Universidade Federal do Paraná — UFPR
Campus Avançado de Jandaia do Sul
Licenciaturas
Disciplina:
JCE001 — Matemática I
Professor:
Carlos Galvão
Atualização:
24 de abril de 2015
TRABALHO 01 JCE001
Entrega 08/05 até 16:30
Conjuntos
Questão 1 Dados A = {0, 1, 2, 3}; B = {0, 2, 4}; C = {1, 3, 5} e D = {2, 3}, Determine:
(a) (A ∩ B) ∪ (C ∩ D)
(c) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
(b) (B ∪ D) ∩ A
(d) (A ∪ C) ∩ D
(e) (A ∩ C) ∩ (B ∪ D)
Questão 2 Considere os conjuntos A ={divisores naturais de 30}; B={múltiplos de 6}; C={múltiplos de 3}; Universo1 = N, determine:
(a) A ∩ C
(b) B ∩ C
(c) A ∩ (B ∪ C)
(d) A ∩ B ∩ C
(e) C C
Questão 3 Determine sendo Universo = N; A = {0, 1, 2, 3} ; B = {0, 2, 3, 5} ; C = {x|x é par menor do que 10} e
D = {x|x é impar compreendido entre 4 e 10}.
(a) A ∪ B
(d) B ∪ C
(g) A ∩ B
(j) B ∩ C
(m) (A ∩ B) ∪ (C ∩ D)
(b) A ∪ C
(e) B ∪ D
(h) A ∩ C
(k) B ∩ D
(n) C C
(c) A ∪ D
(f) C ∪ D
(i) A ∩ D
(l) C ∩ D
(o) AC ∩ C C
Questão 4 Em uma certa cidade são consumidos dois produtos: o sabonete S e o perfume P. Feita uma pesquisa de
mercado sobre o consumo desses produtos, foram levantados os seguintes dados:
Produto
S
P
ambos
nenhum
Consumidores
147
126
35
28
Quantas pessoas foram consultadas?
Questão 5 Analisando as carteiras de vacinação das 84 crianças em uma creche, verificou-se que 68 receberam a
vacina Sabin, 50 receberam a vacina contra Sarampo e 12 não foram vacinadas.
(a) Quantas crianças receberam apenas uma vacina?
(b) Quantas crianças receberam as duas vacinas?
Questão 6 A escolha do novo dirigente do Clube “Ilha Vera Cruz” conta com três principais concorrentes: Edu
Fazenda, Nelson Néris e Vilma da Funcef. Uma pesquisa de rejeição obteve os resultados abaixo:
(1) Foram ouvidos 120 sócios votantes e todos rejeitam algum dos principais candidatos;
(2) A quantidade de votantes que rejeitam Edu é igual à quantidade de votantes que não rejeitam Edu;
(3) O número de votantes que rejeitam apenas Edu é:
[3.1] igual ao número dos que rejeitam simultaneamente Edu e Nelson, sem rejeitar Vilma;
[3.2] metade quantidade de pessoas que rejeitam todos e;
1 Considere
0 ∈ N em todo o trabalho.
1
[3.3] um sexto do total de votantes que rejeitam Edu.
(4) A quantidade de votantes que rejeitam Nelson é a mesma quantidade de votantes que rejeitam Edu;
(5) A quantidade de votantes que não rejeitam Edu é três quartos da quantidade de votantes que rejeitam Vilma;
(6) Um terço dos votantes que não rejeitam Edu também não rejeitam Vilma.
Calcule2
a) o percentual de rejeição de cada candidato.
b) o percentual de votantes que rejeitam simultaneamente os três candidatos principais.
c) o percentual de sócios que rejeitam apenas um (mas qualquer um) dentre os candidatos.
Questão 7 Considerando F = {f |f é filósofo}, M = {m|m é matemático}, C = {c|c é cientista}, P = {p|p é professor}.
