Calcular a mediana do conjunto descrito pela distribuição de
freqüências a seguir.
Xi
fi
0,0 |—— 2,0
15
2,0 |—— 4,0
25
4,0 |—— 6,0
16
6,0 |—— 8,0
34
8,0 |—— 10,0
10
Solução:
Sabendo-se que n é a somatória das fi, e, portanto, n =
15+25+16+34+10 = 100, pode-se determinar a posição central n/2
= 50. A classe que contém a posição central é 4,0 |–––– 6,0, já que sua
freqüência acumulada (fac = 56) é a primeira que é superior a n/2 =
50. Agora, basta aplicar a fórmula:
n

 100

 2 − fac _ ant 
 2 − 40 
Md = l inf + 
 .h = 4,0 + 
 .2 =
fi


 16 




10.2
= 4,0 +
= 5,25
16
Md = 5,25
3.4 Moda
A moda é o elemento que aparece com maior
freqüência em um conjunto, isto é, aquele que aparece mais vezes. Ao contrário da média e da mediana, a moda pode não ser única. Isto acontece quando dois ou mais elementos ocorrem com a mesma
freqüência.
Similarmente à média, há três fórmulas para se
calcular a moda, dependendo da maneira como os
dados são fornecidos: lista, dados tabulados ou distribuição de freqüências.
3.4.1 Cálculo da moda para uma lista
É muito simples determinar a moda: basta ordenar os elementos da lista e localizar o(s) elemento(s)
que aparece com maior freqüência.
Exemplo: Qual é a moda do conjunto
{5,3,7,1,5,2,9}
Solução: Neste caso, ordena-se o conjunto,
obtendo {1,2,3,5,5,7,9}. O elemento que
aparece o maior número de vezes – no caso,
o 5 – é a moda.
Observação: É possível que haja dois ou mais
elementos que ocorrem com a maior freqüência. Neste caso, o conjunto é chamado
14
bimodal (duas modas) ou multimodal (três
ou mais modas). No exemplo anterior, se
adicionarmos um elemento 9 ao conjunto,
este terá duas modas: 5 e 9. Por outro lado,
há conjuntos nos quais não existe valor
modal, isto é, nos quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. Estes conjuntos
são chamados de amodais.
(Extraído com modificações do AFRF-98) Os dados seguintes,
ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra
aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de
valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15,
15, 15, 16, 16, 18, 23
Determinar o preço modal.
Solução:
O preço modal corresponde à moda do conjunto, isto é, o elemento que
aparece o maior número de vezes: 8 (com 9 ocorrências)
3.4.2 Cálculo da moda para dados tabulados
Para se determinar a moda quando os dados vêm
dispostos em uma tabela, deve-se procurar qual elemento (Xi) tem a maior freqüência absoluta simples (fi).
Exemplo: Qual é a moda do conjunto descrito pela tabela a seguir?
Xi
fi
100
3
135
6
160
5
175
7
250
2
Solução: O elemento Xi com maior freqüência absoluta simples (fi) é 175 que aparece 7
vezes e corresponde à moda deste conjunto,
ou seja Mo = 175.
3.5.3 Cálculo da moda para distribuição de
freqüências
Na verdade, o cálculo da moda para uma distribuição de freqüências é apenas aproximado, haja
vista não sabermos exatamente como os dados estão
distribuídos dentro de cada classe. Se, por exemplo,
a classe modal (este conceito será explicado a seguir)
contém 1000 elementos, não sabemos se estes estão
concentrados no início, no meio ou no fim da classe.
Desta forma, os dois métodos descritos a seguir, Czuber e King, apenas fornecem uma estimativa do valor
da moda e não o seu valor exato. Prova disto é que
ambos os métodos, detalhados a seguir, normalmente
resultam em valores diferentes um do outro.
I. Método de Czuber
É o mais utilizado e deve ser escolhido quando a
questão não se especifica qual é o método. Leva em
conta as variações das classes vizinhas à classe modal
em relação à própria classe modal. Esta é definida
como sendo a classe que tem a maior freqüência simples (denominada freqüência modal). A moda, pela
fórmula de Czuber, é obtida pela expressão:
 ∆1 
Mo==/inf
linf++ 
.h
Mo
 ∆1 + ∆2 
Mo é a moda
/inf é o limite inferior da classe modal.
1 = diferença entre fi da classe modal e fi da
classe anterior à modal.
2 = diferença entre fi da classe modal e fi da
classe posterior à modal.
h é a amplitude da classe modal.
da própria classe modal. A moda, pela fórmula de
King, é obtida pela expressão:
 fpost 
Mo== /inf
linf + 
Mo
 .h
 fpost + fant 
Mo é a moda
/inf é o limite inferior da classe modal.
fant = fi da classe anterior à classe modal.
fpost = fi da classe posterior à classe modal.
h é a amplitude da classe mediana.
3.5 Médias geométrica e harmônica
Calcular a moda do conjunto descrito pela distribuição de
freqüências a seguir.
Xi
fi
0,0 |—— 2,0
15
2,0 |—— 4,0
25
4,0 |—— 6,0
16
6,0 |—— 8,0
34
8,0 |—— 10,0
28
Solução:
Calcular a moda do conjunto descrito pela distribuição de
freqüências a seguir.
Xi
fi
0,0 |—— 2,0
15
2,0 |—— 4,0
25
4,0 |—— 6,0
16
6,0 |—— 8,0
34
8,0 |—— 10,0
28
Solução:
O primeiro passo é a determinação da classe modal, aquela com maior
fi. Neste exemplo a classe modal é 6,0 |–––– 8,0, cuja freqüência modal
é 34. A classe anterior, 4,0 |–––– 6,0, tem freqüência igual a 16 e
a posterior, 8,0 |–––– 10,0, tem freqüência igual a 28. Passaremos à
aplicação da fórmula de Czuber:


