FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
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MODELAGEM NO ENSINO MÉDIO: CUBAGEM DE
MADEIRA
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Lóren Grace Kellen Maia Amorim Mariana Martins Pereira
[email protected]
[email protected]
Rosana Sueli da Motta Jafelice
[email protected]
INTRODUÇÃO
Este trabalho mostra a utilização da modelagem no ensino médio (Modelação no
ensino), procurando mostrar uma aplicação da matemática no cotidiano. O texto
descreve algumas etapas da modelagem e um método desenvolvido para mostrar a
validade do método de cubagem utilizado pelo madeireiro e apresenta também uma
atividade que tem por objetivo auxiliar o professor no processo de ensino aprendizagem
de como ajudar o aluno na construção do conhecimento em relação ao volume do cone.
A intenção, quando procuramos compreender o método de cubagem da madeira
utilizado pelo madeireiro exibido em (BIEMBENGUT, 2003) é proporcionar ao aluno
um ambiente diferente para que o mesmo desenvolva sua aprendizagem de forma
compreensiva e significativa. O desenvolvimento deste projeto que fora intitulado
“Modelagem no ensino médio: Cubagem de Madeira” propiciou um espaço de
aprendizagem em Geometria Espacial.
Nesse trabalho trataremos do relato da experiência e dificuldades de elaboração
do referido projeto, bem como, da reflexão sobre os saberes movimentados e os
desdobramentos decorrente destes.
Para a realização do projeto o desafio era o de elaborar uma proposta de uma
atividade para alunos do ensino médio, envolvendo o ensino de Matemática através da
modelagem. Muito tempo foi necessário para se chegar à decisão de que havia no grupo
o desejo e a necessidade de desenvolver algo que pudesse ser trabalhado com o aluno,
deste nível de ensino, de maneira fácil, prática e prazerosa. A utilização da informática
se despontou como propício para explorar os conceitos de “Geometria Plana e Espacial”
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e, além disso, despertar o interesse dos alunos. Acreditava-se que este conteúdo abriria
um leque enorme de possibilidades para a realização de um trabalho interessante e
estimulador. Mas que material seria esse? Após a dedicação de várias horas discutindo e
realizando leituras e pesquisas, em diferentes textos e sites, optou-se pela construção de
uma atividade de ensino no ambiente computacional na tentativa de tornar real à
proposta imaginada.
Pensávamos que compreender a modelagem do método de cubagem utilizado
pelo madeireiro e a construção da atividade de ensino no ambiente computacional seria
fácil, porém quando começamos a desenvolver o trabalho, tivemos algumas surpresas,
pois não foi tão trivial perceber a matemática utilizada na abordagem de
(BIEMBENGUT, 2003) e nem na construção da atividade. Durante a elaboração da
mesma descobrimos o quanto é importante o professor desenvolver uma atividade antes
de propô-la a seus alunos, pois assim poderá identificar e entender que conteúdo
Matemático é possível ser explorado, e quando os alunos indagá-lo o professor não será
pego de surpresa.
Outro ponto relevante na produção da apresentação se relaciona a descoberta,
durante a preparação, sobre os vários conteúdos de Matemática possíveis de serem
explorados além daqueles pensados inicialmente. A idéia inicial proposta evidenciava
apenas o volume do cone, do cilindro e do prisma. Entretanto, a experiência nos levou a
descobrir que outros conteúdos estavam relacionados e poderiam ser também
explorados, tais como: perímetro, área, semelhança de triângulo.
Modelos Matemáticos e Situações Problemas Envolvendo Modelagem Matemática
Para (BASSANEZI, 2004), a Modelagem Matemática de uma situação problema
real deve seguir uma seqüência de etapas visualizadas na Figura 1.
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Figura 1 (BASSANEZI, 2000, p.27)
Na Figura 1 as setas contínuas indicam a primeira aproximação. A busca de um
modelo matemático que melhor descreva o problema estudado torna o processo
dinâmico, indicado pelas setas pontilhadas.
1. Experimentação: É uma atividade essencialmente laboratorial onde se processa
a obtenção de dados;
2. Abstração: É o procedimento que deve levar à formulação dos Modelos
Matemáticos;
3. Resolução: O modelo matemático é obtido quando se substitui a linguagem
natural das hipóteses por uma linguagem matemática coerente – é como num
dicionário, a linguagem matemática admite “sinônimos” que traduzem os
diferentes graus de sofisticação da linguagem natural;
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4. Validação: É o processo de aceitação ou não do modelo proposto. Nesta etapa,
os modelos, juntamente com as hipóteses que lhes são atribuídas, devem ser
testados em confronto com os dados empíricos, comparando suas soluções e
previsões com os valores obtidos no sistema real. O grau de aproximação
desejado destas previsões será o fator preponderante para validação;
5. Modificação: Alguns fatores ligados ao problema original podem provocar a
rejeição ou aceitação dos modelos. Quando os modelos são obtidos
considerando simplificações e idealizações da realidade, suas soluções
geralmente não conduzem às previsões corretas e definitivas, pois o
aprofundamento da teoria implica na reformulação dos modelos. Nenhum
modelo deve ser considerado definitivo, podendo sempre ser melhorado, poderse-ia dizer que um bom modelo é aquele que propicia a formulação de novos
modelos, sendo esta reformulação dos modelos uma das partes fundamentais do
processo de modelagem.
Genericamente, (BIEMBENGUT; HEIN, 2005), apresentam o modelo de
Modelagem Matemática, Figura 2, no qual matemática e realidade são dois conjuntos
disjuntos e a modelagem é o meio de fazê-los interagir.
Figura 2 (BIEMBENGUT; HEIN, 2005, p. 13)
Essa interação, que permite representar um fenômeno através da linguagem
matemática (modelo matemático), envolve uma série de procedimentos, que podem ser
agrupados em três etapas, subdivididas em seis subetapas, a saber:
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a) Interação

