Março/2012 – Parte 2
Pag.1
Prof. Alvaro Augusto
Março/2012 – Parte 2
Pag.2
Prof. Alvaro Augusto
Março/2012 – Parte 2
Pag.3
Prof. Alvaro Augusto
Descontos
•
Desconto é a liquidação de uma operação antes de seu
vencimento, envolvendo um prêmio ou recompensa.
• Valor Nominal, Valor de Resgate ou Valor de Face é o
valor de um título na data de vencimento.
• Tipos de desconto:
➢ Desconto “por dentro” (ou racional).
➢ Desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial).
Valor Descontado = Valor Nominal − Desconto
Março/2012 – Parte 2
Pag.4
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Desconto Racional
•
O valor do desconto é:
Dr = N − Vr
Dr = Valor do desconto.
➢ N = Valor nominal.
➢ Vr = Valor do resgate na data da operação.
• Como N e Vr devem ser calculados na mesma data,
devemos aplicar uma taxa de juros sobre Vr. No
desconto racional, usamos juros simples:
➢
Dr = Vr × i × n
Março/2012 – Parte 2
Pag.5
Prof. Alvaro Augusto
Desconto Racional
Por outro lado
N = Vr + Dr = Vr + Vr × i × n = Vr (1 + i × n )
ou
N
Vr =
1+ i × n
Assim
N
N × (1 + i × n ) − N
Dr = N −
=
1+ i × n
1+ i × n
Março/2012 – Parte 2
Pag.6
N × i× n
∴ Dr =
1+ i × n
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Desconto Racional
O valor do resgate pode ser escrito como
N × i × n N (1 + i × n ) + N × i × n
Vr = N − Dr = N −
=
1+ i × n
1+ i × n
ou
N
∴ Vr =
1+ i × n
Março/2012 – Parte 2
Pag.7
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 12
12) Seja um título de valor nominal $ 4.000,00
vencível em um ano, que está sendo liquidado 3
meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% aa
a taxa nominal de juros corrente, pede-se
calcular o desconto e o valor descontado desta
operação.
Março/2012 – Parte 2
Pag.8
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 12 - Solução
i=42% aa, ou i=42%/12 = 3,5% am
Vr
0
9
N × i × n 4.000,00 × 0,035 × 3
Dr =
=
1+ i × n
1 + 0,035 × 3
N
4.000,00
Vr =
=
1 + i × n 1 + 0,035 × 3
Março/2012 – Parte 2
Pag.9
N = $4.000
12
∴ Dr = $380,10
∴ Vr = $3.619,90
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Desconto Bancário
No desconto racional, os juros incidem somente
sobre o valor de resgate.
● No desconto bancário, os juros incidem sobre
todo o valor nominal.
● Desconto bancário:
●
➢É mais usado no mercado.
➢Implica em maiores encargos na operação.
Março/2012 – Parte 2
Pag.10
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Desconto Bancário
•
O valor do desconto é
DF = N × d × n
•
Onde:
➢
➢
•
N = Valor nominal.
d = taxa de desconto “por fora”
O valor descontado, ou de resgate, será
VF = N (1 − d × n )
V F = N − DF
Março/2012 – Parte 2
Pag.11
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EXEMPLO 13
13) Repita o Exemplo 11, considerando agora que a operação
de desconto é por fora.
VF
0
Março/2012 – Parte 2
9
Pag.12
N = $4.000
12
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 13 - Solução
•
O valor do desconto será
DF = N × d × n = 4.000,00 × 0,035 × 3
•
∴ DF = $420,00
O valor de resgate será
VF = N (1 − d × n ) = 4.000,00(1 − 0,035 × 3) ∴ VF = $3.580,00
•
A taxa de juros efetiva será
$420,00
i=
= 11,73% ao trimestre
$3.580,00
Março/2012 – Parte 2
Pag.13
∴ i = 3,77% a.m.
Prof. Alvaro Augusto
Observações
•
•
•
O devedor do título assume encargos maiores do
que os declarados para a operação.
A operação equivale a pagar juros de $ 420,00
sobre um valor atual de $ 3.580,00, resultando
em uma taxa implícita i > d.
A taxa implícita será
DF
N× d× n
i=
=
VF
N (1 − d × n )
Março/2012 – Parte 2
Pag.14
d× n
∴ i=
1− d × n
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Desconto Bancário e ICMS
•
•
•
•
Uma situação comum em que o critério “por
fora” é usado refere-se ao cálculo do ICMS.
