SUPERFÍCIES MÍNIMAS COMPLETAS
MERGULHADAS DE CURVATURA TOTAL
FINITA E GENUS ZERO EM R3
EDILSON SOARES MIRANDA
Centro de Ciências Exatas
Universidade Estadual de Maringá
Programa de Pós-Graduação em Matemática
(Mestrado)
Orientador: Ryuichi Fukuoka
Maringá- Pr
2004
SUPERFÍCIES MÍNIMAS COMPLETAS
MERGULHADAS DE CURVATURA TOTAL
FINITA E GENUS ZERO EM R3
EDILSON SOARES MIRANDA
Dissertação submetida ao corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Estadual de Maringá - UEM-PR, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do grau de Mestre.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Ryuichi Fukuoka - UEM
......................................................
(Orientador)
Prof. Dr. Francesco Mercuri - UNICAMP
......................................................
Prof. Dr. Armando Caputi - UEM
......................................................
Maringá
2004
ii
Aos meus pais e irmãos
iii
Agradecimentos
Meus sinceros agradecimentos a todos que de alguma forma contribuı́ram para
o êxito deste trabalho, e em especial:
- À Deus, pelo Dom da vida e pela luz divina que sempre me acompanha.
- Aos meus pais, Osvaldo e Lúcia, pelo contı́nuo apoio, ensinando-me, principalmente, a importância da construção e coerência de meus próprios valores. E
principalmente pelo “amor sem limites”.
- Aos meus Irmãos, Edirley e Eder, meus eternos companheiros, que souberam
entender minhas dificuldades e minhas ausências.
- Ao Orientador, Professor Dr. Ryuichi Fukuoka, pela amizade e constante
incentivo, sempre indicando a direção a ser tomada. E principalmente pela confiança
que depositou em mim. Minha eterna gratidão.
- Aos Professores, pelo valioso conhecimento que me forneceram.
- À Secretária, Lúcia, pela boa-vontade e pelos esclarecimentos sobre procedimentos acadêmicos.
- Aos Amigos, pelo prazer de suas amizades, conversas e trocas de conhecimentos,
futebol, e outras coisas mais.
- À Meire, pela força e apoio em todos os momentos e também pelo computador.
- Ao CNPq, pela bolsa concedida durante os anos do curso.
iv
Resumo
Neste trabalho demonstra-se que o plano e o catenóide são as únicas superfı́cies
mı́nimas completas mergulhadas de curvatura total finita e genus zero em R3 .
Para tal resultado utiliza-se a teoria de Geometria Diferencial, Topologia, Análise
Complexa e um pouco da teoria de Álgebra e Equações Diferenciais Parciais.
v
Abstract
In this work it is demonstrated that the plane and the catenoid are the only embedded complete minimal surfaces of finite total curvature and genus zero in R3 .
For such a result Differential Geometry, Topology, Complex Analysis and a little
of Algebra and Partial Differential Equations are used.
vi
Conteúdo
Introdução
1
1 Resultados Preliminares
2
1.1
Princı́pio do máximo para equações diferenciais parciais elı́pticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Geometria diferencial local das superfı́cies em Rn
. . . . . . .
4
1.3
Estruturas em variedades diferenciáveis . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
O fibrado tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5
Aplicações de recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6
O grau de uma aplicação entre variedades diferenciáveis fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7
1.6.1
Regularidade de aplicações diferenciáveis . . . . . . . . . . . . 18
1.6.2
O grau de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
A caracterı́stica de Euler de uma variedade diferenciável
fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8
Zeros de uma função algébrica de C × C em C . . . . . . . . . . 23
1.8.1
Superfı́cies de Riemann associada a funções analı́ticas . . . . . 23
1.8.2
Funções algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
vii
2 Superfı́cies Mı́nimas em Rn
28
2.1
Superfı́cies que minimizam a área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2
Parâmetros isotérmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3
Superfı́cies paramétricas em R3 . A aplicação normal de Gauss . . . . 42
2.4
A fórmula de Jorge-Meeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Superfı́cies mı́nimas completas mergulhadas de genus zero
53
3.1
Deformações de superfı́cies mı́nimas mergulhadas . . . . . . . . . . . 56
3.2
Resultado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Bibliografia
72
viii
Introdução
Superfı́cies mı́nimas mergulhadas completas são objetos interessantes em Geometria Diferencial. Os planos, catenóides e helicóides são exemplos desses objetos.
R. Osserman [15] mostrou que uma superfı́cie mı́nima, completa e de curvatura
total finita é conformemente equivalente a uma superfı́cie de Riemann compacta,
furada em um número finito de pontos. Com esse resultado clássico seria natural
tentar classificá-las.
Até o começo da década de 80, os únicos exemplos mergulhados conhecidos eram
o plano e o catenóide.
Depois surgiram a Superfı́cie de Costa, e exemplos com genus arbitrários.
Nesse trabalho, analisamos um trabalho de Lopes e Ros que classifica as superfı́cies mı́nimas completas mergulhadas de genus zero e curvatura total finita.
Elas são o plano e o catenóide.
No capı́tulo 1, introduziremos pré-requisitos necessários para o estudo das superfı́cies mı́nimas.
No capı́tulo 2, desenvolveremos o estudo de superfı́cies mı́nimas em R3 com
curvatura total finita. E mostraremos a fórmula de Jorge-Meeks usando a teoria de
campos de vetores.
No capı́tulo 3, caracterizaremos as superfı́cies mı́nimas completas mergulhadas
de curvatura total finita e genus zero em R3 . Mais precisamente provaremos que as
superfı́cies satisfazendo as hipóteses acima são precisamente o plano e o catenóide.
1
Capı́tulo 1
Resultados Preliminares
O objetivo deste capı́tulo é apresentar alguns resultados básicos, os quais precisaremos nos capı́tulos posteriores.
1.1
Princı́pio do máximo para equações diferenciais parciais elı́pticas
Seja f : U → R uma aplicação de classe C 2 em U ⊂ Rn . Um operador elı́ptico
L na forma não divergente é dado por
Lf = −
m
X
ij
a fxi xj +
i,j=1
n
X
bi (x)fxi + cf,
(1.1)
i=1
onde aij , bi e c são funções contı́nuas e det[aij (x)] > 0 para todo x ∈ U . Sem perda
de generalidade, podemos assumir que aij = aji , i = 1, ..., n, pois fxi xj = fxj xi .
Definição 1.1 Dizemos que um operador diferencial parcial L é uniformemente
elı́pitico, se existe uma constante θ > 0 tal que
m
X
aij (x)ξi ξj ≥ θ|ξ|2
i,j=1
para qualquer x ∈ U e todo ξ ∈ Rn .
2
(1.2)
seção1.1
3
Seja L um operador uniformemente elı́ptico. Funções que satisfazem Lf ≤ 0,
Lf ≥ 0 são chamadas de subsoluções e supersoluções de (1.1) respectivamente.
A seguir apresentamos alguns resultados clássicos dessas classes de funções.
Teorema 1.2 (Princı́pio do máximo fraco) Suponhamos que f ∈ C 2 (U ) ∩ C(U ) e
que c(x) = 0 ∀x ∈ U .
(i) Se Lf ≤ 0 em U , então
max f = max f.
∂U
U
(1.3)
(ii) Se Lf ≥ 0 em U , então
min f = min f.
∂U
U
(1.4)
Teorema 1.3 (Princı́pio do Máximo Fraco com c ≥ 0). Suponhamos que f ∈
C 2 (U ) ∩ C(U ) e c ≥ 0 em U .
(i) Se Lf ≤ 0 em U , então
max f ≤ max f + .
U
∂U
(ii) Se Lf ≥ 0 em U , então
min f ≥ − max f − .
U
∂U
Em particular, se Lf = 0 em U , então
max |f | = max |f |.
U
∂U
Um resultado que é interessante por si só, e é usado também na demonstração
do princı́pio do máximo forte (veja teoremas 1.5 e 1.6), é o lema de Hopf:
Lema 1.4 (Lema de Hopf ). Suponhamos que f ∈ C 2 (U ) ∩ C(U ), c ≡ 0, Lf ≤ 0
em U e que existe x0 ∈ ∂U tal que
f (x0 ) > f (x),
∀x ∈ U.
(1.5)
seção1.2
4
Além disso suponha que U satisfaz a condição da bola interior em x0 , isto é,
existe uma bola aberta B ⊂ U com x0 ∈ ∂B.
(i) Então
∂f
(x0 )
∂w
> 0, onde w é um vetor normal exterior a B em x0 .
(ii) Se c ≥ 0 em U , a mesma conclusão é válida desde que f (x0 ) ≥ 0.
Teorema 1.5 (Princı́pio do Máximo Forte). Suponhamos que f ∈ C 2 (U ) ∩ C(U )
e que c ≡ 0 em U , onde U é conexo, aberto e limitado.
(i) Se Lf ≤ 0 em U e f atinge um máximo no interior de U , então f é constante
em U .
(ii) Se Lf ≥ 0 em U e f atinge um mı́nimo no interior de U , então f é constante
em U .
Teorema 1.6 (Princı́pio do Máximo Forte com c ≥ 0). Suponhamos que f ∈
C 2 (U ) ∩ C(U ) e c ≥ 0 em U , onde U é conexo.
(i) Se Lf ≤ 0 em U e f atinge um máximo não negativo no interior de U , então
f é constante em U .
(ii) Se Lf ≥ 0 em U e f atinge um mı́nimo não positivo no interior de U , então
f é constante em U .
Note que as funções harmônicas satisfazem o princı́pio do máximo.
1.2
Geometria diferencial local das superfı́cies em
Rn
Agora vamos desenvolver o estudo local de superfı́cies em Rn , cujas demonstrações podem ser encontradas em [15].
Seja x = (x1 , ..., xn ) um ponto no espaço euclidiano n-dimensional Rn e D um
domı́nio no plano parametrizado por u = (u1 , u2 ). Definimos provisoriamente uma
seção1.2
5
superfı́cie S em Rn como sendo uma aplicação f : D → Rn . Se f ∈ C r em D, então
escrevemos S ∈ C r . Denotaremos a matriz jacobiana da aplicação f por
J = (Jij );
Jij =
∂fi
,
∂uj
i = 1, ..., n;
j = 1, 2.
Observe que a j-ésima coluna de J é formada pelo vetor
∂f
=
∂uj
∂f1
∂fn
, ...,
∂uj
∂uj
. i, j = 1, 2.
Definimos a matriz g por
g = (gij ) = J t J;
gij =
∂f ∂f
·
.
∂ui ∂uj
(1.6)
Lema 1.7 Seja f uma aplicação diferenciável de D em Rn . Em cada ponto de D,
as seguintes condições são equivalentes:
a) Os vetores
∂f
, ∂f
∂u1 ∂u2
são linearmente independentes;
b) A matriz jacobiana J tem posto 2;
c)Existe i, j, com 1 ≤ i < j ≤ n tal que
d)
∂f
∂u1
∧
∂f
∂u2
∂(fi ,fj )
∂(u1 ,u2 )
6= 0;
6= 0;
e) det g > 0.
Definição 1.8 Uma superfı́cie S é regular em um ponto se as condições do lema
1.7 são satisfeitas neste ponto; S é regular se ela é regular em cada ponto de D.
e → D é um difeomorfisSeja S ∈ C r uma superfı́cie dada por f : D → Rn e ι : D
e → Rn é obtida de
mo de classe C r . Dizemos que a superfı́cie Se definida por f ◦ ι : D
S por uma mudança de parâmetros. Dizemos que uma propriedade de S independe
seção1.2
6
dos parâmetros, se ela válida nos pontos correspondentes de todas as superfı́cies Se
obtida de S por uma mudança de parâmetros.
Seja S uma superfı́cie regular definida por f ∈ C 2 em um domı́nio D. Suponhamos que Ω é um subdomı́nio de D tal que Ω ⊂ D, onde Ω é o fecho de Ω. Seja Σ a
superfı́cie definida por f restrito a Ω. Definimos a área de Σ por
Z Z p
det gdu1 du2 .
(1.7)
Ω
Se f : Ω → R é uma função contı́nua, podemos definir a integral de f com respeito
ao elemento de área da superfı́cie Σ como,
Z Z
Z Z
f (u)dA =
Ω
p
f (u) det gdu1 du2 .
(1.8)
Ω
Pode-se mostrar que as integrais acima não dependem da parametrização.
Definição 1.9 Seja Ω um domı́nio cujo fecho está em D. A superfı́cie definida pela
restrição de f em Ω tem curvatura total dada por,
Z Z
KdA
Ω
onde K é a curvatura gaussiana de f .
Definição 1.10 Sejam 1 ≤ i, j ≤ n dois inteiros fixos distintos e D um domı́nio do
plano parametrizado por (xi , xj ), onde (x1 , ..., xn ) ∈ Rn . As equações
xk = ϕk (xi , xj ),
k = 1, ..., n
k 6= i, j;
(xi , xj ) ∈ D,
(1.9)
onde ϕk ∈ C 2 , definem uma superfı́cie S em Rn que será chamada de superfı́cie na
forma não paramétrica ou forma explı́cita.
Assumiremos que a superfı́cie é definida por (1.9) com
x1 = f1 (u1 , u2 ) = u1 ,
x2 = f2 (u1 , u2 ) = u2 ,
seção1.2
7
xk = fk (u1 , u2 ) = ϕk (u1 , u2 ),
k = 3, ..., n.
(1.10)
Então
∂f
=
∂u1
∂ϕ3
∂ϕn
1, 0,
, ...,
∂u1
∂u1
∂f
=
∂u2
,
∂ϕ3
∂ϕn
0, 1,
, ...,
∂u2
∂u2
(1.11)
e
g11 = 1 +
2
n X
∂ϕk
k=3
∂u1
,
g22 = 1 +
g12 = 1 +
n X
∂ϕk ∂ϕk
k=3
n X
k=3
Observa-se claramente que os vetores
∂f
∂u1
∂ϕk
∂u2
e
∂u1 ∂u2
,
2
∂f
∂u2
.
(1.12)
são linearmente independentes.
Logo toda superfı́cie na forma não paramétrica é automaticamente regular.
Em várias situações a representação de uma superfı́cie na forma não paramétrica
facilita os cálculos. O lema seguinte é importante pois diz que todas as superfı́cies
paramétricas têm localmente uma representação não paramétrica.
Lema 1.11 Seja S uma superfı́cie na forma paramétrica dada por f : D → Rn e
q um ponto regular de S. Então existe uma vizinhança Ω de q, tal que a superfı́cie
e na forma não
Σ obtida pela restrição de f em Ω tem uma reparametrização Σ
paramétrica.
Agora vamos definir o plano tangente a uma superfı́cie S em um ponto. Para isso,
primeiramente definimos uma curva em D como sendo uma aplicação γ : [a, b] → D
continuamente diferenciável.
Seja S uma superfı́cie definida por f : D → Rn . Como estamos interessados no
estudo local de S, considere um ponto q ∈ D no qual S é regular. Restringindo S
a uma vizinhança suficientemente pequena de q (que por comodidade continuamos
chamando de D) temos que f : D → Rn é injetora em D. Considere o conjunto
Tq S = {dfq (γ 0 (t0 )); γ ∈ C},
seção1.2
8
onde C é o conjunto de todas as curvas que estão contidas em D com γ(t0 ) = q.
Definição 1.12 O espaço vetorial Tq S descrito acima é chamado de plano tangente
a superfı́cie S no ponto q.
Assim uma superfı́cie S tem um plano tangente em cada ponto regular e independe dos parâmetros.
Seja ν um vetor normal a S, então ν é ortogonal aos vetores
bij (ν) =
∂2f
·ν
∂ui ∂uj
∂f
∂u1
1 ≤ i, j ≤ 2
e
∂f
.
∂u2
Defina
(1.13)
Se Tq S é o plano tangente a S em um ponto q, então o seu complemento ortogonal
que denotaremos por Tq⊥ S, é chamado espaço normal de S em q.
