Propagação de uma Onda
{PhysicalOverview.doc}
A transmissão de mensagens a distância suporta-se na propagação de ondas electro-magnéticas. Porque será?
Na figura, suponha-se que a Intensidade do Sinal Transmitido é s(t), uma onda sinusoidal perfeita (ou mais
abreviadamente, uma sinusóide) – e que é transmitida para um meio de transmissão.
A experiência mostra que no receptor o meio de transmissão entrega um sinal electro-magnético, r(t), cuja
intensidade tem também a forma de uma onda sinusoidal – com uma característica importante: a frequência de
oscilação não muda, mantém-se constante: o Sinal Recebido pode vir atenuado, relativamente ao Sinal
Transmitido, e pode vir atrasado – mas o número de ciclos por segundo mantém-se o mesmo.
Aliás, pode mesmo estudar-se o meio de transmissão, para concluir acerca da magnitude de tal atenuação e
atraso – e, por inserção de amplificadores e igualizadores adequados, procurar compensar tal atenuação e atraso:
com tais artifícios – e salvo as imperfeições do meio (ruído e distorção) - o sinal recebido acaba por ser quase
igual ao sinal transmitido! É esta característica que torna as ondas electro-magnéticas especialmente atractivas para
transportar a informação!
Por mor de precisão, refira-se que as asserções acima têm um pressuposto: que no cenário em causa é desprezável
(ou mesmo nulo) o assim denominado “efeito Doppler”. O leitor terá já reparado que, quando um comboio apita ao
chegar à estação onde o aguarda, a frequência aparente dos sinais que ouve não é exactamente igual à do som emitido
pelo apito: é maior…
Existem naturalmente outras razões para apoiar em ondas electro-magnéticas o transporte de informação:
- a sua velocidade de propagação – que, no vácuo, atinge c = 300 000 km/seg,
- a possibilidade de comunicação com locais tão longínquos como a Lua…
- a possibilidade de comunicação a sítios móveis: automóveis, barcos, aviões e satélites…
Portadora da Informação
{PhysicalOverview.doc}
Dada a importância da sinusóide – no transporte de informação, mas também na representação dessa
informação, como adiante se verá -, é natural que lhe seja dedicada alguma atenção. E, posto que “uma imagem
vale mais que mil palavras”, natural é que ela seja representada por gráficos adequados.
Representação no domínio do tempo:
Quiçá a forma mais instintiva de representar uma sinusóide seja aquela tradicional no estudo da trigonometria, a
saber: uma forma de onda s(t) representando a variação instantânea ao longo do tempo da expressão
s(t) = A * cos (2 * π * f0 * t + θ)
onde se contabilizam três parâmetros apenas, a saber:
A representa a Amplitude (ou Intensidade) isto é: o maior valor que a onda pode assumir (por ex., em Volt);
f0 representa a Frequência, isto é: o número de ciclos por segundo (ou Hertz, Hz);
θ representa a Fase, isto é, o arco (em radianos) cujo co-seno é o valor inicial de s(t) (em t=0) a dividir por A; na
prática, regista o facto de o pico da onda ocorrer – não na origem (t=0), mas em td = – θ / (2 * π * f0)
O Período (o tempo preciso para a sinusóide perfazer um ciclo completo - e repetir-se) é de 1 / f0 segundos.
Repare-se: s(t) suporta-se explicitamente num co-seno. No que se segue, e em vez das expressões “onda
sinusoidal” ou “sinusóide”, usar-se-á o termo “onda” – e esta será sempre representada algebricamente
por, apenas, um co-seno! E perguntar-se-á: que fazer, se uma onda for dada sob a forma de um seno? A
resposta é: bastará reescrevê-la em termos dum co-seno, pelo artifício de subtrair π/2 à respectiva fase:
sen (2 * π * f0 * t + α) ⇒ cos (2 * π * f0 * t + (α – π/2))
Representação no domínio da frequência:
Sonhe o leitor que faz uma pausa na leitura, para ouvir uma orquestra tocando uma música do seu agrado…
Em dado momento, dois instrumentos poderão ser solicitados a tocar a mesma nota; materialmente, estarão
vibrando – e com isso agitando o ar com uma dada frequência... Um ouvido apurado revelará que a nota gerada por
cada instrumento não é pura: cada um toca-a com um timbre que lhe é próprio. Mais precisamente, cada
instrumento produz, além da nota fundamental, algumas outras notas (mais fracas, ditas de harmónicas); para
exemplificar, quando um violino vibra a 440 Hz (a frequência da nota que, por convenção, se designa “lá”), emite
também vibrações ao dobro (880 Hz) e ao triplo (1320 Hz) dessa frequência…
Algum tempo depois, as notas tocadas serão outras…
Contemplando globalmente a música que está ouvindo, há que pensar não em uma mas em várias frequências…
Se, para cada uma delas, se recorrer ao grafismo acima (representação no domínio do tempo), rapidamente se
percebe que a tarefa advém uma grande trabalheira (e, de facto, inútil).
Pelo que, em “comunicações”, é preferível uma outra forma de representar uma onda, a saber: mediante um par
de diagramas - em que a variável independente é a frequência e:
- num deles, se traça uma risca vertical com uma altura representando a Amplitude dessa onda;
- no outro, se traça uma risca vertical com uma altura/profundidade representando a Fase dessa onda/co-seno.
As riscas são traçadas na abcissa (do eixo-f) cujo valor é o da frequência da onda em causa. A Amplitude é
sempre positiva: se algum cálculo se volver num valor negativo, o que haverá a fazer será absorvê-lo na Fase, por
soma ou subtracção de π:
– A * cos (2 * π * f0 * t + θ) ⇒ A * cos (2 * π * f0 * t + θ ± π)
Houvera que considerar várias ondas (espelhando, por exemplo, a fundamental e as harmónicas que produzem o
timbre do violino para o “lá”), o que se faria seria traçar, nesses gráficos, riscas denotando a Amplitude e Fase de
cada uma delas.