Dados: M ⊂ C - Todos os matemáticos são cientistas; M ∩ P 6= ∅ e M 6⊂ P - Alguns matemáticos são professores,
porém não todos; C ∩ F 6= ∅ e C 6⊂ F - Alguns cientistas são filósofos, porém não todos; F ⊂ (C ∪ P ) - Todos os
filósofos são cientistas ou professores; P 6⊂ C - Nem todo professor é cientista.
a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo em linguagem de conjuntos, como as expressões acima
I. Alguns matemáticos são filósofos, mas não todos
II. Nem todo filósofo é cientista
III. Alguns filósofos são professores, mas não todos
IV. Se um filósofo não é matemático, ele é professor
V. Alguns filósofos são matemáticos, mas não todos
b) Verifique quais das afirmativas (de I a V) são necessariamente verdadeiras, com base nas afirmações dadas no
enunciado.
Conjuntos Numéricos
Questão 8 Escreva usando as notações de intervalo, conjunto e gráfica (reta)
d) O intervalo de extremos −5 e 1 no qual não pertence
o maior destes extremos
a) O intervalo aberto de extremos −2 e 1
b) O intervalo de extremos 3 e 8 ao qual não pertence
3, mas pertence 8
c) O intervalo que no qual pertencem 0, 5 e todos os
números entre eles
e) O intervalo de extremos 2 e 4 que não contém números pares.
Questão 9 Dados A = (−5, 2] , B = [−6, 6] e C = {x ∈ R|x < 2}, usando as notações de conjunto, intervalo e gráfica,
calcule:
a) A ∪ B ∪ C
b) A ∩ B ∩ C
c) (A ∪ B) ∩ C
d) A ∩ (B ∪ C)
Funções
Questão 10 Considere nos itens a seguir que x ∈ A e y ∈ B. Represente as relações a seguir por meio de diagramas
de Venn (flechas) e responda, para cada item:
• É uma função em A e B?
• Se é função, quais são os conjuntos domínio, contradomínio e imagem? Caso contrário, por que não é função?
a) Os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {0, 2, 4, 6, 8} e a relação f de A em B, y = x − 1.
b) Os conjuntos A = {−2, 0, 2, 5}, B = {0, 2, 5, 10, 20} e a relação f de A em B, y = x.
c) Os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {0, 2, 4, 6, 8} e a relação f de A em B, y = 2x − 2.
2 Obtenha as quantidades de cada um dos 10 conjuntos a seguir antes de iniciar os itens. Favor usar a seguinte notação:
E={rejeitam apenas Edu}; N={rejeitam apenas Nelson}; V={rejeitam apenas Vilma}
EN={rejeitam apenas Edu e Nelson}; EV={rejeitam apenas Edu e Vilma}; NV={rejeitam apenas Nelson e Vilma}
ENV={Rejeitam os três candidatos}; RE ={todos os que rejeitam Edu}; RN ={todos os que rejeitam Nelson}; RV ={todos os que rejeitam
Vilma}
2
d) Os conjuntos A = {−3, −1, 1, 3} e B = {1, 3, 6, 9} e a relação f de A em B, y = x2 .
e) Os conjuntos A = {16, 81} e B = {−2, 2, 3} e a relação f de A em B, y 4 = x.
Questão 11 Seja a função f , de R em R definida por f (x) = 2x2 + 5x + m. Sabendo que f (3) = 30, calcule o valor
de f (2). Esta é uma função par?
Questão 12 Determine os domínios das funções:
√
x+8
a) f (x) = √
−4x − 16
√
1
x−2
√
√
−2 + x
x+2
d) f (x) =
x−2
c) f (x) =
3x2 − 2
b) f (x) = √
3x − 6
4−x+ √
Questão 13 Determine o conjunto imagem, indique se a função é injetora, e construa um esboço dos gráficos das
funções abaixo:
a)
b)
f :A
x
→
R
onde A = [0, 3)
→ x−3
f :A
x
→
R
onde A = (−2, 5)
→ 3 − 2x
Questão 14 Dadas as funções f −1 (x) =
f :A →
c)
d)
x
→
f :A →
x
→
R
x2 onde A = [−2, 2]
4
R
onde A = [0, 5)
3x − 1
x2
x+6
e g(x) =
+ 5x, determine (g ◦ f ) (4).
3
4
Questão 15 Seja uma função f de A em B com A = {x ∈ Z| − 4 ≤ x ≤ 2}, definida por f (x) = 2x − 3. Qual deve
ser o conjunto B para que f seja bijetora?
