MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL
Avaliação 1 - MA13 - 2015.2 - Gabarito
Questão 01
[ 2,00 pts ]
Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida
√
ab.
Observação: Considere conhecidas as construções do ponto médio de um segmento e da perpendicular a um segmento
passando por um ponto dado, que podem ser utilizadas sem maiores detalhamentos.
Solução
Dentre as possı́veis construções, destacamos duas:
Construção 1: Supondo b > a, se construirmos o triângulo ABC, retângulo em A e tal que BH = a e BC = b, onde H é o
pé da altura relativa a A, então o cateto AB será tal que
2
AB = BH · BC = a · b,
logo AB =
√
ab.
Construção 2: Se construirmos um cı́rculo com diâmetro AC de medida a + b, sendo AB = a e BC = b, a corda XY
perpendicular a AC e passando por B será tal que
XB · Y B = AB · BC = a · b,
logo, como XB = Y B, temos XB =
√
ab.
Vamos ao detalhamento de cada construção:
Construção 1:
Seja BH o segmento de medida a. Construindo o cı́rculo de centro H e raio b, prolonge BH na direção de H de modo a
encontrar o cı́rculo em C.
Construa agora o ponto médio M de BC.
Construa o cı́rculo C de centro M e raio M B.
Construir a perpendicular r a BC passando por H.
Prolongando r até encontrar C, obtemos o ponto A tal que AB =
√
ab.
Construção 2:
Seja AB o segmento de medida a. Construindo o cı́rculo de centro B e raio b, prolonge AB na direção de B de modo a
encontrar o cı́rculo em C.
Contrua agora o ponto médio M de AB.
Construa o cı́rculo C de centro M e raio M A.
Construa a perpendicular r a AC passando por B.
Prolongue r até encontrar C em X, que será tal que XB =
Questão 02
√
ab.
[ 2,00 pts ]
Mostre que o raio de um cı́rculo é perpendicular a uma corda (que não é um diâmetro) se, e somente se, a divide em
dois segmentos congruentes.
Solução
(⇒) Seja O o centro do cı́rculo e suponha que o raio OC seja perpendicular à corda AB. Seja M o ponto de interseção da
corda AB com o raio OC.
Como OA = OB, pois são raios, temos que o triângulo ABO é isósceles. Logo  = B̂.
ˆ = BOM
ˆ ( pois a soma dos ângulos internos de um
Agora, por hipótese os ângulos ∠AM O e ∠BM O são retos, logo AOM
triângulo é 180o ). Daı́, pelo critério LAL, os triângulos AM O e BM O são congruentes.
Portanto AM = BM , isto é, M é o ponto médio de AB.
ˆ O = BM
ˆ O.
(⇐) Suponha AM = BM . Assim os triângulos AM O e BM O são congruentes, pelo critério LLL. Logo AM
ˆ O = BM
ˆ O = 90o .
Mas ∠AM O e ∠BM O são ângulos suplementares. Portanto AM
Questão 03
[ 2,00 pts ]
As duas diagonais de um quadrilátero convexo são perpendiculares e pelo menos três de seus lados são congruentes.
Prove que este quadrilátero é um losango.
Solução
Denotemos por ABCD o quadrilátero, com AB ≡ BC ≡ CD, e P o ponto de interseção da diagonais.
Os triângulos retângulos AP B e CP B possuem hipotenusas AB e CB congruentes, além de um cateto comum, P B. Assim,
estes triângulos são congruentes, implicando, em particular, P A ≡ P C.
Os triângulos retângulos BP C e DP C possuem hipotenusas BC e DC congruentes, e o cateto P C em comum. Serão então
congruentes, com P B ≡ P D.
Observando os triângulos AP B e AP D, como P B ≡ P D, AP̂ B ≡ AP̂ D e o lado AP é comum, pelo caso de congruência
LAL, os triângulos serão congruentes. Desta forma, teremos AD ≡ AB.
Isto mostra que AD ≡ AB ≡ BC ≡ CD, e, portanto, que ABCD é um losango.
Outra solução:
Como na solução anterior, os triângulos AP B e CP B são congruentes, logo AB̂P = C B̂P , e seja α essa medida. Da mesma
forma, como BP C e DP C são congruentes, B ĈP = DĈP , e chamemos de β a essa medida
Como α + β = 90◦ , temos
AB̂C + DĈB = 2α + 2β = 2 · 90◦ = 180◦ .