Aos gráficos assim obtidos – meros pares {A, θ} de riscas, um por cada onda/frequência em jogo, de tamanho
proporcional à amplitude e fase dessa onda - dá-se o nome de Espectros, respectivamente de Amplitude e de Fase.
Na vida real, será bem difícil ao leitor encontrar verdadeiras ondas (ou qualquer outro sinal periódico!) – no sentido
de que se estendem desde t=-∞… Tanto quanto o discurso actual da Ciência consegue perscrutar para trás, o Universo
começou há muito menos tempo: há apenas para aí uns 15 mil milhões de anos, mais coisa menos coisa… Pelo que: o
instrumental matemático há-de ser olhado como modelo aproximativo razoável…
Sobreposição de Co-senos
{PhysicalOverview.doc}
A figura ilustra os Espectros de Amplitude e Fase de quatro ondas, respectivamente de frequências 0, 6, 9 e 15
Hz. As suas Amplitude são, respectivamente, 1/2, 3/2, 2 e 1 (Volt); as respectivas Fases são 0, -π/5, π/2 e -π/3.
Usando a fórmula geral s(t) = A * cos (2 * π * f * t + θ), as expressões das várias ondas vêm a ser:
(valor constante: DC)
s0(t) = 1/2 * cos (2 * π * 0 * t + 0) = 1/2
s1(t) = 3/2 * cos (12 * π * t – π/5)
(período: 1/6 seg)
s2(t) = 2 * cos (18 * π * t + π/2)
(período: 1/9 seg)
(período: 1/15 seg)
s3(t) = 1 * cos (30 * π * t – π/3)
A partir destas expressões, podem traçar-se os gráficos no tempo das ondas dadas. E pode traçar-se uma curva
que, em cada instante, represente a soma algébrica das respectivas amplitudes nesse instante. O resultado é notável:
não apenas as ondas dadas são periódicas, como o é também o sinal em que se volve a sua sobreposição!
Isso não acontece sempre – nem por acaso: o leitor poderá reparar que houve um certo cuidado na escolha das
frequências (não nulas) das ondas. Concretamente, elas exibem um máximo divisor comum, a saber: 3 Hz (6, 9 e 15
são múltiplos de 3). Inversamente, os respectivos períodos (1/6, 1/9 e 1/15 seg) são divisores inteiros de um assim
designado período fundamental, de T0=1/3 seg: ao longo de um intervalo de tempo estendendo-se por 1/3 seg, as
ondas dadas completam dois, três e cinco ciclos completos respectivamente.
Repita-se: o facto de o sinal resultante da sobreposição das ondas dadas ser periódico não acontece por acaso.
É que, a intervalos de 1/3 seg, as ondas dadas se repetem todas; por consequência, o sinal composto também se
repete a intervalos de 1/3 seg: ele é periódico, de frequência 3 Hz.
A essa frequência do sinal composto dá-se o nome de frequência fundamental; e às frequências das ondas dadas que dela são múltiplas - dá-se o nome de harmónicas.
A fórmula geral de uma harmónica é fn = n f0, em que n é um inteiro. A primeira harmónica, f1, coincide
exactamente com a própria fundamental (f1 = f0).
Para o caso particular da frequência fundamental ser 3 Hz, existe um número infinito de harmónicas: 3, 6, 9, 12,
15, 18, 21, 24 Hz, etc…. Pode então afirmar-se que o sinal composto acima é (afora a componente DC, s0(t)=1/2)
uma sobreposição linear dessas harmónicas, com a seguinte propriedade: todas elas se esvanecem (isto é, têm uma
Amplitude igual a zero), excepto a 2ª, 3ª e 5ª – cujas Amplitudes são, respectivamente, 3/2, 2 e 1 (Reveja-se como
se chegou a esse sinal – precisamente a partir dos Espectros de Amplitude e Fase de {s0(t),…, s3(t)}).
Resumindo: doravante, pode olhar-se o Espectro de um sinal periódico como representação do seu
conteúdo em frequência. Ele faz o elenco gráfico das respectivas componentes – DC e harmónicas: quais as
suas frequências, amplitudes e fases. Quanto à frequência desse sinal composto – dita fundamental -, obtémse por cálculo do máximo divisor comum dessas frequências harmónicas.
Nota: Não é de mais realçar que um sinal composto será periódico apenas se as frequências das suas componentes forem
múltiplas de alguma fundamental. Por exemplo, o sinal obtido pela sobreposição de
s4(t) = cos ( √2 * π * t) e s5(t) = cos (√3 * π * t)
não é periódico, se bem que as componentes (dois co-senos) o sejam: não existe nenhum intervalo de tempo, T, onde s4(t) e s5(t)
completem, ambos, ciclos completos; √2 e √3 não têm máximo divisor comum.
Potência de um sinal
A potência (energia por unidade de tempo) dissipada em média por um sinal periódico de amplitude s(t) Volt
sobre uma resistência de 1 Ω calcula-se (conforme a lei de Joule) por integração ao longo de um período {0 – T0}:
P = 1/ T0 ∫ s(t)2 dt
Para o caso de s(t) ser um co-seno, A cos (2 π f0 t + θ), manipulações algébricas triviais levam a P = A2/2: a
potência (média) duma onda depende só da sua Amplitude – não depende nem da Frequência nem da Fase!
E para o caso de s(t) ser um sinal composto, obtido por sobreposição linear de várias ondas, como seja o sinal
acima? O leitor pode verificar que 1/ T0 ∫ [s0(t) + s1(t) + s2(t) + s3(t)]2 dt conduz a
PSinalComposto= A02 + A12/2+ A22/2+ A32/2
(em que A0 …, A3 são as amplitudes de s0(t),…, s3(t)), isto é, e generalizando: a potência média de um sinal
periódico é igual à soma da potência da componente DC com as potências médias das ondas que o compõem
(teorema de Parseval). Corolário: quadrando o espectro de Amplitude de um sinal, fica-se sabendo como se
distribui a sua potência pelas várias componentes: DC e harmónicas!
