1. Categorias e functores
Definição 1.1. Uma categoria C é definida por:
• uma classe Ob(C) de objetos;
• para todo par X, Y ∈ Ob(C) um conjunto HomC (X, Y ) de morfismos; frequentemente um morfismo f ∈ HomC (X, Y ) é denotado por f : X → Y ;
• para toda tripla X, Y, Z ∈ Ob(C) uma função, dita composição:
◦ : HomC (X, Y ) × HomC (Y, Z) → HomC (X, Z)
tais que:
• dois conjuntos de morfismos associados a dois pares de objetos diferentes são
disjuntos;
• a composição é associativa: f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h quando os dois lados
forem definidos;
• para todo X ∈ Ob(C), existe um morfismo identidade idX ∈ HomC (X, X), ou
seja um morfismo tal que f ◦ idX = f e idX ◦ g = g quando estas composições
forem definidas.
Observação: O morfismo identidade é necessariamente único: aliás, sejam idX , id0X
duas identidades de X. Então idX ◦ id0X = idX e idX ◦ id0X = id0X , logo idX = id0X .
Definição 1.2. Um morfismo f : X → Y é dito isomorfismo se existir um morfismo
g : Y → X tal que g◦f = idX e f ◦g = idY . Dois objetos X, Y ∈ Ob(C) são isomorfos
se existir um isomorfismo entre eles.
Observação: Se f : X → Y for um isomorfismo, o isomorfismo g : Y → X que
verifica a definição é necessariamente único. Aliás, se g 0 for mais um, terı́amos
g 0 = g 0 ◦ f ◦ g = g. Portanto g se denota por f −1 , assim como f pode ser denotado
por g −1 .
É fácil conferir que a noção de isomorfismo define uma relação de equivalência na
classe dos objetos, que portanto fica dividida em classes de equivalência.
Definição 1.3. Uma categoria C 0 é dita subcategoria de C se:
• Ob(C 0 ) ⊂ Ob(C);
• HomC 0 (X, Y ) ⊂ HomC (X, Y ) para cada X, Y ∈ Ob(C 0 );
• a lei de composição em HomC 0 é a restrição da em HomC .
A subcategoria C 0 é dita cheia se HomC 0 (X, Y ) = HomC (X, Y ) para cada X, Y ∈
Ob(C 0 ).
Definição 1.4. Um functor F : C → D entre duas categorias é definido por:
• uma função F : Ob(C) → Ob(D);
• para cada X, Y ∈ Ob(C), uma função F : HomC (X, Y ) → HomD (F(X), F(Y ))
tais que, para cada X, Y, Z ∈ Ob(C) e f : X → Y , g : Y → Z:
- F(g ◦ f ) = F(g) ◦ F(f );
- F(idX ) = idF (X) .
1
2
Observação: Para toda categoria C existe um functor identidade IdC : C → C.
Frequentemente acontece que seja necessário considerar um functor que inverte
domı́nio e contradomı́nio dos morfismos, dito contravariante (por isso os functores
que acabamos de definir às vezes são ditos covariantes). Uma possibilidade consiste
em dar a mesma definição, só pedindo que a função que atua sobre os morfismos
seja definida por F : HomC (X, Y ) → HomD (F(Y ), F(X)). De fato se prefere uma
definição diferente, que vamos agora mostrar.
Definição 1.5. Seja C uma categoria. A categoria oposta C op é definida do jeito
seguinte:
• Ob(C op ) = Ob(C);
• para X, Y ∈ Ob(C), HomC op (X, Y ) := HomC (Y, X);
• para f ∈ HomC op (X, Y ) e g ∈ HomC op (Y, Z), ou seja f : Y → X e g :
Z → Y , a composição g ◦ f ∈ HomC op (X, Z) é definida como a composição
f ◦ g : Z → X em C.
Fica agora fácil definir um functor contravariante:
Definição 1.6. Um functor contravariante de C a D é um functor F : C op → D.
Duas categorias C e D são isomorfas quando existem dois functores F : C → D e
G : D → C tais que G ◦ F = IdC e F ◦ G = IdD . Ademais, precisaremos da definição
seguinte:
Definição 1.7. Um functor F : C → D é dito mergulho de categorias se é injetor entre os objetos e, para cada X, Y ∈ Ob(C), é injetor entre HomC (X, Y ) e
HomD (F(X), F(Y )). Se for também sobrejetor entre HomC (X, Y ) e HomD (F(X),
F(Y )) é dito mergulho cheio.
É fácil verificar que F é um isomorfismo (isto é existe um inverso G) se e somente
se é um mergulho cheio e é sobrejetor também entre os objetos. Isso significa que a
imagem de um mergulho genérico F : C → D é uma subcategoria de D isomorfa a
C, a qual é cheia se e somente se o mergulho é cheio.
Como os functores ligam duas categorias, podemos ligar dois functores graças à
noção seguinte.
Definição 1.8. Dados dois functores F, G : C → D, um morfismo de functores ou
transformação natural ou morfismo canônico ϕ : F → G é uma famı́lia de morfismos
em D:
ϕ(X) : F(X) → G(X)
para cada X ∈ Ob(C), tais que o diagrama seguinte seja comutativo para todo morfismo f : X → Y em C:
F(X)
F (f )
F(Y )
ϕ(X)
ϕ(Y )
/
/
G(X)
G(f )
G(Y ).
3
É fácil definir a composição de dois morfismos de functores, portanto os functores
entre duas categorias fixadas se tornam eles mesmos objetos de uma categoria. Em
particular, dois functores F, G : C → D são isomorfos quando existir dois morfismos
ϕ : F → G e ψ : G → F tais que ψ ◦ ϕ = idF e ϕ ◦ ψ = idG . Pode-se verificar que ϕ é
um isomorfismo se e somente se ϕ(X) é um isomorfismo em D para todo X ∈ Ob(C).
Graças a esta noção podemos definir duas categorias equivalentes quando existem
dois functors F : C → D e G : D → C tais que G ◦ F ∼ IdC e F ◦ G ∼ IdD : esta
definição é de fato bem mais útil da de isomorfismo de categorias, mas não vamos
precisar disso em seguida.
1.1. Exemplos significativos. Em seguidas trabalharemos com vários exemplos
de categorias e functores. Antes de tudo consideramos as categorias seguintes de
estruturas algébricas:
• Categoria Grp: Objetos: grupos. Morfismos: homomorfismos de grupos.
• Categoria GrpAb: Objetos: grupos abelianos. Morfismos: homomorfismos
de grupos (abelianos).
• Categoria R − Mod: Objetos: modules sobre um anel comutativo R marcado. Morfismos: morfismos de modules.
• ...
Reparamos que GrpAb é uma subcategoria cheia de Grp. Podemos construir vários
exemplos parecidos. Um exemplo ainda mais básico é o seguinte:
• Categoria Sets: Objetos: conjuntos. Morfismos: funções entre conjuntos.
Existem functores naturais Grp → Sets, GrpAb → Sets, . . . que associam a um
objeto do domı́nio o correspondente conjunto de elementos, esquecendo a estrutura algébrica, e a cada morfismo a correspondente função entre conjuntos. É fácil
verificar que se trata efetivamente de functores.
Como exemplo de transformação natural podemos considerar o bidual de um
espaço vetorial. Em particular, na categoria VectfK dos espaços vetoriais de dimensão finita sobre o corpo K, consideramos o functor ∗∗ : VectfK → VectfK que
associa a um espaço V o bidual V ∗∗ e a um morfismo f : V → W o correspondente
morfismo f ∗∗ : V ∗∗ → W ∗∗ . Há um isomorfismo de functores entre IdVectf e ∗∗
K
definido do jeito seguinte: dado um objeto V , temos de definir ϕ(V ) : V → V ∗∗ e
vamos defini-lo do jeito usual, ou seja v ∈ V → αv ∈ V ∗∗ onde αv (ξ) = ξ(v) para
todo ξ ∈ V ∗ . Pode-se verificar que se trata de um isomorfismo de functores.
Vamos agora introduzir várias categorias relacionadas à noção de espaço topológico, que serão fundamentais em seguida.
• Top é a categoria cujos objetos são os espaços topológicos e cujos morfismos
são as funções contı́nuas;
• Top+ é a categoria cujos objetos são os espaços topológicos com um ponto
marcado (X, x0 ) e cujos morfismos f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) são as funções
contı́nuas f : X → Y tais que f (x0 ) = y0 ;
• Topn é a categoria cujos objetos são as n-uplas de espaços topológicos (X, A1 ,
. . . , An−1 ) tais que An−1 ⊂ · · · ⊂ A1 ⊂ X e cujos morfismos f : (X, A1 , . . . ,
4
An−1 ) → (Y, B1 , . . . , Bn−1 ) são as funções contı́nuas f : X → Y tais que
f (Ai ) ⊂ Bi ;
• Top+
n é a categoria cujos objetos são as n-uplas de espaços topológicos com
ponto marcado (X, A1 , . . . , An−1 , x0 ) tais que x0 ∈ An−1 ⊂ · · · ⊂ A1 ⊂ X
e cujos morfismos f : (X, A1 , . . . , An−1 , x0 ) → (Y, B1 , . . . , Bn−1 , y0 ) são as
funções contı́nuas f : X → Y tais que f (Ai ) ⊂ Bi e f (x0 ) = y0 .
Há mergulhos cheios naturais:
Top ,→ Top+ ,→ Top2 ,→ Top+
2 ,→ · · ·
(1)
definidos do jeito seguinte:
− os mergulhos Top+
n ,→ Topn+1 são obtidos considerando o ponto marcado
como um subespaço;
− dado um espaço topológico X, definimos X+ := X t {∞}, sendo ∞ acrescentado como componente conexa separada; os mergulhos Topn ,→ Top+
n
são obtidos mandando (X, A1 , . . . , An−1 ) em (X+ , (A1 )+ , . . . , (An−1 )+ , ∞) e
pedindo que a imagem de um morfismo mande ∞ em ∞.1
Deste jeito fica definida a composição Topn ,→ Topn+1 . Esta poderia também ser
definida através do mergulho:
(2)
Topn ,→ Topn+1 ,
(X, A1 , . . . , An−1 ) → (X, A1 , . . . , An−1 , ∅),
atuando como a identidade sobre os morfismos. Do mesmo jeito podemos definir:
(3)
+
Top+
n ,→ Topn+1 ,
(X, A1 , . . . , An−1 , x0 ) → (X, A1 , . . . , An−1 , {x0 }, x0 ).
+
Existem também functores Topn+1 → Topn e Top+
n+1 → Topn que atuam esquecendo
o subespaço menor. Estes functores são inversos a esquerda de (2) e (3). Enfim,
existe um functor Top+
n → Topn que esquece o ponto marcado, o qual não é inverso
nem a esquerda nem a direita do mergulho Topn ,→ Top+
n.
+
Para nós os casos mais significativos serão Top, Top , Top2 . Às vezes precisaremos
de Top+
2 e Top3 , mas raramente. Usaremos também várias outras categorias de
espaços topológicos, que introduziremos mais adiante.
2. Homotopia: noções fundamentais
A topologia geral, conforme a definição de geometria de Klein, consiste no estudo das propriedades de um espaço invariantes por homeomorfismo, ou seja por
deformação contı́nua. Todavia, em várias circunstâncias se revela mais útil estudar
propriedades invariantes por homotopia, isto é por deformações não necessariamente
bijetoras que “mantenham a forma” do espaço, mesmo esmagando ou esticando uns
trechos. O capı́tulo 0 de [1] explica muito claramente o significado geométrico da
1Destacamos
que consideramos X+ , não a compactificação a um ponto X + , mesmo para X não
compacto. Isso porque Hn (X) ' Hn (X+ , ∞) enquanto isso não acontece com X + . Por exemplo,
H1 (R; Z) ' H1 (R+ , ∞; Z) = 0 enquanto H1 (R+ , ∞; Z) ' H̃1 (S 1 ; Z) ' Z. Ademais, para que
Top+
n ,→ Topn+1 seja realmente um mergulho temos que marcar o ponto {∞} e usar sempre o
mesmo; por exemplo, podemos escolher {∞} = {0}. Deste jeito, toda vez que um espaço contém
{0} como componente conexa e ponto marcado fica na imagem do mergulho.
5
homotopia. Vamos agora mostrar as definições precisas.
Notação: Daqui por diante denotamos por I o intervalo [0, 1] com a topologia euclidiana.
Vamos antes de tudo definir quando duas funções são homotópicas. Intuitivamente
significa que é possı́vel deslocar com continuidade o gráfico da primeira até sobrepôlo ao da segunda.
Definição 2.1. Sejam f, g : X → Y duas funções contı́nuas. Uma homotopia entre
f e g é uma função contı́nua F : X × I → Y tal que F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x)
para todo x ∈ X. Se existir uma homotopia, f e g são ditas homotópicas.
Exemplos:
• Se f e g forem constantes com imagens p, q ∈ Y , são homotópicas se e
somente se p e q pertencem à mesma componente conexa por caminhos de
Y . Aliás, se ϕ : I → Y for um caminho que junta p e q, podemos considerar
a homotopia F (x, t) = ϕ(t). Viceversa, se F for uma homotopia entre f e g,
para qualquer x0 ∈ X fixado, o caminho ϕ(t) := F (x0 , t) junta p e q.
• Sejam X = S 1 e Y = R2 . Sejam f o mergulho S 1 ⊂ R2 e g a função constante
0. f e g são homotópicas, sendo F (x, t) = (1 − t)f (x) uma homotopia.
• Consideremos o exemplo precedente, mudando somente Y = R2 \ {( 12 , 0)}.
f e g não são homotópicas. Para prova-lo rigorosamente com poucas contas
precisamos de ferramentas que introduziremos em seguida, todavia podemos
imaginar que qualquer homotopia entre f e g teria necessariamente de passar
por ( 12 , 0), que não pertence a Y .
Há muitos exemplos possı́veis, mas trata-se sempre do mesmo princı́pio.
Notação: Em seguida, denotamos por f ∼ g o fato que f seja homotópica a g e
por F : f ∼ g uma homotopia.
Observação: A relação de homotopia entre funções de X a Y é uma relação de
equivalência. Aliás, é imediato verificar as propriedades reflexiva e simétrica. Para
a transitiva, sejam F : f ∼ g e G : g ∼ h. Definimos H : f ∼ h do jeito seguinte:
F (x, 2t)
0 ≤ t ≤ 21
H(x, t) =
G(x, 2t − 1) 21 ≤ t ≤ 1.
H é bem definida pois F (x, 1) = G(x, 0) = g(x) e é contı́nua pois {X × [0, 21 ], X ×
[ 21 , 1]} é uma cobertura fechada finita de X×I. Por isso, dada uma função f : X → Y
é bem definida a sua classe de homotopia [f ].
Sejam f, f 0 : X → Y e g, g 0 : Y → Z funções contı́nuas. É fácil verificar que,
se f ∼ f 0 e g ∼ g 0 , então g ◦ f ∼ g 0 ◦ f 0 : aliás, se F : f ∼ f 0 e G : g ∼ g 0
forem duas homotopias, podemos definir uma homotopia H : g ◦ f ∼ g 0 ◦ f 0 por
H(x, t) = G(F (x, t), t). Portanto, podemos definir a categoria seguinte:
6
• Categoria TopH: Objetos: espaços topológicos. Morfismos: classes de
homotopia de funções contı́nuas.
Os objetos de TopH coincidem com os de Top, os morfismos de TopH são o quociente
dos de Top por homotopia.
A noção de homotopia pode ser facilmente generalizada às categorias Topn e Top+
n.
Em particular, dados dois morfismos f, g : (X, A1 , . . . , An−1 ) → (Y, B1 , . . . , Bn−1 )
em Topn , uma homotopia entre eles é uma função contı́nua F : (X × I, A1 ×
I, . . . , An−1 × I) → (Y, B1 , . . . , Bn−1 ) tal que F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x). Para
as categorias Top+
n , a definição é a mesma considerando o ponto marcado um subespaço.2 Consideremos em particular a categoria Top+ : neste caso uma homotopia
entre f, g : (X, x0 ) → (Y, y0 ) é uma homotopia F : f ∼ g tal que F (x0 , t) = y0 para
todo t ∈ I. Também nestas categorias a existência de uma homotopia é uma relação
de equivalência no conjunto dos morfismos entre dois objetos fixados. Ademais, a
composição de classes de equivalência continua sendo bem definida. Portanto, quocientando os morfismos por homotopia, ficam bem definidas as categorias seguintes:
TopH ,→ TopH+ ,→ TopH2 ,→ TopH+
2 ,→ · · · .
Dados dois morfismos na categoria Topn ou Top+
n , pode acontecer que sejam homotópicos na categoria Top, ou seja esquecendo os subespaços e os pontos marcados,
mas não na categoria considerada (ou também em uma categoria Topm ou Top+
m com
m < n mas não em Topn ou Top+
).
Por
exemplo:
n
− Na categoria Top2 , consideremos os morfismos f, g : (I, ∂I) → (R2 \{0}, (R×
{0}) \ {0}) definidos do jeito seguinte: f manda I no semicı́rculo superior de
S 1 e g no inferior. Não existem homotopias em Top2 , pois, se os extremos
ficarem no eixo x, qualquer homotopia tem de passar pela origem, o que
não é possı́vel. Todavia, f e g são homotópicas em Top, como é fácil verificar. Se considerássemos o contradomı́nio (R2 , R × {0}), então f e g seriam
homotópicas também em Top2 .
− Na categoria Top+ , como domı́nio consideramos (S 1 , ∗), sendo ∗ um ponto
marcado qualquer. Como contradomı́nio, consideramos o espaço seguinte:
pegamos um cilindro S 1 ×I, e identificamos os pontos (∗, 0) e (∗, 1): obtemos
um meio toro com dois pontos identificados. Seja f a função que manda
(S 1 , ∗) em (S 1 ×{0}, ∗×0) e g a função que manda (S 1 , ∗) em (S 1 ×{1}, ∗×1).
Então f e g são homotópicas em Top, mas nenhuma homotopia respeita os
pontos marcados.
2.1. Homotopia relativa.
Definição 2.2. Sejam A ⊂ X um subespaço e f, g : X → Y duas funções contı́nuas
tais que f |A = g|A . Uma homotopia relativa a A entre f e g é uma homotopia
F : f ∼ g tal que F (a, t) = f (a) = g(a) para todo a ∈ A.
2Neste caso,
se (X, A1 , . . . , An−1 , x0 ) ∈ Ob(Top+
n ), o objeto (X ×I, A1 ×I, . . . , An−1 ×I, {x0 }×I)
não pertence a Top+
n e sim a Topn+1 , todavia isso não constitui um problema pois a definição de
homotopia fica válida entre dois objetos de Top+
n.
7
Obtemos portanto uma noção mais restritiva de homotopia. Podemos considerar
um exemplo parecido ao precedente. Sejam X = I, Y = R2 \ {0}, f e g as funções
que mandam I no semicı́rculo superior e inferior de S 1 . Seja A = ∂I. Neste caso f e
g não são homotópicas relativamente a A, embora sejam homotópicas. Se Y = R2 ,
então f e g são homotópicas também relativamente a A. Dados dois morfismos
f, g : (X, A) → (Y, B), podemos considerar a relação de homotopia relativa a A
(esta relação só pode ser satisfeita se f |A = g|A ). De novo obtemos uma relação de
equivalência bem definida por composição, portanto podemos quocientar os morfismos de pares de espaços a respeito da homotopia relativa obtendo a categoria:
• Categoria TopHR: Objetos: pares de espaços topológicos (X, A) (onde
A ⊂ X). Morfismos de (X, A) a (Y, B): classes de homotopia relativa a A
de funções contı́nuas f : (X, A) → (Y, B).
Na verdade para definir a homotopia relativa a A não precisamos marcar um subespaço B do contradomı́nio. Neste caso, na categoria TopHR, consideramos como
contradomı́nio o par (Y, Y ). No caso de um ponto marcado considerar a homotopia
relativa não acrescenta nada, pois uma homotopia que mande um ponto marcado em
um ponto marcado é necessariamente uma homotopia relativa ao ponto do domı́nio.
Podemos generalizar a definição a TopHRn e TopHR+
n do jeito seguinte. Um objeto de TopHRn é uma (n + 1)-upla (X, A1 , . . . , An−1 , A) onde (X, A1 , . . . , An−1 ) ∈
Ob(Topn ) e A ⊂ X. Os morfismos de (X, A1 , . . . , An−1 , A) a (Y, B1 , . . . , Bn−1 , B)
são classes de homotopia relativa a A de morfismos em Topn (portanto f (Ai ) ⊂ Bi
para todo i) tais que f (A) ⊂ B. Mesma construção para TopHR+
n.
Já mostramos como, dados dois morfismos f, g : (X, A) → (Y, B) em Top2 , estes
podemos ser homotópicos em Top mas não em Top2 . Agora mostramos que f e g
podem ser homotópicos em Top2 (portanto também em Top) sem serem homotópicos
relativamente a A.
Exemplo 1: Pode-se achar um exemplo imediato quando f |A 6= g|A . Consideremos
os morfismos f, g : (I, ∂I) → (R2 , R × {0}) definidos do jeito seguinte: f manda I
no semicı́rculo superior de S 1 e g no inferior de 2S 1 , sendo 2S 1 o cı́rculo de raio 2.
Neste caso f e g são homotópicos em Top2 , mas não podem ser relativamente a ∂I
pois as duas imagens de ∂I são diferentes.
Exemplo 2: Mais interessante, mas também muito simples, é mostrar um caso no
qual f |A = g|A , mas mesmo assim f e g não são homotópicos relativamente a A apesar de serem em Top2 . Consideremos os morfismos f, g : (I, ∂I) → (R2 \{0}, R2 \{0})
definidos do jeito seguinte: f manda I no semicı́rculo superior de S 1 e g no inferior.
Neste caso f e g são homotópicos em Top2 (pois são em Top e o subespaço do contradomı́nio é trivial), mas não são relativamente a ∂I pois uma tal homotopia teria
de passar pela origem. Poderı́amos também considerar um qualquer subespaço B
do contradomı́nio que contenha uma vizinhança do eixo x sem a origem.
Portanto, dados f, g : (X, A) → (Y, B) temos:
homotópicos relA ⇒ homotópicos em Top2 ⇒ homotópicos em Top,
8
sendo as duas implicações não invertı́veis. Para f, g : (X, x0 ) → (Y, y0 ) temos:
homotópicos relx0 ⇔ homotópicos em Top+ ⇒ homotópicos em Top,
sendo a segunda implicação não invertı́vel. Temos portanto o diagrama de categorias
seguinte:
Top 
TopH /

TopHR 
/
/
Top+ 
TopH+ /

TopHR+ 
/
/
Top2 
TopH2 /

TopHR2 
/
/
Top+
2

TopH+
2

TopHR+
2

/
/
···
/
···
··· .
Os functores verticais entre as duas primeiras linhas são definidos como a identidade sobre os objetos e a projeção ao quociente sobre os morfismos. Os functores
verticais entre a segunda e a terceira linha são definidos por (X, A1 , . . . , An ) →
(X, A1 , . . . , An , ∅) sobre os objetos e como a identidade entre os morfismos (mesma
construção quando houver um ponto marcado). Há também um morfismo TopHR →
TopH2 , definido como a identidade sobre os objetos e o mergulho natural entre os
morfismos, pois uma homotopia relativa entre (X, A) e (Y, B) é em particular uma
homotopia de pares. Isso não vale em grau maior pois, considerando por exemplo
um objeto (X, A1 , A) de TopHR2 , não é necessário que A ⊂ A1 , portanto em geral
não é um objeto de TopH3 .
2.2. Equivalência homotópica de espaços. Por enquanto estudamos relações
de equivalência entre morfismos, agora vamos estudar as relações naturais entre
objetos. Dois espaços topológicos são ditos homeomorfos quando forem isomorfos
na categoria Top. Analogamente, dois espaços têm o mesmo tipo de homotopia
ou são homotopicamente equivalentes quando forem isomorfos na categoria TopH.
Portanto, a definição explı́cita é a seguinte:
Definição 2.3. Dois espaços topológicos X e Y têm o mesmo tipo de homotopia ou
são homotopicamente equivalentes se e somente se existem duas funções contı́nuas
f : X → Y e g : Y → X tais que g ◦ f ∼ idX e f ◦ g ∼ idY . Neste caso quer a
função f quer a função g são ditas equivalências homotópicas entre X e Y .
A relações g ◦ f ∼ idX e f ◦ g ∼ idY podem ser expressas a respeito das classes
de homotopia na forma [g] ◦ [f ] = [idX ] e [f ] ◦ [g] = [idY ], o que mostra que [f ] e [g]
são isomorfismos na categoria TopH.
Intuitivamente dois espaços homotopicamente equivalentes têm “a mesma forma”
a menos de esmagar o puxar com continuidade umas partes do espaço. Vamos
mostrar uns exemplos:
− Rn é homotopicamente equivalente a um ponto. Aliás, consideremos as duas
funções f : {∗} → Rn , f (∗) = 0, e a única possı́vel g : Rn → {∗}. Temos
que g ◦ f = id{∗} , portanto nesta direção nem precisamos de uma homotopia.
Ademais, f ◦g : Rn → Rn é a função constante f ◦g(x) = 0, que é homotópica
9
a idRn através da homotopia F (x, t) = (1 − t)x. Intuitivamente, imaginamos
de esmagar Rn na origem de um jeito contı́nuo, ou de puxar a origem até
estica-la a Rn todo: por isso o espaço todo e a origem são homotopicamente
equivalentes.
− Um cilindro é homotopicamente equivalente a um cı́rculo. Sendo o cilindro S 1 × R e sendo R homotopicamente equivalente a um ponto, temos o
resultado. Intuitivamente, imaginamos o cilindro em posição vertical, escolhemos uma seção horizontal que determina um cı́rculo e imaginamos de
esmagar com continuidade o cilindro sobre o cı́rculo, ou de puxar o cı́rculo
esticando-o até formar um cilindro.
− S 1 e um ponto não são homotopicamente equivalentes. Para prova-lo rigorosamente precisamos do grupo fundamental, todavia pode-se intuir que não é
possı́vel esmagar o cı́rculo sobre um ponto sem sair do cı́rculo mesmo: não
é permitido esmagar em R2 , só puxando se podem criar novos pontos fora
do espaço, pois nesse caso a operação toda fica contida no espaço maior que
se obtém. Se poderia puxar o cı́rculo em R2 enchendo a bola sem a origem,
mas encher a origem é uma operação cuja inversa não é contı́nua: as várias
direções de aproximação bateriam na origem e, para achar uma homotopia
contrária, seria necessário rasgar a bola puxando da origem em todas as
direções. Viceversa, puxando um ponto se obtém uma bola, mas para chegar
a S 1 seria preciso furar a bola, o que não é uma operação contı́nua.
− Sejam X o cilindro S 1 ×R e Y a união de S 1 e as duas semirretas contidas no
eixo x definidas por x ≥ 1 e x ≤ −1. Neste caso X e Y são homotopicamente
equivalentes: aliás, em X podem-se esmagar as duas semirretas nos pontos
(1, 0) e (−1, 0) obtendo S 1 ; ademais Y pode ser esmagado em S 1 , portanto
quer X quer Y são homotopicamente equivalentes a S 1 . Como a equivalência
homotópica é uma relação de equivalência, obtemos a tese. Formalmente,
podemos considerar as duas funções f : X → Y , que projeta X sobre S 1 e
mergulha S 1 em S 1 × R, e g : Y → X que projeta S 1 × R em S 1 e mergulha
S 1 em X. Neste caso, g ◦ f é a função que projeta X sobre S 1 , a qual
é homotópica a idX como pode-se verificar contraindo as duas semirretas
com continuidade. Viceversa, f ◦ g é a projeção do cilindro sobre S 1 , que
é homotópica a idY como pode-se verificar esmagando com continuidade o
cilindro sobre S 1 .
