Prof. Dr. João Muccillo Netto
INTRODUÇÃO
1. Juros
Segundo a Teoria Econômica, o homem combina
Terra
Trabalho
Capital
Aluguel
Salário
Juro
para produzir os bens de que necessita.
Juro é a remuneração do fator capital
emprestado ou aplicado produtivamente.
2. Taxa de Juros
É a relação entre juros e capital aplicado na unidade de tempo. Refere-se
sempre a uma unidade de tempo. Exemplo: 12% ao ano.
Formas de apresentação da taxa de juros:
Percentual – refere-se a centos do capital
Unitária – refere-se a unidade do capital
3. Capital
Qualquer valor representado monetariamente, aplicado para produzir
rendimentos pode ser considerado capital.
4. Montante
Montante é a soma de capital mais juros.
5. Regimes de Capitalização
Entende-se por regime de capitalização como sendo o processo de formação
dos juros.
Simples – somente o capital inicial (também chamado principal) produz
juros. A base de cálculo dos juros é fixa.
Composto – os juros são incorporados ao capital inicial e produzem
juros nos períodos subseqüentes. Há, portanto, juro sobre juros.
6. O valor do dinheiro no tempo
Os problemas financeiros decorrem essencialmente do conceito de que o dinheiro tem valor
diferenciado no tempo, isto é, quantias iguais, em diferentes instantes de tempo, devem
necessariamente ser consideradas como sendo valores diferentes.
Uma forma clara e ilustrativa de representar esse conceito é o
Diagrama do Fluxo de Caixa.
800
0
1.000
1
1.200
2
3
200
4
1.100
Eixo horizontal – representa os períodos de tempo ou o horizonte de planejamento.
Eixo vertical – representa entradas e saídas de dinheiro.
O conceito de fluxo de caixa é essencial na solução de problemas que envolvem
Matemática Financeira.
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1. Cálculo do Juro
C = Capital (ou principal)
J = Cin
i = taxa de juros (sempre unitária)
n = prazo
IMPORTANTE:
i e n devem ser consistentes, isto é, devem estar na mesma unidade de tempo.
2. Montante
Como o montante (M) é a soma de capital mais juros:
M = C (1 + in)
Exemplo:
Um capital inicial de $ 100.000 é aplicado por 180 dias a uma taxa de juros simples de
3,5% a.m.. Determinar os juros e o montante.
Resposta: $ 21.000 e $ 121.000.
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1. Cálculo do Montante
Sendo:
PV = capital inicial
FV = montante
n = prazo
i = taxa de juros compostos
FV1 = PV + PV • i
FV1 = PV (1 + i) ⇒ para o 1o. Período
FV2 = FV1 (1 + i)
FV2 = PV (1 + i) (1 + i)
FV2 = PV (1 + i)2 ⇒ para o 2o. Período
Generalizando:
FV = PV (1 + i)n ⇒ fórmula básica dos juros compostos
É importante lembrar que:
⇒ a taxa de juros i e o prazo n estão na mesma unidade de tempo;
⇒ a taxa de juros i é unitária.
Como resolver a expressão (1 + i)n ?
⇒ pela tabela financeira
⇒ pela calculadora com a função yx
⇒ pela calculadora financeira.
Exemplo:
Um capital inicial de $ 120.000 foi aplicado durante 12 meses em uma instituição
financeira a uma taxa de juros compostos de 5% a.m.. Qual o montante resgatado?
Resposta: $ 215.503.
Exemplo:
Calcular o montante produzido por um capital de $ 10.000 aplicado nas taxas e prazos abaixo:
Prazo
Taxa
•
1 ano
2% a.m.
•
1 mês
1% a.d.
•
12 meses 20% a.a.
Resposta: $ 12.682; $ 13.478; $ 12.000.
2. Quando há períodos fracionários
O que fazer quando o prazo não é um número inteiro?
É recomendável não “mexer”
na taxa quando se trata de juro composto e o período é fracionário.
Exemplo: Um investidor aplicou $ 100.000 a uma taxa de 4% a.m. durante 189 dias.
Calcule o valor recebido por esse investidor.