Decomposição de Sinais Periódicos
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A sobreposição linear de ondas com frequências múltiplas de alguma fundamental resulta num sinal composto
periódico cuja frequência vem a ser essa fundamental. Uma mente curiosa não deixará escapar a oportunidade sem
perguntar: dado um sinal periódico com uma dada frequência, seja f0, será possível construí-lo por sobreposição de
algumas ondas - e, em caso afirmativo, haverá alguma maneira de descobrir quais serão essas ondas: frequências,
amplitudes e fases?
A resposta é afirmativa, foi encontrada por Fourier (algo antes de 1822):
“Qualquer” função periódica de frequência f0=1/T0 pode exprimir-se por uma assim designada série
trigonométrica de Fourier; esta mais não é que uma sobreposição linear de senos e co-senos cujas frequências são
todos os múltiplos de f0 – e cujas amplitudes são convenientemente escolhidas:
s(t) = a0/2 + ∑ an cos (2 π fn t) + ∑ bn sen (2 π fn t), com fn = n f0 → fn = f0, 2 f0, 3 f0, …
sendo que as amplitudes, an e bn, das várias componentes (ditas coeficientes da série trigonométrica de Fourier de
s(t)) se obtêm por integração ao longo de um período {0 – T0}:
an = 2 / T0 ∫ s(t) cos (2 π fn t) dt, isto é: o dobro do valor médio de s(t) cos (2 π fn t)
bn = 2 / T0 ∫ s(t) sen (2 π fn t) dt, isto é: o dobro do valor médio de s(t) sen (2 π fn t)
a0/2 = 1 / T0 ∫ s(t) dt, isto é: o valor médio de s(t).
b0 = 0 (por convenção).
Caso o leitor não seja aficionado do “Cálculo Integral”, pode ficar tranquilo, que – no contexto deste
texto, o de uma iniciação ao modelo básico das comunicações – não irá ser solicitado a calcular estes
integrais…
O importante a reter é isto: dada uma função periódica de Período T0, é (quase sempre) possível
descobrir as harmónicas (isto é: sinusoides de frequência múltipla de f0=1/T0) de que ela se pode considerar
ser uma sobreposição!
A ressalva “quase sempre” reflecte o facto de a série de Fourier convergir (para o valor de s(t)) em cada
instante t se s(t) tiver uma área finita por período e, em t, for contínua. A condição é suficiente mas não é
necessária; de qualquer modo, em telecomunicações, não é limitativa: acontece que todos ou quase todos os
sinais práticos de interesse a satisfazem.
Espectro de Riscas Unilateral
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A expressão acima, da série trigonométrica de Fourier, envolve senos e co-senos:
s(t) = a0/2 + ∑ an cos (2 π fn t) + ∑ bn sen (2 π fn t), com n = 1, 2, 3, …
Claramente, não está conforme à convenção acima - de representar ondas apenas mediante co-senos! É altura de
transformar s(t) em uma expressão que envolva somente co-senos…
Tendo em conta a igualdade trigonométrica cos (α + β) = cos (α) cos (β) – sen (α) sen (β), manipulações
algébricas triviais conduzem à série trigonométrica combinada de Fourier:
s(t) = A0/2 + ∑ An cos (2 π fn t + θn), com n = 1, 2, 3, …
em que as amplitudes e fases são, respectivamente,
An = √(an2 + bn2)
θn = arc tg (– bn / an)
Resumindo: dado um sinal periódico com uma dada frequência, seja f0, é (quase sempre) possível
descobrir as amplitudes e fases das ondas harmónicas de que ele se pode considerar ser uma sobreposição!
Relembrado o significado dos diagramas de Amplitude e Fase, estas expressões habilitam a traçar de imediato o
assim designado Espectro de Riscas unilateral do sinal dado, s(t).
- As frequências das harmónicas serão f1 = f0, f2 = 2 f0, f3 = 3 f0, etc.
- Os Espectros de Amplitude e Fase traçam-se a partir de An e θn – e abarcam apenas frequências positivas.
Repare-se:
- o Espectro do sinal envolve dois gráficos de riscas, um para a Amplitude e outro para a Fase;
- as riscas do espectro encontram-se uniformemente espaçadas, de f0;
- a amplitude de cada risca é proporcional ao coeficiente (Amplitude ou Fase) da série combinada de Fourier
correspondente à frequência a que a risca diz respeito;
- porquanto o valor médio duma onda é 0, o valor médio do sinal vem a ser a componente DC, isto é: A0/2;
Parêntesis: Espectros Bilateral e Complexo
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Abra-se um parêntesis, para representações alternativas de Fourier…
O Espectro de riscas unilateral remete para uma “soma” de ondas de frequências positivas (que são as únicas
com significado físico real). Na literatura a propósito deste assunto, é comum, porém, um outro Espectro de riscas,
dito bilateral – porquanto envolve frequências positivas e negativas.
Deduz-se mediante manipulações algébricas triviais: parte-se de
s(t) = A0/2 + ∑ An cos (2 π fn t + θn), com n = 1, 2, 3, …
tendo em conta a igualdade trigonométrica cos (α) = cos (–α), chega-se a
s(t) = A0/2 + ∑ An /2 [cos (2 π fn t + θn) + cos (– 2 π fn t – θn)], com n = 1, 2, 3, …
e finalmente
s(t) = A0/2
+ ∑ An /2 cos (2 π fn t – θn) com n = -∞, … -1
+ ∑ An /2 cos (2 π fn t + θn) com n=1, …, ∞
= ∑ An/2 cos (2 π fn t + θn), com n = -∞, … ∞, e (para n>0) A-n=An e θ-n= –θn
Estas expressões habilitam a traçar o assim designado Espectro de Riscas bilateral do sinal original s(t).