No Paraná, a alíquota do ICMS sobre venda de
energia é 27%.
Contudo, se multiplicarmos o valor sem
impostos pelo fator 1.27, o resultado difere do
apresentado pela concessionária.
A razão é que a alíquota do ICMS incide “sobre
ela mesma”, caracterizando uma operação “por
fora”.
Março/2012 – Parte 2
Pag.15
Prof. Alvaro Augusto
Desconto Bancário e ICMS
•
Se d for a alíquota nominal do ICMS, e
considerando que o prazo da operação é sempre
n=1, teremos:
d
iICMS =
1− d
•
O valor total a pagar será
1 

N = V (1 + iICMS ) = V  1 +

 1− d 
Março/2012 – Parte 2
Pag.16
 1 
∴ N = V

 1− d 
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EXEMPLO 14
14) Calcule as alíquotas efetivas de ICMS para os
estados de SP, SC, PR e RJ.
Estado
SP
SC
PR
RJ
Março/2012 – Parte 2
d
18,00%
25,00%
27,00%
30,00%
Pag.17
iicms
21,95%
33,33%
36,99%
42,86%
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EXERCÍCIO 7
7) A taxa de desconto “por fora” do banco A é de
3,1% ao mês para operações com prazo de 90
dias. O banco B oferece taxa de desconto de 2,9%
ao mês, também “por fora”, com prazo de 120
dias. Determine qual banco está cobrando a
menor taxa efetiva mensal de juros.
Março/2012 – Parte 2
Pag.18
Prof. Alvaro Augusto
Março/2012 – Parte 2
Pag.19
Prof. Alvaro Augusto
Fluxo de Caixa
●
●
Um fluxo de caixa representa uma série de
pagamentos ou recebimentos que se estima ocorrer
em determinado intervalo de tempo.
Os pagamentos são genericamente representados
por PMT, sendo que as demais variáveis já foram
abordadas:
➢ VP
– Valor Presente.
➢ VF
– Valor Futuro.
➢n
➢i
– número de períodos.
– taxa de juros.
Março/2012 – Parte 2
Pag.20
Prof. Alvaro Augusto
Fluxos de Caixa - Classificação
a)
Quanto ao período de ocorrência:
●
Postecipados.
●
Antecipados.
●
Diferidos.
c)
Quanto à duração:
●
b)
Quanto à periodicidade:
●
Periódicos.
●
Não periódicos.
Março/2012 – Parte 2
●
d)
Pag.21
Limitados (finitos).
Indeterminados
(indefinidos).
Quanto aos valores:
●
Constantes.
●
Variáveis.
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O “Modelo Padrão”
a)
Postecipado:
●
b)
Limitado:
●
c)
O prazo total dp fluxo de caixa é conhecido a priori.
Constante:
●
d)
Os pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer no
final do primeiro intervalo de tempo. Não há carência.
Todos os termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais
entre si.
Periódico:
●
Os intervalos de tempo entre os termos são idênticos
entre si.
Março/2012 – Parte 2
Pag.22
Prof. Alvaro Augusto
O “Modelo Padrão”
VP
PMT
PMT
PMT
PMT
0
1
2
3
4
PMT
n−1
PMT
n
PMT
PMT
PMT
PMT
VP=


...
2
3
1i  1i 1i 
1in
VP=PMT∗FVP i , n
FVP (i, n) é conhecido como Fator de Valor Presente
Março/2012 – Parte 2
Pag.23
Prof. Alvaro Augusto
O Fator de Valor Presente
➢
O Fator de Valor Presente é uma Progressão
Geométrica de n termos, com primeiro termo (a1) e
razão (q) iguais a (1+i)-1, e enésimo termo (an) igual a
(1+i)-n.
➢
A soma dos termos de uma PG é:
a 1−a n∗q
FVP i , n=
1−q
−1
−n
−1
1i  −1i  ∗1i  
FVP i , n=
1−1i −1 
Março/2012 – Parte 2
Pag.24
−n
1−1i
FVP i , n=
i
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EXEMPLO 15
15) Um software é vendido em 7 pagamentos
mensais, iguais e consecutivos de $ 3.000,00.
Considerando que a taxa de juros é 3,6% am, até
que preço compensa adquirir o produto a vista?
Março/2012 – Parte 2
Pag.25
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 15 - Solução
●
PMT = $ 3.000,00.