Os espaços do mesmo tipo de homotopia de um ponto, por exemplo Rn , merecem
um nome especı́fico:
Definição 2.4. Um espaço é dito contrátil quando for homotopicamente equivalente
a um ponto.
Podemos facilmente estender a noção de equivalência homotópica às categorias
Topn e Top+
n . Por exemplo, dois pares (X, A) e (Y, B) têm o mesmo tipo de homotopia quando são equivalentes em TopH2 , ou seja quando existirem duas funções
f : (X, A) → (Y, B) e g : (Y, B) → (X, A) tais que g◦f ∼ id(X,A) e f ◦g ∼ id(Y,B) . Os
pares (X, A) e (Y, B) são isomorfos em TopHR quando existem f : (X, A) → (Y, B)
e g : (Y, B) → (X, A) tais que g ◦ f ∼A idX e f ◦ g ∼B idY . Em particular, isso
10
implica que f |A : A → B e g|B : B → A sejam homeomorfismos. Dois espaços
com ponto marcado (X, x0 ) e (Y, y0 ) têm o mesmo tipo de homotopia quando são
isomorfos em TopH+ , e assim por diante.
Destacamos um fato importante: o número de componentes conexas por caminhos
é invariante por equivalência homotópica. Na verdade podemos dizer mais. Dado
um espaço topológico X, chamamos de π0 (X) o conjunto das componentes conexas
por caminhos de X. Vamos agora mostrar que uma função contı́nua f : X → Y
induz uma função f∗ : π0 (X) → π0 (Y ), definida por f∗ [x] = [f (x)]. Aliás, sejam
x0 , x1 ∈ X pertencentes à mesma componente. Então existe um caminho ϕ : I → X
tal que ϕ(0) = x0 e ϕ(1) = x1 . É claro que o caminho f ◦ ϕ : I → Y liga f (x0 )
e f (x1 ), os quais pertencem portanto à mesma componente de Y . Por isso f∗ fica
bem definida. Ademais, é imediato verificar que, dadas f : X → Y e g : Y → Z,
temos (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ . Enfim, (idX )∗ = idπ0 (X) . Por isso, obtemos um functor:
π0 : Top → Sets.
Suponhamos agora que f, g : X → Y sejam homotópicas. Mostramos que então
f∗ = g∗ . Aliás, seja F : f ∼ g uma homotopia e seja x ∈ X. Então o caminho
ϕ(t) = F (x, t) liga f (x) e g(x), os quais pertencem portanto à mesma componente
de Y . Por isso, podemos refinar o functor precedente ao seguinte:
π0 : TopH → Sets.
Agora é fácil provar que o número de componentes é invariante por equivalência homotópica: sejam f : X → Y e g : Y → X duas funções que realizam a equivalência.
Então g∗ ◦ f∗ = (g ◦ f )∗ = (idX )∗ = idπ0 (X) e f∗ ◦ g∗ = (f ◦ g)∗ = (idY )∗ = idπ0 (Y ) ,
portanto f∗ e g∗ são uma a inversa da outra, logo são bijetoras. Isso prova em
particular que |π0 (X)| = |π0 (Y )|. Poderı́amos também definir o functor:
π0 : TopH+ → Sets+ ,
sendo Sets+ a categoria dos conjuntos com um ponto marcado.
O mesmo aconteceria considerando o conjunto das componentes conexas (não
necessariamente por caminhos). Aliás, uma função contı́nua manda componentes
conexas em componentes conexas, portanto f∗ fica bem definida. Se f ∼ g, mostramos que os pontos f (x) e g(x) pertencem à mesma componente conexa por caminhos
do contradomı́nio, portanto, em particular, também à mesma componente conexa.
Isso mostra que f∗ só depende da classe de homotopia de f .
2.3. Retratos e retratos por deformação. Nos exemplos precedentes de espaços
homotopicamente equivalentes, às vezes um dos dois espaços era um subespaço do
outro (a menos de homeomorfismo), no último exemplo isso não acontecia. Vamos
considerar o exemplo de Rn e de um ponto, pensando no ponto como na origem.
Neste caso, não somente têm o mesmo tipo de homotopia, mas é possı́vel esmagar
com continuidade Rn na origem mantendo fixa a origem mesma. É suficiente considerar a homotopia F (x, t) = (1 − t)x. O mesmo acontece considerando um cilindro e
uma seção homeomorfa a S 1 : podemos esmagar o cilindro sobre o cı́rculo de ambos
os lados, mantendo o cı́rculo firme.
11
Definição 2.5. Seja (X, A) ∈ Ob(Top2 ). O subespaço A é dito retrato por deformação de X se existe uma função contı́nua F : X × I → X tal que:
(1) F (x, 0) = x para todo x ∈ X;
(2) F (a, t) = a para todo a ∈ A e t ∈ I;
(3) F (x, 1) ∈ A para todo x ∈ X.
A função F é dita retração por deformação.
Vamos analisar brevemente a definição. Consideremos o mergulho i : A ,→ X e a
função r : X → A definida por r(x) := F (x, 1). Temos que r|A = idA , em particular
r é sobrejetora. Equivalentemente r ◦ i = idA , em particular r ◦ i ∼ idA . Viceversa,
a função i ◦ r : X → X é homotópica a idX relativamente a A graças a F . Como
portanto r◦i ∼ idA e i◦r ∼ idA , temos que X e A são homotopicamente equivalentes.
Já mostramos exemplos: (Rn , 0), (S 1 × R, S 1 × 0). Reparamos que a definição de
retrato por deformação é equivalente ao fato que o mergulho i : (A, A) ,→ (X, A)
seja um isomorfismo na categoria TopHR, o inverso sendo a retração r. Aliás:
• Seja i : (A, A) ,→ (X, A) um isomorfismo em TopHR e seja r : (X, A) →
(A, A) um morfismo inverso. Então em particular i ◦ r ∼A idX : seja F uma
tal homotopia. Então F (x, 0) = x, F (x, 1) = r(x) ∈ A e F (a, t) = a para
todo a ∈ A e t ∈ I, portanto F é uma retração por deformação.
• Viceversa, seja F uma retração por deformação e seja r(x) := F (x, 1). Então
F é uma homotopia entre r e idX relativa a A e r ◦ i = idA por definição.
Há uma definição bem mais fraca, mas também interessante, que se obtém considerando a função r que acabamos de construir, sem pedir nenhuma propriedade
homotópica.
Definição 2.6. Seja (X, A) ∈ Ob(Top2 ). O subespaço A é dito retrato de X se
existe uma função contı́nua r : X → A tal que r|A = idA . Neste caso a função r é
dita retração.
A definição de retrato é equivalente ao fato que o mergulho i : (A, A) ,→ (X, A)
seja invertı́vel a esquerda na categoria TopHR, ou também ao fato que o mergulho
i : A ,→ X seja invertı́vel a esquerda na categoria Top. Se a retração for também
um morfismo inverso a direita em TopHR, trata-se de uma retração por deformação.
Consideremos X = S 1 e A = {p}, para p ∈ S 1 um ponto qualquer. Claramente
A é retrato de X graças à retração constante r : S 1 → {p}, todavia não pode
ser retrato por deformação pois S 1 e {p} nem são homotopicamente equivalentes.
Mostraremos que S 1 , pensado como equador, não é retrato de S 2 : para uma prova
rigorosa vamos precisar do grupo fundamental, mas pode-se intuir que uma função
de S 2 ao equador, que fixe o equador, tem de rasgar os dois hemisférios no meio,
portanto não pode ser contı́nua. Pelo mesmo motivo, o bordo S 1 não é retrato do
disco D2 .
Podemos também pensar na retração como em uma função r : X → X cuja imagem seja A e tal que r2 = r: por isso, as retrações desempenham em topologia um
papel análogo ao das projeções nos espaços vetoriais (de dimensão finita ou infinita).
12
Já destacamos que a definição de retrato por deformação é equivalente ao fato que
o mergulho i : (A, A) ,→ (X, A) seja um isomorfismo na categoria TopHR. Podemos
também pedir que i seja um isomorfismo na categoria TopH2 : neste caso A é dito
retrato por deformação fraco de X e a função F é dita retração fraca por deformação.
Isso significa que, na hipótese (2) da definição 2.5, só pedimos que F (a, t) ∈ A para
todo t ∈ I e a ∈ A. Aliás:
• Seja i : (A, A) ,→ (X, A) um isomorfismo em TopH2 e seja r : (X, A) →
(A, A) um morfismo inverso. Então em particular i ◦ r ∼ id(X,A) : seja F uma
tal homotopia. Então F (x, 0) = x, F (x, 1) = r(x) ∈ A e F (a, t) ∈ A para
todo a ∈ A e t ∈ I, portanto F é uma retração fraca por deformação.
• Viceversa, seja F uma retração fraca por deformação e seja r(x) := F (x, 1).
Então F é uma homotopia entre r e id(X,A) por definição, portanto i ◦ r ∼
id(X,A) . Ademais, é bem definida a restrição F |A×I : A × I → A, que é uma
homotopia r ◦ i ∼ idA pois F (a, 0) = a e F (a, 1) = r(a).
Acabamos de mostrar que a função r : X → A definida por r(x) := F (x, 1) só satisfaz
r ◦ i ∼ idA , não necessariamente a igualdade. Por isso é chamada de retração fraca.
Se existir uma retração fraca A é dito retrato fraco de X. A definição de retrato fraco
é equivalente ao fato que o mergulho i : (A, A) ,→ (X, A) seja invertı́vel a esquerda
na categoria TopH2 , ou também ao fato que o mergulho i : A ,→ X seja invertı́vel a
esquerda na categoria TopH. Se a retração fraca for também um morfismo inverso
a direita em TopH2 , trata-se de uma retração por deformação fraca.
Também podemos pedir que i : A ,→ X seja um isomorfismo na categoria TopH:
isso significa que tiramos a hipótese (2) da definição 2.5, mas neste caso temos de
pedir separadamente a existência de uma homotopia r ◦ i ∼ idA , pois F |A×I não
é mais bem definida. Neste caso A é dito retrato fraco por homotopia de X. De
novo a função r : X → A definida por r(x) := F (x, 1) é uma retração fraca, pois a
condição r ◦ i ∼ idA é a mesma considerando o par (A, A) ou somente espaço A.
Às vezes se encontram definições intermédias, por exemplo pedindo que exista
uma retração (não somente uma fraca) que seja inversa a i : (A, A) ,→ (X, A) em
TopH2 : isso implica que A seja retrato por deformação fraco de X e também retrato
(não somente fraco). Claro que podem-se considerar várias combinações dependendo
do contexto, mas não vamos precisar disso em seguida. Na verdade, só as noções de
retrato e retrato por deformação serão significativas em seguida.
Resumindo, dado um par (X, A), temos o diagrama seguinte:
A ret. def. X
A ret. X
+3
A ret. def. fr. X
+3
+3
A ret. hom. X
+3
X∼A
qy
A ret. fr. X.
Já mostramos que A pode ser retrato de X sem que A e X sejam homotopicamente
equivalentes: X = S 1 e A = {p}. Isso prova em particular que A pode ser retrato
de X sem ser retrato por deformação. Também pode acontecer que A seja homotopicamente equivalente a X sem ser retrato; isso prova em particular que A pode ser
13
homotopicamente equivalente a X sem ser retrato por deformação. Um exemplo é
o seguinte: sejam X = D2 \ {0} e A = {x ∈ R2 : kx − ( 12 , 0)k = 18 }. Quer X quer A
são homotópicos a S 1 , todavia uma retração de X a A se restringiria em particular
a uma retração do disco interno a A a A mesmo, o que é impossı́vel. Pode também
acontecer que A seja quer retrato de X quer homotopicamente equivalente a X, sem
ser retrato por deformação. Isso na verdade pode também acontecer quando A é um
ponto: isto é, X pode ser contrátil sem que algum ponto dele seja seu retrato por
deformação. Construir um contra-exemplo é complicado, v. [1, Cap. 0, ex. 6]. Claro
que poderı́amos construir todos os contra-exemplos possı́veis: um retrato p.d. fraco
que não seja retrato p.d. e assim por diante. Não vamos insistir sobre isso pois não
será necessário em seguida. O leitor pode procurar contra-exemplos nos livros (e.g.
[2]) ou na internet.
Concluı́mos falando da relação mais geral entre equivalência homotópica e retração
por deformação. Já destacamos que se A for retrato p.d. de X então A e X são
homotopicamente equivalentes, mas que em geral dois espaços X e Y podem ser
homotopicamente equivalentes sem que um seja contido no outro, portanto nem se
pode falar de retração por deformação no caso genérico de equivalência homotópica.
Todavia, vale a relação seguinte, cuja prova se acha em [1]:
Lema 2.1. Dois espaços X e Y são homotopicamente equivalentes se e somente se
existe um espaço Z que contém ambos e tal que X e Y sejam retratos por deformação
de Z.
Reparamos enfim que as definições precedentes podem ser generalizadas às categorias análogas com n genérico. Por exemplo, o par (A, A0 ) ⊂ (X, X 0 ) é retrato por
deformação de (X, X 0 ) se o mergulho i : (A, A0 , A) ,→ (X, X 0 , A) é um isomorfismo
em TopHR2 e assim por diante.
3. Grupo fundamental
A topologia algébrica consiste de fato em achar functores interessantes de uma
categoria de espaços topológicos a uma categoria de estruturas algébricas. Deste
jeito podemos traduzir problemas topológicos em problemas algébricos, esperando
que, pelo menos às vezes, a versão algébrica seja mais simples. O primeiro exemplo
significativo é o grupo fundamental, o qual é um jeito functorial de associar um grupo
a cada espaço topológico (com ponto marcado). Graças a esta ferramenta poderemos
mostrar que dois espaços não são homeomorfos ou homotopicamente equivalentes
mostrando que não há um isomorfismo entre os respetivos grupos fundamentais,
ou que um subespaço não é retrato de um espaço dado mostrando que não há um
morfismo sobrejetor entre os grupos fundamentais, e assim por diante.
3.1. Definição de grupo fundamental. Seja X um espaço topológico.
Definição 3.1.
• Um caminho em X é uma função contı́nua ϕ : I → X; os pontos ϕ(0) e
ϕ(1) são chamados de extremos de ϕ.
14
• O caminho ϕ é dito fechado se ϕ(0) = ϕ(1); neste caso ϕ(0) é chamado de
ponto base do caminho fechado.
• Para x ∈ X, chamamos de cx : I → X o caminho (fechado) constante
cx (t) = x.
Fixado x ∈ X, chamamos de Ωx (X) o conjunto dos caminhos fechados com ponto
base x.
Definição 3.2. Dados dois caminhos ϕ0 , ϕ1 : I → X tais que ϕ0 (0) = ϕ1 (0) = a
e ϕ0 (1) = ϕ1 (1) = b, uma homotopia de caminhos entre ϕ0 e ϕ1 é uma homotopia
F : I × I → X entre ϕ0 e ϕ1 relativa a {0, 1}. Em particular, F (t, 0) = ϕ0 (t),
F (t, 1) = ϕ1 (t), F (0, u) = a e F (1, u) = b.
Então, dois caminhos são homotópicos se existe uma homotopia entre eles que
deixe fixos os extremos, ou seja se as duas funções ϕ0 , ϕ1 : (I, ∂I) → (X, X) são
equivalentes na categoria TopHR, portanto a homotopia de caminhos é uma relação
de equivalência. Em particular, para caminhos fechados a homotopia tem que fixar
o ponto base. Sendo a homotopia relativa uma relação de equivalência, podemos
definir o conjunto:
π1 (X, x0 ) := Ωx0 (X)/homotopia.
De fato Ωx0 (X) é o conjunto HomTop2 ((I, ∂I), (X, {x0 })), enquanto π1 (X, x0 ) é o conjunto HomTopHR ((I, ∂I), (X, {x0 })) ou também HomTopH2 ((I, ∂I), (X, {x0 })). Mostramos agora que π1 (X, x0 ) admite uma natural estrutura de grupo abeliano. Dados
dois caminhos ϕ0 , ϕ1 : I → X tais que ϕ0 (1) = ϕ1 (0) definimos a composição ϕ1 ∗ ϕ0
do jeito seguinte:3
ϕ0 (2t)
0 ≤ t ≤ 21
ϕ1 ∗ ϕ0 (t) =
ϕ1 (2t − 1) 12 ≤ t ≤ 1.
Esta composição define uma operação em Ωx0 (X). Ademais, vale o lema seguinte:
Lema 3.1. A composição de caminhos é bem definida a menos de homotopia, isto
é dados dois pares de caminhos homotópicos ϕ0 ∼ ϕ00 e ϕ1 ∼ ϕ01 , se as composições
ϕ1 ∗ ϕ0 e ϕ01 ∗ ϕ00 forem bem definidas são homotópicas.
Prova: Sejam Φ0 uma homotopia entre ϕ0 e ϕ00 e Φ1 uma homotopia entre ϕ1 e ϕ01 ,
onde ϕ0 (1) = ϕ1 (0) = ϕ00 (1) = ϕ01 (0). Podemos definir a seguinte homotopia entre
ϕ1 ∗ ϕ0 e ϕ01 ∗ ϕ00 :
Φ0 (2t, u)
0 ≤ t ≤ 12
Φ1 ∗ Φ0 (t, u) =
Φ1 (2t − 1, u) 12 ≤ t ≤ 1.
Esta função é contı́nua pois para t = 21 temos que Φ0 (1, u) e Φ1 (0, u) são constantes
em u com valor ϕ0 (1) = ϕ00 (1) = ϕ1 (0) = ϕ01 (0). Portanto, obtemos uma operação bem definida em π1 (X, x0 ).
3A
composição de caminhos não é a composição na categoria Top, pois é definida entre dois
morfismos cujo domı́nio é I, enquanto a composição em uma categoria é definida entre Hom(X, Y )
e Hom(Y, Z). O mesmo acontecerá com o quociente por homotopia.
15
Lema 3.2. Valem as propriedades seguintes:
• Sejam ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 caminhos em X tais que ϕ0 (1) = ϕ1 (0) e ϕ1 (1) = ϕ2 (0).
Então os caminhos ϕ2 ∗ (ϕ1 ∗ ϕ0 ) e (ϕ2 ∗ ϕ1 ) ∗ ϕ0 são homotópicos.
• Seja ϕ um caminho em X e, para i = 0, 1, seja cϕ(i) o caminho constante
com valor ϕ(i). Então cϕ(1) ∗ ϕ e ϕ ∗ cϕ(0) são homotópicos a ϕ.
• Seja ϕ um caminho em X e seja ϕ−1 o caminho definido por ϕ−1 (t) :=
ϕ(1 − t). Então o caminho ϕ−1 ∗ ϕ é homotópico ao caminho constante cϕ(0)
e o caminho ϕ ∗ ϕ−1 é homotópico ao caminho constante cϕ(1) .
Prova: Para a primeira propriedade, a composição ϕ2 ∗ (ϕ1 ∗ ϕ0 ) consiste no caminho
ϕ0 reparametrizado para t ∈ [0, 41 ], no caminho ϕ1 reparametrizado para t ∈ [ 14 , 12 ]
e no caminho ϕ2 reparametrizado para t ∈ [ 21 , 1]. Pelo contrário, a composição
(ϕ2 ∗ ϕ1 ) ∗ ϕ0 consiste no caminho ϕ0 reparametrizado para t ∈ [0, 21 ], no caminho
ϕ1 reparametrizado para t ∈ [ 12 , 34 ] e no caminho ϕ2 reparametrizado para t ∈ [ 34 , 1].
Então, no quadrado I × I, parametrizado com (t, u) onde t representa em horizontal
os caminhos e u em vertical a homotopia entre eles, consideramos o segmento que
junta o ponto ( 41 , 0) com o ponto ( 12 , 1) e o segmento que junta o ponto ( 21 , 0) com o
ponto ( 34 , 1). Trata-se de segmentos pertencentes às retas u = 4t − 1 e u = 4t − 2.
Portanto, na homotopia que vamos construir, trata-se de considerar o caminho ϕ0
], o caminho ϕ1 reparametrizado para t ∈ [ u+1
, u+2
]
reparametrizado para t ∈ [0, u+1
4
4
4
u+2
e o caminho ϕ2 reparametrizado para t ∈ [ 4 , 1]. Afinal consideramos a homotopia
seguinte:

4
0 ≤ t ≤ u+1
 ϕ0 t u+1
4
u+1
u+2
u+1
H(t, u) =
≤
t
≤
ϕ1 4 t − 4
4
4

4
u+2
ϕ2 2−u
t − u+2
≤ t ≤ 1.
4
4
Para a segunda propriedade, o caminho ϕ ∗ cϕ(0) é representado pelo caminho constante cϕ(0) para t ∈ [0, 12 ] e pelo caminho ϕ reparametrizado para t ∈ [ 21 , 1]. O
caminho final da homotopia é ϕ. Então, consideremos o segmento que junta ( 21 , 0)
com (0, 1), que é contido na reta u = −2t + 1. Então, na homotopia temos que
] e o caminho ϕ para t ∈ [ 1−u
, 1]. Afinal
considerar o caminho cϕ(0) para t ∈ [0, 1−u
2
2
consideramos a homotopia:
ϕ(0)
≤ t ≤ 1−u
2
01−u
H(t, u) =
2
1−u
ϕ 1+u t − 2
≤ t ≤ 1.
2
Uma prova análoga é valida para cϕ(1) ∗ ϕ.
Enfim, para ϕ−1 ∗ ϕ, a ideia intuitiva é a seguinte. No começo percorremos o
caminho ϕ e voltamos, mas depois de um tempo t podemos parar um pouco antes
de ϕ(1), em ϕ(1 − t), e voltar dali, e assim com continuidade para u crescente até
ficarmos parados em ϕ(0) para u = 1. Então consideramos os segmentos que juntam
( 21 , 21 ) a (0, 1) e (1, 1), que são parte das retas u = −2t + 1 e u = 2t − 1. Para u = 0
temos ϕ−1 ∗ ϕ, que corresponde a ϕ(2t) para t ∈ [0, 12 ] e a ϕ−1 (2(t − 21 )) = ϕ(2 − 2t)
para t ∈ [ 12 , 1]. Para u genérico, consideramos o caminho ϕ(2t) sem reparametriza-lo
até t = 1−u
, ficamos parados ali até t = u+1
e voltamos percorrendo ϕ(2 − 2t).
2
2
16
Afinal obtemos a homotopia:

0 ≤ t ≤ 1−u
 ϕ(2t)
2
u+1
ϕ(1 − u) 1−u
≤
t
≤
H(t, u) =
2
2

u+1
ϕ(2 − 2t) 2 ≤ t ≤ 1.
Uma prova análoga é valida para ϕ ∗ ϕ−1 . Aplicando o lema precedente aos caminhos fechados com ponto base x0 obtemos
o teorema seguinte:
Teorema 3.3. π1 (X, x0 ) é um grupo com respeito à operação definida pela composição de caminhos a menos de homotopia.
Prova: A primeira propriedade do lema precedente implica que a composição em
π1 (X, x0 ) seja associativa, a segunda que [cx0 ] seja o elemento neutro e a terceira
que [ϕ−1 ] seja o inverso de [ϕ]. Observação: Conforme a notação que estamos usando para a composição de caminhos, no grupo π1 (X, x0 ) é mais natural definir [ϕ] · [ψ] := [ψ ∗ ϕ], ou seja no produto
[ϕ] · [ψ] o primeiro caminho a ser percorrido é ϕ.
3.2. Propriedades functoriais. Trabalhamos agora na categoria Top+ . Por enquanto definimos π1 sobre os objetos: vamos agora defini-lo sobre os morfismos, para
obtermos um functor de Top+ a Grp. Dado um morfismo f : (X, x0 ) → (Y, y0 ), fica
bem definida a função seguinte:
f# : Ωx0 (X) → Ωy0 (Y )
f# (ϕ) = f ◦ ϕ.
Mostramos agora que f# induz um morfismo de grupos f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ).
Antes de tudo, se ϕ0 e ϕ1 forem homotópicos, então f# (ϕ0 ) e f# (ϕ1 ) são também.
Aliás, seja Φ uma homotopia entre os dois: é fácil conferir que f ◦Φ é uma homotopia
entre f# (ϕ0 ) e f# (ϕ1 ). Então, fica bem definida:
f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 )
f∗ [ϕ] = [f# ϕ] = [f ◦ ϕ].
Teorema 3.4. Para f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) contı́nua, f∗ é um morfismo de grupos.
Ademais, dadas f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) e g : (Y, y0 ) → (Z, z0 ) temos:
(g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗
(id(X,x0 ) )∗ = idπ(X,x0 ) .
Portanto, se f for um homeomorfismo f∗ é um isomorfismo.
Prova: É imediato verificar que f# (ϕ1 ∗ϕ0 ) = f# (ϕ1 )∗f# (ϕ0 ), portanto f∗ ([ϕ0 ][ϕ1 ]) =
f∗ [ϕ1 ∗ ϕ0 ] = [f# (ϕ1 ∗ ϕ0 )] = [f# (ϕ1 ) ∗ f# (ϕ0 )] = f∗ [ϕ0 ]f∗ [ϕ1 ]. O fato que (g ◦ f )∗ =
g∗ ◦ f∗ e id∗ = id é consequência direta da definição. Afinal, se f for um homeomorfismo, f −1 ◦ f = id(X,x0 ) e f ◦ f −1 = id(Y,y0 ) , portanto (f −1 )∗ ◦ f∗ = idπ(X,x0 ) e
f∗ ◦ (f −1 )∗ = idπ(Y,y0 ) , portanto (f −1 )∗ = (f∗ )−1 . 17
Acabamos portanto de mostrar que o grupo fundamental define um functor:
π1 : Top+ → Grp
que associa a um objeto (X, x0 ) o grupo π1 (X, x0 ) e a um morfismo f : (X, x0 ) →
(Y, y0 ) o morfismo de grupos f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ).
3.3. Dependência do ponto base. Temos agora de mostrar o que acontece mudando o ponto base. Antes de tudo uma observação: dado um caminho fechado ϕ
com ponto base x0 ∈ X, todo o caminho fica na componente conexa por caminhos
de x0 : aliás, para qualquer t ∈ I, a restrição ϕ|[0,t] reparametrizada em [0, 1] é um
caminho que junta x e ϕ(t). Então, dado um espaço X que não seja conexo por
caminhos e dados dois pontos x0 , x1 ∈ X que fiquem em componentes diferentes,
não podemos esperar em nenhuma relação entre π1 (X, x0 ) e π1 (X, x1 ). Por isso, o
problema da eventual independência do ponto base se põe para espaços conexos por
caminhos (ou escolhendo os pontos marcados na mesma componente de um espaço
qualquer).
Sejam x0 , x1 ∈ X e seja ψ : I → X um caminho tal que ψ(i) = xi para i = 0, 1.
Definimos a função seguinte:
ψ!! : Ωx0 (X) → Ωx1 (X)
ψ!! (ϕ) = ψ ∗ ϕ ∗ ψ −1 .
Se ϕ0 , ϕ1 ∈ Ωx0 (X) forem homotópicos, mostramos que também ψ!! (ϕ0 ) e ψ!! (ϕ1 )
são. Aliás, seja Φ uma homotopia entre os dois e seja Φu (t) = Φ(t, u). Podemos
facilmente construir uma homotopia Φ0 entre ψ!! (ϕ0 ) e ψ!! (ϕ1 ) tal que Φ0u := ψ!! (Φu ).
Em particular:
 −1
 ψ (3t) 0 ≤ t ≤ 31
Φ 3 t − 13 , u 13 ≤ t ≤ 23
Φ0 (t, u) =

2
ψ 3 t − 23
≤ t ≤ 1.
3
Então fica bem definida uma função:
(4)
ψ! : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1 )
ψ! [ϕ] = [ψ!! (ϕ)] = [ψ ∗ ϕ ∗ ψ −1 ].
Teorema 3.5. Sejam x0 , x1 ∈ X e seja ψ : I → X um caminho tal que ψ(i) = xi
para i = 0, 1. A função ψ! : π(X, x0 ) → π(X, x1 ) é um isomorfismo.
