Sumário
INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 3
1
2
3
4
ERA UMA VEZ... ............................................................................................................... 5
1.1
As pecinhas do jogo de Damas .................................................................................... 6
1.2
Você sabia que... O jogo de damas ............................................................................ 10
1.3
Relembrando o que aprendemos... ............................................................................. 11
1.4
Agora as atividades... O Significado “parte-todo”..................................................... 11
MARTELADAS MATEMÁTICAS: O SIGNIFICADO “NÚMERO” ............................ 15
2.1
Relembrando o que aprendemos... ............................................................................. 18
2.2
Você sabia que... Sistemas de Unidade e SI: polegadas, pés, nós, etc... ................... 19
2.3
Agora, as atividades... O significado “Número”........................................................ 19
OS QUINTOS DOS INFERNOS: SIGNIFICADO “OPERADOR MULTIPLICATIVO”
21
3.1
Relembrando o que aprendemos... ............................................................................. 24
3.2
Agora, as atividades... O significado “Operador Multiplicativo” .............................. 24
PORCENTAGEM E RECICLAGEM: O SIGNIFICADO “MEDIDA” .......................... 29
4.1 Você sabia que... Reciclagem: a nossa sobrevivência depende da sobrevivência do
planeta. .................................................................................................................................. 31
5
4.2
Relembrando o que aprendemos... ............................................................................. 33
4.3
Caça-palavras ............................................................................................................. 33
4.4
Agora, as atividades... O significado “Medida” ........................................................ 34
A DIVISÃO E O SIGNIFICADO “QUOCIENTE” ......................................................... 36
5.1
Relembrando o que aprendemos... ............................................................................. 37
5.2
Agora, as atividades... O Significado “Quociente”.................................................... 38
6 SÁBADO É DIA DE PIZZA: FRAÇÕES EQUIVALENTES, ADIÇÃO E
SUBTRAÇÃO .......................................................................................................................... 39
6.1
Relembrando o que aprendemos... ............................................................................. 43
6.2
Operações com frações: soma e diferença ................................................................. 43
2
6.3
Agora, as atividades... Frações equivalentes, adição e subtração .............................. 44
7
O PÉ DE JABUTICABAS ................................................................................................ 46
8
ANEXO: ............................................................................................................................ 48
9
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: ............................................................................. 49
10
OBRAS CONSULTADAS ........................................................................................... 50
3
INTRODUÇÃO
“O poder dos professores é eterno. Não é possível dizer onde termina sua
influência.”
Henry Adams
Apêndice para os professores
Caro professor:
Este material foi feito também por um professor, com muito carinho, com o
objetivo de contribuir com as aulas de apoio em matemática.
Nele você encontra o conceito de frações abordado sob a ótica de cinco
significados: número, relação parte-todo, medida, quociente e operador
multiplicativo, que quando adequadamente abordados, podem contribuir para a
aprendizagem mais significativa deste conceito.
Este material é composto por vários capítulos independentes, que podem ser
explorados em uma ordem diferente da apresentada aqui, dependendo das
necessidades do professor. Cada capítulo aborda um dos significados do estudo de
frações, sempre buscando relacionar o assunto com temas diversificados, como
história, ecologia, etc...
O material foi escrito na forma de pequenas histórias, sempre utilizando uma
linguagem infantil. Assim, o professor da sala de apoio pode ler a história para a
turma, pedir para que os alunos leiam ou ainda contar as histórias. Caso prefira,
pode apenas utilizar os exercícios, retirados de vários livros e dissertações, que se
encontram no final de cada unidade.
Apesar deste material ser direcionado para a sala de apoio, algumas atividades
também podem ser aproveitadas na sala de aula regular.
Abaixo você encontra uma pequena abordagem sobre os cinco significados do
ensino de frações que explicarão um pouco mais sobre este conceito.
• Número:
Uma fração ab , com b ≠ 0 , pode assumir o significado de número e ser
posicionada na reta numérica. Esta abordagem quase não é utilizada pelos livros
didáticos, o que prejudica a organização do conceito, pois o aluno tende a não
identificar a fração como um número. É importante que ele reconheça este
significado, visualizar seu posicionamento na reta numérica, além do fato deste
número também poder ser representado como um decimal.
4
• Relação Parte-Todo:
Esta idéia representa um todo (contínuo ou discreto) dividido em n partes
iguais, onde cada uma dessas partes é representada como 1n . A relação parte-todo
implica em um procedimento de dupla contagem, onde o denominador representa o
número de partes que este todo foi dividido e o numerador quantas partes foram
consideradas. Esta idéia é muito abordada pelos livros didáticos, sendo muitas
vezes utilizada como uma estratégia para a introdução do conteúdo de frações.
• Medida:
Neste caso, a idéia é de comparação entre duas grandezas, podendo estas ser
intensivas ou extensivas. Como exemplo verifica-se o cálculo da probabilidade de
um evento, que é obtido através da razão entre o número de casos prováveis e o
número de casos possíveis desse evento ocorrer. Assim, a chance de ocorrer de tal
evento varia entre 0 e 1, sendo este número, na maioria dos casos, uma fração.
• Quociente:
O significado quociente é empregado quando, em uma determinada situação, a
divisão é o recurso empregado para a solução do problema, ou seja, quando a
situação ab , com b ≠ 0 , é utilizado para escrever a ÷ b . Este aspecto do conceito de
fração é pouco explorado pelos materiais didáticos.
• Operador Multiplicativo:
A fração ab , com b ≠ 0 , observada pela ótica do operador multiplicativo, atua
como fator transformador de um número ao ser multiplicando por ‘ a ’ e, logo em
seguida, dividindo por ‘ b ’. O número resultante deste processo pode ser maior ou
menor que o número em seu estado inicial, dependendo do quociente ab . Este
momento pode ser aproveitado para abordar as idéias de número inverso e
identidade.
5
1 ERA UMA VEZ...
... Um domingo de manhã. Os quatro primos estavam reunidos na sala da casa
do Vô Noé: Pedro Henrique e sua irmã Ana Carolina, Nicolas e seu irmãozinho Kaio.
A confusão era geral: Estavam discutindo sobre o jogo de damas. As equipes,
formadas por irmãos, estavam em um impasse difícil de ser solucionado. Nicolas
dizia que o grupo adversário não poderia ‘comer a pecinha pulando para trás’,
enquanto que Pedro e Ana defendiam-se, afirmavam que aquela jogada era
possível, e, portanto, poderia ser feita sim. A confusão era tão grande que até os
dois cachorrinhos da Vó Luzia, que estavam por ali, esconderam-se por detrás do
sofá, só espiando pelo cantinho dos olhos aquela bagunça...
Kaio, o mais novinho da turma, não entendia muito bem do que se tratava, pois
ainda não conhecia muito bem as regras daquele jogo... Mas não ficava de fora do
rebuliço. Gritava:
- É verdade!!! O Ni tem razão!!! Não pode!!! Está errado!!! Vocês perderam...
Os primos não deixavam barato. Respondiam:
- Não é verdade... Você nem sabe jogar!!! Fecha o bico!!!
- Olha como você fala com o meu irmão – argumenta Nicolas – Ele sabe jogar
um pouquinho...
- Mas um pouquinho não serve – fala Ana. Tem que saber jogar o jogo todo!
A confusão era tanta, que saiu do controle. Na tentativa de elaborar uma
resposta à altura, Kaio subiu em cima da mesa e, sem querer, tropeçou sobre o
tabuleiro de damas... As pecinhas voam para todo lado! Os quatro primos ficaram
olhando, boquiabertos, as pecinhas rolarem para debaixo do sofá, atrás da cortina,
da estante de TV...
Silêncio...
De repente, Pedro, Ana e Nicolas olham para Kaio e começam a falar, todos ao
mesmo tempo:
- Olha o que você fez!!! - Grita Nicolas.
- Claro! Vocês estavam perdendo... - Fala Pedro, com raiva – Ele fez de
propósito!
- Não é verdade... - choraminga Kaio, já com lágrimas nos olhos – Não foi por
querer...
- Foi sim... – Fala Ana – Eu sabia que você iria fazer algo parecido...
Foi o suficiente para Kaio desatar a choradeira... E olha que uma das coisas
que o Kaio sabe mesmo fazer é chorar! Pelo amor de Deus!!! Ele chora com
vontade... Exercita mesmo os pulmões... Dá pra ouvir da outra esquina! Foi o
bastante para chamar a atenção da Vó Luzia que estava na cozinha (e chamar
atenção também de todas as outras pessoas em um raio de 300 metros de
6
distância). Não demorou nada para a Vó aparecer na porta da sala com as mãos na
cintura, logo perguntando:
- Alguém pode me explicar o que está acontecendo aqui?
Foi o que bastou. Todos falaram ao mesmo tempo:
- Foi o Kaio!
- É! Ele não queria perder!
- Ele subiu em cima da mesa!
- BUÁÁÁÁÁÁÁ!!!
A Vó Luzia olhou para aquela turminha, já arrependida da pergunta que havia
feito. Respirou fundo e disse:
- Ta bom, ta bom... Isso não foi nada... É só juntar as pecinhas e começar um
novo jogo. Mas desta vez, sem subir em cima da mesa, ta? Vamos lá: todos
juntando pecinhas!
Impressionante como a Vó Luzia consegue acalmar as crianças só com
algumas palavrinhas... A turminha começou a procurar as peças pela sala. Até o
Kaio, ainda secando os olhinhos, ajudou na tarefa.
1.1 As pecinhas do jogo de Damas
Estava todo mundo procurando as pecinhas do jogo: Ana olhava atrás do sofá,
Nicolas procurava debaixo do tapete, Pedro procurava atrás da cortina e Kaio
juntava as pecinhas que estava perto da estante.
- Quantas já encontramos? – perguntou Pedro Henrique?
- Hum, deixa ver: 4, 5, 6... Hiiii, só achei 6 pecinhas pretas... metade do total... responde Nicolas – e vocês? Quantas pecinhas já encontraram?
- Das doze pecinhas brancas, achamos apenas oito – afirma Aninha.
A Vó Luzia, que estava prestando atenção na conversa, colocou o lanche na
mesa e chamou as crianças, que vieram correndo. As pecinhas de dama, pelo jeito,
ficariam para depois.
- Ôba! Bolo de fubá!!! Meu preferido... – Falou Pedro Henrique.
- Eu também adoro bolo de fubá. Vó, eu quero um pedaço!!! – Disse Nicolas, já
puxando a cadeira para sentar-se.
- Eu também quero – disse Kaio – quero um pedaço bem grande!!!
- Assim não vale: todos devem ter um pedaço do mesmo tamanho... –
finalizou Aninha.
Pedro, suspirando fundo, disse:
- Ahhh!!! Eu gosto tanto de bolo de fubá que poderia comer um bolo inteiro...
A Vó Luzia, sempre atenta a tudo, enquanto servia o lanche para as crianças,
argumentou:
- Sabe, crianças... Vocês estão me fazendo lembrar de um conteúdo importante
no estudo de Matemática, chamado FRAÇÕES!
- Frações??? – Perguntou Pedro.
- Pedro, a mãe falou que não se pode falar com a boca cheia. Engole primeiro e
depois fala! – Disse Ana que, apesar de ser mais novinha que o irmão, parecia ser
muito mais organizada.
- Vó... o que é frações? É de comer? – Perguntou Kaio, colocando outro
pedaço de bolo na boca.
