AULA 07 – LOGARITMOS
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
EXERCÍCIOS
Introdução
Consideremos os seguintes problemas:
1. Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:
1. A que expoente x se deve elevar o número 3 para se
obter 81?
a) log 8 4
g) log 4 2 2
Pelo enunciado, temos:
h) log2 0,25
b) log25 0,2
i) log3 81
3 x = 81 ⇔ 3 x = 34 ⇒ x = 4
c) log 3 64
2
Esse valor 4 encontrado para o expoente x denomina-se
logaritmo do número 81 na base 3 e se representa por:
d) log16 32
j) log5 32 128
e) log5 0,000064
l) log2
f) log49
3
7
8
64
m) log625
log 3 81 = 4
5
2. Calcule o valor da soma S:
log 3 81 = 4 ⇔ 34 = 81
a) S = log 0,001 + log3 3 3 - log8 1
2. A que expoente x se deve elevar o número 2 para se b) S = log 8 - log 27 + log 1024
1
4
2
1
64
2
3
obter
?
32
c) S = log 2 8 - log10 0,01 + log2 8
Pelo enunciado, temos:
d) S = log4 ( log2 16 ) - log2 ( log3 81)
1
1
2x =
⇔ 2x = 5 ⇔ 2x = 2-5 ⇒ x = -5
3 Calcule o logaritmo de a5 na base a2.
32
2
1
é o número real k.
16
Calcule o logaritmo de k na base 2.
Esse valor -5 encontrado para o expoente x denomina1
na base 2 e se representa
se logaritmo do número
32
por:
log 2
log 2
4. A solução da equação 46 - x =
5. Sabendo que o logaritmo de x na base 4 é
1
= -5
32
calcule o valor de x³ - 1.
1
1
= -5 ⇔ 2-5 =
32
32
DEFINIÇÃO
CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA
forma logaritmica
x
a
=b

forma exponencial
Considere a definição dada, calcular o valor dos
logaritmos:
logaritmando positivo
b > 0

logab ⇒ base positiva
ou logab ⇒ 
a > 0 e a ≠1

base diferente de 1

a) log 6 36
log 6 36 = x ⇒ 36 = 6 x ⇒ 62 = 6 x ⇒ x = 2
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
b) log 10 0,01
1) loga 1 = 0
2) logaa = 1
3) logaam = m
4) aloga
5) logab = logac ⇒ b = c
log 10 0,01 = x ⇒ 0,01 = 10 x ⇒
1
= 10 x ⇒ 10-2 = 10 x ⇒ x = -2
100
-1-
b
=b
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log a b = x ⇔

⇒
1
2
AULA 07 – LOGARITMOS
EXERCÍCIOS
1. Dê o valor de:
e) log4 43
a) log4 4
b) log 1
7
 1
f) log 1  
10 
10 
1
7
c) log6 1
d) log5 5
(
)
log6 x 2 - x = 1 ⇔ x 2 - x = 6
 x' = 3
x2 - x - 6 = 0 ⇒ 
 x'' = -2
Verificação:
h) 3log3 27
b) 2-log3 8 . log2 3
c) 2log4 7 . log2 4
d) 3-log5 7 . log3 5
p/ x = 3 ⇒ 9 - 3 > 0 ⇒ 6 > 0 (verdadeiro)
p/ x = -2 ⇒ 4 + 2 > 0 ⇒ 6 > 0 (verdadeiro)
Resposta: S = {-2, 3}
2. Determinar o valor das expressões:
a) 5log4 3 . log5 4
)
Condição de Existência: x² - x > 0
3
g) 5log5 7
-7
(
2. Determinar conjunto solução da log6 x 2 - 1 = 1
EXERCÍCIOS
1. Resolva as equações:
3. Ache x nas igualdades:
a) log5 x = log5 7
b) log10 3x = log10 30
a) log3 x = 4
b) log 1 x = -2
3
c) log0,2 x = 6
d) log3
x+3
=1
x-1
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
2. Determine o conjunto solução da equação
Equações logarítmicas são equações que envolvem log x 2 - 1 = 1.
12
logaritmos.
Resolver uma equação logarítmica é determinar o valor
ou os valores da incógnita que torna a sentença 3. Resolva a equação log4 -x 2 + 5x = log4 6 .
verdadeira.
2
Para resolver uma equação logarítmica, adotaremos o 4. Resolva a equação log 1 ( x + 4 x - 5 ) = - 4 .
2
seguinte método:
(
)
(
PROPRIEDADES
LOGARITMOS
OPERACIONAIS
DOS
1ª. Logaritmo do produto
O logaritmo de um produto é igual à soma dos
logaritmos dos fatores tomados na mesma base, isto é:
EXEMPLOS
1. Resolver a equação log4 x = 2 .
logb ( a . c ) = logba + logbc
com a > 0, c > 0 e 1 ≠ b > 0
Condição de Existência: x > 0
log4 x = 2 ⇔ 42 = x ∴ x = 16
Verificação: x > 0 ⇒ 16 > 0 (verdadeiro)
Resposta: S = {16}
2ª. Logaritmo de um quociente
O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do
numerador menos o logaritmo do denominador
tomados na mesma base, isto é:
logb
a
= logba - logbc
b
com a > 0, c > 0 e 1 ≠ b > 0
-2-
 Aula 07: Função Logaritmíca – Prof. Cirço Mancilla
1º. Indicaremos as condições de existência.
2º. Resolveremos a equação.
3º. Faremos a verificação com as soluções da
equação nas condições de existência.
)
AULA 07 – LOGARITMOS
3ª. Logaritmo de uma potência
O logaritmo de uma potência é igual ao produto do
EXERCÍCIOS
expoente pelo logaritmo da base da potência, isto é:
1. Sendo logb a = 4 e logb c = 1 , encontre o valor de:
logb an = n.logba
com a > 0, e 1 ≠ b > 0
a) logb ( a.c )
a
b) logb  
c
c) logb ( a.c ) 2
d) logb
(
a .c
)
Caso particular
2. Com logx a = 5, logx b = 2 e logx c = -1 , calcule:
1
logb n a= logba n =
a) logx ( a.b.c )
1
. logba
n
 a 2 b3 
b) logx  4 
 c 
3. Calcule logc 3 a 3 b 3 c , sendo logc a = 5 e logc b = 2 .
EXEMPLOS
1.
 a.c 
Sendo logb a = 4, logb c = 6 e logb d = -1, calcular logb 
.
 d 
 a.c 
logb 