Prova: É um morfismo, pois ψ! ([ϕ0 ][ϕ1 ]) = ψ! [ϕ1 ∗ ϕ0 ] = [ψ ∗ ϕ1 ∗ ϕ0 ∗ ψ −1 ] =
[ψ ∗ ϕ1 ∗ ψ −1 ∗ ψ ∗ ϕ0 ∗ ψ −1 ] = ψ! [ϕ0 ] · ψ! [ϕ1 ]. Ademais, é fácil conferir que o morfismo
(ψ −1 )! : π(X, x1 ) → π(X, x0 ) é o inverso de ψ! . Agora é natural perguntar-se se o isomorfismo ψ! depende de ψ. Infelizmente em
geral depende. Mais precisamente, depende da classe de homotopia de ψ. Aliás, é
fácil conferir que, dados um caminho ψ0 entre x0 e x1 e um caminho ψ1 entre x1 e
x2 , temos:
(ψ1 ∗ ψ0 )! = (ψ1 )! ◦ (ψ0 )! .
18
Os dois termos da igualidade são isomorfismos π1 (X, x0 ) ' π1 (X, x2 ). Em particular,
dados dois caminhos ψ0 , ψ1 entre x0 e x1 , temos que (ψ1−1 )! ◦(ψ0 )! = (ψ1−1 ∗ψ0 )! , onde
ψ1−1 ∗ ψ0 é um caminho fechado com ponto base x0 . Portanto, segue da definição que
(ψ1−1 )! ◦ (ψ0 )! é um automorfismo interno de π1 (X, x) definido pela conjugação com
respeito a [ψ1−1 ∗ ψ0 ]: é claro que se ψ0 e ψ1 for homotópicos, então [ψ1−1 ∗ ψ0 ] = 1 e
o isomorfismo interno se torna a identidade, mas isso não vale em geral. Por isso o
grupo fundamental de um espaço conexo por caminhos é independente do ponto base
a menos de isomorfismo interno não-canônico. Graças a esta propriedade podemos
escrever por simplicidade π1 (X) se pensarmos no grupo a menos de isomorfismo,
mas temos que tomar cuidado quando falarmos de morfismos. Aliás, uma função
f : X → Y só define um morfismo f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, f (x0 )) para qualquer
x0 ∈ X marcado, enquanto o morfismo f∗ : π(X) → π(Y ) só faz sentido a menos
de automorfismos internos do domı́nio e do codomı́nio. Consideremos duas funções
contı́nuas f : X → Y e g : Y → Z entre espaços conexos por caminhos: estas funções
definem morfismos f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, f (x0 )) e g∗ : π1 (Y, y0 ) → π1 (Z, g(y0 )), mas
se y0 6= f (x0 ) a composição g∗ ◦ f∗ não é definida de jeito nenhum. Aliás, seja
ψ : I → Y um caminho entre f (x0 ) e y0 : só fica bem definida g∗ ◦ ψ! ◦ f∗ , mas, como
ψ! fica no meio da composição, não é suficiente quocientar por automorfismos do
domı́nio e do codomı́nio. A única possibilidade consiste em fixar x0 , marcar f (x0 )
em Y e g(f (x0 )) em Z, e só afinal quocientar por automorfismos. Por isso o grupo
fundamental não pode ser pensado como um functor de Top em vez que de Top+ , nem
restringindo-o à subcategoria cheia dos espaços conexos por caminhos. Só há uma
excepção: se o grupo fundamental for abeliano, os automorfismos internos são todos
triviais, portanto o isomorfismo ψ! é único. Neste caso podemos definir um grupo
fundamental canônico para X conexo por caminhos.4 De fato mostraremos que, se
o grupo fundamental for abeliano, coincide com o primeiro grupo de homologia, o
qual não depende do ponto base.
3.4. Grupo fundamental e equivalência homotópica. Mostramos agora o comportamento do grupo fundamental com respeito à equivalência homotópica.
Lema 3.6. Dadas duas funções f, g : (X, x0 ) → (Y, y0 ), se f e g são homotópicas
em Top+ então f∗ = g∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ).
Prova: Seja Φ : X × I → Y uma homotopia entre f e g que respeita os pontos marcados. Então, para [ϕ] ∈ π1 (X, x0 ), consideramos a homotopia entre f ◦ ϕ e g ◦ ϕ
definida por Ψ : I ×I → Y , Ψ(t, u) = Φ(ϕ(t), u). Temos que Ψ(0, u) = Φ(x0 , u) = y0
e Ψ(1, u) = Φ(x0 , u) = y0 , portanto Ψ é relativa a ∂I. Então f∗ [ϕ] = g∗ [ϕ]. 4Formalmente,
uma definição pode ser a seguinte:
M
π1 (X) :=
π1 (X, x0 ) ∼, [ϕ]x0 ∼ [ψ ∗ ϕ ∗ ψ −1 ]y0 .
x0 ∈X
19
Isso mostra que o functor π1 passa ao quociente a respeito da equivalência homotópica na categoria Top+ e portanto define um functor:
π1 : TopH+ → Grp
que associa a um objeto (X, x0 ) o grupo π1 (X, x0 ) e a um morfismo [f ] : (X, x0 ) →
(Y, y0 ) o morfismo de grupos f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ).
A simples prova do lema 3.6 mostra de fato que a função f# : Ωx (X) → Ωy (Y )
definida por f# (ϕ) = f ◦ ϕ passa ao quociente a respeito da classe de homotopia
de f . Já provamos que passa ao quociente a respeito da classe de homotopia de ϕ,
sendo este o motivo pelo qual define uma função entre os grupos fundamentais. Os
dois resultados se completam, definindo uma função entre os grupos fundamentais
que só depende da classe de homotopia de f .
Teorema 3.7. Seja f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) uma equivalência homotópica. Então
f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) é um isomorfismo.
Prova: Seja g : (Y, y0 ) → (X, x0 ) uma equivalência homotópica inversa a f . Então,
pelo lema 3.6 temos que g∗ ◦ f∗ = idπ1 (X,x0 ) e f∗ ◦ g∗ = idπ1 (Y,y0 ) . Esse resultado vale na categoria TopH+ . Todavia, pode ser generalizado para
funções entre espaços sem ponto marcado. Em particular, o lema 3.6 pode ser
generalizado do jeito seguinte:
Lema 3.8. Sejam f, g : X → Y e Φ : f ∼ g. Para x0 ∈ X, seja Φx0 : I → Y o
caminho percorrido por x0 durante a homotopia, ou seja Φx0 (t) := Φ(x0 , t). Então
g∗ = (Φx0 )! ◦ f∗ , sendo (Φx0 )! o isomorfismo (4), para cada x0 ∈ X.
Prova: Dado t ∈ I, seja Φx0 ,t : I → Y o caminho percorrido por x0 no intervalo
[1 − t, 1] durante a homotopia, reparametrizado oportunamente, isto é Φx0 ,t (u) =
Φx0 (tu + 1 − t). Para ϕ ∈ Ωx0 (X), consideremos agora a homotopia Ψ : I × I → Y ,
−1
Ψ(t, u) = Φx0 ,t ∗(Φ1−t )# (ϕ)∗Φ−1
x0 ,t . É claro que Ψ(1, u) = Φx0 ∗f# (ϕ)∗Φx0 = (Φx0 )!! ◦
f# (ϕ), enquanto Ψ(0, u) = cg(x) ∗ g# (ϕ) ∗ c−1
g(x) ' g# (ϕ). Então g∗ [ϕ] = (Φx0 )! ◦ f∗ [ϕ],
isto é g∗ = (Φx0 )! ◦ f∗ . Podemos agora generalizar o teorema 3.7.
Teorema 3.9. Seja f : X → Y uma equivalência homotópica. Então f∗ : π1 (X, x0 ) →
π1 (Y, f (x0 )) é um isomorfismo para cada x0 ∈ X.
Prova: Seja g : Y → X uma equivalência homotópica inversa a f . Então, pelo lema
3.8, g∗ ◦ f∗ = (Φx0 )! ◦ (idX )∗ = (Φx0 )! , sendo Φx0 o caminho percorrido por x0 na
homotopia Φ : g ◦ f ∼ idX . Então g∗ ◦ f∗ é um isomorfismo, portanto f∗ é injetora e
g∗ é sobrejetora. Do mesmo jeito, considerando f∗ ◦ g∗ , provamos que g∗ é injetora
e f∗ é sobrejetora. Isso mostra em particular que, se trabalharmos com espaços conexos por caminhos,
o grupo fundamental a menos de isomorfismo não depende do ponto base nem a
20
respeito dos objetos nem a respeito dos morfismos. Todavia, continuam a ficar
válidas as observações que já fizemos a respeito do fato que não pode ser pensado
como um functor de uma subcategoria cheia de TopH.
3.5. Espaços simplesmente conexos. Um espaço é conexo por caminhos quando
π0 (X) é um conjunto de só um elemento. Analogamente:
Definição 3.3. Um espaço topológico X é dito simplesmente conexo quando for
conexo por caminhos e π1 (X, x0 ) = {1} para qualquer ponto x0 ∈ X.
É claro que, sendo X conexo por caminhos, se a condição π1 (X, x0 ) = {1} valer
para um ponto x0 ∈ X, então vale para todos os pontos. Como o grupo fundamental
de um ponto é 0, qualquer espaço contrátil é simplesmente conexo. Mostraremos em
seguida que π1 (S n ) = {1} para n ≥ 2, portanto as esferas de dimensão maior o igual
a 2 são exemplos de espaços simplesmente conexos que não são contráteis. Às vezes
na definição de espaço simplesmente conexo não se pede que X seja conexo por
caminhos: neste caso a união disjunta de dois espaços contráteis ou de duas cópias
de S 2 seriam exemplos de espaços simplesmente conexos mas não conexos. Todavia,
a definição que acabamos de dar é mais comum. Enfim, vale o lema seguinte:
Lema 3.10. Um espaço X é simplesmente conexo se e somente se é conexo por
caminhos e, para cada par de pontos x0 , x1 ∈ X, todos os caminhos entre x0 e x1
são homotópicos.
Prova: ⇐) Seja x1 = x0 . Então o enunciado é equivalente ao fato que π1 (X, x0 ) =
{1}. ⇒) Sejam ϕ, ϕ0 dois caminhos entre x0 e x1 . Então ϕ0 ∗ ϕ−1 ∈ Ωx1 (X),
portanto, sendo π1 (X, x1 ) = {1}, temos que ϕ0 ∗ ϕ−1 ∼ cx1 . Isso implica que
ϕ0 ∼ ϕ0 ∗ cx0 ∼ ϕ0 ∗ ϕ−1 ∗ ϕ ∼ cx1 ∗ ϕ ∼ ϕ. 3.6. Grupo fundamental do cı́rculo e aplicações. Vamos calcular o primeiro
exemplo não trivial de grupo fundamental, ou seja π1 (S 1 , ∗). Para isso, vamos
precisar de uma construção que de fato introduz o conceito de recobrimento, que
trataremos em detalhe em seguida. Consideremos a função contı́nua sobrejetora:
exp : R → S 1
definida por exp(x) = e2πix , pensando em S 1 ⊂ C. É claro que exp(x) = exp(y)
se e somente se y − x ∈ Z. Introduzimos agora uma propriedade fundamental da
função exp. Consideremos a cobertura seguinte de S 1 : U = {U0 , U1 } onde U0 =
(exp(−ε), exp( 21 + ε)) e U1 = (exp( 21 − ε), exp(1 + ε)), onde 0 < ε < 41 .
Lema 3.11. Para i = 0, 1, a contraimagem exp−1 (Ui ) é a união disjunta de uma
quantidade numerável de intervalos abertos {Jin }n∈Z , onde Jin ⊂ R, tais que a restrição exp |Jin : Jin → Ui é um homeomorfismo para cada n.
S
Prova: Por definição de exp, a contraimagem de U0 é n∈Z (−ε + n, 12 + ε + n), que é
claramente uma união disjunta. Ademais, exp |(−ε+n, 1 +ε+n) : (−ε+n, 12 +ε+n) → U0
2
é:
• injetora pois o comprimento do intervalo é menor que 1;
21
• sobrejetora pois por construção U0 é a imagem;
• contı́nua pois exp é;
• aberta pois a imagem de um intervalo aberto (a, b) é o aberto (exp(a), exp(b)).
Então a restrição a cada intervalo é um homeomorfismo. Uma prova análoga vale
para U1 . Intuitivamente, a função exp dobra infinitas vezes a reta dos números reais percorrendo um cı́rculo para cada intervalo [n, n + 1] onde n ∈ Z. Agora imaginemos
um caminho ϕ : I → S 1 . Sendo exp sobrejetora, podemos fixar um ponto x0 ∈ R tal
que exp(x0 ) = ϕ(0). Intuitivamente, podemos imaginar de construir um caminho
em R que levante o caminho ϕ a partir do ponto x0 . Este caminho tem que ser único,
pois localmente R e S 1 são homeomorfos através de exp, então é sempre possı́vel
prosseguir de um jeito único com o levantamento ao longo de mais um trecho, até
completar o levantamento. Na verdade podemos enunciar o resultado seguinte, que
é mais geral e se reduz ao levantamento de um caminho para X = {∗}.
Lema 3.12. Seja X um espaço topológico e seja f : X × I → S 1 uma função
contı́nua. Seja F0 : X × {0} → R uma função tal que exp ◦F0 = f |X×{0} . Então
existe uma única função F : X × I → R tal que F |X×{0} = F0 e exp ◦F = f .
Prova: Seja (x, t) ∈ X × I e seja f (x, t) ∈ Ui . Como f é contı́nua, existe uma
vizinhança Vx × It ⊂ X × I tal que f (Vx × It ) ⊂ Ui . Fixando x e variando t, obtemos
(por restrição) uma cobertura de I. Sendo I compacto, existe uma sub-cobertura
finita {Vx,0 × It0 , . . . , Vx,n × Itn }, onde supomos 0 = t0 < · · · < tn = 1. Podemos
intersetar todas as vizinhanças de X, obtendo uma única vizinhança Vx , e escolher
uma partição 0 = u0 < · · · < un = 1 tal que [uj , uj+1 ] ⊂ Itj para todo j entre 0 e
n − 1. Afinal obtemos que f (Vx × [uj , uj+1 ]) ⊂ Ui , onde i depende de j.
Por indução, assumimos que exista uma levantamento Fx de f a R no domı́nio
Vx × [0, uj ]: no caso inicial j = 0 trata-se de F0 |Vx . Mostramos que Fx pode ser
extensa a Wx × [0, uj+1 ], sendo Wx ⊂ Vx uma vizinhança menor de x. Como f (Vx ×
{uj }) ⊂ f (Vx × [uj−1 , uj ]) ⊂ Ui , existe k ∈ Z tal que Fx (x, uj ) ∈ Jik . Seja Wx :=
Vx ∩ (Fx |Vx ×{uj } )−1 (Jik ). Podemos definir Fx em Wx × [uj−1 , uj ] compondo f com
exp−1 : Ui → Jik .
Isso prova que para qualquer ponto x ∈ X existem uma vizinhança Wx de x e
um levantamento Fx de f em Wx × I. Em particular, para X = {∗} isso prova que
existe um levantamento de f . Vamos provar que é único. Aliás, sejam F, F 0 : I → R
dois levantamentos de f : I → S 1 tais que F (0) = F 0 (0). Vamos considerar de novo
uma partição 0 = u0 < · · · < un = 1 de I tal que f ([uj , uj+1 ]) ⊂ Ui , onde i depende
de j. Assumimos por indução que F |[0,uj ] = F 0 |[0,uj ] . Como [uj , uj+1 ] é conexo e F
e F 0 são contı́nuas, necessariamente F ([uj , uj+1 ]) e F 0 ([uj , uj+1 ]) estão contidos no
mesmo intervalo Jik que contém F (uj ) = F 0 (uj ). Como exp ◦F = exp ◦F 0 e exp |Jik
é um homeomorfismo, temos que F |[uj ,uj+1 ] = F 0 |[uj ,uj+1 ] . Por indução isso prova a
unicidade.
22
Enfim, voltemos a um espaço X genérico. Construı́mos um levantamento Fx de f
em Wx × I: como o levantamento é único restrito {y} × I para todo y ∈ X, necessariamente as funções Fx têm que coincidir nas interseções (Wx ∩ Wx0 ) × I, portanto
se colam a um levantamento global F : X × I → R, necessariamente contı́nuo pois é
contı́nuo em uma vizinhança de cada ponto. Ademais, como F é único em {x} × I
para todo x ∈ X, é único globalmente. Agora temos as ferramentas para calcular o grupo fundamental do cı́rculo. Aliás,
seja ϕ : I → S 1 um caminho fechado tal que ϕ(0) = ϕ(1) = 1, e chamemos de
Ω1 (S 1 ) e conjunto de tais caminhos. Pelo lema precedente com X igual ao espaço
com só um ponto, existe um único levantamento Φ : I → R tal que Φ(0) = 0. Sendo
exp(Φ(1)) = 1, necessariamente Φ(1) ∈ Z. Então fica bem definida uma função:
ψ : Ω1 (S 1 ) → Z.
Seja agora h : I × I → S 1 uma homotopia entre ϕ0 , ϕ1 ∈ Ω1 (S 1 ) (relativa a ∂I
por definição). Pelo lema precedente com X = I, existe um único levantamento
H : I × I → R tal que H|I×{0} = 0. Em particular, pela unicidade temos que
H|{0}×I = Φ0 e H|{1}×I = Φ1 . Sendo exp ◦H|I×{1} = 1, necessariamente a imagem
de H|I×{1} está contida em Z, então, sendo I conexo, é um ponto. Isso prova que a
função ψ não depende da classe de homotopia do caminho, então fica bem definida
uma função:
(5)
Ψ : π1 (S 1 , 1) → Z.
Agora mostramos que Ψ é um isomorfismo de grupos. Aliás:
• É um morfismo de grupos. De fato, sejam ϕ0 , ϕ1 ∈ Ω1 (S 1 ) e consideremos
ϕ1 ∗ ϕ0 . Seja Φ0 o levantamento de ϕ0 e seja n = Φ0 (1) = Ψ[ϕ0 ]. Existem um
único levantamento Φ1 de ϕ1 tal que Φ1 (0) = 0 e um único levantamento Φ01
ainda de ϕ1 tal que Φ01 (0) = n. Seja Tn : R → R a função Tn (x) = x+n. Pois
exp ◦Tn = exp e pois Tn (0) = n, obtemos que Tn ◦ Φ1 é um levantamento de
ϕ1 tal que Tn ◦Φ1 (0) = n, então, pela unicidade, Φ0 (1) = Tn ◦Φ1 . Seja agora Φ
o levantamento de ϕ1 ∗ ϕ0 tal que Φ(0) = 0. Pela unicidade, necessariamente
Φ = Φ01 ∗ Φ0 , então, para Φ0 (1) = n e Φ1 (1) = m, temos que Φ(1) = Φ01 (1) =
Tn ◦ Φ1 (1) = Tn (m) = n + m, isto é Ψ[ϕ1 ∗ ϕ0 ] = Ψ[ϕ0 ] + Ψ[ϕ1 ].
• É injetor. De fato, seja Ψ[ϕ] = 0. Então o levantamento Φ de ϕ tal que
Φ(0) = 0 satisfaz Φ(1) = 0, portanto Φ é um caminho fechado em R. Seja
H : I ×I → R a função H(t, u) = (1−t)Φ(u): é claro que H é uma homotopia
entre Φ e o caminho trivial relativa aos extremos. Por isso, h = exp ◦H é uma
homotopia entre ϕ e o caminho trivial relativa as extremos, isto é [ϕ] = 0.
• É sobrejetor. De fato, seja n ∈ Z e seja Φ : I → R a função Φ(t) = nt. É
claro que ϕ = exp ◦Φ é um caminho fechado em S 1 tal que, por construção,
Ψ[ϕ] = n.
Como isso provamos que π1 (S 1 , 1) ' Z. Como S 1 é conexo por caminhos podemos
escrever π1 (S 1 ) ' Z. Isso mostra em particular que S 1 é um exemplo de espaço
23
não simplesmente conexo. Uma primeira aplicação significativa deste resultado é a
seguinte:
Teorema 3.13. S 1 = ∂D2 não é retrato de D2 .
Prova: Seja por absurdo r : D2 → S 1 uma retração e seja i : S 1 ,→ D2 o mergulho.
Marcamos um ponto x0 ∈ S 1 qualquer, obtendo assim morfismos r : (D2 , x0 ) →
(S 1 , x0 ) e i : (S 1 , x0 ) ,→ (D2 , x0 ) em Top+ . Como r ◦ i = idS1 , a respeito dos grupos fundamentais temos que r∗ ◦ i∗ = idZ , logo r∗ : 0 → Z é sobrejetor, o que é
impossı́vel. Parece óbvio que Rn não seja homeomorfo a Rm para n 6= m, mas é bem complicado prova-lo. Pode-se provar facilmente que R não é homeomorfo a Rn para n > 1:
aliás, seja ϕ : R → Rn um homeomorfismo. Então, tirando a origem, obtemos um
homeomorfismo ϕ|R\{0} : R \ {0} → Rn \ {ϕ(0)}, o que é absurdo pois Rn \ {ϕ(0)} é
conexo enquanto R \ {0} não é. Graças ao grupo fundamental podemos provar um
resultado análogo para R2 . Vamos usar na prova do teorema o fato que π1 (S n ) = 0
para n ≥ 2, o que será provado rigorosamente em seguida.
Teorema 3.14. R2 não é homeomorfo a Rn para n > 2.
Prova: Seja ϕ : R2 → Rn um homeomorfismo. Então, tirando a origem, obtemos um
homeomorfismo ϕ|R2 \{0} : R2 \ {0} → Rn \ {ϕ(0)}. Isso é absurdo, pois Rn \ {ϕ(0)} é
simplesmente conexo, dado que tem o mesmo tipo de homotopia de S n−1 e n−1 ≥ 2,
enquanto R2 \ {0} não é, dado que tem o mesmo tipo de homotopia de S 1 . Vamos agora provar o teorema do ponto fixo de Brouwer, que foi uma das primeiras aplicações significativas da topologia algébrica. Originalmente foi provado
usando a definição de grau de uma função entre esferas, onde o grau era definido
geometricamente sem precisar do grupo fundamental. Todavia, graças ao grupo
fundamental podemos proporcionar uma prova breve e elegante.
Teorema 3.15 (Teorema do ponto fixo de Brouwer). Uma função contı́nua f :
D2 → D2 admite um ponto fixo, isto é existe x ∈ D2 tal que f (x) = x.
Prova: Suponhamos por absurdo que não exista um ponto fixo. Neste caso é possı́vel
definir uma função r : D2 → S 1 que associa a x ∈ D2 o ponto y de interseção
entre a reta que contém x e f (x) (bem definida pois x 6= f (x)) e S 1 = ∂D2 ,
do jeito que x fique entre f (x) e r(x). É claro por construção que r é contı́nua,
mas vamos prova-lo rigorosamente. Esta função é definida (usando a soma em
R2 ) por r(x) = f (x) + t(x − f (x)), onde t > 0 é tal que kr(x)k = 1, isto é
ktx + (1 − t)f (x)k2 = 1. A condição ktx + (1 − t)f (x)k2 = 1 se traduz em uma
equação de segundo grau em t, cuja solução é contı́nua nos coeficientes (pela fórmula
resolutiva do segundo grau), portanto r é uma função contı́nua em x. Se x ∈ S 1 , é
claro que r(x) = x, portanto r é uma retração de D2 em S 1 , o que é absurdo. Outra aplicação significativa é o teorema de Borsuk-Ulam, para o qual uma função
contı́nua f : S 2 → R2 tem o mesmo valor pelos menos em um par de pontos
24
antipodais. Como lembrado em [1], isso implica, por exemplo, que em cada instante
na superfı́cie da Terra existam pelo menos dois pontos antipodais com a mesma
temperatura e a mesma pressão, o que não parece óbvio.
Teorema 3.16 (Borsuk-Ulam). Seja f : S 2 → R2 contı́nua. Então existe x ∈ S 2
tal que f (x) = f (−x).
Prova: Suponhamos por absurdo que não exista. Então é bem definida e contı́nua
(−x)
a função g : S 2 → S 1 , g(x) = kff (x)−f
. Vamos considerar o caminho fechado ϕ :
(x)−f (−x)k
2
I → S definido pelo equador, ou seja ϕ(t) = (cos(2πt), sin(2πt), 0), e a composição
ψ := g ◦ ϕ : I → S 1 . Como g(−x) = −g(x), para t ∈ [0, 21 ] temos que ψ(t + 21 ) =
−ψ(t). Seja ψ̃ : I → R o levantamento de ψ tal que ψ̃(0) = 0. Temos que:
(6)
ψ̃(t + 12 ) = ψ̃(t) +
2k+1
,
2
para k ∈ Z. A priori k depende de t, mas, como pode-se verificar achando explicitamente k(t) a partir de (6), a dependência é contı́nua, portanto k é constante.
Ademais, aplicando duas vezes (6) obtemos ψ̃(1) = ψ̃( 12 ) + 2k+1
= ψ̃(0) + 2k + 1,
2
portanto a imagem de [ψ] através do isomorfismo (5) é 2k + 1, que é ı́mpar e logo
não pode ser 0. Isso implica que ψ não seja um caminho trivial, o que é absurdo
pois ψ = g# (ϕ) e ϕ é trivial em S 2 .5 Através do grupo fundamental do cı́rculo é também possı́vel provar o teorema
fundamental da álgebra, ou seja que um polinômio de uma variável complexo não
constante tem uma raiz (v. [1, Theorem 1.8 p. 31]).
3.7. Grupo fundamental do produto de dois espaços. Por enquanto sabemos
calcular o grupo fundamental de poucos espaços. O teorema seguinte ajuda em
parte a estender os resultados obtidos, mostrando que o grupo fundamental de um
produto cartesiano é a soma direta dos grupos fundamentais dos fatores, quando os
dois forem conexos por caminhos.
Teorema 3.17. Sejam X e Y espaços conexos por caminhos.
Y, (x0 , y0 )) ' π1 (X, x0 ) ⊕ π1 (Y, y0 ).
Então π1 (X ×
Prova: Pela propriedade fundamental do espaço produto, uma função contı́nua ϕ :
I → X × Y é equivalente a um par de funções contı́nuas (as projeções) ϕ1 : I → X e
ϕ2 : I → Y . Sendo o ponto marcado de X ×Y igual ao produto dos pontos marcados,
obtemos uma bijeção canônica Ω(x0 ,y0 ) (X × Y ) ' Ωx0 (X) × Ωx0 (Y ). Também uma
homotopia de caminhos é equivalente a um par de homotopias, portanto obtemos
uma bijeção canônica (entre conjuntos) π1 (X × Y, (x0 , y0 )) ' π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ).
É fácil verificar que o caminho ψ ∗ ϕ corresponde, através desta bijeção, ao par
(ψ1 ∗ ϕ1 , ψ2 ∗ ϕ2 ), portanto trata-se também de um morfismo de grupos. Isso prova
que é um isomorfismo π1 (X × Y, (x0 , y0 )) ' π1 (X, x0 ) ⊕ π1 (Y, y0 ). 5O
fato que ϕ seja trivial é consequência direta do fato que π1 (S 2 ) = 0, que provaremos em
seguida. Todavia, pode-se facilmente imaginar que o equador de S 2 possa ser deformado a um ponto
marcado qualquer (fixando o ponto), mexendo o caminho dentro de um hemisfério até contraı́-lo.
25
Assim podemos calcular por exemplo o grupo fundamental do toro T2 = S 1 ×
S , obtendo Z ⊕ Z. Geometricamente, pensando no toro mergulhado em R3 do
jeito canônico, os dois geradores são um caminho fechado horizontal e um caminho
fechado vertical passantes pelo ponto marcado.