7
- Não, Kaio... São conceitos que a gente utiliza sempre que precisamos dividir
as coisas. Veja este bolo: Ele é muito grande para uma só pessoa, então dividimos
em pedaços para que todos comam. Esta é a idéia principal do estudo de Frações:
a divisão. Aliás, é exatamente isso que essa palavra significa: Fração significa
dividir ou partir alguma coisa.
- Então, Vó, eu estou comendo uma ‘FRAÇÃO’ do bolo? - perguntou Aninha.
- Claro, meu amor. É isso mesmo... Você está comendo uma ‘fração’ do bolo,
ou seja, uma ‘parte’ do bolo! Você já entendeu a idéia principal deste conceito! –
Disse a avó, impressionada com a perspicácia da sua netinha.
Ana Carolina, já percebendo o tom orgulhoso da Vó Luzia, deu um suspiro
profundo e direcionou um risinho debochado para o irmão, dizendo baixinho:
- Eh, eh, eh... eu sou demais!!!
Pedro Henrique fez uma careta para a irmã. Coisa que ele odiava era ver a
Aninha se achando demais... Não suportava!
- Vejam! – disse a Vó, apontando para o bolo – Em quantas partes o bolo foi
dividido?
- Eu respondo, eu respondo – disse Pedro, olhando para a irmãzinha, com cara
de poucos amigos – O bolo foi dividido em... peraí... 14, 15, 16,... , 20 pedaços, Vó!
- Isso mesmo, Pedro. – disse a Vó.
Aninha, com a mesma carinha de deboche, olhou para Pedro e falou, baixinho:
- Parabéns, Pedro... não achei que saberia responder essa... difíííícil, hein???
Eh, eh, eh...
O Pedro ficou muito irado... chegou a ficar vermelho...
A Vó Luzia, sem perceber o que se passava, continuou:
- Vejam: se dividimos o bolo em 20 pedaços iguais, e eu comer um pedaço,
isso significa que eu comi a parte correspondente a “um vigésimo” do bolo. É
assim que a gente escreve esse número. Veja:
1
.
A Vó Luzia pegou um papel que estava por ali e escreveu:
20
- Nossa, Vó... que número estranho... – disse Aninha.
- Ah! – Disse Nicolas – Eu vi um número desses no livro de receitas da minha
mãe! Quer ver?
O menino saiu correndo e voltou com um livro nas mãos. Abriu e mostrou para
o resto da turminha. Naquele livro de receitas existiam muitos números como
1 1 2
aquele:
,
,
, e muitos outros... As crianças ficaram encantadas... Nunca
3 4 3
haviam visto números como aqueles... E agora já sabiam o que eram: Frações!
1
- Olha o que está escrito aqui – disse Aninha de xícara de farinha de trigo...
2
o que isso significa, Vó?
A Vó olhou para a menina e explicou:
- Lembre-se que a parte de baixo da fração significa em quantas partes está
dividido o nosso objeto de estudo, que chamaremos de unidade ou todo, enquanto
que a parte de cima significa quantos pedaços a gente vai utilizar. Neste caso,
vamos imaginar a xícara dividida em duas partes iguais, e encher uma delas com
farinha. É fácil entender, não acha?
8
- É sim, Vó. É bem fácil!!!
2
de copo de leite. Neste
3
caso, a gente deveria imaginar um copo dividido em três partes iguais e encher
duas dessas partes com leite, né Vó?
- Olhe, Vó – disse Pedro – veja essa parte da receita:
- É isso mesmo, menino! Nossa, como você é inteligente!!!
Pedro olhou para a Aninha com cara de ‘pouco caso’, deu uma piscadinha pra
ela e respondeu:
- É mesmo, Vó... eu sou inteligente...
Nicolas, ainda pensativo e com o olho pregado na forma do bolo, perguntou:
- E se eu comer dois pedaços do bolo, Vó? Como ficaria a fração?
Pedro Henrique disse, empolgado:
- É bem fácil. Veja: se você já tinha comido uma parte das vinte que tinha na
forma...
... e agora comer mais uma das vinte partes, então, no total, você vai comer
duas das vinte partes. É assim que escreve esse número, ó!
- É mesmo, disse Nicolas... está certo! Não é difícil entender as frações!
- Vamos ‘escrever’ a fração do bolo que a gente já comeu? – Pergunta Ana –
Olha: O Ni comeu dois pedaços, o Pedro, o Kaio e eu comemos um pedaço cada...
então, no total, comemos 5 pedaços... Então, nós comemos cinco dos vinte pedaços
que o bolo tinha. Fica assim:
9
- Agora vamos escrever a fração do bolo que ainda resta na forma – Fala
Pedro, empolgado... – sobraram 15 pedaços, dos vinte que tinha... então ainda tem
na forma
do bolo.
Todos concordaram com a observação. Kaio, que até aquele momento estava
prestando atenção na conversa, perguntou:
- Vó, é só no livro de receitas que a gente acha esse tipo de número?
- Não, meu amor... – disse a Vó, pegando o menino no colo – A gente pode
encontrar as frações em muitas outras situações. Querem ver? Vamos para a sala,
que eu mostro.
A avó conduziu as crianças para sala onde as pecinhas do jogo de damas
ainda estavam sobre a mesinha. Acomodou as crianças perto da mesa e perguntou:
- Nicolas, quantas pecinhas pretas a gente usa no jogo de damas?
- Doze – respondeu rápido.
- E quantas você encontrou? – perguntou a Vó, novamente.
- Nós encontramos 6 pecinhas: a metade.
A avó pegou o caderno e a caneta que as crianças estavam usando para fazer
anotações, entregou ao menino e pediu:
- Muito bem! Agora represente esse número utilizando para isso a idéia de
números fracionários.
O menino pegou o papel, olhou para a avó e disse:
- Bom, são doze peças, não são? – e escreveu o número doze:
- E nós encontramos 6, não é? Então fica assim:
Parou, pensou um pouquinho, e concluiu:
- É isso mesmo: das 12 pecinhas do jogo, eu achei apenas seis. O número 12
eu coloco embaixo, e o número seis eu coloco em cima. Não é?
- Isso mesmo – disse a avó – O número que você colocou embaixo da fração
chama-se denominador e o número que você colocou encima chama-se
numerador. Então, sua fração tem denominador 12 e numerador 6. É a gente diz
que são “seis doze avos”.
- Olha as nossas pecinhas, Vó – disse Ana, mostrando as mãozinhas cheias de
peças – Das doze pecinhas brancas, achamos apenas oito.
- Já sei, Vó – disse Pedro, que estava prestando atenção – No nosso caso, a
fração que representa as pecinhas brancas tem denominador 12, porque são 12
peças no total, e numerador 8, porque a gente só encontrou essas pecinhas,
mesmo... né?
Antes que a avó pudesse responder algo, Nicolas complementa:
- É isso mesmo... e a gente escreve a “sua” fração assim: “oito doze avos”.
10
- Muito bem, disse a avó... Mas agora vamos procurar essas pecinhas para
continuar o nosso jogo de Damas...
- Aqui tem uma, Vó... disse Kaio, pegando uma pecinha debaixo da almofada.
1.2 Você sabia que... O jogo de damas
Heiii!!! O que você sabe sobre o jogo de damas?
A origem do jogo de damas é desconhecida, mas alguns achados
arqueológicos dão conta da existência de jogos bem semelhantes ao atual Jogo de
Damas no Antigo Egito. Essa civilização era muito evoluída. Outros jogos
envolvendo cálculos foram encontrados, e estima-se que tenham milhares de anos.
O Jogo de Damas nos moldes que encontramos hoje surgiu na Europa
medieval, mas não sabemos exatamente onde nem quando. Os Europeus levaram-o
em suas viagens e foram responsáveis por difundir o jogo de Damas pelo mundo
todo.
É isso aí, pessoal... além de divertir, o Jogo de Damas estimula a atenção, a
concentração, a capacidade de análise e síntese, o que contribui para o
desenvolvimento intelectual de quem joga.
Então, que você acha de uma partidinha de Damas? Você só precisa de um
tabuleiro e das pecinhas. Caso não tenha, é fácil construir. Basta fotocopiar o
tabuleiro em anexo e procurar 2 jogos de tampinhas (12 de cada cor). As regras
você encontra abaixo. Pronto! Agora é só começar a brincadeira. Vamos lá?
Regras
Objetivo: Capturar ou imobilizar todas as peças do adversário.
Como jogar:
• As jogadas são alternadas. Deve-se mover uma peça por jogada, em
diagonal e para frente, para a casa adjacente. Só as casas pretas são
usadas e não é permitido recuar. Uma casa só pode ser ocupada por
uma peça de cada vez.
• A captura é feita quando uma peça pula sobre uma peça adversária que
esteja em uma casa adjacente a ela, e pára na casa seguinte a ela. Ela
pode na seqüência continuar pulando outras peças a fim de capturá-las.
A jogada termina quando ela não tiver mais peças adversárias para
pular.
• O primeiro movimento de captura deve ser sempre para frente, mas a
partir daí é permitido, na mesma seqüência, capturar também para trás.
• As peças capturadas são tiradas do tabuleiro.
• A captura é obrigatória, isto é, sempre que uma peça tem condições de
fazer a captura, deve fazê-la.
• Se uma peça alcança a última linha, ela se torna uma dama. Para
marcar a promoção, costuma-se colocar uma segunda peça sobre a
peça promovida. Várias peças podem ser promovidas na mesma partida.
• Uma dama pode se mover tanto pra frente como pra trás.
• A partida termina quando um dos jogadores não tiver mais peças ou não
puder mover nenhuma de suas peças. O outro jogador é declarado
vencedor.
11
•
•
O jogo também termina se um dos jogadores, acreditando não termais
condições de vitória, abandonar a partida.
É ainda possível que os dois jogadores, de comum acordo, decidam
para a partida e considerar o resultado como empate.
Regras tiradas do site: http://www.regrasdosjogos.com.br/ntc/default.asp?Tem=6
1.3 Relembrando o que aprendemos...
Vamos fazer um apanhado do que já vimos?
• O conceito de fração é utilizado sempre que precisamos dividir as
coisas;
• O significado da palavra fração é dividir, partir, quebrar;
• Palavras como: metade, pedaço, parte, etc... estão relacionadas com
este conceito;
• As frações são representadas por uma notação especial, contendo um
numerador e um denominador;
numerador
denominador
• O denominador significa em quantas partes está dividido o todo (ou
inteiro), enquanto o numerador significa quantos pedaços a gente vai
utilizar.
• Eu sempre preciso ‘partir’ o inteiro em pedaços de mesmo tamanho.
• Encontramos o conceito de frações em muitos lugares: COLOCAR OS
EXEMPLOS QUE VOU FAZER;
1.4 Agora as atividades... O Significado “parte-todo”
Como você já viu, uma fração representa quantas partes estamos
considerando do todo. Agora, vamos observar mais atentamente alguns aspectos
deste conceito.
Vamos encontrar a relação parte-todo sempre que representarmos a idéia de
fração através de um diagrama (desenho), dividido em partes iguais, e colorido
de forma que se perceba as partes consideradas na ocasião. Por exemplo:
1
xícara de farinha
2
12
5
pedaços de bolo
20
Vamos exercitar? Abaixo você encontra alguns exercícios, retirados de vários
livros, para que possamos entender melhor esse assunto.
1.
Um vidraceiro está colocando vidros coloridos nas janelas das casas.
Indique que fração, do total, os vidros já colocados em cada janela representam.
(IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
2.
Copie as figuras das casas no seu caderno. Pinte em cada janela a parte
correspondente da fração indicada. (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
3.
