MATEMÁTICA
1ª QUESTÃO
No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB = 2, AD = 3 e AE = 4.
a) Qual é a área do triângulo ABD?
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?
c) Qual é a área do triângulo BDE?
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ?
Resolução:
2ª QUESTÃO
Seja f a função (determinante) dada por
f(x)
cos(x) sen(x)
, com x real.
sen(x) cos(x)
a) Num sistema cartesiano ortogonal, construa o gráfico de y
b) Determine os valores de x para os quais f(x)
1
.
f(x)
1
f(x).
Resolução:
a)
b) x
kπ
,k
2

3ª QUESTÃO
Nesta figura plana, PQR é um triângulo equilátero de lado a e, sobre os lados desse triângulo, estão
construídos os quadrados ABQP; CDRQ e EFPR.
Considerando as informações:
a) Determine o perímetro do hexágono ABCDEF.
b) Determine a área do hexágono ABCDEF.
c) Determine o raio da circunferência que passa pelos vértices do hexágono ABCDEF.
Resolução:
2
3
4ª QUESTÃO
João joga 3 dados comuns até sair um dos seguintes resultados:
dois números iguais e um diferente, resultado que chamaremos de par
ou
três números iguais, resultado que chamaremos de trinca.
a) Qual a probabilidade de João obter uma trinca na primeira jogada?
b) Qual a probabilidade de que o jogo termine na primeira jogada, isto é, de que saia um par ou uma trinca
no primeiro lançamento dos dados?
c) Qual a probabilidade de que o jogo acabe com João obtendo uma trinca (e não um par)?
Resolução:
Respostas: a)
1
.
36
b)
4
.
9
c)
1
.
16
5ª QUESTÃO
2
a) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que i = –1.Então dê o
0
1
2
3
2013
resultado da soma i + i + i + i + … + i
.
a 5i
b) Se a é um número real e o número complexo
é real, qual o valor de a?
5 i
c) Em um mercado de pescados, o gerente sabe que, quando o quilograma de peixe de primeira
qualidade é anunciado, no início do dia, por um preço de p reais, o mercado vende uma quantidade
n = 400 – 5p quilogramas nesse dia (20 p 60 ).No fim do dia, a quantidade de quilogramas vendidos
é conhecida, e o gerente paga ao fornecedor a quantia de 200 reais mais 10 reais por quilograma
vendido. Determine o preço que o gerente deve anunciar para que seu lucro seja máximo.
d) A capacidade de produção de uma metalúrgica tem aumentado 10% a cada mês em relação ao mês
m–1
anterior. Assim, a produção no mês m, em toneladas, tem sido de 1800 1,1 . Se a indústria mantiver
este crescimento exponencial, quantos meses, aproximadamente, serão necessários para atingir a
meta de produzir, mensalmente, 12,1 vezes a produção do mês um?
Dado: log 1,1 0,04
Resolução:
a) Perceba que a sequência 1, i, -1 e –i aparece 2012/4=503 vezes e que sua soma vale zero. Portanto, o
2012
2013
0
1
que sobra na soma acima é i + i
que equivale a i + i =1+i
b)
a 5i 5 i
.
5 i 5 i
5a ai 25i 5i2
(a 25)
i
26
25 i
(a 25)
Como o número complexo é real puro sua parte imaginária deve ser nula:
26
:
2
4
(5a 5)
26
0a
25
c)
Como o lucro é calculado através do Preço de Venda menos o Preço de Custo, temos:
L(p) = (400 - 5p)p – [200+10(400-5p)]
2
L(p) = 400p - 5p – 200-4000+50p
2
L(p) = -5p +450p-4200
O valor de p que oferece o lucro máximo é o x v da parábola que representa o gráfico da função lucro:
p= xv=
d)
Serão necessários, aproximadamente, 28 meses.
5