UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Curso: Licenciatura em Matemática
Disciplina: Geometria Euclidiana
Professor: Fabio Simas
Atividade de Sala de Aula - Tangência entre reta e circunferência e a bissetriz
As posições relativas de duas retas distintas num mesmo plano são: paralelas (interseção vazia) ou concorrentes (interseçao um ponto). Se a interseção de duas retas contém dois pontos, então estas retas são iguais
(Primeiro e Segundo Postulados).
Questão 1: Sobre as posições relativas de uma reta e uma circunferência num plano.
a) Quantas são as interseções possı́veis entre uma reta e uma circunferência? Explique por que existe
uma cota superior para o número de interseções destes dois objetos?
b) Descreva as posições relativas de uma reta e uma circunferência no plano em termos das interseções
dos dois conjuntos.
c) Dados um ponto e uma reta, defina a distância do ponto à reta.
d) Descreva as posições relativas de uma reta e uma circunferência no plano em termos da distância do
centro da circunferência à reta em questão.
Definição 1. Fixada uma circunferência Γ no plano dizemos que uma reta r é:
• externa à Γ quando r ∩ Γ = ∅,
• tangente à Γ quando r ∩ Γ = {T } e
• secante à Γ quando r ∩ Γ = {P, Q}.
Proposição 1. Uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de interseção
da reta com a circunferência.
Demonstração: Seja r uma reta tangente à Γ(O, R) no ponto T .
Vamos mostrar que OT ⊥ r usando a contrapositiva. Suponha
que OT não seja perpendicular a r e seja P ∈ r o pé da perpendicular a r baixada de O. O triângulo OP T é retângulo com
hipotenusa OT , logo R = OT > OP . Isto é, P é um ponto interno à circunferência, mas isso acarreta que r é secante a Γ. Uma
contradição da hipótese de que r seria tangente a Γ.
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Observação 1. Fixada uma circunferência Γ podemos particionar o conjunto das retas do plano em três
partes: retas externas a Γ, retas tangentes a Γ e retas secantes a Γ. Isto significa que qualquer reta do
plano está em um, e somente um, desses conjuntos da partição. Sendo assim, a relação no conjunto das
retas do plano que associa duas retas quando elas estão num mesmo conjunto da partição é uma relação de
equivalência (verifique) com três classes de equivalência, a saber, externas a Γ, tangentes a Γ e secantes a Γ.
Questão 2: Uma pergunta interessante que pode ser explorada neste momento é: fixados um ponto P e
uma circunferência Γ(O; R), quantas são as retas tangentes a Γ passando por P ? Responda em função da
posição do ponto P em relação à circunferência.
Uma justificativa mais precisa para o caso P externo à Γ será dada quando discutirmos o arco capaz de
ângulo 90o sobre um segmento de reta. Agora passaremos a estabelecer duas relações importantes.
Questão 3:
Fixados num plano uma circunferência Γ e um ponto P externos à Γ. Sejam T e T 0 as
interseções de Γ com as retas tangentes por P . Isto é, as retas P T e P T 0 são tangentes a Γ. Responda:
a) O que se pode afirmar sobre os comprimentos P T e P T 0 ?
Justifique.
b) Com a congruência de triângulos utilizada no item anterior, que se pode afirmar sobre a reta P O?
c) As conclusões desta questão são fundamentais para a disciplina. Escreva cuidadosamente o resultado obtido na
forma de um teorema e use os itens a) e b) para prová-lo.
Definição 2. Uma reta que passa num vértice de um ângulo é uma bissetriz deste ângulo quando forma
ângulos iguais com os lados do ângulo.
Observe que da Questão 3 podemos concluir o resultado a seguir.
Proposição 2. Dados no plano α um par de retas concorrentes r e s. Se um ponto O do plano é tal
que d(O; r) = d(O; s), então O pertence à bissetriz β de um ângulo formado pelas duas retas. Em linguagem
de conjuntos a proposição diz que
β ⊃ {P ∈ α | d(P ; r) = d(P ; s)}.
De fato, se O é equidistante das retas r e s podemos traçar uma circunferência de centro O que é tangente
a ambas as retas. Agora basta usar a Questão 3 para concluir o que diz a proposição.
ATIVIDADES COM DOBRADURAS.