Para fazer uma horta, Marcelo dividiu um terreno em 7 partes iguais. Em
cada uma das partes ele plantará um tipo de semente. Que fração representará
cada uma das partes dessa horta? (SAEB, 2001)
4.
Observe a foto que Ricardo tirou com seus amigos, na excursão ao parque
e diversões. Responda:
a) Que fração do total de pessoas o número de meninos representa?
b) Que fração do total de pessoas é representada pelas meninas?
(IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
13
5.
Escreva no caderno que fração de cada figura representa a parte colorida.
Depois, escreva como se lê cada uma dessas frações. (CAVALCANTE, SOSSO,
VIEIRA, POLI, 2006)
6.
No esquema abaixo está representada a área que um produtor utilizou de
sua propriedade para cultivar alguns vegetais. Indique que fração da propriedade
representa a área destinada ao cultivo de:
a) tomate;
b) cenoura;
c) alface;
d) couve. (CAVALCANTE,
SOSSO, VIEIRA, POLI, 2006)
7.
Considerando o quadrado ABCD como todo-referência, escreva a fração
correspondente á: (POSITIVO)
14
a) parte F:
b) parte E:
c) parte H:
e) parte G:
8. Que fração representa cada jogador de uma equipe de futebol, formada por 11
pessoas? (GIOVANNI & GIOVANNI JR, 2002)
9.
Maria ganhou um chocolate e comeu
comeu. (MERLINI, 2005)
2
5
. Pinte a quantidade que Maria
15
2 MARTELADAS MATEMÁTICAS: O SIGNIFICADO “NÚMERO”
Naquele dia, o Vô Noé estava empolgado com uma de suas atividades
favoritas: a marcenaria. Ele adora utilizar o seu tempo livre para fazer brinquedos
para as crianças, molduras, suportes, e toda sorte de objetos. O projeto do dia seria
construir casinhas de passarinho para o jardim, e as crianças resolveram
acompanhar as atividades do avô.
Estavam todos na garagem, onde o Vô Noé guarda as ferramentas que ele usa
para suas atividades: martelo, pregos, réguas, serras, serrote... Dava pra ouvir o
barulho de longe... era ‘roc roc’ daqui, ‘pow pow’ dalí, ‘zuimmmmmm!!!’ acolá... Foi
então que o Vô pediu:
- Nicolas, alcance aquele pedaço de cano para o Vô.
O menino correu e pegou o material solicitado. Já estava trazendo, quando
alguma coisa lhe chamou a atenção. Parou, olhou bem para o cano e disse,
surpreso:
- Olha, Vô... neste cano tem aquele número diferente que a Vó Luzia estava
falando...
- Que número? Perguntou o avô, interessado.
- As Frações, Vô... Olha uma delas aqui... – e mostrou com o dedinho a
3' '
.
seguinte especificação escrita no cano:
4
- É mesmo - disse a Ana, soltando um gritinho de surpresa – é uma fração! O
que ela está fazendo neste cano, Vô?
O avô parou o que estava fazendo e olhou bem para as crianças... Elas nem
piscavam de curiosidade. Depois da pequena pausa, ele explicou:
- Esta especificação serve para sabermos a ‘bitola’ do cano.
- Bitola??? – perguntaram, os dois netinhos, ao mesmo tempo.
- Sim, a bitola é a medida do cano. Este tem “três quartos” de polegada.
- E o que isso significa? – perguntou Pedro, intrigado.
O avô pegou uma ‘régua’ que estava na bancada e mostrou, dizendo:
- Olha, esta régua é um pouco diferente da que a gente usa normalmente,
porque, ao invés de centímetros, vem expressa em polegadas.
- E o que é uma polegada? – perguntou Aninha.
- Na época do antigo império britânico, as pessoas tinham dificuldade em medir
as coisas, então, quando precisavam medir um comprimento que não era muito
grande utilizavam o dedo ‘polegar’ como parâmetro. – Explicou isso mostrando o
‘dedão’ da mão - Daí apareceu a unidade ‘polegada’, que equivale a distância entre
a dobra do polegar e a ponta do dedo.
- Essa distância, Vô? – Perguntou Kaio, mostrando a pontinha do dedão da
mão direita.
16
- Essa mesma! – afirma o avô.
- Mas as pessoas mediam as coisas usando o ‘dedão’ da mão, Vô? –
Perguntou Pedro, ainda duvidando da informação.
- É isso mesmo! Algumas medidas era feita utilizado esta medida. – respondeu
u avô.
- Ah, então vamos ver... esse pedacinho de cano tem 5 ‘polegadas’ de
comprimento – disse Nicolas, medindo o objeto com a pontinha do dedo.
- E a minha bonequinha tem 7 ‘polegadas’... – disse Aninha, utilizando o
mesmo método.
- Olha, o serrote do Vô tem 12 ‘polegadas’ – afirmou Pedro...
- Mas se for o Vô que tiver medindo, vai ter “menos polegadas”, né, Vô? – disse
Aninha olhando para o dedão do seu avô.
- É mesmo... A ‘minha polegada’ é menor que a ‘polegada do Vô’... - falou
Nicolas, comparando o tamanho da pontinha do seu dedo com a do seu avô. – E
olha o ‘tamanhinho’da polegada do Kaio!
- Kaio ficou olhando a pontinha do seu dedo polegar... era pequenininho
mesmo!
- Não, Ni... Não é ‘a sua polegada’ que é menor... É o seu dedinho. Depois de
algum tempo as pessoas perceberam que o ‘tamanho’ da ponta do dedo variava, o
que gerou muitos problemas, principalmente no comércio. Para evitar este tipo de
confusão, hoje utilizamos o Sistema Internacional de Unidades, que utiliza o metro, o
centímetro e o milímetro para medir o comprimento. Foi convencionado que uma
polegada valeria 2,5 cm, aproximadamente. Ainda hoje encontramos medidas em
polegadas, por exemplo: a bitola de canos, mangueiras e pregos; os monitores de
TV e de computador, entre outras coisas.
- Tá, Vô... Mas o que isso tem a ver com a nossa fração? – perguntou Ana.
3' '
. Para explicar
- Pois é. O cano que o Nicolas encontrou tem a inscrição:
4
esta medida, vamos pegar a régua graduada em polegadas e vamos medir o seu
diâmetro, assim... - colocou o cano sobre a régua, como indica a figura.
- Se prestarmos atenção, fica fácil enteder a inscrição
uma olhada:
3' '
. Disse o avô. Dêem
4
17
- É mesmo - disse Nicolas – Se dividirmos a ‘polegada’ em 4 pedacinhos iguais,
a gente vê que o cano ocupa o lugar de 3 desses pedacinhos. Agora entendi porque
3' '
está escrito
no cano.
4
Aninha, que estava prestando atenção em tudo, disse:
- Ah! Eu vi outro pedaço de cano, só que mais fininho... Peraí... Vou ver se
encontro – saiu correndo e já voltou com sua descoberta na mão – Olha: está escrito
1' '
aqui
. Vamos medir?
2
Ana posicionou o cano sobre a régua, observando a medida alcançada, como
indica a representação abaixo.
- É mesmo, Ni... Com esse cano também dá certo... – disse, olhando para o
1' '
primo, com um sorrisinho nos lábios - aqui está marcando
, e com a régua,
2
podemos ver que, ao dividirmos a ‘polegada’ em 2 partes iguais, o cano ocupa o
lugar de uma dessas partes.
As crianças pareciam satisfeitas com as novas descobertas... Aprenderam
como os antigos europeus mediam as coisas e descobriram que as frações estão
mais presentes em nossas vidas do que pensavam.
Neste momento, Paulo Henrique, o primo mais velho daquela turminha, chegou
na casa do Vô Noé. Depois das saudações, as crianças mostraram os pedacinhos
de cano e a régua do Vô, contando toda a história de ‘polegadas’ e ‘frações’ que
haviam acabado de aprender. O primo, que já havia estudado esses conceitos na
1"
escrito no cano e
escola, riu da empolgação das crianças. Olhou para o número
2
disse:
- Ah, um ‘dividido’ por dois...
Nicolas, que havia conduzido a conversa até então, disse:
18
- Não, Paulo Henrique... Não é “um dividido por dois” que se fala... a gente lê
esse número como “um sobre dois”, ou “meio”.
- Na verdade, Ni, podemos ler essa fração como “um sobre dois”, “meio”, ou
ainda, “um dividido por dois”. Todas estas formas estão certas.
Aninha olhou para o primo mais velho e perguntou intrigada:
- Mas se isso é verdade, como pode o número 1, que é pequeno, dividir 2, que
é maior?
- Ora, Ana... Se você e o Nicolas vão lanchar e só tem um refri na geladeira, o
que vocês fazem?
- A gente divide, ué? – Respondeu rapidinho...
- É exatamente isso, Aninha... A idéia de frações está muito ligada à idéia de
1
divisão. A fração
também significa “um dividido por dois” – e pegou a calculadora
2
que estava na bolsa, fez a continha 1 ÷ 2 e mostrou o resultado para os pequenos:
R = 0,5
- A fração pode assumir o significado de número, se a gente dividir o
numerador pelo denominador. E a gente faz isso sempre que quiser saber o ‘valor
1
numérico’ da nossa fração. Agora nós sabemos que a fração
tem valor numérico
2
0,5.
- Paulo Henrique, qual é o “valor numérico” desta outra fração? – Perguntou
3' '
Pedro, com o cano de
.
4
- Vamos calcular? – perguntou Paulo Henrique entregando a calculadora para o
menino – É só digitar 3 ÷ 4. Ou então, pode fazer a continha no caderno, como a
professora ensinou.
- Ah, hoje estou com preguiça... Vou fazer usando a calculadora, mesmo. Pedro fez a continha e obteve a resposta 0,75 – O “valor numérico” desta fração é
0,75. Fácil!
E as crianças verificaram que, além de mais presentes do que imaginavam, as
frações também poderiam aparecer nas mais variadas formas... Nesta hora a Vó
Luzia chamou todo mundo para tomar café da tarde: leite com chocolate e bolinhos
de chuva. As crianças abandonaram por alguns instantes a bancada da garagem do
Vô Noé e correram para a mesa da cozinha...
2.1 Relembrando o que aprendemos...
Vamos fazer um apanhado do que já vimos?
• A fração pode assumir o significado de número, se a gente dividir o
numerador pelo denominador.
numerador
= numerador ÷ denominador
denominador
•
A gente faz isso sempre que quiser saber o ‘valor numérico’ da nossa
fração.
19
2.2 Você sabia que... Sistemas de Unidade e SI: polegadas, pés, nós, etc...
Além da polegada, existem outras medidas que foram baseadas nas
dimensões do corpo humano. Elas surgiram quando o homem precisou medir
distâncias, mas ainda não tinha um método para isso. Antes de estabelecer uma
unidade padrão, ele passou a utilizar seu próprio corpo como instrumento de
medida. Foi assim que surgiram unidades como: a polegada, o palmo, o pé, a jarda,
a braça, o passo.
A polegada a gente já conhece... O que acha de aprendermos outras unidades
de medida interessantes? Algumas são utilizadas até hoje!
O palmo: O palmo também é uma medida inglesa, ainda utilizada nos Estados
Unidos e Inglaterra. É o comprimento que se obtém com a mão aberta. Era muito
utilizado na medida de pequenas distâncias.
A jarda: A jarda era a medida entre o nariz e o polegar do rei Henrique I, da
Inglaterra, quando seu braço estivesse estendido. Essa medida é usada ainda hoje,
nas regras do Futebol Americano.