1
3.8. Teorema de Seifert-Van Kampen. Mesmo com o teorema precedente sabemos calcular o grupo fundamental de poucos espaços. Vamos agora introduzir
um teorema muito significativo, o qual permite de calcular o grupo fundamental
de um espaço mais complicado quebrando-o em pedaços e calculando os grupos dos
pedaços e das interseções destes. Isso permite de ampliar decididamente a famı́lia de
espaços cujo grupo fundamental seja de algum jeito conhecido. Para introduzirmos
este teorema precisamos de umas ferramentas de teoria dos grupos.
Vamos começar pela categoria dos grupos abelianos. Dada
Q uma famı́lia de grupos abelianos {Gα }α∈I , podemos definir o produto direto α∈I Gα e a soma direta
L
α∈I Gα . Um elemento do produto direto é uma famı́lia {gα }α∈I tal que gα ∈ Gα
para todo α ∈ I. A soma do grupo é definida por {gα } + {hα } = {gα + hα }. A
soma direta é o subgrupo do produto direto formato pelas famı́lias {gα }α∈I tais que
o conjunto {α ∈ I : gα 6= 1} seja finito. Estas duas definições correspondem ao
produto e à soma (ou coproduto) na categoria dos grupos abelianos.
Q Isso significa
que satisfazem as propriedades universais seguintes. Sejam πα : ( β Gβ ) → Gα e
L
iα : Gα → ( β Gβ ) as projeções e os mergulhos naturais:
• dado um grupo abeliano H e uma famı́lia
de morfismos {ϕα : H → Gα },
Q
existe um único morfismo ϕ : H → ( α Gα ) tal que πα ◦ ϕ = ϕα para todo
α ∈ I. O morfismo que satisfaz a definição é ϕ(h) := {ϕα (h)}.
• Dado um grupo abeliano H e L
uma famı́lia de morfismos {ϕα : Gα → H},
existe um único morfismo ϕ : ( α Gα ) → H tal que ϕ ◦P
iα = ϕα para todo
α ∈ I. O morfismo que satisfaz a definição é ϕ({gα }) := α ϕα (gα ).
P
No caso da soma direta, a soma α ϕα (gα ) é bem definida em H pois só uma quantia
finita de elementos é diferente de 0. É claro que, quando a famı́lia de ı́ndices I for
finita, a soma e o produto direto coincidem. Esta propriedade não vale para todas
as categorias: por exemplo, o leitor pode provar que na categoria Sets o produto
direto de dois conjuntos X e Y é X × Y , enquanto a soma direta é a união disjunta
X tY.
Consideremos agora a categoria de todos os grupos, não necessariamente abelianos. As definições de soma e produto direto que demos no caso abeliano poderiam
ser aplicadas também a grupos genéricos: no caso do produto direto de fato a propriedade universal continua a valer, mas no caso da soma direta isso não acontece, nem
para famı́lias finitas (estamos falando da propriedade universal na categoria Grp,
portanto os grupos envolvidos,
P inclusive H, não são necessariamente abelianos).
Aliás, o morfismo ϕ({gα }) := α ϕα (gα ) não é bem definido, pois no caso não abeliano a soma a respeito de α (que se torna produto dado que usamos a notação multiplicativa para grupos genéricos) depende da ordem dos elementos ϕα (gα ). Podem-se
achar contra-exemplos que mostram como em geral não existe nenhum morfismo
26
L
ϕ : ( α Gα ) → H que satisfaz a propriedade. Por isso, na categoria Grp, precisamos de uma definição
L diferente de soma ou coproduto. O problema da definição
precedente é que, em α Gα , se gα ∈ Gα e gβ ∈ Gβ temos que gα gβ = gβ gα , o que
não é natural para grupos genéricos. Precisamos portanto de uma definição que leve
em conta a ordem dos fatores, mesmo quando pertencerem a grupos diferentes.
Definição 3.4. Seja {Gα }α∈I uma famı́lia de grupos. O produto livre ∗α Gα é
definido do jeito seguinte:
• como conjunto, contém as sequências finitas gα1 · · · gαn (para n genérico) tais
que gαi ∈ Gαi , αi 6= αi+1 e gαi 6= 1; ademais, contém a sequência vazia 1;
• o produto gα1 · · · gαn · hβ1 · · · hβn é definido do jeito seguinte. Consideramos
a sequência gα1 · · · gαn hβ1 · · · hβn . Se αn 6= β1 este é o produto, senão substituı́mos gαn hβ1 com o produto no grupo correspondente, tirando-o se for
1. Continuamos assim até obtermos uma sequência que respeita a definição
precedente ou a sequência vazia. Enfim, a palavra vazia atua como elemento
neutro.
Pode-se verificar que ∗α Gα é um grupo, sendo (gα1 · · · gαn )−1 = gα−1n · · · gα−11 . Valem
as observações seguintes:
• também considerando o produto livre de dois grupos G ∗ H, temos que considerar sequências de qualquer comprimento, pois uma sequência do tipo
g1 h1 . . . gn hn , com gi ∈ G e hi ∈ H, não pode ser reduzida de jeito nenhum.
Em particular, na categoria Grp a soma e o produto são diferentes também
para um par de elementos.
• No produto livre de um grupo com si mesmo, ou seja G ∗ G, os elementos de
G como primeiro fator não comutam com os elementos de G como segundo
fator, nem quando forem iguais. Portanto, por exemplo, dado g ∈ G temos
duas palavras gg não equivalentes, ou seja (g, 0)(g, 1) e (g, 1)(g, 0), sendo
G × {0} a primeira componente de G ∗ G e G × {1} a segunda.
• Como elementos de fatores diferentes não comutam, o produto livre é diferente da soma direta também para uma famı́lia de grupos abelianos. Isso
é natural pois, na propriedade universal, mesmo quando todo Gα for abeliano, o grupo H pode não ser, portanto, na categoria Grp, a soma direta não
satisfaz a propriedade universal nem quando for aplicada a uma famı́lia de
grupos abelianos.
Agora a propriedade universal é satisfeita pelo morfismo ϕ(gα1 · · · gαn ) := ϕα1 (gα1 ) · · ·
ϕαn (gαn ). Isso conclui a definição de produto livre. Para o teorema de Seifert-Van
Kampen precisamos de uma generalização deste produto. Em particular, consideramos o dado seguinte, para um conjunto I de ı́ndices fixado:
• uma famı́lia de grupos {Gα }α∈I ;
• uma famı́lia de grupos {Gαβ }α,β∈I , sendo Gαβ = Gβα ;
• uma famı́lia de morfismos ϕαβ : Gαβ → Gα .
27
Isso significa que ϕαβ e ϕβα têm o mesmo domı́nio mas contradomı́nios diferentes.
Poderı́amos representar o dado do jeito seguinte:
Gαγ
ϕαγ
···
Gα a
ϕγα
v
<
ϕαβ
ϕβα
Gαβ
Gβ
(
b
=
ϕβγ
Gγ
···
ϕγβ
Gβγ
Definição 3.5. A partir do dado que acabamos de descrever, o produto amalgamado
∗α Gα /{ϕαβ } é o quociente de ∗α Gα pelo subgrupo normal gerado pelos elementos da
forma ϕαβ (g)ϕβα (g)−1 , sendo g ∈ Gαβ .
Isso significa que, no produto ∗α Gα , declaramos ϕαβ (g) = ϕβα (g). Portanto, tratase do produto livre no qual as imagens de ϕαβ e ϕβα , a primeira contida em Gα e a
segunda em Gβ , são identificadas. A propriedade universal do produto amalgamado
é a seguinte:
• Dado um grupo H e uma famı́lia de morfismos {ϕα : Gα → H} tais que
ϕα ◦ ϕαβ = ϕβ ◦ ϕβα , existe um único morfismo ϕ : (∗α Gα /{ϕαβ }) → H tal
que ϕ ◦ iα = ϕα para todo α ∈ I e iα ◦ ϕαβ = iβ ◦ ϕβα para todo α, β ∈ I. O
morfismo que satisfaz a definição é ϕ([gα1 · · · gαn ]) := ϕα1 (gα1 ) · · · ϕαn (gαn ).
Com esta construção já poderı́amos enunciar (e provar) o teorema de Seifert-Van
Kampen. Todavia, o teorema se torna mais eficaz graças à noção de apresentação
livre de um grupo, que vamos agora lembrar brevemente.
Definição 3.6. Seja A um conjunto. O grupo livre gerado por A é definido do jeito
seguinte:
• como conjunto contém as sequências ak11 . . . aknn (sendo n genérico), onde
ai ∈ A, ai 6= ai+1 e ki ∈ Z \ {0}. Ademais, contém a sequência vazia 1.
• O produto ak11 . . . aknn · bh1 1 . . . bhnn é definido do jeito seguinte. Consideramos
a sequência ak11 . . . aknn bh1 1 . . . bhnn . Se an 6= b1 este é o produto. Senão, substituı́mos aknn bh1 1 por ankn +h1 , tirando-o se kn + h1 = 0. Continuamos assim até
obtermos uma sequência que respeita a definição precedente ou a sequência
vazia.
Denotamos o grupo por hAi. Os elementos de A são ditos geradores livres de hAi.
É claro da definição que um grupo livre é o produto livre de uma cópia de Z
para cada gerador, ou seja hAi ' ∗α∈A Z (em particular o grupo livre gerado por um
elemento é Z), todavia faremos o contrário, ou seja descreveremos o produto livre a
partir do conceito de grupo livre. Ademais, reparamos que dois grupos livres hAi e
hBi são isomorfos se e somente A tem a mesma cardinalidade de B. A propriedade
universal de um grupo livre hAi é a seguinte:
• dado um grupo H qualquer e uma função ϕ0 : A → H, existe um único
morfismo de grupos ϕ : hAi → H tal que ϕ|A = ϕ0 .
28
Sejam A um conjunto e R ⊂ hAi um subconjunto do grupo livre gerado por A. Denotamos por hA|Ri o grupo obtido quocientando hAi pelo mı́nimo subgrupo normal
que contém R.
Definição 3.7. Dado um grupo G, um isomorfismo G ' hA|Ri é dito apresentação
livre do grupo G. Os elementos de A são ditos geradores e os de R relações. Se A
for um conjunto finito o grupo é dito finitamente gerado, se também R for o grupo
é dito finitamente apresentado.
O fato fundamental é que qualquer grupo admite uma apresentação livre, isto é
qualquer grupo é um quociente de um grupo livre. Aliás, dado um grupo G genérico,
existe sempre uma famı́lia de geradores A, por exemplo é sempre possı́vel escolher
A = G. Existe um morfismo natural ϕ : hAi → G, ou seja o morfismo (único pela
propriedade universal) que estende a inclusão A ,→ G. Obviamente ϕ é sobrejetor,
portanto G ' hAi/Ker ϕ. Por isso podemos escolher uma qualquer famı́lia R de geradores de Ker ϕ e obtemos que G ' hA|Ri. Em geral quer A quer R são infinitos,
o fato de ser finitamente gerado ou finitamente apresentado é uma caracterı́stica
especifica que em geral não vale. Ademais, o mesmo grupo pode ter infinitas apresentações livres equivalentes e em geral pode ficar muito complicado estabelecer se
duas apresentações dadas são isomorfas. Uns exemplos são os seguintes: Z ' hai,
Zn ' ha|an i, Z ⊕ Z ' ha, b|aba−1 b−1 i.
Podemos agora descrever o produto livre através das apresentações livres:
∗α hAα |Rα i ' htα Aα | tα Rα i.
Aliás, há uma função natural tα Aα → ∗β hAβ |Rβ i, que consiste na inclusão a menos do quociente por Rα . Pela propriedade universal esta função se estende a um
morfismo ϕ : htα Aα i → ∗β hAβ |Rβ i, que atua tomando uma sequência em htα Aα i
e reduzindo-a a um elemento do produto amalgamado multiplicando elementos adjacentes que pertencem ao mesmo grupo hAα |Rα i. Este morfismo é claramente
sobrejetor. Ademais, se uma sequência for mandada a 0, não pode conter elementos
não triviais de grupos diferentes hAα |Rα i, senão a imagem através de ϕ não seria
redutı́vel à sequência vazia 1. Portanto Ker ϕ é o subgrupo normal gerado por tα Rα .
Enfim, falta o produto amalgamado. Considerando os dados da definição (3.5),
sejam Gα ' hAα |Rα i e Gαβ ' hAαβ |Rαβ i:
(7)
∗α Gα /{ϕαβ } ' htα Aα |(tα Rα ) t (tαβ {ϕαβ (a)ϕβα (a)−1 : a ∈ Aαβ })i.
Isso significa que unimos os geradores e as relações dos grupos, acrescentando entre
as relações que as imagens dos geradores de Gαβ através de ϕαβ e ϕβα sejam iguais.
As relações de Gαβ não desempenham nenhum papel. Reparamos que ϕαβ (a) é
um elemento de Gα , portanto, na relação ϕαβ (a)ϕβα (a)−1 , temos que escolher um
qualquer representante nos grupos livres hAα i e hAβ i.
Podemos agora enunciar o teorema de Seifert-Van Kampen. Consideremos o dado
seguinte:
• (X, x0 ) é um espaço topológico com ponto marcado e X = ∪α Aα , onde cada
Aα é aberto e x0 ∈ ∩α Aα .
29
• Os mergulhos iα : (Aα , x0 ) ,→ (X, x0 ) induzem morfismos (iα )∗ : π1 (Aα , x0 ) →
π1 (X, x0 ). Pela propriedade universal estes morfismos se estendem de um
jeito único a um morfismo ϕ : (∗α π1 (Aα , x0 )) → π1 (X, x0 ).
• Os mergulhos iαβ : (Aα ∩ Aβ , x0 ) ,→ (Aα , x0 ) induzem morfismos (iαβ )∗ :
π1 (Aα ∩ Aβ , x0 ) → π1 (Aα , x0 ).
Teorema 3.18 (Seifert-Van Kampen). A partir do dado precedente, se cada aberto
Aα e cada interseção Aα ∩Aβ forem conexos por caminhos, o morfismo ϕ : (∗α π1 (Aα ,
x0 )) → π1 (X, x0 ) é sobrejetor. Ademais, se cada interseção tripla Aα ∩ Aβ ∩ Aγ for
conexa por caminhos, o kernel de ϕ é o subgrupo gerado pelos elementos (iαβ )∗ (g) ·
(iβα )∗ (g)−1 para g ∈ π1 (Aα ∩ Aβ , x0 ). Portanto, neste caso, há um isomorfismo:
π1 (X, x0 ) ' ∗α π1 (Aα , x0 )/{(iαβ )∗ }.
Resumo da prova (v. [1] p. 44): Seja [ϕ] ∈ π1 (X, x0 ). Como cada Aα é aberto e I é
compacto, podemos escolher uma partição 0 = t0 < · · · < tn = 1 tal que ϕ|[ti ,ti+1 ]
esteja contido em Aα(i) . Reparametrizamos ϕ|[ti ,ti+1 ] obtendo ϕi : I → Aα(i) . Como
cada interseção Aα(i−1) ∩Aα(i) é conexa por caminhos, podemos escolher um caminho
ψi que junta x0 a ϕ(ti ) na interseção mesma. Obtemos então ϕ ∼ (ϕn−1 ∗ ψn−1 ) ∗
−1
−1
(ψn−1
∗ϕn−2 ∗ψn−2 )∗· · ·∗(ψ2−1 ∗ϕ1 ∗ψ1 )∗(ψ1−1 ∗ϕ0 ), sendo [ψi+1
∗ϕi ∗ψi ] ∈ π1 (Aα(i) , x0 ).
Isso prova que o morfismo ϕ : (∗α π1 (Aα , x0 )) → π1 (X, x0 ) é sobrejetor.
Para provar que o kernel é o subgrupo normal especificado no enunciado, raciocinamos do jeito seguinte. Consideramos duas possı́veis fatorações do mesmo
caminho [ϕ] ∈ π1 (X, x0 ) como produto de caminhos contidos nos subconjuntos Aα ,
[ϕ] = [f0 ] · · · [fn ] = [g0 ] · · · [gm ], com fi , gi ∈ Ωx0 (Aα(i) ). Cada fatoração se torna um
elemento do produto livre multiplicando caminhos adjacentes que ficam no mesmo
subconjunto; todavia, não supomos que as fatorações sejam reduzidas deste jeito.
Mostramos que duas fatorações do mesmo caminho são equivalentes a menos de
aplicar as operações seguintes (ou seja podem ser reconduzidas à mesma fatoração
aplicando as operações seguintes um número finito de vezes):
• substituir dois caminhos adjacentes contidos no mesmo subconjunto pelo
produto deles ou viceversa;
• se um caminho fi (ou gi ) for contido em Aα ∩ Aβ , pode ser pensado como
um caminho em Aβ em vez que em Aα ou viceversa.
Mostrando isso, provamos que uma fatoração do caminho trivial pode ser reconduzida a 1 através destas operações. A primeira operação não muda a projeção
da fatoração no produto livre, a segunda operação substitui um elemento da forma
(iαβ )∗ (g) por (iβα )∗ (g) para g ∈ π1 (Aα ∩ Aβ , x0 ), portanto não muda a projeção
no quociente a respeito do subgrupo normal gerado pelos elementos (iαβ )∗ (g) ·
(iβα )∗ (g)−1 . Isso significa que qualquer fatoração de 1 corresponde a 1 no produto
amalgamado, o que corresponde à tese do teorema.
Para mostrarmos a equivalência das duas fatorações, vamos considerar uma homotopia Φ entre fn ∗ · · · ∗ f0 e gm ∗ · · · ∗ g0 , que existe com certeza pois ambos são
homotópicos a ϕ. Escolhemos uma partição 0 = t0 < · · · < tn = 1 de I tal que a
imagem do retângulo Rij = [ti , ti+1 ] × [tj , tj+1 ] através de Φ fique contida em Aα(i,j) .
Ademais, assumimos que esta partição refine as decomposições de I correspondentes
30
às composições fn ∗ · · · ∗ f0 e gm ∗ · · · ∗ g0 . Isso significa que cada fator das duas composições fica dividido em subcaminhos (não fechados em geral). Podemos deslocar
levemente os segmentos verticais para que cada vértice fique contido em máximos 3
retângulos diferentes (2 para os vértices no bordo e 3 para os internos). Para isso supomos que a partição de I contenha pelo menos 3 elementos. Sejam agora R1 , R2 , . . .
os retângulos Rij ordenados a respeito de i e, quando i for o mesmo, a respeito de
j. Seja γk o caminho em I × I que divide os retângulos R1 , . . . , Rk dos demais: em
particular, γ0 corresponde a I × {0} e γn2 a I × {1}. Ademais, Φ ◦ γk ∈ Ωx0 (X),
pois o bordo de I × I é mandado por Φ em x0 . O caminho γk+1 se obtém de γk
atravessando Rk+1 . Ademais, para cada vértice v escolhemos um caminho gv que
junta x0 a Φ(v) na interseção Aα ∩ Aβ ∩ Aγ dos abertos correspondentes aos três (ou
dois) retângulos envolvidos. Isso é possı́vel pois a interseção é conexa por caminhos
por hipótese. Deste jeito, inserindo gv ∗ gv−1 para cada vértice, o caminho Φ ◦ γk se
torna fatorado. O caminho Φ ◦ γ0 é equivalente a fn ∗ · · · ∗ f0 , pois, para os vértices
acrescentados na partição que não são mandados em x0 por fi , podemos escolher o
caminho gv na interseção dos abertos correspondentes aos dois retângulos e a fi (v),
assim cada fator fi se torna dividido em um produto na mesma componente Aα ,
portanto a fatoração é equivalente. Passando de γk a γk+1 , pensamos nos caminhos
correspondentes aos lados de Rk+1 como pertencentes ao mesmo aberto Aα : para
isso só temos que aplicar a segunda operação permitida. Enfim temos de atravessar
Rk+1 , o que corresponde à substituição de um caminho por outro homotópico dentro
do mesmo Aα , portanto a fatoração (que envolve os grupos fundamentais e não os
representantes) fica a mesma. Em total, obtemos várias fatorações equivalentes até
γn2 que corresponde a gm ∗ · · · ∗ g0 . Vamos precisar da definição seguinte:
Definição 3.8. Dada uma famı́lia de espaços com ponto marcado {Xα , (x0 )α }α∈I , a
união a um ponto da famı́lia é o espaço que se obtém quocientando e união disjunta
pela união dos pontos marcados, ou seja:
a .
_
{Xα , (x0 )α } :=
Xα
∪α {(x0 )α } .
α
α
A união a um ponto tem um ponto marcado natural, ou seja o quociente dos pontos marcados dos fatores. Por exemplo, a união a um ponto de duas cópias de S 1 é
um espaço homeomorfo ao número 8. Podemos também pensar em (X, x0 ) ∨ (Y, y0 )
como em (X × {y0 }) ∪ ({x0 } × Y ), ou seja como em uma cruz dentro do produto
cartesiano determinada pelos pontos marcados. O mesmo vale para uma famı́lia
genérica, unindo produtos cartesianos entre uma componente da famı́lia e os pontos
marcados das demais. Enfim, é comum subentender os pontos marcados quando não
forem significativos: por exemplo S 1 ∨ S 1 indica a união a respeito de dois pontos
marcados quaisquer.
Observação: A união a um ponto é a soma (ou coproduto) na categoria Top+ ,
assim como a união disjunta é a soma na categoria Top. O leitor pode verificar a
propriedade universal. Pensando na união a um ponto como em um subespaço do
31
V
produto
cartesiano,
podemos
definir
o
produto
smashed,
ou
seja
α {Xα , (x0 )α } :=
Q
W
( α Xα )/( α {Xα , (x0 )α }), com um ponto marcado natural dado pelo denominador.
O produto smashed é o produto na categoria Top+ , assim como o produto cartesiano
(com a topologia produto) é o produto na categoria Top. Agora podemos aplicar o teorema de Seifert-Van Kampen para calcular vários
grupos fundamentais:
• π1 (S 1 ∨ S 1 ) ' Z ∗ Z. Isso significa que um elemento genérico é dado por
an1 bm1 · · · ank bmk para ni , mi ∈ Z, sendo a e b os geradores correspondentes
às duas cópias de S 1 (os termos an1 e bmk podem faltar). Para provarmos isso,
vamos considerar dois abertos A e B correspondentes a uma cópia de S 1 e
uma vizinhança contrátil do ponto marcado na outra cópia. É claro que A∩B
é conexa por caminhos e que não há triplas interseções, portanto as hipóteses
do teorema são satisfeitas. Como A e B são homotopicamente equivalentes a
S 1 , temos que π1 (A) ' hai e π1 (B) ' hbi. Enfim π1 (A ∩ B) = h∅i. Portanto,
pelo teorema e considerando o isomorfismo (7), temos π1 (X) ' ha, bi ' Z∗Z.
• π1 (∨α S 1 ) = ∗α Z, ou seja o grupo fundamental da união a um ponto de uma
famı́lia de cı́rculos é o produto livre de uma quantidade correspondente de
cópias de Z. A prova é parecida com a do ponto precedente.
• π1 (S n ) = 0 para n ≥ 2. Aliás, podemos escolher duas vizinhanças A e
B dos hemisférios norte e sul, tais que os hemisférios sejam retrato por
deformação de A e B. Neste caso π1 (A) = π1 (B) = 0, pois os hemisférios
são contráteis, portanto π1 (S n ) = 0 pelo teorema de Seifert-Van Kampen,
independentemente de π1 (A ∩ B). Aliás, pelo isomorfismo (7) os geradores
de π1 (S n ) se obtém unindo os geradores de π1 (A) e π1 (B), portanto π1 (S n )
é gerado pelo conjunto vazio. Isso implica que as relações sejam também
vazias e que o grupo seja trivial.
• Considerando a união a um ponto de várias esferas, só os cı́rculos contribuem.
Por exemplo, π1 (S 1 ∨ S 2 ) ' Z, π1 (S 1 ∨ S 1 ∨ S 2 ∨ S 3 ) ' Z ∗ Z e assim por
diante. A prova é parecida com a precedente, considerando que π1 (S n ) = 0
para n ≥ 2.
3.9. Superfı́cies topológicas. Vamos agora mostrar a classificação completa das
superfı́cies topológicas compactas (com ou sem bordo), calculando o grupo fundamental de cada uma graças ao teorema de Seifert-Van Kampen.
Definição 3.9. Um espaço topológico X é dito variedade topológica se é localmente
homeomorfo a Rn , ou seja se para todo x ∈ X existe uma vizinhança Ux tal que
Ux ≈ Rn . Se X for conexo n é constante é se chama de dimensão da variedade.
O fato que a vizinhança seja homeomorfa a Rn é equivalente ao fato que seja homeomorfa a uma bola aberta de Rn ou a um aberto de Rn (neste caso a equivalência
vale a menos de uma restrição da vizinhança), como às vezes se pede na definição.
Daqui por diante assumimos sempre que una variedade seja conexa.
Definição 3.10. Uma superfı́cie topológica é uma variedade topológica de dimensão
2.
32
Exemplos de superfı́cies são a esfera, o toro, R2 , o cilindro (infinito ou sem os dois
bordos, ou seja S 1 × R ou S 1 × (0, 1)). Vamos agora mostrar a classificação completa
das superfı́cies topológicas compactas a menos de homeomorfismo (e também de
equivalência homotópica). As superfı́cies fundamentais são as seguintes: a esfera S 2 ,
o toro T2 = S 1 × S 1 e o plano projetivo real RP2 . O plano projetivo se obtém como
quociente de D2 identificando os pares de pontos antipodais do bordo ∂D2 = S 1 .
Vamos agora introduzir uma operação natural que nos permite criar novas superfı́cies
a partir das fundamentais.
Definição 3.11. Sejam X e Y superfı́cies topológicas. A soma conexa X#Y é
definida do jeito seguinte:
• escolhemos dois subconjuntos D ⊂ X e D0 ⊂ Y homeomorfos a D2 ;
• tiramos a parte interna dos dois discos;
• identificamos os pontos correspondentes dos bordos ∂D e ∂D0 (homeomorfos
a S 1 ).
Pode-se provar que a soma conexa X#Y é uma superfı́cie topológica que, a menos
de homeomorfismo, não depende da posição dos dois discos escolhidos. Ademais,
é fácil conferir que X#Y ≈ Y #X e que X#S 2 ≈ X. Portanto, as classes de
homeomorfismo de superfı́cies topológicas se tornam um monoide abeliano a respeito da soma conexa, sendo a esfera o elemento neutro. Consideramos dois tipos
fundamentais de superfı́cies, a menos de homeomorfismo:
• a soma conexa de g toros Σg := T2 # · · · #T2 , para g ∈ N. Para g = 0
pomos Σ0 := S 2 . Deste jeito obtemos um submonoide isomorfo a N, pois
Σg #Σg0 = Σg+g0 .
• a soma conexa de k espaços projetivos Pk := RP2 # · · · #RP2 , para k ∈ N.
Para k = 0 pomos P0 := S 2 . De novo obtemos um submonoide isomorfo a
N.
A superfı́cie Σg é uma generalização do toro com g buracos. O numero g é dito
gênero da superfı́cie e corresponde ao número máximo de cı́rculos mergulhados na
superfı́cie que podem ser tirados sem tornar a superfı́cie desconexa. Por exemplo, em
um toro podemos cortar ao longo de um circulo vertical ou horizontal e a superfı́cie
fica conexa, mas não é possı́vel fazer isso uma segunda vez. Na esfera, cortando ao
longo de qualquer cı́rculo a superfı́cie se divide em duas componentes. Ademais,
reparamos que a superfı́cie X#T2 é homeomorfa à que se obtém acrescentando um
cilindro a X do jeito seguinte:
• escolhemos dois discos D, D0 ⊂ X tais que D ∩ D0 = ∅;
• tiramos a parte interna dos discos;
• identificamos os bordos de D e D0 com os bordos do cilindro.