Com isso, o segmento BC determina ângulos colaterais internos suplementares com os segmentos AB e CD. Isto mostra
que AB e CD são paralelos, e, como estes segmentos são congruentes, o quadrilátero ABCD será um paralelogramo.
Como ABCD é paralelogramo cujas diagonais são perpendiculares, concluı́mos que este quadrilátero é um losango.
Questão 04
[ 2,00 pts ]
A figura abaixo mostra um triângulo ABC retângulo em A e um triângulo BP Q retângulo em P , de modo que B
pertence ao segmento AP e o ângulo ∠CBQ é reto. Sabe-se ainda que AC = 14 cm, AP = 24 cm e P Q = 4 cm.
(a) Prove que os triângulos ABC e BP Q são semelhantes e determine as possı́veis medidas do segmento AB.
(b) Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo BCQ.
(c) Interprete geometricamente o fato de ter encontrado mais de uma resposta para o comprimento do segmento
AB.
Solução
(a) Observando os ângulos internos do triângulo BP Q, temos
b + QBP
b = 180◦ ,
B PbQ + P QB
portanto
b + QBP
b = 90◦ (I).
P QB
Nota-se, ainda, que
b + C BQ
b + QBP
b = 180◦
ABC
e então
b + QBP
b = 90◦ (II).
ABC
Comparando (I) e (II), temos
b = P QB.
b
ABC
b = P QB
b e B AC
b = B PbQ = 90◦ , então os triângulos ABC e P QB são semelhantes pelo critério de semelhança
Como ABC
ângulo-ângulo. Daı́
AC
AB
=
BP
PQ
que implica
14
AB
=
4
24 − AB
e, portanto,
2
AB − 24 · AB + 56 = 0.
Logo, temos
√ √ AB = 12 + 2 22 cm ou AB = 12 − 2 22 cm
(b) Trace a reta r paralela a AP com Q ∈ r e tome R ∈ r ∩ AC. Então, o triângulo CQR é retângulo em R e, pelo Teorema
de Pitágoras, vale (note que AR = P Q = 4cm e QR = AP = 24cm, pois AP QR é retângulo) que
2
2
2
2
2
CQ = CR + QR = AC − P Q + QR = (14 − 4)2 + 242
que implica
CQ = 26cm.
Como o triângulo CBQ é retângulo em B, então CQ é diâmetro da circunferência pedida, cujo raio é:
CQ
= 13cm.
2
(c) Seja d o comprimento da base média do trapézio AP QC. Daı́
d=
AC + P Q
14 + 4
=
,
2
2
logo
d = 9cm.
Como d é menor que o raio da circunferência do item (b), então o segmento AP é secante a esta circunferência cujas
intersecções são as possı́veis posições de B, justificando o fato de existirem duas medidas para AB.
Questão 05
[ 2,00 pts ]
Em um triângulo ABC, tomam-se os pontos P ∈ BC e Q ∈ AC tais que B P̂ A = AP̂ Q = QP̂ C.
(a) Calcule P Q em função de AP e CP .
(b) Sendo BP =
AP · CP
, verifique que AP é uma bissetriz interna do triângulo.
AP + CP
Solução
Para simplificar a escrita, façamos
CP = x, CQ = y, AP = z.
Com isso, como hipótese do item (b), temos
BP =
xz
.
x+z
(a) Como P Q é bissetriz interna do triângulo AP C, temos
z
x
= ,
y
AQ
logo
AQ =
Como AP é bissetriz externa do triângulo P QC, temos
yz
.
x
PQ
PC
=
AQ
AC
e então
PQ
x
yz =
yz .
y+
x
x
Com isso,
yz
xyz
xz
AP · CP
yz
x
PQ =
yz = yx + yz = y(x + z) = x + z = AP + CP .
y+
x
x
x·
(b) Como verificamos que
PQ =
xz
= BP ,
x+z
os triângulos P BA e P QA serão congruentes pelo caso LAL, logo, P ÂB = P ÂC, mostrando então que AP é bissetriz
interna do triângulo ABC.
Solução alternativa para o item (a):
Trace um segmento QT paralelo a AP , com T ∈ P C. Como QT é paralelo a AP , teremos P T̂ Q = B P̂ A = T P̂ Q = 60◦ .
Com isso, o triângulo P T Q é equilátero e, fazendo P Q = r, temos P T = QT = r.
Os triângulos CP A e CT Q são semelhantes, logo
z
x
=
,
r
x−r
logo
PQ = r =
xz
AP · CP
=
.
x+z
AP + CP