 d 
 a.c 
logb 

 d 
 a.c 
logb 

 d 
 a.c 
logb 

 d 
4.(FEI-SP)
Sabendo
calcule log
a 2b 2
.
c3
= logb a.c - logb d → logaritmo de um quociente
que log a = 2 log b = -log c = 6 ,
MUDANÇA DE BASE
= logb a + logb c - logb d → logaritmo de um produto
loga b =
= 4 + 6 - (-1)
logc b
logc a
b>0
0 < a ≠1 e 0 < c ≠1
= 11
EXEMPLOS
a.c
Resposta: logb   = 11
 d 
1. Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcular log2 6 .
log2 6 = log
2. Sendo log 2 = x e log 3 = y , calcular:
a) log 24
(
log 6
log 2 . 3
log 2 + log 3
=
=
log 2
log 2
log 2
0,3 + 0,4
0,7
7
=
=
0,3
0,3
3
7
Resposta: log2 6 =
3
log2 6 =
)
log 24 = log 23 .3 = log 23 + log 3
log 24 = 3.log 2 + log 3
log 24 = 3x + y
2. Sabendo que logb a = 4, calcular loga2 b6 .
b) log ( 9 8 )
(
log ( 9
log ( 9
log ( 9
log ( 9
Passando para a base b, temos:
)
8 ) = log 3 + log 2
3
8 ) = 2.log 3 + .log 2
2
3x
8 ) = 2y +
2
4y + 3x
8) =
2
4y + 3x
Resposta: log ( 9 8 ) =
2
log 9 8 = log 9 + log 8
2
loga2 b6 =
3
logb b6
6logb b
6
3
=
=
=
logb a2
2logb a
2.4
4
Resposta: loga b6 =
2
-3-
3
4
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Resposta: log 24 = 3x + y
AULA 07 – LOGARITMOS
3. Resolva a equação log2 x + log8 x = 8 .
Condição Existência: x > 0
Na expressão aparecem logaritmos nas bases 2 e 8;
deixaremos ambos com a base 2.
log2 x +
log2 x
= 8
log2 8
Como: log2 8 = 3, vem:
2. (UFRGS) O valor de log 1 32 + log 10 10 é:
4
3
(A) 2
(B) -1
(C) 0
(D) 2
13
2
log2 x
3log2 x + log2 x
24
=8 ⇒
=
3
3
3
3log2 x + log2 x = 24 ⇒ 4log2 x = 24
(E)
log2 x = 6 ∴ 26 = 64
3. (CESGRANRIO) Se log 10 123 = 2,09 calcule o valor
de log 10 1,23 é:
log2 x +
Verificação: x > 0 ⇒ 64 > 0
Resposta: S = {64}
4. (UNIFOR-CE) Se log 2 = 0,30 calcule o valor real de x
que satisfaz a sentença 4
EXERCÍCIOS
1. Sendo log 2 = 0,3; log 3 = 0,4 e log 5 = 0,7, calcule:
a) log2 50
3 x −1
= 5 2 x +1
5. Resolva, em IR, as equações.
a) log 2 ( x + 4) = 5 − log 2 x
b) log 2 x + log 4 x = 4
b) log3 45
c) log9 2
c) log 4 ( x + 3) + log 4 ( 2 − x) = 1
d) log8 600
6. (UF-SE) Encontre o conjunto de valores reais x
2. Sendo loga (a3b2 ) = m, calcule logb a.
3. Dados logb a = m e logb c = n, calcule logc a.
4. Solucione as equações:
a) log5 x + log25 x = 3
7.
Encontre
os
valores
log x + log( x − 5) = log 36 .
b) log2 x + log4 x + log16 x = 7
c) log4 x + log8 x - log2 x = -1
d) log3 (a - 2) - log 1 (a - 2) = 2
3
5. (FEI-SP) Resolva a equação log10
1
 x
25 > 125
satisfazem o sistema 
.
log 1 ( x + 2) > 0
 2
x + log100 x = 2
de
x
que
satisfazem
8. Qual é o tempo necessário para que um capital
inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juros
compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre
de valor?
(considere: log 1,02 = 0,0086 ; log 2 = 0,3010).
1. (FUVEST) O valor da expressão
10.(ERJ) A acidez de frutas cítricas é determinada pela
concentração de íons hidrogênio. Uma amostra de
polpa de laranja apresenta pH = 2,3. Considerando log
2 = 0,3 calcule a concentração de íons hidrogênio
nessa amostra, em mol.L-1.
- (-2)² - 3 −27
é:
( −3 + 5)0 - log2 4
11. (UEL) O valor da expressão
QUESTÕES DE VESTIBULARES
(A) -7
(B) -1