Resposta:
3. A diferença entre juros compostos e juros simples
Exemplo:
•
João do Alentejo resolveu intermediar operações financeiras. Tomou emprestado junto a
um amigo a importância de $ 10.000 a uma taxa de juros simples de 10% a.m. para
emprestá-la à mesma taxa, porém a juros compostos a diversos amigos.
Quais os
montantes pagos e recebidos pelo Sr. João se os prazos fossem de: a) 15 dias; b) 30 dias
e c) 60 dias.
Prazo
15 dias
30 dias
60 dias
Montante Simples
Montante Composto
Ganho
4. O conceito de valor atual
Analogamente ao conceito de desconto simples, pode-se imaginar a sua aplicação também em
juros compostos. O conceito de valor atual a juros compostos é largamente utilizado nas
decisões financeiras.
FV
FV = PV (1 + i)n ⇒ PV = -------------(1 + i)n
Exemplo: Quanto vale hoje um título de $ 10.000, vencível daqui a 6 meses se a taxa de
juros é de: a) 6% a.m.; b) 2% a.m..
Resposta: $ 7.050; $ 8.880.
5. Cálculo da taxa de juros
É comum nosso interesse em calcular a taxa de juros de uma aplicação ou empréstimo.
Exemplo: Um Certificado de Depósito Bancário foi adquirido por $ 2.000 pelo prazo de 120
dias tendo sido resgatado $ 2.210. Qual a taxa mensal de juros recebida pelo aplicador?
Resposta: 2,53% a.m..
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1. Taxas equivalentes
Duas ou mais taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital durante o
mesmo prazo produzem o mesmo montante. É, portanto, indiferente aplicarmos a
uma ou outra taxa.
Fórmula de transformação
Admitindo-se:
i = taxa maior
iq = taxa menor
q = número de períodos menores contidos no período maior
FV = PV (1+i)n
FV’ = PV (1+iq)nq
i = (1+iq
(1+i) = (1+iq)q
-1
à Dada a taxa menor
encontra-se
a
taxa
maior.
ou
FV = FV’
PV (1+i)n = PV (1+iq)nq
)q
iq =
(1+i)1/q
-1
à Dada a taxa maior
encontra-se
a
taxa
menor.
1. Taxas equivalentes
Exemplo:
Qual a taxa anual equivalente a 5% a.m.?
Qual a taxa mensal equivalente a 0,7% a.d.?
Qual a taxa diária equivalente a 9% a.m.?
Resposta: a) 79,6% a. a. b) 23,3% a.m. c) 0,29% a.d.
2. Taxa Nominal
Segundo a Matemática Financeira, quando o período a que se refere a taxa de juros
não coincide com o período da capitalização dos juros, aquela taxa se denominará
taxa de juros nominal.
12% a.a.c.m. = 1% a.m.
(sempre)
Usando o conceito de taxas equivalentes, conclui-se que:
12% a.a.c.m. = 12,68% a.a.
Em Matemática Financeira costuma-se dizer que 12,68% a.a. é a taxa efetiva de 12% a.a.c.m..
Cuidado:
12% a.a.c.m. ≠ 12% a.a.
12% a.a.c.m. = 1% a.m.
12% a.a.c.m. = 12,68% a.a.
Caso comum da taxa nominal no Brasil é a caderneta de poupança.
2. Taxa Nominal
Exemplo:
Qual a taxa efetiva anual que remunera as cadernetas de poupança?
Resposta: 6,17% a.a.
3. Taxa de Juros Real
Quando se empresta um capital, a taxa de juros cobrada (denominada taxa de juros
aparente) inclui uma parcela que se destina a repor a perda do poder aquisitivo do
capital emprestado e outra destinada a remunerar propriamente o capital. Esta taxa
se denomina taxa de juros real.
Sendo:
j = taxa de inflação
r = taxa de juros real
i = taxa de juros aparente
FV = PV (1+j)n
à Apenas repõe o poder de compra
FV = PV (1+j)n . (1+r)n
à Apresenta remuneração real
FV = PV (1+i)n
PV (1+i)n = PV (1+j)n . (1+r)n
3. Taxa de Juros Real
i = (1+j) . (1+r) - 1
à Fórmula da taxa aparente
(1+i)
r=
_______
-1
à Fórmula da taxa real
(1+j)
Na realidade a taxa de juros real incide sobre o capital corrigido
monetariamente. Este aspecto é conhecido como efeito Fisher.