- As frequências das harmónicas serão …, f-3=-3 f0, f-2=-2 f0, f-1=- f0, 0, f1=f0, f2=2 f0, f3=3 f0, …
- Os Espectros de Amplitude e Fase traçam-se a partir de An/2 e θn – e abarcam frequências positivas e
negativas.
Repare-se que
- o Espectro Bilateral de Amplitude é uma função par (A-n /2 = An /2);
- o Espectro Bilateral de Fase é uma função ímpar (θ-n= –θn).
- a Potência média será (A0/2)2 + 2 * ∑ (An /2)2 = ∑ (An /2)2 com n = -∞, …, ∞
isto é: a distribuição espectral de potência obtém-se quadrando simplesmente o Espectro de Amplitude
A representação bilateral pode-se justificar por comodidade nas manipulações matemáticas – não tendo
significado físico: que é isso de frequências negativas? Quisera o leitor obter, a partir dela, a representação
unilateral (que essa, sim, tem significado físico: regista as ondas que compõem um sinal), bastará considerar
apenas a metade direita do Espectro bilateral (à direita do eixo f=0, inclusivé) – todavia duplicando todas as
amplitudes (excepto a da componente DC).
Ainda uma outra representação comummente usada é a dita forma exponencial ou complexa de Fourier.
Deduz-se mediante manipulações algébricas triviais: partindo da série trigonométrica,
s(t) = a0/2 + ∑ an cos (2 π fn t) + ∑ bn sen (2 π fn t), com n = 1, 2, 3, …
e, tendo em conta a igualdade trigonométrica cos (α) = (ejα + e-jα)/2 e sen (α) = (ejα - e-jα)/(2j), chega-se a:
s(t) = ∑ Cn e j 2 π fn t com n=-∞, … ∞,
em que Cn = 1 / T0 ∫ s(t) e -j 2 π fn t dt = (an±j bn/2, que é o valor médio de s(t) e -j 2 π fn t.
Na prática, dado s(t), pode ser mais simples determinar os coeficientes complexos Cn – e, destes, deduzir:
- o Espectro de Amplitude, que será An = √( an2 + bn2) = 2 ‫ ׀‬Cn ‫׀‬
- o Espectro de Fase, que será θn = arc tg (– bn / an) = arg (Cn)
e, por conseguinte:
s(t) = ‫ ׀‬C0‫ ׀‬+ ∑ 2 ‫ ׀‬Cn ‫ ׀‬cos (2 π fn t + arg (Cn)), com n = 1, 2, 3, …
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
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Um ponto de ordem à mesa: o leitor já estará perguntando a esta hora – e com carradas de razão: A que vem toda
esta análise Fourier? É a esta questão que as linhas adiante estão dedicadas.
Antes de mais, uma precisão: já por diversas vezes veio à baila o termo “sistema”. Tem sido usado como
sinónimo dum conjunto de blocos funcionais interligados de forma a cumprir um objectivo concreto – no
caso, a transferência de dados a distância. No que se segue, “sistema” será também usado como sinónimo de
conversor de sinal eléctrico, isto é: como proporcionando uma entrada onde se pode aplicar uma tensão (ou
corrente) - que vai provocar uma mudança de tensão (ou corrente) em uma saída.
Seja a transmissão de um sinal periódico, através de um sistema tão corriqueiro como um par de fios de cobre.
Da discussão precedente, trata-se de transmitir a sobreposição de um conjunto de harmónicas, com frequências
múltiplas duma fundamental f0 (e amplitudes e fases conformes às fórmulas “Fourier” apresentadas):
Que irá acontecer? Admita o leitor, para simplificar, que o sistema em causa é invariante-no-tempo e linear:
- invariante no tempo, trocado por miúdos, significa: dado algum sinal de entrada, o sinal de saída é sempre o
mesmo, faça sol ou faça chuva (Como a temperatura e a humidade alteram, ainda que só ligeiramente, as
características electro-magnéticas dos materiais, os sistemas não são de facto invariantes no tempo… Mas será
pacífico aceitá-los como invariantes se tais alterações não forem por demais significativas…)
- linear entende-se do seguinte modo:
1) pressuposto que o sinal de entrada é uma sobreposição de ondas, ∑ Ak cos (2 π fk t), um sistema linear
como que trata separadamente essas ondas – por cada uma dando origem, na saída, a, também, uma onda, de
Amplitude e Fase que, em geral, não serão necessariamente iguais às dessa onda de entrada:
cos (2 π fk t) ⇒ Gk cos (2 π fk t - ϕk) – cfr interpretação adiante
2) a saída é a sobreposição (com os pesos Ak) das ondas de saída geradas em resposta às ondas de entrada...
Isolando uma onda de entrada, de frequência fk, dir-se-á que, para essa frequência, o sistema está forçando:
2.1 um ganho na amplitude, no montante de Gk = AmplitudeSaída/AmplitudeEntrada;
(Se 1 > Gk, pode usar-se a designação atenuação, reservando ganho para quando se verifica 1 < Gk);
2.2 um atraso de fase, de ϕk = arg (cosEntrada) – arg (cosSaída),
ou, o que é o mesmo, um atraso no tempo, de ϕk / (2 π fk)
Ao par {G(f), ϕ(f)} dá-se o nome de resposta de frequência do sistema.