O pé: O pé humano foi utilizado durante muito tempo para medir distâncias.
Parece não ter sido baseado em nenhum indivíduo em especial. Ainda hoje é
utilizado em medidas náuticas, para medir o comprimento de embarcações.
Milhas: Esta unidade de medida, utilizada ainda hoje nos Estados Unidos e
Inglaterra, foi baseada na distância de mil passadas dada por um centurião do
exército romano. Daí a origem do nome “Mille passus”.
No começo, cada pessoa utilizava o próprio pé, palmo ou polegada para fazer
as medidas. Mas como as medidas variavam de pessoa para pessoa, foi necessário
estabelecer uma medida padrão para evitar problemas, principalmente no comércio.
O primeiro povo a adotar uma medida padrão foram os egípcios, que usavam uma
barra de pedra como unidade padrão para a braça – medida que equivale a
distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio. Na Escócia, a padronização de
medidas ocorreu em 1150, e na Inglaterra, em 1303.
Foi durante a Revolução Francesa que se tomou a iniciativa de unificar
mundialmente os padrões de medida. Assim, em 1790, a Academia de Ciências de
Paris criou uma comissão para resolver o problema. Dos trabalhos dessa comissão
resultou o metro, um padrão único para medir comprimentos, o qual passou a ser
utilizado em todo o mundo. Esta unidade é a medida da décima milionésima parte da
distância entre o Pólo Norte e o Equador.
2.3 Agora, as atividades... O significado “Número”
Vamos exercitar? Abaixo você encontra alguns exercícios, retirados de vários
livros, para que possamos entender melhor esse assunto.
20
10.
(TEIXEIRA, 2008) Identifique as frações
abaixo.
1
2
, 1 53 ,
3
12
,
5
2
na reta numérica
11.
(MERLINI, 2005) Represente e identifique as frações
numérica abaixo.
1
2
e
3
2
na reta
12.
(MERLINI, 2005) Represente na forma de número decimal as seguintes
frações:
a) 15 ;
b) 102
13.
(OMEP, 2007) Sueli resolveu dar uma volta em torno de uma praça
quadrada. Ela partiu do vértice P, no sentido indicado pela flecha, e caiu ao atingir 53
do percurso total. Qual o ponto que indica o lugar em que Sueli caiu?
14.
(GIOVANNI & GIOVANNI JR, 2002) Entre as frações
representa o número natural 3?
6
3
, 205 , 124 , 14 , qual
21
3 OS QUINTOS DOS INFERNOS: SIGNIFICADO “OPERADOR
MULTIPLICATIVO”
Os quatro primos estavam sentados na sala, assistindo TV. Era bem na hora
da novela das sete.
De repente, a vilã da novela, Márcia Gertrudes, mãe de Jéferson Flávio, que
era contra o casamento do filho com a mocinha Angélica Aparecida, só porque ela
era vesga de um olho e manca da perna esquerda, olhou bem na cara da moça e
falou:
- Quer saber? Vá para os quintos dos infernos!!!!
Aquela expressão retumbou pela sala! Os primos se entreolharam, cada um
com uma cara mais impressionada que o outro.
- O que ela falou? – perguntou Aninha, depois de recuperar o fôlego.
- Disse para Angélica Aparecida ir para os “Quintos dos Infernos”... –
respondeu Nicolas, com os dois olhos arregalados, quase do tamanho da testa!
- Ir para onde? – perguntou Kaio, quase sem mexer a boca.
- Para os “Quintos dos Infernos”... – Respondeu Pedro Henrique.
Silêncio na sala!!!
Todos ainda estavam sob o efeito das palavras da vilã Márcia Gertrudes, até
que Aninha, olhando para o irmão Pedro, quebrou o silêncio novamente:
- Mas onde ficam os “Quintos dos Infernos”?
Pedro olhou para a irmã com cara de quem sabe de tudo... Ele não sabia onde
ficava os “Quintos dos Infernos”, mas se sentiu na obrigação de responder a
pergunta. Pensou um pouquinho e deduziu:
- Ah, Ana... os “Quintos dos Infernos” é a mesma coisa que as “quinas do
Inferno”... sabe, é o cantinho da parede do inferno. Márcia Gertrudes falou para
Angélica Aparecida ir para o cantinho do inferno, e...
Já ia continuar com aquela lorota toda, quando ouviram a Vó Luzia, que até
aquela hora estava quietinha, vendo a confusão, dar uma risadinha incontida. Só
naquele momento as crianças perceberam que a avó também estava na sala, em
sua poltrona, assistindo a novela. A avó ainda estava se recuperando do último
apontamento feito por Pedro, quando as crianças, quase que ao mesmo tempo,
perguntaram:
- Vó, onde fica é esse tal de “Quintos dos Infernos”???
A avó verificou o interesse das crianças pelo assunto. Assim, levantou-se da
poltrona e foi em direção da estante, dizendo:
- Para explicar esta história, eu vou precisar de um recurso...
Procurou, procurou, até que achou um grande livro que estava na estante. O
livro, de capa dura e com muitas folhas, chamava-se ‘A História do Brasil’. Voltou a
sua poltrona enquanto os netos se acomodaram ao redor dela.
22
- O que é isso, Vó? – Perguntou Nicolas.
- É um livro que conta um pouco da História do Brasil – respondeu a avó.
Kaio, o menorzinho de todos, perguntou:
- E os “Quintos dos Infernos” fica aqui, no Brasil?
- Não, meu amor – disse a avó, passando a mão na cabecinha do neto – mas
vou explicar essa história direitinho para vocês.
Colocou o livro sobre o colo e começou a folhá-lo. De repente, parou em uma
página. Nela estava estampada uma foto de uma igreja, com o altar todo dourado.
As crianças olharam admiradas... as paredes, o teto, o altar, tudo era dourado...
Aninha suspirou fundo, e disse:
- Aaaaiiiii... que lugar lindo!!! Onde fica?
- Esta é a Igreja e Convento de São Francisco. Fica na cidade de Salvador,
capital da Bahia.
- Nossa, Vó... que igreja linda! – Exclamou Nicolas – toda pintada de dourado...
- Ela não é “pintada de dourado”, Ni... ela é recoberta de ouro!!!
- Nossa!!!! De ouro!!!! – falaram todos ao mesmo tempo...
As crianças perderam a fala só de imaginar uma igreja inteirinha revestida de
ouro... Parecia até coisa do filme do Indiana Jones!
- Essa igreja, crianças, é uma das mais ricas do Brasil. O seu interior é todo
feito de jacarandá - uma madeira nobre, muito rara e valiosa - e ouro. Alguns
afirmam que foi utilizada uma tonelada de ouro em pó em seu interior. Outros dizem
que não foi tanto, algo em torno de 800 quilos. Já ouvi dizer que, no mundo todo, só
a Capela Sistina, no Vaticano, é mais rica...
- Ai, Vó... Quero casar em um lugar assim: com um vestido de princesa e em
uma igreja feita de ouro... - Disse Aninha, suspirando.
Pedro, vendo a cara da irmã, disse para Nicolas, baixinho e torcendo o nariz:
- Essas meninas... Só pensam em casamento...
- É mesmo, ih, ih, ih... – responde Ni.
- Vó – pergunta Kaio – por que colocaram tanto ouro dentro de uma só igreja?
- Ah, Kaio... esta é uma boa pergunta, com uma resposta muito curiosa: Muitas
pessoas ricas e influentes do Brasil Colônia, preocupadas com sua ‘entrada no céu’,
se propunham a custear na construção da igreja e, em troca, ganhavam o direito de
serem enterradas em ‘território santo’, ou seja, dentro das igrejas. Elas imaginavam
que, desta forma, iriam diretamente para o céu. Estavam tão preocupados com este
objetivo que faziam doações de grandes somas de dinheiro, escravos, ouro, prata...
tudo para entrar no céu.
- Que burros! – indignou-se Nicolas – Então só os ricos iam para o céu? Que
preconceito!
- Isto é o que as pessoas imaginavam na época. Assim, as igrejas deste
período da história do Brasil são famosas pela sua riqueza, beleza, e também por
fazerem o papel de grandes túmulos. Muitas guardam até hoje os restos mortais dos
milionários que viveram em nosso país.
- Nossa! Pelo tanto de ouro desta igreja – argumentou Pedro – deveria ter
muuuuita gente querendo ir para o céu...
- É que nesta igreja, Pedro, houve outro fator que influenciou na sua
construção: Portugal não se opunha na construção de igrejas aqui no Brasil. Dizem,
então, que todo este ouro foi empregando nesta igreja para não ser enviado para
Portugal. – depois de uma pequena pausa, continuou: - Nesta época o Brasil era um
grande produtor de ouro, e a descoberta desse metal tão cobiçado atraiu a atenção
do rei de Portugal, que começou a cobrar o “quinto”.
23
- O quinto??? – perguntaram todos, na mesma hora.
- Sim. O quinto era o imposto cobrado pela Coroa portuguesa sobre o ouro e
diamantes. Tinha esse nome porque correspondia a de toda riqueza produzida
nas colônias.
- Um quinto, Vó? – Perguntou Nicolas – Então estamos falando de uma fração!
- Isto mesmo, Ni. Uma fração de todo o ouro que era encontrado no Brasil ia
para o rei de Portugal na forma de impostos. O “quinto” significa que, de cada 5
quilos de ouro, um ia para a Coroa portuguesa.
- Se a produção fosse de 10 quilos de ouro, deveria pagar 2 quilos de imposto,
né, Vó? – disse Pedro.
- Isso mesmo!
- Mas e se eles produzissem 8 quilos? – Perguntou Nicolas - Como vou saber
quanto teriam que pagar?
- A avó olhou para o menino com os óculos na ponta do nariz. Percebeu a
importância da pergunta e viu que deveria aprofundar um pouco mais a palestra.
Levantou-se e pegou o caderno e lápis que estavam sobre a estante. Olhando
novamente para o menino, disse:
- Vamos ver... eles tinham que pagar de todo o ouro na forma de imposto, né?
Se a produção fosse de 10 quilos de ouro... – e escreveu sobre o papel:
10 - deveriam pagar de impostos. Mas vocês já sabem que também significa
10 5, não é? Então deveriam pagar 2 quilos de ouro de imposto, porque 10 5 2. Todos concordam?
- É... parece que está certo... – disse Nicolas desconfiado - mas e se fosse 8
quilos?
- Então... se fosse 8 quilos, teríam:
1
8
8
5
5
- E, como vocês sabem, também pode ser escrito como 8 5, que resulta em
1,6 quilos de ouro, ou seja, se a produção fosse de oito quilos de ouro, deveriam
pagar um quilo e seiscentos gramas de impostos. Era assim procediam para saber o
imposto de qualquer quantidade de ouro que produziam... multiplicavam a produção
por .
- Nossa – disse Aninha – Eu acho que eles não gostavam desse tal “quinto”.
- É, Aninha... Não gostavam mesmo... Para falar a verdade, eles odiavam ter
que pagar o imposto ao rei de Portugal. Por isso eles diziam que era “o quinto dos
infernos”.
- Mas Vó – perguntou Pedro – O que isso tem a ver com a novela? Porque o
que tem a ver a Márcia Gertrudes com o Rei de Portugal?