Reconhecimento da situação-problema;

Familiarização com o assunto a ser modelado
referencial teórico.
b) Matematização

Formulação do problema

Resolução do problema em termos do modelo;
hipóteses;
c) Modelo matemático

Interpretação da solução;

Validação do modelo
avaliação.
Se o modelo não atender às necessidades que o geraram, o processo deve ser
retomado na segunda etapa – Matematização – mudando-se ou ajustando hipóteses,
variáveis, etc. Veja a Figura 3:
Figura 3 (BIEMBENGUT; HEIN, 2005, p. 15)
É importante ao concluir o modelo, a elaboração de um relatório que registre todas
as fases do desenvolvimento, a fim de propiciar seu uso de forma adequada
(BIEMBENGUT,1999).
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COMPREENDENDO O PROCESSO DE CUBAGEM DE MADEIRA
O nosso intuito ao realizar este trabalho foi o de utilizar a modelagem como
meio de auxiliar no processo de ensino-aprendizagem. Também consideramos a
oportunidade de discutir por meio deste projeto a possibilidade real do professor deixar
um pouco de lado o quadro negro e as fórmulas, atuando como mediador para que o
aluno construa o seu conhecimento a partir das aplicações e manuseio do material.
Abaixo descrevemos a modelagem do método de cubagem da madeira de forma
a explanar toda matemática utilizada, os objetivos do objeto de aprendizagem proposto
e os procedimentos em cada etapa do trabalho.
Segue abaixo o método de cubagem utilizado pelo madeireiro segundo
(BIEMBENGUT, 2003).
Segundo o madeireiro, o procedimento para calcular a metragem cúbica de
madeira ou tábua que obterá do tronco de uma árvore após o corte é o seguinte:
a) primeiro, estima o ponto central do tronco da árvore;
b) com um cordel (barbante), a partir desse ponto, encontra o perímetro do
tronco (circunferência);
c) a seguir, dobra o cordel (relativo ao perímetro encontrado) em quatro partes
iguais 2π r = 4l.
2π r = 4l  l = π r/2
d) num ato contínuo, eleva ao quadrado a medida desse quarto da circunferência;
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e) e, finalmente, multiplica o valor desse quarto cordel ao quadrado, pela medida
da altura da árvore obtendo, então, o volume ou o número de m³ da madeira.
Qual a validade do método do madeireiro?
Nesse processo, o madeireiro "aproxima" primeiro o tronco (de cone) a um
cilindro. Essa aproximação se dará como perímetro, a média entre os perímetros das
bases menor e maior do tronco.
Posteriormente, efetua o cálculo do volume de um prisma de base quadrada.
Com isso, a diferença entre os volumes é significativa. Vejamos por quê:
 ao dividir o cordel em quatro partes e elevá-lo ao quadrado, o madeireiro calcula
a área de um quadrado, ou seja, “transforma” o círculo em um quadrado.
Embora os perímetros sejam iguais, as áreas são diferentes.