Denote o fibrado normal de S por T ⊥ S (onde T ⊥ S = {(q, ν); q ∈ D, ν ∈ Tq⊥ S}).
A curvatura média é uma aplicação H : T ⊥ S → R dada por
H(ν) =
g22 b11 (ν) + g11 b22 (ν) − 2g12 b12 (ν)
.
2 det(gij )
(1.14)
Pode se mostrar que H não depende da parametrização escolhida. H(ν) é chamado de curvatura média S em relação a ν.
Segue imediatamente de (1.13) que bij (ν) é linear em ν e de (1.14) que H(ν) é
linear em ν. Portanto existe um único vetor H ∈ Tq⊥ S tal que
H(ν) = H · ν
∀ν ∈ Tq⊥ S.
(1.15)
O vetor H é chamado vetor curvatura média de S em q.
O lema a seguir será utilizado no estudo de superfı́cies que minimizam área.
Lema 1.13 Seja f : D → Rn uma superfı́cie S ∈ C r , q um ponto regular de S e
ν ∈ Tq⊥ S. Então existe uma vizinhança Ω de q e um campo normal Υ ∈ C r−1 em Ω
tal que Υ(q) = ν.
seção1.3
1.3
9
Estruturas em variedades diferenciáveis
Para o estudo global das superfı́cies, vamos dar algumas definições sobre variedades diferenciáveis.
Definição 1.14 Uma variedade (topológica) de dimensão n é um espaço de Hausdorff, onde cada ponto possui uma vizinhança homeomorfa a um domı́nio em Rn .
Um atlas A de uma variedade de dimensão n é uma coleção de triplas (Oα , Uα , hα ),
onde Oα é um domı́nio em Rn , Uα é um conjunto aberto de M , hα é um homeomorfismo de Oα em Uα , e a união de todos Uα é igual a M . Para cada α, hα é chamada
parametrização de M .
Dadas as parametrizações hα : Oα → Uα e hβ : Oβ → Uβ numa variedade M ,
tais que Uα ∩ Uβ 6= ∅, então o homeomorfismo
−1
−1
h−1
α ◦ hβ : hβ (Uα ∩ Uβ ) → hα (Uα ∩ Uβ )
é chamado mudança de parâmetros.
Definição 1.15 Uma estrutura de classe C r sobre M é um atlas para os quais as
r
mudanças de parâmetros h−1
α ◦ hβ são de classe C onde ela estiver definida.
Uma estrutura conforme sobre M é um atlas para os quais as mudanças de
parâmetros h−1
α ◦ hβ são aplicações conformes (aplicações que preservam ângulos)
onde ela estiver definida.
Uma variedade M é orientável, se ela possui um atlas para os quais as mudanças de parâmetros h−1
α ◦ hβ preservam orientação onde ela estiver definida. Uma
orientação de M é uma escolha de tal atlas.
seção1.3
10
Definição 1.16 Uma variedade diferenciável de dimensão n e classe C k é uma variedade M de dimensão n, juntamente com uma estrutura de classe C k sobre M .
Definição 1.17 Sejam M e N variedades diferenciáveis de dimensões finitas. Uma
aplicação f : M → N é diferenciável no ponto p ∈ M , se existem parametrizações
hα : Oα → Uα em M , hβ : Oβ → Uβ em N , com p ∈ Uα e f (Uα ) ⊂ Uβ tais que
−1
hβ ◦ h−1
α : Oα → Oβ é diferenciável em hα (q).
Como as mudanças de parâmetros em M e N são de classe C k , segue que a definição acima independe da parametrização. Dizemos que f : M → N é diferenciável,
se f for diferenciável em todos os pontos de M .
Definição 1.18 Uma superfı́cie S de classe C r em Rn é uma variedade bidimensional M com uma estrutura de classe C r e uma aplicação f : M → Rn de classe
Cr.
Seja S uma superfı́cie de classe C r em Rn e A = (Oα , Uα , hα ) a estrutura de
classe C r associada a S. Então f ◦ hα : Oα → Rn define uma superfı́cie local no
sentido da definição da seção 1.2. Em particular, um ponto de S significa o par
(q0 , f (q0 )) onde q0 ∈ M . Daı́ é possı́vel falar em um ponto regular de S, de plano
tangente e vetor curvatura média de S num ponto, etc.
Definição 1.19 Uma superfı́cie de Riemann M é uma variedade bidimensional,
conexa de Hausdorff com um atlas maximal A, onde as mudanças de parâmetros
são aplicações conformes.
Por exemplo, o plano complexo C com um atlas maximal que contenha a função
identidade, e a esfera unitária com um atlas maximal que contenha as projeções
estereográficas pelos pólos norte e sul respectivamente como coordenadas, são superfı́cies de Riemann.
seção1.3
11
Definição 1.20 Seja M uma variedade de dimensão n com uma estrutura de classe
C r definida por um atlas (Oα , Uα , hα ). Uma estrutura Riemanniana sobre M ou uma
métrica riemanniana de classe C k , 0 ≤ k ≤ r − 1, é uma coleção de matrizes gα
onde:
1. Seus elementos são funções de classe C k em Uα ;
2. Em cada ponto, gα é definida positiva;
3. Para qualquer α e β tal que a mudança de parâmetros h−1
α ◦ hβ está definida,
a relação
gβ = J ⊥ gα J
(1.16)
é satisfeita, onde J é a matriz jacobiana da transformação h−1
α ◦ hβ .
Uma variedade M com uma estrutura riemanniana é chamada de variedade Riemanniana.
Uma curva diferenciável sobre M é uma aplicação diferenciável γ : [a, b] → M .
O comprimento de arco da curva γ : [a, b] → M em relação a uma métrica
Riemanniana gα é definido como
Z
b
a
n
X
!1/2
gij (γ(t))u0i (t)u0j (t)
dt,
(1.17)
i,j=1
onde para cada t0 ∈ [a, b], escolhemos um Uα tal que γ(t0 ) ∈ Uα , gα = [gij ] e ui ,
1 ≤ i ≤ n são parâmetros de Oα . Por (1.16), a definição do integrando acima
independe da escolha de Uα .
Um caminho divergente sobre M é uma aplicação contı́nua γ : [a, b) → M tal
que para todo subconjunto compacto Π ⊂ M , existe um t0 ∈ [a, b) tal que γ(t) ∈
/Π
para t > t0 .
seção1.4
12
Se um caminho divergente é diferenciável, definimos seu comprimento de arco
como
Z
lim
b− →b
a
b−
n
X
!1/2
gij (γ(t))u0i (t)u0j (t)
dt.
(1.18)
i,j=1
Definição 1.21 Uma variedade M é completa com respeito a uma métrica riemanniana dada se a integral 1.18 diverge para cada caminho diferenciável divergente
sobre M .
Seja S uma superfı́cie regular de classe C r definida por uma aplicação f : M →
Rn . Então esta aplicação induz uma métrica em M , definida por
gij =
∂f ∂f
·
.
∂ui ∂uj
(1.19)
Assim, cada superfı́cie regular S em Rn está em correspondência com uma variedade Riemanniana bidimensional M . Dizemos que S é completa se M for completa
com respeito a métrica Riemanniana dada por (1.19).
Se S é uma superfı́cie regular de classe C r definida por uma aplicação f : M →
Rn , então esta aplicação induz também uma estrutura conforme em S, pois toda
métrica induz um conceito de ângulo. Portanto toda superfı́cie regular está em
correspondência com uma superfı́cie de Riemann.
1.4
O fibrado tangente
Agora vamos definir o espaço tangente a M em um ponto p ∈ M , onde M é uma
variedade diferenciável de classe C k . Para isso indicamos por Cp o conjunto de todos
os caminhos γ : (a, b) → M , onde 0 ∈ (a, b), tais que γ(0) = p e γ é diferenciável em
0.
seção1.4
13
Se γ ∈ Cp e hα : Oα ⊂ Rn → Uα ⊂ M uma parametrização em M com p ∈ Uα ,
toda vez que escrevemos h−1
α ◦ γ estamos admitindo que o domı́nio (a, b) de γ é
suficientemente pequeno tal que γ((a, b)) ⊂ Uα .
Dizemos que dois caminhos γ, % ∈ Cp são equivalentes, e escrevemos γ ∼ %,
quando existir uma parametrização
hα : Oα ⊂ Rn → Uα ⊂ M
em M com p ∈ Uα , tal que
0
−1
0
(h−1
α ◦ γ) (0) = (hα ◦ %) (0).
Observe que a relação γ ∼ % define uma relacção de equivalência em Cp .
O vetor velocidade γ
e de um caminho γ ∈ Cp , é por definição, a classe de equivalência de γ.
O conjunto quociente Cp / ∼ será indicado por Tp M e será chamado o espaço
tangente à variedade M no ponto p.
Observe que a definição de espaço tangente acima coincide com a definição anterior para superfı́cies S no caso onde S é definida por f : D → Rn .
Seja M n uma variedade de classe C ∞ com uma estrutura diferenciável dada pelo
atlas A. Considere
T (M ) = ∪p∈M Tp M,
e a projeção canônica
π : T (M ) → M
dada por π(p, v) = p. Fazendo
hα = (hα1 , ..., hαn ),
definimos a aplicação
−1
2n
e
h−1
α : π (Uα ) → R
seção1.5
14
dada por
−1
−1
−1
−1
e
h−1
α (p, v) = (hα1 (π(p, v)), ..., hαn (π(p, ν)), dhα1 ((p, v)), ..., dhαn ((p, v)))
A partir das considerações acima se verifica as seguintes propriedades:
∞
e
1. Se (Oα , Uα , hα ), (Oβ , Uβ , hβ ) ∈ A, então e
h−1
β ◦ hα é de classe C .
2. A coleção
{π −1 (Uα ); (Oα , Uα , hα ) ∈ A}
forma uma base para uma topologia sobre T (M ).
3. Seja Ae o atlas maximal, contendo
{((Oα × Rn ), e
hα (Oα × Rn ), e
hα ); (Oα , Uα , hα ) ∈ A}.
Segue das propriedades acima que Ae é uma estrutura diferenciável sobre T (M ).
T (M ) com esta estrutura diferenciável é chamado de fibrado tangente de M , que
denotaremos por T M .
1.5
Aplicações de recobrimento
Agora veremos algums resultados, cujas demonstrações podem ser encontradas
em [12].
Sejam X, Y espaços topológicos. Uma aplicação π : X → Y chama-se uma
aplicação de recobrimento quando cada ponto y ∈ Y pertence a um aberto V ⊂ Y
tal que π −1 (V ) = ∪α Uα , onde os Uα são abertos dois a dois disjuntos e π|Uα : Uα → V
é um homeomorfismo para cada α.
O espaço X se chama espaço de recobrimento de Y , e para cada y ∈ Y , o
conjunto π −1 (y) se chama fibra de y.
seção1.5
15
Um recobrimento π : X → Y , com X simplesmente conexo e localmente conexo
por caminhos, se chama um recobrimento universal.
Dizemos que uma aplicação contı́nua e sobrejetiva f : X → Y goza da propriedade de levantamento de caminhos, se dados arbitrariamente um caminho γ :
[t0 , t1 ] → Y e um ponto x ∈ X tal que f (x) = γ(t0 ), existir um caminho γ
e : [t0 , t1 ] →
X tal que γ
e(t0 ) = x e f ◦ γ
e = γ.
Se existir um único γ
e como acima dizemos que f : X → Y goza da propriedade
de levantamento único de caminhos.
Proposição 1.22 Sejam M , N variedades diferenciáveis. Se uma aplicação f :
M → N possui a propriedade de levantamento único de caminhos, então f é uma
aplicação de recobrimento.
Proposição 1.23 Seja X um espaço de Hausdorff. Se um homeomorfismo local
sobrejetivo f : X → Y é uma aplicação fechada, então f possui a propriedade de
levantamento único de caminhos. Em particular, se além disso f : X → Y é uma
aplicação diferenciável entre variedades diferenciáveis, então f é uma aplicação de
recobrimento.
Proposição 1.24 Sejam M e N variedades riemannianas de mesma dimensão, a
primeira completa e a segunda conexa. Seja f : M → N uma aplicação de classe C 1
e suponha que exista uma cobertura de N por abertos V , a cada um dos quais está
associado um número V > 0 tal que se x ∈ M e f (x) ∈ V então |f 0 (x)v| ≥ V .|v|
para todo v ∈ Tx M . Nessas condições f : M → N é uma aplicação de recobrimento.
O teorema a seguir caracteriza o recobrimento universal de qualquer superfı́cie
de Riemann.
Teorema 1.25 (Teorema da Uniformização de Koebe) O recobrimento universal de
qualquer superfı́cie de Riemann é conformemente equivalente (difeomorfismo holomorfo) ao disco unitário, ao plano ou à esfera.
seção1.5
16
O teorema de uniformização foi demonstrado por P. Koebe e H. Poincaré. (Ver
[8], [16] e [9]).
Uma função f : U ⊂ Rn → R de classe C 2 é dita subharmônica se
∆f = −
n
X
∂2f
i=1
∂x2i
≤ 0.
Esse conceito pode ser generalizado para variedades Riemaniannas com métrica
g. Neste caso temos que f : M → R de classe C 2 é subharmônica se
n
X
p
1
∂
∂f
jk
∆f = − √
g
det g
≤ 0,
∂xk
det g j,k=1 ∂xj
onde [gjk ] denota a matriz inversa de [gij ]
Um fato interessante é que a propriedade de uma função ser subharmônica
depende somente da estrutura conforme induzida pela métrica, ou seja, se duas
métricas forem conformemente equivalentes em M , então uma função f será subharmônica em relação a uma métrica se e somente se ela for subharmônica em relação
a outra.
A definição abaixo caracteriza superfı́cies de Riemann de acordo com a existência
de certas funções subharmônicas.
Definição 1.26 Uma variedade M de dimensão 2 com uma estrutura conforme é
chamada hiperbólica, se existe uma função de valores reais não constante, negativa
e subharmônica sobre M . Caso contrário M é chamada parabólica.
Denotando ζ = ζ1 + iζ2 ∈ C, função f (ζ) = ζ1 − 1, mostra que o disco unitário
|ζ| < 1 é hiperbólico.
O teorema a seguir é devido a Huber (ver [6]), e relaciona a parabolicidade de
uma superfı́cie de Riemann com a existência de certas métricas conformes.
Teorema 1.27 Se uma superfı́cie de Riemann aberta S admite uma métrica conforme eu(z) |dz|, completa e com curvatura total finita, então S é parabólica.
seção1.5
17
Necessitaremos das seguintes generalizações do teorema 1.27 mais adiante.
Corolário 1.28 Se uma superfı́cie de Riemann aberta S admite uma métrica conforme gS = ef (z) |dz|, completa e com curvatura total finita, então S − {p1 , . . . , ps }
é parabólica.
Demonstração: A idéia é construir uma métrica gS̃ conforme, completa e com
curvatura total finita em S − {p1 , . . . , ps } tal que gS̃ = gS longe de {p1 , . . . , ps }, e
com uma métrica completa de curvatura gaussiana nula em uma vizinhança furada
de pi , 1 ≤ i ≤ s.
Sejam D1 , . . . , Ds ⊂ S discos suficientemente pequenos contendo p1 , . . . , ps respectivamente. Coloque em Di − {pi } métricas conformes gi de modo que Di − {pi }
seja isométrico ao complementar de um disco no plano. Podemos escolher gi de
modo que gi (v, w) ≥ gS (v, w) para todo v e w em T (Di − {pi }), 1 ≤ i ≤ s.
Considere uma cobertura de S − {p1 , . . . , ps } com abertos {D1 − {p1 }, . . . , Ds −
{ps }, Ŝ}, onde o fecho de Ŝ em S é disjunto de {p1 , . . . , ps }. Seja {Φ1 , . . . , Φs , Φ̂} uma
partição da unidade de S−{p1 , . . . , ps } subordinado à cobertura {D1 −{p1 }, . . . , Ds −
P
{ps }, Ŝ}. Considere a métrica gS̃ = si=1 Φi gi + Φ̂gS . Então:
1. A métrica gS̃ tem curvatura total finita pois:
(a) a curvatura total é finita em Ŝ − (∪si=1 Di ) pois coincide com gS ;
(b) a curvatura total é finita em Ŝ ∩ Di , 1 ≤ i ≤ s, pois o fecho de Ŝ ∩ Di é
compacto em S − {p1 , . . . , ps };
(c) a curvatura total é finita em Di − {pi } − Ŝ pois gS̃ coincide com a métrica
do complemento de um disco no plano.
