NOME:
CURSO:
MATEMÁTICA
DATA:
/
/2013
LISTA 35 – CILINDROS E PIRÂMIDES
05. (Insper) Em uma pirâmide quadrangular regular, a
QUESTÕES
01. (Upe) Para a premiação dos melhores administradores
área lateral é o dobro da área da base. Nesse caso, cada
de uma galeria comercial, um designer projetou um peso
face lateral forma com o plano da base um ângulo que
de papel com a forma de um tetraedro regular reto, de
mede
aresta 20 cm que será entregue aos vencedores. Esse peso
a) 15°.
b) 30°. c) 45°. d) 60°. e) 75°.
de papel será recoberto com placas de platina, nas faces
laterais e com uma placa de prata na base. Se o preço da
06. (Ufpb) Sr. Ptolomeu construirá em sua chácara um
platina é de 30 reais por centímetro quadrado, e o da prata
jardim de formato circular com 16 m de diâmetro.
é de 50 reais por centímetro quadrado, assinale a
Contornando o jardim, haverá uma calçada, medindo 1 m
alternativa que apresenta o valor mais próximo, em reais,
de largura por 0,1 m de altura, conforme figura a seguir:
do custo desse recobrimento.
Supondo que o preço médio do m3 da calçada a ser
Considere 3  1,7
construída é de 100
reais, conclui-se que a
a) 24 000 b) 18 000 c) 16 000 d) 14 000 e) 12 000
despesa do Sr.
Ptolomeu com a
02. (Upf) Nesta figura estão
construção da calçada
representados dois poliedros de
será, aproximadamente, de:
Platão: o cubo ABCDEFGH e o
a) 685,30 reais
b) 653,80 reais c) 583,30 reais
octaedro MNOPQR.
Cada aresta do cubo mede 6 cm e os
d) 533,80 reais
e) 835,30 reais
vértices do octaedro são os pontos
centrais das faces do cubo. Então, é
07. (Acafe) Um posto de combustíveis abastece
correto afirmar que a área lateral e o
mensalmente seu reservatório cilíndrico subterrâneo, cujas
volume do octaedro medem, respectivamente:
medidas estão indicadas no esquema a seguir.
a) 72 3 cm2 e 54 cm3
2
e 18 cm
2
e 36 cm3
b) 36 3 cm
c) 36 3 cm
3
d) 18 2 cm2 e 36 cm3
e) 36 2 cm2 e 18 cm3
03. (Fgv) Um cubo de aresta 12 cm é seccionado duas
vezes, formando três prismas de bases triangulares, sendo
dois deles congruentes, como mostra a figura 1. Em
seguida, o cubo é novamente seccionado, como indicam as
linhas tracejadas na figura 2, de modo que os dois cortes
feitos dividem o cubo original em três prismas de bases
triangulares, sendo dois deles congruentes, como no
primeiro caso. Ao final de todas as secções, o cubo foi
dividido em nove peças.
O volume da peça
final que contém o
vértice P, em cm3 , é
igual a
a) 144.
b) 152.
c) 288.
d) 432.
e) 466.
04. (Fgv) Arestas opostas de um tetraedro são arestas que
não têm ponto em comum. Um inseto anda sobre a
superfície de um tetraedro regular de aresta 10 cm
partindo do ponto médio de uma aresta e indo para o ponto
médio de uma aresta oposta à aresta de onde partiu. Se o
percurso foi feito pelo caminho mais curto possível, então
o inseto percorreu a distância, em centímetros, igual a
a) 10 3 b) 15 c) 10 2 d) 10 e) 5 3
[email protected]
–
Considerando que o reservatório esteja vazio e que será
abastecido com 80% de sua capacidade por um caminhão
tanque, a uma vazão de 10 L por segundo, em
aproximadamente quantos minutos o reservatório será
abastecido?
a) 59 min.
b) 51 min.
c) 47 min.
d) 48 min.
08. (G1 - ifal) Em um depósito, em forma de um cilindro
reto-retângulo, cujo diâmetro mede 20 cm e cuja altura
mede 4 dm, foram colocados 30 ovos de galinha, todos
com mesmo volume. Ao colocar os ovos no depósito, que
estava cheio de água, houve um transbordamento. Ao
retirar os ovos do depósito, verificou-se que o volume da
água que sobrou era de 10,310 litros. Nestas condições,
podemos afirmar que o volume de um ovo é.