34 − 16
 ∆1 
Mo = l inf + 
.h = 6,0 + 
 .2,0 =

 ∆1+ ∆2 
 (34 − 16 )+ (34 − 28 )
 18 
= 6,0 + 
.2 = 7,5
 18 + 6 
Resultando no valor da moda igual a 7,5.
O primeiro passo é a determinação da classe modal, aquela com maior
fi. Neste exemplo a classe modal é 6,0 |–––– 8,0, cuja freqüência modal
é 34. A classe anterior, 4,0 |–––– 6,0, tem freqüência igual a 16 e
a posterior, 8,0 |–––– 10,0, tem freqüência igual a 28. Passaremos à
aplicação da fórmula de King:
 fpost 
 28 
Mo = l inf + 
.h = 6,0 + 
.2 = 7,27

 28 + 16 
 fpost + fant 
Resultando no valor da moda igual a 7,27. Observe que este difere do
valor calculado com a utilização do método de Czuber.
Média Geométrica
A média geométrica ( Xg) de um conjunto de n
elementos é a raiz n-ésima do produto de todos os
elementos.
Xg == n X1.X2.....Xn
Exemplo: Calcular a média geométrica do
conjunto {1,3,9,27,81}
Solução:
II. Método de King
Xg = 5 1.3.9.27.81 = 5 59.049 = 9
É mais simples e somente deve ser escolhido
quando a questão pde especificamente a sua utilização. Leva em conta as freqüências das classes
vizinhas à classe modal, sem considerar a freqüência
Dica: a média geométrica de uma progressão
geométrica (P.G.) com um número ímpar de
elementos é o elemento central.
15
Média Harmônica
A média harmônica (Xh) de um conjunto de n elementos é o inverso da média aritmética dos inversos.
1
=
1
1
1
1
+
+
+ .... +
X1 X2 X3
Xn
n
n
=
1
1
1
1
+
+
+ .... +
X1 X2 X3
Xn
Xh =
Exemplo: Calcular a média harmônica do
conjunto {2, 3, 6}
Solução:
n
Xh =
=
1
1
1
1
+
+
+ .... +
X1 X2 X3
Xn
3
=
=3
1 1 1
+ +
2 3 6
3.6 Propriedades das medidas de posição
16
a) da Moda (Moda é o valor mais freqüente
numa série).
Não depender dos extremos de uma série.
Se somarmos ou subtrairmos um valor constante K a cada um dos elementos de um
série, a moda ficará somada ou subtraída
por essa constante.
Se multiplicarmos ou dividirmos um valor
constante K a cada um dos elementos de
um série, a moda ficará multiplicada ou
dividida por essa constante.
b) da Mediana (Mediana é o valor que ocupa a
posição central num rol).
Não depende dos extremos de uma série.
Se somarmos ou subtrairmos um valor constante K a cada um dos elementos de um
série, a mediana ficará somada ou subtraída
por essa constante.
Se multiplicarmos ou dividirmos um valor
constante K a cada um dos elementos de
um série, a mediana ficará multiplicada ou
dividida por essa constante.
c) das Médias (Média é o valor mais representativo de uma série).
Depende dos extremos de uma série.
Se somarmos ou subtrairmos um valor
constante K a cada um dos elementos de
um série, a média aritmética ficará somada
ou subtraída por essa constante.
Se multiplicarmos ou dividirmos um valor
constante K a cada um dos elementos de
um série, a média aritmética ficará multiplicada ou dividida por essa constante.
Média Geométrica usada em situações onde
os elementos de uma série formam uma PG.
Média Harmônica usada em situações onde
os elementos de uma série são inversamente
proporcionais.
Média Aritmética usada nas demais situações.
X ≥ Xg ≥ X h
Média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos.
Média Geométrica é a raiz enésima do produtório das variáveis.
Valores próximos entre os elementos de
uma série geram os valores das três médias
próximos e valores afastados geram os valores das três médias afastados.
A soma algébrica dos desvios tomados em
relação á média aritmética é igual a zero.
A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação á média aritmética é um
mínimo.
Válido para todas as medidas de posição
Todas medidas de posição apresentam a
mesma unidade das variáveis a que elas se
referem.
Gráficos Unimodais.
Curva Simétrica

