Física I
Aula 03: Movimento em um Plano
Tópico 01: Posição: Velocidade tangencial e velocidade angular
Caro aluno, você viu até agora apenas os movimentos que acontecem em linha reta,
são os movimentos retilíneos. É claro que no nosso cotidiano nos deparamos a cada
momento com situações em que os movimentos não acontecem em linha reta. Quem
não andou em uma roda gigante? E em um carrossel? Olhe para um disco rodando,
os pneus de sua bicicleta, as pás de um ventilador, os ponteiros do relógio, um carro
fazendo uma curva. Enfim, os exemplos são tantos e tão presentes em nosso dia-adia que vale a pena aprender sobre eles.
Observe as figuras abaixo que mostram diferentes tipos de movimento:
Uma tartaruga em movimento
Uma tartaruga que se move lentamente em linha reta.
O movimento realizado pela tartaruga está acontecendo somente em linha reta. Dizemos que a trajetória
da tartaruga é retilínea.
É claro que as tartarugas não são obrigadas a andar sempre em linhas retas.
Um tiro de canhão
Agora imagine um navio sendo bombardeado pelo canhão do inimigo. As linhas vermelhas representam
duas possíveis trajetórias da bala. Você não pode dizer que o movimento da bala é retilíneo. Sua trajetória
é curva.
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Fonte1
Movimento aleatório de uma borboleta
Uma borboleta que em um instante estava na posição A, sai voando e vai descrevendo uma trajetória
altamente irregular até chegar ao ponto B. Seu movimento é um exemplo de movimento plano. Imagine
se você pode ordenar a uma borboleta que voe só em linha reta!
Fonte2
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Créditos da figura: -- Halliday, Resnick e Walter,Fundamentos de Física (7a edição), Vol. 1
Fonte: -- http://www.b-log.net/guiablog/borboletas.htm
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Olhando de Perto
O movimento plano é descrito por duas coordenadas espaciais.
Coordenadas e velocidade no movimento plano
Fonte3
Uma partícula percorre uma trajetória curva, qualquer. Na figura acima analisamos dois
instantes 1 e 2. As posições da partícula nesses dois instantes são representadas pelos vetores
respectivamente.
Vamos determinar a velocidade dessa partícula.
No limite quando
tender a zero, significa que estamos observando a partícula entre dois
instantes de tempo tão próximos, que a sua velocidade observada é a velocidade naquele instante.
Esta velocidade é tangente à trajetória, por isso é chamada de velocidade tangencial
As coordenadas da partícula também podem ser descritas pela posição r e pelo ângulo que
esse vetor posição faz em relação a um dado eixo de referência. Veja a figura abaixo:
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Fonte: -- Halliday, Resnick e Walter,Fundamentos de Física (7a edição), Vol. 1
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Quando a partícula moveu-se da posição 1 para a posição 2, houve também uma variação no
ângulo que seus vetores posição (
) fazem com o eixo-x, por exemplo. Essa variação angular no
tempo, define a velocidade angular:
Velocidade angular média:
Velocidade angular instantânea:
Você poderá dizer , então, que as coordenadas do movimento plano são r e
.
O vetor posição r, também pode ser escrito em termos de suas componentes, como você já viu
na Aula 1.
Os vetores i e j são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente. Aproveite para
fazer uma revisão na Aula 1.
Observação
A velocidade angular também é um vetor, como você verá logo mais.
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Relação entre as velocidades tangencial e angular
Agora você já sabe que as velocidades tangencial e angular são dadas por:
Vamos escrever a velocidade tangencial em módulo:
Observe com atenção as três figuras acima:
A Figura 1 mostra a posição do móvel em dois instantes de tempo qualquer.
A Figura 2 mostra dois instantes de tempo tão próximos que a variação nas posições da
partícula são inifinitesimais ( dr e d ). A diferença entre os vetores posição é tão pequena, que nem se
justifica mais distingui-los um do outro.
Na Figura 3, vemos em detalhe a região marcada com a “lupa” da Figura 2.
Focalize sua atenção na Figura 3.
Veja que o comprimento do vetor dr quase se confunde com o comprimento do pequeno arco
ds. No limite quando
vai a zero, os dois comprimentos de fato, se confundem.
As suas aulas de Matemática Introdutória devem ter ensinado a você que um comprimento de
arco se escreve como:
Escrevendo o módulo da velocidade tangencial:
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Como você acabou de ver
é a velocidade angular.
Agora, você tem a relação entre os módulos da velocidade angular e velocidade tangencial:
Observação
No sistema SI a velocidade angular é medida em radianos por segundo (rad/s).
Radiano é uma palavra, não uma unidade, ou seja os radianos são adimensionais, então
as dimensões da velocidade angular são T-1.
Exemplos
Para você ir treinando na resolução dos exercícios, comece tentando resolver estes
exemplos a seguir. Tente antes de ver a solução do problema. Caso não entenda alguma
passagem de algum dos problemas, consulte o seu professor.
EXEMPLO 1
Você está operando um carrinho de controle remoto em uma quadra de futebol de salão vazia.
Sua posição é a origem do sistema de coordenadas e a superfície da quadra é o plano xy. A posição do
carrinho tem componentes x e y que variam com o tempo de acordo com a equação:
a) Calcule as coordenadas do carrinho e a distância entre você e o carrinho no instante t
=2,0 s;
b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de tempo entre
t=0,0 s e t=2,0 s;
c) Deduza uma expressão geral para a velocidade instantânea do carrinho e determine o
seu valor em t = 2,0 s
Solução
a) As coordenadas do carrinho são as componentes do
seu vetor posição. Então no instante t = 2,0 s
teremos:
A distância entre você e o carrinho é dada pelo módulo
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do vetor r
b) Para achar o vetor deslocamento e a velocidade média, vamos escrever o vetor posição
como função do tempo.
No instante t = 0 a posição inicial é:
No instante t = 2,0 s a posição é:
Desafio: Você pode interpretar o sinal negativo na resposta acima?
Calculando a velocidade média:
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c) Determinando a velocidade instantânea do carrinho:
Conhecemos como as coordenadas x e y variam em função do tempo. Então devemos fazer a
derivada em função do tempo, dessas coordenadas:
A velocidade instantânea, como função do tempo é:
Quando t = 2,0 s, a velocidade instantânea será:
Calculando o valor da velocidade instantânea:
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EXEMPLO 2
Um habitante de Macapá, cidade brasileira situada na linha do equador terrestre, tem uma velocidade
tangencial, mesmo quando sentado, deitado ou dormindo, em virtude de estar na Terra que gira em trono
do seu eixo de oeste para leste. Calcule a velocidade tangencial do habitante de Macapá.
Solução
No seu movimento de rotação a Terra gira de um ângulo de 360º em 24 h. Assim podemos
determinar a velocidade angular da Terra.
Você já sabe que as velocidades tangencial e angular se relacionam assim:
Onde v é a velocidade tangencial de um ponto no equador e R é o raio equatorial da Terra que
vale 6400km.
Assim a velocidade tangencial o habitante de Macapá é:
Só para que você tenha uma idéia de quão grande é essa velocidade, ela é cerca de 75% maior
do que a velocidade de um avião tipo Boeing 767!
Lembra do que estudou de movimento relativo? O cidadão macapense acredita piamente que
está parado.
Desafio: Como você justifica isso?
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