●
i = 2,6% am = 0,026.
●
n = 7 meses.
●
VP = ?
VP=PMT∗FVP i , n=3.000,00∗FVP i , n
−7
1−1,026 
VP=3.000,00[
]
0,026
VP=3.000,00∗6,325294
Março/2012 – Parte 2
VP=$ 18.975,88
Pag.26
Prof. Alvaro Augusto
Usando o Excel ou o Calc
●
O Microsoft Excel e o Open Office Calc têm funções
financeiras para cálculo direto do PMT e do VP:
➢ VP
(Taxa, NPER, PGTO).
➢ PGTO
(Taxa, NPER, VP).
●
PGTO = PMT.
●
NPER = número de períodos.
●
Taxa = taxa de juros unitária.
Março/2012 – Parte 2
Pag.27
Prof. Alvaro Augusto
Usando o Excel ou o Calc
Março/2012 – Parte 2
Pag.28
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 16
16)Um empréstimo de $ 20.000,00 é
concedido para pagamento em 5
prestações mensais, iguais e sucessivas
de $ 4.300,00. Determine o custo mensal
do empréstimo.
Março/2012 – Parte 2
Pag.29
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 16 - Solução
●
●
●
VP = $ 20.000,00.
PMT = $ 4.300,00.
n = 5.
VP=PMT∗FVP i , n
20.000=4.300∗FVP i , n
−5
1−1i 
20.000=4.300∗
i
Resolvendo em uma calculadora financeira...
Março/2012 – Parte 2
Pag.30
i=2,46 % a.m.
Prof. Alvaro Augusto
Com auxílio de uma planilha...
●
O Excel e o Calc têm a função financeira Taxa (NPER, PGTO, VP), que permite o cálculo
das taxas de juros de fluxos padrão. Detalhe: VP e PGTO devem ter sinais trocados.
Março/2012 – Parte 2
Pag.31
Prof. Alvaro Augusto
Valor Futuro
0
PMT
PMT
PMT
PMT
1
2
3
4
PMT
PMT
n−1
n
VF
2
VF =PMT PMT∗1iPMT ∗1i  ... PMT∗1i
2
3
n
n
VF =PMT [11i1i  1i  ...1i ]
VF =PMT ∗FVF i , n
FVF (i, n) é conhecido como Fator de Valor Futuro
Março/2012 – Parte 2
Pag.32
Prof. Alvaro Augusto
O Fator de Valor Futuro
➢
O Fator de Valor Futuro é uma Progressão Geométrica
de n termos, com primeiro termo a1 = 1 e razão q = (1+i),
e enésimo termo an = (1+i)n.
➢
A soma dos termos de uma PG é:
a 1−a n∗q
FVF i , n=
1−q
n
1−1i ∗1i
FVF i , n=
1−1i
Março/2012 – Parte 2
Pag.33
n
1i  −1
FVF i , n=
i
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 17
17) Uma pessoa irá necessitar de $
22.000,00 daqui a 12 meses. Para tanto,
está fazendo uma poupança mensal de $
1.250,00, com taxa de juros compostos
de 4% am. Determine se esta pessoa terá
acumulado o montante necessário.
Março/2012 – Parte 2
Pag.34
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 17 - Solução
●
●
●
●
PMT = $ 1.250,00
n = 12 meses.
i = 4,0 % am.
VF = ?
VF =PMT ∗FVF
n
12
1i −1 10,04 −1
FVF i , n=
=
=15,025805
i
0,04
VF =$ 18.782,26
VF =1.250,00∗15,025805
Março/2012 – Parte 2
Pag.35
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 18
18) Um jovem executivo de 25 anos deseja
se aposentar aos 55 anos com um
patrimônio de $ 1.000.000,00. Qual valor
mensal ele deve depositar em uma
conta-investimento que rende 1,2% am?
Março/2012 – Parte 2
Pag.36
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 18 - Solução
●
PMT = ?
●
n = 55 - 25 = 30 anos = 360 meses.
●
i = 0,012 am.
●
VF = $ 1.000.000,00
VF =PMT ∗FVF
ou
PMT =
n
VF
FVF
360
1i −1 10,012 −1
FVF i , n=
=
=6.023,32
i
0,012
PMT =
1.000.000
6.023,32
Março/2012 – Parte 2
PMT =$ 166,02
Pag.37
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 19
19) Uma empresa contraiu um empréstimo de $
100.000,00 para ser pago em 6 prestações mensais
uniformes de $ 18.094,33. Após o pagamento da
segunda prestação, a empresa solicita ao banco o
refinanciamento do saldo da dívida em 12
prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo que a
primeira vence 30 dias a partir dessa data. Sabendo
que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 3,5% aa,
determine o valor da prestação do refinanciamento.