=X
X=X
Curva Assimétrica à direita
Curva Assimétrica Positiva

>X
X>X
Curva Assimétrica à esquerda
Curva Assimétrica Negativa
Quartis para dados agrupados em classes
Basta utilizarmos as fórmulas
n

 4 − fac _ ant 
Q1 = linf + 
 .h
fi




 3n

 4 − fac _ ant 
Q3 = linf + 
 .h
fi




>X
>X
X
3.7 Separatrizes
Ainda que este tópico não esteja listado de maneira específica no programa do edital do concurso AFRF, ele será necessário para os próximos capítulos. As separatrizes – quartis, decis e percentis
– são medidas que dividem a série em partes iguais:
quatro, dez e cem, respectivamente. Os quartis são
especialmente importantes para a determinação do
grau de assimetria de um conjunto e serão estudados a seguir.
Sendo Q2, como dito anteriormente, igual à
mediana.
Calcule os quartis da tabela abaixo:
classes
freqüência = fi
Freqüência
acumulada
50 |—— 54
10
10
54 |—— 58
23
33
58 |—— 62
28
61
3.7.1 Quartis
62 |—— 66
20
81
Denominam-se quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. Desta
forma, há um total de 3 quartis (Q1 , Q2 e Q3) que
dividem a série em quatro partes iguais. O segundo
quartil corresponde à mediana, já que divide a série
em duas metades.
66 |—— 70
12
93
70 |—— 74
7
100
total
100
Quartis em dados não agrupados
Basta calcular a mediana da série que a divide
em duas sub-séries de mesmo tamanho e depois calcular as medianas de cada uma das subséries.
Exemplo: Calcule os quartis da série: {5, 1,
6, 9, 10, 13, 16}
Inicialmente, devemos ordenar a série: {1,
5, 6, 9, 10, 13, 16}
Como a série tem sete elementos, o quarto a
divide em duas partes iguais. Este elemento
é o {9} – correspondente à mediana ou ao
segundo quartil (Q2) – que divide a série em
duas sub-séries {1, 5, 6} e {10, 13, 16}.
Devemos agora calcular a mediana de cada
uma das sub-séries {1, 5, 6} e {10, 13, 16}
que são iguais ao primeiro e terceiro quartis respectivamente. São eles: 5 e 13. Logo
temos: Q1 = 5, Q2 = 9 e Q3 = 13.
Solução:
O primeiro quartil está na segunda classe, 54 |––––– 58, na qual reside
o 25º. elemento. Logo:
 100