Considerando à entrada do sistema a sobreposição de duas ondas, de frequências fm e fn, observar-se-á, à saída,
uma sobreposição das respostas individuais a cada uma dessas ondas:
Am cos (2 π fm t + θm) + An cos (2 π fn t + θn) ⇒ Gm Am cos (2 π fm t + θm - ϕm) + Gn An cos (2 π fn t + θn - ϕn)
Pretendendo-se uma boa comunicação, é desejável que a forma do sinal à saída se assemelhe fielmente à forma
do sinal à entrada - podendo admitir-se, quando muito, um ganho G e um atraso td: sSaída(t) = G * sEntrada ( t – td)
Tendo em vista todas as harmónicas que compõem o sinal de entrada, é necessário, para esse efeito,
- que as amplitudes, An, das ondas sofram, todas, o mesmo ganho: Gn = Gm = G;
- que os argumentos das ondas, 2 π fn t, sofram, todos, o mesmo atraso, td: cos (2 π fn t) ⇒ cos (2 π fn (t - td))
e por conseguinte ϕn = arc cos (cos (-2 π fn td)) = -2 π fn td + k * 2π, o que grosso modo significa que o atraso de
fase sofrido por cada onda deve ser proporcional à sua frequência.
Os sistemas reais não garantem tais requisitos. Em termos físicos: são particularmente incapazes de reproduzir
as rápidas variações das ondas de frequência mais elevada… Na prática, o que se consegue são sistemas capazes de
transmitir ondas de frequências pertencendo a alguma banda passante limitada, porém suprimem as demais.
Considere-se um sistema que se comporte de modo linear na banda de frequências {Wmin … Wmax}. Que
é expectável que aconteça, se à entrada lhe for apresentado um sinal s(t)? Dois cenários há a ponderar:
- admita-se que a faixa de frequências ocupada por s(t) está toda ela contida dentro daquela banda. Então,
bastará saber como o sistema responde a cada frequência dessa faixa – para saber como ele responde a s(t).
Em particular, e conforme à discussão acima, o sinal à saída será semelhante ao sinal à entrada!
- admita-se, todavia, que a faixa de frequências de s(t) está fora da banda {Wmin … Wmax}; se ainda se
quiser usar aquele sistema para o transmitir, há primeiramente que efectuar alguma conversão a s(t), para que
o sinal daí resultante ocupe uma faixa dentro dessa banda – e, no fim, proceder à conversão inversa
Reside aqui a conveniência em conhecer o Espectro de s(t) – isto é, conhecer o seu conteúdo em
frequência, o que é precisamente o objectivo da “análise Fourier”: habilita a discernir o tratamento a darlhe – e portanto os dispositivos conversores de sinal a considerar (eles mesmo caracterizados em termos da
sua resposta {Gn,θn} a ondas) - com vistas a uma transmissão bem sucedida…
Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares
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Considere o leitor o envio de um e-mail onde se anexaram ficheiros de texto, áudio, vídeo, sabe-se lá que mais:
em poucas palavras, sucessões de 0s e 1s. Qual será o seu Espectro? Naturalmente, irá depender da sucessão exacta
de 0s e 1s em causa… e antevê-se que deduzi-lo não será coisa de somenos. Pelo que será pacifico começar por algo
mais simples: uma Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares. Admitindo que os impulsos têm amplitude A e
duração τ, e se repetem a intervalos de T0 segundos (e um dos impulsos está centrado na origem, t=0),
manipulações algébricas triviais conduzem aos seguintes coeficientes da série trigonométrica de Fourier:
an = 2 / T0 ∫ s(t) cos (2 π fn t) dt = 2 A / (n π) sen (π fn τ)
bn = 2 / T0 ∫ s(t) sen (2 π fn t) dt = 0.
Seja d = τ / T0 (dito de duty-cycle) a razão entre a duração dum impulso e o respectivo período de repetição, ou
seja: a fracção do tempo em que a Sequência de Impulsos está a ‘1’; substituindo, vem an = 2 A / (n π) sen (n π d)
e a série de Fourier escrever-se-á:
s(t) = Ad + ∑ 2 A / (n π) sen (n π d) * cos (2 π fn t), com n = 1, 2, 3, …
O Espectro de riscas unilateral deduz-se facilmente:
An = √( an2 + bn2) = an = 2 A / (n π) sen (n π d)
θn = arc tg (– bn / an) = 0
O Espectro bilateral de Amplitude, traçado na figura, será por conseguinte dado por:
An / 2 = A d sen (n π d) / (n π d), com n = -∞, …, -1, 0, 1, …, ∞
As frequências das harmónicas são, naturalmente, múltiplas da fundamental, que é f0 = 1/T0 Hz.
Constata-se que:
- o valor médio do sinal – e por conseguinte a componente DC do sinal – é de A0/2 = A f0 τ = A d;
- a envolvente da Amplitude An tem um primeiro zero em n π d = π → n f0 = 1/ τ Hz
- o sinal tem potência PTotal = A2 d; a maior parte dela distribui-se nas frequências inferiores a esse zero, 1/τ Hz
Repare-se que:
1. para o caso de a duração τ ser igual a T0 (o impulso dizendo-se então de formato “non-return-to-zero”, a
Sequência de Impulsos degenerando então num sinal constante), e por conseguinte d = τ / T0 = 1, vem:
a0 = 2A, an = 2 A / (n π) sen (n π) = 0, para n≠0;
constata-se que o Espectro de Amplitude se restringe a uma risca, de magnitude igual a a0/2=A, em f=0;
2. para o caso de a duração τ ser T0 /2 (o impulso dizendo-se então de formato “return-to-zero”, a Sequência de
Impulsos degenerando então num onda rectangular em que os 1s e os 0s têm igual duração, vem:
a0 = A, an = 2 A / (n π) sen (n π /2), para n>0;
constata-se que todas as harmónicas de ordem par se anulam: an = 0 para n = 2, 4, 6, …
3. para o caso de a duração τ ser T0/2 (e portanto d=1/2) e a amplitude ser A=1 (onda quadrada), a série de
Fourier escreve-se:
s(t) = 1/2 + 2/(π) cos (2 π f0 t) – 2/(3π) cos (2 π 3f0 t) + 2/(5π) cos (2 π 5f0 t) – 2/(7π) cos (2 π 7f0 t) + …;
constata-se então:
- o valor médio do sinal – e por conseguinte a amplitude da componente DC do sinal - é de 1/2;
- a separação entre riscas é de f0 = 1/ T0 Hz;
- a envolvente da Amplitude An tem um primeiro zero em 2/ T0 Hz – que coincide com a segunda harmónica, f2;
existem apenas três riscas de frequência não superior a f2;
- o sinal tem potência PTotal = 1/2;
- a componente DC tem potência PDC = 1/4;
- a primeira harmónica (f1 = f0 = 1 / T0) tem potência Pf1 = 2/π2;
- a segunda harmónica (f2 = 2 f0) tem potência Pf2 = 0;
- a fracção da potência total que é suportada pelas três primeiras riscas é de (1/4 + 2/π2) / (1/2) ≈ 0,905
Reconstrução da Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares
{PhysicalOverview.doc}
Considere o leitor de novo a transmissão de um sinal periódico, através de um canal tão corriqueiro como um
par de fios de cobre – mas assumindo agora que ele é uma Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares. Da
recente discussão, trata-se de transmitir a sobreposição de um conjunto infinito de harmónicas, com frequências
múltiplas duma fundamental f0 (e amplitudes e fases conformes às fórmulas “Fourier” apresentadas):
s(t) = Ad + ∑ 2 A / (n π) sen (n π d) * cos (2 π fn t), com n = 1, 2, 3, …
Suponha o leitor, como se fez já acima, que o canal em causa é invariante-no-tempo e se comporta de modo
linear numa banda de frequências {0 … Wmax}.