Questão 16 Determine os intervalos em que a função f (x) = x4 − 4x3 − 26x2 + 60x é crescente ou decrescente
analisando o gráfico abaixo
Funções Polinomiais
Lineares
Questão 17 (UFG-GO) A seguir é descrita uma brincadeira popular para se descobrir a idade de alguém. É pedido
a uma pessoa com menos de 100 anos que multiplique por 2 o número do mês de seu aniversário, adicione 5 ao
resultado e, em seguida, multiplique por 50 o valor obtido. Depois, ela deve adicionar a própria idade ao número
obtido e informar o resultado. Subtraindo-se 250 deste resultado, obtém-se um número X com o qual se descobre
facilmente o mês de nascimento N e a idade I da pessoa.
a) Obtenha uma expressão matemática de X em função de N e de I
b) Descubra o valor de N e de I, se o número obtido for X=829
Questão 18 Um tonel de vinho, com capacidade de 20 litros e uma torneira na base, está completamente cheio. Ao
abrir a torneira, o tonel se esvazia a razão de 2 litros por minuto.
a) Escreva a função que representa o volume V que resta no tonel em relação ao tempo t em minutos.
b) Em quanto tempo o tonel ficará vazio?
c) Quais são os possíveis valores de t?
3
d) Qual é o conjunto imagem dessa função?
Questão 19 Em uma fábrica de roupas, o custo para a produção de camisas é calculado a partir de um valor fixo de
R$ 480,00 mais R$ 30,00 por unidade produzida. Nessa fábrica são produzidos lotes de, no máximo, 1000 camisas,
sendo vendido cada lote com 30% de lucro sobre o valor de custo.
a) Escreva uma função C(x) que relacione o custo de produção e a quantidade x de peças produzidas;
b) Escreva uma função V(c) que relacione o valor de venda de um lote e o custo c de produção;
c) Qual é o custo para a produção de um lote com 600 camisas? Por quanto será vendido este lote?
d) Determine a função V(C(x))
e) Qual o valor de venda de um lote com 500 camisas? E 835 camisas?
Questão 20 Escreva a função na forma f (x) = ax + b e Classifique quanto ao comportamento (Crescente ou Decrescente):
a) f (−1) = 1 e f (1) = 9
c) f (1) = 4 e f (−3) = 8
b) f (2) = −6 e f (−1) = 3
d) f (−3) = 3 e f (−1) = 1
Questão 21 Em uma UTI hospitalar com capacidade máxima de 20 pacientes, o custo médio diário do atendimento,
10000x + 260000
expresso em reais, em função do número x de pacientes internados por dia é dado por C(x) =
. Que
x
número mínimo de internações deverá ocorrer para que o custo médio diário seja inferior a R$ 50000,00
Questão 22 Calcule os valores de x tal que
a) (x + 2)(−x − 2) > 0
c)
x−2
>0
x+3
b) (x − 1)(x − 2)(x + 4) > 0
d)
3x − 1
≤2
x+1
Quadráticas
b
5
Questão 23 Determine os números reais a e b para que a função f (x) = x − 2 x2 tenha valor máximo em x = 3
a
a
e que esse valor seja 5.
Questão 24 Na figura estão representados um sistema de eixos coordenadas com origem O, o gráfico de uma função
real do tipo f (x) = ax2 + bx + c e o quadrado OM N P com 16 unidades de área. Sabe-se que o gráfico f (x) passa pelos
pontos P , N e pelo ponto de encontro das diagonais deste quadrado. Qual é o valor de a + b + c?
Questão 25 Determine o conjunto solução de
 2
2

x + 1 − x + 6 ≤ 0
22
3

 −x + 2 − x − 1 > 3
2
3
2
4
r
Questão 26 Calcule o intervalo no qual existe a função f (x) =
x2
x−2
+x−6
Questão 27 Um jogador de vôlei dá um saque jornada nas estrelas. A bola descreve uma trajetória parabólica segundo
a função y = −x2 + 6x + 1, sendo x e y dados em metros. O ginásio tem 25 metros de altura e a quadra tem formato
retangular com dimensões de 10m de comprimento (lateral) por 5 m de largura (linha de fundo). O saque é feito
rente à linha de fundo com altura inicial de 1 m e desloca-se paralelamente à linha lateral da quadra. Justificando sua
resposta com cálculos, qual das alternativas abaixo ocorre (não será considerada resposta sem justificativa):
( ) A bola cai na quadra do próprio time do jogador
( ) A bola cai sobre a rede da quadra
( ) A bola cai na quadra do adversário
( ) A bola toca no teto, invalidando o lance.