2. A métrica gS̃ é conforme a gS por construção.
3. A métrica gS̃ é completa. De fato, tome {qj }∞
j=1 uma seqüência de Cauchy
em (S − {p1 , . . . , ps }, gS̃ ). Então essa seqüência será de Cauchy em (S, gS ),
seção1.6
18
pois gS ≤ gS̃ . Portanto {qj }∞
j=1 → q em (S, gS ). Se q ∈ {p1 , . . . , ps } então a
seqüência não é de Cauchy em (S − {p1 , . . . , ps }, gS̃ ), o que é um absurdo. Se
q ∈ S − {p1 , . . . , ps }, então podemos escolher uma vizinhança suficientemente
pequena de q tal que as métricas gS̃ e gS são equivalentes. Portanto {qj }∞
j=1 →
q em (S − {p1 , . . . , ps }, gS̃ ) e gS̃ é completa.
Finalmente podemos utilizar o teorema 1.27, e concluir que S − {p1 , . . . , ps } é
parabólico.
Corolário 1.29 Seja S e ef (z) |dz| como no teorema 1.27. Seja Σ uma superfı́cie
de Riemann e f : Σ → S − {p1 , . . . , ps } um recobrimento conforme finito. Então Σ
é parabólico.
Demonstração: Vimos no corolário 1.28 que S − {p1 , . . . , ps } admite uma
métrica gS̃ conforme, completa e com curvatura total finita. Podemos colocar uma
métrica gΣ em Σ de modo que f : (Σ, gΣ ) → (S − {p1 , . . . , ps , gS̃ ) seja uma isometria local. Então gΣ será uma métrica conforme, completa e com curvatura finita.
Portanto, pelo teorema 1.27, Σ é parabólico.
1.6
1.6.1
O grau de uma aplicação entre variedades diferenciáveis fechadas
Regularidade de aplicações diferenciáveis
Seja f : M → N uma aplicação diferenciável entre variedades diferenciáveis de
mesma dimensão.
Definição 1.30 Um ponto x ∈ M é chamado um ponto regular de f , se a derivada
dfx é não singular. Um ponto y ∈ N é chamado um valor regular se f −1 (y) contém
seção1.6
19
somente pontos regulares ou é vazio. Se dfx é singular, x é chamado ponto crı́tico
de f . A imagem f (x) é chamado valor crı́tico de f .
Proposição 1.31 Se M é uma variedade compacta e y ∈ N é um valor regular,
então f −1 (y) é um conjunto finito.
Demonstração: Como f −1 (y) ⊂ M é fechado com M compacto e de Hausdorff
então f −1 (y) é compacto. Agora seja x ∈ f −1 (y). Então pelo teorema da função
inversa, existe uma vizinhança Vx ⊂ M de x tal que f |Vx é um difeomorfismo.
Como (Vx )x∈f −1 (y) é uma cobertura aberta para f −1 (y) e acima vimos que f −1 (y)
é compacto, então tal cobertura admite uma subcobertura finita, ou seja, f −1 (y) ⊂
∪ni=1 Vxi , onde xi ∈ f −1 (y). Já que f |Vxi é um difeomorfismo, segue que Vxi só contém
xi como ponto regular satisfazendo f (xi ) = y. Portanto f −1 (y) é finito. O seguinte resultado clássico foi provado por A. Sard em 1942. Sua demonstração
pode ser encontrada em [14].
Teorema 1.32 (Teorema de Sard) Seja f : U → Rm uma aplicação diferenciável,
onde U é um aberto de Rn . Se C é o conjunto dos pontos crı́ticos de f , então
f (C) ⊂ Rm tem medida nula.
Corolário 1.33 (A. B Brown) Sejam M e N variedades de dimensões finitas.
Então o conjunto dos valores regulares de uma aplicação diferenciável f : M → N
é denso em N .
Definição 1.34 Sejam M , N variedades diferenciáveis. Duas aplicações diferenciáveis f, g : M → N são chamadas diferenciavelmente homotópicas (notação f ∼
g), se existe uma aplicação diferenciável F : M × [0, 1] → N com
F (x, 0) = f (x),
F (x, 1) = g(x) ∀x ∈ M.
A aplicação F é chamada de homotopia diferenciável entre f e g.
seção1.6
1.6.2
20
O grau de Brouwer
Agora vamos definir o grau de uma aplicação entre variedades diferenciáveis,
onde as provas dos resultados podem ser vistas em [14].
Definição 1.35 A variedade é dita ser fechada se ela for compacta e não possuir
pontos de bordo.
Para visualizarmos como devem ser tais objetos, observamos que o próprio disco
fechado de dimensão n é uma variedade compacta, mas não fechada por possuir
pontos de bordo, enquanto que o disco aberto de dimensão n é uma variedade
sem pontos de bordo que não é fechada, por não ser compacta. A esfera e o toro
bidimensional, que são variedades fechadas de dimensão 2, ilustram bem o aspecto
de tais objetos.
Seja f : M → N uma aplicação diferenciável, onde M , N são variedades de
dimensão n, orientadas, com M fechada e N sem bordo e conexa. Considere também
x ∈ M um ponto regular de f . Desse modo
dfx : Tx M → Tf (x) N
é um isomorfismo linear entre espaços vetoriais orientados. Definimos o sinal de dfx
como sendo +1 ou −1 conforme dfx preserva ou inverte a orientação, pois os espaços
vetoriais admitem exatamente duas orientações.
Pelo corolário do teorema de Sard, temos que cada função diferenciável f : M →
N admite um valor regular, pois o conjunto dos valores regulares é denso em N .
Para um valor regular y ∈ N definimos
deg(f ; y) =
X
sign(dfx ),
x∈f −1 (y)
cuja soma é finita devido a proposição 1.31. O próximo resultado nos permite definir
o grau de uma aplicação diferenciável entre variedades.
seção1.7
21
Teorema 1.36 O inteiro deg(f;y) não depende da escolha do valor regular y.
Daı́, pelo teorema anterior, definimos o grau de f (denotado por deg(f )) como
sendo
deg(f ) = deg(f ; y),
onde y ∈ N é um valor regular qualquer de f .
Teorema 1.37 Duas aplicações diferencialmente homotópicas tem o mesmo grau.
1.7
A caracterı́stica de Euler de uma variedade
diferenciável fechada
Nesta seção, vamos obter a caracterı́stica de Euler de uma variedade diferenciável fechada M em termos do ı́ndice de um campo de vetores em M em suas
singularidades isoladas. As demonstrções dos resultados podem ser vistas em [17].
~ em uma variedade diferenciável M é uma
Definição 1.38 Um campo de vetores X
~
corrrespondência que associa a cada p ∈ M , um vetor X(p)
∈ Tp M . Em termos
~ é uma aplicação de M em T M . O campo é diferenciável se a
de aplicações, X
~ : M → T M for diferenciável.
aplicação X
~ um campo de vetores em M . Dizemos
Seja M n uma variedade diferenciável e X
~ se existe uma vizinhança V de p tal que
que p é uma singularidade isolada de X,
~
~
X(q)
= 0 e X(q)
6= 0 para todo q ∈ V − {p}.
~ em uma singularidade isolada p. Para isso
Agora vamos definir o ı́ndice de X
~ um campo de vetores sobre um conjunto aberto U ⊂ Rn , com 0 ∈ U
considere X
~ Seja S n−1 a esfera unitária em Rn com a
sendo uma singularidade isolada de X.
orientação induzida de Rn , ou seja, se {e1 , . . . , en } define uma base positiva de Rn
seção1.7
22
tal que e2 , ..., en pertencem a Tx S n−1 e e1 é um vetor normal apontando para “fora”
de S n−1 em x, então {e2 , . . . , en } define uma orientação positiva de S n−1 .
Definimos a aplicação fX~ : U − {0} → S n−1 dada por
fX~ (p) =
~
X(p)
.
~
|X(p)|
Se i : S n−1 → U é dada por i (p) = p, então a aplicação
fX~ ◦ i : S n−1 → S n−1
tem um grau que independe de para suficientemente pequeno, devido ao teorema
1.37, pois as aplicações fX~ ◦ i1 e fX~ ◦ i2 : S n−1 → S n−1 serão diferenciavelmente
~ em 0 como sendo o grau de
homotópicas. Com isso podemos definir o ı́ndice de X
fX~ ◦ i .
~ um campo de vetores em uma variedade diferenciável M com uma sinSeja X
gularidade isolada em p. Considere um difeomorfismo h : U → V ⊂ Rn , onde U é
~ é um campo de vetores em V
uma vizinhança de p e h(p) = 0. Temos que, dh ◦ X
~
e 0 é uma singularidade isolada de dh ◦ X.
~
Lema 1.39 Se h0 : V1 ⊂ Rn → V2 ⊂ Rn é um difeomorfismo com h0 (0) = 0 e X
~ em 0 é igual ı́ndice de
tem uma singularidade isolada em 0, então ı́ndice de dh0 ◦ X
~ em 0.
X
~ de uma
O lema 1.39 nos permite definir o ı́ndice de um campo de vetores X
~ é um campo
variedade M em uma singularidade isolada p ∈ M . De fato, se X
de vetores em uma variedade M que tem uma singularidade isolada em p ∈ M ,
então escolhemos um sistema de coordenadas (x, U ), onde U é um aberto do Rn
~ em p, denotado por I ~ (p), como sendo o
com x(p) = 0 e definimos o ı́ndice de X
X
~ em 0. Este ı́ndice não depende do sistema de coordenadas escolhido
ı́ndice de dx ◦ X
devido ao lema 1.39.
seção1.8
23
Toda superfı́cie compacta sem bordo S possui uma triangularização, e sua caracterı́stica de Euler, denotada por χ(S), é dada por χ(S) = #V −#A+#F , onde #V ,
#A e #F são os números de vértices, arestas e faces da triangularização respectivamente. A caracterı́stica de Euler pode ser estendida para variedades diferenciáveis
fechadas e é um invariante topológico. Podemos calculá-la via campo de vetores.
~ : M → TM
Teorema 1.40 Seja M uma variedade diferenciável fechada e seja X
~
um campo de vetores diferenciável em M tal que {p ∈ M ; X(p)
= 0} = {p1 , ..., pm }.
Então
χ(M ) =
m
X
IX~ (pi ).
i=1
1.8
Zeros de uma função algébrica de C × C em C
1.8.1
Superfı́cies de Riemann associada a funções analı́ticas
Nesta seção vamos desenvolver o conceito de superfı́cie de Riemann, cujas demonstrações dos resultados podem ser encontrados em [2].
Definição 1.41 Sejam z0 ∈ C ∪ {∞}, R > 0 e considere a série de potências
∞
X
n=0
an (z − z0 )n
se
z0 6= ∞
ou
∞
X
bn (z)−n
se
z0 = ∞,
(1.20)
n=0
cujo raio de convergência é R. Considere f uma função analı́tica cujo desenvolvimento em série de potências numa vizinhança de z0 é dada por (1.20), definida em
D = {z ∈ C; |z − z0 | < R} se z0 6= ∞ ou em D = {z ∈ C; |z| > R} se z0 6= ∞.
Dizemos que (1.20) define um elemento de função analı́tica de centro z0 e raio R e
seção1.8
24
escrevemos
E = (f, z0 , R) =
∞
X
an (z − z0 )n .
n=0
Proposição 1.42 Sejam E = (f, z0 , R), z0 ∈ C, um elemento de função com
domı́nio D e z1 ∈ D tal que |z1 − z0 | = ρ. Então
F=
∞
X
n
bn (z − z1 ) =
n=0
∞
X
an [(z − z1 ) + (z1 − z0 )]n
(1.21)
n=0
define um elemento de função F, com centro z1 e raio µ ≥ r −ρ. Além disso, fazendo
z1 variar em D, os coeficientes bn = bn (z1 ) obtidos em (1.21) são funções analı́ticas
de z1 para todo n, e o raio do elemento de função F obtido varia continuamente com
z1 .
Definição 1.43 O elemento de função F de centro z1 e raio µ da proposição 1.42
é dito uma continuação imediata do elemento de função E.
Definição 1.44 Sejam E = (f, z0 , R) com domı́nio D e seja γ(t), 0 ≤ t ≤ 1, um
e com centro
caminho com γ(0) = z0 , γ(1) = z1 . Dizemos que o elemento de função E
z1 é uma continuação de E ao longo de γ(t), se para todo t existirem elementos de
funções Et centrados em γ(t), e domı́nios Dt tais que
ee
(i) E0 = E, E1 = E
(ii) se 0 ≤ t0 ≤ 1, então existe δ > 0 tal que para todo t0 − δ < t < t0 + δ, Et é
uma continuação imediata de Et0 .
Dizemos também que Et é uma continuação analı́tica ao longo de γ ligando E a
e
E.
Considere um elemento de função E = (f, z0 , R). Seja Ω ⊂ C ∪ {∞} o conjunto
de todos os pontos z tais que existem curvas γ(t) em Ω com γ(0) = z0 , γ(1) = z e
continuações analı́ticas Eγ(t) de E ao longo de γ(t).
seção1. 8
25
Definição 1.45 Ao conjunto M formado por todos os elementos Ez , z ∈ Ω, que são
obtidos por continuação analı́tica de Ez0 ao longo de caminhos em Ω ligando z0 a z
é que chamamos de uma função analı́tica no sentido de Weierstrass.
A todo z ∈ Ω e Ez = (f, z, R) ∈ M associamos F (z) = f (z). A próxima
proposição implica que podemos munir naturalmente M de uma estrutura de superfı́cie de Riemann, onde F pode ser definida como uma função analı́tica univalente.
Proposição 1.46 Sejam M o conjunto acima, Ez ∈ M , Ez = (f, z, R) e ≤ R.
Então os conjuntos V (Ez ), formados por todos os elementos Eze ∈ M tais que |z−e
z| <
e Eze é uma continuação analı́tica imediata de Ez , formam uma base de abertos para
uma topologia, conexa por caminhos, e Hausdorff em M . Além disso as funções
h : V (Ez ) → C definidas por h(Eze) = ze fazem parte de um atlas A que define uma
estrutura de superfı́cie de Riemann M .
1.8.2
Funções algébricas
Agora consideraremos as funções algébricas as quais são casos especiais de funções
analı́ticas completas.
Sejam Q(w, z) = Q0 (z)wn +Q1 (z)wn−1 +...+Qn (z) um polinômio a duas variáveis
(w, z) ∈ (C ∪ ∞)2 , irredutı́vel, isto é, não existem dois polinômios não constantes
P1 (w, z), P2 (w, z) tais que Q = P1 P2 .
Note que se Q0 (z) = 0, com z0 ∈ C, então o número de raı́zes distintas de
Q(w, z0 ) = 0 é menor que n. O mesmo acontece se Q(z0 ) 6= 0 e Q(w, z0 ) = 0 possuir
uma raiz dupla em w1 ∈ C, o que ocorre se e somente se
Q(w1 , z1 ) =
∂Q
(w1 , z1 ) = 0.
∂w
(1.22)
seção1. 8
26
O conjunto dos pontos {z0 } pontos que satisfazem uma das condições acima é
chamado de conjuntos de pontos singulares de Q(w, z) e será denotado por C.
Para o ponto z = ∞, considere a mudança de variáveis ζ = z −1 e o polinômio
e
e0 (ζ)wn + Q
e1 (ζ)wn−1 + Q
en (ζ),
Q(w,
ζ) = Q
(1.23)
ej (ζ) e m é o máximo valor assumido pelo grau dos polinômios
onde Qj (z) = z m Q
Qj (z). Com isso, podemos dizer se ∞ ∈ C ou não.