- Boa pergunta, Pedro. É que as autoridades enviavam os impostos para
Portugal em um grande navio, chamado Nau dos Quintos. Naquela época, a
viagem de navio do Brasil até Portugal poderia levar muitas semanas. As vezes,
devido as turbulências, o navio nem chegava ao seu destino. Por isso, ele era visto
como de navio que iria para muuuuuito longe, quase para o fim do mundo. Então,
quando eles não gostavam de alguém e queriam vê-lo longe, mandavam que ele
fosse com o navio dos Quintos. E logo essa expressão evoluiu para: “Vá para os
quintos dos infernos”.
- Já sei, Vó – disse Nicolas – Era como se hoje a gente dissesse: “Vá ver se eu
estou lá na esquina!”
24
- Eh, eh, eh... é isso mesmo, Ni! – disse a avó, rindo da associação feita pelo
neto.
Kaio que estava atento a tudo, perguntou:
- Vó, o Brasil ainda paga para Portugal o imposto dos Quintos dos Infernos?
A avó, que estava bem-humorada até aquele momento, olhou para o neto com
um pouco mais de apreensão. Pensou um pouco e, depois de um profundo suspiro,
respondeu:
- Sabe, Kaio... Naquela época as pessoas achavam que estavam sendo
exploradas por Portugal. Esta história dos impostos sobre a produção do ouro
motivou as pessoas a pensarem na independência do Brasil. A Inconfidência
Mineira, uma tentativa de revolta contra a coroa portuguesa, teve aí um de seus
motivos. Depois que o Brasil se tornou independente, nenhum imposto mais foi pago
a Portugal. Entretanto, meu anjo, agora a nossa situação me parece pior que no
passado. Se calcularmos todos os impostos que pagamos ao nosso governo,
chegamos a marca de 40%, ou seja, dois quintos de tudo o que produzimos.
As crianças ficaram perplexas.
- Mas, Vó... peraí... – disse Pedro, pensativo – Isso significa que pagamos para
o nosso governo o dobro de impostos que era pago para o governo de Portugal.
Isso significa que o nosso governo explora nosso povo duas vezes mais que o
governo de Portugal. Como pode isso?
A avó ficou sem saber o que responder, e a conversa acabou por aí.
3.1 Relembrando o que aprendemos...
Vamos fazer um apanhado do que já vimos?
• A barra da fração também significa divisão (÷).
• Para saber quanto é uma determinada fração de um valor, basta fazer a
multiplicação de um pelo outro.
3.2 Agora, as atividades... O significado “Operador Multiplicativo”
Vamos exercitar? Abaixo você encontra alguns exercícios, retirados de vários
livros, para que possamos entender melhor esse assunto.
15.
Rodrigo gostaria de abrir uma mecânica. Para isso, precisa de 36 das
ferramentas representadas abaixo. Quantas ferramentas ele precisa? (TEIXEIRA,
2008)
16.
Na 5ª série A, há 36 alunos. Numa avaliação de Matemática sobre frações,
2
dos
alunos
obtiveram resultados satisfatórios. Quantos alunos obtiveram bons
3
resultados? (MERLINI, 2005)
25
17.
Observe a coleção de bolinhas abaixo:
Luís ganhou 23 das bolinhas de gude desta coleção. Quantas bolinhas de gude Luís
ganhou? (MERLINI, 2005)
18.
Gustavo tinha uma coleção de 15 soldadinhos de chumbo e deu a seu
primo Fernando 53 de sua coleção. Quantos soldadinhos de chumbo Gustavo deu a
Fernando? (MERLINI, 2005)
19.
Calcule quanto é:
a) 14 de 20;
b) 15 de 30;
d) 25 de 20;
e) 75 de 14;
(IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
c)
f)
1
3
3
4
de 24
de 24
20.
Sabendo-se que uma hora tem 60 minutos, determine quantos minutos há
em:
a) 12 de hora;
b) 14 de hora;
c) 34 de hora;
d) 121 de hora;
e) 125 de hora;
f) 53 de hora.
(POSITIVO)
21.
Sabe-se que
MACHADO, 2005)
1
3
de um número é 5. Qual é esse número? (IEZZI, DOLCE e
22.
Sabe-se que 72 de um número é 14.
a) Quanto é 17 desse número?
b) Qual é o número?
(IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
23. No sítio de seu Gustavo há 32 galinhas, 47 porcos e 21 patos. Certo dia, 53
desses animais adoeceram. Dos animais que ficaram doentes, 13 eram galinhas.
Três empregados do sítio, José, João e Celina, cuidaram dos animais e eles se
recuperaram logo.
a) Que fração do conjunto de animais as galinhas representam?
b) Os porcos representam que fração do conjunto de animais?
26
c) Quantos animais adoeceram?
d) Quantas galinhas adoeceram?
e) Que fração representa a quantidade de animais que ficaram sãos?
(IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
24.
Alexandre leu 10 páginas de um gibi e Maurício leu 28 páginas de um livro.
Desse modo, Alexandre leu 25 do gibi e Maurício leu 45 do livro. Quantas páginas tem
o gibi de Alexandre? E o livro de Maurício? (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
25.
Márcia demorou 1 hora para fazer as tarefas de Ciências e Matemática.
Sabendo-se que a tarefa de Matemática ocupou 23 deste tempo, determine quantos
minutos ela demorou para realizar cada tarefa. (POSITIVO)
26.
O dono de uma confeitaria divide um bolo em 8 partes iguais e vende cada
pedaço por R$ 1,10. Determine o preço de:
a) 18 do bolo;
b) 12 do bolo;
c) 44 do bolo;
d) 34 do bolo.
(POSITIVO)
27.
Chicão escreveu em seu testamento que o filho mais velho deverá receber
1
da
sua
herança, o filho do meio deve receber 82 e o mais novo receberá 12 do
4
restante. Sabendo-se que sua esposa ficará com a parte que sobrou, resolva as
questões propostas:
a)
Utilize a figura a seguir para fazer a representação gráfica desta situação.
Não se esqueça da legenda.
27
b)
Sabendo-se que a herança foi de R$ 16.000,00, quanto recebeu cada
filho, após a morte do Chicão?
(POSITIVO)
Sabe-se que 72 de um número é 360. Ache:
a) 49 desse número;
b) 14 desse número;
(IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
28.
c)
3
4
desse número
29.
Lembrando-se de que uma volta completa dada por um dos ponteiros do
relógio determina um ângulo de 360°, calcule quanto s graus correspondem a:
a) 12 de uma volta completa;
b) 14 de uma volta completa;
c) 34 de uma volta completa;
1
d) 360
de uma volta completa;
1
e) 8 de uma volta completa.
(POSITIVO)
30.
Considere o retângulo ABCD como o todo-referência.
Pinte, sem sobreposição de cores:
a) 12 do retângulo de vermelho;
b) 16 do retângulo de amarelo;
c) 124 do retângulo de verde. (POSITIVO)
31.
João ganhou um chocolate e Maria ganhou um outro chocolate de mesmo
tamanho. João comeu 12 de seu chocolate, enquanto que Maria comeu 14 do
chocolate dela. Quem comeu mais chocolate? Como você convenceria seu amigo
que sua resposta está correta? (MERLINI, 2005)
32.
Em uma cidade com 120 000 habitantes, as crianças de 0 a 9 anos
representam 15 da população e quanto as pessoas maiores de 9 anos, o número de
pessoas do sexo masculino é igual ao número de pessoas do sexo feminino.
28
a) Quantas crianças há nessa cidade?
b) Quantas pessoas maiores de 9 anos do sexo masculino existem nessa cidade?
c) Quantas pessoas maiores de 9 anos do sexo feminino existem nessa cidade?
(Adaptado de CAVALCANTE, SOSSO, VIEIRA, POLI, 2006)
33.
O Congresso Nacional de um certo país, formado por deputados federais e
senadores, tem 750 membros. Para aprovar um projeto de lei que modifique a
Constituição desse país, é preciso a metade dos votos dos membros do Congresso,
mais um voto. Quantos votos seriam necessários para aprovar um projeto de lei
desse tipo nesse país? (GIOVANNI & GIOVANNI JR, 2002)
34.
Um cinema tem 150 lugares. Para a primeira sessão, 56 dos lugares já estão
ocupados e ainda há 40 pessoas na fila para comprar ingressos. Após lotar
completamente o cinema, quantas pessoas deverão aguardar até o início da
próxima sessão?
35.
•
1
10
Para vender a televisão indicada abaixo, a loja fez a seguinte promoção:
do valor na entrega;
• 15 do que resta depois de 90 dias da entrega;
• O restante em 6 prestações iguais, sendo a primeira para 120 dias após a
entrega. Qual será o valor de cada prestação?
(CAVALCANTE, SOSSO, VIEIRA, POLI, 2006)
29
4 PORCENTAGEM E RECICLAGEM: O SIGNIFICADO “MEDIDA”
Vô Noé estava sentado em sua poltrona, na sala, lendo o jornal enquanto
Pedro Henrique estava vendo a sessão infantil, ao seu lado. O menino procurava
todas as atividades do caderno direcionado para crianças: os quadrinhos, o quebracabeças, o jogo dos 7 erros... Seus olhinhos vivos rastreavam cada pedacinho da
página para não perder nadinha.
De repente, entre uma folha e outra, um anúncio lhe chamou a atenção: Em
letras garrafais, ele leu: “Somente nesta segunda-feira, 40% de desconto em todo o
estoque da loja Ponto Quente”. Algo nesta frase fez seus olhos não desgrudarem
do anúncio: o sinal ‘%’. Ele nunca havia visto aquele sinal antes. Intrigado,
direcionou o olhar para o avô, que lia tranquilamente seu jornal, e perguntou:
- Vô, o que esse símbolo significa? – e apontou com o dedinho para o sinal ‘%’.
O avô suspendeu a sua leitura por um momento e procurou o sinalzinho escrito
no jornal. Olhou bem para o menino, por cima dos óculos de leitura, e disse:
- Isso significa ‘porcentagem’.
- Por-cen-tagem? - Repetiu o menino, pausadamente – Depois de pensar um
pouquinho, perguntou - Tem alguma coisa a ver com o número cem?
- Tem sim, Pedro. Este símbolo representa a expressão “por cento”. Veja de
novo o anúncio da loja: “Somente nesta segunda-feira, 40% de desconto em todo o
estoque da loja Ponto Quente”. Isso significa que de cada 100 reais que você gastar
nessa loja, ganha 40 reais de desconto.
- Nossa... bastante, né, Vô?
- Sim. A porcentagem é muito útil no comércio. Cada vez que a gente tem um
desconto ou um acréscimo no valor de uma mercadoria, este valor é calculado
através da porcentagem.
- Olha esse vídeo game, Vô... – disse o menino, ao ver o vídeo game dos seus
sonhos, anunciado na mesma loja - Custa R$400,00. Quanto a gente pagaria por ele
se tivéssemos 40% de desconto?
40
.
- Para calcular o desconto, primeiro a gente escreve 40% na forma
100
40
- Peraí, Vô. Isso aqui – apontou com o dedinho onde estava escrito ‘
’–é
100
uma fração! A Vó Luzia já ensinou! Agora você vem dizer que é uma
‘porcentagem’? Como pode isso?
- É assim mesmo, Pedro. A porcentagem também é explicada pelo conceito de
40
para dizer 40%, estamos utilizando a
frações. Quando escrevemos
100
terminologia (como se lê), a grafia (como se escreve) e o significado do conceito de
frações.
30
- Iiiii... Tá ficando difícil...
- Não é difícil, Pedro. É só pensar assim: para calcular o valor do desconto
basta a gente dividir o valor todinho do vídeo game em 100 partezinhas iguais, e
depois descontar o valor de 40 dessas partezinhas.
- E como se faz essa conta?