3. Taxa de Juros Real
Exemplo:
Se um banco deseja uma remuneração real de 2% a.a. para seus empréstimos, que taxa de juros
deverá anunciar para seus clientes, estimando-se uma inflação de 20% a.a.?
Resposta: 22,4% a.a.
3. Taxa de Juros Real
Exemplo:
Admita no exemplo anterior que a taxa de inflação se efetivou em 24% a.a., portanto
superior a prevista originalmente. Neste caso qual teria sido a taxa de juros real recebida
pelo banco?
Resposta: - 1,3% a.m.
3. Taxa de Juros Real
Exemplo:
Um investidor fez uma aplicação em fundo que oferece uma remuneração de 4,5% a.m.. Que
taxa real de juros mensal obterá o investidor se a inflação for de:
a) 2,5% a.m.;
b) 4% a.m.;
c) 70% a.a.
Resposta: a) 1,95% a.m. b) 0,48% a.m.
c) ?
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Dado que o dinheiro tem valor diferenciado no tempo, decisões que envolvem
diversos capitais em diversas datas exigem que se adote um padrão uniforme que
permita a escolha.
Comprar à vista ou a prazo, investir em A ou em B, substituir pagamentos etc. são
situações corriqueiras para todos.
Essas questões são resolvidas através de um princípio de Matemática Financeira
denominado Equivalência de Capitais.
Pela sua importância na solução de problemas financeiros é importante
compreender o Princípio da Equivalência de Capitais.
“Dois conjuntos de capitais serão equivalentes quando, a uma
dada taxa de juros, as somas de seus respectivos valores atuais
forem iguais (numa mesma data).”
Exemplo:
Considere os fluxos A e B abaixo:
Mês
0
1
2
3
4
a)
b)
c)
Fluxo A
100.125
124.570
132.320
Fluxo B
88.590
130.090
105.000
-
Monte um diagrama para cada um dos fluxos;
Calcule o valor atual de cada fluxo a uma taxa de 10% a.m.;
Se lhe fosse dada a opção de escolher, qual fluxo você gostaria de receber?
Resposta:
1. Comparação de Fluxos Financeiros
Exemplo:
Durante certa liquidação anual, certa loja oferece, como promoção na venda de suas
mercadorias, as seguintes condições de pagamento:
a) À vista com 10% de desconto;
b) Com cartão, sem desconto (admitir 30 dias para pagamento do cartão);
c) Em 3 parcelas iguais (1+2), sem juros.
Qual a melhor alternativa para uma taxa de juros de 5% a.m.
Resposta:
1. Comparação de Fluxos Financeiros
Exemplo:
Uma loja vende um aparelho de som no valor de $ 1.200, com uma entrada e dois
pagamentos iguais de $ 500. A uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual o valor da entrada?
Resposta: $ 236,28.
2. Substituição de Fluxos Financeiros
Exemplo:
Um automóvel pode ser adquirido, em promoção, através de uma entrada de $ 4.510 mais
2 pagamentos mensais iguais de $ 3.200. Um comprador interessado no automóvel propõe
adquiri-lo através de dois pagamentos iguais em 60 e 90 dias, sem entrada. Sabendo-se
que a loja trabalha com uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual o valor das novas
prestações?
Resposta: $ 5.673.
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1. O Modelo Básico
- Caracterização
Na medida em que os fluxos de pagamentos ou recebimentos se ampliam em número de valores,
há necessidade de buscar soluções que simplifiquem o processo de cálculo. Independentemente
das simplificações adotadas, permanecem os conceitos e princípios já vistos.
A situação mais comumente encontrada refere-se a um conjunto de pagamentos (ou
recebimentos) de mesmo valor, em períodos sucessivos de tempo denominado Série Uniforme de
Pagamentos (SUP).
Características de uma Série Uniforme de Pagamentos do tipo Modelo Básico:
ØTermos constantes
ØPeriodicidade constante
ØTemporária (final determinado)
ØO 1o. Termo ocorre no final do 1o. período.
