Funções Borel-Mensuráveis:
Definição, Exemplos e Propriedades
Luis Antônio F. de Oliveira
Flavio Lima de Souza∗
UNESP - Universidade Estadual Paulista - Júlio de Mesquita Filho
Departamento de Matemática
15385-000, Ilha Solteira, SP
E-mail: [email protected], flavio90 [email protected]
RESUMO
Introdução:
Neste trabalho de Iniciação Cientı́fica serão focados algumas das contribuições mais importantes de Émile Borel (1871-1956) para a Teoria da Medida e Integração.
Resultados e Discusões
Dada uma classe não-vazia C de subconjuntos de Ω, podemos definir a σ-álgebra gerada por
C como a menor σ-álgebra que contém C que, coincide com a interseção de todas as σ-álgebras
que contém C. Isso significa que:
σ(C) = { B ⊆ Ω /B ∈ X, ∀ X σ-álgebra em Ω tal que C ⊆ X }.
Definição 1: Seja (X, τ ) um espaço topológico e G a coleção dos conjuntos abertos em Ω.
A σ-álgebra de Borel de Ω é σ(G). Os conjuntos B e σ(G) são chamados de conjuntos borelianos
em Ω.
Proposição 1: σ(C) é a menor σ-álgebra que contém C. Ou seja, valem as seguintes
condições:
(i) C ∈ σ(C).
(ii) Se A é uma σ-álgebra em Ω tal que C ∈ X, então σ(C)⊆ A.
Demonstração.
(i) Se B ∈ C então B pertence a toda σ-álgebra X tal que C ⊆ X, logo B ∈ σ(C).
(ii) Se B ∈ σ(C) e A é uma σ-álgebra em Ω tal que C ⊆ A, então B ∈ A, pela definição de σ(C).
Proposição 2:
(i) Todo intervalo é boreliano de R.
(ii) Se S é a coleção dos retângulos limitados de Rn (ou dos intervalos limitados de R) então
σ(S) é a σ-álgebra de Borel.
Demonstração.
(i) Cada intervalo em R é do tipo J = L, F ou L∩F, com L aberto e F fechado em R, logo J é
boreliano.
(ii) Seja S = J1 x ... x Jn um retângulo, onde cada Ji é um intervalo em R. Consideremos as
projeções:
pi : Rn → R, (x1 , ..., xn ) 7→ xi , temosS =
n
\
p−1
i (Ji ).
i=1
∗
Bolsista de Iniciação Cientı́fica - FAPESP
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Assim, para provar que S é boreliano, devemos provar que cada p−1
i (Ji ) é boreliano.
De fato, como Ji é do tipo L, F ou L∩F, L aberto e F fechado em R, então
−1
−1
−1
−1
−1
n
p−1
aberto e p−1
i (Ji ) = pi (L), pi (F ) ou pi (L) ∩ pi (F ), com pi (L)
i (F ) fechado em R .
Tn
−1
−1
n
Então pi (Ji ) é boreliano de R . Em consequência, S = i=1 pi (Ji ) também é boreliano.
Assim, provamos que S⊆ σ(G), onde G é a coleção dos abertos. Segue que σ(S) ⊆ σ(G),
pela proposição 1.
S
Além disso, todo aberto L de Rn é do tipo L= ∞
k=1 Sk , Sk ∈ S ⊆ σ(S), logo L ∈ σ(S),
portanto G ⊆ σ(S), donde σ(G) ⊆ σ(S), pela proposição 1.
Por fim, concluı́mos que σ(S) = σ(G).
Definição 2: Sejam Ω e Ω1 conjuntos e f: Ω → Ω1 uma função. Dada uma coleção C de
subconjuntos de Ω, temos:
f −1 C = f −1 (A)/A ∈ C
Proposição 3: Dada f: Ω → Rn , as seguintes afirmações são equivalentes:
(i) f é X-mensurável.
(ii) Para todo aberto N ⊆ Rn vale f −1 (N ) ∈ X.
(iii) Para toda função contı́nua φ : Rn → R a função composta φ ◦ f : Ω → R, x7→ φ(f (x)) é
X-mensurável.
Proposição 4: Seja X σ-álgebra em Ω. Então f: Ω → Rn é X-mensurável se, e somente se,
para todo boreliano B no Rn vale f −1 (B) ∈ X.
Demonstração.
Seja G a coleção dos abertos de Rn . Pela proposição 3, temos que f é X-mensurável se, e somente
se, para todo N ∈ G vale f −1 (N ) ∈ X.
Proposição 5: Seja Ω um espaço topológico. Toda função contı́nua f: Ω → Rm ou C é
Borel-mensurável (f é B-mensurável, sendo B a σ-álgebra de Borel).
Demonstração.
Temos que as funções são contı́nuas g: Ω → R, para as quais [g > r] é aberto, assim é boreliano
∀ r ∈ R.
Exemplos:
(i) Sejam Ω e Ω1 espaços topológicos. Uma função f: Ω → Ω1 é Borel-mensurável quando para
todo Y aberto em Ω1 f −1 (Y ) é boreliano.
(ii) Podemos mostrar que a composta de funções Borel-mensuráveis é Borel-mensurável.
Conclusão:
O objetivo deste trabalho foi introduzir os conceitos básicos de σ-álgebra de Borel e das funções
Borel-mensuráveis para que possamos estudar sua relação com a σ-álgebra de Lebesgue, pois
esta é o completamento da σ-álgebra de Borel. Logo, mostramos definições importantes da Teoria da Medida, como preparação para o estudo das funções Lebesgue-integráveis em Rn .
Palavras-chave: Teoria da Medida, σ-álgebra de Borel, Funções Borel-Mensuráveis.
Referências
[1] P.J.Fernandez, Medida e Integração, Rio de Janeiro-RJ, IMPA, Projeto Euclides, 1976.
[2] C.Isnard, Introdução á Medida e Integração - 1 ed.,Rio de Janeiro-RJ, IMPA, 2007.
[3] E. L. Lima, Curso de Análise, Vol. 1, IMPA, Projeto Euclides, 1989.
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