 ao multiplicar a área (Aq) pela altura (h), determina o volume de um prisma e
não de um cilindro. A razão é de
4
.

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Nesse caso, o volume obtido pelo método do madeireiro é menor do que o
volume do tronco. Isto porque o volume do cilindro é igual a π/4 do volume do prisma.
Outro fato interessante é que o corte para a obtenção de tábuas, nessa madeireira,
era feita de forma hexagonal. Isto é, cortava-se uma tábua e, em seguida, girava-se o
tronco em um ângulo (aproximadamente) de 60° , seguindo o processo até não ser mais
possível retirar tábuas.
Por esse processo, o volume de um prisma hexagonal é
3 3

  L ²  h
2


Se compararmos os volumes, veremos que:
Volume do cilindro > volume do prisma hexagonal > volume do prisma
quadrangular.
Numa análise superficial, observamos que o madeireiro "paga" pelo tronco,
como se fosse um prisma de base quadrangular, corta-o como um prisma de base
hexagonal e "ganha" efetuando seus cálculos a partir do cilindro, pois o tronco é
transformado em madeira e lenha.
Nesse momento poderá ser abordado os seguintes volumes:
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Volume do prisma: O volume de um prisma é dado por
V(prisma) = A(base).h
Volume do cilindro: Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da
base pela altura.
V = A(base). h
Se a base é um círculo de raio r, então:
V =  r² h
Volume do cone: O volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base
pela altura, então:
V = (1/3) r³
Volume do tronco de um cone: O volume de um tronco de cone reto é igual à
diferença entre os volumes do cone (maior) e do cone (menor), isto é:
Vt  VC  Vc  Vt 

R ²  H  r ²  h 
3
Matematizando com dados numéricos
Vamos tomar a medida de uma árvore de eucalipto e passar ao cálculo do
volume, supondo que o tronco de eucalipto seja "aproximadamente" um tronco de um
cone reto. Fazendo:
raio maior ( R ) = 0,30 m; raio menor ( r ) = 0,25 m; altura ( h ) = 4,8 m
1)
O volume de um tronco de cone reto é igual à diferença entre os volumes
do cone (maior) de altura (4,8 m + x) e do cone (menor) de altura x, isto é:
Vt  VC  Vc  Vt 

R ²  H  r ²  h 
3
Substituindo os valores dos raios, temos:
Vt 
 0,30 ²4,8  x    0,25² x  0,0275 x  0,432 

3
3
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Uma vez que os triângulos ABC e ADE são semelhantes podemos obter o valor de x,
por:
R h x
0,3 4,8  x



 x  24
r
x
0,25
x
Portanto, o volume do tronco (V):
V 0,364  1,143m³
2) Tomando a tora como cilindro, o volume (V2)
V  r ² h
V2   0,275²4,8
V2   0,363m ³  1,140m ³
3) Obtendo o volume de um prisma hexagonal, por ser este o processo de corte
do tronco.
Um hexágono regular de (lado L ) é composto por seis triângulos eqüiláteros.
Calculando a área de um triângulo eqüilátero.
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Como a altura do triângulo eqüilátero é h =
L 3
,
2
Seja At a área do triângulo eqüilátero e AH área do hexágono
L
3 L² 3
2
At 

2
4
L² 3 3 3
AH  6 

L²
4
2
L
Assim, o volume do prisma hexagonal (V3) será:
3 3
L²h
2
3 3
V3 
0,275²4,8  0,94m³
2
V3 
Pelo método do madeireiro, temos:
2
 circunferência 
V4  
 h
4