- Vamos ver... Queremos saber quanto vale 40% do valor do vídeo game, não
40
40
é? É só escrevermos:
de R$400,00. Matematicamente fica assim:
× 400,00
100
100
- Só isso, Vô?
- Só! Que você acha de calcularmos o valor do desconto do vídeo game? Você
vai ver que é bem fácil calcular porcentagens...
- Legal!!!!
Pedro saiu correndo e logo voltou com uma folha de papel e um lápis nas
mãos.
- Deixa que eu faço, Vô. Primeiro vou multiplicar 40 × 400,00 - fez a continha no
papel e chegou ao resultado de 16000,00 – Agora é só dividir esse valor por 100 –
calculou e encontrou o valor de 160,00 – Fácil, Vô... muito fácil mesmo... a gente vai
ganhar R$160,00 de desconto! Então a gente tem que pagar só R$240,00.
- Isso mesmo!
- Ah! É daí que vem o nome ‘por cento’ e ‘porcentagem’: porque a gente
sempre acaba dividindo o número ‘por cem’, né, Vô?
- Boa, Pedro! É exatamente isso!
O Vô Noé estava muito feliz por ver Pedro Henrique compreender esse
assunto, tão importante no comércio. Resolveu então aproveitar a situação para dar
outros exemplos. Como estava com o jornal nas mãos, resolveu procurar algumas
notícias para discutir com o neto.
- Veja, o que diz esta notícia, Pedro:
Brasil é recordista em reciclagem de alumínio
Segundo os Indicadores de Desenvolvimento Sustentável 2004, do IBGE, o
Brasil é o país que mais recicla latas de alumínio no mundo: em 2003, 89% da
produção foi reciclada. Em 1993, esta proporção era de apenas 50%. Outro tipo de
reciclagem que também cresceu foi a de papel, que aumentou de 38,8% em 93 para
43,9% em 2002.
Porém, em termos de coleta seletiva do lixo, são apenas 8,2% dos municípios
brasileiros atendidos por este serviço.
(texto retirado do site http://www.ibge.gov.br/ibgeteen/index.htm, em 30 de setembro
de 2008).
Depois de pensar um pouquinho na matéria, Pedro Henrique comenta:
- Nossa... aqui diz que em 2003, 89% do alumínio produzido no Brasil foi
reciclado. Isso significa que, de cada 100 latinhas, 89 foram recicladas! É muita
coisa, né Vô?
- É sim. E veja o a taxa do papel: mais de 40% do papel produzido foi reciclado.
Imagine que, de cada 100 árvores que seriam cortadas e utilizadas como matéria
prima para a fabricação do papel, 40 foram poupadas!
- Nossa, Vô... que legal! Esse lance de reciclagem é mesmo muito
interessante...
- Sabe, Pedro... Nós estamos vivendo em tempos difíceis... Hoje, a reciclagem
é uma necessidade! Quando a gente recicla algo, ajudamos a reduzir a quantidade
31
de lixo que geramos todos os dias, além de preservar os recursos naturais, como as
árvores.
O avô fez uma pequena pausa, e com olhar distante, continuou:
- Você sabia que, para reciclar uma lata de alumínio é gasto apenas 10% da
energia necessária para fabricar uma latinha nova?
- Olha as porcentagens de novo aí, né, Vô... Elas são realmente muito
importantes!
- São mesmo... Tão importantes quanto reciclar o lixo que geramos. É por isso
que a sua avó vive separando as garrafas plásticas, as latinhas de alumínio, papel e
vidro. Tudo isso pode ser reaproveitado para fazer coisas novas, sem prejudicar o
nosso planeta. E ainda por cima, é a fonte de renda de muitas pessoas, que
trabalham como agentes ecológicos.
- Nossa, Vô! Que ‘papo cabeça’ esse nosso, né? Gostei tanto que vou começar
a reciclar também! Mas... o que tenho que fazer?
- É simples: primeiro você deve separar os materiais recicláveis, como papel,
vidro e metais. Depois você pode se informar a maneira mais fácil de entregar esse
material. Em alguns lugares existe a coleta seletiva, que é muito parecida com a
coleta normal de lixo: os veículos coletores passam em nossas casas e recolhem os
recicláveis já separados. Em outros locais, você pode entregar o material
diretamente para um agente ecológico: é só combinar com ele um dia na semana,
que ele passa em sua casa para recolher. Existem ainda os Postos de Entrega
Voluntária, que são colocados em pontos fixos da cidade, onde as pessoas
espontaneamente depositam os recicláveis. Como você pode ver, Pedro, não tem
desculpa para não reciclar... É só ter um pouco de bom senso e boa vontade... O
planeta agradece!
Neste momento, o avô fechou o jornal e o colocou no braço da poltrona. O
menino olhou para o jornal, ali, dobradinho, e disse:
- Vô, jornal é reciclável... vou já procurar uma sacolinha para começar a
separar o material!
E saiu correndo... O avô ficou ali sentado, pensando na contribuição que todos,
todos mesmo, podem dar ao planeta... Agora, o que acha de aprender um pouco
mais sobre o assunto? Na sessão seguinte você encontra mais informações de
como cuidar melhor do nosso planeta. Vamos lá!
4.1 Você sabia que... Reciclagem: a nossa sobrevivência depende da
sobrevivência do planeta.
A idéia da reciclagem é tão importante que merece ser estudada mais a fundo.
Você sabia que, ao fazer a coleta seletiva, estamos contribuindo muito para a saúde
do nosso planeta?
Reaproveitar o que consideramos ‘lixo’ ajuda a diminuir a poluição do solo, da
água e do ar, além de economizar energia e água. Tudo isso porque a produção de
novos materiais gera mais poluição e consome muito mais energia do que ao
reciclar e aproveitar o material que seria descartado.
Ao reciclar, estamos reduzindo a extração de recursos naturais, como árvores,
areia, petróleo e minérios. Lembre-se: alguns recursos não são renováveis.
• Ao reciclar 50 kg de papel, evitamos que uma árvore seja derrubada;
• ao reciclar 1000kg de papel, poupamos 20 árvores;
32
•
ao reciclar 1000kg de vidro, evitamos que 1300 kg de areia seja utilizada
desnecessariamente;
• ao reciclar 1000 kg de plástico, economizamos milhares de litros de
petróleo;
• ao reciclar 1000 kg de alumínio, deixamos de utilizar 5000 kg de minério.
Vale a pena reciclar, não acha?
A reciclagem também é uma forma de conservação do solo, pois ajuda a
diminuir o lixo nos aterros sanitários, além de melhorar a limpeza e higiene da
cidade. Talvez você não saiba, mas alguns tipos de materiais demoram muito tempo
para se decompor na natureza, ficando por aí, sujando e atrapalhando tudo em sua
volta. Abaixo você encontra uma tabela onde o tempo médio estimado para que
estes materiais se decomponham, quando deixados na natureza.
Chiclete
Filtros de cigarros
Papel e papelão
Embalagens longa vida
Garrafas PET
Sacolas plásticas
Alumínio
Metais
Fralda descartável
Isopor
Pneus
Cerâmica
Vidro
5 anos
5 anos
6 meses
Até 100 anos
Mais de 100 anos
Mais de 100 anos
200 a 500 anos
450 anos
600 anos
Indeterminado
Indeterminado
Indeterminado
Indeterminado
Fonte: UFV – Universidade Federal de Viçosa
Disponível em http://www.projetoreciclar.ufv.br/?area=tempo_degradacao
Além da reciclagem, podemos fazer muitas outras coisas para ‘dar uma folga’
para o nosso planeta. Algumas atitudes muito simples podem diminuir o impacto que
causamos no ambiente em que vivemos, e todos saem ganhando. Veja abaixo dicas
para melhorar o planeta:
a) Prefira refrigerantes em garrafas de vidro, retornáveis.
b) Leve sua própria sacola (de pano) para o supermercado;
c) Se utilizar os sacolas plásticas do supermercado, reutilize-as como sacos
de lixo, porém use com moderação. Lembre-se: elas duram 100 anos para
se decompor.
d) Compre produtos que utilizam pouca embalagem e rejeite isopor: não é
reciclável e não se deteriora.
e) Evite usar descartáveis, como copos, garfos, pratos, etc...
f) Recuse folhetos;
g) Reutilize o verso de folhas como rascunho.
h) Recicle e prefira produtos reciclados!
Cuide do seu planeta e o planeta cuidará das próximas gerações!
33
4.2 Relembrando o que aprendemos...
Vamos fazer um apanhado do que já vimos?
• O símbolo % significa porcentagem.
• A porcentagem de algo significa quantas partes nós estamos
considerando, depois de dividir o nosso objeto de estudo em 100 partes
iguais. Por exemplo: 40% indica 40 partes das 100 partes de um total.
40
• A porcentagem pode ser representada como 40% ou pela fração
.
100
• Para calcular a porcentagem, basta multiplicar o valor do produto pelo
índice da porcentagem. Por exemplo: 40% de R$ 400,00 é calculado por
40
× 400,00 , que resulta em R$ 160,00.
100
4.3 Caça-palavras
Que você acha de pensar um pouco mais sobre os cuidados com o planeta?
Abaixo você encontra um caça-palavras com alguns termos comuns na ecologia e
em matemática. Mãos a obra!
C
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34
Banco de palavras:
AGUA
ALUMÍNIO
AR
COLETA SELETIVA
DENOMINADOR
ECOLOGIA
FRAÇÃO
MEIO AMBIENTE
NUMERADOR
PAPEL
PLÁSTICO
PORCENTAGEM
RECICLAGEM
RECURSO NATURAL
SOLO
VIDRO
4.4 Agora, as atividades... O significado “Medida”
Vamos exercitar? Abaixo você encontra alguns exercícios, retirados de vários
livros, para que possamos entender melhor esse assunto.
36. Escreva na forma de porcentagem cada uma das frações:
a) b) c) (GIOVANNI & GIOVANNI JR, 2002)
d) 37. Escreva em forma de frações as seguintes porcentagens:
a) 55%
b) 95%
c) 48%
(GIOVANNI & GIOVANNI JR, 2002)
d) 100%
38. Certa cidade tem uma população adulta de 20 500 pessoas. Uma pesquisa
mostrou que 4% dessa população é analfabeta. Quantos são os adultos analfabetos
desta cidade? (GIOVANNI & GIOVANNI JR, 2002)
39. Na escola de Pedro foi feita uma rifa e foram impressos 150 bilhetes. A mãe de
Pedro comprou 20 bilhetes. Qual a chance da mãe de Pedro ganhar o prêmio?
(MERLINI, 2005)
40. Um pintor fez mistura de tintas para poder pintar uma casa na segunda-feira e
na terça-feira, como mostra o quadro abaixo. A mistura vais ter a mesma cor na
segunda e na terça-feira? Que fração representa a quantidade de tinta azul em
relação ao total da mistura das tintas na segunda feira? E na terça-feira? (TEIXEIRA,
2008)
41.
João terá que passar por uma prova de fogo. Seu amigo colocou dentro de
uma caixinha 3 bolas coloridas, duas azuis e uma branca, e apostou com João: Se
você tirar uma bola dessa caixa sem ver, e se ela for azul, você ganha o jogo. Que
fração representa a chance de João ganhar o jogo? (MERLINI, 2005)
42.
Observe os baralhos abaixo?
35
a) Se tomarmos o baralho vermelho, qual a chance de tirarmos uma carta
branca?
b) Se tomarmos o baralho azul, qual a chance de tirarmos uma carta branca?
c) Em qual dos dois baralhos existe maior chance de tirarmos uma carta
branca? (MERLINI, 2005)
43.