Use π  3,14.
a) 7,5 mm3.
b) 75 mm3.
c) 75 cm3.
3
3
d) 7,5 cm .
e) 750 cm .
09. (Ufg) Observe a
charge a seguir.
Considerando-se que as
toras de madeira no
caminhão são cilindros
circulares retos e
idênticos, com 10 m de
comprimento e que a
altura da carga é de
2,7 m acima do nível da carroceria do caminhão, então a
carga do caminhão corresponde a um volume de madeira,
em metros cúbicos de, aproximadamente,
Dados: 3  1,7 e π  3,1
a) 17,2 b) 27,3 c) 37,4 d) 46,5 e) 54,6
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GABARITO
Resposta da questão 1: [A]
Como as faces de um tetraedro regular são triângulos
equiláteros, segue que o custo pedido é dado por
Queremos calcular a medida do ângulo VMO.
Sabendo que a a área lateral é o dobro da área da base,
vem que
202  3
 (3  30  50)  100  1,7  140
4
 R$ 23.800.
Resposta da questão 2: [C]
Seja J o ponto médio da aresta BG.
Como o triângulo retângulo ONJ
é isósceles, segue que
ON  3 2 cm.
Sabendo que as faces laterais do
octaedro são triângulos equiláteros
congruentes, segue que a sua área
lateral é
2
AB  VM
 2  AB
2
 VM  AB.
A  2  Ab  4 
Portanto, do triângulo VOM, obtemos
AB
cos VMO 
 cos VMO  2
VM
AB
1
 cos VMO 
2
OM
 cos VMO  cos 60
 VMO  60.
2
8
ON  3
 2  (3 2)2  3  36 3 cm2 .
4
O volume do octaedro é dado por
2
1
1
2   ON  JG  2   (3 2)2  3  36cm3 .
3
3
Resposta da questão 3: [A]
A peça final que contém o vértice P é uma pirâmide cuja
12
 6 cm e cuja altura
base é um quadrado de lado
2
mede 12 cm.
Portanto, o volume pedido é igual a
1 2
 6  12  144cm3 .
3
Resposta da questão 4: [D]
Considere o tetraedro regular VABC abaixo, em que M é
o ponto de partida do inseto e N é o ponto de chegada.
Resposta da questão 6: [D]
V = Ab . h
V = π (92 – 82 ).0,1
V = 3,14.(81 – 64).0,1
V = 3,14.17.0,1
V = 5,338m3
Resposta da questão 7: [C]
A capacidade do reservatório é dada por
2
9
3
π     5  3,14   5  35,325 m3  35325 L.
2
4
Sabendo que o reservatório será abastecido com 80% de
sua capacidade, segue que o caminhão tanque despejará
0,8  35325  28.260 litros no cilindro e, portanto,
28260
2826
 2.826 segundos ou
 47 minutos
levará
10
60
para realizar o abastecimento.
Resposta da questão 8: [C]
Considerando o centímetro (cm) como unidade padrão,
temos:
01)
volume do depósito cilíndrico:
π  102  40  12560cm3 .
02)
volume que sobrou: 10310 cm3.
03)
volume dos 30 ovos: 12560 – 10310 = 2250cm.
Planificando o tetraedro, obtemos o losango AVCB.
volume de cada ovo: 2250 : 30  75cm3 .
Assim, como M e N são pontos médios de AB e VC,
segue que MN AV e, portanto, MN  AV  10cm.
Resposta da questão 5: [D]
Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O
é o centro da base e M é o ponto médio da aresta AB.
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Resposta da questão 9: [D]
Considere a figura.
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Sabendo que AB  2,7 m, e sendo r a medida do raio das
toras, concluímos que o lado do triângulo equilátero MNP
mede 4r. Daí, como a altura do triângulo MNP é
2r 3  3,4r, obtemos 2r  3,4r  2,7  r  0,5 m.
O volume de madeira transportado pelo caminhão é dado
por
6  πr 2  h  6  3,1 0,52  10
 46,5 m3 .
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