Considerando que o raio na metade do tronco seja a média entre os raios inferior
e superior, temos que:
circunferência  2
R  r   2  0,30  0,25   0,55m


2
2
2


 0,55 
V4  
 4,8  0,09075 ² m³  0,896m ³
 4 
Comparando os volumes, observamos:
V1
1,143
>
>
V2
1,140
>
>
V3
0,94 >
>
0,896
V4
m³
Numa análise superficial, poderíamos dizer que:
a) o madeireiro compra o tronco de árvore por 0,896m³;
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b) tem um aproveitamento em madeira de 0,943m³ e,
c) ao aproveitar a casca, obtém também mais
Vcasca = Vc - VH = 1,140 – 0,943 = 0,197m³
Comparando (b) e (a)
0,943  0,896 0,047

 0,0525  5,25%
0,896
0,896
Comparando (c) e (a)
1,140  0,896 0,244

 0,2723  27,23%
0,896
0,896
Ou seja, aparentemente há uma diferença não "contabilizada" de 5,25% de
madeira ou de 21,9% ao se considerar, também, a casca. Esse cálculo leva-nos a pensar,
num primeiro momento, que o método do madeireiro não vale.
Analisemos como é feito o corte das tábuas.
A cada tábua cortada, a lâmina da serra transforma cerca de 1 cm de espessura da
madeira em pó. Supondo que a espessura de cada tábua seja 2,5 cm. Em volume de pó,
corresponde aproximadamente a 48 prismas de 1 cm de espessura; 4,8 m de
comprimento e largura variando, mais ou menos, entre 24,6 cm e 4,3 cm.
Observe a Figura 4:
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Figura 4
Temos que L = 27,5 cm (média dos raios)
A tábua tem 2,5 cm de espessura, encontrando a altura do triângulo eqüilátero
teremos:
2
 27,5 
h  (27,5)  
  23,81
 2 
2
2
Como a espessura é 2,5cm teremos:
27,5
2  x  x  12,3
23,81 21,31
Assim, 2x = 24,6 cm
Logo a primeira tábua a ser cortada terá a largura de 24,6cm.
Observe o triângulo vermelho, Figura 5:
Figura 5
Encontrando k (espessura de cada tábua), temos que:
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k 2  2,5  (1,45) 2  k  2,89
2
Agora vamos calcular a quantidade de tábuas (n) que poderão ser retiradas na
base menor, cujo raio é de 25 cm.
Temos um triângulo eqüilátero de lados 25 cm, logo a sua altura será de:
L = 21,65 cm.
Assim teremos que n = 21,65/2,5  8
Logo, podemos retirar 8 tábuas de cada prisma.
Encontrando a menor largura do prisma
27,5 23,81