Março/2012 – Parte 2
Pag.38
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 19 - Solução
●
A taxa de juros do empréstimo original é
VP=PMT∗FVP=18.094,33∗FVP i ,6
●
Resolvendo-se com uma calculadora financeira ou
planilha eletrônica:
i=2,4 % a.m.
●
Após o pagamento da segunda prestação, faltam
ainda quatro. O valor presente destas, a uma taxa de
juros de 2,4% am será
VP=18.094,33∗FVP 2,4 , 4=18.094,33∗3,771054
VP=$ 68.234,68
Março/2012 – Parte 2
Pag.39
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 19 - Solução
●
O fluxo de 12 prestações a uma taxa de 3,5% am
deve ser equivalente ao valor presente das
prestações faltantes:
68.234,68=PMT∗FVP 3,5 , 12
−12
PMT∗[1−1,035 ]
68.234,68=
0,035
68.234,68
PMT =
9,663334
Março/2012 – Parte 2
PMT =$ 7.061,19
Pag.40
Prof. Alvaro Augusto
Fluxo com Carência
0
1
PMT
PMT
PMT
2
3
4
PMT
n−1
PMT
n
Carência
●
O valor presente na data 1 será
●
Na data zero, teremos
VP=PMT∗FVP 1, n∗
●
VP=PMT∗FVP 1, n
1
 ou VP=PMT∗FVP 1, n∗FAC 1,1
1i 
Generalizando para um período de carência c
VP=PMT∗FVP i , n∗FAC i , c
Março/2012 – Parte 2
Pag.41
Prof. Alvaro Augusto
Perpetuidade
VP
PMT
PMT
PMT
PMT
0
1
2
3
4
VP=
PMT
PMT
∞
PMT
PMT
PMT
PMT


...
∞ = PMT∗FVP i ,∞
2
3
1i  1i 1i 
1i 
Considerando que an = 0, a soma da PG será
a 1−a n∗q
a1
FVP=lim
=
1−q
1−q
n ∞
−1
1i
1
FVP=
=
1−1i −1 i
Março/2012 – Parte 2
VP=
Pag.42
PMT
i
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EXEMPLO 20
20) Um pequeno investidor têm um apartamento que
rende aluguel mensal constante de $ 720,00.
Determine o Valor Presente dos aluguéis, avaliado
pela taxa da poupança e considerando:
a) Prazo de 10 anos.
b) Prazo de 40 anos.
c) Perpetuidade.
Março/2012 – Parte 2
Pag.43
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 20 - Solução
a) n = 10 anos = 120 meses
VP=720∗FVP 0,5% ,120=$ 64.852,89
b) n = 40 anos = 480 meses
VP=720∗FVP 0,5% , 480=$ 130.858,26
c) n = ∞
VP=
720
=$ 144.000,00
0,005
Março/2012 – Parte 2
Pag.44
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 21
21) Um determinado fluxo de caixa consiste de 12
prestações mensais de $ 120.000,00. Determine o
fluxo de caixa equivalente para 5 prestações
trimestrais iguais, considerando que a taxa de juros
seja 1,5% am
Março/2012 – Parte 2
Pag.45
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 21 - Solução
●
Dois fluxos de caixa são equivalentes quando
produzem o mesmo valor em um mesmo momento.
Este momento é frequentemente denominado “data
focal”. Admitindo o momento atual como data
focal, teremos:
VP
1.200
1.200
1.200
1.200
0
1
2
3
4
1.200
1.200
11
12
(meses)
VP=PMT∗FVP i , n
VP=$ 13.089,00
VP=1.200∗FVP 1,5 % , 12
Março/2012 – Parte 2
Pag.46
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 21 - Solução
●
●
O fluxo trimestral será:
$ 13.089
PMT
PMT
PMT
PMT
0
1
2
3
4
PMT
5 (trimestres)
A taxa de juros trimestral será
3
i=1,015 −1=0,0457
PMT =
i=4,57 % a.t.