Se z0 6∈ C, o número de raı́zes distintas de Q(w, z0 ) é igual a n. Mais precisamente:
Proposição 1.47 Sejam Q(w, z) um polinômio irredutı́vel e C seu conjunto de pontos singulares. Então para todo z ∈ C−C, existem n-raı́zes distintas w1 (z),..., wn (z)
da equação Q(w, z) = 0.
Agora veremos que as soluções wj (z) dadas pela proposição 1.47 em C−C podem
ser agrupadas localmente em n funções analı́ticas distintas.
Teorema 1.48 Sejam Q(w, z) um polinômio irredutı́vel e C seu conjunto de pontos
singulares e z0 ∈ C − C. Então existe uma vizinhança aberta V (z0 ) de z0 em C − C
e n funções analı́ticas w1 (z),..., wn (z) definidas em V (z0 ) tais que Q(w(z), z) = 0 e
wi (z) 6= wj (z) para todo z ∈ V (z0 ) e i 6= j.
O próximo resultado mostra que as funções algébricas wi , 1 ≤ i ≤ n, representam
os ramos locais de uma função álgébrica multivalente W (z) definida em C − C, o
qual é uma função analı́tica completa no sentido de Weierstrass.
Teorema 1.49 Sejam w(z) = wj (z) como no teorema 1.48, associado ao polinômio
irredutı́vel Q(w, z), definido numa vizinhança de z0 . Suponha que o elemento de
seção1. 8
27
função E = (w(z), z0 , R) esteja definida em um domı́nio D como definido em (1.20).
Então
a) E = (w(z), z0 , R) pode ser continuado analiticamente através de todo caminho
γ(t) em C − C,
b) toda solução local wj (z) dada pelo teorema 1.48 em vizinhanças de C − C é
atingida pela continuação de E ao longo de algum caminho em C − C.
Em resumo, dado um polinômio irredutı́vel Q(w, z) cujos pontos singulares são
C = {z1 , ..., zk } ⊂ C, o teorema 1.49 garante a existência de uma função analı́tica
completa no sentido de Weierstrass W (z) = w(z), tal que (w(z), z) são todas as
soluções de Q(w, z) para z ∈ C − C. Pela proposição 1.46, obtemos a superfı́cie de
Riemann M associada a Q.
Note que M é um recobrimento conforme de n folhas de C − C, isto é, a projeção
Z : M → C − C que associa a todo elemento de função a seu centro, é uma função
meromorfa. O mesmo vale para a função W : M → C−C que associa a todo elemento
P
n
de função ∞
n=0 an (z −z0 ) ao número a0 . Usando o teorema 1.48, podemos mostrar
que o conjunto
M̃ = {(w, z) ∈ C × (C − C); Q(w, z) = 0}
está em correspondência biunı́voca com M , associando a cada (w(z), z0 , r) ∈ M o
elemento (w(z0 ), z0 ) ∈ M̃ . Isto induz uma estrutura de superfı́cie de Riemann em
M̃ , tornando-a conformemente equivalente a M .
O próximo resultado mostra que pode-se compatificar M .
Teorema 1.50 Seja C = {z1 , ..., zn } os pontos singulares de Q(w, z) = 0. Então
existem pontos wi , 1 ≤ i ≤ r, correspondentes à C, tal que a supefı́cie de Riemann
c = M ∪ {∪wi }, associada ao polinômio irredutı́vel Q(w, z) de grau n em w, é
M
compacta.
Capı́tulo 2
Superfı́cies Mı́nimas em Rn
2.1
Superfı́cies que minimizam a área
Vamos caracterizar as superfı́cies que tem a menor área entre todas as superfı́cies
com a mesma fronteira. Considere a seguinte situação.
Seja S uma superfı́cie regular de classe C 2 definida por f : D → Rn . Considere
Γ uma curva fechada em D e Ω um subdomı́nio limitado por Γ. Seja Σ a superfı́cie
definida por f restrito a Ω. Denotando a área de Σ por A(Σ) suponhamos que
e
A(Σ) ≤ A(Σ),
e definida por fe em Ω tal que f = fe em Γ.
para toda Σ
Primeiro vamos fazer a variação normal de superfı́cies e posteriormente vamos
considerar superfı́cies não paramétricas e variações perpendiculares ao plano (x1 , x2 ).
Seja ν ∈ C 1 em D um campo de vetores normal a S, isto é
ν·
∂f
≡ 0 , i = 1, 2.
∂ui
Derivando (2.1) em relação a uj temos
∂ν ∂f
∂2f
·
+ν·
= 0.
∂uj ∂ui
∂ui ∂uj
28
(2.1)
seção2.1
29
Então
∂ν ∂f
∂2f
·
= −ν ·
= −bij (ν).
∂uj ∂ui
∂ui ∂uj
(2.2)
Agora consideremos uma função arbitrária h ∈ C 2 em D e para cada número
real λ formamos a superfı́cie
Sλ : fe(u) = f (u) + λh(u)ν(u),
u ∈ D.
Temos que
∂ fe
∂f
∂h
∂ν
=
+λ
ν+h
.
∂ui
∂ui
∂ui
∂ui
(2.3)
Como
geij =
∂ fe ∂ fe
·
,
∂ui ∂uj
de (2.1) e (2.3) temos
∂f
∂ν
∂h
∂f
∂ν
∂h
+λ h
+
ν
·
+λ h
+
ν
geij =
∂ui
∂ui ∂ui
∂uj
∂uj ∂uj
=
∂f ∂f
∂f
∂ν
∂ν ∂f
·
+
· λh
+ λh
·
+ λ2 cij ,
∂ui ∂uj ∂ui
∂uj
∂ui ∂uj
(2.4)
onde cij é uma função contı́nua de u em D. De (2.2) e (2.4) segue-se que
geij = gij − 2λhbij (ν) + λ2 cij .
(2.5)
det(e
gij ) = ge11 ge22 − ge12 ge21 ,
(2.6)
Como
então de (2.5) e (2.6) resulta que
det(e
gij ) = a0 + a1 λ + a2 λ2 ,
(2.7)
seção2.1
30
onde a0 = det(gij ), a1 = −2h(g11 b22 (ν) + g22 b11 (ν) − 2g12 b12 (ν)) e a2 uma função
contı́nua em D.
Como S é regular segue que a0 > 0. Portanto a0 tem um mı́nimo positivo em Ω
e existe > 0 tal que det(e
gij ) > 0 para |λ| < , ou seja, para |λ| < as superfı́cies
Σλ definidas pela restrição de fe em Ω são superfı́cies regulares.
Queremos calcular a área de Σλ . Em cada u ∈ Ω, o desenvolvimento de
p
det(e
gij )
em série de Taylor em torno de λ = 0 é dada por
4a2 a0 − a21 2
a1
λ + O(λ3 ).
a0 + √ λ +
1/3
2 a0
8a0
4a a0 −a2 1
Então existe L > 0 tal que 2 1/3
< L em Ω, e de (2.8) segue-se que
q
det(e
gij ) =
√
(2.8)
8a0
q
√
a1
< Lλ2 .
det(e
g
)
−
a
+
λ
√
ij
0
2 a0 (2.9)
De (1.7) e (2.9), temos que
Z Z
A(0) = A (Σ) =
√
a0 du1 du2 .
Ω
Integrando (2.9), temos que
Z Z q
√
a
1
det(e
gij ) −
a0 + √ λ
du1 du2 < L1 λ2 ⇒
2 a0
Ω
Z Z a
1
⇒ A(λ) − A(0) − λ
du1 du2 < L1 λ2 ⇒
√
2 a0
Ω
Z Z √ A(λ) − A(0)
a1 a0
⇒
−
du1 du2 < L1 λ.
λ
2a0
Ω
Fazendo λ tender a zero e usando as equações (1.14) e (2.7) obtemos
0
Z Z
A (0) = −2
Ω
Z Z
p
H(ν)h(u) detgij du1 du2 = −2
H(ν)h(u)dA.
Ω
(2.10)
seção2.1
31
Note que A0 (0) é o valor da variação da área como função de λ.
Se escolhermos nossa famı́lia de superfı́cies Sλ colocando h(u) ≡ 1, então (2.10)
se reduz à
0
Z Z
A (0) = −2
H(ν)dA.
Σ
Afirmação: Para que Σ minimize a área, a sua curvatura média deverá ser
identicamente nula. De fato suponhamos por absurdo que existe p ∈ Ω e um vetor
normal ν(p) tal que H(ν(p)) 6= 0. Podemos assumir sem perda de generalidade que
H(ν(p)) > 0. Pelo lema (1.13) existe uma vizinhança V1 de p e ν ∈ C 1 em V1 tal
que ν é normal a S. Portanto H(ν) > 0 em uma vizinhança V2 com p ∈ V2 ⊂ V1 , e
se escolhermos a função h de modo que h(p) > 0, h(u) ≥ 0 ∀u e h(u) ≡ 0 se u não
pertence V2 , segue que a integral do lado direito de (2.10) será estritamente positiva.
Se V2 é suficientemente pequeno de modo que V2 ⊂ Ω, então fe(u) = f (u) sobre Γ,
de modo que Σλ será a superfı́cie com a mesma fronteira de Σ. Como por hipótese
Σ minimiza área então
A(λ) ≥ A(0) ∀λ,
o que implica A0 (0) = 0, o que é uma contradição com (2.10) e isto mostra a nossa
afirmação.
Definição 2.1 Uma superfı́cie S é dita uma superfı́cie mı́nima se a sua curvatura
média é nula em todo ponto.
Mostraremos agora que as superfı́cies mı́nimas satisfazem o princı́pio do máximo
fraco e o princı́pio do máximo forte. Usando (1.14), as superfı́cies mı́nimas na forma
paramétrica são caracterizadas pela equação
g22 b11 (ν) + g11 b22 (ν) − 2g12 b12 (ν) = 0.
(2.11)
seção2.1
32
Denotando
ϕ(x1 , x2 ) = (ϕ3 (x1 , x2 ), ..., ϕn (x1 , x2 ))
segue de (1.13),(1.11) e (1.12) que a equação das superfı́cies mı́nimas não paramétricas
é dada por
!
∂ϕ 2 ∂ 2 ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂2ϕ
1 + −
2
·
+
∂x2 ∂x21
∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2
2
∂ϕ ∂ϕ
12
21
Fazendo a11 = 1 + ∂x
,
a
=
a
=
−
·
∂x1
2
!
∂ϕ 2 ∂ 2 ϕ
1 + = 0.
∂x1 ∂x22
∂ϕ
∂x2
(2.12)
2
∂ϕ e a22 = 1 + ∂x
, então
1
2
∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ∂ϕ 2
∂ϕ
∂ϕ
+
> 0.
a a − (a ) = 1 + ∂x1 + ∂x2 ∂x1 − ∂x1 · ∂x2
∂x2 11 22
12 2
Portanto as funções ϕk satisfazem os princı́pios do máximo fraco e forte, pois elas
satisfazem a equação (1.1), onde L é o operador uniformemente elı́ptico.
Façamos um novo tipo de variação em torno de uma superfı́cie fixa. Passemos a
considerar uma superfı́cie na forma não paramétrica
fk = ϕk (x1 , x2 ),
k = 3, ..., n.
Os cálculos feitos aqui serão utilizados para demonstrar a existência de parâmetros
isotérmicos.
Denotemos
ϕ = (ϕ3 , ..., ϕn ),
p=
∂ϕ
,
∂x1
q=
∂ϕ
,
∂x2
r=
∂2ϕ
,
∂x21
s=
∂2ϕ
,
∂x1 ∂x2
Então a equação da superfı́cie mı́nima (2.12) pode ser escrita como
∂q
∂p
∂q
2 ∂p
1 + |q|
− (p · q)
+
+ 1 + |p|2
= 0,
∂x1
∂x2 ∂x1
∂x2
t=
∂2ϕ
.
∂x22
(2.13)
ou como
1 + |q|2 r − 2 (p · q) s + 1 + |p|2 t = 0.
(2.14)
seção2.1
33
De (1.12) temos que
g11 = 1 + |p|2 ,
g12 = p · q,
g22 = 1 + |q|2 ,
(2.15)
de onde
det(gij ) = 1 + |p|2 + |q|2 + |p|2 |q|2 − (p · q)2 .
Denote
W=
q
det(gij ).
(2.16)
Faremos agora uma variação em nossa superfı́cie
ϕ
ek = ϕk + λhk
k = 3, ..., n,
onde λ ∈ R e hk ∈ C 1 no domı́nio D de ϕk . Seja h = (h3 , ..., hn ). Então temos
ϕ
e = ϕ + λh,
e
p=p+λ
∂h
,
∂x1
e
q=q+λ
∂h
,
∂x2
e
e 2 = W2 + 2λX + λ2 Y,
W
onde
X=
∂h
∂h
1 + |q|2 p − (p · q) q ·
+ 1 + |p|2 q − (p · q) p ·
∂x1
∂x2
e Y é contı́nua em x1 , x2 . Daı́
e = W + λ X + λ2 Z,
W
W
onde Z é contı́nua.
Agora consideremos Γ uma curva fechada no domı́nio de definição de ϕ(x1 , x2 )
e seja Ω a região limitada por Γ. Se a superfı́cie fk = ϕ(x1 , x2 ) sobre Ω minimiza
seção2.1
34
área entre todas as superfı́cies com a mesma fronteira, então para cada escolha de
h tal que h = 0 em Γ, temos
Z Z
Z Z
e 1 dx2 ≥
Wdx
Wdx1 dx2
Ω
Ω
que é possı́vel somente se
Z Z
Ω
X
= 0.
W
Substituindo X na integral acima, integrando por partes e escolhendo h tal que
h = 0 em Γ, temos que
Z Z Ω
∂ (1 + |q|2 )
(p · q)
∂ (1 + |p|2 )
(p · q)
p−
q +
q−
p hdx1 dx2 = 0.
∂x1
W
W
∂x2
W
W
Pela mesma razão do argumento usado para o caso não paramétrico, segue que
a equação
(p · q)
∂ (1 + |p|2 )
(p · q)
∂ (1 + |q|2 )
p−
q +
q−
p =0
∂x1
W
W
∂x2
W
W
(2.17)
é satisfeita em toda a parte. Desenvolvendo (2.17), temos que,
(1 + |q|2 ) ∂p
(p · q)
−
W
∂x1
W
∂
+
∂x1
∂
+
∂x2
∂q
∂p
+
∂x1 ∂x2
(1 + |q|2 )
W
(1 + |p|2 )
W
(1 + |p|2 ) ∂q
+
+
W
∂x2
∂ p · q
−
p
∂x2 W
∂ p · q
−
q.
∂x1 W
(2.18)
O primeiro termo de (2.18) é nulo por (2.13). Se nós expandirmos os coeficientes
de p no segundo termo de (2.13), temos que
seção2.2
35
=
∂
∂x1
(1 + |q|2 )
W
∂ p · q
−
∂x2 W
1 2
2
2
(p
·
q)q
−
1
+
|q|
p
·
1
+
|q|
r
−
2(p
·
q)s
+
1
+
|p|
t
W3
e a equação acima é identicamente zero por (2.14). Trocando p e q, x1 e x2 vemos
que o coeficiente de q da equação (2.18) também é zero. Isto mostra que
∂
∂x1
∂
∂x2
(1 + |q|2 )
W
∂ p · q
=
∂x2 W
∂ p · q
=
.
∂x1 W
e
(1 + |p|2 )
W
(2.19)
são satisfeitas para toda superfı́cie mı́nima dada pela equação (2.14).
2.2
Parâmetros isotérmicos
Quando estudamos propriedades de superfı́cies que são independentes da escolha
de parâmetros, é conveniente escolhê-los de modo que as propriedades geométricas da
superfı́cie fiquem facilmente explicitadas em termos dos mesmos. Por exemplo, tome
um domı́nio D = (u1 , u2 ) e uma superfı́cie definida por uma aplicação f : D → Rn .