(C) 1
(D) 2
(E) 7
a)4/15
b)1/3
c) 4/9
d)3/5
e)2/3
-4-
log 3 1 + log10 0,01
é:
1
log 2 . log 4 8
64
 Aula 07: Função Logaritmíca – Prof. Cirço Mancilla
9. (CESGRANRIO) O pH de uma solução é definido
por pH = log(1/H+) onde H+ é a concentração de
hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Calcule
o pH de uma solução tal que H+ = 1,0 × 10-8 .
AULA 07 – LOGARITMOS
12. (UEL) Supondo que exista, o logaritmo de a na base
b é:
a) o número ao qual se eleva a para se obter b.
b) o número ao qual se eleva b para se obter a.
c) a potência de base b e expoente a.
d) a potência de base a e expoente b.
e) a potência de base 10 e expoente a.
13. (PUC) Assinale a propriedade válida sempre:
a) log (a . b) = log a . log b
b) log (a + b) = log a + log b
c) log m . a = m . log a
d) log am = log m . a
e) log am = m . log a
Após cinco dias da liberação do predador, o número de
indivíduos desse grupo presentes no ambiente será
igual a:
a) 3
b) 4
c) 300
d) 400
e) 500
20.(FESP) Em uma colônia, o número de formigas
prolifera de acordo com a função f(p) = 500(2)0,75p, onde
p é o período em dias. Calcule o valor de p no qual o
número de formigas chegará a 256.000.
(Supor válidas as condições de existências dos logaritmos)
14. (ENEM/2000) João deseja comprar um carro cujo
preço à vista, com todos os descontos possíveis, é de
R$ 21000,00, e esse valor não será reajustado nos
próximos meses. Ele tem R$ 20000,00, que podem ser
aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao
mês, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até
que o montante atinja o valor do carro. Para ter o carro,
João deverá esperar:
a) dois meses, e terá a quantia exata.
b) três meses, e terá a quantia exata.
c) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente,
R$ 225,00.
d) quatro meses, e terá a quantia exata.
e) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente,
R$ 430,00.
15. (UEL-PR) Um empresário comprou um apartamento
GABARITO
com intenção de investir seu dinheiro. Sabendo-se que
este imóvel valorizou 12% ao ano, é correto afirmar que 1. C
2. B
seu valor duplicou em, aproximadamente:
3. 0,09
(dados: log 2 = 0,30 e log 7 = 0,84)
4. 0,25
a) 3 anos
5. a) S = {4} b) S = 4.3 4 c) S = {1, -2}
b) 4 anos e 3 meses
 3

c) 5 anos
6. S=  − , -1 
d) 6 anos e 7 meses
 2

e) 7 anos e 6 meses
7. S = {9}
8. 35 meses
16. (ITA-SP) Calcule o valor de log 2 16 – log 4 32.
9. 8
10. 0,05
17. (UCS-RS) Calcule o valor de log 1 (log 5 125) .
11. C
3
12. B
18. (UF-AL) A expressão N(t)= 1500.20,2t permite o 13. E
cálculo do número de bactérias existentes em uma 14.C
cultura, ao completar t horas do início de sua 15. E
observação (t = 0). Após quantas horas da primeira 16. 3/2
observação haverá 250000 bactérias nessa cultura? 17. -1
(Dados: log2 = 0,30 log3 = 0,48).
18. 37 hs
19. 3 centenas = 300
19. (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de 20. 12 dias
um determinado grupo de animais, x dias após a
liberação de um predador em seu ambiente, e expresso
4
pela seguinte função: f(x)=log5 3 5 x .
( )
-5-
}
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{