Para fazer uma certa quantidade de suco são necessários 2 medidas de
água para 1 medida de concentrado de laranja. Que fração representa a medida da
água em relação ao total de suco? (MERLINI, 2005)
44.
Foi feita uma pesquisa com 1440 pessoas sobre suas preferências pelos
canais de televisão. O resultado desta pesquisa está representada no gráfico abaixo:
Responda:
a) Quantas pessoas preferem o canal 3?
b) Quantas pessoas preferem o canal 8?
c) Quantas pessoas não opinaram?
d) Que fração representa as pessoas que preferem o canal 11 em relação às
que preferem o canal 8?
e) Que fração representa as pessoas que preferem o canal 2 em relação ao
total de entrevistadores?
f) Que fração representa as pessoas que preferem o canal 8 em relação às
que preferem o canal 3? E em relação ao total de entrevistadores? (POSITIVO)
36
5 A DIVISÃO E O SIGNIFICADO “QUOCIENTE”
As crianças estavam brincando no quintal quando viram o Vô Noé chegar do
supermercado. Ele vinha cheio de sacolas, e as crianças correram para ajudá-lo.
Isto não era sem intenção: as crianças estavam muito interessadas nas gostosuras
que o Vô trazia naquelas sacolinhas.
Cada Neto pegou uma embalagem da mão do avô, já olhando, através das
sacolas plásticas, o que cada uma delas continha.
– Ovos... disse Nicolas, meio desanimado.
– Pão, falou Aninha, torcendo o nariz.
– Iiiii – resmungou Pedro – Alface...
Kaio olhou para os primos com uma risadinha safada, e disse:
- Balas!
Ele mal terminou de falar e já saiu correndo com a sacola do mercado nas
mãos. Os primos não pensaram duas vezes: colocaram as embalagens sobre a
mesa da cozinha e saíram em disparada atrás do priminho que, a essas alturas, já
tinha se escondido atrás da casa do Vô. Só se ouvia a correria e as risadinhas das
crianças.
As crianças estavam muito satisfeitas... O Vô Noé tinha comprado três pacotes
de balas: chocolate, doce de leite e menta. Kaio, que segurava todos os pacotes de
bala nas mãozinhas, disse:
- Esse é o meu – apontando para o pacote de balas de chocolate.
Aninha, com seu senso de justiça, disse para o priminho:
- Não, Kaio. Você não pode ficar com um pacote inteiro. Temos que dividir
direitinho para nós quatro.
- Mas só tem três pacotes – disse Kaio – como vamos dividir três pacotes entre
nós quatro?
Diante do problema, Aninha olhou para Pedro e Nicolas, e disse:
- É verdade! Como faremos para dividir três coisas entre quatro pessoas?
Nicolas, depois de pensar por um segundo, disse:
- Muito fácil, ué! A gente divide. Vejam!
Pegou os pacotes de balas que o Kaio segurava e levou para a mesa de centro
da sala do Vô Noé. Abriu cada um deles e contou: haviam 20 balas em cada pacote.
Pegou papel e lápis que estavam na estante e, olhando para os primos, disse:
- Se tem 20 balas em cada pacote, então, para que a divisão seja justa,
devemos fazer:
37
- Então sabemos que, de cada pacote, cada um de nós vai receber 5 balas.
- É isso mesmo – continuou Pedro. Mas a gente também pode escrever esta
operação na forma de frações, assim:
- É mesmo – disse Aninha – o sinal da fração também significa divisão.
Lembra?
- Verdade. A fração das balas que cada um vai receber é
. Aliás, é
exatamente isso que a palavra fração significa: uma parte. – Disse Nicolas, com
toda propriedade de quem sabe tudo de frações. E terminou dizendo: Então, a parte
das balas que cada um vai receber é .
E, olhando para todos no grupo, separou as 20 balas do pacote em 4
montinhos, sendo que cada montinho ficou com 5 balas.
- É – disse Pedro – Mas se a considerarmos que temos três pacotes, então
teremos três vezes esta quantidade.
Pedro pegou os outros dois pacotes e continuou a fazer a partilha dos doces.
Ao final da tarefa, Kaio contou:
- 1, 2, 3, ..., 13, 14, 15! Eu ganhei 15 balas!
- Claro, Kaio – disse Aninha – todos nós ganhamos 15 balas. Agora a divisão
está justa!
As crianças juntaram suas balas da forma que puderam: Aninha pegou um dos
pacotes vazios de balas que estava por aí para guardar suas balinhas, Nicolas e
Pedro enrolaram suas balas na camiseta e Kaio já se preparava para comê-las ali
mesmo. Já estavam salivando quando a Vó Luzia, da porta da sala, disse:
- Nada de balas agora, crianças! O almoço está servido. Já pra mesa!
As crianças, suspirando, viram que teriam que esperar um pouco mais para
saborear os doces.
5.1 Relembrando o que aprendemos...
Vamos fazer um apanhado do que já vimos?
• Uma fração também pode ser interpretada como uma divisão, e o traço
da fração pode ser interpretado como ÷.
• A palavra fração significa uma parte.
38
5.2 Agora, as atividades... O Significado “Quociente”
45.
Tenho 10 bolinhas de gude e vou dividir igualmente para 5 crianças. a)
Quantas bolinhas cada criança ganhará? b) Que fração representa esta divisão?
(MERLINI, 2005)
46.
Foram divididas igualmente 3 barras de chocolate para 4 crianças. Que
fração de chocolate cada criança receberá? (TEIXIERA, 2008)
47.
Um bolo foi dividido igualmente para 3 crianças, e 2 bolos de mesmo
tamanho foram divididos igualmente para 6 crianças.
As crianças comeram a mesma quantidade de bolo? (MERLINI, 2005)
39
6 SÁBADO É DIA DE PIZZA: FRAÇÕES EQUIVALENTES, ADIÇÃO E
SUBTRAÇÃO
Era sábado, a noite preferida das crianças. No sábado todo mundo se reúne na
casa do Vô Noé para comer pizza no jantar! A Vó Luzia prepara vários sabores, de
acordo com o gosto de cada um: Nicolas prefere a pizza de presunto, Aninha e Kaio
adoram a pizza de calabresa e Pedro... ah, Pedro... Pedro não perdoa nada! Come
todas! Ele diz que ‘a sua pizza preferida é a próxima a ser servida’! Teve uma vez
que ele comeu 5 pedaços... Daí passou mal, teve dor de barriga, teve que tomar
remédio... Todo mundo pensou que ele aprenderia que muita pizza faz mal, mas no
próximo sábado, ele se empanturrou de novo. Depois do acontecido, sua mãe
decidiu acompanhar mais de perto o jantar de sábado a noite dos meninos.
Nicolas e Kaio já estavam sentados à mesa quando Pedro Henrique e Aninha
chegaram. Depois das saudações empolgadas dos primos, todos se sentaram.
- Hummmm... Que cheirinho bom, Vó! Qual é o sabor da pizza de hoje? –
perguntou Pedro, todo empolgado.
- Bom... respondeu a avó – O Ni queria pizza de frango com catupiri e o Kaio
queria de calabresa.
- E daí, Vó? Qual você fez?
- As duas! – E tirou as duas pizzas enormes do forno.
Pedro Não se conteve: olhando as pizzas na mesa deu um imenso suspiro, e
disse:
- Ai, Vó... Você é a melhor Vó do mundo... –
E o menino aproximou o nariz da pizza, respirando bem fundo para sentir o
cheirinho...
A Vó Luzia estava entretida, falando com as crianças enquanto cortava as
pizzas em pedaços. A avó já ia servir quando Aninha observou:
- Olha, Vó... você cortou errado! – e apontou para as pizzas com o dedinho
indicador.
Todos olharam para as pizzas e verificaram que Aninha estava certa. Talvez
porque estivesse conversando durante a tarefa, a Vó Luzia havia cortado a pizza de
calabresa em oito pedaços e a pizza de frango em apenas seis. Depois de pensar
um pouquinho, Nicolas disse:
40
- Não tem problema, Vó... a gente vai comer tudo de qualquer jeito!
Todos riram da observação do menino, apesar de concordarem plenamente
com ela.
Depois do jantar, todos foram para a sala brincar com o jogo de damas. A mãe
de Pedro, preocupada com a saúde do filho, perguntou:
- Pedro, quantos pedaços de pizza você comeu?
- Comi 3 pedaços, mãe. Dois dos pequenos e um dos grandes – respondeu
prontamente.
Ela olhou bem para o menino e perguntou:
- Como assim? Pedaços grandes e pequenos?
- É que a Vó dividiu errado. A pizza de frango tinha pedaços grandes, e a pizza
de calabresa tinha pedaços pequenos. Então eu comi dois pedaços pequenos e um
pedaço grande.
A mãe de Pedro olhou desconfiada para o filho, e depois de pensar um minuto,
questionou:
- Então vou reformular a pergunta: Quanto, de uma pizza inteira, você
comeu?
As crianças pararam o jogo e olharam umas para as outras. A pergunta
chamou a atenção. Aninha logo respondeu:
- Se a Vó dividiu a pizza de calabresa em 8 pedaços e o Pedro comeu 2,
significa que ele comeu da pizza.
- Mas ele também comeu um pedaço da pizza de frango. Como a Vó dividiu a
da pizza de frango.
pizza em 6 pedaços, então ele comeu
- Então, mãe, eu comi
da pizza de calabresa mais da pizza de frango. –
respondeu orgulhoso Pedro.
A mãe de Pedro, olhando para as crianças, perguntou: - e quanto isso dá?
- Peraí... eu sei! – disse Nicolas. Saiu correndo em disparada e pegou o papel
onde estavam marcando a pontuação do jogo de damas, e escreveu:
- Olha, tia, isso são frações. O Pedro comeu
continha. Fica assim:
mais
. Então é só fazer a
41
A mãe de Pedro olhou para a continha que Nicolas havia feito e viu que tinha
alguma coisa errada. Olhou bem para o rostinho do sobrinho e perguntou:
- Ni, você que já conhece bem as frações, lembra o que significa da pizza de
calabresa?
- Significa que cortamos a pizza em 8 pedaços e Pedro comeu 2 – disse
Nicolas, levantando o dedinho.
- Isso mesmo, Ni. Utilizando o mesmo raciocínio, o que significa da pizza de
frango com catupiri?
Pedro tomou a frente e respondeu:
- Ah, mãe... muito fácil. Significa que dividimos a pizza de frango em 6 partes e
eu comi uma.
- Muito bem, crianças. Então, sendo 8 e 6 são o número de partes que
dividimos as pizza, não podemos somar esses números como faríamos em uma
conta com números inteiros. Em uma fração, esses números são conhecidos como
denominadores, e, como já sabem, a palavra fração significa “em partes”, e o
denominador significa em quantas partes dividimos cada pizza.
Depois de uma pequena pausa, continuou:
- Como a gente pode ver, a pizza de calabresa foi dividida em 8 partes, e a
pizza de frango com catupiri em 6 partes. Mas quando trabalhamos com frações,
devemos sempre dividir as coisas em partes iguais, lembra? E agora? Como
faremos para dividir as pizzas em partes iguais, se elas já foram cortadas?
As crianças pensaram, pensaram, até que Pedro respondeu:
- Ah, Fácil... é só ‘redividir’!
