Alguns processos e procedimentos matemáticos pertinentes a atividade:
• Interpretação geométrica;
• Modelos matemáticos;
• Argumentação geométrica e numérica;
• Cálculos.
Objetivos:
• Analisar modelos matemáticos a partir de determinada imagem;
• Relacionar entre si dois ou mais sólidos geométricos, estabelecendo os
devidos cálculos procedentes dos modelos tridimensionais, tal como o
volume;
• Realizar cálculos por meio de algoritmos e/ou fórmulas.
leitura da imagem e, a seguir, analise os dois modelos matemáticos.
1) A figura representa parte dos escritos de Leonardo da Vinci sobre
determinada relação geométrica espacial. Realize a leitura da imagem e, a
seguir, analise os dois modelos matemáticos.
Modelos matemáticos espaciais
1ª etapa
2ª etapa
Agora responda:
A) Quantos e quais os sólidos que podemos visualizar na subdivisão
proposta por Leonardo da Vinci, na figura da 1ª etapa? Nomeio-os.
B) Investigando a 2ª etapa e, comparando-a com a 1ª etapa, descreva
uma ou mais relações que poderia(m) ser um provável objeto de estudo
de Leonardo da Vinci.
C) Investigue e descreva a disposição e a quantidade de vezes que se
fazem presentes pirâmides de base quadrangular e triangular, na
composição da grande pirâmide (1ª etapa).
Agora responda:
D) Dado que a aresta da base e a altura, de qualquer pirâmide
quadrangular, disposta no interior da grande pirâmide (1ª etapa), mede
sempre ½ da respectiva aresta e altura da pirâmide maior, atribua valores
para as arestas de uma destas pirâmides e proceda o cálculo do volume
de ambas. Qual a relação entre estes volumes?
E) Com base na quantidade de pirâmides triangulares dispostas no
interior da grande pirâmide e, no volume total ocupado pelas pirâmides
quadrangulares, o que podemos concluir quanto ao volume de uma
pirâmide triangular? Comprove sua conclusão por meio de cálculos.
F) Apresente por meio da escrita matemática e de desenhos o processo
de generalização da questão e, em seguida, relacione a pirâmide
quadrangular, cujas arestas são congruentes, com o tetraedro regular.
A) Quantos e quais os sólidos que podemos visualizar na subdivisão proposta por
Leonardo da Vinci, na figura da 1ª etapa? Nomeio-os.
1ª etapa
•
• prisma oblíquo
retangular
• prisma oblíquo
triangular
pirâmide quadrangular
• pirâmide triangular
B) Investigando a 2ª etapa e comparando-a com a 1ª etapa, descreva uma
ou mais relações que poderia(m) ser um provável objeto de estudo de
Leonardo da Vinci.
1ª etapa
F
2ª etapa
G
M
A
N
J
Provavelmente
Leonardo
queria estabelecer alguma
relação entre o volume das
duas pirâmides menores
(2ª etapa) com o volume da
grande pirâmide.
C) Investigue e descreva a disposição e a quantidade de vezes que se
fazem presentes pirâmides de base quadrangular e triangular, na
composição da grande pirâmide (1ª etapa).
6 pirâmides de base quadrada
4 pirâmides de base triangular
Agora responda:
D) Dado que a aresta da base e a altura de qualquer pirâmide
quadrangular, disposta no interior da grande pirâmide (1ª etapa), mede
sempre ½ da respectiva aresta e altura da pirâmide maior, atribua valores
para as arestas de uma destas pirâmides e proceda ao cálculo do volume
de ambas. Qual a relação entre estes volumes?
E) Com base na quantidade de pirâmides triangulares dispostas no
interior da grande pirâmide e no volume total ocupado pelas pirâmides
quadrangulares, o que podemos concluir quanto ao volume de uma
pirâmide triangular? Comprove sua conclusão por meio de cálculos.
F) Apresente por meio da escrita matemática e de desenhos o processo
de generalização da questão e, em seguida, relacione a pirâmide
quadrangular, cujas arestas são congruentes, com o tetraedro regular.
D) Dado que a aresta da base e a altura de qualquer pirâmide quadrangular,
disposta no interior da grande pirâmide (1ª etapa), mede sempre ½ da
respectiva aresta e altura da pirâmide maior, atribua valores para as arestas
de uma destas pirâmides e proceda o cálculo do volume de ambas. Qual a
relação entre estes volumes?
h
½h
½l
l
O volume da
pirâmide maior
é 8 vezes o volume
da pirâmide
quadrangular menor.
E) Com base na quantidade de pirâmides triangulares dispostas no interior da
grande pirâmide e no volume total ocupado pelas pirâmides quadrangulares, o que
podemos concluir quanto ao volume de uma pirâmide triangular? Comprove sua
conclusão por meio de cálculos.
Como o volume da pirâmide maior é 8 vezes o volume da pirâmide
menor (base quadrada), e no interior da grande pirâmide há 6
pirâmides quadrangulares chegamos a seguinte conclusão:
Formação da Pirâmide Maior
ou
F) Apresente por meio da escrita matemática e de desenhos o processo de
generalização da questão E e, em seguida, relacione a pirâmide
quadrangular, cujas arestas são congruentes, com o tetraedro regular.
Vamos indicar por “l ” a medida de cada
aresta, tanto da pirâmide de base
quadrangular, quanto o tetraedro
l
l
h
h=?
H=?
H
l
l
l
l