VP
13.89,00
=
FVP 4,57 % , 5 4,381427
PMT =$ 2.987,40
Março/2012 – Parte 2
Pag.47
Prof. Alvaro Augusto
EXERCÍCIO 8
8) Um empréstimo no valor de $ 12.500,00 deve ser pago em 4
parcelas trimestrais de valores linearmente crescentes na
razão de 12%. A primeira parcela vence em 3 meses, e as
demais sequencialmente. A taxa de juros efetiva contratada
é 27 % ao ano. Determine o valor de cada pagamento.
PMT1 = $ 3.091,80
PMT2 = $ 3.462,80
PMT3 = $ 3.833,80
PMT4 = $ 4.204,80
Março/2012 – Parte 2
Pag.48
Prof. Alvaro Augusto
Março/2012 – Parte 2
Pag.49
Prof. Alvaro Augusto
Conceito
➢
Entende-se por Coeficiente de
Financiamento (CF) um fator financeiro
constante que, multiplicado pelo valor
presente de um fluxo de caixa, retorna o
valor dos pagamentos.
Março/2012 – Parte 2
Pag.50
Prof. Alvaro Augusto
CFs para fluxos uniformes
➢
Como vimos, para um fluxo de caixa
uniforme (Modelo Padrão), temos
1
PMT =VP∗
FVP i , n
CF =
CF =
1
FVP i , n
1
−n
1−1i
i
Março/2012 – Parte 2
CF =
Pag.51
i
1−1i−n
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CFs para fluxos não uniformes
Exemplo
VP
1
4
9
PMT
PMT
PMT
1
1
1
VP=PMT∗[


]
1i 1i4 1i9
PMT =
VP
=VP∗CF
1
1
1
[


]
4
9
1i  1i 1i 
t
−1
Março/2012 – Parte 2
−1
CF =[ ∑ FAC i , n j ]
1
1
1
CF =[


]
4
9
1i  1i  1i
j =1
Pag.52
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 22
22)Uma pessoa contrata no início de janeiro de
determinado ano, um empréstimo de $ 120.000,00 a
ser pago em 5 prestações iguais, vencíveis
respectivamente ao final dos seguintes meses:
janeiro, março, junho, julho e dezembro. Sendo a
taxa de juros igual a 1,8% ao mês, determine:
a)O coeficiente de financiamento para as cinco
prestações não periódicas.
b)O valor de cada prestação.
Março/2012 – Parte 2
Pag.53
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 22 - Solução
VP
a)
1
3
PMT
PMT
6
12
7
PMT PMT
PMT
−1
1
1
1
1
1
CF =[



]
3
6
7
12
1,018 1,018 1,018 1,018 1,018
b)
CF =0,221308
PMT =VP∗CF
PMT =$ 26.556,96
PMT =120.000,00∗0,221308
Março/2012 – Parte 2
Pag.54
Prof. Alvaro Augusto
Usando uma planilha eletrônica
➢
➢
➢
➢
Construa o fluxo de caixa.
Use a função VPL (Taxa; Valores)
para determinar qual prestação
resulta VPL = $ 120.000,00.
Se necessário, use a ferramenta
Atingir Meta ou o Solver.
Obs.: É realmente necessário
digitar os valores nulos (R$ 0,00).
Março/2012 – Parte 2
Pag.55
Prof. Alvaro Augusto
CFs para fluxos com carência
0
1
PMT
PMT
PMT
2
3
4
PMT
n−1
PMT
n
Carência
Relembrando: VP=PMT∗FVP i , n∗FAC i , c
PMT=VP∗1/FVPi,n∗FACi,c=VP∗CF
−n
1−1i
FVP 1, n=
i
1
FAC i , c=
c
1i
Março/2012 – Parte 2
CF=1/FVPi ,n∗FACi ,c
Pag.56
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 23
23)Determinar o coeficiente de
financiamento e o valor das prestações
de uma operação de financiamento de $
25.000,00 a ser liquidado em 18
prestações mensais iguais e com
carência de um trimestre. A taxa de
juros é 2,73% am.
Março/2012 – Parte 2
Pag.57
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 23 - Solução
i
c
CF =
∗1i
1−1i−n
CF =
0,0273
3
∗10,0273
−18
1−10,0273
CF =0,077039
PMT =VP∗CF
PMT =25.000,00∗0,077039
PMT =$ 1.926,00
Março/2012 – Parte 2
Pag.58
Prof. Alvaro Augusto
Usando uma planilha eletrônica
➢
➢
➢
Construa o fluxo de caixa.