Se o ângulo entre dois vetores quaisquer v1 e v2 no plano coordenado (u1 , u2 ) for igual
o ângulo de suas imagens df (v1 ) e df (v2 ), então f é conforme e essa parametrização
deve refletir propriedades da superfı́cie. Analiticamente, esta condição é expressa
em termos da primeira forma fundamental (1.2) por
g11 = g22 ,
g12 = 0
(2.20)
seção2.2
36
ou
gij = λ2 δij ,
λ = λ(u) > 0.
(2.21)
Parâmetros u1 , u2 satisfazendo estas condições são chamados de parâmetros isotérmicos.
Vários conceitos básicos considerados na teoria de superfı́cies simplificam consideravelmente quando referidas em parâmetros isotérmicos. Por exemplo, de (2.21)
temos
det(gij ) = λ4
(2.22)
e por (1.14) a curvatura média é dada por
H(ν) =
b11 (ν) + b22 (ν)
.
2λ2
(2.23)
Lema 2.2 Seja S uma superfı́cie regular definida por f ∈ C 2 onde u1 , u2 são
parâmetros isotérmicos. Então
∆f = 2λ2 H
onde ∆f =
∂2f
∂u21
+
∂2f
∂u22
(2.24)
e H é o vetor curvatura média.
Demonstração. Podemos escrever (2.20) da seguinte forma:
∂f ∂f
∂f ∂f
·
=
·
,
∂u1 ∂u1
∂u2 ∂u2
∂f ∂f
·
= 0.
∂u1 ∂u2
Logo
∂
∂u1
ou seja,
∂f ∂f
∂
∂f ∂f
·
=
·
∂u1 ∂u1
∂u1 ∂u2 ∂u2
∂
∂f ∂f
·
= 0,
∂u2 ∂u1 ∂u2
seção2.2
37
∂ 2 f ∂f
∂2f
∂f
·
=
·
2
∂u1 ∂u1
∂u2 ∂u1 ∂u2
∂2f
∂f
∂f ∂ 2 f
·
=−
·
.
∂u1 ∂u2 ∂u2
∂u1 ∂u22
Combinando as equações acima temos que
∆f ·
∂f
=0
∂u1
∆f ·
∂f
=0
∂u2
De maneira análoga
Assim ∆f é um vetor perpendicular ao plano tangente de S. Mas se ν é um
vetor normal arbitrário de S, de (2.23) segue que
∆f
1
·ν = 2
2
2λ
2λ
∂2f
∂2f
·
ν
+
·ν
∂u21
∂u22
=
b11 (ν) + b22 (ν)
= H(ν).
2λ2
Pela unicidade do vetor H definido em (1.15) segue que ∆f = 2λ2 H. Lema 2.3 Seja S uma superfı́cie regular definida por f ∈ C 2 , onde u1 , u2 são
parâmetros isotérmicos. Então as funções coordenadas fk (u1 , u2 ) são harmônicas se
e somente se S é uma superfı́cie mı́nima.
Demonstração. Como ∆f = 2λ2 H então S é supefı́cie mı́nima ⇔ H = 0 ⇔
∆f = 0 ⇔ fk são harmônicas. Dada uma superfı́cie f , consideremos as seguintes funções a valores complexos,
φk (ζ) =
Temos que
∂fk
∂fk
−i
;
∂u1
∂u2
ζ = u1 + iu2 .
(2.25)
seção2.2
38
n
X
φ2k (ζ)
k=1
=
2
n X
∂fk
k=1
∂u1
−
2
n X
∂fk
k=1
∂u2
n
X
∂fk ∂fk
− 2i
∂u1 ∂u2
k=1
∂f 2 ∂f 2
−
− 2i ∂f · ∂f
= ∂u1
∂u2 ∂u1 ∂u2
= g11 − g22 − 2ig12
(2.26)
e
n
X
2
|φk (ζ)| =
k=1
2
n X
∂fk
k=1
∂u1
+
2
n X
∂fk
k=1
∂u2
= g11 + g12 .
(2.27)
Agora verificaremos algumas propriedades das funções φk :
a) φk é analı́tica em ζ ⇔ fk é harmônica em u1 , u2 ;
2f
∂ 2 fk
k
De fato, φk é analı́tica em ζ ⇔ ∂u∂1 ∂u
=
−
−
e
∂u2 ∂u1
2
∂ 2 fk
∂u21
2
+ ∂∂uf2k = 0 ∀k devido
2
as equações de Cauchy-Riemann. Isto mostra a).
b) u1 , u2 são parâmetros isotérmicos se e somente se
n
X
φ2k (ζ) ≡ 0.
(2.28)
k=1
Segue diretamente de (2.26)
c) Se u1 , u2 são parâmetros isotémicos, então S é regular se, e somente se
n
X
|φk (ζ)|2 6= 0.
(2.29)
k=1
De fato, como g11 = g22 e g12 = g21 = 0, de (2.27) segue que
det(gij ) = g11 g22 − g12 g21 6= 0 ⇔ g11 = g22 6= 0 ⇔
n
X
k=1
o que mostra c).
|φk (ζ)|2 6= 0,
seção2.2
39
Daqui em diante, denotaremos a função que define uma superfı́cie mı́nima regular
em Rn por ψ.
Lema 2.4 Seja S uma superfı́cie mı́nima regular definida por ψ com parâmetros
isotérmicos u1 , u2 . Então as funções φk definidas por (2.25) são analı́ticas e elas
satisfazem (2.28) e (2.29). Reciprocamente, sejam φ1 ,...,φn funções analı́ticas de ζ
satisfazendo (2.28) e (2.29) em um domı́nio simplesmente conexo D. Então existe
uma superfı́cie mı́nima regular ψ definida sobre D, tal que as equaçoẽs (2.25) são
satisfeitas.
Demonstração. A primeira parte segue imediatamente das propriedades a),
b), c) e do lema (2.3). Para mostrar a recı́proca definimos
Z
ψk = Re
φk (ζ)d(ζ).
(2.30)
As funções ψk são harmon̂icas satisfazendo (2.25) e aplicando a), b) e c) na
direção oposta o resultado segue do lema (2.3). Os próximos resultados ilustram o fato de que certas superfı́cies podem ser representadas localmente em termos de parâmetros isotérmicos. No caso de superfı́cies
mı́nimas temos o seguinte lema:
Lema 2.5 Seja S uma superfı́cie mı́nima. Então cada ponto regular de S possui
uma vizinhança na qual existe uma reparametrização de S em termos de parâmetros
isotérmicos.
Demonstração. Pelo lema 1.11, para cada ponto regular em S podemos encontrar uma vizinhança na qual S pode ser representada na forma não paramétrica.
Então (2.19) é satisfeita em algum disco (x1 − p1 )2 + (x2 − p2 )2 < R2 . Estas equações
implicam a existência de funções
Z
p·q
dx2 ,
F (x1 , x2 ) =
W
Z
G(x1 , x2 ) =
p·q
dx1
W
seção2.2
40
neste disco, satisfazendo
∂F
1 + |p|2
=
,
∂x1
W
∂F
p·q
=
;
∂x2
W
∂G
1 + |q|2
=
.
∂x2
W
p·q
∂G
=
,
∂x1
W
(2.31)
Seja,
u1 = x1 + F (x1 , x2 ),
u2 = x2 + G(x1 , x2 ).
(2.32)
Então
∂u1
1 + |p|2
=1+
,
∂x1
W
∂u2
p·q
=
,
∂x1
W
∂u1
p·q
=
,
∂x2
W
∂u2
1 + |q|2
=1+
.
∂x2
W
Como
W2 = 1 + |p|2 + |q|2 + |p|2 |q|2 − (p · q)2
então
J=
∂(u1 , u2 )
2 + |p|2 + |q|2
=2+
> 0.
∂(x1 , x2 )
W
Assim a transformação (2.32) tem uma inversa local
(u1 , u2 ) → (x1 , x2 )
e fazendo, ψk = ϕk (x1 , x2 ) para k = 3, ..., n, ψ1 ≡ x1 e ψ2 ≡ x2 , podemos representar
a superfı́cie em termos dos parâmetros u1 , u2 . Com isso,
seção2.2
41
∂ψ1
∂x1
W + 1 + |q|2
=
=
,
∂u1
∂u1
JW
∂x2
p·q
=−
,
∂u1
JW
W + 1 + |q|2
p·q
∂ψk
=
pk −
qk ,
∂u1
JW
JW
∂x1
p·q
∂ψ1
=
=−
,
∂u2
∂u2
JW
k = 3, ..., n;
W + 1 + |p|2
∂x2
=
,
∂u2
JW
∂ψk
W + 1 + |p|2
p·q
=
qk −
pk ,
∂u2
JW
W
k = 3, ..., n.
Com respeito aos parâmetros u1 , u2 , temos
g11 = g22
∂ψ 2 ∂ψ 2 W
W2
=
=
=
= ∂u2 ∂u1 J
2W + 2 + |p|2 + |q|2
e
g12 =
∂ψ ∂ψ
·
= 0.
∂u1 ∂u2
(2.33)
Portanto u1 , u2 são coordenadas isotérmicas.
Corolário 2.6 Seja ψk = ϕk (x1 , x2 ), k = 3, ..., n funções definindo uma superfı́cie
mı́nima na forma não paramétrica. Então fk são funções analı́ticas reais de x1 , x2 .
Demonstração. Na vizinhança de cada ponto podemos introduzir a aplicação
(2.32) que dá localmente a superfı́cie em termos de parâmetros isotérmicos u1 , u2 .
Pelo lema 2.3, x1 , x2 são harmônicas, portanto funções reais analı́ticas de u1 , u2 . Assim a inversa (x1 , x2 ) 7→ (u1 , u2 ) também é real analı́tica. Mas cada ψk é harmônica
em (u1 , u2 ) e portanto uma função analı́tica real de x1 , x2 . Lema 2.7 Uma superfı́cie mı́nima não pode ser compacta.
seção2.3
42
Demonstração. Seja S uma superfı́cie mı́nima definida pela aplicação ψ :
M → Rn . Então cada coordenada ψk (p) de ψ é uma função harmônica sobre M .
Se M fosse compacto ψk (p) atingiria um máximo, portanto seria uma constante,
contradizendo a hipótese de que a aplicação ψ(p) não é constante. Lema 2.8 Cada superfı́cie mı́nima S simplesmente conexa possui uma reparametrização
na forma ψ : D → Rn , onde D é o disco |ζ| < 1 ou o plano C.
Demonstração: Segue do lema anterior e do teorema de uniformização de
Koebe. Lema 2.9 Seja S uma superfı́cie definida por ψ com parâmetros isotérmicos u1 ,
u2 e seja S̃ obtida de S por uma mudança de parâmetros u. Então u
e1 , u
e2 são
parâmetros isotérmicos se, e somente se, a mudança de parâmetros u é conforme
ou anti-conforme.
Demonstração. Como u1 , u2 são parâmetros isotérmicos então gij = λ2 δij .
Denote a matriz jacobiana da transformação u(e
u) por J = (Jij ). Fazendo alguns
e = J ⊥ GJ, onde g é dado por (1.6). Então
cálculos temos g
e = λ2 J ⊥ J = λ2 J ⊥ J,
g
e2 δij ⇔ λ2 J ⊥ J = λ
e2 I ⇔
Portanto u
e1 , u
e2 são parâmetros isotérmicos ⇔ geij = λ
λ ⊥
λ
λ
J
.
J
=
I
⇔
é ortogonal ⇔ u(e
u) é conforme ou anti-conforme. e
e
eJ
λ
λ
λ
2.3
Superfı́cies paramétricas em R3. A aplicação
normal de Gauss
Veremos agora vários resultados válidos para superfı́cies mı́nimas em R3 , os quais
não foram estendidos para dimensões arbitrárias, ou que requerem uma discussão
mais elaborada para tal. Começaremos explicitando todas as soluções da equação
seção2.3
43
φ21 + φ22 + φ23 = 0.
(2.34)
Lema 2.10 Seja D ⊂ C um domı́nio, g uma função meromorfa arbitrária em D e
ω uma função analı́tica tendo a propriedade que em cada ponto onde g tem um pólo
de ordem r, ω tem um zero de ordem maior ou igual a 2r. Então as funções
1
φ1 = ω 1 − g 2 ,
2
i
φ2 = ω 1 + g 2 ,
2
φ3 = ωg
(2.35)
serão analitı́cas em D e satisfazem (2.34). Reciprocamente, cada tripla de função
analı́tica em D satisfazendo (2.34), pode ser representada na forma (2.35), exceto
para φ1 = iφ2 , φ3 = 0.
Demonstração. As funções (2.35) claramente satisfazem (2.34). Reciprocamente suponhamos que temos uma tripla φ1 , φ2 , φ3 de funções analı́ticas em D
satisfazendo (2.34). Definimos
ω = φ1 − iφ2 ,
g=
φ3
.
φ1 − iφ2
(2.36)
Como
0 = φ21 + φ22 + φ23 = (φ1 − iφ2 ) (φ1 + iφ2 ) + φ23
(2.37)
temos que
φ1 + iφ2 = −
φ23
= −ωg 2 .
φ1 − iφ2
De (2.36) e (2.38) resulta,
1
2φ1 = ω − ωg 2 ⇒ φ1 = ω 1 − g 2 ,
2
2iφ2 = −ω − ωg 2 ⇒ φ2 =
i
1
−ω − ωg 2 = ω 1 + g 2
2i
2
(2.38)
seção2.3
44
e
φ3 = ωg.
Portanto (2.35) é satisfeita. Agora seja z0 um pólo de ordem r de g. Em alguma
vizinhança de z0 temos
g(z) =
h(z)
,
(z − z0 )r
onde h(z0 ) 6= 0, h é analı́tica nesta vizinhança e z0 é um pólo de ordem 2r de 1 − g 2 .
Como φ1 = 12 ω (1 − g 2 ) é analı́tica, então z0 é um zero de ω de ordem maior ou igual
a 2r, caso contrário φ1 teria um pólo em z0 . Esta representação não é válida se, e
somente se, φ1 − iφ2 = 0, onde a equação (2.37) implica que φ3 = 0, que é a exceção
de nossa hipótese. Isto mostra o lema.
Lema 2.11 Cada superfı́cie mı́nima simplesmente conexa em R3 pode ser representada na forma
Z
ψk = Re
ζ
φk (z)dz
+ ck ,
k = 1, 2, 3,
(2.39)
0
onde φk são definidos por (2.35), as funções ω e g tem as propriedades fixadas no
lema (2.10), o domı́nio D sendo o disco unitário ou o plano inteiro, e a integral sendo
calculada sobre um caminho arbitrário ligando a origem ao ponto ζ. A superfı́cie
será regular se e somente se os zeros de ω coincidem com os pólos de g e além disso
a ordem desses zeros é exatamente duas vezes a ordem dos pólos de g.
Demonstração. Pelo Lema 2.8, superfı́cie pode ser representada na forma ψ :
D → R3 onde D é o disco ou o plano C e as coordenadas ψk são harmônicas em ζ.
Seja
φk =
∂ψk
∂ψk
−i
,
∂ζ1
∂ζ2
ζ = ζ1 + iζ2 .
seção2.3
45
Estas funções são analı́ticas e satisfazem (2.39) (a integral independe do caminho).
Para uma superfı́cie mı́nima, (2.34) é válida e pelo lema 2.10 temos (2.35).
A superfı́cie não será regular, se e somente, se todos os φk se anularem simultaneamente, que acontece exatamente nos pontos onde ω = 0 e g é regular ou quando
ωg 2 = 0 e g tem um pólo. Definição 2.12 O par (g, ω) acima, juntamente com a equação (2.39), é chamado
de representação de Weierstrass de ψ = (ψ1 , ψ2 , ψ3 ).
Por exemplo, se escolhermos ω ≡ 1 e g(ζ) = ζ, a superfı́cie mı́nima obtida é
chamada superfı́cie de Enneper.