Que é expectável que aconteça?
Para se apreciar as consequências da limitação da banda a Wmax, a figura ao lado reproduz a saída de canais de
transmissão que, além de “passarem” a componente DC, apresentam larguras de banda Wmax sucessivamente
crescentes:
1) o primeiro canal é opaco mesmo à onda com a frequência da fundamental f0: a saída resume-se a um valor
constante, igual ao valor médio do sinal, Ad;
2) o segundo canal somente “passa” a fundamental: a saída é uma onda, 2 A / π sen (π d) * cos (2 π f0 t),
adicionado a um valor constante (que é o valor médio do sinal);
3) o terceiro canal somente “passa” as duas primeiras harmónicas (a fundamental e a 2ª harmónica)
4) o quarto canal somente “passa” as três primeiras;
5) o quinto canal somente “passa” as quatro primeiras;
6) o sexto canal somente “passa” as cinco primeiras.
O resultado final é: o sinal de saída é uma aproximação da Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares à
entrada - aproximação essa tanto maior quantos mais harmónicas forem adicionadas , isto é: quanto maior for a
largura de banda, Wmax, do canal de transmissão.
As harmónicas de menor frequência resultam em algo que apresenta já alguma parecença com a Sequência de
Impulsos original – mas os “saltos” entre 0s e 1s são “arredondados”, que não verdadeiras descontinuidades; intuise que o principal contributo das harmónicas de maior frequência é conferir uma maior verticalidade a esses saltos.
Quisera obter-se uma sequência de impulsos perfeita, seria preciso exigir ao canal o que nenhum é capaz de
garantir: passar todas as frequências (Em rigor, nem isso bastaria: por muitas frequências que fossem consideradas,
nas transições 0 ↔ 1 acontece o assim denominado “fenómeno de Gibbs”: a série de Fourier converge para o valor
médio do salto - oscilando significativamente antes e depois dele).
Curiosamente, o ouvido humano não é sensível às diferenças de fase nos sons que recebe:
cos (2 * π * 440 * t) e cos (2 * π * 440 * t + π / 6)
soam ambos a “lá”… - pelo que o leitor não estranhará que, no desenho da rede telefónica analógica – que
visa facultar a um utilizador humano genérico ouvir o que o interlocutor lhe diz -, o Espectro de Amplitude
tenha tido uma importância bem maior que o Espectro de Fase…
Mas, quando se trata de transmitir impulsos, já a música é outra: se o canal de transmissão alterar as fases
das suas componentes harmónicas (que, originalmente, são todas nulas, θn=0), a sobreposição à saída já não
se afigurará uma Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares… (O leitor tem a oportunidade de exibir os
seus dotes de desenhador, para conferir o resultado da sobreposição – quando as fases não são θn=0). Na
prática, para reduzir tais alterações de fase, o receptor usa dispositivos ditos de equalizadores.
Quando o período aumenta…
{PhysicalOverview.doc}
Considere-se de novo o Espectro da Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares, dado por:
an/2 = ∑ A d sen (n π d) / (n π d), com n = -∞,…, -1, 0, 1, …, ∞
e confira-se o que sucede quando o Período aumenta – ou, o que é o mesmo, a frequência dos impulsos diminui…
A figura ao lado representa o que sucessivamente acontece quando o Período aumenta: no intervalo de tempo em
que inicialmente se produziam três impulsos, passam a produzir-se apenas dois, e, depois, apenas um… Vice-versa,
a frequência passa de, seja, f0, para 2/3 de f0 e, depois, para 1/3 de f0…
Sumariamente: as riscas do Espectro aproximam-se umas das outras: a separação entre elas passa de f0 para 2/3
de f0 e, depois, para 1/3 de f0… E, em simultâneo, a Amplitude de cada uma delas diminui: em particular, a
amplitude da componente DC – que é proporcional à frequência – diminui para 2/3 da inicial, e depois para 1/3…
Qual o limite deste processo de alargar o Período? O Período aumenta indefinidamente – para ∞ - e por
conseguinte a frequência dos impulsos tende para 0. Em termos práticos, não mais pode falar-se em Sequência
Periódica de Impulsos Rectangulares – mas em um Impulso isolado apenas! Em termos de Espectro, que é que
acontece? O leitor pode confirmar: deixa de haver separação entre as riscas, e todas elas têm amplitude nula…
Não mais faz sentido em falar-se de Espectro discreto / de Riscas – este degenerou num Espectro contínuo.