Portanto, Σg é homeomorfa a uma esfera com g cilindros. Podemos também descrever estas superfı́cies através de um polı́gono no plano com os lados identificados de
um jeito adequado. Aliás:
• a esfera se obtém do disco identificando dois semicı́rculos no bordo em direção
oposta (este é o único caso no qual os vértices não são identificados).
33
• O toro se obtém de um retângulo identificando os lados opostos na mesma
direção (em particular todos os vértices são identificados).
• A soma conexa de dois toros se obtém do jeito seguinte: cortamos um disco
perto de um vértice qualquer nos dois toros e juntamos os dois discos ao
longo da borda. Se obtém um octágono com lados identificados como no
toro em sequência. A mesma construção pode ser repetida.
Observações parecidas valem para Pk :
• P1 = RP2 se obtém do disco identificando dois semicı́rculos no borda nas
mesma direção (em particular os dois vértices são identificados).
• A soma conexa de dois planos projetivos se obtém cortando um disco perto
de um vértice qualquer nos dois planos e juntando os dois discos ao longo da
borda. Se obtém um retângulo com pares de lados consecutivos identificados
na mesma direção. A mesma construção pode ser repetida.
A garrafa de Klein K se obtém identificando os lados opostos de um retângulo,
fazendo com que um par seja identificado na mesma direção e outro em direção
oposta. Temos que:
• K ≈ RP2 #RP2 . Alias, cortando K ao longo da diagonal e sobrepondo os
lados identificados em direção oposta se obtém RP2 #RP2 .
• RP2 #RP2 #RP2 ≈ T2 #RP2 ≈ K#RP2 . Só temos que provar o primeiro
homeomorfismo. Para isso, temos que, dadas duas sequências quaisquer P
e Q de lados, xxP −1 Q ∼ x1 P x1 Q. Para isso, consideramos um retângulo
com lados QxxP −1 e chamamos de x1 a diagonal de PˆQ a xx.
ˆ Cortando ao
longo da diagonal e identificando os lados x obtemos Qx1 P x1 . Agora temos
a igualidade seguinte, onde as operações aplicadas consistem na equivalência
xxP −1 Q ∼ x1 P x1 Q e na troca do lado de partida da sequência:
T2 #RP2 ∼ aba−1 b−1 cc ∼ cc(ab)(a−1 b−1 ) ∼ c1 (ab)−1 c1 (a−1 b−1 )
∼ c1 b−1 a−1 c1 a−1 b−1 ∼ b−1 (a−1 c1 a−1 )b−1 c1
−1
∼ b1 b1 (a−1 c1 a−1 )−1 c1 = b1 b1 ac−1
1 ac1 ∼ a(c1 )a(c1 b1 b1 )
∼ a1 a1 (c1 )(c1 b1 b1 ) ∼ a1 a1 c1 c1 b1 b1 ∼ RP2 #RP2 #RP2 .
O seguinte teorema mostra que as superfı́cies compactas que consideramos até agora
são todas as possı́veis.
Teorema 3.19. Qualquer superfı́cie compacta é homeomorfa a Σg ou a Pk para
g, k ∈ N. Portanto, qualquer superfı́cie compacta é homeomorfa a uma entre as
seguintes para g ∈ N:
Σg
Σg #RP2
Σg #K.
Observações:
• As superfı́cies da famı́lia {Σg } são orientáveis, enquanto as demais não são.
Definiremos em seguida o conceito de orientabilidade para uma variedade
topológica.
• Lembramos que, no enunciado do teorema, para g = 0 obtemos as superfı́cies
S 2 , RP2 e K.
34
A prova do teorema é muito técnica e não vamos mostra-la nestas notas. Trata-se de
mostrar que cada superfı́cie é triangulável (conceito que introduziremos em seguida
mas cujo significado pode ser intuı́do) e que, a partir de uma triangulação, é possı́vel
reconduzir-se a um polı́gono com lados identificados que representa Σg ou Pk .
Vamos agora considerar as superfı́cies com bordo. Usamos a notação seguinte:
H = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : xn ≥ 0}.
n
Definição 3.12. Um espaço topológico X é dito variedade topológica com bordo
se é localmente homeomorfo a Rn ou a Hn , ou seja se para todo x ∈ X existe uma
vizinhança Ux tal que Ux ≈ Rn ou Ux ≈ Hn . Se X for conexo n é constante é se
chama de dimensão da variedade.
O fato que a vizinhança seja homeomorfa a Rn ou a Hn é equivalente ao fato que
seja homeomorfa a um aberto de Hn : aliás, se o aberto for uma vizinhança de um
ponto interno de Hn se restringe a uma bola homeomorfa a Rn . Daqui por diante
assumimos sempre que una variedade seja conexa.
Definição 3.13. Uma superfı́cie topológica com bordo é uma variedade topológica
com bordo de dimensão 2.
Exemplos de superfı́cies com bordo são o disco D2 , o cilindro com dois bordos (ou
seja S 1 × I), qualquer superfı́cie sem bordo.
Teorema 3.20. Qualquer superfı́cie compacta com bordo se obtém a partir de uma
superfı́cie compacta sem bordo tirando a parte interna de uma quantidade finita de
discos fechados disjuntos. Portanto, indicando com Σg,k a superfı́cie obtida tirando
k discos a Σg , temos que qualquer superfı́cie compacta com bordo é homeomorfa a
uma entre as seguintes para g, k ∈ N:
Σg,k
Σg,k #RP2
Σg,k #K.
Por exemplo, o disco D2 se obtém da esfera tirando a parte interna de um disco
(por exemplo um hemisfério), portanto D2 ≈ Σ0,1 ; o cilindro se obtém da esfera
tirando a parte interna de dois discos (por exemplo em torno dos polos), portanto
S 1 × I ≈ Σ0,2 . A faixa de Möbius é o exemplo mais significativo de superfı́cie
com bordo não orientável. Pode ser representada por um retângulo identificando
dois lados opostos em direção oposta e deixando os demais dois lados não identificados. Pode ser obtida tirando um disco ao plano projetivo, ou seja M ≈ Σ0,1 #RP2 .
Observação: Contrariamente ao caso sem bordo, o teorema precedente não é valido
como classificação a menos de homotopia: por exemplo, quer o cilindro quer a faixa
de Möbius são homotopicamente equivalentes a S 1 . Mostraremos daqui a pouco a
classificação a menos de homotopia. Podemos agora calcular o grupo fundamental de cada superfı́cie compacta graças
ao teorema de Seifert-Van Kampen. Começamos pelo caso sem bordo. Vamos considerar o toro. Temos um retângulo com lados identificados na forma aba−1 b−1 .
Podemos considerar a seguinte cobertura de dois abertos: uma vizinhança A do
35
bordo do retângulo e um retângulo aberto interno B tais que A ∩ B seja homotopicamente equivalente a S 1 . Acrescentamos a B uma vizinhança contrátil dos vértices
(identificados) do retângulo, por exemplo uma bola que se quebra em quatro quartos
de bola, tais que só um destes quartos interseta B. Deste jeito podemos escolher os
vértices como ponto marcado. Temos que A se retrai no bordo, portanto o grupo
fundamental é o mesmo. O bordo é uma união a um ponto de duas cópias de S 1 ,
ou seja os lados a e b, portanto π1 (A) ' Z ∗ Z ' ha, bi. Claramente π1 (B) ' 1 e
π1 (A∩B) ' Z ' hci. As hipóteses do teorema são verificadas, portanto temos de calcular o produto amalgamado. A união dos geradores dá {a, b}, a união das relações
o conjunto vazio. Enfim, as imagens do único gerador c de π1 (A ∩ B) em π1 (A) e
π1 (B) têm que ser identificadas. Em π1 (B) claramente c = 1, em π1 (A), como c é um
cı́rculo em A que se retrai na borda do retângulo (a menos da conjugação com um
caminho que junte o ponto marcado a um vértice do retângulo), temos que c corresponde a uma volta completa da borda, ou seja c = aba−1 b−1 em π1 (A). Portanto, no
produto amalgamado, aba−1 b−1 = 1. Afinal obtemos π1 (T2 ) ' ha, b|aba−1 b−1 i ' Z2 .
Já conhecı́amos este resultado graças ao teorema 3.17, mas esta técnica pode ser
aplicada a qualquer polı́gono, portanto a qualquer superfı́cie compacta. Em particular:
−1
−1 −1
• π1 (Σg ) = ha1 , b1 , . . . , ag , bg |a1 b1 a−1
1 b1 · · · ag bg ag bg i;
−1
−1 −1 2
• π1 (Σg #RP2 ) = ha1 , b1 , . . . , ag , bg , c|a1 b1 a−1
1 b1 · · · ag bg ag bg c i;
−1
−1 −1
−1
• π1 (Σg #K) = ha1 , b1 , . . . , ag , bg , c, d|a1 b1 a−1
1 b1 · · · ag bg ag bg cdc di.
Dois grupos quaisquer entre estes não são isomorfos: aliás, consideremos os abelianizados deles. Lembramos que o abelianizado de um grupo é o quociente pelo subgrupo normal gerado pelos comutadores, ou seja pelos elementos da forma [g, h] =
ghg −1 h−1 . em uma apresentação livre, é suficiente acrescentar às relações os comutadores dos geradores. Nos grupo fundamentais que consideramos, é claro que
na primeira famı́lia a relação se torna trivial, portanto o abelianizado de π1 (Σg )
é Z2g . Na segunda famı́lia a relação se torna c2 = 1, portanto o abelianizado de
π1 (Σg #RP2 ) é Z2g ⊕ Z2 . Na terceira famı́lia a relação se torna d2 = 1, portanto
o abelianizado de π1 (Σg #K) é Z2g+1 ⊕ Z2 . Isso implica que a classificação das superfı́cies que estamos considerando é também a classificação a menos de equivalência
homotópica.
Observações:
• No segundo grupo obtemos em particular π1 (RP2 ) ' hc|c2 i ' Z2 . Observando o polı́gono que representa RP2 deduzimos que o ciclo não trivial é
representado por um semicı́rculo na borda de D2 , que se torna um caminho
fechado em RP2 , ou por caminhos no disco que juntam dois pontos antipodais do bordo (portanto o mesmo ponto de RP2 ) passando pela parte interna
do disco. Por exemplo um diâmetro do disco representa um caminho não
trivial. O mesmo caminho percorrido duas vezes se torna contrátil.
• No primeiro grupo, para g = 0 obtemos π1 (S 2 ) = 1 como já sabı́amos.
Observando o polı́gono que representa a esfera, já destacamos que os dois
vértices não são identificados, portanto os grupos fundamentais dos abertos
36
A e B são ambos triviais (a borda, com dois lados identificados na mesma
direção, se torna um intervalo, portanto A é contrátil).
• A superfı́cie Σg #RP2 é homeomorfa a P2g+1 , portanto o grupo fundamental
pode também ser descrito como π1 (P2g+1 ) = ha1 , . . . , a2g+1 |a21 · · · a22g+1 i. Este
grupo é isomorfo ao precedente, mesmo não sendo evidente olhando as apresentações livres. A prova do homeomorfismo entre Σg #RP2 e P2g+1 pode ser
adaptada para mostrar algebricamente o isomorfismo entre os dois grupos.
Do mesmo jeito, Σg #K é homeomorfa a P2g+2 , portanto o grupo fundamental pode também ser descrito como π1 (P2g+2 ) = ha1 , . . . , a2g+2 |a21 · · · a22g+2 i.
Vamos agora calcular o grupo fundamental das superfı́cies com bordo. Neste caso,
quando o bordo não for vazio, obtemos sempre um grupo livre, pois uma superfı́cie
com bordo não vazio é sempre homotopicamente equivalente à união a um ponto
de uns cı́rculos. Isso pode ser provados de vários jeitos equivalentes. Um pode
ser o seguinte: consideramos um polı́gono com k discos tirados. Imaginamos os
discos alinhados perto de um vértice. Traçamos k − 1 caminhos baseados no vértice
que passam ao redor de um disco, do jeito que entre dois caminhos haja só um
disco. Agora o complementar do disco entre dois caminhos pode ser esmagado com
continuidade nos caminhos mesmos. Em total restam os lados do polı́gono e os k − 1
caminhos, portanto obtemos a união a um ponto de uma famı́lia de esferas, cujo
número é a soma entre o número de lados não identificados e k − 1. Portanto:
• π1 (Σg,k ) ' Z∗(2g+k−1) ;
• π1 (Σg,k #RP2 ) ' Z∗(2g+k) ;
• π1 (Σg,k #K) ' Z∗(2g+k+1) .
Isso determina também a classificação das superfı́cies com bordo não vazio a menos de homotopia. Destacamos que também duas superfı́cies pertencentes à mesma
famı́lia podem ter o mesmo tipo de homotopia, por exemplo Σg,k ∼ Σg0 ,k0 se e somente se 2g + k = 2g 0 + k 0 . Se puséssemos k = 0, dentro de cada famı́lia obterı́amos
que duas superfı́cies são equivalentes se e somente se têm o mesmo gênero, que de
fato corresponde ao caso sem bordo. Todavia, comparando por exemplo os exponentes de Z relativos a Σ1,0 e Σ0,0 #K obterı́amos 1 em ambos os casos, mas T2 e
K não são homotopicamente equivalentes (T2 tem grupo fundamental abeliano, K
não). Portanto, esta classificação a menos de homotopia só vale para k ≥ 1, ou seja
para bordo não vazio.
As superfı́cies não compactas não bem mais complicadas. Algumas são homotopicamente equivalentes a uma compacta, com ou sem bordo. Por exemplo o cilindro
S 1 ×R é homotopicamente equivalente ao cilindro finito S 1 ×I, o plano R2 é homotopicamente equivalente a um disco e assim por diante. Dada uma superfı́cie compacta
é sempre possı́vel obter uma não compacta acrescentando um cilindro infinito de um
lado (ou seja, tirando a parte interna de um disco e identificando o bordo do disco
com o bordo do cilindro), mas neste caso a superfı́cie é homotopicamente equivalente
à que se obtém só tirando o disco. Também tirando uns pontos de uma superfı́cie
37
compacta se obtém uma não compacta, mas de novo homotopicamente equivalente
à compacta que se obtém tirando discos em vez que pontos.
Todavia, há superfı́cies não compactas que não podem ser reconduzidas às compactas nem a menos de homotopia: um toro generalizado com infinitos buracos é
uma superfı́cie com grupo fundamental não finitamente gerado. Também um aberto
dentro de uma superfı́cie é uma superfı́cie não compacta e isso pode ser menos trivial
do que parece: por exemplo podemos considerar o complementar de um conjunto
de Cantor na esfera (Cantor tree surface). Por isso achar uma classificação das
superfı́cies não compactas é bem mais complicado.
3.10. Problema inverso. Aplicando o teorema de Seifert-Van Kampen podemos
responder à pergunta seguinte: dado um grupo G genérico, existe um espaço topológico X (conexo por caminhos) tal que π1 (X) ' G? A resposta é positiva.
Começamos com um grupo livre G ' hAi. Neste caso é suficiente considerar
a
W
1
1
união a um ponto de uma cópia de S para cada gerador, ou seja X := α∈A S .
Seja agoraWG genérico e escolhamos uma apresentação livre G ' hA|Ri. Partimos
de X 0 := α∈A S 1 . Para cada sequência ak11 · · · aknn ∈ R, consideramos um disco D
com a borda dividida em k1 + · · · + kn segmentos e identificamos os lados na forma
ak11 · · · aknn . Agora escolhemos uma direção para cada cópia de S 1 em X 0 e consideramos a união disjunta entre X 0 e D, quocientada pela relação que identifica cada
lado de ∂D com a cópia correspondente em X 0 , percorrida na direção escolhida se o
exponente é positivo ou na direção oposta se é negativo. O grupo fundamental do
espaço X assim obtido é isomorfo a G. Aliás, aplicamos o teorema de Seifer-Van
Kampen à cobertura seguinte: um aberto A é X 0 unido a uma vizinhança contrátil
de ∂D em cada disco. Os demais abertos são abertos contráteis contidos na parte
interna de cada disco, cuja interseção com A seja homotopicamente equivalente a
S 1 . Deste jeito os abertos e as interseções são conexas por caminhos, enquanto não
há triplas interseções. Para o teorema, temos um gerador para cada cópia de S 1 e
as relações que tornam triviais as bordas dos discos, logo o grupo obtido é isomorfo
a G.
3.11. Recobrimentos. Vamos agora estudar o conceito de recobrimento. Esta
noção foi de fato já introduzida para calcular o grupo fundamental do cı́rculo, pois
a função exp : R → S 1 é um recobrimento. A definição seguinte é a direta generalização.
Definição 3.14. Seja X um espaço topológico. Uma função contı́nua sobrejetora
π : X̃ → X F
é dita recobrimento de X se existe uma cobertura {Uα }α∈I de X tal que
−1
π (Uα ) = λ∈Λ Ũαλ (união disjunta), onde Ũαλ é aberto em X̃ e π|Ũαλ : Ũαλ → Uα é
um homeomorfismo.
Às vezes se diz que X̃ é um recobrimento, subentendendo a projeção π, mas o
mesmo espaço X̃ pode ser um recobrimento de X através de projeções diferentes (e
não equivalentes no sentido que precisaremos). Já provamos que exp : R → S 1 é um
recobrimento de S 1 . Outros recobrimentos de S 1 são definidos por pn : S 1 → S 1 ,
pn (e2πiθ ) = e2πinθ . Neste caso a contra-imagem de um elemento de uma cobertura
38
que satisfaz a definição é formada por n abertos, enquanto no caso de exp era
formada por infinitos abertos. O lema 3.12 vale para qualquer recobrimento com a
mesma prova:
Lema 3.21. Seja π : X̃ → X um recobrimento. Sejam Y um espaço topológico
e f : Y × I → X uma função contı́nua. Seja F0 : Y × {0} → X̃ uma função
tal que π ◦ F0 = f |Y ×{0} . Então existe uma única função F : Y × I → X̃ tal que
F |Y ×{0} = F0 e π ◦ F = f . Como no caso do cı́rculo, para Y = {∗} o lema implica que, dados um caminho
ϕ : I → X e um ponto x̃0 ∈ X̃ tal que π(x̃0 ) = ϕ(0), existe um único levantamento
ϕ̃ : I → X̃ tal que π ◦ ϕ̃ = ϕ e ϕ̃(0) = x̃0 (é claro que um caminho fechado não
se levanta em geral a um caminho fechado, como já verificamos no caso do cı́rculo).
Ademais, seja ϕ0 , ϕ1 : I → X dois caminhos entre x0 e x1 e seja Φ : I × I → X uma
homotopia de caminhos. Marcamos um ponto x̃0 ∈ X̃ tal que π(x̃0 ) = x0 . Pelo lema
com Y = I existe um único levantamento Φ̃ : I × I → X̃ tal que Φ̃|{0}×I = x̃0 . Pela
unicidade do levantamento, os caminhos Φ̃(t, 0) e Φ̃(t, 1) são os levantamentos de ϕ0
e ϕ1 a partir de x̃0 , que chamamos de ϕ̃0 e ϕ̃1 . Ademais, temos que π(Φ̃(1, u)) = x1
para todo u ∈ I. Isso implica que Φ̃(1, u) seja constante, o que pode ser provado de
dois jeitos equivalentes:
• o caminho Φ̃(1, u) levanta o caminho constante x1 a partir de Φ̃(1, 0): pela
unicidade do levantamento, só pode ser o caminho constante;
• considerando uma vizinhança U de x1 que satisfaz a definição de recobrimento, temos que π −1 {x1 } é a união de um ponto para cada aberto de
π −1 (U ), sendo estes abertos disjuntos; portanto o subespaço π −1 {x1 } tem a
topologia discreta, o que implica que uma função contı́nua em π −1 {x1 } seja
constante (no caso do cı́rculo usamos o fato que Z é discreto em R, esta é a
generalização do mesmo conceito).
Isso prova que, levantando dois caminhos homotópicos a partir do mesmo ponto, obtemos caminhos que chegam ao mesmo ponto. Os levantamentos são homotópicos,
sendo uma homotopia entre eles o levantamento de uma homotopia entre os na base.
Vamos agora considerar recobrimentos com ponto base, ou seja morfismos π :
(X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) na categoria Top+ tais que a imagem π : X̃ → X na categoria
Top seja um recobrimento. Voltaremos em seguida aos recobrimentos na categoria
Top. Consideremos dois caminhos homotópicos ϕ, ψ ∈ Ωx0 (X) (portanto [ϕ] = [ψ]
em π1 (X, x0 )). Pelo que acabamos de provar, os dois levantamentos ϕ̃ e ψ̃ a partir
de x̃0 não são necessariamente fechados, mas têm o mesmo ponto de chegada x̃1 ∈
π −1 (x0 ) e são homotópicos. Portanto, em particular, ou são ambos fechados (se
x̃1 = x̃0 ) ou são ambos não fechados. Isso significa que o fato de levantar-se a um
caminho fechado é uma propriedade da classe [ϕ] ∈ π1 (X, x0 ), não do representante
ϕ. Quando esta propriedade for satisfeita, fica bem definida a classe [ϕ̃] ∈ π1 (X̃, x̃0 ).
A partir desta observação podemos enunciar o teorema seguinte:
39
Teorema 3.22. Seja π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) um recobrimento. O morfismo π∗ :
π1 (X̃, x̃0 ) → π1 (X, x0 ) é injetor e sua imagem o subgrupo das classes de caminhos
que se levantam a caminhos fechados.
Prova: Seja [ϕ̃] ∈ π1 (X̃, x̃0 ) tal que π∗ [ϕ̃] = 1. Isso significa que o caminho ϕ := π# ϕ̃
é trivial, portanto existe uma homotopia Φ : I × I → X entre ϕ e cx0 . Seja Φ̃ o
levantamento de Φ tal que Φ̃(0, u) = x̃0 . Pela unicidade temos que Φ̃(t, 1) = ϕ̃(t)
e Φ̃(t, 0) = x̃0 . Ademais sabemos que Φ̃(1, u) é constante e portanto igual a x̃0 .
Isso mostra que Φ̃ é uma homotopia entre ϕ̃ e cx̃0 , portanto [ϕ̃] = 0, logo π∗ é
injetor. É claro que se ϕ ∈ Ωx0 (X) se levanta a um caminho fechado ϕ̃ ∈ Ωx̃0 (X̃),
então [ϕ] = π∗ [ϕ̃] ∈ Im(π∗ ). Viceversa, se [ϕ] ∈ Im(π∗ ) existe ϕ̃ ∈ Ωx̃0 (X̃) tal que
[ϕ] = π∗ [ϕ̃], portanto ϕ ∼ π# ϕ̃. Como π# ϕ̃ se levanta a ϕ̃, que é fechado por definição, todo caminho na classe [ϕ] se levanta a um caminho fechado. É imediato verificar a partir da definição de recobrimento que a cardinalidade de
π −1 (x) é localmente constante em x: aliás, coincide com o número de abertos disjuntos que formam a contraimagem de uma vizinhança de x que satisfaz a definição,
portanto é a mesma para qualquer ponto da vizinhança. Isso implica que, se X for
conexo, |π −1 (x)| é constante.
Definição 3.15. Para X conexo, o número de folhas de um recobrimento π : X̃ →
X é a cardinalidade (finita ou infinita) de π −1 (x) para qualquer x ∈ X.
Graças ao teorema precedente podemos caraterizar algebricamente o número de
folhas quando X e X̃ são conexos por caminhos:
Teorema 3.23. Seja π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) um recobrimento com X e X̃ conexos
por caminhos. O número de folhas de π é igual ao ı́ndice do subgrupo π∗ (π1 (X̃, x̃0 ))
em π1 (X, x0 ).
Prova: Seja H = π∗ (π1 (X̃, x̃0 )). Vamos definir uma bijeção χ entre os laterais esquerdos de H e π −1 (x0 ) do jeito seguinte: associamos a H[ϕ] o ponto ϕ̃(1), sendo ϕ̃
o levantamento de ϕ a partir de x̃0 . A função χ é:
• bem definida pois, para [ψ] ∈ H, o levantamento ψ̃ é um caminho fechado e
claramente ϕ̃ ∗ ψ̃(1) = ϕ̃(1);
• sobrejetora, pois, para x̃1 ∈ π −1 (x0 ), como X̃ é conexo por caminhos podemos achar um caminho ϕ̃ que junta x̃0 a x̃1 ; a projeção ϕ := π ◦ ϕ̃ é um
caminho fechado tal que χ(H[ϕ]) = x̃1 ;
• injetora, pois χ(H[ϕ]) = χ(H[ψ]) se e somente se ϕ̃(1) = ψ̃(1), ou seja se
e somente se ϕ̃−1 ∗ ψ̃ é um caminho fechado; pelo teorema precedente, isso
é equivalente ao fato que [ϕ−1 ∗ ψ] ∈ H, ou seja [ψ][ϕ]−1 ∈ H, ou seja
H[ϕ] = H[ψ].
Por enquanto consideramos levantamentos de homotopias a partir de um levantamento fixado da função de partida. O seguinte teorema mostra quando existe um
40
levantamento de uma função genérica que respeite os pontos marcados, desde que
sejam satisfeitas umas hipóteses a respeito do domı́nio. Lembramos que uma propriedade vale localmente quando vale em um sistema fundamental de vizinhanças
de cada ponto.
Teorema 3.24. Seja f : (Y, y0 ) → (X, x0 ) uma função contı́nua, com Y conexo
por caminhos e localmente conexo por caminhos. Seja π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) um
recobrimento. Existe um levantamento F : (Y, y0 ) → (X̃, x̃0 ) de f se e somente se
f∗ (π1 (Y, y0 )) ⊂ π∗ (π1 (X̃, x̃0 )). Neste caso o levantamento é único.
Prova: Uma direção é trivial: se existe um levantamento, por definição f = π ◦ F ,
portanto f∗ = π∗ ◦ F∗ , o que implica que f∗ (π1 (Y, y0 )) ⊂ π∗ (π1 (X̃, x̃0 )). Viceversa,
suponhamos que valha a inclusão. Definimos F do jeito seguinte: dado y ∈ Y ,
consideramos um caminho ϕ : I → Y entre y0 e y, consideramos a imagem f ◦ ϕ :
I → X e a levantamos (do único jeito possı́vel) a um caminho f]
◦ ϕ : I → X̃ a
]
partir de x̃0 . Definimos F (y) := f ◦ ϕ(1).
Temos que mostrar que F é bem definida e contı́nua. Seja ϕ : I → Y outro
caminho entre y0 e y. Isso implica que ψ −1 ∗ ϕ seja um caminho fechado, portanto
(f ◦ ψ)−1 ∗ (f ◦ ϕ) é um caminho fechado cuja classe fica em f∗ (π1 (Y, y0 )), portanto
em π∗ (π1 (X̃, x̃0 )). Pelo teorema 3.22 este caminho se levanta a um caminho fechado,
o qual tem que coincidir com (f]
◦ ψ)−1 ∗ (f]
◦ ϕ), logo f]
◦ ψ(1) = f]
◦ ϕ(1).
A respeito da continuidade, para y ∈ Y seja U uma vizinhança de f (y) em X que
verifica a definição de recobrimento, e seja Ũ a componente da contraimagem que
contém F (y). Seja V uma vizinhança conexa por caminhos de y tal que V ⊂ f −1 (U )
(é possı́vel escolher V deste jeito pois Y é localmente conexo por caminhos). Vamos
mostrar que F |V é contı́nua, o que prova que F é contı́nua em uma vizinhança
de cada ponto, portanto é contı́nua. Para provar isso, só temos de mostrar que
F (V ) ⊂ Ũ , assim temos que F |V = π −1 ◦ f , portanto F é contı́nua. Para prova isso,
marcamos um caminho ϕ de y0 a y e, para cada y 0 ∈ V , escolhemos um caminho
ψ de y a y 0 . Deste jeito F (y 0 ) = f ◦^
(ψ ∗ ϕ)(1). Temos que f]
◦ ψ(1) = F (y) ∈ Ũ .
−1
Ademais, o levantamento de f ◦ψ é π ◦f ◦ψ, portanto o ponto de chegada pertence
a Ũ .