A função g é essencialmente a aplicação normal de Gauss, isto é, se π : S 2 −
{(0, 0, 1)} → C é a projeção estereográfica e gν : D → S 2 é a aplicação normal de
Gauss, então g = π ◦ gν . Para ver isto, note que localmente gν é dado por
gν =
2Re{g} 2Im{g} |g|2
,
,
|g|2 + 1 |g|2 + 1 |g|2 + 1
isto é, gν = π −1 ◦ g. Portanto g = π ◦ gν .
Agora veremos alguns resultados importantes, cujas demonstrações podem ser
vistas em [15].
Proposição 2.13 Seja Ω um domı́nio cujo fecho está em D. A curvatura total de
uma superfı́cie definida pela restrição de ψ em Ω é o negativo da área da imagem
da aplicação normal de Gauss.
Teorema 2.14 Seja M uma variedade Riemanniana bidimensional completa com
K≤0e
Z Z
|K|dA < ∞.
Ω
Então existe uma superfı́cie compacta M e um número finito de pontos p1 , ..., pk em
M tal que M é conformemente equivalente a M − {p1 , ..., pk }.
seção2.4
46
Como a aplicação normal de Gauss g é uma função meromorfa, então g não
inverte orientação porque suas singularidades são isoladas. Portanto deg(g) é número
de elementos de g −1 (y), onde y é valor regular de g.
Seja ψ : M = M − {p1 , ..., pk } → R3 uma superfı́cie mı́nima, regular e completa.
Para cada aberto simplesmente conexo de M , existem g e ω tal que ψ é dada
e , definido
por (2.39). Em geral a função ω não se estende a M , mas a 1-forma ω
localmente por ωdz se estende a M . Mais precisamente
Teorema 2.15 Seja ψ : M → R3 uma superfı́cie mı́nima, regular e completa S. Se
a curvatura total de S é finita, então a conclusão do teorema anterior é válida e a
aplicação de normal de gauss g e a 1-forma ω
e se estendem meromorficamente a M .
Além disso a curvatura total de ψ é dada por −4πdeg(g).
Definição 2.16 Os pontos omitidos {p1 , ..., pk } são chamados de fins da imersão
ψ. As vezes ψ(M ∩ Dj ) também são chamados de fins de ψ, onde Dj é um disco
pequeno contendo pj .
O teorema abaixo classifica as superfı́cies mı́nimas completas cujas aplicações
normal de Gauss são injetivas.
Teorema 2.17 O catenóide e a superfı́cie de Enneper são as únicas superfı́cies
mı́nimas regulares completas cuja curvatura total é −4π.
2.4
A fórmula de Jorge-Meeks
Nesta seção vamos mostrar a fórmula de Jorge-Meeks calculando a caracterı́stica
de Euler através de campos de vetores.
seção2.4
47
Considere ψ : M − {p1 , ..., pk } → R3 uma superfı́cie mı́nima completa com
curvatura total finita, onde pi , 1 ≤ i ≤ k, são os fins de M .
Seja ξ ∈ S 2 (1) ⊂ R3 , um vetor fixo. A função altura na direção de ξ é dada por
~ ξ de hξ é a projeção ortogonal de ξ em Tx M . Mais
hξ (p) = hψ(p), ξi. O gradiente X
precisamente
~ ξ = ξ − hξ, gν (x)igν (x),
X
~ ξ em suonde gν (x) é um campo normal a superfı́cie. Esses campos de vetores X
perfı́cies em R3 são chamados de gradiente da função altura, e a mesma construção
pode ser estendido para hipersuperfı́cies.
Proposição 2.18 Seja ψ : M → R3 uma superfı́cie mı́nima e considere ξ um vetor
unitário em R3 tal que ξ ∈
/ {g(pi ) tal que pi é um fim de M }. As singularidades de
~ ξ são os pontos gν−1 ({ξ, −ξ}). Se ξ é valor regular de gν , então o ı́ndice de X
~ ξ em
X
p ∈ gν−1 (ξ) é −1.
~ ξ (p) = 0 ⇔ g(p) ∈ {ξ, −ξ}.
Demonstração. Claramente X
Se ξ é um valor regular de gν , então gν−1 ({ξ, −ξ}) consiste de pontos isolados.
Além disso,
~ ξ (x) = hDgν (x), ξigν (x) − Dgν (x)hξ, gν (x)i = −hξ, gν (x)iDgν (x),
DX
onde Dgν representa a segunda forma fundamental. Mas em uma superfı́cie mı́nima
Dgν =
k 0
0 −k
em um sistema de coordenadas adequado, onde k é a curvatura principal. Como
IX~ ξ (p) = sign(det(Dgν )), então IX~ ξ (p) = −1. Considere ψ : M 2 → R3 uma superfı́cie mı́nima completa com curvatura total
2
finita. Pelo teorema 2.15 existe uma superfı́cie de Riemann compacta M tal que
M é conformemente equivalente a M − {p1 , ..., pk }.
seção2.4
48
Teorema 2.19 Seja ψ : M − {p1 , ..., pk } → R3 uma superfı́cie mı́nima completa
com curvatura total finita, onde pi , 1 ≤ i ≤ k, são os fins de ψ.
Seja gν⊥ (pi ) o plano perpendicular aplicação normal de Gauss em pi e π : R3 →
gν⊥ (pi ) a projeção canônica. Então para cada pi , existe uma vizinhança Vpi 3 pi tal
que
π ◦ ψ|Vpi : Vpi → g ⊥ (pi ),
dá I(pi ) voltas em torno de π(ψ(Vpi )), ou seja, π ◦ ψ|Vpi é uma aplicação de recobrimento.
Demonstração: Fixe j com 1 ≤ j ≤ k, P = limq→pj g(q). Considere E ⊂ M
um disco fechado perfurado em pj . Como a ∂E é compacto, existe r suficientemente
grande tal que π ◦ ψ(∂E) ⊂ Br2 (0).
2
Considere E 0 = (π ◦ ψ)−1 (D), onde D = R2 − B r (0). Obviamente E 0 é subvariedade de E. Observe que o fecho E 0 de E 0 em E é uma variedade com bordo
completa. Para mostrar que
f = π ◦ ψ|E 0 : E 0 → f (E 0 ) = D,
basta mostrar que f levanta caminhos diferenciável por partes.
Seja y ∈ D e x ∈ (π ◦ ψ)−1 (y) e γ : [0, 1] → D tal que γ(0) = y. Queremos
levantar γ a uma curva γ em E 0 onde γ(0) = x.
Seja A ⊂ [0, 1] o conjunto maximal onde γ pode ser levantado. O fato de π ◦ ψ
ser um difeomorfismomo local e D ser aberto implica que o intervalo maximal onde
γ pode ser levantado é do tipo [0, t0 ), isto é um aberto em [0, 1]. Se mostrarmos que
γ pode ser levantado inclusive até t0 , teremos provado que o intervalo máximo de
levantamento de γ é fechado em [0, 1]. Portanto o intervalo máximo de levantamento
deverá ser [0, 1] pela conexidade de [0, 1].
Considere (tn ) uma seqüência crescente de A, tal que limn→∞ tn = t0 , an =
(γ(tn )) ⊂ D e bn = (γ(tn )) ⊂ E 0 . Como (tn ) é convergente e γ é contı́nua, então
seção2.4
49
(an ) é convergente e portanto de Cauchy.
Como kvk ≤ kdfx (v)k para todo x ∈ M e v ∈ Tx M , segue que (bn ) é de Cauchy.
De fato,
Z
tm
dist(bm , bn ) ≤
0
Z
tm
kγ (t)kdt ≤
tn
kγ 0 (t)kdt ≤ H|tm − tn |
tn
onde H = sup0≤t≤1 kγ 0 (t)k < ∞. Portanto (bn ) é de Cauchy. Já que E 0 é completa,
segue que (bn ) converge a b ∈ E 0 . Além disso, π ◦ ψ(b) = limn→∞ π ◦ ψ(bn ) =
limn→∞ an = a ∈ D.
Já que π ◦ ψ(∂E 0 ) ⊂ ∂D temos b ∈ E 0 .
Considere V ⊂ E 0 uma vizinhança de b tal que f |V é difeomorfismo. Então
γ(t0 ) ∈ f (V ) e por continuidade, existe um intervalo I ⊂ [0, 1], t0 ∈ I, tal que
γ(I) ⊂ f (V ). Escolha um ı́ndice n tal que γ(tn ) ∈ V e considere o levantamento l
de γ em I passando por b. Os levantamentos l e γ coincidem em [0, tn ) ∩ I, pois f |V
é biunı́voca. Portanto, l é uma extensão de γ em I, donde γ está definido em t0 e
t0 ∈ A. Daı́ f |E 0 é uma aplicação de recobrimento.
Para mostrar que tal recobrimento é finito, como D é conexo seja z ∈ D com
|z| < ∞. Se a cardinalidade do conjunto (π ◦ ψ)−1 (z) é infinita, então o conjunto
(π ◦ ψ)−1 (z) tem um ponto de acumulação y ∈ E 0 ⊂ E. Então existe uma seqüência
{en } em (π ◦ ψ)−1 (z) convergindo para y. Daı́
lim |π ◦ ψ(en )| = lim |z| < ∞.
n→∞
n→∞
Então y 6= pi . Portanto π ◦ ψ não é homeomorfismo para qualquer vizinhança de y,
o que é um absurdo. Portanto π ◦ ψ é um recobrimento finito
Observe que (π ◦ ψ)−1 (∂D) = ∪ni=1 Ci , onde Ci são circunferências disjuntas duas
a duas, contidas em E.
Para concluir a demonstração do teorema, basta mostrar que ∂E 0 = ∪ni=1 Ci tem
apenas uma componente conexa, e que ∂E 0 limita um disco perfurado em pj . De
seção2.4
50
fato, considere Ei o disco fechado com fronteira Ci . Se para algum i com 1 ≤ i ≤ n,
Ei não for perfurado em pj , então a funcão distância, d(y) = d(0, π ◦ ψ(y)) atinge
um máximo em algum x ∈ Ei . Daı́ π ◦ ψ não é homeomorfismo local para toda
vizinhança de x, o que é um absurdo. Portanto Ei é perfurado em pj para todo i.
Suponha que existem i, k com 1 ≤ i, k ≤ n tal que Ci 6= Ck . Suponha que
Ei ⊂ Ek . Então a função distância d(y) = d(0, π◦ψ(y)) atinge um máximo em algum
x ∈ Ek − int(Ei ). Daı́ π ◦ ψ não é homeomorfismo local em qualquer vizinhança de
x, o que é uma contradição. Portanto não existem duas componentes Ci e Cj da
∂E 0 , com i 6= j.
2
Logo (π ◦ ψ)−1 (R2 − B r (0)) = E 0 é um disco perfurado em pj , o que conclui a
demonstração. Seja Vpi uma vizinhança de um fim pi tal que π ◦ψ|Vpi é uma aplicação de recobrimento. Seja ξ um vetor unitário de R3 tal que ξ ∈
/ {g(pi ) tal que pi é um fim de M }.
~ ξ ) será quase
Se escolhermos Vpi suficientemente pequeno, então o campo d(π ◦ ψ)(X
~ ξ não se anulará em Vp .
constante em π ◦ ψ(Vpi ). Em particular, X
i
~ ξ é
Considere γ ⊂ Vpi uma curva simples e fechada em torno de pi tal que X
tangente a γ apenas em um número finito de pontos. Sempre podemos obter γ com
essas propriedades fazendo-se eventualmente pequenas deformações em γ.
~ ξ ) é
Seja ne o números de pontos de γ onde a curva integral de d(π ◦ ψ)(X
(localmente) exterior a γ e ni o números de pontos de γ onde a curva integral do
campo de vetores é (localmente) interior a γ. Então o ı́ndice do campo vetorial é
dada por
IX~ ξ (p) =
2 + ni − ne
2
(Ver[5]).
Agora observe que para cada volta, o campo de vetores projetado é quase constante e tem ı́ndice 0 =
2+ni −ne
,
2
ou seja ni − ne = −2 para cada volta completa.
Observe que o tangenciamento externo (respectivamente interno) do fluxo de
~ ξ ) ao longo de α := π ◦ ψ(γ), corresponde ao tangenciamento interno
d(π ◦ ψ)(X
seção2.4
51
~ ξ . Conseqüentemente o ı́ndice
(respectivamente externo) ao longo de γ do fluxo de X
~ ξ , é dado por
de X
2 + 2I(p)
2 + ne − ni
=
= 1 + I(p),
2
2
IX~ ξ (p) =
(2.40)
pois para cada volta, ni − ne = −2, e neste caso temos I(p) voltas.
Teorema 2.20 Seja ψ : M − {p1 , ..., pk } → R3 uma superfı́cie mı́nima completa
com curvatura total finita, onde pi , 1 ≤ i ≤ k, são os fins de M . Então
χ(M ) =
k
X
(1 + I(pi )) − 2m,
(2.41)
i=1
onde m é o grau de g. A equação (2.41) é conhecida como a fórmula de Jorge-Meeks.
Demonstração: Podemos escolher um ponto ξ ∈ S 2 (1) tal que ele é valor
regular de gν com ξ fora do conjunto {gν (pi ) tal que pi é um fim de M }. Considere
~ ξ . Pelo teorema 1.40
o gradiente função altura X
χ(M ) =
k
X
X
(IX~ ξ (pi )) +
IX~ ξ (p).
p∈gν−1 ({ξ,−ξ})
i=1
~ ξ tem 2m singularidades em M , cada uma com ı́ndice −1 (veja a
Como X
proposição 2.18), temos que
X
IX~ ξ (p) = −2m.
(2.42)
p∈gν−1 ({ξ,−ξ})
Também por (2.40)
k
X
(IX~ ξ (pi )) =
i=1
k
X
1 + I(pi ).
i=1
De (2.42) e (2.43) resulta que
χ(M ) =
k
X
i=1
(1 + I(pi )) − 2m. (2.43)
seção2.4
52
Se ψ é um mergulho, então I(pi ) = 1, e por (2.41) temos que
χ(M ) = −2m + 2k,
(2.44)
onde k é o número de fins de ψ. Como
genus(M ) =
2 − χ(M )
,
2
segue de (2.44) que
genus(M ) =
2 − (−2m + 2k)
= 1 + m − k.
2
Portanto
deg(g) = m = genus(M ) + k − 1.
(2.45)
Capı́tulo 3
Superfı́cies mı́nimas completas
mergulhadas de genus zero
Nesta seção mostraremos o principal resultado deste trabalho que é um teorema
devido a Lopes e Ros: O Catenóide e o Plano são as únicas superfı́cies mergulhadas
com curvatura total finita e genus zero em R3 . (Vide [13]).
Recordemos alguns resultados básicos sobre superfı́cies mı́nimas completas de
curvatura total finita em R3 vistos anteriormente.
Do lema 2.11 considere ψ : M → R3 definindo uma superfı́cie mı́nima completa
orientável de curvatura total finita e não plana. Seja g uma função meromorfa e ω
e
uma-forma sobre M que determinam a representação de Weierstrass, isto é
Z ψ = Re
ω
ω
e
2 ie
, 1+g
, ge
ω .
1−g
2
2
2
(3.1)
Pelo teorema 2.15, M é conformamente equivalente a M − {p1 , ..., pn }, onde M
é uma superfı́cie de Riemann compacta, os pj correspondem aos fins de M e além
disso g e ω
e podem ser estendidas a uma função meromorfa em M . Sendo ψ um
mergulho, isto implica que os fins de M são paralelos e que cada fim é mergulhado.
Conseqüentemente a equação (2.45) é válida.
Por rotação podemos supor que g(pj ) = 0 ou ∞ para j = 1, ..., k.
Seja pj um fim de M . Podemos supor sem perda de generalidade que pj = 0.
53
seção3.0
54
Como pj é um fim mergulhado segue-se que
Z
Z
ω
e
1−g
2
2
e
1 + g2
ie
ω
2
(3.2)
tem pólo de ordem 1 em pj = 0.