“Decomposição” de Sinais Não periódicos
{PhysicalOverview.doc}
Quando o sinal s(t) não é periódico, não mais pode falar-se de uma frequência fundamental f0, muito menos da
sobreposição de ondas de frequência discreta múltipla dessa fundamental. Antes convém olhar o sinal como uma
“sobreposição linear” de ondas - de frequência estendendo-se continuamente de -∞ a +∞:
s(t) = ∫ S(f) e j 2 π f t df,
em que S(f), dita Transformada de Fourier, é dada por
S (f) = ∫ s(t) e –j 2 π f t dt
(compare-se com a forma exponencial ou complexa de Fourier).
S (f) designa-se de Espectro do sinal s(t);
| S (f) | designa-se de Espectro ou Densidade Espectral de Amplitude de s(t); representa a Amplitude relativa das
ondas que compõem o sinal
arg ( S (f)) designa-se de Espectro de Fase de s(t); representa a Fase das ondas que compõem o sinal
Energia de um sinal
Para sinais não periódicos, existe um Teorema de Rayleigh (análogo ao teorema de Parseval para sinais
periódicos): a Densidade Espectral de energia (em Joule/Hz) obtém-se quadrando simplesmente a Densidade
Espectral da Amplitude do sinal.
Resumindo: Qualquer sinal s(t) pode ser olhado como sobreposição linear de ondas de várias
frequências. O seu Espectro revela precisamente o seu conteúdo em frequência: faixa de frequências que ele
ocupa, respectivas amplitudes e fases.
1. se o sinal for periódico, de período T0,
- o Espectro é de riscas, deduz-se por expansão em Série de Fourier; cada risca corresponde a uma
harmónica – de frequência múltipla de uma fundamental, cujo valor, f0=1/ T0, é igual ao inverso do período
do sinal; vice-versa, a frequência fundamental obtém-se por cálculo do máximo divisor comum das
frequências das harmónicas
- quadrando o Espectro de Amplitude, fica-se sabendo como é que a Potência do sinal se distribui por
essas harmónicas (e pela componente DC);
2. se o sinal for não-periódico,
- o Espectro é contínuo, deduz-se por aplicação da Transformada de Fourier; agora, não tem sentido
falar em fundamental e harmónicas – mas em densidade espectral;
- quadrando o Espectro de Amplitude, obtém-se a densidade espectral de Energia do sinal, isto é: ficase sabendo como é que a Energia do sinal se distribui pela faixa de frequências que ele ocupa.
Em ambos os casos, e tendo em vista uma transmissão bem sucedida, é decisivo conhecer o Espectro de
s(t) – isto é, conhecer o seu conteúdo em frequência, o que é precisamente o objectivo da “análise Fourier”:
ele habilita a discernir o tratamento a dar-lhe – e portanto os dispositivos conversores de sinal a considerar
(eles mesmo caracterizados em termos da sua resposta {G(f), ϕ(f)} a ondas!)
Em tempo oportuno passar-se-á revista a alguns conversores de sinal
Largura de Banda de um Sinal
Admita-se que existe algum intervalo de frequências, seja {flow … fhigh}, fora do qual o Espectro de Amplitude se
anula (isto é: na “decomposição” do sinal, só são significativas ondas cujas frequências pertencem àquele
intervalo); diz-se que o sinal ocupa a Banda {flow … fhigh}, tendo uma largura de banda Absoluta de fhigh - flow.
A maioria dos sinais reais com que os sistemas de Telecomunicações lidam tem – como acontece com a
Sequência de Impulsos Rectangulares – uma largura de banda Absoluta infinita. Verifica-se, porém, que a maior
parte da sua energia (seja 90%) se encontra confinada a uma estreita faixa de frequências – sendo nula (ou
desprezável) fora dessa faixa. A essa faixa dá-se o nome de banda Efectiva, ou simplesmente banda, do sinal - e
este diz-se sinal de banda limitada.
Entre os sinais de banda limitada, dois casos particulares há a considerar: sinais passa-baixo e passa-banda.
- Um sinal diz-se passa-baixo (ou banda de base) se a sua banda se estende desde DC=0 (ou muito perto disso)
até algum valor fhigh finito; exemplos são-no: os sinais de voz ou TV e a Sequência de Impulsos Rectangulares.
- Um sinal diz-se passa-banda se o seu conteúdo espectral se encontra confinado a uma faixa de frequências
rondando uma frequência (não nula) dita de central ou portadora.
O Impulso Isolado
{PhysicalOverview.doc}
Aplicando a recente discussão ao Impulso rectangular isolado de amplitude A e duração τ, centrado na origem,
t=0 – um sinal nitidamente não-periodico -, chega-se a:
S (f) = ∫ A e –j 2 π f t dt = A τ sen (π f τ) / (π f τ)
Na figura, representam-se os Espectros de Amplitude e Fase correspondentes. Constata-se que:
- a maior parte da energia do sinal se distribui nas frequências inferiores a 1/τ Hz: como que 1/τ representa a
largura espectral de um impulso isolado de duraçãoτ;
- se se diminuir a duração do impulso, τ → 0, o Espectro alonga-se para maiores frequências, 1 / τ → ∞:
impulsos breves têm Espectros mais largos, e, vice-versa, impulsos mais duradouros têm Espectros mais finos.
Esta propriedade, dita de reciprocal spreading, é uma propriedade geral de todos os sinais: variações rápidas no
tempo exigem componentes de frequência muito alta, e variações lentas no tempo requerem relativamente muito
menos em termos de altas frequências.
Espectro da Sucessão de 0s e 1s:
A discussão em curso foi provocada pela pergunta: qual será o Espectro duma sucessão de 0s e 1s? Podendo
considerar-se essa sucessão como uma sobreposição de impulsos isolados desfasados uns dos outros, essa questão
volve-se em: qual será o Espectro dessa sobreposição?