A respeito da unicidade, seja y ∈ Y e seja U uma vizinhança de f (y) em X que
verifica a definição de recobrimento. Suponhamos que haja dois levantamentos F0
e F1 de f e sejam Ũ0 e Ũ1 as contraimagens de U que contém F0 (y) e F1 (y). Por
continuidade existe uma vizinhança V de y tal que F0 (V ) ⊂ Ũ0 e F1 (V ) ⊂ Ũ1 . Se
F0 (y) 6= F1 (y), então Ũ0 ∩ Ũ1 = ∅, portanto F0 e F1 são diferentes em V todo.
Se F0 (y) = F1 (y), então Ũ0 = Ũ1 , portanto F0 |V = F1 |V = π −1 |U ◦ f , sendo
π −1 |U : U → Ũ0 . Portanto o conjunto dos pontos onde F0 = F1 é aberto e fechado em Y . Como Y é conexo e como este conjunto contém pelo menos y0 , temos
que F0 = F1 . Observação: O enunciado da unicidade no teorema precedente pode ser também
formulado do jeito seguinte, considerando recobrimentos sem ponto marcado. Seja
41
f : Y → X uma função contı́nua, com Y conexo por caminhos (neste caso não é
necessário que seja também localmente, pois isso não foi usado na prova da unicidade). Seja π : X̃ → X um recobrimento. Se dois levantamentos F0 , F1 : Y → X̃
de f coincidem em um ponto de Y então F0 = F1 . Vamos agora considerar o problema de classificar todos os recobrimentos de um
espaço X que verifique umas hipóteses razoáveis, a menos de uma noção adequada
de equivalência de recobrimentos. A primeira observação concerne o teorema 3.22.
Como o grupo fundamental de um recobrimento de X com ponto marcado é um
subgrupo de π1 (X, x0 ), é natural perguntar-se se cada subgrupo de π1 (X, x0 ) corresponde a pelo menos um recobrimento. Equivalentemente, nos perguntamos se
a função que associa a um recobrimento o correspondente subgrupo de π1 (X, x0 ) é
sobrejetora. Se a resposta for positiva, será natural perguntar-se se é também injetora (a menos de equivalência de recobrimentos). Vamos agora mostrar que ambas
as respostas são positivas quando X satisfaz umas hipóteses, o que implica que haja
uma bijeção natural entre os recobrimentos de (X, x0 ) e os subgrupos de π1 (X, x0 ).
Isso mostra em particular como a teoria do grupo fundamental e a teoria dos recobrimentos sejam bem ligadas, sendo quase a mesma teoria formulada de dois jeitos
diferentes.
Comecemos pela primeira pergunta. Se a função for sobrejetora (o que queremos
provar), em particular a imagem contém o subgrupo trivial de π1 (X, x0 ). Isso significa que tem de existir um recobrimento de (X, x0 ) simplesmente conexo. Vamos
agora construir este recobrimento; em seguida mostraremos que os demais recobrimentos podem ser construı́dos como quociente do simplesmente conexo, sendo
cada quociente correspondente a um subgrupo de π1 (X, x0 ). Para construir este
recobrimento, precisamos de uma hipótese a respeito de espaço X, além do fato de
ser conexo por caminhos quer globalmente quer localmente. A ideia é a seguinte:
cada ponto de x deve ter uma vizinhança não demasiado complicada topologicamente. Pensemos em uma variedade: cada ponto tem uma vizinhança contrátil
(uma bola em uma carta local), portanto o espaço é localmente contrátil. Essa
hipótese seria suficiente, mas não é necessária. Vamos supor que exista um recobrimento π : X̃ → X simplesmente conexo. Dado um ponto x ∈ X, seja U uma
vizinhança que verifica a definição de recobrimento. Dado um caminho fechado
ϕ ∈ Ωx (U ), seja x̃ ∈ π −1 (x) e seja Ũ a componente de π −1 (U ) que contém x̃. Como
π|Ũ : Ũ → U é um homeomorfismo, temos que ϕ̃ := π|−1
◦ ϕ ∈ Ωx̃ (Ũ ), ou seja ϕ se
Ũ
levanta a um caminho fechado em Ũ . Como π1 (X̃) = 0, temos que ϕ̃ é contrátil em
X̃ (não necessariamente em Ũ ), portanto, projetando uma homotopia, temos que
também ϕ é contrátil em X. Isso significa que, considerando o mergulho i : U ,→ X,
o push-forward i∗ : π1 (U, x) → π1 (X, x) é a função nula. Damos portanto a definição
seguinte:
Definição 3.16. Um espaço X é dito semilocalmente simplesmente conexo se, para
todo x ∈ X, existe uma vizinhança U tal que o morfismo natural i∗ : π1 (U, x) →
π1 (X, x) induzido pelo mergulho i : U ,→ X seja o morfismo nulo.
42
Claro que a definição é satisfeita para X localmente simplesmente conexo, mas
isso não é necessário. O fato que X seja localmente simplesmente conexo significa
que existe uma vizinhança U de x tal que qualquer caminho em U com ponto base
x seja contrátil em U , enquanto na definição só pedimos que seja contrátil em X
(ou seja, uma homotopia com o caminho constante cx pode sair de U ). Enfim, reparamos que, se U verifica a definição no ponto x e é conexo por caminhos, então
i∗ : π1 (U, y) → π1 (X, y) é nulo para qualquer y ∈ U : aliás, sejam ix : (U, x) → (X, x)
e iy : (U, y) → (X, y) os dois mergulhos. Seja ψ : I → U um caminho entre x e y.
Então (iy )∗ = (ψ)! ◦ (ix )∗ ◦ (ψ)−1
! , portanto (iy )∗ = 0.
Podemos agora construir um recobrimento simplesmente conexo π : (X̃, x̃0 ) →
(X, x0 ) de um espaço (X, x0 ) conexo por caminhos, localmente conexo por caminhos
e semilocalmente simplesmente conexo. O fato fundamental é o seguinte:
• como conjunto, X̃ contém as classes de homotopia de caminhos em X que
partem de x0 .
Para chegar a esta definição, pensamos do jeito seguinte. Como X̃ deve ser simplesmente conexo, pelo lema 3.10 para cada x̃ ∈ X existe uma única classe de homotopia
de caminhos entre x̃0 e x̃ em X̃. Dado x ∈ X, podemos portanto identificar os pontos de π −1 (x) com as classes de homotopia de caminhos de x̃0 a um ponto de π −1 (x).
Como mostramos nos comentários depois do lema 3.21, dois caminhos homotópicos
de x0 a x se levantam de um jeito único a dois caminhos homotópicos (em particular,
com o mesmo ponto de chegada) de x̃0 a um ponto de π −1 (x), portanto podemos
identificar os pontos de π −1 (x) em X̃ com as classes de homotopia de caminhos de x0
a x em X. Dado que π deve ser sobrejetor, isso nos permite descrever X̃ só através
de X, chegando à definição precedente de X̃ como conjunto. Portanto, podemos
definir:
X̃ := {[ϕ : I → X] : ϕ(0) = x0 }.
Como ponto marcado escolhemos x̃0 := [cx0 ] e definimos π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) do
jeito seguinte: π([ϕ]) := ϕ(1). A projeção π assim definida é sobrejetora pois X
é conexo por caminhos. Agora só precisamos dar uma topologia a X̃. A ideia é a
seguinte:
• Seja U = {U ⊂ X : U é aberto, conexo por caminhos e i∗ : π1 (U, x) →
π1 (X, x) é o morfismo nulo para x ∈ U }. Temos que U é uma base da topologia de X.
• Para U ∈ U, sejam x ∈ U e ϕ : I → X um caminho entre x0 e x. Definimos:
U[ϕ] := {[ψ ∗ ϕ] ∈ X̃ : ψ : I → U, ψ(0) = x}.
Seja Ũ = {U[ϕ] }. Então Ũ é uma base de uma topologia sobre X̃ a respeito
da qual π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) é um recobrimento. Em particular, U é uma
cobertura de X que verifica a definição de recobrimento.
Vamos provar os enunciados. Para provar que U é uma base da topologia de X,
reparamos que, dado U ∈ U, qualquer subconjunto aberto conexo por caminhos
43
V ⊂ U pertence também a U: aliás, o morfismo π1 (V, x) → π1 (X, x) coincide com a
composição π1 (V, x) → π1 (U, x) → π1 (X, x), logo é nulo. Portanto:
• os elementos de U são abertos de X por construção;
• dados U aberto de X e x ∈ U , seja V ∈ U uma vizinhança de x, a qual
existe pois X é semilocalmente simplesmente conexo: como X é localmente
conexo por caminhos, existe uma vizinhança W de x conexa por caminhos
tal que W ⊂ U ∩ V ; como W ⊂ V ∈ U, temos que W ∈ U pela observação
precedente, logo x ∈ W ⊂ U e W ∈ U.
Isso prova que U é uma base da topologia de X. Temos agora de mostrar que Ũ é
uma base: seja claro que X já tinha uma topologia, portanto tı́nhamos de verificar
que U fosse uma base da topologia já dada, enquanto em X̃ estamos definindo uma
topologia, portanto temos de verificar que Ũ satisfaça os axiomas para ser base de
uma nova topologia. Usamos o fato seguinte: seja [ϕ0 ] ∈ U[ϕ] . Então U[ϕ0 ] = U[ϕ] .
Aliás, seja [ϕ0 ] = [η ∗ ϕ]: temos que [ψ ∗ ϕ0 ] = [(ψ ∗ η) ∗ ϕ] ∈ U[ϕ] , logo U[ϕ0 ] ⊂ U[ϕ] .
Ademais, [ψ ∗ ϕ] = [(ψ ∗ η −1 ) ∗ (η ∗ ϕ)] = [(ψ ∗ η −1 ) ∗ ϕ0 ] ∈ U[ϕ0 ] , logo U[ϕ] ⊂ U[ϕ0 ] . Por
isso, seja ϕ00 ∈ U[ϕ] ∩ V[ϕ0 ] . Então U[ϕ] = U[ϕ00 ] e U[ϕ0 ] = V[ϕ00 ] . Logo, para um aberto
W ∈ U tal que ϕ00 (1) ∈ W ⊂ U ∩ V , temos que W[ϕ00 ] ⊂ U[ϕ00 ] ∩ V[ϕ00 ] e ϕ00 ∈ W[ϕ00 ] :
isso prova que U é uma base de uma topologia em X̃.
Enfim, temos de provar que π é um recobrimento (inclusive o fato que seja
contı́nua) e que X̃ é simplesmente conexo. Temos que:
• A projeção π : U[ϕ] → U , π[ψ ∗ ϕ] := ψ ∗ ϕ(1) = ψ(1) é bijetora. Aliás, é
sobrejetora pois U é conexo por caminhos. É injetora pois, se ψ, ψ 0 : I → U
chegam ao mesmo ponto x, então são homotópicos em X (pois, como U ∈ U,
temos ψ 0 ∼ (ψ 0 ∗ ψ −1 ) ∗ ψ ∼ ψ), portanto [ψ ∗ ϕ] = [ψ 0 ∗ ϕ].
• Alem de ser bijetora, a projeção π : U[ϕ] → U é um homeomorfismo. Isso é
devido ao fato que π induz uma bijeção entre os abertos de Ũ contidos em U[ϕ]
e os de U contidos em U , associando a V[ϕ0 ] o aberto V . Aliás, para [ψ ∗ ϕ0 ] ∈
V[ϕ0 ] temos que π([ψ ∗ ϕ0 ]) = ψ(1) ∈ V , portanto π(V[ϕ0 ] ) ⊂ V . Para mostrar
o viceversa, reparamos que V[ϕ0 ] , sendo contido em U[ϕ] , é completamente
determinado por V , pois existe uma única classe [ϕ0 ] ∈ U[ϕ] tal que ϕ0 (1) ∈ V .
Aliás, sejam ϕ0 , ϕ00 ∈ U[ϕ] tais que ϕ0 (1), ϕ00 (1) ∈ V : temos que ϕ0 ∼ ψ 0 ∗ ϕ e
ϕ00 ∼ ψ 00 ∗ ϕ pois pertencem a U[ϕ] , portanto ϕ00 ∼ (ψ 00 ∗ ψ 0 −1 ) ∗ ψ 0 ∗ ϕ ∼ ϕ0 ,
sendo ψ 00 ∗ ψ 0 −1 trivial em X pois U ∈ U. Por isso, dado [ψ ∗ ϕ] ∈ U[ϕ]
tal que π([ψ ∗ ϕ]) = ψ(1) ∈ V , podemos pôr ϕ0 := ψ ∗ ϕ e obtemos que
[ψ ∗ ϕ] = [ϕ0 ] ∈ V[ϕ0 ] , portanto π −1 (V ) ⊂ V[ϕ0 ] .
• π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) é contı́nua e é um recobrimento. O ponto precedente
implica que π seja localmente contı́nua, portanto contı́nua. Verificamos que U
é uma cobertura de X que verifica a definição de recobrimento. Já mostramos
que π : U[ϕ] → U é um homeomorfismo, portanto só temos de provar que
U[ϕ] ∩ U[ϕ0 ] = ∅ se U[ϕ] 6= U[ϕ0 ] . Seja [ϕ00 ] ∈ U[ϕ] ∩ U[ϕ0 ] . Então ϕ00 (1) ∈ U
portanto U[ϕ00 ] = U[ϕ] e U[ϕ00 ] = U[ϕ0 ] , logo U[ϕ] = U[ϕ0 ] .
• X̃ é simplesmente conexo. Começamos provando que é conexo por caminhos.
Seja [ϕ] ∈ X̃. Seja ϕt o caminho obtido reparametrizando ϕ|[0,t] e seja
44
Φ : I → X̃ definido por Φ(t) := [ϕt ]: se Φ é contı́nuo, trata-se de um caminho
em X̃ que junta x̃0 = [cx0 ] a [ϕ]. Para provar a continuidade, mostramos que
Φ−1 (U[ψ] ) ⊂ I é aberto para qualquer aberto-base U[ψ] . Seja Φ(t) ∈ U[ψ] , ou
seja [ϕt ] ∈ U[ψ] : temos em particular que ϕ(t) ∈ U ∈ U, ademais U[ψ] = U[ϕt ] .
Para u ∈ (t − ε, t + ε) ⊂ ϕ−1 (U ) temos que ϕu é homotópico à composição de
ϕt com ϕ|[t,u] ou ϕ|−1
[u,t] reparametrizado, portanto Φ(u) ∈ U[ϕt ] = U[ψ] . Isso
mostra que Φ(t − ε, t + ε) ⊂ U[ψ] , logo Φ−1 (U[ψ] ) é aberto.
Seja agora ϕ̃ ∈ Ωx̃0 (X̃). Um jeito de provar que ϕ̃ é trivial poderia ser o
seguinte: ϕ̃ pode ser levantado a um caminho de caminhos (ou seja de representantes) ϕ̃0 : I × I → X tal que ϕ̃0 (t, 0) = ϕ̃0 (0, u) = ϕ̃0 (1, u) = x0 , sendo
ϕ̃(t) = [ϕ̃0 |{t}×I ]. O leitor pode imaginar um caminho fechado de caminhos
em X com caminho-base cx0 : os pontos finais percorrem um caminho em
X, ou seja ϕ̃0 |I×{1} , mas cada ponto final leva consigo um caminho completo
que parte de x0 ; por isso, é possı́vel percorrer em direção contrária cada um
destes caminhos, obtendo uma homotopia entre ϕ̃0 é o caminho de caminhos
constante ccx0 (trata-se de uma espécie de meio-cone em X que junta o caminho dos pontos finais com x0 ; percorrendo o meio-cone até o vértice se obtém
uma homotopia com o caminho constante). Consideramos em particular a
homotopia Φ̃0 : I × I × I → X tal que Φ̃0 (I × I × {v}) seja a reparametrização
de ϕ̃0I×[0,v] . Deste jeito definimos uma homotopia Φ̃ : I × I → X̃ entre ϕ̃ e o
caminho trivial cx̃0 por ϕ̃(t, v) = [ϕ̃0 |{t}×I×{v} ].
Esta prova é mais fácil a visualizar geometricamente, mas o problema é
que temos de provar que existe um levantamento ϕ̃0 contı́nuo. Para isso
seria mais prático passar através de uma topologia no espaço dos caminhos
(sem quocientar por homotopia), que não definimos. Portanto, damos uma
prova auto-contida do jeito seguinte. Dado ϕ̃ ∈ Ωx̃0 (X̃), seja ϕ ∈ Ωx0 (X)
a projeção ϕ(t) := π(ϕ̃(t)), ou seja ϕ(t) é o ponto de chegada de qualquer
representante de ϕ̃(t) (corresponde a ϕ̃0 (t, 1) na prova precedente). Seja ϕt
o caminho ϕ|[0,t] reparametrizado. Temos que t → [ϕt ] é um caminho em
X̃ (contı́nuo pelo motivo que já mostramos no começo deste parágrafo) que
parte de x̃0 e levanta ϕ, portanto coincide com ϕ̃, ou seja ϕ̃(t) = [ϕt ]. Por
isso temos que [ϕ] = [ϕ1 ] = ϕ̃(1) = x̃0 = [cx0 ], portanto ϕ é trivial. Isso
implica que π∗ [ϕ̃] = 1, logo, sendo π∗ injetor, [ϕ̃] = 1.
Acabamos de provamos a existência de um recobrimento simplesmente conexo, cujo
grupo fundamental é portanto o subgrupo trivial de π1 (X, x0 ). Vamos agora mostrar
como, a partir deste recobrimento, dado um subgrupo H ≤ π1 (X, x0 ) podemos
construir um recobrimento cujo grupo fundamental seja H (a menos do mergulho
π∗ ). Aliás, consideremos o recobrimento simplesmente conexo π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 )
que acabamos de construir. Definimos X̃H como o quociente de X̃ através da relação
de equivalência seguinte:
(8)
[ϕ] ∼H [ϕ0 ] ⇐⇒ ϕ(1) = ϕ0 (1), [ϕ0
−1
∗ ϕ] ∈ H.
45
A projeção πH : X̃H → X é definida por πH [[ϕ]] := π[ϕ] = ϕ(1), sendo [[ϕ]] a classe
de [ϕ] a menos de (8). O ponto marcado é x̃0,H := [x̃0 ] = [[cx0 ]]. É claro que se
[ϕ] ∼H [ϕ0 ], então para qualquer caminho ψ que parta de ϕ(1) = ϕ0 (1) temos que
[ψ ∗ ϕ] ∼H [ψ ∗ ϕ0 ]. Isso implica que, se [ϕ] ∼H [ϕ0 ], então os abertos U[ϕ] e U[ϕ0 ] são
identificados, senão as duas projeções ao quociente por ∼H ficam disjuntas: por isso,
−1
para U ∈ U, πH
(U ) continua sendo união disjunta de umas cópias de U a menos de
homeomorfismo, logo a projeção πH é um recobrimento. Enfim, temos de mostrar
que (πH )∗ (π1 (X̃H , x̃0 )) = H. Isso é devido ao fato que [ϕ] ∈ π1 (X, x0 ) é também
um ponto [ϕ] ∈ X̃ e o levantamento de um representante ϕ é dado por t → [ϕt ],
o qual parte de x̃0 = [cx0 ] e chega a [ϕ]. Passando ao quociente X̃H , isso implica
que o levantamento é fechado se e somente se [[cx0 ]] = [[ϕ]], ou seja se e somente se
[c−1
x0 ∗ ϕ] = [ϕ] ∈ H. Pelo teorema 3.22 temos que (πH )∗ (π1 (X̃H , x̃0 )) = H. Repa0
ramos que a mesma observação mostra que a projeção πH
: (X̃, x̃0 ) → (XH , x̃0,H )
0
definida por πH [ϕ] := [[ϕ]] é um recobrimento. Aliás, seja [U[ϕ] ] := πH (U[ϕ] ). Temos
0 −1
que πH
[U[ϕ] ] é a união disjunta dos abertos U[ϕ0 ] tais que [U[ϕ0 ] ] = [U[ϕ] ], os quais
são homeomorfos a U[ϕ] mesmo. Pelo teorema 3.23, o número de folhas de πH é o
0
é |H|, sendo o ı́ndice
ı́ndice de H em π1 (X, x0 ), enquanto o número de folhas de πH
de {1} em H.
Para mostrar a correspondência entre recobrimentos com ponto base e subgrupos
de π1 (X, x0 ), temos ainda de estabelecer quando dois recobrimentos são isomorfos.
A definição mais natural é a seguinte:
Definição 3.17. Sejam π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) e π 0 : (X̃ 0 , x̃00 ) → (X, x0 ) dois recobrimentos. Um isomorfismo de recobrimentos entre π e π 0 é um homeomorfismo
f : (X̃, x̃0 ) → (X̃ 0 , x̃00 ) tal que π 0 ◦ f = π, ou seja tal que o diagrama seguinte seja
comutativo:
f
(X̃, x̃0 )
/
(X̃ 0 , x̃00 )
π0
π
%
y
(X, x0 ).
Observação: O fato que o homeomorfismo comute com as projeções é fundamental, não sendo suficiente o homeomorfismo em si mesmo. Por exemplo, no caso de
S 1 , os recobrimentos pn : (S 1 , 1) → (S 1 , 1), pn (eiθ ) = einθ , não são isomorfos para
diferentes valores de n pois o número de folhas de pn é n, mas o espaço (X̃, x̃0 ) é
(S 1 , 1) para todos. Agora podemos enunciar e provar o teorema de classificação dos recobrimentos
com ponto base.
Teorema 3.25. Seja (X, x0 ) conexo por caminhos, localmente conexo por caminhos
e semilocalmente simplesmente conexo. Há uma bijeção natural entre o conjunto
46
dos recobrimentos conexos por caminhos com ponto base de (X, x0 ) a menos de isomorfismo e o conjunto dos subgrupos de π1 (X, x0 ). A bijeção é definida associando
a um recobrimento π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) o subgrupo π∗ (π1 (X̃, x̃0 )).
Prova: Já provamos que a função dos recobrimentos aos subgrupos é sobrejetora, pois
construı́mos o recobrimento πH : (X̃H , x̃0 ) → (X, x0 ) para um genérico subgrupo
H ≤ π1 (X, x0 ). Só temos de provar que é injetora, ou seja que dois recobrimentos
π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) e π 0 : (X̃ 0 , x̃00 ) → (X, x0 ) são isomorfos se e somente se
π∗ (π1 (X̃, x̃0 )) = π∗0 (π1 (X̃ 0 , x̃00 )). Uma direção é óbvia: se f : (X̃, x̃0 ) → (X̃ 0 , x̃00 )
for um isomorfismo, então π∗ = π∗0 ◦ f∗ e π∗0 = π∗ ◦ f∗−1 , portanto as duas imagens
coincidem. Vicecersa, suponhamos que as imagens de π∗ e π∗0 sejam iguais. Pelo
teorema 3.24, a função π (que corresponde a f no teorema) se levanta, a respeito do
recobrimento π 0 , a Π : (X̃, x̃0 ) → (X̃ 0 , x̃00 ). Analogamente, a função π 0 se levanta, a
respeito do recobrimento π, a Π0 : (X̃ 0 , x̃00 ) → (X̃, x̃0 ). Temos o diagrama seguinte:
(X̃, x̃0 )
Π
π
/
(X̃ 0 , x̃00 )
%
π0
y
Π0
/
(X̃, x̃0 )
π
(X, x0 ).
Isso mostra que Π0 ◦ Π levanta, a respeito do recobrimento π, a função π mesma.
Pela unicidade do levantamento temos Π0 ◦ Π = idX̃ . Do mesmo jeito Π ◦ Π0 = idX̃ 0 .
Isso mostra que Π e Π0 são homeomorfismos, em particular f = Π0 ◦ Π verifica a
definição de isomorfismo. Isso completa a classificação dos recobrimentos conexos por caminhos com ponto
base. Como o subgrupo de π1 (X, x0 ) classifica completamente o recobrimento, temos
em particular que os recobrimentos simplesmente conexos de X são isomorfos (logo
são isomorfos ao que construı́mos explicitamente). Isso justifica a definição seguinte:
Definição 3.18. Seja (X, x0 ) conexo por caminhos, localmente conexo por caminhos
e semilocalmente simplesmente conexo. Um recobrimento simplesmente conexo de
(X, x0 ), único a menos de isomorfismo, é dito recobrimento universal de (X, x0 ).
Na verdade no enunciado do teorema 3.25 temos mais que uma bijeção, temos
um isomorfismo de retı́culos. Aliás, já observamos que, para H ≤ π1 (X, x0 ) e
π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) o recobrimento universal, além de πH : (X̃H , x̃0,H ) → (X, x0 ),
0
também πH
: (X̃, x̃0 ) → (X̃H , x̃0,H ) é um recobrimento. Em geral, dados dois subgrupos H ≤ K ≤ π1 (X, x0 ), temos que πK e πH são recobrimentos de (X, x0 ),
0
mas há também um recobrimento πH,K
: (X̃K , x̃0,K ) → (X̃H , x̃0,H ) definido por
0
πH,K [[ϕ]]K = [[ϕ]]H . O número de folhas é o ı́ndice de H em K. Como o subgrupo
{1} está contido em todos os demais subgrupos, temos que o recobrimento universal,
com a projeção adequada, se torna o recobrimento universal de todos os recobrimentos de (X, x0 ).
47
Por enquanto só classificamos os recobrimentos com ponto base, ou seja na categoria Top+ : claro que isso era necessário para os teoremas que enunciamos por
enquanto, pois envolvem o grupo fundamental. Considerando recobrimentos na
categoria Top, ou seja sem marcar um ponto base, só podemos acrescentar o fato seguinte: pode acontecer que dois recobrimentos com ponto base π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 )
e π 0 : (X̃ 0 , x̃00 ) → (X, x0 ) não sejam isomorfos, mas se tornem isomorfos esquecendo o
ponto-base. Ou seja, pode existir um homeomorfismo f : X → X 0 tal que π 0 ◦f = π,
mas pode ser impossı́vel escolher f do jeito que f (x̃0 ) = x̃00 (neste caso f (x̃0 ) é outro ponto de π 0 −1 (x0 )). Isso pode também ser interpretado do jeito seguinte. Dois
recobrimentos com ponto base que só são isomorfos esquecendo o ponto base, são
equivalentes a duas cópias do mesmo recobrimento com dois pontos marcados diferentes, ou seja π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) e π : (X̃, x̃00 ) → (X, x0 ). Portanto, pensando
na segunda interpretação, o fato que não sejam isomorfos significa que não existe
nenhum automorfismo de π : X̃ → X que manda x̃0 em x̃00 . Como a classe de isomorfismo com ponto marcado é determinada pelo grupo fundamental, isso significa
que π∗ (π1 (X̃, x̃0 )) 6= π∗ (π1 (X̃, x̃00 )): isso pode acontecer pois a imagem do grupo
fundamental depende do ponto marcado escolhido dentro de π −1 {x0 }. Quando for
a mesma existe um automorfismo que manda x̃0 em x̃00 , quando for diferente não
existe; como mostra o teorema seguinte, em geral os dois subgrupos são conjugados,
portanto são isomorfos como grupos em si mesmos, mas não sempre coincidem como
subgrupos de π1 (X, x0 ). Por isso, a classificação dos recobrimentos sem ponto base
é em geral mais fraca do que a com ponto base.
Teorema 3.26. Seja X conexo por caminhos, localmente conexo por caminhos e
semilocalmente simplesmente conexo. Há uma bijeção natural entre o conjunto dos
recobrimentos conexos por caminhos de X a menos de isomorfismo e o conjunto das
classes de conjugação de subgrupos de π1 (X, x0 ) para qualquer x0 ∈ X. A bijeção
é definida associando a um recobrimento π : X̃ → X a classe de conjugação do
subgrupo π∗ (π1 (X̃, x̃0 )) para qualquer x̃0 ∈ π −1 (x0 ).