0
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
1
2
3
4
5
6
Modelo básico de uma série uniforme de pagamentos
1. O Modelo Básico - Fórmula Geral
Utilizando-se do conceito de equivalência de capitais, o valor atual de uma
SUP será a soma dos valores atuais de seus termos.
Basta “levar” todos os PMT’s para a data zero.
PV =
PMT
PMT
PMT
PMT
______
+ ______ + ______ + ...... + ______
(1+i)1
(1+i)2
(1+i)3
(1+i)n
PV = PMT
(1+i)n - 1
________
(1+i)n
à Fórmula do valor atual de uma SUP do tipo modelo básico.
.i
IMPORTANTE: as calculadoras financeiras “trabalham” com o modelo básico.
1. O Modelo Básico
Exemplo:
Publicou-se em jornais que um certo magazine vende uma bicicleta em 10 prestações
mensais de $ 127,10, sem entrada. O mesmo anúncio diz que a taxa de juros da loja é de
5,5% a.m.. Qual o preço à vista da bicicleta?
Resposta: $ 958,00.
1. O Modelo Básico
– Cálculo da Prestação
Exemplo:
Um automóvel, no valor de $ 75.000 pode ser adquirido com uma entrada de 20% e o
restante em 30 parcelas mensais iguais. Sendo a taxa de juros de 1,3% a.m., qual o valor
das prestações?
Resposta: $ 2.428,10.
1. O Modelo Básico
– Cálculo da da Taxa de Juros
Com o desenvolvimento das calculadoras financeiras, o cálculo da taxa de juros dos fluxos
financeiros tornou-se bastante simples. Até então, o cálculo era extremamente trabalhoso.
Exemplo:
Um microcomputador no valor de $1.750,00 à vista está sendo oferecido, sem entrada, em
6 parcelas mensais de $ 328,00. Qual a taxa de juros cobrada pela loja?
Resposta: 3,46% a.m..
1. O Modelo Básico
– Cálculo da da Taxa de Juros
Exemplo:
Um taxista fez três perguntas:
a)
Pretendia comprar um novo carro no valor de $17.000,00, dando uma entrada de
$3.000,00 mais 24 prestações mensais iguais de $ 818,00. Qual a taxa mensal de juros?
b)
Caso desse $ 6.000,00 de entrada, qual seria o valor das nova prestação?
c)
Para que cada prestação fosse de exatamente $ 530,00, quanto deveria dar de entrada?
Resposta: a) 2,9% a.m.;
b) $ 642,54;
c) $ 7.926,00.
2. Série Uniforme Antecipada
Por vezes nos defrontamos com um conjunto de pagamentos (ou recebimentos) que não segue o
modelo básico. Caso muito comum acontece quanto o 1o. termo ocorre no início do 1o. Período.
A maioria das calculadoras dispõe de mecanismos que permitem soluções simples para estes
casos.
a) Cálculo do valor atual
Exemplo:
Na compra de um eletrodoméstico, a loja facilita em 15 parcelas mensais iguais de $ 75,00,
sendo que a primeira parcela é dada como entrada. A uma taxa de juros de 7,0% a.m., qual o
valor para pagamento à vista?
Resposta: $ 730,91.
2. Série Uniforme Antecipada
a) Cálculo do valor atual
Exemplo:
Certa loja comercial anuncia uma mercadoria por $ 1.000,00 “à vista” ou em 5 parcelas iguais
“sem juros” (1+4). Admitindo-se uma taxa de juros de 2% a.m., que abatimento percentual
sobre o preço anunciado você pleitearia para pagar realmente à vista?
Resposta: -3,85%.
2. Série Uniforme Antecipada
b) Cálculo da prestação
Exemplo:
A assinatura de uma revista, cujo preço à vista é $ 78,00, pode ser feita em 4 parcelas mensais
iguais, sendo cobrada uma taxa de juros de 5,5% a.m.. Se a 1a. Parcela é paga no ato da
assinatura, qual o valor das prestações?
Resposta: $ 21,09.