Questão 4:
Trace duas circunferências numa folha e trace retas tangentes às circunferências formando
numa um triângulo e na outra um quadrilátero. Recorte os polı́gonos do papel, efetue as dobraduras para
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obter as bissetrizes internas (Dobre o papel fazendo os sobrepondo segmentos adjacentes a partir do vértice).
Observe se as bissetrizes se intersectam todas num só ponto. Explique este fato usando os conhecimentos
adquiridos na Questão 3.
Na questão acima você provou um caso particular do seguinte resultado.
Proposição 3. Se um polı́gono é circunscritı́vel (isto é, se existe uma circunferência tangente a todos
os lados), então as bissetrizes se intersectam todas num mesmo ponto.
Questão 5: Uma pergunta natural depois de resolvermos a questão anterior é se as bissetrizes de quaisquer
polı́gonos se encontram sempre num só ponto. Investiguemos para responder a esta pergunta.
a) Construa em uma folha solta um triângulo e um quadrilátero quaisquer e recorte-os do papel. Efetue
as dobraduras para obter as bissetrizes dos polı́gonos. Veja o que aconteceu nas construções dos seus
colegas e descreva com suas palavras a propriedade das bissetrizes desses polı́gonos que você observou
nesta construção.
b) Apresente uma conjectura para o fenômeno da interseção das bissetrizes observado nesta questão e
compare com aquele observado na Questão 4. Discuta com seus colegas a validade da sua conjectura.
Você ainda não precisa apresentar uma prova.
Conjectura 1: Todas as bissetrizes de um triângulo se intersectam num mesmo ponto.
Conjectura 2: Se as bissetrizes se intersectam todas num mesmo ponto, então o polı́gono é circunscritı́vel.
Questão 6:
Para responder a estas questões vamos investigar mais de perto a bissetriz de um ângulo
\ separando a região angular.
em separado. Numa folha solta desenhe e recorte um ângulo, digamos AOB,
Use dobradura para obter a bissetriz deste ângulo no vinco. Marque um ponto P 6= O sobre a bissetriz.
Dobre cada lado do ângulo sobre si mesmo de modo que o vinco passe pelo ponto P . Sejam X e Y as
interseções destas últimas dobras (perpendiculares baixadas de P sobre OA e OB) com as semirretas OA e
OB, respectivamente.
a) Use dobraduras para identificar a congruência dos triângulos AP X e AP Y .
b) Justifique a congruência AP X ≡ AP Y .
c) Use a congruência acima para identificar uma propriedade de qualquer ponto P sobre a bissetriz de um
ângulo e os lados do ângulo. Descreva esta propriedade com toda precisão e generalidade que você puder.
Na questão anterior você deve ter obtido o resultado a seguir
\ então a distância do ponto P
Proposição 4. Se P é um ponto da bissetriz βAOB de um ângulo AOB,
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à reta OA é igual à distância do ponto P à reta OB. Em linguagem de conjuntos a proposição afirma que
βAOB ⊂ {P ∈ α | d(P ; OA) = d(P ; OB)}.
Cabe observar que juntando as proposições 2 e 4 obtemos o seguinte resultado fundamental.
Proposição (Propriedade Fundamental da Bissetriz). Um ponto P pertence à bissetriz β do ângulo
\ se, e somente se, a distância de P a OA coincida com a distância de P a OB. Em sı́mbolos temos
AOB
β = {P | d(P ; OA) = d(P ; OB)}.
Questão 7: Vamos usar a questão anterior para explicar por que as bissetrizes de um triângulo se intersectam todas num só ponto. Para tal não podemos assumir que as três bissetrizes se intersectam num mesmo
ponto, afinal isto é o que queremos provar! Vamos admitir que duas bissetrizes se intersectam num ponto,
digamos I. Pergunta: a terceira bissetriz interna do triângulo também passa por I? Para responder a esta
questão sugerimos analisar as distâncias de I aos lados do triângulo (Proposição 4) para garantir a existência
de uma circunferência inscrita no triângulo, então use Proposição 3 para garantir que a terceira bissetriz
também passa por I.
Definição 3. Dizemos que um polı́gono é circunscritı́vel a uma circunferência quando existe uma circunferência que é tangente a todos os lados do polı́gono. O centro desta circunferência é chamado de incentro
do polı́gono. Pelo que vimos acima todo triângulo é circunscritı́vel.
Questão 8: Use a Propriedade Fundamental da Bissetriz para justificar a Conjectura 2 é verdadeira para
um quadrilátero e para um pentágono.
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