 x  4,4
x
3,81
Portanto a largura das tábuas irá variar entre 24,6cm e 4,4cm.
Ou seja, a largura depende do número de tábuas.
L= 27,5 – 2,89n
onde n é o número de tábuas tiradas.
O volume de pó entre duas tábuas em cm³:
Ou seja, a largura depende do número de tábuas.
L= 27,5 – 2,89n
onde n é o número de tábuas tiradas.
O volume de pó entre duas tábuas em cm³:
8
Vi   480cm²  27,5  2,89n   55660cm³
i 1
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Considerando que o corte da madeira é feito girando o tronco, o volume de pó de
serra será aproximadamente:
V(pó) = 6 X (55660) = 333964,8 cm³ = 0,33 m³
Comparando:
1,140 m³ (madeira mais casca) - 0,33 m³ (pó) = 0,81 m³ (volume de madeira)
Em percentagem, representa aproximadamente
0,33  100
 28,9%
1,140
Segundo o madeireiro, a perda é em torno de 20%.
Tomando o valor determinado pelo cálculo de volume feito pelo método do
madeireiro e subtraindo do valor "real":
1,140 m³ - 0,896 m³ = 0,244 m³ de perda
O que representa, em percentual:
0,244  100
 21,4%
1,140
Ou seja, uma perda em torno de 21%.
Concluímos que é válido o método de cubagem de madeira do madeireiro, e a
experiência mostra que é um modelo matemático, pois "aproxima" o tronco de cone (no
caso da árvore) a um prisma de base quadrada para saber o volume ou o número de
metros cúbicos de tábuas que conseguirá obter de uma árvore.
ATIVIDADE
Diante da grande dificuldade dos alunos em compreender a Matemática e, além
disso, a concepção de muitos alunos de diferentes níveis como sendo esta área um
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‘bicho-de-sete-cabeças’, consideramos interessante que o aluno tenha a oportunidade de
aprender interagindo e refletindo, evitando assim, um aprender mecânico, repetitivo e
aquele fazer sem saber o que faz e por que faz. Nesse sentido, optamos por desenvolver
um trabalho sobre o uso da modelagem e da informática, por acreditarmos que com essa
ferramenta as aulas de Matemática poderão ser mais interativas, despertando a
curiosidade, a criatividade e estimulando os alunos a fazerem perguntas.
Atividade 1: Nessa atividade o aluno irá escolher um cone, no qual um está
cheio de areia e o outro cheio de água, em seguida irá movimentar o cone até o cilindro,
esse processo será feito três vezes, se o aluno colocar menos de três o cilindro ficará
vazio se passar de três o conteúdo escolhido transbordará.
O objetivo dessa atividade é que o aluno compreenda como encontrar o volume
de um cone sabendo o volume do cilindro.
Atividade 2: Nessa atividade o aluno irá escolher uma altura, na tela aparecerá
uma serra elétrica que irá cortar o cone em uma certa altura. Depois do corte teremos
um cone menor e um tronco de cone.
Em seguida o cone e o tronco de cone irão encher então os alunos terão que
colocar o conteúdo no cone maior.
O objetivo dessa atividade é que o aluno compreenda como encontrar o volume
do tronco de cone.
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Atividade 3: Nessa atividade teremos a simulação do corte de uma árvore
quando o aluno passar o mouse sobre a tora no chão aparecerá o ponto médio entre a
base maior e a base menor. Em seguida teremos um barbante que contorna a tora
exatamente nesse ponto.
O aluno nesse momento terá que arrastar o barbante e escolher em quantos
pedaços esse se divide.
 Se a escolha for três ele perceberá com animação que o volume ocupado
pelo prisma de base triangular é bem menor que o volume do tronco.
 Se a escolha for quatro ele perceberá com animação que o volume
ocupado pelo prisma quadrangular é menor que o volume do tronco,
porém maior que o volume do prisma de base triangular.
 Se a escolha for seis ele perceberá com animação que o volume do
prisma de base hexagonal será maior que o volume do tronco.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
A experiência relatada neste texto nos mostrou evidências da possibilidade real
de oferecer aos alunos do ensino médio uma aula mais dinâmica, em que os mesmos
participam ativamente de todo o processo de construção do conhecimento. Além disso,
se sobressaíram nessa caminhada de aprendizagem e desenvolvimento profissional, a
possibilidade e a vantagem da utilização da modelagem para proporcionar aulas de
Matemáticas mais interativas, que despertam curiosidades e estimulam os alunos a
fazerem perguntas, descobrirem semelhanças / diferenças, criarem hipóteses e chegarem
às próprias soluções.
Pensamos que o projeto em si tem suas potencialidades, mas se não houver a
mediação do professor a modelagem e a atividade de ensino no ambiente
computacional, por si só, não contribuirá para o processo de ensino-aprendizagem. Para
finalizar, acreditamos que o professor, com a mediação adequada, poderá explorar
diversos conceitos de matemática no método de cubagem a madeira.
BIBLIOGRAFIA
BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática no ensino / Maria Sallet Biembengut,
Nelson Hein. – 3ª ed. – São Paulo: Contexto, 2003.
FREITAS, M.T.M .A escrita no processo de formação contínua do professor de
Matemática. 2006. 299f. Tese (Doutorado em Educação: Educação Matemática) – FE,
Unicamp, Campinas (SP).