 4 − 10 
15
Q1= 54 + 
 .4 = 54 + .4 = 56,61
23
23




Já o segundo quartil corresponde à mediana e está na terceira classe:
17
 300 33 
Q2 = 58 +  −  . 4 = 58 + . 4 = 60,43
28
 2 28 
E o terceiro quartil está na quarta classe, podendo ser calculado pela
fórmula:
15
 300 61 
Q 3 = 62 +  −  . 4 = 62 + . 4 = 65
20
 4 20 
17
37. (ICMS/MG/95) As alturas dos jogadores de basquete da Seleção
Brasileira são 1,98 m; 2,04 m; 2,06 m; 2,02 m e 2,05 m. A média de
altura dessa seleção, em m, é de:
a) 2,01
b) 2,02 c) 2,03
d) 2, 04
e) 2,05
38. (GDF/95) Os preços do m2 das últimas cinco obras realizadas por
uma instituição pública forma respectivamente: 800, 810, 810,
750 e 780 URV’s. Pode-se afirmar que a média dos preços do m2
obtido é
a) 780 b) 790����������������������������������������������������������
��������������������������������������
c) 800�����������������������������
���������
d) 810
39. (TTN/85) Assinale a alternativa correta, considerando a serie: 8,
5,14,10, 8 e 15
a) A média aritmética é 10 e a mediana é 12
b) A amplitude total é 7 e a moda é 8
c) A mediana é 9 e a amplitude total é 10
d) A média aritmética é 1 e a amplitude total é 7
e) A mediana é 12 e a amplitude total é 7
40. (GDF/95) os valores (em 1000 URV’s) de quinze imóveis situados
em uma determinada quadra são apresentados a seguir em ordem
crescente: 30, 32, 35, 38, 50, 58, 64, 78, 78, 80, 90, 112, 180, 240 e
333. Então, a mediana dos valores destes imóveis é:
a) 78����������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������
b) 79�������������������������������������������������������
�����������������������������������
c) 80����������������������������
��������
d) 100
41. (ICMS/MG/95) A mediana dos dados 1,5,2,11,9,3,7,6 é:
a) 3��������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������
b) 4,5�����������������������������������������������������������
����������������������������������������������
c) 5����������������������������������������
���������������������������
d) 5,5�������������������
������
e) 6
42. (ICMS/MG/95) Na série composta de nota de Estatística: 4, 5, 7, 8,
5, 5, 6, 8, 6. A média aritmética simples, a mediana e a moda são,
respectivamente:
a) 6, 5 e 4 b) 6, 6 e 5
c) 6, 6 e 6 d) 6, 5 e 5
e) 7, 6 e 5
43. (ICMS-MG/96) Dados os conjuntos de valores:
A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 9, 10}
B = {6, 7, 8, 9, 10, 11 12}
C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 8. 9, 9, 9, 9, 10}
Em relação a moda, afirmamos que:
I - A é unimodal, e a moda é 8.
II - B é unimodal, e a moda é 9.
III - C é bimodal, e as modas são 4 e 9.
Então, em relação as afirmativas, é correto dizer que:
a) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) somente I e II são verdadeiras.
d) somente I e III são verdadeiras.
e) somente II e III sã0 verdadeiras.
44. (ICMS/MG/95) Um supermercado tem 200 empregados, sendo
150 mulheres e 50 homens. A média salarial das mulheres é de
3 salários mínimos e a dos homens é de 5 salários mínimos. A
média salarial dos empregados desse supermercado, em salários
mínimos, é:
a) 3,1
b) 3,2 c) 3,3
d) 3,4
e) 3,5
18
45. (ICMS-MG/96) A estatura média dos sócios de um clube e 165
cm, sendo a dos homens 172 cm é a das mulheres 162 cm. A
porcentagem de mulheres no clube é de:
a) 62 %
b) 65 % c) 68 %
d) 70%
e) 72 %
Com base na situação descrita a seguir, responda às questões de 46
a 49.
A Empresa Cerrado distribui seus empregados nas faixas salariais
abaixo, em SM = salário mínimos:
1 —— 5 SM
15 empregados
5 —— 9 SM
40 empregados
9 —— 13 SM
10 empregados
13 —— 17 SM
5 empregados
Aproxime os resultados para duas casas decimais.
46. (GDF-SEA-IDR/93 ) O salário médio é:
a) 7,00
b) 7,20 c) 7,29
d) 8,00
47. (GDF-SEA-IDR/93 ) O salário mediano é:
a) 7,00
b) 6,71 c) 7,50
d) 8,00
48. (GDF-SEA-IDR/93 ) O salário modal é:
a) 6,71
b) 6,82
c) 7,00
d) 8,00
49. (GDF-SEA-IDR/93 ) A distribuição de salário é:
a) irregular b) simétrica
c) assimétrica à direita d) assimétrica à esquerda
Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir para
responder as questões 50 a 52
Peso (kg)
Freqüências Simples Absolutas
2 |—— 4
9
4 |—— 6
12
6 |—— 8
6
8 |—— 10
2
10 |—— 12
1
50. (TTN/94-manhã) A media aritmética da distribuição e igual a
a) 5,27 kg b) 5,24 kg
c) 5,21 kg
d) 5,19 kg e) 5,30 kg
51. ( TTN/94-manhã) A mediana da distribuição e igual a
a) 5,30 kg b) 5,00 kg
c) um valor inferior a 5 kg
d) 5,10 kg
e) 5,20 kg
52. ( TTN/94-manhã) A moda da distribuição
a.) coincide com o limite superior de um intervalo de classe
b.) coincide com o ponta médio de um intervalo de classe
c.) é maior do que a mediana e do que a media geométrica
d.) é um valor inferior a média aritmética e a mediana
e.) pertence a um intervalo de classe distinto do da média
aritmética