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Movimentos no Plano
Lançamento Horizontal
Se um objeto é lançado horizontalmente com uma velocidade
inicial v0 e em seguida fica sujeito a ação da gravidade, o mesmo
descreverá uma trajetória parabólica e esse movimento é chamado
de lançamento horizontal.
→
v0
→
vy
→
v0
→
vy
h
A
(Vácuo)
θ
→
v0
v0 · cos θ
→
g
→
v0
→
vy
O lançamento horizontal é a composição de dois movimentos:
um horizontal que ocorre com velocidade constante v0 e outro
vertical sujeito a ação da gravidade, a partir do repouso. Note que
a velocidade vertical cresce a medida que a partícula cai. Podemos
equacionar esse movimento da seguinte forma:
a)
Para estudarmos o lançamento oblíquo vamos decompor o
vetor v0 na direção horizontal e vertical.
→
v0
v0 · sen θ
No instante do lançamento, as componentes tem módulos
vx = v0 · cos θ e vy = v0 · sen θ.
A componente horizontal permanece constante (MU)
enquanto a vertical decresce e cresce sujeita a ação da gravidade.
→
g
hmáx
v0 · senθ
v0 · cosθ
A
Horizontal (M.U.)
Na altura máxima temos vy = 0.
No vácuo, o tempo de subida é igual ao tempo de descida.
∆s = v · t
⇓
A = v0 · t
ts = td =
A → Alcance
b)
(Vácuo)
Vertical (Queda Livre)
v0 y
g
=
v 0 ⋅ sen θ
g
O tempo total é o dobro do tempo de subida (tt = 2ts)
∆s = v0y · t + a · t2/2
⇓
h = g · t2/2
t total =
2 ⋅ v0 ⋅ sen θ
g
A altura máxima pode ser dada por
Observação:
A cada ponto do movimento, a partícula apresenta duas
velocidades (v0 e vy). Para calcularmos a velocidade resultante
em um determinado ponto, podemos recorrer ao Teorema de
Pitágoras.
Lançamento Oblíquo
O lançamento oblíquo acontece quando uma partícula é
lançada com uma velocidade inicial v0 inclinada de um ângulo θ em
relação a horizontal.
h máx =
v0y 2
2⋅ g
=
(v0 ⋅ sen θ)2 v0 2 ⋅ sen 2 θ
=
2⋅g
2⋅g
Como o movimento horizontal é uniforme, podemos calcular o
alcance como sendo
A = v 0 x ⋅ t total = v 0 ⋅ cos θ ⋅
Observações:
2 ⋅ v 0 ⋅ sen θ v 0 2 ⋅ sen 2θ
=
g
g
2 sen θ · cos θ = sen 2θ
Para θ = 45°, obtemos o máximo alcance para um mesmo
módulo da velocidade v0.
→
v0
θ
Para ângulos complementares e uma mesma velocidade v0,
em módulo, temos alcances iguais.
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Movimentos no Plano
01. Uma partícula é lançada horizontalmente, com velocidade cujo
módulo é v0 = 60 m/s, de um ponto situado a 320 m acima do solo, numa
região em que a aceleração da gravidade tem módulo g = 10 m/s2.
a) Depois de quanto tempo a partícula atinge o solo?
b) Qual o alcance horizontal da partícula?
c) Qual o módulo da velocidade da partícula, no instante em que
atinge o solo?
02. Um avião voa a uma altura de 720m, com velocidade constante
e horizontal, cujo módulo é v0 = 100m/s, numa região em que a
aceleração da gravidade tem módulo
g = 10m/s2. Num
determinado instante, uma bomba é solta do avião. Desprezando
os efeitos do ar e supondo o chão horizontal, responda:
a) Depois de quanto tempo, após ser solta, a bomba atinge o
solo?
b) Qual o alcance horizontal da partícula?
c) Qual o módulo da velocidade da bomba no momento em que
atinge o solo?
d) Qual a trajetória da bomba para um observador fixo no solo?
e) Qual a trajetória da bomba para um observador no avião?
03. Um avião voa paralelamente ao solo, a uma altura de 245m,
com velocidade constante. Num determinado instante ele solta
uma bomba. Desprezando os efeitos do ar e supondo g = 10 m/s2,
depois de quanto tempo a bomba atinge o solo?
04. Um canhão dispara uma bala, com ângulo de tiro de 40°, em
relação ao solo, que é plano e horizontal. Desprezando-se a
resistência do ar, pode-se dizer que, durante o movimento constante:
a) sua velocidade se mantém constante.
b) a componente horizontal de sua velocidade se mantém
constante.
c) sua aceleração muda de sentido, pois a componente vertical da
velocidade muda de sentido.
d) a componente horizontal de sua aceleração varia uniformemente.
e) a trajetória é percorrida com velocidade constante, em módulo,
embora com direção variável.
05. Um projétil é lançado oblíquamente para cima com a velocidade
de 40 m/s e permanece no ar durante 4 segundos. O ângulo formado
pelo vetor velocidade de lançamento com a vertical é de:
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 75°
e) n.d.a.
06. Um projétil é lançado oblíquamente para cima com velocidade
de 100 m/s, numa direção que faz um ângulo de 60° com a horizontal.
Após 4,0 segundos, o módulo da velocidade vetorial do projétil é
aproximadamente igual a: (Adote g = 10 m/s2.)
a) 50 m/s
b) 87 m/s
c) 47 m/s
d) 68 m/s
e) n.d.a.
Gabarito:
01. a) 8s
b) 480m
c) 100m/s
02. a) 12
b) 1.200m
c) 156m/s
e) um segmento de reta vertical
03. b
04. b
05. c
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d) um arco de parábola
06. d