2. Série Uniforme Antecipada
c) Cálculo da taxa de juros
Exemplo:
Se um fogão no valor de $ 220,00 é vendido em 15 parcelas iguais mensais de $ 22,00, sendo a
primeira dada como entrada, qual a taxa de juros cobrada pela loja?
Resposta: 6,53% a.m..
3. Série Uniforme com Carência
Há casos de amortização de dívidas em que o 1o. pagamento ocorre após o 1o.
Período. Isto equivale a dizer que há um período de carência.
0
1
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
3
4
5
6
7
8
2
período de carência
3. Série Uniforme com Carência
a) Cálculo do valor atual
Exemplo:
Um automóvel pode ser adquirido em diversas revendedoras com opções de pagamentos diferentes:
Loja Azul:
10 prestações mensais iguais de $ 6.500, sendo a primeira paga 30 dias após a compra.
Loja Verde:
8 prestações mensais iguais de $ 8.100, sendo a primeira parcela dada como entrada.
Loja Branca:
6 prestações mensais iguais de $ 11.400, sendo a primeira paga 4 meses após a compra.
A uma taxa de juros de 2,5% a.m., qual seria a loja mais conveniente para se efetuar a compra?
Resposta: através dos valores atuais: $ 56.888, $ 59.530, $ 58.309.
3. Série Uniforme com Carência
b) Cálculo da taxa de juros
Exemplo:
Admita, na situação precedente, que todas as lojas vendem o automóvel por $ 55.000 à vista.
Que taxa de juros mensal cada loja está cobrando nas vendas a prazo?
Resposta: 3,16% a.m.; 4,98% a.m.; 3,44% a.m..
4. Série de Pagamentos não Uniforme
Até o advento das calculadoras financeiras, o processo de cálculo de séries não uniformes era
bastante trabalhoso. Entretanto, partindo-se do princípio que as calculadoras “trabalham” com o
conceito do diagrama de fluxo de caixa, pode-se simplificar o seu cálculo.
Exemplo:
Um apartamento é colocado à venda. Pode-se adquiri-lo sem entrada através de:
a) 10 prestações iguais de $ 10.000;
b) mais 2 prestações semestrais de $ 15.000 e $ 20.000, respectivamente e;
c) finalmente um pagamento no 12o. mês de $ 30.000.
Admita as seguintes questões:
1)
Um comprador propõe pagamento à vista. Qual deve ser o valor para uma taxa de juros de 1% a.m.?
2)
O comprador aceita pagar a prazo, mas exige que o pagamento seja liquidado em 12 parcelas mensais iguais.
Qual o valor de cada parcela?
3)
Que taxa de juros está sendo computada pelo proprietário se está disposto a vender por $ 145.000 à vista?
Resposta: $ 153.216; $ 13.613; 1,76% a.m..
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Juros Simples
1.
Que montante receberá um aplicador que tenha investido $ 5.000,00, se as
taxas de aplicação e respectivos prazos forem:
Taxas de Juros
Prazos
a) 18% a.a.
6 meses
b) 31,8% a.a.
2 anos e 7 meses
c) 42% a.a.
4 anos e 3 meses
Resposta: a) $ 5.450; b) $ 9.107,50; c) $ 8.925
2.
Que taxa anual de juros está sendo cobrada em cada um dos casos abaixo, se
uma pessoa aplicar um capital de $ 1.000,00 e receber:
Montante
Prazos
a) $ 1.420,00
2 anos
b) $ 1.150,00
10 meses
c) $ 1.350,00
1 ano e 9 meses
Resposta: a) 21% a.a.; b) 18% a.a.; c) 20% a.a.
3.
Determinada pessoa tem condições de aplicar seu dinheiro a uma taxa de juros
de 3,5% a.m.. Como está pretendendo comprar um carro no valor de $
10.000,00 daqui a 12 meses que capital deverá aplicar hoje?
Resposta: $ 7.042,25
Juros Compostos
1.
Calcular o montante de um capital de $ 500.000 considerando as taxas e prazos
abaixo:
a) 5% a.m. em 30 meses;
b) 10% a.s. em 3 anos;
c) 2% a.m. em 4 anos.
Resposta: a) $ 2.160.971; b) $ 885.780; c) $ 1.293.535.
2.