( ) A bola cai além da área do adversário.
Questão 28 Num voo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$ 240,00 por pessoa quando
todos os lugares estão ocupados. Se existirem lugares vagos, será adicionado ao preço de cada passagem uma taxa
de R$ 6,00 por cada lugar não ocupado. Quantos devem ser os lugares ocupados para que o lucro da companhia seja
máximo?
Modulares
Questão 29 De acordo com a definição, calcule:
a) || − 2| − | − 10||
4x + 1 , com x = 1
b) 5 − 2x Questão 30 Considerando a função f (x) = |10x − 5|, calcule
1
−1
−2
a) f (1) + f (−1)
b) f
c) f
−f
10
10
10
f 12
d)
f (2)
Questão 31 Resolva a inequação |1 − 3x| < 5.
Questão 32 Esboce o gráfico da função f (x) = |x − 2| + |2x + 1| − x − 6.
Obs.: Separe os intervalos de acordo com as funções em cada módulo
5
Questão 33 Determine, em R, o conjunto solução da equação x2 − x +
4
5 1
=
8 4
Questão 34 Na Serra Catarinense, em um certo dia do inverno, a temperatura assumiu os valores t◦ C, com |2t−5| ≤
13. Quais foram as temperaturas, máxima e mínima, registradas neste dia?
Funções Exponenciais
Questão 35 Determine o valor das expressões
r
60000 · 0, 00009
a) 3
0, 0002
b)
Questão 36 Encontre valores x ∈ R tais que 125x+1 = √
3
0, 0001 · (0, 001)2 · 102
103 · (0, 1)−2
+
(0, 001)3
105
1
625
Questão 37 Uma lagoa tem sofrido as consequências da poluição do ambiente e os pescadores reclamam, há muito
tempo, da diminuição da quantidade de peixes. Foi contratado um pesquisador que, observando o desenvolvimento da
t
vida aquática, concluiu que a quantidade n de peixes poderia ser calculada por n(t) = 10000 − 3 3 −2 , com t em anos,
a partir do momento desta conclusão. Em quantos anos o número de peixes será 9271?
Questão 38 Devido à desintegração radioativa, uma massa m0 de uma substância é reduzida a uma massa m em t
−t
anos, de acordo com a fórmula m = m0 · 2 5400 . Em quantos anos 5g dessa substância serão reduzidos a 1,25g?
(
2x = 8y+1
Questão 39 Resolva
9y = 3x−9
Questão 40 Determine o conjunto solução da inequação 22x+2 − 0,75 · 2x+2 < 1
5
Funções Logarítmicas
Questão 41 Complete a tabela de logaritmos de base 10 com uso de propriedades, justificando os cálculos, evitando
uso da calculadora e/ou tabelas. Dê preferência ao uso de 4 casas decimais
log 1 = 0
log 2 = 0,3010
log 3 = 0,4771
log 4 =
log 5 = 0,6990
log 6 =
log 7 = 0,8451
log 8 =
log 9 =
log 10 =
log 11 = 1,0414
log 12 =
log 13 = 1,1139
log 14 =
log 15 =
log 16 =
log 17 = 1,2304
log 18 =
log 19 = 1,2788
log 20 =
log 21 =
log 22 =
log 23 = 1,3617
log 24 =
log 25 =
log 26 =
log 27 =
log 28 =
log 29 = 1,4624
log 30 =
log 31 = 1,4914
log 32 =
log 33 =
log 34 =
log 35 =
log 36 =
log 37 = 1,5682
log 38 =
log 39 =
log 40 =
log 41 = 1,6128
log 42 =
log 43 = 1,6335
log 44 =
log 45 =
log 46 =
log 47 = 1,6721
log 48 =
log 49 =
log 50 =
Questão 42 Calcule, usando a tabela acima quando necessário.
