1 Ângulo ao centro Ângulo ao centro é um ângulo que tem o vértice no centro da circunferência e cada lado contém um raio dessa circunferência. AOB é um ângulo ao centro 2 • Amplitude do ângulo ao centro Amplitude do arco correspondente Amplitude do ângulo ao centro A cada ângulo ao centro corresponde um arco, que é a sua intersecção com a circunferência. Reciprocamente, a cada arco corresponde um ângulo ao centro A amplitude do ângulo ao centro é igual a amplitude do arco correspondente. 3 Exercício: Determine a amplitude do ângulo x e do seu arco correspondente. 1. xˆ 90º A amplitude do arco correspondente é também 90º. 2. xˆ 60º A amplitude do arco correspondente é também 60º. 4 Ângulo inscrito Ângulo inscrito é um ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados contém cordas dessa circunferência. AVB é um ângulo inscrito 5 • Amplitude do ângulo inscrito Na figura, [ABC] é um triângulo equilátero. C ACˆ B 60º Logo, 60° O arco AB tem de amplitude 120º. Então, AOˆ B 120º Portanto, e O ACˆ B 60º 1 ˆ ˆ ACB ACB 2 A 120° B A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente. OU A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco que ele contém. 6 Alguns Exemplos: 7 1. Exercícios: determine a amplitude dos ângulos pedidos. 86º xˆ 43º 2 yˆ 86º 2. 40º xˆ 20º 2 yˆ 40º 8 Propriedades 1. Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco ACˆ B ADˆ B AEˆB , 50º porque os três ângulos contêm o mesmo arco AB. 50º Então, Os ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são 50º geometricamente iguais. 9 2. Ângulos inscritos numa semi-circunferência 90º ACˆB ADˆ B AEˆB 90º 90º 90º Então, Um ângulo inscrito numa semi-circunferência é um ângulo reto. 10 3. Ângulo ao centro, arcos e cordas Na figura estão representados dois ângulos ao centro iguais, as cordas e os arcos correspondentes. CD AB 40º CD AB Então, Numa circunferência, as cordas correspondentes a dois ângulos ao centro iguais são geometricamente iguais, e reciprocamente. Numa circunferência, os arcos correspondentes a dois ângulos ao centro iguais são geometricamente iguais, e reciprocamente. 11 4. Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência aˆ 2 ABˆ C bˆ 2 ADˆ C aˆ bˆ 2( ABˆ C ADˆ C ) Mas, aˆ bˆ 360º Portanto, 2( ABˆ C ADˆ C ) 360º Logo, ABˆ C ADˆ C 180º Então, A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência é 180º. 12 1. Exercícios: determine a amplitude dos ângulos pedidos. Pela propriedade 1 vêm: xˆ 62º yˆ 2 62º 124º 2. A amplitude do arco correspondente ao ângulo (inscrito) de 130º é de 260º. Logo, xˆ 360º260º 100º 13 3. Usando a propriedade 2 vêm: xˆ 180º (90º 30º ) 180º120º 60º 4. OAˆ B ABˆ O Então, BOˆ A 180º 84º 96º Logo, 96º xˆ 48º 2 14 Ângulo de vértice interno: a medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados. 15 Ângulo de vértice externo: A medida de um ângulo de vértice externo é igual à semi-diferença dos arcos de terminados pelos seus lados. 16 Ângulos de segmento: é todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo um de seus lados secante e o outro, tangente à circunferência. A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por ele determinado. 17 EXEMPLOS DE ÂNGULOS QUE NÃO PERTENCEM À CIRCUNFERÊNCIA 18 19 20