Informação Quântica e
Teoria da Relatividade
Seminário de Teoria Quântica de Campos I
Miguel Quartin
Junho 2005
1
Resumo


Conceitos Preliminares
Aquisição de Informação



O Processo Relativístico de Medida







Descoerência
Matrizes de Kraus e POVMs
Não Localidade Quântica?
Analogias Clássicas
Entropia Quântica e Relatividade Restrita
TQC e Relatividade Geral
Conclusões
Problemas em Aberto
Referências
2
Conceitos Preliminares
O operador densidade ρ:
   pi  i  i
i
Ρrob(an )   (t ) Pn  (t )  Tr[Pn  (t )]
A (t )   (t ) A  (t )  Tr[ (t ) A]


Se o estado
for puro: T r( )  1
Permite a descrição de estados de mistura
Possui vantagens na descrição de estados puros:


| ; e i  | resultam no mesmo ρ
As fórmulas acima são lineares em ρ, mas quadráticas em
|.
3
Conceitos Preliminares (2)
Operador densidade reduzido e traços parciais:
H  H (1)  H (2)
Sejam { |u(1) } e { |v(2) }
bases de H(1) e H(2)
u [1] u    u v    u v
v
~
A  A(1)  1(2)

[1] : T r2 (  )
T r( )  T r1T r2 (  )
~
A(1)  T r[1] A(1)
4
Conceitos Preliminares (3)



O operador ρ[1] nos permite calcular todos os valores
esperados como se o sistema 1 estivesse isolado e seu
operador de densidade fosse ρ[1];
Não há um vetor de estado que descreva o sistema 1
quando o sist. total não estiver em um estado produto
direto. O operador ρ[1], no entanto, sempre existe.
Dificuldade: a evolução temporal de ρ[1] em geral
depende do operador ρ completo;
d
i  (t )  H (t ),  (t )
dt
d
i  [1]( t )  ?
dt
5
Conceitos Preliminares (4)

Um estado quântico não é uma grandeza física, cujo valor
(embora desconhecido) seja bem determinado;





A noção contrária não possui nenhuma evidência
experimental e nos leva a aparentes paradoxos;
Estes paradoxos são frutos de uma interpretação incorreta
da MQ, que por si só nunca é contraditória;
| e ρ  meras expressões matemáticas que codificam
informação sobre potenciais resultados de nossas
intervenções;
Uma situação física contendo vários observadores não pode
ser descrita por (t) com lei relativística de transformação.
Ex.: “Paradoxo” EPRB  se A mede Z = +1, quando o
estado do spin de B muda p/ aquele onde Z = -1 com
prob. = 1?
6
Aquisição de Informação

A preparação e a medida são realizadas por dispositivos
macroscópicos  descritos em termos clássicos;



“Uma medida força o sistema a um salto para o autoestado associado à variável medida”.


O aparato obedece à MQ durante a interação
Ao término, ele é “desquantizado” e descrito por uma
densidade clás. de Liouville (e não 1 ponto no esp. de fase);
Este salto (ou colapso), é algo que ocorre na nossa
descrição do sistema, e não no próprio sistema.
Se o resultado de uma medida é a ausência de detecção,
não importa se isto foi fruto de um detector mal projetado
ou de uma prob. < 1 de um detector perfeito ser ativado.
O sistema quântico não permanece inalterado!
7
Aquisição de Informação (2)

Intervenções se iniciam por uma interação do sistema
com o aparato de medida, chamada pré-medida.
c
S
S


s  A   cS U S 
S ,
Estamos supondo que
o estado inicial é puro
A escolha de USλ determina qual propriedade do sistema
está correlacionada ao aparato e é, portanto, medida;
Detectores são descritos por operadores positivos E.



A prob. do detector  ser excitado é Tr(ρE);
Um conj. completo de E constitui uma
POVM (Positive Operator-Valued Measure);
Em geral: POVM ≠ medida de observável.
  E  1
E

, E   0
8
Aquisição de Informação (3)



A medida envolve: sistema estudado + aparato de medida
+ ambiente (possui graus de liberdade não-especificados);
Estes g.d.l. interagem com os g.d.l. relevantes;
Descrição completa do sistema composto C envolve:
variáveis microscópicas + var. macroscópicas.
Isoladas do ambiente

Interagem com o ambiente
Propriedade essencial de C: seus estados formam um
número finito de sub-espaços ortogonais distinguíveis pelo
observador.

Cada sub-espaço  um resultado da intervenção, que define
um elemento de POVM E.
9
Aq. de Info. - Descoerência (4)

Seja {| , } uma base para o sist. composto C



  Sub-espaço macroscópico (associado a um E)
  Estados microscópicos nesse sub-espaço
Estados do ambiente correlacionados com sub-espaços 
distintos de C são aproximadamente ortogonais;


Ortogonalidade  matriz de densidade diagonal em blocos
Resultado  predições estatísticas idênticas àquelas obtidas
em uma mistura de estados puros (não-normalizados) |:
    cS U S    , 
S ,
Desaparece o emaranhamento
entre estados com  distintos
Descoerência
10
Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (5)

O passo final da intervenção é descartar parte de C.
A parte descartada pode depender de .