Use a função VPL (Taxa;
Valores) para determinar qual
prestação resulta VPL = $
25.000,00.
Se necessário, use a ferramenta
Atingir Meta ou o Solver.
Março/2012 – Parte 2
Pag.59
Prof. Alvaro Augusto
CFs para fluxos com entrada
0
PMT
1
PMT
3
2
PMT
4
PMT
PMT
n−1
PMT
n
PMT
−n
1−1i 
VP=PMT [ PMT ∗
]
i
−n
1−1i
VP=PMT∗[1
]
i
PMT =
VP
=VP∗CF
−n
1−1i 
[1
]
i
Março/2012 – Parte 2
Pag.60
−n −1
1−1i
CF =[1
]
i
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EXERCÍCIO 9
9)Uma loja vende um determinado
produto, sem entrada, em 12 prestações
de $ 298,00, com taxa de juros de 4% am
Determine o valor das prestações se o
financiamento for feito com uma
entrada igual ao valor das prestações.
Considere que os fluxos com e sem
entrada devem ser equivalentes.
Março/2012 – Parte 2
Pag.61
Prof. Alvaro Augusto
Março/2012 – Parte 2
Pag.62
Prof. Alvaro Augusto
Principais Sistemas
➢
Sistema de Amortização Constante – SAC.
➢
Sistema de Amortização Francês – SAF.
➢
Sistema de Amortização Misto – SAM.
➢
Sistema de Amortização Americano - SAA.
Obs.: O SAF, quando usado com taxas
proporcionais (lineares) é denominado “Tabela
Price”.
Março/2012 – Parte 2
Pag.63
Prof. Alvaro Augusto
Conceitos Básicos
➢
Encargos Financeiros (J) – representam os juros da operação, podendo
ser préfixados ou pós-fixados.
➢
Principal (P) – é o capital emprestado, na data de empréstimo.
➢
Amortização (A) – refere-se exclusivamente ao pagamento do principal,
por meio de parcelas periódicas.
➢
Saldo Devedor (SD) – é o valor principal da dívida, após a dedução da
amortização.
➢
Prestação (PMT) – é a soma da amortização e dos encargos financeiros.
➢
Carência – período inicial no qual, em geral, são pagos apenas os juros
da operação.
Março/2012 – Parte 2
Pag.64
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO GERAL
➢
A operação a seguir será usada para
ilustrar todos os sistemas de
amortização:
➢ Principal
➢ Prazo
➢ Taxa
Março/2012 – Parte 2
= $ 100.000,00.
= 10 anos.
efetiva de juros = 30% ao ano.
Pag.65
Prof. Alvaro Augusto
Sistema de Amortização Constante
➢
➢
➢
➢
No SAC, a amortização é constante, sendo igual
ao principal dividido pelo número de
prestações.
O saldo devedor decresce linearmente.
Os juros incidem sobre o saldo devedor e
também são decrescentes.
Como os juros são decrescentes e a amortização
é constante, as prestações também são
decrescentes.
Março/2012 – Parte 2
Pag.66
Prof. Alvaro Augusto
Sistema de Amortização Constante
Março/2012 – Parte 2
Pag.67
Prof. Alvaro Augusto
Sistema de Amortização Constante
R$ 100.000,00
R$ 90.000,00
R$ 80.000,00
R$ 70.000,00
R$ 60.000,00
R$ 50.000,00
R$ 40.000,00
R$ 30.000,00
R$ 20.000,00
R$ 10.000,00
R$ 0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Anos
Saldo Devedor
Março/2012 – Parte 2
Amortização
Pag.68
Juros
Prestação
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SAC - FORMULAÇÃO
➢
A amortização é fácil de calcular:
P
A=
n
➢
Os juros decrescem linearmente:
P
J t = ∗n−t1∗i
n
➢
As prestações são PMT = J + A, ou:
P
PMT t = ∗[1n−t1∗i]
n
➢
O saldo devedor também descrece linearmente:
P
SD t =S t−1− =SD t−1− A
n
Março/2012 – Parte 2
Pag.69
Prof. Alvaro Augusto
SAC – Valor Presente das Prestações
PMT 1 PMT 2 PMT 3
PMT n
VP  PMT =


...