√
a) log 1,4
e) log√8 4
j) log4 2 2
b) log6 36
c) log 0,01
√
d) log 14 2 2
f) log25 0,2
√
g) log2 3 64
h) log5 0,000064
√
i) log2 8 64
k)
5
log √
2
128
p) log
l) log 210
q) log
m) log 0,6
s)
o) log 2,5
√
√
r
6000 · 0,64
216
√
t) log 10 3200
log
3
216
5
r) log2 [log3 81]
n) log 1,2
Questão 43 Resolva as equações e expressões
√ 1
a) x = log 13 3 3 − log2 − log5 5
4
f) log(x + 4) + log(x − 4) = 2 log 3
g) 2log2 (x+1) = 3
b) x = log2 1024 + log 15 625
log3 1 + log 0,01
√
1
log2 64
· log4 8
√
c) x = log2 2 2 + log0,01 10
h) x =
d) (1,12)x = 3
i) x = 25+log2 3 + 3log2 7·log3 2
e) log3 [7 + log9 (x − 1)] = 2
j) x = [log(5 · log 100)]
25
Questão 44 Suponha que um carro sofra desvalorização de 10% ao ano. Em quanto tempo o valor do carro reduzirá
a um terço do valor inicial?
Questão 45 As populações de duas cidades A e B são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log8 (1+t)6
e B(t) = log2 (4t + 4) onde a variável t representa o tempo em anos
a) qual a população de cada uma das cidades para t = 1 e t = 7?
b) Após um certo instante t, a população de uma das cidades será sempre maior do que a outra. Determine o valor
mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir deste instante.
c) Faça um esboço dos gráficos de crescimento destas populações
Questão 46 A escala de pH, que mede a concentração de íons de hidrogênio em soluções vai de 0 (o grau mais ácido)
até 14 (o grau mais alcalino). Atualmente a água dos oceanos é um pouco alcalina, com pH de 8,1. Dependendo da
queima de combustíveis fósseis, o pH dos oceanos pode cair para 7,9 em 2100. A função f (x) = − log x fornece o
pH de uma solução em função do número x de íons de hidrogênio (H3 O). Com base nestas informações, determine a
porcentagem estimada de aumento dos íons de hidrogênio nos oceanos de hoje para 2100.
6
Funções Trigonométricas
Questão 47 Complete a tabela abaixo com os valores exatos usando frações, radicais, ângulos notáveis, soma de
ângulos. NÃO USAR REPRESENTAÇÕES DECIMAIS APROXIMADAS.
Ângulo (rad) SEN COS TAN
π
12
π
6
π
4
π
3
5π
12
Questão 48 Num triângulo ABC, são dados A = 45◦ , B = 30◦ e a + b =
√
2 + 1. Calcule o valor de a.
Questão 49 Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 6 cm e formam um ângulo de 120◦ . Calcule a medida do
terceiro lado.
Questão 50
Considerando a figura, qual o valor de sena.
Questão 51
Considere uma circunferência de raio r e ` a medida do lado de um decágono regular
360◦
inscrito nessa circunferência. Determine ` em função de r. (α =
)
n
Questão 52
Uberaba, Uberlândia e Araguari são cidades do Triângulo Mineiro localizadas conforme
a figura. A partir dos dados fornecidos, determine a distância aproximada de Uberaba à
Uberlândia. (sen36◦ = 0,59; cos 36◦ = 0,81; sen132◦ = 0,74; cos 132◦ = −0,67).
Questão 53 Escreva a expressão geral dos arcos congruentes aos arcos dados (a resposta deverá ter a forma em graus
e em radianos).
a) 420◦
b)
9π
rad
4
Questão 54 Calcule o valor. Use os valores notáveis, resolução do 1o quadrante e arcos côngruos.
7
5π
6
3π
3
Questão 55 Determine tan x sabendo que
≤ x ≤ 2π e senx = −
2
5
a) tan 300◦
b) tan
Questão 56 Determine o valor de tan 1935◦ , usando propriedades e ângulos notáveis.
1
1
1
1
+
+
+
, demonstre que P = 2.
2
2
2
1 + sen x 1 + cos x 1 + sec x 1 + csc2 x
2
2
Dica: Escreva tudo em termos de 1 + sen x e 1 + cos x.
Questão 57 Se P =
Questão 58 Resolva 4 cos x + 3 sec x = 8
Questão 59 Calcule sen2x, sendo dado tan x + cot x = 3.
Questão 60 Prove que
1 − tan2 x
= cos 2x
1 + tan2 x
8