Começando por um cenário simples, considere-se o caso de três impulsos isolados de Amplitude A=1 –
estendendo-se respectivamente: 1) de 0 a T; 2) de T a 2*T; 3) de 0 a 2*T.
O terceiro impulso é a sobreposição dos outros… e natural é perguntar: qual a relação entre os seus espectros?
Seja um impulso de duração τ e início em td; manipulações algébricas triviais conduzem a
S(f) = ∫ e –j 2 π f t dt, para td< t < td+τ ⇒ S(f) = e – j2πf(td+τ/2) τ sen (π f τ) / (π f τ):
a Transformada de Fourier dum impulso isolado atrasado de td conduz a um mesmo Espectro de Amplitude, mas a
um Espectro de Fase linear com declive – 2 π f td. Pelo que:
- o espectro do primeiro impulso (de 0 a T) é S(f) = e – j2πf(T/2) T sen (π f T) / (π f T);
- o espectro do segundo impulso (de T a 2T) é S(f) = e – j2πf(3T /2) T sen (π f T) / (π f T);
O resultado da sobreposição destes espectros logra-se por manipulações algébricas triviais: vem a ser
e – j2πf(T) 2T sen (π f 2T) / (π f 2T)
- que, pode deduzir-se da expressão para S(f), é exactamente o espectro do terceiro impulso.
Ou seja: o espectro da sobreposição dos dois impulsos é a sobreposição dos espectros desses impulsos! Deixa-se
ao leitor generalizar a uma sucessão de 0s e 1s: como se relacionará o seu Espectro com o do impulso isolado?
O Sinal Voz
{PhysicalOverview.doc}
O sinal mais importante na comunicação – e de modo especial na rede telefónica - é a voz humana. Esta tem a
sua origem na contracção dos músculos do peito: este força o ar dos pulmões a sair – com o que as cordas vocais se
põem a vibrar; essa vibração provoca variações da pressão atmosférica: comprime o ar “à frente”, rarefaz o ar
“atrás”; essas variações propagam-se, qual onda de pressão através do ar próximo; as características “finais” dessa
onda são-lhe conferidas pela garganta, boca e nariz do falante em causa - e se for o caso de ele estar falando para
um telefone, haverá ainda que ter em conta as modificações forçadas pelo respectivo microfone…
A sua análise espectral levou às seguintes conclusões:
- é um espectro contínuo, que se estende desde frequências tão baixas quanto 20 Hz – até frequências rondando
os 20 kHz;
- ele é algo variável com o sexo (tipicamente, a voz feminina é mais aguda, a voz masculina é mais grave), e a
idade (as características de frequência de uma criança e de uma velhinha são distintas: o conteúdo de frequência da
voz de uma pessoa vai variando com o passar dos anos).
Entretanto,
- o conteúdo espectral mais significativo – para entender o conteúdo, isto é: a mensagem – estende-se de cerca
de 300 Hz até cerca de 3400 Hz…
- as restantes frequências – para além dos 3400 Hz – são sobretudo importantes para revelar as características
individuais da voz em causa.
Isso conduziu à seguinte decisão (a nível internacional): a rede telefónica – em que se assumiu que o mais
importante é perceber o significado da mensagem dita – está desenhada para “passar” as frequências do que
se convencionou designar “voz comercial”: frequências entre os 300 Hz e os 3400 Hz (nos EU, porém, ao
canal de voz é atribuída uma faixa de apenas 200-3200 Hz).
Uma observação importante é esta: o ouvido humano capta uma faixa maior de frequências – uma faixa
estendendo-se, grosso modo, dos 16 Hz aos 30 kHz (limite este que vai diminuindo com o avançar dos anos…).
Pelo que as redes rádio-difusão e televisão – em que também há interesse em proporcionar a audição de música de
alta-fidelidade -, estão desenhadas para “passar” frequências bem para lá dos 3500 Hz.
Outros sinais fundamentais nas comunicações são:
1. Os sinais de televisão. A largura de banda necessária para os transmitir é cerca de:
- 5,5 MHz (norma PAL, usada na Europa)
- 4,2 MHz (norma NTSC, usada nos EUA).
Neste ponto da caminhada, o ponto da situação é:
1. Qualquer sinal – representando voz, imagens, vídeo, sequências de 0s e 1s, etc. - pode ser olhado como
sobreposição linear de ondas de várias frequências. O seu Espectro revela precisamente o seu conteúdo em
frequência: a faixa de frequências que ele ocupa – seja {flow … fhigh} -, respectivas amplitudes e fases.
2. Um sistema invariante-no-tempo e linear – ao menos numa banda {Wmin … Wmax} - pode ser
caracterizado em termos da sua resposta de frequência {G,θ} – isto é, das modificações que imprime em uma
onda duma frequência dessa banda.
Para bom entendedor: se se conhece a resposta dum sistema linear a uma onda de uma frequência da
banda {Wmin … Wmax}, será pacífico deduzir a resposta quando a entrada for uma combinação linear de
ondas de frequências dessa banda - ou, o que é o mesmo: será pacífico deduzir a resposta quando a entrada
for qualquer sinal cuja faixa de frequências se confine àquela banda.
No caso mais geral, à entrada dum sistema de banda passante {Wmin … Wmax}, apresenta-se um sinal que
ocupa a faixa de frequências {flow … fhigh}... Tendo em vista o objectivo das telecomunicações – comunicar a
distância -, resta investigar: quais os conversores de sinal (aliás respigados no correr da pena – filtros,
amplificadores, moduladores, etc..) que é preciso interpor para que esse objectivo se cumpra? São
exactamente eles o assunto sobre que as páginas seguintes se debruçam… - o que de modo nenhum significa
rever todos os dispositivos usados nas comunicações; nomeadamente, dessas páginas ficam de fora fontes de
alimentação, osciladores, interruptores, PLLs, etc....