Durante suas promoções uma loja vende um microcomputador no valor de $
5.000 oferecendo duas alternativas de pagamento:
a) à vista com 20% de desconto;
b) uma entrada de 10% e o restante após 60 dias.
Que taxa de juros a loja está computando em suas promoções?
Resposta: 13,4% a.m..
1.
Certa pessoa pretende comprar um automóvel usado no valor de $ 10.000 daqui
a 6 meses. Quanto deverá aplicar hoje, admitindo-se que consiga aplicar seus
recursos de acordo com as taxas de juros abaixo:
a) 1,8% a.m.;
b) 2,5% a.m.;
c) 4% a.m..
Resposta: a) $ 8.985; b) $ 8.623; c) $ 7.903.
Taxa de Juros
1.
Calcule a taxa de juros anual equivalente às seguintes taxas:
a) 2% a.m.;
b) 3% a.m.;
c) 2% a.s.;
d) 8% a.b..
Resposta: a) 26,82%; b) 42,58%; c) 4,04%; d) 58,68%.
2.
Calcular as taxas equivalentes mensais nas hipóteses abaixo:
a) 50% a.a.;
b) 21% a.a.;
c) 30% a.s..
Resposta: a) 3,44%; b) 1,60%; c) 4,47%.
1.
Um investidor fez aplicações em um fundo a uma taxa de juros pré-fixada de
2,5% a.m.. Qual será sua taxa de juros real se a inflação no período for:
a) 0,5% a.m.;
b) 1% a.m..
Resposta: a) 1,99% a.m.; b) 1,49% a.m..
Série Uniforme de Pagamentos
1.
Qual o valor à vista de uma mercadoria que pode ser paga em 6 parcelas iguais
de $ 97,00, se a loja cobra uma taxa de juros de 5,7% a.m.?
Resposta: $ 481,50 (sem entrada) ou $ 508,95 (com entrada).
1.
A assinatura da Revista Veja custa $ 206 à vista ou em 4 pagamentos de $ 54.
Que taxa de juros a Editora Abril está considerando na assinatura da revista se:
a) o 1o. Pagamento é feito um mês após a compra;
b) o 1o. Pagamento é feito no ato da assinatura.
Resposta: a) 1,92% a.m.; b) 3,25% a.m.
3.
Admita que na assinatura da revista no dia 25/04 o carnê de pagamentos
apresentasse as datas de 25/04, 20/05, 15/06 e 10/07 para vencimento das
parcelas. Neste caso, qual seria a taxa de juros mensal?
Resposta: 3,91% a.m..
4.
As revendedoras FIAT anunciam a venda de carros OK com 60% de entrada e os
restantes 40% em 10 parcelas mensais iguais sem juros e sem correção
monetária. Uma fábrica concorrente ofereceu um desconto no preço à vista
para combater a promoção da FIAT. De quanto deve ser o desconto? Admita
uma taxa de juros de 2,5% a.m..
Resposta: 5%..
Série Uniforme de Pagamentos
5.
Um proprietário de uma garagem no centro de São Paulo recebe de aluguel $
1.200 mensalmente.
Disposto a vender a garagem, que preço você
recomendaria para pagamento à vista? Considere uma taxa de juros de 1% a.m..
Resposta: $ 120.000.
6.
Um investidor comprou por $ 1.000 um lote de ações 12 meses atrás. Recebeu $
60 de dividendos nos 7 primeiros meses e $ 30 nos 5 meses restantes, quando
então vendeu-as por $ 860. Que taxa de retorno obteve esse investidor?
Resposta: 3,99% a.m.
7.
Caso desejasse um retorno de 8% a.m., por quanto deveria vender o lote?
Resposta: $ 1.555.
8.
As Lojas Paranapuã anunciam, em barulhenta promoção, a venda de qualquer
mercadoria em 6 parcelas mensais iguais, sem entrada. Caso o cliente pague
todas as 5 primeiras prestações em dia obterá um desconto de 50% no
pagamento da última parcela. Como a loja faz questão absoluta de receber
uma taxa de juros de 5% a.m., qual deve ser o valor de cada parcela? (Para
facilidade de solução, admita uma mercadoria de $ 1.000).
Resposta: $ 212,65 e $ 106,32.