2
3
n
1i 1i 1i
1i 
VP  PMT =
40.000 37.000 34.000 31.000 28.000 25.000





+
2
3
4
5
6
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
22.000 19.000 16.000 13.000
+



7
8
9
10
1,3
1,3
1,3
1,3
VP  PMT =100.000,00
VP  PMT = P
Março/2012 – Parte 2
O valor presente das prestações é igual ao Principal
Pag.70
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 24
24)Um empréstimo de $ 80.000,00 será liquidado pelo
SAC em 40 parcelas mensais. A taxa de juros
contratada é de 4% ao mês. Determine:
a)O valor da amortização.
b)O valor dos juros correspondentes ao 22°
pagamento.
c)O valor da última prestação.
d)O saldo devedor logo após o 10° pagamento.
Março/2012 – Parte 2
Pag.71
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 24 - Solução
a) Amortização
A=
P
n
80.000,00
A=
40
b)Juros do 22° pagamento
P
J t = ∗n−t1∗i
n
89.000,00
J 22 =
∗40−221∗0,04
40
J =$ 1.520,00
A=$ 2.000,00
Março/2012 – Parte 2
Pag.72
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 24 - Solução
c) Última prestação
P
PMT t = ∗[1n−t−1∗i]
n
PMT 40 =
80.000,00
∗[140−401∗0,04]
40
PMT =$ 2.080,00
d)Saldo após o 10° pagamento
SD t =P− A∗t
SD 10=80.000,00−2.000,00∗10
Março/2012 – Parte 2
Pag.73
SD 10=$ 60.000,00
Prof. Alvaro Augusto
Sistema de Amortização Francês
➢
➢
➢
➢
O SAC não é muito usado no Brasil, pois as
prestações variáveis causam alguma confusão,
especialmente em empréstimos para pessoas físicas.
Assim, o SAF é mais usado, pois apresenta
prestações constantes, sendo mais próximo ao
Modelo Padrão dos fluxos de caixa.
No SAF, os juros decrescem com o tempo, e a
amortização cresce.
O saldo devedor também é decrescente, embora
não de maneira linear.
Março/2012 – Parte 2
Pag.74
Prof. Alvaro Augusto
Sistema de Amortização Francês
Prestação constante, amortização variável
Março/2012 – Parte 2
Pag.75
Prof. Alvaro Augusto
Sistema de Amortização Francês
R$ 100.000,00
R$ 90.000,00
R$ 80.000,00
R$ 70.000,00
R$ 60.000,00
R$ 50.000,00
R$ 40.000,00
R$ 30.000,00
R$ 20.000,00
R$ 10.000,00
R$ 0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Anos
Saldo Devedor
Março/2012 – Parte 2
Amortização
Pag.76
Juros
Prestação
Prof. Alvaro Augusto
SAF - Formulação
➢
➢
➢
➢
A prestação é fácil:
PMT =
P
i
=P∗
FVP i , n
1−1i−n
−n−t 
1−1i
O saldo é o VP das
SD t =PMT ∗FVP i , n−t = PMT∗
i
PMTs a pagar
Os juros são calculados sobre o saldo anterior:
A amortização é mais fácil de calcular assim:
Março/2012 – Parte 2
Pag.77
J t =SD t −1∗i
At =PMT − J t
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 25
25)Um financiamento no valor de $
90.000,00 é amortizado em 30 parcelas
mensais pelo SAF. A taxa de juros
contratada é 2,8% ao mês. Determine:
a)O valor de cada prestação mensal.
b)O valor da amortização e dos juros referentes ao
19° mês.
Março/2012 – Parte 2
Pag.78
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 25 - Solução
a)Prestações mensais
PMT =
P
i
=P∗
FVP i , n
1−1i−n
0,028
PMT =90.000∗
−30
1−10,028
PMT =$ 4.473,81
b)Juros e amortização no 19° mês
−n−t 
1−1i 
SD t =PMT ∗
i
−30−19
1−10,028
SD 18=4.473,81∗
0,028
Março/2012 – Parte 2
Pag.79
=$ 45.068,70
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EXEMPLO 25 - Solução
J t =SD t −1∗i
J 19=SD 18∗i
J 19=$ 1.261,92
J 19=45.068,70∗0,028
At =PMT t − J t
A19=PMT 19− J 19
A19=$ 3.211,89
A19=4.473,81−1.261,92
Março/2012 – Parte 2
Pag.80
Prof. Alvaro Augusto
Sistema PRICE de Amortização
➢
O Sistema Price (ou Tabela Price) foi desenvolvido originalmente
pelo inglês Richard Price. Tendo sido usado amplamente na
França, a invenção de Price passou a se denominar SAF.