Prova: Escolhemos x0 ∈ X e mostramos que, marcando dois pontos x̃0 , x̃00 ∈ π −1 (x),
os dois subgrupos H := π∗ (π1 (X̃, x̃0 )) e H 0 := π∗ (π1 (X̃, x̃00 )) são conjugados e viceversa. Seja ϕ̃ um caminho em X̃ entre x̃0 e x̃00 : a projeção ϕ := π ◦ ϕ̃ pertence
a Ωx0 (X). É claro que se um caminho ψ ∈ Ωx0 (X) se levanta a um caminho fechado ψ̃, então o caminho ϕ ∗ ψ ∗ ϕ−1 ∈ Ωx0 (X) se levanta ao caminho fechado
ϕ̃ ∗ ψ̃ ∗ ϕ̃−1 ∈ Ωx̃00 (X̃), portanto [ϕ]−1 H[ϕ] ≤ H 0 , ou seja H ≤ [ϕ]H 0 [ϕ]−1 . A mesma
prova com ϕ−1 mostra que [ϕ]H 0 [ϕ]−1 ≤ H, portanto H = [ϕ]H 0 [ϕ]−1 . Viceversa,
para H := π∗ (π1 (X̃, x̃0 )) e [ϕ] ∈ π1 (X, x0 ), seja H 0 := [ϕ]−1 H[ϕ]. Escolhendo um
levantamento ϕ̃ de ϕ e pondo x̃00 := ϕ̃(1) temos que H 0 = π∗ (π1 (X̃, x̃00 )). Observação: Como a classe de conjugação do subgrupo trivial só contém um elemento, o teorema mostra que o recobrimento universal é único a menos de isomorfismo também sem marcar um ponto. 48
Considerando as observações precedentes ao teorema 3.26, podemos mostrar uma
caracterização algébrica dos automorfismos de um recobrimento.
Definição 3.19. Seja π : X̃ → X um recobrimento. Um automorfismo f : X̃ → X̃
de π é chamado de transformação de recobrimento ou deck transformation. Denotamos por G(π) o grupo das transformações de recobrimento.
Reparamos que, como um automorfismo f ∈ G(π) satisfaz por definição π ◦f = π,
trata-se de um levantamento da função π : X̃ → X a respeito do recobrimento
π : X̃ → X. Pelo teorema 3.24 o automorfismo é completamente determinado pela
imagem de um ponto: isso significa em particular que o único automorfismo que fixa
um ponto x̃0 é a identidade, logo os automorfismos de um recobrimento com ponto
marcado são triviais.
Definição 3.20. Um recobrimento π : X̃ → X é dito normal se dados dois pontos
x̃, x̃0 tais que π(x̃) = π(x̃0 ) existe um automorfismo f ∈ G(π) tal que f (x̃) = x̃0 .
O teorema seguinte carateriza algebricamente os automorfismos de um recobrimento e os recobrimentos normais. Lembramos que, dado um subgrupo H ≤ G, o
normalizador de H em G é o subgrupo N (H) = {g ∈ G : gHg −1 ⊂ H}. Trata-se
do máximo subgrupo que contém H no H é normal. É claro que H é normal em G
se e somente se N (H) = G. Denotamos por H / G o fato que H seja normal em G.
Teorema 3.27. Seja X conexo por caminhos, localmente conexo por caminhos e
semilocalmente simplesmente conexo. Seja π : X̃ → X um recobrimento conexo
por caminhos. Para x̃0 ∈ X̃ um ponto marcado qualquer, seja H := π∗ (π1 (X̃, x̃0 )).
Temos que:
• π é normal se e somente se H / π1 (X, x0 );
• G(π) é isomorfo ao quociente N (H)/H, sendo N (H) o normalizador de H
em π1 (X, x0 ).
Em particular, para π normal temos que G(π) ' π1 (X, x0 )/H e para π o recobrimento universal temos G(π) ' π1 (X, x0 ).
Prova: Na prova do teorema 3.26 mostramos como mudar o ponto base do recobrimento de x̃0 ∈ π −1 (x0 ) a x̃1 ∈ π −1 (x0 ) é equivalente a conjugar H por uma
classe [ϕ] ∈ π1 (X, x0 ) tal que o levantamento ϕ̃ parta de x̃0 chegue a x̃1 . Isso
implica que [ϕ] ∈ N (H) se e somente se π∗ (π1 (X̃, x̃0 )) = π∗ (π1 (X̃, x̃1 )). Pelo teorema 3.25, isso é equivalente à existência de um automorfismo de π que manda
x̃0 em x̃1 . Logo o recobrimento é normal se e somente se N (H) = π1 (X, x0 ), ou
seja se e somente se H / π1 (X, x0 ). Seja ρ : N (H) → G(π) a função que manda
[ϕ] ∈ N (H) no automorfismo f tal que f (x̃0 ) = ϕ̃(1), sendo ϕ̃ o de ϕ a partir de
x̃0 . Temos que ρ é um homomorfismo: aliás, o caminho [ϕ][ψ] = [ψ ∗ ϕ] se levanta
a ψ̃ ∗ ϕ̃, sendo ψ̃ o levantamento que parte de ϕ̃(1). Portanto ρ([ψ ∗ ϕ]) é o automorfismo que manda x̃0 em ψ̃(1), o qual pela unicidade coincide com a composição
do que manda x̃0 em ϕ̃(1) = ψ̃(0) com o que manda ϕ̃(1) = ψ̃(0) em ψ̃(1). Logo
ρ([ϕ][ψ]) = ρ([ψ]) ◦ ρ([ϕ]) = ρ([ϕ])ρ([ψ]) (consideramos como produto de automorfismos f g a composição g ◦ f ). Pela primeira parte da prova ρ é sobrejetor, pois
49
provamos que [ϕ] ∈ N (H) se e somente se induz um automorfismo. Enfim, o kernel de ρ contém as classes que se levantam a caminhos fechados, pois neste caso
obtemos o automorfismo identidade: isso significa que Ker ρ = π1 (X, x0 ), portanto
G(π) ' N (H)/H. Enfim, só introduzimos brevemente um tópico importante. Na classificação dos recobrimentos só consideramos os conexos por caminhos. Os recobrimentos genéricos
são união disjunta de diferentes componentes, portanto não acrescentam nenhuma
informação significativa. Todavia, é possı́vel estudar os recobrimentos de um ponto
de vista diferente, que não parte dos conexos. Aliás, seja π : X̃ → X um recobrimento. Dado um caminho ϕ : I → X entre x0 e x1 , temos uma ação natural
Lϕ : π −1 (x0 ) → π −1 (x1 ) definida do jeito seguinte: dado x̃0 ∈ π −1 (x0 ), consideramos
o levantamento ϕ̃ de ϕ que parte de x̃0 e definimos Lϕ (x̃0 ) := ϕ̃(1). Esta ação só
depende da classe de homotopia de ϕ. Ademais, é uma bijeção pois Lϕ−1 = L−1
ϕ ,
como é fácil verificar. Enfim Lψ∗ϕ = Lψ ◦ Lϕ . Isso significa que, considerando ϕ fechado, temos uma ação L : π1 (X, x0 ) → Sπ−1 (x0 ) , sendo SA o grupo das permutações
do conjunto A. Como [ϕ][ψ] = [ψ ∗ ϕ], esta ação se torna um morfismo de grupos
pondo L[ϕ] := L−1
ϕ . Pode-se mostrar que, para X conexo por caminhos, localmente
conexo por caminhos e semilocalmente simplesmente conexo, esta ação classifica o
recobrimento a menos de isomorfismo. Por exemplo, consideremos X = S 1 e os
recobrimentos com 3 folhas. Temos três recobrimentos a menos de isomorfismo, ou
seja: (1) três cópias do recobrimento trivial; (2) uma cópia do trivial e uma de
p2 : S 1 → S 1 ; (3) p3 : S 1 → S 1 . Um morfismo L : π1 (S 1 , 1) → Sπ−1 {1} , ou seja
L : Z → S3 , é determinado por L(1), o qual tem os valores seguintes: (1) a identidade; (2) a troca de dois elementos (12); (3) a permutação cı́clica (123). Isso mostra
como a ação classifique o recobrimento. Em geral, temos que as classes de isomorfismo de recobrimentos com n folhas de X correspondem às classes de equivalência
de homomorfismos π1 (X, x0 ) → Sn , sendo Sn o grupo simétrico sobre n elementos
e sendo dois homomorfismos equivalentes a menos da conjugação por um elemento
de Sn [1, pp. 68-70].
3.12. Grupos de homotopia de ordem superior e relativos. Por enquanto
definimos os functores π0 : TopH+ → Sets+ e π1 : TopH+ → Grp. Claro que π1
pode também ser pensado como em um functor em Sets+ , sendo um grupo um
conjunto com o ponto marcado correspondente à identidade. Portanto, temos dois
functores em Sets+ , entre os quais o segundo pode ser refinado a um functor em
Grp. A construção pode ser generalizada, obtendo functores:
πn : TopH+ → GrpAb,
n ≥ 2.
Isso significa que temos de novo possı́veis functores em Sets+ como para qualquer
n ≥ 0, que podem ser refinados a functores em Grp como para qualquer n ≥ 1, mas
que também ficam contidos em GrpAb para n ≥ 2.
A definição é a seguinte. O grupo fundamental π1 (X, x0 ) foi definido a partir de
Ωx0 (X), sendo este o conjunto das funções ϕ : (I, ∂I) → (X, x0 ), quocientado por
homotopia relativa a ∂I. Do mesmo jeito, consideramos o conjunto dos n-caminhos
50
fechados Ωn,x0 (X) := {ϕ : (I n , ∂I n ) → (X, x0 )} e definimos uma homotopia de
n-caminhos fechados como uma homotopia relativa a ∂I n . Definimos portanto:
πn (X, x0 ) := Ωn,x0 (X)/homotopia.
Definimos a composição de n-caminhos fechados do jeito seguinte, para ϕ0 , ϕ1 ∈
Ωn,x0 (X):
ϕ0 (2t1 , t2 , . . . , tn )
0 ≤ t1 ≤ 21
(9)
ϕ1 ∗ ϕ0 (t1 , t2 , . . . , tn ) =
ϕ1 (2t1 − 1, t2 , . . . , tn ) 21 ≤ t1 ≤ 1.
A escolha da primeira coordenada na composição não é significativa, como mostraremos daqui a pouco. Esta composição define uma operação em Ωn,x0 (X). Ademais,
como para n = 1 vale o lema seguinte:
Lema 3.28. A composição de n-caminhos fechados é bem definida a menos de
homotopia, isto é dados dois pares de caminhos homotópicos ϕ0 ∼ ϕ00 e ϕ1 ∼ ϕ01 , as
composições ϕ1 ∗ ϕ0 e ϕ01 ∗ ϕ00 são homotópicas.
Prova: Sejam Φ0 uma homotopia entre ϕ0 e ϕ00 e Φ1 uma homotopia entre ϕ1 e ϕ01 .
Podemos definir a seguinte homotopia entre ϕ1 ∗ ϕ0 e ϕ01 ∗ ϕ00 :
Φ0 (2t1 , t2 , . . . , tn , u)
0 ≤ t1 ≤ 12
Φ1 ∗ Φ0 (t, u) =
Φ1 (2t1 − 1, t2 , . . . , tn , u) 12 ≤ t1 ≤ 1.
Esta função é contı́nua pois para t1 =
são constantes com valor x0 . 1
2
temos que Φ0 (1, t2 , . . . , tn , u) e Φ1 (0, t2 , . . . , tn , u)
Portanto, obtemos uma operação bem definida em πn (X, x0 ).
Lema 3.29. Valem as propriedades seguintes:
• Sejam ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 ∈ Ωn,x0 (X). Então os caminhos ϕ2 ∗(ϕ1 ∗ϕ0 ) e (ϕ2 ∗ϕ1 )∗ϕ0
são homotópicos.
• Seja ϕ ∈ Ωn,x0 (X) e seja cx0 o n-caminho constante com valor x0 . Então
cx0 ∗ ϕ e ϕ ∗ cx0 são homotópicos a ϕ.
• Seja ϕ ∈ Ωn,x0 (X) e seja ϕ−1 o caminho definido por ϕ−1 (t1 , t2 , . . . , tn ) :=
ϕ(1 − t1 , t2 , . . . , tn ). Então os caminho ϕ−1 ∗ ϕ e ϕ ∗ ϕ−1 são homotópicos ao
caminho constante cx0 .
Prova: A prova é análoga ao caso n = 1 pois só a coordenada t1 fica envolvida nas
composições. O lema precedente implica imediatamente o teorema seguinte:
Teorema 3.30. πn (X, x0 ) é um grupo com respeito à operação definida pela composição de n-caminhos fechados a menos de homotopia.
Prova: A primeira propriedade do lema precedente implica que a composição em
πn (X, x0 ) seja associativa, a segunda que [cx0 ] seja o elemento neutro e a terceira
que [ϕ−1 ] seja o inverso de [ϕ]. 51
Trabalhamos agora na categoria Top+ e vamos definir πn sobre os morfismos, para
obtermos um functor de Top+ a Grp. Dado um morfismo f : (X, x0 ) → (Y, y0 ), fica
bem definida a função seguinte:
f# : Ωn,x0 (X) → Ωn,y0 (Y )
f# (ϕ) = f ◦ ϕ.
Como para n = 1 temos que f# induz um morfismo de grupos f∗ : πn (X, x0 ) →
πn (Y, y0 ). Aliás, seja Φ uma homotopia entre ϕ0 e ϕ1 : é fácil conferir que f ◦ Φ é
uma homotopia entre f# (ϕ0 ) e f# (ϕ1 ). Por isso fica bem definida:
f∗ : πn (X, x0 ) → πn (Y, y0 )
f∗ [ϕ] = [f# ϕ] = [f ◦ ϕ].
Teorema 3.31. Para f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) contı́nua, f∗ é um morfismo de grupos.
Ademais, dadas f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) e g : (Y, y0 ) → (Z, z0 ) temos:
(g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗
(id(X,x0 ) )∗ = idπ(X,x0 ) .
Portanto, se f for um homeomorfismo f∗ é um isomorfismo.
Prova: A prova é análoga ao caso n = 1. O teorema seguinte é especifico para o caso n ≥ 2:
Teorema 3.32. O grupo πn (X, x0 ) é abeliano para n ≥ 2.
Prova: Dado ψ ∗ ϕ ∈ Ωn,x0 (X), podemos contrair homotopicamente os retângulos
[0, 12 ] × I n−1 e [ 12 , 1] × I n−1 mandando em x0 os pontos ao redor deles. Feito isso,
em I n é possı́vel deslocar homotopicamente os retângulos contraı́dos invertendo-os.
Agora aplicamos a inversa da homotopia precedente, esmagando na borda os pontos
ao redor dos retângulos. Deste jeito obtemos ϕ ∗ ψ. Com a mesma técnica usada na prova do teorema podemos mostrar que a escolha
da primeira componente no produto não é significativa: aliás, contraindo o domı́nio
como na prova podemos rodeá-lo e aplicar a homotopia inversa à contração, portanto a troca de coordenadas de I n não muda a classe de homotopia do n-caminho.
Em particular, a menos de uma troca podemos aplicar a operação de composição a
qualquer coordenada, portanto obtemos o mesmo grupo (não somente a menos de
automorfismo) com qualquer coordenada.
Acabamos de definir uma sequência de functores:
πn : Top+ → GrpAb,
n≥2
onde πn associa a um objeto (X, x0 ) o grupo abeliano πn (X, x0 ) e a um morfismo
f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) o morfismo de grupos f∗ : πn (X, x0 ) → πn (Y, y0 ).
Também para n genérico podemos mostrar que, se X for conexo por caminhos,
o grupo πn (X, x0 ) não depende de x0 a menos de isomorfismo não canônico (não
necessariamente interno). Por isso, neste caso podemos escrever πn (X) quando
52
estivermos interessados na classe de isomorfismo. Sejam x0 , x1 ∈ X e seja ψ : I → X
um caminho entre x0 e x1 . Definimos:
ψ!! : Ωn,x0 (X) → Ωn,x1 (X)
do jeito seguinte. Dado ϕ ∈ Ωn,x0 (X), contraı́mos homotopicamente I n a [ 13 , 23 ]n ,
mandando em x0 os demais pontos. Consideramos o feixe de segmentos radiais,
ou seja que pertencem cada um a uma semirreta que parte do centro ( 12 , . . . , 12 ),
que juntam ∂I n a ∂[ 13 , 32 ]n e tornamos cada um o caminho ψ −1 reparametrizado.
Deste jeito obtemos um caminho ψ!! (ϕ) ∈ Ωn,x1 (X). Como no caso n = 1 é fácil
provar que, se ϕ0 ∼ ϕ1 , então ψ!! (ϕ0 ) ∼ ψ!! (ϕ1 ) (é suficiente aplicar a homotopia
reparametrizada no retângulo [ 13 , 32 ]n ), portanto obtemos uma função bem definida:
ψ! : πn (X, x0 ) → πn (X, x1 ).
O fato que seja um morfismo de grupos pode ser provado do jeito seguinte: dado
ψ! (ϕ1 ∗ ϕ0 ), deslocamos os domı́nios contraı́dos de ϕ0 e ϕ1 até ficarem em [ 61 , 26 ] ×
[ 31 , 23 ]n−1 e [ 46 , 56 ]×[ 31 , 23 ]n−1 , mandando os pontos [ 62 , 64 ]×[ 13 , 23 ]n−1 em x0 . Em seguida,
consideramos os caminhos radiais que juntam as bordas dos dois domı́nios às dos
semiretângulos [0, 12 ] × I n−1 e [ 12 , 1] × I n−1 e os mudamos de um jeito contı́nuo até
torna-los ψ reparametrizado. Deste jeito obtemos ψ! (ϕ1 ) ∗ ψ! (ϕ0 ). Como para n = 1,
temos que ψ! só depende da classe de homotopia de ϕ (a verı́fica é imediata) e que
(ψ1 ∗ ψ0 )! = (ψ1 )! ◦ (ψ0 )! . O isomorfismo não é canônico pois depende da escolha
de [ψ]. Reparamos enfim que, para ψ um caminho fechado em x0 , o isomorfismo ψ!
define uma ação de π1 (X, x0 ) em πn (X, x0 ).
Mostramos agora o comportamento dos grupo de homotopia com respeito à equivalência homotópica.
Lema 3.33. Dadas duas funções f, g : (X, x0 ) → (Y, y0 ), se f e g são homotópicas
em Top+ então f∗ = g∗ : πn (X, x0 ) → πn (Y, y0 ).
Prova: Seja Φ : X × I → Y uma homotopia entre f e g que respeita os pontos
marcados. Então, para [ϕ] ∈ πn (X, x0 ), consideramos a homotopia entre f ◦ ϕ e
g ◦ ϕ definida por Ψ : I n+1 → Y , Ψ(t1 , t2 , . . . , tn , u) = Φ(ϕ(t1 , t2 , . . . , tn ), u). Temos
que Ψ(∂I, u) = Φ(x0 , u) = y0 , portanto Ψ é relativa a ∂I. Então f∗ [ϕ] = g∗ [ϕ]. Isso mostra que os functores πn passam ao quociente a respeito da equivalência
homotópica na categoria Top+ e portanto definem uma sequência de functores:
πn : TopH+ → GrpAb,
n≥2
onde πn associa a um objeto (X, x0 ) o grupo abeliano πn (X, x0 ) e a um morfismo
[f ] : (X, x0 ) → (Y, y0 ) o morfismo de grupos f∗ : πn (X, x0 ) → πn (Y, y0 ).
Teorema 3.34. Seja f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) uma equivalência homotópica. Então
f∗ : πn (X, x0 ) → πn (Y, y0 ) é um isomorfismo.
53
Prova: Seja g : (Y, y0 ) → (X, x0 ) uma equivalência homotópica inversa a f . Então,
pelo lema 3.33 temos que g∗ ◦ f∗ = idπn (X,x0 ) e f∗ ◦ g∗ = idπn (Y,y0 ) . Esse resultado vale na categoria TopH+ . Todavia, pode ser generalizado para
funções entre espaços sem ponto marcado, ou seja o lema 3.8 e o teorema 3.9 podem
ser generalizados para todo n [1].
Podemos também definir a versão relativa do grupos de homotopia πn para n ≥ 1.
n
n−1
Para isso, precisamos trabalhar na categoria Top+
2 . Dado I , consideramos I
mergulhado em I n como o subespaço {(t1 , . . . , tn−1 , 0)}. Ademais, definimos J n−1 a
união das demais faces, ou seja o fecho de (∂I n ) \ I n−1 . Dado um objeto (X, A, x0 )
de Top2 , definimos o conjunto dos n-caminhos fechados relativos Ωx0 (X, A) := {ϕ :
(I n , ∂I n , J n−1 ) → (X, A, x0 )}, ou seja das funções que mandam I n−1 em A e J n−1
em x0 (portanto todo ∂I n é mandado em A, pois x0 ∈ A). De fato trata-se de
funções na categoria Top3 , através do mergulho canônico Top+
2 ,→ Top3 aplicado a
(X, A, x0 ). Uma homotopia de n-caminhos relativos é uma homotopia em Top3 , ou
seja uma homotopia Φ : (I n+1 , (∂I n ) × I, J n−1 × I) → (X, A, x0 ). Isso significa que
a homotopia é relativa a x0 mas não é relativa a A, pois I n−1 pode mover-se dentro
de A. Definimos então:
πn (X, A, x0 ) := Ωn,x0 (X, A)/homotopia.
Esta definição é válida para n ≥ 1. Ademais, podemos definir uma composição
análoga a (9), que se torna um produto a menos de homotopia, só que não podemos
escolher a última coordenada na composição, senão não é bem definida (para tn = 12
terı́amos que o primeiro caminho manda I n−1 ×{ 21 } em x0 enquanto o segundo manda
I n−1 × { 12 } em A, portanto não se poderiam colar). Isso implica que a composição
não é definida para n = 1. Podemos também definir o push-forward analogamente
ao caso absoluto, portanto temos functores:
+
πn : Top+
2 → Sets ,
n≥1
que podem ser refinados a:
πn : Top+
2 → Grp,
n≥2
e a:
πn : Top+
2 → GrpAb,
n ≥ 3.
Em particular π1 (X, A, x0 ) contém as classes de caminhos que partem de x0 e chegam a um ponto qualquer de A, a menos de homotopia que fixe x0 e mantenha o
outro extremo dentro de A. Não existe uma natural estrutura de grupo neste conjunto. Reparamos que πn (X, {x0 }, x0 ) coincide com πn (X, x0 ), portanto os grupos
absolutos se tornam um caso particular dos grupos relativos através do mergulho de
categorias (3).
Um fato significativo é a existência de uma sequência exata longa associada a um
par (X, A). Aliás, dado um objeto (X, A, x0 ) de Top+
2 é possı́vel definir a sequência
54
seguinte:
∂
i
j∗
∂
∗
πn (X, x0 ) −→πn (X, A, x0 ) −→ πn−1 (A, x0 )
· · · −→ πn (A, x0 ) −→
i
∂
i
∗
∗
π0 (X, x0 ).
−→
· · · −→ π0 (A, x0 ) −→
Os morfismos i∗ são induzidos pelo mergulho i : (A, x0 ) ,→ (X, x0 ), os morfismos
i∗ por j : (X, {x0 }, x0 ) ,→ (X, A, x0 ) e os morfismos ∂ são definidos restringindo
uma classe [ϕ : (I n , ∂I n , J n−1 ) → (X, A, x0 )] a [ϕ|In−1 : (I n−1 , ∂I n−1 ) → (A, x0 )].
Até π1 (X, x0 ) trata-se de morfismos de grupos, entre os últimos elementos tratase de funções entre conjuntos com ponto marcado. O fato significativo é que esta
sequência é exata, ou seja a imagem de uma flecha é igual ao kernel da sucessiva,
onde, no caso de morfismos de grupos temos a definição usual de kernel, enquanto
para uma função entre conjuntos f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) definimos o kernel como o
conjunto dos pontos de X mandados em y0 . As sequências exatas serão um tópico
fundamental em seguida a respeito da homologia e da cohomologia, aqui só adiantamos a definição para mostrar que se aplica também a respeito dos grupos de
homotopia.
Reparamos que podemos definir πn através de S n em vez que I n . Aliás, para
todo n ≥ 0, podemos pensar em um n-caminho fechado ϕ : (I n , ∂I n ) → (X, x0 )
como em uma função ϕ : (S n , ∗) → (X, x0 ), sendo I n /∂I n homeomorfo a S n . Como
ponto marcado ∗ podemos por exemplo escolher (0, . . . , 0, 1), pensando no mergulho
canônico S n ,→ Rn+1 . Neste caso a composição ψ ∗ ϕ se define do jeito seguinte:
dada a esfera S n , contraı́mos a um ponto o equador S n ∩ {x1 = 0}, obtendo a união
a um ponto de duas esferas. Aplicamos ϕ à esfera a esquerda (x1 ≤ 0) e ψ à a direita
(x1 ≥ 0): o levantamento a S n desta função é ψ∗ϕ. Um elemento de πn (X, x0 ) é uma
classe de n-caminhos fechados a menos de homotopia relativa ao ponto marcado ∗,
ou seja a menos de homotopia na categoria Top+ : isso significa que um elemento de
πn (X, x0 ) é um morfismo em TopH+ . No caso relativo, pensamos em um n-caminho
ϕ : (I n , ∂I n , J n−1 ) → (X, A, x0 ) como em uma função ϕ : (Dn , ∂Dn , ∗) → (X, A, x0 )
e definimos a composição de um jeito análogo. Um elemento de πn (X, A, x0 ) é uma
classe de n-caminhos fechados relativos a menos de homotopia na categoria Top+
2:
isso significa que um elemento de πn (X, x0 ) é um morfismo em TopH+
.
2
Calcular os grupos de homotopia em geral é muito complicado. Isso é devido
ao fato que não temos um resultado análogo ao teorema de Seifert-Van Kampen,
portanto não podemos calcular os grupos de um espaço X através de uma cobertura
cujos elementos sejam mais simples do que X. Também calcular os grupos de
homotopia das esferas é um problema muito complicado e ainda não completamente
resolvido. Um resultado que permite calcular uns grupos de homotopia é o seguinte:
Teorema 3.35. Seja π : (X̃, x̃0 ) → (X, x0 ) um recobrimento. Os morfismos π∗ :
πn (X̃, x̃0 ) → πn (X, x0 ) são isomorfismos para todo n ≥ 2.
Prova: Pelo teorema 3.24 uma função (S n , ∗) → (X, x0 ) se levanta a (S n , ∗) →
(X̃, x̃0 ), pois π1 (S n ) = 1 para n ≥ 2. Isso prova que π∗ é sobrejetor. Seja π∗ [ϕ̃] = 0.
55
Então existe uma homotopia Φ : (S n × I, {∗} × I) → (X, x0 ) entre cx0 e π ◦ ϕ̃.
Pelo lema 3.21 esta homotopia se levanta a uma única função Φ̃ : S n × I → X̃
tal que Φ̃(t, 0) = x̃0 . O caminho Φ̃(∗, u) é um levantamento do caminho constante
Φ(∗, u) = cx0 que parte de Φ̃(∗, 0) = x̃0 , portanto, pela unicidade, é o caminho
constante cx̃0 . Temos portanto que Φ̃(∗, u) = x̃0 , em particular Φ̃(∗, 1) = x̃0 . Isso
implica que Φ̃(t, 1) seja um levantamento de Φ(t, 1) = π ◦ ϕ̃(t, 1) tal que Φ̃(∗, 1) = x̃0 ,
portanto, pela unicidade, Φ̃(t, 1) = ϕ̃(t). Isso mostra que Φ̃ é uma homotopia de
n-caminhos fechados entre ϕ̃ e cx̃0 , portanto [ϕ̃] = 0. Como exp : R → S 1 é um recobrimento, o teorema implica que πn (S 1 ) = 0 para
todo n ≥ 2. Ademais, para Tk = (S 1 )k , como expk : Rk → Tk é um recobrimento,
temos também πn (Tk ) = 0 para todo n ≥ 2, enquanto mostraremos que os grupos
de homologia de Tk são não triviais para todo n ≥ k.