- Muito bem, Pedro. – elogiou a mãe – Se a gente redividir as duas pizzas de
forma que cada partezinha de uma fique igual a cada partezinha da outra, teremos
dividido tudo em partes do mesmo tamanho, que é nosso objetivo. – E continuou Vejam, se redividirmos cada pedaço da pizza de calabresa em três partes e cada
pedaço de pizza de frango em quatro partes, cada pizza ficará dividida em 24 partes
iguais.
- Lembrem-se: só redividimos os pedaços. As pizzas são as mesmas:
42
- Agora – continuou ela - para saber quanto de pizza Pedro comeu, a gente
deve considerar que ele havia comido dois pedaços da pizza de calabresa e um
pedaço da pizza de frango com catupiri.
- Então, a gente só precisa contar os pedacinhos das duas pizzas:
.
- Agora podemos verificar que ele comeu
da primeira pizza e mais
da
segunda. E agora? Fica fácil calcular quanto ele comeu?
- Fica, mãe – disse Aninha – Se ele comeu 6 das 24 partes e depois mais 4 das
24, então, no total, comeu 10 dos 24 pedaços. – E, pegando o papel que estava por
ali, escreveu:
- É isso mesmo. É só lembrar que cada vez que precisarmos efetuar a
adição ou a subtração de números fracionários precisamos lembrar que, antes
de tudo, devemos ‘cortar’ o nosso objeto de estudo em ‘pedacinhos de mesmo
tamanho’, só depois devemos fazer a continha. Fácil, né?
As crianças concordaram.
- Em matemática, crianças – continuou – quando a gente ‘redivide’ as frações
para fazer as continhas, estamos encontrando uma fração equivalente. Na soma e
na diferença de frações precisamos ter os denominadores iguais e é por isso que o
43
estudo das frações equivalentes é tão importante. Como vimos, a fração
é
equivalente a fração
, pois se cortarmos a pizza em 8 partes e comermos 2 é
equivalente a cortar a pizza em 24 partes e comermos 6 pedaços.
2
6
8 24
, pois se cortarmos a
pizza em 6 partes e comermos 1 pedaço é equivalente a cortar a pizza em 24 partes
e comermos 4 pedaços.
1
4
6 24
- Da mesma forma, a fração
é equivalente a fração
E, olhando para as crianças, a mãe de Pedro perguntou:
- E então, crianças... o que acharam de tudo isso?
Mais que depressa, Pedro respondeu:
- Achei que estudar frações comendo pizza é demais!
Todos riram da observação do menino, que já pensava nas pizzas do sábado
seguinte.
6.1 Relembrando o que aprendemos...
Vamos fazer um apanhado do que já vimos?
• Para somar ou diminuir frações, devemos verificar se os denominadores
dessas frações são iguais.
• Se os denominadores não forem iguais, devemos utilizar frações
equivalentes para desenvolver os cálculos.
6.2 Operações com frações: soma e diferença
44
Agora que você já conhece com profundidade as frações, vamos aprender
como operar com esse tipo de número. Lembre-se: uma fração não é um número
natural, e, por isso devemos tomar um cuidado maior na hora de efetuar os cálculos
propostos. Mas não é nada difícil... basta lembrar que uma fração, como o próprio
nome já diz, é uma parte de algo, que é escrita utilizando uma representação do
numerador
tipo:
. O denominador significa a quantidades de partes em que o nosso
denominador
objeto de estudo foi dividido (sempre em partes iguais), e o numerador significa
quantas dessas partes nós utilizamos. Por exemplo, se disséssemos que alguém
2
de um bolo, significa que, inicialmente dividimos o bolo em 8 pedaços
comeu
8
exatamente iguais, e em seguida, servimos 2 desses pedaços à esta pessoa. Não é
uma idéia difícil de compreender, não é mesmo?
Pronto! Agora que você já entendeu como devemos fazer, vamos exercitar?
Abaixo você vai encontrar algumas atividades envolvendo o conceito de soma e
diferença de frações que a gente estudou. Mãos à obra!
6.3 Agora, as atividades... Frações equivalentes, adição e subtração
48. Em seu caderno, escreva uma fração equivalente a
:
a) Com denominador 42;
b) Com numerador 40.
(CAVALCANTE, SOSSO, VIEIRA e POLI, 2006)
49. Ronaldo, Carla e Luís colocaram água em recipientes idênticos. Ronaldo
encheu de seu recipiente, Carla encheu e Luís, . Quais deles colocaram a
mesma quantidade de água nos recipientes? (CAVALCANTE, SOSSO, VIEIRA e
POLI, 2006)
50. Um pedreiro foi contratado para rebocar um muro. No primeiro dia ele
rebocou do muro, e no segundo dia, mais .
a) Que fração representa a parte do muro que já está rebocada?
b) Que fração representa a parte do muro que falta rebocar?
(CAVALCANTE, SOSSO, VIEIRA e POLI, 2006)
51. Alexandre ganhou R$ 185,00 do avô. Desse total, ele guardou na
poupança. Com o restante, ele decidiu que iria colecionar figurinhas para um álbum
em que cabiam 240 figurinhas. Na primeira compra de figurinhas, Alexandre
conseguiu preencher do álbum. Na segunda compra, preencheu mais do álbum.
a) Quanto Alexandre guardou na poupança?
b) Quanto sobrou para ele colecionar figurinhas?
c) Com as duas compras de figurinhas, que fração do álbum Alexandre
preencheu?
d) Quantas figurinhas ficaram faltando para Alexandre preencher o Álbum?
(IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
45
52. Efetue os cálculos usando frações equivalentes:
a) b) c) (CAVALCANTE, SOSSO, VIEIRA e POLI, 2006)
d) 53. Rita repartiu R$ 540,00 entre seus quatro filhos. Rodrigo tem 21 anos
recebeu do dinheiro. Sabrina tem 19 anos e recebeu . Cecília tem 16 anos e
recebeu .
a) Que fração receberam juntos Rodrigo, Sabrina e Cecília?
b) José Roberto tem 15 anose recebeu o restante do dinheiro. Que fração
do todo recebeu José Roberto?
c) Quantos reais cada filho recebeu?
(CAVALCANTE, SOSSO, VIEIRA e POLI, 2006)
Em razão da instalação de rede de água, foi construído um grande reservatório.
Uma bomba d’água foi ligada para alimentar esse reservatório. Anteontem, primeiro
dia de funcionamento dessa bomba, ela encheu do reservatório; ontem, ela encheu
mais do reservatório. Se ainda faltam 4 400 litros para completar o reservatório,
qual a capacidade dele? (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005)
54. O salário de Mateus é de R$1 600,00. Ele gasta
do salário com a
prestação da casa e com alimentação.
a) Que fração do salário ele gasta com moradia e alimentação?
b) Quanto ele gasta com essas despesas?
c) Quanto sobra para outras despesas?
(CAVALCANTE, SOSSO, VIEIRA e POLI, 2006)
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7 O PÉ DE JABUTICABAS
Os quatro primos estavam debaixo da árvore de jabuticabas, atrás da casa do
Vô Noé, colhendo aquelas frutinhas deliciosas quando Pedro quebrou o silêncio:
- Sabe... é muito legal vir passear na casa do Vô.
- É verdade – completou Nicolas - Eu adoro vir pra casa do Vô Noé. Ainda mais
quando tá todo mundo junto...
- Eu também gosto de vir pra cá – comentou Aninha – E como a gente
aprendeu coisas novas nessas ultimas semanas, não é verdade?
- É verdade! – disse Pedro – aprendemos também a história do jogo de
damas...
- Ah, lembra das unidades de medidas britânicas? – disse Nicolas empolgado.
- É mesmo... disse Kaio – foi bem legal medir as distâncias com os dedos, com
os passos, com os palmos...
- E a gente aprendeu também coisa séria, como os cuidados com o planeta,
reciclagem de lixo e tudo mais. Lembra? – perguntou Pedro.
- Sim – disse Aninha suspirando – mas o que eu mais gostei foi aprender sobre
aquela igreja todinha feita de ouro...
- É mesmo – disse Nicolas – e sobre a história dos “Quintos dos Infernos”...
Sinistro!
- E sobre porcentagem! – lembrou Pedro.
- Eu adorei fazer casinhas de passarinhos para o jardim – disse Kaio,
levantando o dedinho indicador para chamar a atenção dos primos.
- E vocês viram que tinha frações em tudo? – Perguntou Aninha.
- É mesmo!!! – disseram todos ao mesmo tempo.
- Pois é: as frações estão mais presentes em nossas vidas do que a gente
imaginava! – disse Nicolas pensativo.
Todos concordaram.
- Sabe o que eu fico pensando? – perguntou Aninha – Quanta coisa legal tem
pra gente aprender...
- É mesmo – disse Nicolas – mas a gente tem muito tempo para isso ainda...
- Eu não quero perder tempo – disso Pedro – Quando crescer, quero ser
astronauta... E eu já sei que pra ser astronauta tem que estudar muito.
- Eu vou ser engenheiro – disse Nicolas – quero construir pontes, casas,
prédios...
- Eu adoro bichos... Vou estudar muito para ser uma médica veterinária para
salvar todos os bichinhos... – disse Aninha.
- E eu... – disse Kaio empolgado – vou ser o melhor de todos: quando crescer,
quero ser o homem-aranha, pra pular nas paredes, fazer teia de aranha, usar aquela
roupa legal...
47
Todas as crianças riram da observação do priminho... E, debaixo da árvore de
jabuticabas, a conversa continuou... De longe se ouvia as brincadeiras das crianças,
as risadinhas, os gritos... Todos sabiam que as coisas que aprenderam eram muito
importantes, mas que para alcançarem os objetivos de cada um, deveriam continuar
a investigar muitos outros assuntos. E o que era mais legal, entenderam que
aprender era gostoso, que tornava as pessoas mais interessantes e que era possível
fazer isso em qualquer lugar.
48
8 ANEXO:
49
9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
Apostila Positivo. 5ª. Série.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. 5ª. Série. São Paulo:
FTD, 2000.
BONJORNO, Regina Azenha; BONJORNO, José Roberto. Pode contar comigo:
Matemática. 4ª. Série. São Paulo: FTD, 1994.
CAVALCANTE, Luiz G.; SOSSO, Juliana; VIEIRA, Fábio; POLI, Ednéia. Para saber
Matemática. 5ª. Série. 2. Ed. São Paulo: Saraiva, 2006.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JÚNIOR, José Ruy. Matemática Pensar e
Descobrir: o + novo. 5ª. Série. São Paulo: FTD, 2002.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. 5ª.
Série.São Paulo: Atual, 2005.
IMENES, Luiz Márcio Pereira; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática. 5ª. Série. São
Paulo: Scipione, 1993.
MERLINI, Vera Lúcia. O conceito de frações em seus diferentes significados:
um estudo diagnóstico com alunos de 5ª e 6ª série do ensino fundamental.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica
de São Paulo, São Paulo, 2005.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: Idéias e desafios. 5ª. Série.
São Paulo: Saraiva, 2005.
TEIXEIRA, Alexis Martins. O professor, o ensino de fração e o livro didático: um
estudo investigativo. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de
Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008.
50
10 OBRAS CONSULTADAS
IMENES, Luiz Márcio Pereira; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo Cestari. Para
que serve Matemática? São Paulo: Atual, 1993.
MALASPINA, Maria da Conceição de Oliveira. O início do ensino de fração: uma
intervenção com alunos de 2ª série do ensino fundamental. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo, São Paulo, 2007.
MOUTINHO, Leonel Valpereiro. Fração e seus diferentes significados um estudo
com alunos das 4as e 8as séries do ensino fundamental. Dissertação (Mestrado
em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São
Paulo, 2005.