➢
Modernamente, a Tabela Price é uma variante do SAF, sendo
usado quando o período das prestações é menor do que o período
da taxa de juros, usando-se taxas proporcionais em vez de taxas
compostas.
➢
Uma vez determinada a taxa de juros, as prestações, amortizações
e juros da Tabela Price são calculados de maneira idêntica ao SAF.
Março/2012 – Parte 2
Pag.81
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 26
26)Um empréstimo de $ 10.000,00, com
período de 10 semestres é concedido à
taxa de juros de 30% aa Sabendo que
será usada a Tabela Price, determine o
valor das prestações semestrais.
Março/2012 – Parte 2
Pag.82
Prof. Alvaro Augusto
EXEMPLO 26 - Solução
➢
Taxa de juros contratada = 30% aa.
➢
Taxa proporcional semestral = 30/2 = 15% as.
➢
Taxa efetiva anual = (1,15)2 – 1 = 32,25% aa.
PMT =
P
FVP i , n
i
PMT = P∗
1−1i−n
0,15
PMT =10.000,00∗
−10
1−10,15
Março/2012 – Parte 2
Pag.83
PMT =$ 1.992,52
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Sistema de Amortização Misto
Março/2012 – Parte 2
Pag.84
Prof. Alvaro Augusto
Sistema de Amortização Misto
➢
➢
O Sistema de Amortização Misto (SAM)
foi originalmente desenvolvido para as
operações do Sistema Financeiro da
Habitação.
O SAM é a média aritmética entre SAC
e SAF, representando um compromisso
entre prestações constantes e
amortizações constantes.
Março/2012 – Parte 2
Pag.85
Prof. Alvaro Augusto
Sistema de Amortização Misto
R$ 100.000,00
R$ 90.000,00
R$ 80.000,00
R$ 70.000,00
R$ 60.000,00
R$ 50.000,00
R$ 40.000,00
R$ 30.000,00
R$ 20.000,00
R$ 10.000,00
R$ 0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Anos
Saldo Devedor
Março/2012 – Parte 2
Amortização
Pag.86
Juros
Prestação
Prof. Alvaro Augusto
SAM - Formulação
➢
O SAM é a média aritmética entre SAC e SAF
SD t SAC SD t  SAF 
SD t =
2
At SAC  At  SAF 
At =
2
J t SAC  J t  SAF 
J t=
2
PMT t SAC  PMT t  SAF 
PMT t =
2
Março/2012 – Parte 2
Pag.87
Prof. Alvaro Augusto
Sistema de Amortização Americano
➢
➢
➢
➢
Nesse sistema, a amortização é paga de uma única
vez, ao final do prazo da operação.
Os juros são pagos periodicamente, incidindo sobre
o saldo devedor, que permanece constante.
As prestações, com exeção do último período, são
iguais aos juros.
Para possibilitar o pagamento da amortização, é
frequente a formação de um fundo de capitalização.
Por esta razão, o SAA também é chamado de
Sistema do Fundo de Amortização - SFA.
Março/2012 – Parte 2
Pag.88
Prof. Alvaro Augusto
Sistema de Amortização Americano
Março/2012 – Parte 2
Pag.89
Prof. Alvaro Augusto
Formação do Fundo de Amortização
0
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
1
2
3
4
5
PMT PMT PMT
6
PMT =
VF
i , n
FVF
PMT =
100.000,00
100.000,00
=
FVF 20 % , 10
25,9587
7
8
VF =$ 100.000,00
PMT PMT
9
10
PMT =$ 3.852,28
Março/2012 – Parte 2
Pag.90
Prof. Alvaro Augusto
SAA com Fundo de Amortização
Março/2012 – Parte 2
Pag.91
Prof. Alvaro Augusto
EXERCÍCIO 10
10)Um banco empresta $ 850.000,00 a uma empresa
para ser devolvido em prestações quadrimestrais,
pelo sistema americano, em 4 anos. A taxa de juros
a ser cobrada a cada quadrimestre é 8,5%. Pede-se:
a)Elaborar a planilha financeira do empréstimo
pelo SAA.
b)Sendo 4% a.q. a taxa de aplicação, determinar os
depósitos quadrimestrais para a constituição do
fundo de amortização.
Março/2012 – Parte 2
Pag.92
Prof. Alvaro Augusto