{| , }  novo sistema
{| , m}  parte descartada




      Aμm  S  S t Aμm  t
m
S ,t
S t  cS ct
A 
μm  S
 U S  m
Matrizes de Kraus


      A μm   A μm
m
O “salto quântico” não é
um processo dinâmico
que ocorre no sistema
propriamente dito
11
Aq. de Info. – Matrizes de Kraus (6)

Probabilidade de ocorrência do resultado :


p  Tr     Tr A μm  A μm

 Tr E 
m

E   Aμm
Aμm
m

  E  1
pois U
Sm
é unitária
Elemento de uma POVM
Condição suficiente para não poder haver
transferência instantânea de informação:
A
m

, B n  0





 


p   T r  B n A  m  A  m B n   T r  B n  B n 

 n

 m, n

12
O Processo Relativístico de Medida


Medidas quânticas são quase-instantâneas.
Pergunta: a mudança quase-inst. é causada por um agente
exofísico consistente com a teoria da relatividade?



O importante não é como diferentes detectores se movem
em relação um ao outro, mas como os efeitos devidos aos
mesmos são descritos em um referencial ou em outro.
Sob uma transf. de Lorentz, não só os vários operadores são
transformados, mas o modo de calcular o resultado de uma
série de intervenções é alterado (pois a ordem cronológica
dos operadores muda).
Estes diferentes ordenamentos devem resultar no mesmo
conjunto de probabilidades. Este requisito não é trivial!
13
O Processo Relativ. de Medida (2)

Consideremos o “paradoxo” EPR à la Bohm (EPRB): um par
de partículas de spin ½ preparadas num estado singleto se
afastam e são detectas por 2 observadores;





Cada um mede uma componente de spin em uma direção
arbitrária (intervenções são mutuamente do tipo espaço);
A evolução do estado quântico deste sistema bipartido parece
ser genuinamente distinta nos 2 referenciais;
Os estados quânticos não são relacionados por T.L., mas
todos os resultados observáveis são os mesmos;
Consistência com o arcabouço teórico impõe relações entre
os vários operadores usados;
É suficiente para a consistência que os E comutem em
tempos iguais (análogo à TQC).
14
O Processo Relativ. de Medida (3)




A

A
Temos:
 n 0 n
f
n
0  U0U 
Invariância de Lorentz garante:
 f  V f V 
 f   An 0 An
n
m


A

W
V
A
U
Donde concluímos que:
 n m
n
m


Há uma T.L. conectando ρ0 e ρ’0 , assim como há uma para
ρf e ρ’f , mas não há T.L. p/ os estados intermediários;
Apenas nos nossos cálculos matemáticos há uma evolução
determinística para o estado do sistema. Esta evolução não
é um processo físico!!!
15
O P.R.M. – Não-Localidade? (4)





Fenômenos como aquele encontrado no “paradoxo” EPRB
são comumente associados à não-localidade quântica 
possibilidade de comunicação superluminal;
O Teorema de Bell garante que é impossível imitar a MQ
por “variáveis ocultas”  qualquer imitação clássica da MQ
é necessariamente não-local;
Mas a MQ não precisa ser não-local. Em particular, a TQC é
manifestamente local;
Informação tem que ser carregada por partículas materiais,
quantizadas ou não;
T.L. são implementadas por matrizes unitárias (G.L.H. é
uma simetria válida)  causalidade não pode ser violada
por medidas quânticas
16
O P.R.M. – Analogias Clássicas (5)


A relatividade e a MQ estão realmente envolvidas nisso?
Experimento clássico análogo ao EPRB  bomba explode
em 2 partes, carregando momentos angulares opostos:




Alice e Bob medem componentes arbitrárias de J1 e J2;
A medida de Bob nada diz a respeito do que Alice fez (se é
que ela fez algo!);
Bob sabe apenas o que Alice iria obter caso medisse a
mesma componente que ele;
A analogia é completa se usarmos mecânica estatística:


A distribuição dos fragmentos é dada por uma fç. de Liouville
no espaço de fase. Uma medida de J1 por Alice altera instantaneamente a fç. de J2, não importa quão longe Bob esteja.
Fç de Liouville  apenas uma ferramenta estatística
17
Entropia Quântica e Relatividade


Descoerência  graus de liberdade do ambiente
desconhecidos (ambiente é um exosistema);
V m componentes do vetor de estado;
Matriz de densidade do
sistema em estudo:

    m ,m
m
Entropia:
S   T r ln 
Conseqüência da relatividade:


Variáveis primárias (cuja T.L. depende apenas de )
 Ex.: componentes de momento
Variáveis secundárias (cuja T.L. depende também de p)
 Ex.: spin e polarização
18
Entropia Quântica e Relatividade (2)

Considere uma partícula de spin ½ e massa m > 0:
 a1 (p )  Matriz densidade reduzida:

 (p)  



d
p

(
p
)

(p)

 a2 (p ) 

S   T r ln 
Considere ainda que Bob se afasta de Alice com v const..
No referencial de Bob:

Entropia:
 a1 (p ) 

 (p )  
 a2 (p ) 
ar (p)  f (as , , p)
Ex.: Alice prepara Z  a2(p) = 0  S = 0


No referencial de Bob, mostra-se que: a2(p)  0  S  0
Conclusão: S não tem significado invariante, pois  não se
transforma covariantemente!
19
Entropia Quântica e Relatividade (3)

Não existe uma mecânica estatística relativística para um
sistema de N partículas com espaço de fase de dimensão
6N definido pelos pn e qn.



