 sin t) × 2 dt = 15π
0
8