Afirmação 1: Se g(pj ) = 0, então ω tem um pólo de ordem 2 Além disso g 2 ω
é holomorfa em pj e ω não tem resı́duo em pj .
Seja ω(z) = a−s z −s + a−(s−1) z −(s−1) + . . . em uma vizinhança de zero. Então
(1 − g 2 ) é holomorfa em uma vizinhança de 0 e
Z
1 − g2
ω
dz = d0 z −s+1 + d1 z −s+2 + ... ,
2
d0 6= 0.
Portanto s = 2, o que prova a afirmação 1.
Analogamente mostra-se a próxima afirmação.
Afirmação 2: Se g(pj ) = ∞, então g 2 ω tem um pólo de ordem 2 sem resı́duo
em pj e ω é holomorfa em pj .
Podemos assumir sem perda de generalidade que pj = 0 e g(pj ) = 0.
Considere g(z) = a0 z r + a1 z r−1 + ..., com a0 6= 0.
Afirmação 3: Se pj não é um ponto de ramificação de g, ou seja se r = 1,
então gω tem um pólo simples em pj com resı́duo real.
De fato, segue da afirmação 1 que k = 2. Daı́ r − k = −1 e gω tem um pólo
simples em pj . Além disso, como (3.1) está bem definido, então
Z
Re
gωdz = 0,
(3.3)
C
onde C é um caminho fechado contendo apenas pj em seu interior. Por outro lado
Z
Re
gωdz = Re(2πires(gω; pj )),
C
(3.4)
seção3.0
55
onde res(gω; pj ) é o resı́duo de gω em pj . De (3.3) e (3.4) resulta que res(gω; pj ) ∈ R,
o que mostra a afirmação.
Assim, gω(z) =
a−1
z
+ a0 + a1 z + a2 z 2 + ..., com a−1 ∈ R − {0}. Portanto
Z
z
gω(z)dz + c = a−1 log |z| + h1 (z)
h(z) = Re
(3.5)
z0
onde h1 (z) é uma função harmônica na vizinhança de 0 ∈ C e h1 (0) = 0. O número
real (−a−1 ) é chamado o crescimento logarı́tmico do fim pj .
Observação 3.1 Se pj é um ponto de ramificação de g, isto é r > 1, então segue
diretamente que gω é holomorfa em pj .
Assim,
Z
z
gω(z)dz = L ∈ R,
lim Re
z→pj
(3.6)
z0
isto é, o fim pj se aproxima do plano x3 = L em R3 .
Definição 3.2 Se pj está nas condições da afirmação 3, dizemos que pj é um fim
catenoidal. Caso contrário, pj é chamado de fim planar.
A partir de agora assuma que M é de genus zero, isto é, M = C. Portanto ω
e,
R
R
g2ω
e são exatas, ou seja, ω
e e g2ω
e independem do caminho.
Defina F =
R
ω
e
,
2
G=
R
g2 ω
e
,
2
R
η = F − G e h = Re ge
ω . Então a imersão ψ é
dada por
ψ(x) = (η(x), h(x)) ∈ C × R = R3
∀x ∈ M,
pois
ω
e − g2ω
e
= Re
2
ω
e
ω
e
ω
e
ie
ω
2
2
2
2
(1 − g ) −Im
(1 + g ) = Re
(1 − g ) +Re
(1 + g ) .
2
2
2
2
seção3.0
56
F (respectivamente G) tem pólos simples nos fins pj com g(pj ) = 0 (respectivamente g(pj ) = ∞) e ela é holomorfa nos outros pontos de C. De fato, se g(pj ) = 0,
podemos supor pj = 0. Pela afirmação 1, ω tem pólo de ordem 2 em pj sem resı́duo.
Daı́, localmente em 0, temos
ω(z) = a−2 z −2 + a0 + a1 z + a2 z 2 + ...,
e
Z
F =
ω
a−2 z −1 a0 z a1 z 2
dz = −
+
+
+ ....
2
4
2
4
Portanto F tem pólo simples no fim pj = 0. O outro caso é análogo.
Note que gω é holomorfa fora do conjunto dos fins catenoidais de M . Daı́ (3.5)
e (3.6) implicam que a coordenada h é não limitada somente nos fins catenoidais de
M.
Assumiremos o seguinte resultado, que pode ser encontrado em [10].
Teorema 3.3 (Princı́pio do máximo no infinito): Seja M1 e M2 superfı́cies mı́nimas
completas com curvatura total finita e fronteira compacta em R3 . Se dist(M1 , M2 ) =
0 então M1 ∩ M2 6= ∅.
3.1
Deformações de superfı́cies mı́nimas mergulhadas
Se λ > 0, podemos ver facilmente que a aplicação meromorfa gλ = λg e a 1forma ω
eλ = λ1 ω
e determinam, via representação de Weirstrass, uma imersão mı́nima
completa ψλ : M → R3 com cuvatura total finita.
Sendo ηλ = λ1 F − λG, então ψλ é dada por
ψλ (x) = (ηλ (x), h(x)) ∈ C × R ∀x ∈ M.
seção3.0
57
Note que gλ (pj ) ∈ {0, ∞}, j = 1, ..., k, e que cada fim pj de ψλ é mergulhado,
sendo do tipo catenoidal ou planar independentemente de λ.
Seja ψ : M → R3 uma superfı́cie mı́nima não plana, completa, mergulhada, de
genus zero e curvatura total finita, e ψλ : M → R3 , λ > 0 a deformação escrita
acima. Vamos mostrar que ψλ é um mergulho para todo λ > 0.
Lema 3.4 Dado x0 ∈ C e λ0 ∈ (0, ∞), existe uma vizinhança U de x0 em C e > 0
tal que, se | λ − λ0 |< então ψλ |U ∩M é injetora.
Demonstração. Se x0 ∈ M o resultado é óbvio.
Se x0 ∈ C − M é um fim de M , podemos assumir que x0 = 0 e que G tem um
pólo simples na origem. Daı́ existem uma vizinhanças D de x0 e I de λ0 tal que
G(x) =
a
+ G1 (x),
x
com a ∈ C − {0}, G1 e F são funções holomorfas definidas em D, e ηλ 6= 0 para
todo x ∈ D − {0} e λ ∈ I.
Então f : (D − {0}) × I → C, definida por
f (x, λ) =
1
1
= 1
ηλ
F (x) − λG1 (x) −
λ
λa
x
=
x
F (x)
λ
x
,
− λxG1 (x) − λa0
estende-se diferenciávelmente a D × I. Além disso,
fx =
x
F (x)
λ
F (x)
λ
− λxG1 (x) − λa0 − x
− λG1 (x) −
2
x F λ(x) − λxG1 (x) − λa0
−x
fx = x F λ(x)
∂F x
∂x λ
− λxG1 (x) − λa0
2
(x)
−x −xF
−
xG
(x)
−
a
1
0
λ2
fλ = 2 ,
x F λ(x) − λxG1 (x) − λa0
λxG01 (x)
seção3.0
58
e


v
df(0,λ0 ) (v, 0) = (fx (0, λ0 ), fx (0, λ0 ), fλ (0, λ0 ))  v  ,
0
(3.7)
o que implica
df(0,λ0 ) (v, 0) =
−v
.
λ0 a
(3.8)
Considere κ : D × I → C × R dado por
κ(x, λ) = (f (x, λ), λ).
Sendo x = x1 + ix2 e f = f1 + if2 temos que

J = dκ(0,λ0 ) = 
∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
0
0
∂f1
∂λ
∂f2
∂λ


−1
λ0 a
= 0
1
0
−1
λ0 a
∂f1
∂λ
∂f2
∂λ
0
1
0


devido a (3.8).
Portanto κ é injetiva U × I1 , onde U ⊂ D é uma vizinhança de 0 e I1 = (λ0 −
, λ0 + ), para algum > 0.
Para qualquer λ ∈ I1 fixo, temos que f (x, λ) é injetora em U . De fato, seja x1 ,
x2 ∈ U com f (x1 , λ) = f (x2 , λ). Então (f (x1 , λ), λ) = (f (x2 , λ), λ) = ψ1 (x, λ) =
ψ1 (x, λ), o que implica x1 = x2 , pois ψ1 é injetora em U × I1 .
ηλ |U é injetora para todo λ ∈ I1 . De fato, seja x1 , x2 ∈ U não nulos com
ηλ (x1 ) = ηλ (x2 ). Então
1
ηλ (x1 )
=
1
ηλ (x2 )
⇒ f (x1 , λ) = f (x2 , λ) o que implica x1 = x2 .
Portanto ηλ |U ∩M é injetora se |λ − λ0 | < . Estamos agora em condições de
concluir a demonstração do lema. Seja x1 , x2 ∈ U ∩ M e |λ − λ0 | < . Se ψλ (x1 ) =
ψλ (x2 ), então (ηλ (x1 ), h(x1 )) = (ηλ (x2 ), h(x2 )) e segue-se que ηλ (x1 ) = ηλ (x2 ). Daı́
x1 = x2 , pois ηλ |U ∩M é injetora. Portanto ψλ |U ∩M é injetora para |λ − λ0 | < . seção3.0
59
O lema seguinte juntamente com o princı́pio do máximo no infinito, tem um
papel importante na demonstração da proposição 3.6.
Lema 3.5 Seja pj ∈ C−M um fim de M, λ0 > 0 e {λn }n∈N ⊂ (0, ∞), {xn }n∈N ⊂ M
seqüências tais que λn → λ0 e xn → pj . Então existe uma seqüência {x0n }n∈N ⊂ M
satisfazendo x0n → pj e
|ψλn (xn ) − ψλ0 (x0n )| → 0.
Demonstração. Podemos assumir que pj = 0 e que G tem um pólo simples
neste ponto. A série de Laurent de gω em torno de pj é dado por gω(x) =
b
x
+ b0 +
b1 x + b2 x2 + ... com b ∈ R (eventualmente zero se o fim for planar). Então podemos
escolher uma vizinhança D da origem tal que em D − {0} temos
a
G(x) = + G1 (x) e h(x) = Re
x
Z
gωdx = b log |x| + h1 (x),
com a ∈ C − {0}, b ∈ R, G1 e F holomorfas e h1 harmônica em D.
Como G é invertı́vel perto da origem podemos considerar a seqüência x0n =
n)
G−1 λn G(x
.
λ0
Observe que x0n → 0 e λ0 G(x0n ) − λn G(xn ) = 0. Também temos que
ηλn (xn ) − ηλ0 (x0n ) =
1
1
F (xn ) − F (x0n ) → 0,
λn
λ0
pois F é holomorfa. Além disso, para n fixo temos que
a
λn a
λn
+ G1 (x0n ) =
+ G1 (xn ),
0
xn
λ0 x n λ0
o que implica
λn λn
xn
xn xn
0
+
G
(x
)
=
+
G
(x
)
.
1
1
n
n
x0n
a
λ0
λ0
a
Fazendo n → ∞ na equação acima, resulta que xx0n → 1. Finalmente temos que
n
xn h(xn ) − h(x0n ) = a−1 log 0 + h1 (xn ) − h1 (x0n ) → 0.
xn
Portanto ψλn (xn ) − ψλ0 (x0n ) → 0, como querı́amos demonstrar. seção3.0
60
Proposição 3.6 Seja ψ : M → R3 uma superfı́cie mı́nima completa mergulhada de
curvatura total finita e genus zero. Então ψλ é um mergulho para qualquer λ > 0.
Demonstração: Suponhamos por absurdo que existe um λ > 1 (o caso 0 < λ < 1
é análogo) tal que ψλ não é injetiva. Considere
λ0 = inf{λ > 1; ψλ
não é injetiva}.
Vamos analisar os seguintes casos:
(i) ψλ0 é injetiva.
Por definição de λ0 , existe uma seqüência {λn }n∈N ⊂ (0, ∞), {xn }n∈N e {yn }n∈N ⊂
M tal que
λn > λ 0 ,
λn → λ0 ,
xn 6= yn
e ψλn (xn ) = ψλn (yn ) ∀n ∈ N.
(3.9)
Sem perda de generalidade suponha que {xn } e {yn } tem limites em C, xn → x,
yn → y. Neste caso temos as seguintes situações:
a) Se x = y, então pelo lema 3.4, existe uma vizinhança U de x = y e N ∈ N tal
que
ψλn |U ∩M
é injetora para todo n ≥ N.
(3.10)
Mas temos xn 6= yn e
ψλn (xn ) = ψλn (yn ) ∀n ∈ N,
o que nos dá uma contradição.
b) x 6= y com x, y ∈ M contraria a injetividade de ψλ0 , pois
ψλ0 (x) = lim ψλn (xn ) = lim ψλn (yn ) = ψλ0 (y).
n→∞
n→∞
(3.11)
seção3.0
61
c) Se x ∈ M e y ∈ C − M , temos que
|ψλn (xn )| → |ψλ0 (x)| e |ψλn (yn )| → ∞,
o que é uma contradição com (3.9).
d) Finalmente se x e y são fins distintos de M , então pelo lema 3.5 podemos
construir seqüências {x0n }n∈N e {yn0 }n∈N ⊂ M com x0n → x e yn0 → y tal que
|ψλn (xn ) − ψλ0 (x0n )| → 0 e |ψλn (yn ) − ψλ0 (yn0 )| → 0.
Portanto
|ψλ0 (x0n ) − ψλ0 (yn0 )| → 0,
o que contraria o princı́pio do máximo no infinito. De a), b), c) e d) concluimos que
ψλ0 não pode ser injetiva.
(ii) ψλ0 não é injetiva.
Neste caso λ0 > 1 e ψλ é um mergulho para λ ∈ [1, λ0 ). Sejam z1 , z2 ∈ M com
z1 6= z2 tais que
q = ψλ0 (z1 ) = ψλ0 (z2 ).
Considere as vizinhanças Ui de zi , i = 1, 2, suficientemente pequenas tais que
ψλ0 |Uj é injetiva. Então ψλ0 (U1 ) não pode encontrar transversalmente ψλ0 (U2 ) em q,
pois a transversalidade é preservada por pequenas pertubações e ψλ é injetiva para
λ < λ0 . Pelo mesmo motivo acima ψλ0 (U1 ) deve estar “do mesmo lado” de ψλ0 (U2 ).
Então ψλ0 (U1 ) tangencia ψλ0 (U2 ) em q. Sejam ψu1 e ψu2 funções definidas em
um mesmo conjunto tal que ψλ0 (U1 ) e ψλ0 (U2 ) contém os gráficos de ψu1 e ψu2
respectivamente. Daı́ ψu1 , ψu2 e ψu1 − ψu2 satisfazem a equação das superfı́cies
mı́nimas (2.12), e o princı́pio do máximo forte é válido para ψu1 − ψu2 . Podemos
supor que ψu1 ≥ ψu2 . Então ψu1 − ψu2 assume o mı́nimo zero no interior do seu
seção3.0
62
domı́nio e ψu1 ≡ ψu2 em alguma vizinhança de q. Daı́ ψλ0 (U1 ) coincide localmente
com ψλ0 (U2 ) em q. Então concluimos que N = ψλ0 (M ) é uma superfı́cie mı́nima
completa mergulhada orientável em R3 de curvatura total finita, conformemente
equivalente a N − {q1 , ..., qs }, onde N é uma superfı́cie de Riemann compacta.
A aplicação
ψλ0 : M → N
é um recobrimento de Riemann pela proposição 1.24. Agora vamos mostrar que
tal recobrimento é finito. De fato suponhamos por absurdo que a cardinalidade de
ψλ−1
(y) é infinito. Então existe uma seqüência de elementos distintos {xn }n∈N , onde
0
xn ∈ ψλ−1
(y), tal que
0
lim xn = x ∈ C.
n→∞
Se x ∈ C − M então ψλ0 (x) = limn→∞ ψλ0 (xn ) = y, o que é uma contradição,
pois |ψλ0 (x)| = ∞.