Interações relativísticas são mediadas por campos;
Uma fç. de Liouville completa deve conter os campos;
 A partir desta, podemos definir uma fç. de Liouville
reduzida, que dependa só dos pn e qn.
 No entanto, a evolução temporal da fç. reduzida depende
dos campos.
Se Alice prepara um par de estados, qual a prob. de Bob
distinguí-los?
PE (1, 2 )  12  14 Tr 1  2
20
Entropia Quântica e Relatividade (4)

Consideremos agora fótons.


Imperfeições nas fibras óticas e efeitos de difração nos
receptores levam a regras de superseleção  impossível
definir uma matriz densidade reduzida para a polarização.
 Mas podemos definir matrizes densidade efetivas;
 E construir POVMs. Porém se nos restringirmos a medidas
de polarização por estas POVMs  não mais existem
estados de polarização ortogonais.
 O teorema de não-clonagem se aplica!
Se Bob se move com v em relação a Alice, mostra-se que:
PE 
1 v
PE
1 v
Implicações sobre propriedades do
canal de comunicação quântico
21
TQC e Relatividade Geral

Alguns resultados da TQC são importantes na generalização
de conceitos como POVMs e emaranhamento;



Corolário do Teorema de Reeh-Schlieder: se modelamos um
detector por um operador localizado, este detector apresenta
“contagens escuras”.
Corolário do Teorema de Epstein-Glaser-Jaffe: Nenhuma
POVM construída por operad. locais satisfaz Ω|E(x)|Ω = 0.
Intervenções clássicas em sistemas quânticos são
aproximadamente localizadas no espaço e no tempo

“O conceito de ‘posição’ em um dado tempo não é um
atributo do elétron, mas um atributo da interação entre o
elétron e um dispositivo de detecção adequado.”
-- R. Haag (1996)
22
TQC e Relatividade Geral (2)

Quão localizados podem ser os detectores?
A idealização de “um detector por ponto espaço-temporal” é
claramente impossível;
 Como garantir que 2 detectores possuem probabilidade zero
de se sobrepor?
 Aparentemente há um compromisso fundamental entre
confiabilidade e localizabilidade.
 Problema em aberto...
Estados com um número definido de partículas  conceitos
teóricos úteis.
Estados experimentalmente acessíveis  não são, em geral,
auto-estados de operadores número de partículas.
A realização física de um único qubit é uma idealização.




23
TQC e Relatividade Geral (3)

II
I
IV


Bob

III

Um “Bobservador” acelerado descreve
uma trajetória hiperbólica.
Bob nunca não tem acesso à região I.
Onde Alice vê um estado puro, Bob vê
um estado de mistura... alguma
informação se perdeu.
 Situação análoga a presença de um
buraco negro
Se uma partícula cai no buraco negro, sua entropia desaparece?
Se cai em um buraco negro matéria com correlações quânticas
com matéria que permanece fora, essas correlações são
observáveis? O estado é descrito pela MQ?
24
Conclusões






O estado quântico e as funções de onda devem ser
encarados como meras ferramentas matemáticas para o
cálculo de probabilidades em um dado referencial;
“Colapsos” decorrentes de medidas ocorrem apenas na
nossa descrição do sistema em questão;
Causalidade não pode ser violada por medidas quânticas;
Evolução de estados puros para estados de mistura é a
regra geral ao se realizar uma intervenção clássica;
Entropia não é um conceito covariante de Lorentz;
TQC impõe um compromisso entre confiabilidade e
localizabilidade de detectores.
25
Problemas em Aberto


Discussão quantitativa do “compromisso” imposto pela
TQC aos detectores;
Passando da relatividade restrita para a geral, qual o
sentido de transporte paralelo de spin?




Em um espaço curvo, isto depende do caminho.
O que significa então dizer que um par de partículas
distantes está num estado singleto?
Como o grupo de rotações O(3) não é mais uma simetria, a
classificação e o próprio conceito de partícula torna-se
duvidoso.
Método para a detecção de emaranhamento relativístico
que envolva as propriedades espaço-temporais do
sistema (ex.: combinar POVMs de spin e localização). 26
Referências
Referência básica:
 A. Peres, D. Terno, Rev. Mod. Phys., vol. 76, pág. 93 (2004)
Referências adicionais:
 C. Cohen-Tannoudji et al., Quantum Mechanics vol. 1
 J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (2nd ed.)
 L. Reichl, A Modern Course in Stat. Phys. (2nd ed.)
 J. Preskill, Quantum Information and Computation, notas de
aula (1998)
 R. D’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity
 C. Fuchs, J. van de Graaf, IEEE Trans. Inf. Theory, 45, p.1216
27