Se x ∈ M , então ψλ0 (x) = limn→∞ ψλ0 (xn ) = y e x ∈ f −1 (y). Segue que qualquer
vizinhança Vx de x contém algum z 6= x ∈ f −1 (y). Daı́
ψλ0 : Vx → ψλ0 (Vx )
não é homeomorfismo, o que é uma contradição. Portanto ψλ0 : M → N é um
recobrimento de Riemann finito.
Seja V uma vizinhança distingüida de ψλ0 contendo um fim qj de N . Como
ψλ0 : M → N é um recobrimento de Riemann finito e conforme, então ψλ−1
(V )
0
é uma união finita de vizinhanças disjuntas Ui , onde cada Ui é isométrica a V .
Portanto podemos estender ψλ0 conformemente a pj ∈ U i e com isso ψλ0 se estende
conformemente a M , resultando num recobrimento
ψλ0 : M → N .
seção3.0
63
Como M é simplesmente conexo, então ψλ0 é um difeomorfismo conforme e ψλ0
é injetiva, o que é um absurdo.
De (i) e (ii) resulta que λ0 não pode ser finito, portanto ψλ é injetiva para todo
λ > 1, conseqüentemente um mergulho. 3.2
Resultado principal
Agora vamos mostrar que o plano e o catenóide são as únicas superfı́cies mı́nimas
mergulhadas com curvatura total finita e genus zero em R3 .
Observe que se x, y ∈ M são tais que F (x) 6= F (y) e λ ∈ (0, ∞) temos que
1
1
F (x) − λG(x) = F (y) − λG(y)
λ
λ
1
⇔
F (x) − F (y) = λ (G(x) − G(y))
λ
1
⇔ 2 F (x) − F (y) (F (x) − F (y)) = (F (x) − F (y)) (G(x) − G(y))
λ
|F (x) − F (y)|2
⇔
= (F (x) − F (y)) (G(x) − G(y)) .
(3.12)
λ2
ηλ (x) = ηλ (y) ⇔
Primeiramente demonstraremos uma versão fraca do teorema 3.8.
Lema 3.7 Seja ψ : M → R3 uma superfı́cie mı́nima mergulhada de curvatura
total finita e genus zero, com dois fins catenoidais (possivelmente com outros fins
planares). Então ela é o catenóide.
Demonstração: Após uma mudança de coordenadas holomorfa, podemos supor
que 0, ∞ ∈ C − M são os fins catenoidais de M . Então ge
ω tem um pólo simples
com resı́duo real em 0 e ∞ e sua série de Laurent em torno de z = 0 fica:
ge
ω (z) =
a
−1
z
+ a0 + a1 z + a2 z + ... dz,
2
a−1 ∈ R − {0}.
(3.13)
Observe que o seu raio de convergência é ∞, pois gω é holomorfa fora dos fins
catenoidais.
seção3.0
64
De modo análogo, temos que a série de Laurent em torno de z = ∞, após uma
mudança de coordenadas u = z −1 , fica
b−1
2
+ b0 + b1 u + b2 u + ... du,
ge
ω (u) =
u
Como du =
−dz
,
z2
b−1 ∈ R − {0}
então
ge
ω (z) =
b−1 b0
b1
b2
+ 2 + 3 + 4 + ... (−dz).
z
z
z
z
(3.14)
Igualando (3.13) e (3.14) temos que a−1 = −b−1 , ai = 0 para 0 ≤ i ≤ ∞ e bi = 0
para 0 ≤ i ≤ ∞. Portanto
Z
h = Re
ge
ω = b log |z|,
b ∈ R − {0}.
(3.15)
Agora para cada θ ∈ C defina a função meromorfa Sθ : C → C dada por
Sθ (x) = (F (x) − F (θx)) (G(x) − G(θx)) .
Afirmação: Sθ é uma função constante para cada θ ∈ C com |θ| = 1.
De fato, suponhamos por absurdo que Sθ não é uma função constante para algum
θ ∈ C com |θ| = 1. Então Sθ é sobrejetora, pois caso contrário existiria x ∈ C tal
que x não pertence a ψλ0 (C). Como a diferencial de uma função meromorfa sempre
preserva a orientação então grau de Sθ é igual a cardinalidade de S−1
θ (x) que é zero.
Absurdo pois Sθ não é constante. Portanto Sθ é sobrejetora, e existe x0 ∈ M − {θx0 }
com θx0 ∈ M tal que Sθ (x0 ) = R2 para algum R > 0. Fazendo
λ=
1
|F (x0 ) − F (θx0 )|
R
segue-se que
ψλ (x0 ) = ψλ (θx0 ).
De fato, como
ψλ (x0 ) = (ηλ (x0 ), h(x0 ))
seção3.0
65
basta mostrar que
ηλ (x0 ) = ηλ (θx0 ) e h(x0 ) = h(θx0 ).
(3.16)
Como
|F (x0 ) − F (θx0 )|2
= R2 = Sθ (x0 )
λ2
e por definição
Sθ (x0 ) = (F (x0 ) − F (θx0 )) (G(x0 ) − G(θx0 )) ,
segue da equação (3.12) que
ηλ (x0 ) = ηλ (θx0 ).
(3.17)
h(θx0 ) = b log |θx0 | = b log |θ||x0 | = b log |x0 | = h(x0 ),
(3.18)
Além disso
e de (3.17) e (3.18) resulta que (3.16) é válida. Portanto
ψλ (x0 ) = ψλ (θx0 ).
Como x0 6= θx0 então ψλ não é mergulho. O que é um absurdo e isto mostra a
afirmação.
Suponha que M tem um fim planar pj ∈ C. Podemos supor sem perda de
generalidade que g(pj ) = ∞ e que G tem um pólo simples em pj .
Portanto podemos escrever
G(z) =
c−1
+ c0 + c1 (z − pj ) + c2 (z − pj )2 + ... com c−1 6= 0
(z − pj )
Conseqüentemente
seção3.0
66
c−1
c−1
−
+ c1 [(z − pj ) − (θz − pj )] + ....
(z − pj ) (θz − pj )
G(z) − G(θz) =
(3.19)
Sabemos também que se g(pj ) = ∞, então F é holomorfa. Então F (z) − F (θz)
também é holomorfa. Com isso
Sθ (z) = (F (z) − F (θz))
c−1
c−1
−
+ h1 (z)
(z − pj ) (θz − pj )
(3.20)
onde h1 é analı́tica em z.
Por (3.20) podemos escolher um θ com |θ| = 1 tal que Sθ tem um pólo simples
em pj . Daı́ Sθ não seria constante para todo θ ∈ C com |θ| = 1, o que contradiz a
afirmação anterior. Então M não tem fim planar e com isso M tem precisamente
dois fins. Por (2.45) temos
deg(g) = genus(M ) + k − 1,
então deg(g) = 0 + 2 − 1 = 1.
Portanto pelo teorema (2.17), ψ : M → R3 é o catenóide, pois a superfı́cie de
Enneper não é mergulhada. Teorema 3.8 Seja ψ : M → R3 uma superfı́cie mı́nima completa não plana mergulhada de curvatura total finita e genus 0. Então ψ : M → R3 é o catenóide.
Demonstração: Temos que G, F são funções meromorfas em C. Considere a
equação
[G(x) − G(y)][F (x) − F (y)] = 1,
(x, y) ∈ C × C.
(3.21)
e y) = 0. De fato, sendo
A equação (3.21) dá origem a uma equação polinômial Q(x,
G : C → C uma função meromorfa, então
1. G(∞) = u ∈ C.
2. Sendo T (z) =
az+b
cz+d
uma transformação de Möebius tal que T (u) = 0, então
e = T ◦ G é uma função meromorfa e G(∞)
e
G
= 0.
seção3.0
67
e Considere Pj
3. Sejam z1 , ..., zk ∈ C os pólos distintos de G.
1
z−zj
a parte
e em zj , onde Pj são polinômios
principal do desenvolvimento de Laurent de G
em C, 1 ≤ j ≤ k. Assim a aplicação holomorfa
b
e
G(z)
= G(z)
−
k
X
Pj
j=1
1
z − zj
não tem pólos, e portanto é uma constante.
e é uma função racional.
4. Então G
5. Portanto G (e F ) são funções racionais e (3.21) dá origem a uma equação
e y) = 0.
algébrica Q(x,
e y). Do teorema 1.50, considere
Seja Q(x, y) uma componente irredutı́vel de Q(x,
Σ como sendo a superfı́cie de Riemann compacta associada a Q, ou seja,
Σ = {(x, y) ∈ C × C; Q(x, y) = 0}.
As funções
F (x), F (y), G(x), G(y) : Σ → C
são funções meromorfas, pois as projeções x, y : Σ → C são funções meromorfas.
Considere C ⊂ Σ o conjunto finito formado pelos pólos das seis funções acima e
pelos pontos de ramificações de x. Seja
M 0 = C − x(C) ⊂ M
e Σ0 = x−1 (M 0 ) .
Portanto x : Σ0 → M 0 é um recobrimento conforme finito e Σ0 , M 0 são superfı́cies
de Riemann compactas finitamente furadas. Além disso x, y, F (x), F (y), G(x),
G(y), h(x) e h(y) são funções com valores finitos em Σ0 . Mais ainda x (Σ0 ), y (Σ0 ) ⊂
M , pois se p ∈ Σ0 e x(p) ou y(p) é um fim de M , então F ou G teria um pólo em
x(p) ou y(p), daı́ p não pertence a Σ0 , o que seria um absurdo.
seção3.0
68
Segue diretamente de (3.21) que para cada p ∈ Σ0 tem-se
x(p) 6= y(p) e F (x(p)) 6= F (y(p)).
Afirmação: a função harmônica h(x) − h(y) não se anula em Σ0 , ou seja, ela
é positiva ou negativa.
De fato, supohamos por absurdo que existe p ∈ Σ0 tal que h(x(p)) = h(y(p)).
Faça
λ = |F (x(p)) − F (y(p))| > 0.
Como
F (x(p)) − F (y(p)) 2
= 1 = [G(x) − G(y)][F (x) − F (y)],
λ2
então (3.12) implica que
ηλ (x(p)) = ηλ (y(p)),
(3.22)
o que contradiz a proposição 3.6. Isto mostra a afirmação.
Pelo corolário 1.29 do teorema 1.27, Σ0 é um domı́nio parabólico. Daı́ a afirmação
anterior implica que h(y) = h(x) + c para algum c ∈ R − {0}. Em particular para
p, q ∈ Σ0 tal que x(p) = x(q), temos
h(y(q)) + c = h(x(q)) = h(x(p)) = h(y(p)) + c,
e portanto
h(y(p)) = h(y(q)).
(3.23)
Considere agora a função f : Σ0 → (0, ∞) dada por
f (p) = |F (x(p)) − F (y(p))|.
Sejam p, q em Σ0 com x(p) = x(q) e f (p) = f (q). Fazendo λ = f (p) = f (q)
temos
F (x(q)) − F (y(q)) 2 F (x(p)) − F (y(p)) 2 f (p)2
=
=
= 1,
λ
λ
f (p)2
seção3.0
69
e segue de (3.12) que
ηλ (x(p)) = ηλ (y(p)) e ηλ (x(q)) = ηλ (y(q)).
Como x(p) = x(q), então
ηλ (y(q)) = ηλ (y(p)).
De (3.23) temos h(y(p) = h(y(q)), o que implica
ψλ (y(p)) = ψλ (y(q)).
e da proposição (3.6) resulta que y(p) = y(q) e portanto p = q.
Dessa forma f é uma função contı́nua que separa os pontos nas fibras do recobrimento finito x : Σ0 → M 0 .
Agora vamos mostrar que qualquer fibra x−1 (a) com a ∈ M 0 possui um único
elemento. De fato, suponhamos por absurdo que x−1 (a) = {a1 , a2 }, com a1 6= a2 .
Observe que neste caso, todas as fibras terão dois elementos distintos. Como f
separa os pontos nas fibras do recobrimento finito x : Σ0 → M 0 , então f (a1 ) 6= f (a2 ).
Suponha f (a1 ) > f (a2 ).
Considere a curva γa1 ,a2 : [0, 1] → Σ0 , onde γa1 ,a2 (0) = a1 e γa1 ,a2 (1) = a2 .
Observe que x ◦ γa1 ,a2 é uma curva em M 0 tal que x ◦ γa1 ,a2 (0) = x ◦ γa1 ,a2 (1) = a.
O levantamento de x ◦ γa1 ,a2 em Σ0 , são duas curvas: γa1 ,a2 e γa2 ,a1 : [0, 1] → Σ0 , onde
γa2 ,a1 (0) = a2 e γa2 ,a1 (1) = a1 .
Seja % : [0, 1] → R dada por
%(t) = f (γa1 ,a2 (t)) − f (γa2 ,a1 (t)).
Observe que %(t) > 0 para todo t pois:
a) f separa fibras de x,
b) γa1 ,a2 (t) e γa2 ,a1 (t) estão na mesma fibra de x ◦ γa1 ,a2 (t),
seção3.0
70
c) f (a1 ) = f (γa1 ,a2 (0)) > f (a2 ) = f (γa2 ,a1 (0)).
Daı́ f (γa1 ,a2 (1)) > f (γa2 ,a1 (1)), então f (a2 ) > f (a1 ) o que é um absurdo. Portanto x−1 (a) 6= {a1 , a2 }.
Analogamente, mostra-se que x−1 (a) 6= {a1 , a2 , ..., an }, n ≥ 3. Portanto x−1 (a)
tem somente um elemento.
Daı́ x tem inversa, obviamente esta inversa é diferenciável, então x é um difeomorfismo conforme.
Portanto a extensão x : Σ → C não possui pontos de ramificação, conseqüentemente x : Σ → C também é um difeomorfismo conforme de grau um.
Trocando x por y, com a mesma idéia usada anteriormente, obtemos que a função
meromorfa y : Σ → C também é de grau um. Como os difeomorfismos conformes
entre esferas de Riemann são dados pelas transformações de Möbius, concluı́mos que
T = y ◦ x−1 : C → C
é uma transformação de Möbius que satisfaz
[G(x) − G ◦ T (x)][F (x) − F ◦ T (x)] = 1,
(3.24)
h ◦ T (x) = h(x) + c para cada x ∈ C,
(3.25)
e
onde c 6= 0. De (3.25) segue-se que T preserva o conjunto dos fins catenoidais. De
fato, seja x um fim catenoidal de M , e suponha x = 0. Então gw tem pólo simples
com resı́duo real e segue-se que
h(x) + c = a−1 log|x| + h1 (x).
(3.26)
Se T (x) não fosse fim catenoidal então gw seria holomorfa em T (x). Daı́
h(T (x)) = h2 (x),
(3.27)
seção3.0
71
onde h2 (x) é harmônica. Absurdo pois h(T (x)) = h(x) + c.
Também T n não pode ser a função identidade em C para nenhum n ∈ N.
De fato, se T n for identidade para algum n ∈ N, então
h(x) = h(T n (x)) = hT (T n−1 (x)) = h(T n−1 (x)) + c
= h(T n−2 (x)) + 2c = h(x) + nc, para todo x ∈ C.
Portanto
nc = 0 ⇒ c = 0
o que nos dá uma contradição.
Além disso, a superfı́cie mı́nima tem no máximo dois fins catenoidais. De fato
suponha por absurdo que z1 , ..., zj são fins catenoidais de M com j ≥ 3. Como T
preserva o conjunto dos fins catenoidais, então T n seria identidade nesse conjunto
para algum n ∈ N, (teoria de grupos de permutação). Mas três pontos determinam
uma aplicação de Möbius. Portanto T n seria a aplicação identidade, o que seria um
absurdo.
Por outro lado, ela tem no mı́nimo dois fins catenoidais. De fato suponha por
absurdo que ela tenha no máximo um fim catenoidal 0 ∈ C. Daı́ a função harmônica
h : C − {0} ≈ C → R seria limitada superiormente ou inferiormente. Portanto o
teorema de Liouville implica que f é constante, o que é uma contradição.
Pelos dois parágrafos anteriores, concluimos que a superfı́cie tem exatamente
dois fins catenoidais, e pelo lema 3.7, temos o desejado Bibliografia
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