Já dissemos que é complicado calcular os grupos de homotopia das esferas. Podese provar que πn (S n ) ' Z e que πk (S n ) = 0 para k < n. Isso pode ser usado para
provar que Rn e Rm não são homeomorfos para n 6= m. Aliás, se ϕ : Rn → Rm
fosse um homomorfismo, tirando a origem de Rn obterı́amos um homeomorfismo
ϕ|Rn \{0} : Rn \ {0} → Rm \ {ϕ(0)}. Isso é absurdo, pois Rn \ {0} tem o mesmo
tipo de homotopia de S n−1 enquanto Rm \ {ϕ(0)} tem o mesmo tipo de homotopia
de S m−1 : supondo n < m temos que πm−1 (S n−1 ) = 0 e πm−1 (S m−1 ) ' Z, portanto
não pode existir ϕ. Esta prova é baseada no cálculo de πk (S n ) para k ≤ n que
não justificamos, todavia mostraremos em seguida uma prova parecida a partir dos
grupo de homologia das esferas, os quais são bem mais simples e serão calculados
explicitamente.
4. Noções básicas de álgebra homológica
Vamos agora introduzir as ferramentas algébricas de que precisaremos para trabalharmos com a homologia e a cohomologia.
4.1. Complexos de cadeias e cocadeias. Homologia e cohomologia.
Definição 4.1. Um complexo de cadeias é uma sequência de grupos abelianos e
morfismos:
(10)
∂i−1
∂
∂i+1
∂i+2
i
· · · ←− Ai−1 ←−
Ai ←− Ai+1 ←− · · ·
tais que ∂i ◦ ∂i+1 = 0 para todo i ∈ Z. Os morfismos ∂i são chamados de morfismos
de bordo, os elementos dos grupos Ai de cadeias.
A condição ∂i ◦ ∂i+1 = 0 pode também ser expressa pedindo que valha Im(∂i+1 ) ⊂
Ker(∂i ). Portanto, podemos dar a definição seguinte:
Definição 4.2. Os grupos de homologia do complexo de cadeias (10) são os grupos
abelianos seguintes:
(11)
Hi (A• ) :=
Ker(∂i )
.
Im(∂i+1 )
56
Os elementos dos grupos Ker(∂i ) são chamados de ciclos, os dos grupos Im(∂i ) de
bordos, os dos grupos Hi (A• ) de classes de homologia.
Logo uma classe de homologia [a] ∈ Hi (A• ) é representada por um ciclo a, ou
seja uma cadeia a ∈ Ai tal que ∂i a = 0, sendo [a] = [a0 ] se e somente se existe uma
cadeia b ∈ Ai−1 tal que a0 = a + ∂i−1 b.
Vamos agora definir os morfismos entre complexos de cadeias, assim ficará definida
a categoria correspondente.
Definição 4.3. Dados dois complexos de cadeias (A• , ∂•A ) e (B• , ∂•B ), um morfismo
ϕ• : (A• , ∂•A ) → (B• , ∂•B ) é uma sequência de morfismos de grupos abelianos ϕi :
Ai → Bi tal que o diagrama seguinte seja comutativo:
(12)
··· o
··· o
A
∂i−1
B
∂i−1
Ai−1 o
∂iA
ϕi−1
Bi−1 o
∂iB
Ai o
A
∂i+1
ϕi
Bi o
B
∂i+1
Ai+1 o
A
∂i+2
···
ϕi+1
Bi+1 o
B
∂i+2
···.
Podemos assim definir a categoria seguinte:
• Categoria CompCad: Objetos: complexos de cadeias. Morfismos: morfismos de complexos de cadeias.
Mostramos agora como se possa estender naturalmente a definição de homologia a
uma sequência de functores:
Hi : CompCad → GrpAb.
Isso significa que Hi é um functor para cada i ∈ Z fixado. Aliás, já definimos a ação
sobre os objetos. Dado um morfismo ϕ• : (A• , ∂•A ) → (B• , ∂•B ), vamos definir Hi (ϕ),
que denotamos também por ϕ∗,i , do jeito natural ϕ∗,i [a] := [ϕi (a)]. É fácil verificar
que é bem definido: aliás, considerando a definição (11), devemos provar que ϕ∗,i
manda ciclos em ciclos e bordos em bordos. Isso acontece graças à comutatividade
de (12):
• se ∂i a = 0, então ∂iB (ϕi (a)) = ϕi−1 (∂iA a) = ϕi−1 (0) = 0;
A
A
B
• se a = ∂i+1
(a0 ), então ϕi (a) = ϕi (∂i+1
(a0 )) = ∂i+1
(ϕi+1 (a0 )).
Podemos também considerar a categoria das sequências de grupos abelianos com
ı́ndice em Z:
• Categoria SeqGrAb: Objetos: sequências de grupos abelianos {Gi }i∈Z .
Morfismos: sequências de morfismos {ϕi }i∈Z .
Trata-se de uma subcategoria cheia de CompCad, pois uma sequência pode ser
pensada como um complexo de cadeias cujos morfismos de bordo são todos nulos.
Deste jeito os grupos de homologia definem um functor:
H• : CompCad → SeqGrAb.
Invertendo a direção das flechas obtemos a noção dual de cohomologia.
57
Definição 4.4. Um complexo de cocadeias é uma sequência de grupos abelianos e
morfismos:
(13)
δ i−2
δ i−1
δi
δ i+1
· · · −→ Ai−1 −→ Ai −→ Ai+1 −→ · · ·
tais que δ i+1 ◦ δ i = 0 para todo i ∈ Z. Os morfismos δ i são chamados de morfismos
de cobordo, os elementos dos grupos Ai de cocadeias.
Do jeito análogo definimos as cociclos, os cobordos e os grupos de cohomologia:
H i (A• ) :=
(14)
Ker(δ i )
.
Im(δ i−1 )
Os morfismos de complexos de cocadeias são definidos analogamente aos entre complexos de cadeias, portanto ficam definidos a categoria CompCocad e o functor:
H • : CompCocad → SeqGrAb.
A este nı́vel a cohomologia é também um functor covariante (será contravariante a
partir dos espaços topológicos, pois as cocadeias formarão um functor contravariante). Ademais, há um isomorfismo de categorias:
'
I : CompCad −→ CompCocad
(15)
definido do jeito seguinte:
A
• a respeito dos objetos, I(A• , ∂•A ) := (A• , δA• ), sendo An := A−n e δAn := ∂−n
;
•
n
• a respeito dos morfismos, I(ϕ• ) := ϕ , sendo ϕ := ϕ−n .
É claro que o functor cohomologia é a composição entre o isomorfismo I e o functor
homologia, portanto as duas linguagens são equivalentes. Existe também um functor
contravariante:
H : CompCadop → CompCocad
(16)
definido do jeito seguinte:
• a respeito dos objetos, H(A• , ∂•A ) := (A• , δA• ), sendo An := Hom(An , Z) e,
para ρ ∈ An , (δ n ρ)(a) := ρ(∂n a);
• a respeito dos morfismos, dado ϕ• : (A• , ∂•A ) → (B• , ∂•B ), definimos H(ϕ• ) :=
ϕ• , sendo, para ρ ∈ B n , (ϕn (ρ))(a) = ρ(ϕn (a)).
Este functor é o que aplicaremos para passar da homologia à cohomologia; neste
caso os grupos de cohomologia não são isomorfos em geral aos de homologia do
complexo de partida. Podemos definir do mesmo jeito um functor contravariante
H0 : CompCocadop → CompCad, todavia, aplicando os dois functores em sequência,
não obtemos a identidade. Por exemplo, partindo de A• tal que An = Z ⊕ Z2 , aplicando H obtemos An = Z e, aplicando H0 , obtemos An = Z. Outras aplicações dos
functores continuam dando Z, mas isso acontece pois partimos de um grupo finitamente gerado; em caso contrário, como acontecerá em seguida, também iterações
sucessivas podem dar grupos diferentes.
58
4.2. Sequências exatas.
Definição 4.5. Uma sequência de grupos abelianos e morfismos:
(17)
ϕi−2
ϕi−1
ϕi
ϕi+1
· · · −→ Ai−1 −→ Ai −→ Ai+1 −→ · · ·
é dita sequência exata longa se Ker(ϕi ) = Im(ϕi−1 ) para todo i ∈ Z.
Trata-se de um caso particular de complexo de cocadeias (ou de cadeias invertendo
a direção das flechas), no qual os grupos de cohomologia são todos nulos. Isso
significa que, dado um complexo de (co)cadeias, os grupos de (co)homologia medem
a obstrução à exatidão. A noção de morfismo de complexos se restringe à de morfismo
de sequências exatas longas, definindo assim a categoria:
• Categoria SeqExL: Objetos: sequências exatas longas de grupos abelianos.
Morfismos: morfismos de sequências exatas longas.
Trata-se de uma sub-categoria cheia de CompCocad.
Definição 4.6. Uma sequência exata curta é uma sequência exata da forma:
(18)
i
π
0 −→ A −→ B −→ C −→ 0.
Claro que (18) pode ser pensada como um caso particular de sequência longa,
estendendo-a quer a direita quer a esquerda com grupos nulos. A informação proporcionada por uma sequência deste tipo é a seguinte:
• o morfismo i é injetor: aliás, por exatidão, o kernel de i é a imagem do
morfismo nulo, ou seja 0;
• o morfismo π é sobrejetor: aliás, por exatidão, a imagem de π é o kernel do
morfismo nulo, ou seja C todo;
• π induz um isomorfismo C ' B/i(A): aliás, sendo Im π ' B/Ker π, o
resultado segue do fato que Ker π = Im i por exatidão.
Portanto uma sequência exata curta é um jeito equivalente de escrever um quociente
de grupos abelianos. A noção de morfismo de sequências exatas longas se restringe
à de morfismo de sequências exatas curtas, definindo assim a categoria:
• Categoria SeqExC: Objetos: sequências exatas curtas de grupos abelianos.
Morfismos: morfismos de sequências exatas curtas.
Trata-se de uma sub-categoria cheia de SeqExL através do mergulho que descrevemos (extensão a direita e a esquerda por grupos nulos). O exemplo mais trivial de
sequência exata curta é o seguinte:
(19)
i
π
A
C
0 −→ A −→
A ⊕ C −→
C −→ 0,
onde obviamente iA (a) := (a, 0) e πC (a, c) := c. Todavia, não todas as sequências
exatas são isomorfas a uma deste tipo. Por exemplo, a sequência seguinte:
·2
π
0 −→ Z −→ Z −→ Z2 −→ 0
é exata mas não há nenhum isomorfismo entre Z e Z ⊕ Z2 .
Definição 4.7. A sequência exata curta (18) cinde se for isomorfa a (19).
59
Lema
(1)
(2)
(3)
4.1. Os fatos seguintes são equivalentes:
(18) cinde;
existe um morfismo p : B → A tal que p ◦ i = idA ;
existe um morfismo j : C → B tal que π ◦ j = idC .
Prova: É obvio que (1) ⇒ (2), (3). Provamos que (2) ⇒ (1). Consideremos o
morfismo ϕ : B → A ⊕ C definido por ϕ(b) := (p(b), π(b)) e provemos que é um
isomorfismo.
• É injetor. Seja ϕ(b) = 0. Isso implica π(b) = 0, logo, por exatidão, existe
um único a ∈ A tal que i(a) = b. Logo p(b) = p(i(a)) = a, portanto a = 0, o
que implica b = 0.
• É sobrejetor. Seja (a, c) ∈ A ⊕ C. Por exatidão existe b ∈ B tal que
π(b) = c. Seja b0 = b − i(p(b) − a). Temos que π(b0 ) = c − π ◦ i(p(b) − a) = c
e p(b0 ) = p(b) − p ◦ i(p(b) − a) = p(b) − (p(b) − a) = a.
É fácil verificar que ϕ comuta com os demais morfismos, definindo um isomorfismo
de sequências exatas. O fato que (3) ⇒ (1) se prova de um jeito análogo, considerando o isomorfismo ϕ : A ⊕ C → B definido por ϕ(a, c) := i(a) + j(c). Enfim, podemos considerar sequências exatas de comprimento fixado:
(20)
ϕ1
ϕ2
ϕn−2
ϕn−1
A1 −→ A2 −→ · · · −→ An−1 −→ An .
Estendendo do jeito óbvio a definição de morfismo obtemos a categoria:
• Categoria SeqExn : Objetos: sequências exatas de n grupos abelianos. Morfismos: morfismos de sequências exatas.
Podemos também mergulhar SeqExn em SeqExL acrescentando 0 → Ker ϕ1 → a
esquerda e → Coker ϕn−1 → 0 a direita.
4.3. Categorias abelianas. Por enquanto sempre trabalhamos com grupos abelianos. De fato as definições precedentes podem ser facilmente generalizadas a anéis,
R-módulos e várias estruturas parecidas. De fato podemos definir as ferramentas
do paragrafo precedente a partir de uma categoria que satisfaça umas condições significativas, que agora vamos mostrar. Na categoria dos grupos abelianos acontece o
seguinte:
• os morfismos entre dois objetos fixados têm uma natural estrutura de grupo
abeliano e a composição é bi-aditiva, ou seja (f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h e
f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h;
• existe um elemento 0 (o grupo abeliano trivial) tal que Hom(0, 0) = 0;
• dados dois elementos existem a soma direta e o produto direto e são canonicamente isomorfos.
As categorias que satisfazem estas propriedades são chamadas de categorias aditivas (o terceiro axioma é formulado de um jeito diferente, mas não insistimos nos
detalhes). É claro que as seguintes categorias são aditivas: grupos abelianos, anéis,
R-módulos, K-espaços vetoriais, K-álgebras. Nestes exemplos os objetos têm uma
estrutura de grupo abeliano enriquecida de vários jeitos diferentes (isso não sempre
60
acontece, por exemplo na categoria dos feixes de grupos abelianos em um espaço
X).
Dado um morfismo em uma categoria aditiva, é possı́vel dar uma definição categorial de kernel e de cokernel, portanto também de imagem e coimagem. Não
precisaremos em seguida da definição categorial, portanto é suficiente pensar na
definição usual que concerne morfismos entre conjuntos (lembramos que neste caso
o cokernel é o quociente entre contradomı́nio e imagem, enquanto a coimagem é o
quociente entre o domı́nio e o kernel). O fato fundamental é que em uma categoria
aditiva genérica não todo morfismo admite kernel e cokernel. Nas categoria dos
grupos abelianos todavia acontece o seguinte:
• qualquer morfismo admite kernel e cokernel;
• um morfismo ϕ induz um isomorfismo entre imagem e coimagem.
As categorias aditivas que satisfazem estas propriedades (mais precisamente, um
axioma especı́fico que implica estas duas propriedades) são chamadas de categorias abelianas. As categorias que consideramos precedentemente (grupos abelianos,
anéis, R-módulos, K-espaços vetoriais, K-álgebras) são todas abelianas.
O fato fundamental é o seguinte: dada uma categoria abeliana A podemos construir as categorias CompCadA , CompCocadA , SeqExLA , SeqExCA , SeqExn,A como
fizemos a respeito dos grupos abelianos, só considerando os objetos de A em vez
que os de GrpAb. Ademais, as categorias CompCadA e CompCocadA são abelianas também (as categorias de sequências exatas são aditivas mas não abelianas).
Aliás, dados dois morfismos ϕ• , ψ• : (A• , ∂•A ) → (B• , ∂•B ), o morfismo soma ϕ• + ψ•
pode ser definido somando ϕn e ψn em cada posição. É fácil verificar que se trata
A
A
A
de um morfismo de complexos, pois (ϕn + ψn ) ◦ ∂n+1
= ϕn ◦ ∂n+1
+ ψn ◦ ∂n+1
=
B
B
B
∂n+1 ◦ ϕn+1 + ∂n+1 ◦ ψn+1 = ∂n+1 ◦ (ϕn+1 + ψn+1 ). Mesma coisa acontece com a
soma direta de dois complexos. Ademais, seja ϕ• : (A• , ∂•A ) → (B• , ∂•B ) um morfismo. Podemos definir o kernel como (Ker ϕ)n := Ker(ϕn ), restringindo os bordos.
A
A restrição fica bem definida, ou seja se a ∈ Ker(ϕn+1 ) então ∂n+1
a ∈ Ker(ϕn ):
A
B
B
aliás, ϕn (∂n+1 a) = ∂n+1 (ϕn+1 (a)) = ∂n+1 (0) = 0. Mesma coisa para a imagem e
portanto para cokernel e coimagem. O fato que estas categorias sejam abelianas
implica em particular que podemos iterar as construções envolvidas obtendo categorias do tipo CompCadCompCadA , SeqExCCompCadA e assim por diante. A categoria
SeqExCCompCadA é particularmente importante. Um objeto dela é uma sequência
exata curta:
(21)
i
π
•
•
0 −→ A• −→
B• −→
C• −→ 0,
61
onde cada elemento é um complexo de cadeias em A. Portanto, de fato, trata-se de
um diagrama comutativo:
..
.
(22)
/
0
An+1
/
0
0
..
.
/
in+1
/
Bn+1
A
∂n+1
An
in
/
in−1
/
Bn−1
/
πn
..
.
πn−1
/
Cn+1
/
/
0
C
∂n+1
/
Cn
B
∂n
..
.
πn+1
B
∂n+1
Bn
A
∂n
An−1
..
.
0
C
∂n
Cn−1
/
0.
..
.
Um morfismo na categoria é definido por um morfismo em cada posição do diagrama
do jeito que todos os possı́veis sub-diagramas comutem. Em geral, quando a categoria abeliana A é a dos grupos abelianos, vamos subentendê-la. Por exemplo, neste
caso, a categoria que acabamos de descrever pode ser indicada por SeqExCCompCad .
4.4. Morfismo de Bockstein. Vamos agora considerar mais em detalhe a categoria SeqExCCompCadA . Dado um objeto desta categoria, podemos construir uma
sequência exata longa formada pelos grupos de homologia dos complexos envolvidos, os quais são elementos de A (por exemplo grupos abelianos, anéis e assim por
diante). Mais precisamente, existe um functor:
B : SeqExCCompCadA → SeqExLA
(23)
definido do jeito seguinte. Consideremos a sequência exata curta de complexos de
cadeias (21). A imagem dela através de B é a sequência:
(24)
(in )∗
(πn )∗
βn
(in−1 )∗
(πn−1 )∗
· · · −→ Hn (B• ) −→ Hn (C• ) −→ Hn−1 (A• ) −→ Hn−1 (B• ) −→ · · ·
onde β• : Hn (C• ) → Hn−1 (A• ) é o morfismo de complexos que agora vamos definir,
chamado de morfismo de Bockstein (o leitor pode olhar o diagrama (22) enquanto
acompanha a definição):
• dada [c] ∈ Hn (C• ), sendo πn sobrejetor existe um levantamento b ∈ Bn tal
que πn (b) = c. Seja b1 = ∂nB b ∈ Bn−1 . Temos que πn−1 (b1 ) = πn−1 (∂nB b) =
C
C
∂n−1
(πn (b)) = ∂n−1
(c) = 0 pois c é um ciclo. Portanto, por exatidão, existe
A
B
a ∈ An−1 tal que in−1 (a) = b1 . Ademais in−2 (∂n−1
(a)) = ∂n−1
(in−1 (a)) =
B
A
∂n−1 (b1 ) = 0, portanto, sendo in−2 injetora, ∂n−1 (a) = 0. Definimos então
βn [c] := [a].
Vamos verificar que βn é bem definido. Suponhamos de escolher outro representante
c0 ∈ Cn tal que [c] = [c0 ] e um levantamento b0 ∈ Bn tal que πn (b0 ) = c0 . Temos que
C
c0 = c + ∂n+1
c̃. Como πn+1 é sobrejetor, existe b̃ ∈ Bn+1 tal que πn+1 (b̃) = c̃, logo
62
C
B
B
πn (b0 ) = πn (b)+∂n+1
πn+1 (b̃) = πn (b)+πn ∂n+1
(b̃), ou seja πn (b0 −b−∂n+1
(b̃)) = 0. Por
0
B
0
B
exatidão existe ã ∈ An tal que in (ã) = b −b−∂n+1 (b̃), ou seja b = b+∂n+1 (b̃)+in (ã).
B
= 0, temos b01 := ∂nB b0 = b1 + ∂nB in (ã) = b1 + in−1 ∂nA (ã).
Por isso, como ∂nB ◦ ∂n+1
Temos que escolher a0 tal que in−1 (a0 ) = b01 : como in−1 é injetora, a0 é único, portanto
tem que coincidir com a + ∂nA (ã). Isso prova que [a] = [a0 ].
Verificamos agora que (24) é exata:
• Exatidão em Hn (A• ). Seja [a] = βn+1 [c] ∈ Hn (A• ). Isso significa que
B
b conforme a construção do morfismo de Bockstein. Por
in (a) = b1 = ∂n+1
isso (in )∗ [a] = 0. Isso prova que (in )∗ ◦ βn+1 = 0. Seja agora [a] ∈ Hn (A• ) tal
B
que (in )∗ [a] = 0. Isso significa que existe b ∈ Bn+1 tal que in (a) = ∂n+1
b. Seja
B
C
C
c := πn+1 (b) ∈ Cn+1 . Temos que ∂n+1 (c) = ∂n+1 (πn+1 (b)) = πn (∂n+1 (b)) =
πn (in (a)) = 0, logo c é um ciclo. Por construção temos que βn+1 [c] = [a].
• Exatidão em Hn (B• ). Temos que (πn )∗ ◦ (in )∗ = (πn ◦ in )∗ = 0. Seja agora
C
[b] ∈ Hn (B• ) tal que (πn )∗ [b] = 0. Isso significa que πn (b) = ∂n+1
(c̃). Como
C
πn+1 é sobrejetora, temos que c̃ = πn+1 (b̃), portanto πn (b) = ∂n+1 (πn+1 (b̃)) =
B
B
πn (∂n+1
(b̃)), ou seja πn (b − ∂n+1
(b̃)) = 0. Por exatidão de (21) temos que
B
B
(b̃)) = 0,
b−∂n+1 (b̃) = in (a). Ademais in−1 (∂nA (a)) = ∂nB (in (a)) = ∂nB (b−∂n+1
A
B
logo, sendo in−1 injetora, ∂n (a) = 0. Portanto (in )∗ [a] = [b − ∂n+1 (b̃)] = [b].
• Exatidão em Hn (C• ). Seja [c] = (πn )∗ [b] ∈ Hn (C• ). Isso significa que c =
C
c̃, onde b é um ciclo. Como πn+1 é sobrejetora, temos que c̃ =
πn (b) + ∂n+1
B
b̃). Por isso, na construção do morfismo de
πn+1 (b̃), logo c = πn (b + ∂n+1
B
b̃,
Bockstein, podemos escolher como contraimagem de c o ciclo b + ∂n+1
assim b1 = 0, logo a = 0. Isso prova que βn [c] = 0. Seja agora [c] ∈ Hn (C• )
tal que βn [c] = 0. Isso significa que c = πn (b) tal que ∂nB b = in−1 (∂nA a0 ),
logo ∂nB b = ∂nB (in (a0 )), ou seja ∂nB (b − in (a0 )) = 0. Por exatidão temos que
πn (b − in (a0 )) = πn (b) = c, portanto [c] = π∗ [b − in (a0 )].
Deste jeito construı́mos a ação de B sobre os objetos. Seja agora Φ um morfismo na categoria SeqExCCompCadA . Isso significa que Φ é uma tripla de morfismos
C
B
(ΦA
• , Φ• , Φ• ) na categoria CompCadA que torna o diagrama seguinte comutativo:
(25)
/
0
0
/
A•
i•
/
B•
ΦA
•
A0•
i0•
/
π•
/
ΦB
•
B•0
π•0
/
C•
/
0
ΦC
•
/
C•0
0.
Cada uma das três componentes de Φ é uma sequência de morfismos em A que
comutam com os bordos dos complexos correspondentes. A imagem de Φ através
de B é o seguinte morfismo de sequências exatas:
···
···
(in )∗
/
(in )∗
/
Hn (B• )
(πn )∗
/
ΦB
∗,n
Hn (C• )
Hn (B• )
(πn )∗
/
βn
/
ΦC
∗,n
Hn−1 (A• )
Hn (C• )
βn
/
(in−1 )∗
/
ΦA
∗,n−1
Hn−1 (A• )
(in−1 )∗
/
(πn−1 )∗
/
···
/
···
Hn−1 (B• )
ΦB
∗,n−1
(πn−1 )∗
Hn−1 (B• )
63
O leitor pode verificar que o diagrama é comutativo, logo é um morfismo de sequências
exatas longas.
4.5. Homotopia de complexos de (co)cadeias. Vamos agora introduzir a noção
algébrica de homotopia entre morfismos de complexos de (co)cadeias, cujo nome
deriva do fato de ser induzida naturalmente por uma homotopia de funções contı́nuas
nos vários exemplos de complexos que construiremos em seguida. Por simplicidade
vamos considerar grupos abelianos, mas toda esta seção vale para uma categoria
abeliana qualquer.
Definição 4.8. Sejam ϕ• , ψ• : (A• , ∂•A ) → (B• , ∂•B ) morfismos de complexos de
cadeias. Uma homotopia entre ϕ• e ψ• é uma sequência de morfismos de grupos
abelianos Pn : An → Bn+1 tal que:
B
◦ Pn + Pn−1 ◦ ∂nA .
ϕn − ψn = ∂n+1
O diagrama que representa os morfismos envolvidos é o seguinte:
··· o
A
∂n−1
An−1 o
Pn−2 ϕn−1 −ψn−1
···
o
B
∂n−1
'
Bn−1 o
A
∂n
Pn−1
B
∂n
An o
ϕn −ψn
'
Bn o
A
∂n+1
Pn
B
∂n+1
An+1 o
ϕn+1 −ψn+1
'
Bi+1 o
A
∂n+2
···
Pn+1
B
∂n+2
'
···.
É muito fácil verificar que se trata de uma relação de equivalência, portanto podemos
quocientar os morfismos por homotopia obtendo a categoria seguinte:
• Categoria CompCadH: Objetos: complexos de cadeias. Morfismos: classes
de equivalência de morfismos de complexos de cadeias a menos de homotopia.
O fato fundamental é o seguinte:
Lema 4.2. Sejam ϕ• , ψ• : (A• , ∂•A ) → (B• , ∂•B ) morfismos homotópicos. Os morfismos induzidos em homologia coincidem, ou seja ϕ∗ = ψ∗ .
B
Prova: Para [a] ∈ Hn (A• ) temos que ϕ∗,n [a]−ψ∗,n [a] = [ϕn (a)−ψn (a)] = [∂n+1
(Pn (a))+
A
B
Pn−1 (∂n (a))] = [∂n+1 (Pn (a))] = 0. Como para os espaços topológicos, dois complexos de cadeias (A• , ∂•A ) e (B• , ∂•B )
são ditos homotopicamente equivalentes ou têm o mesmo tipo de homotopia quando
forem isomorfos na categoria CompCadH. Isso significa que existem dois morfismos
ϕ• : (A• , ∂•A ) → (B• , ∂•B ) e ψ• : (B• , ∂•B ) → (A• , ∂•A ) tais que ψ• ◦ ϕ• ∼ idA• e ϕ• ◦
ψ• ∼ idB• . Segue do lema 4.2 que dois complexos homotopicamente equivalentes têm
grupos de homologia isomorfos. Enfim, tudo o que mostramos nesta seção vale de um
jeito análogo para complexos de cocadeias, construindo a categoria CompCocadHA .
4.6. Lema dos cinco. Uma ferramenta útil de álgebra homológica é o lema seguinte.
64
Lema 4.3 (Lema dos cinco). Dado um diagrama comutativo em uma categoria
abeliana:
A1
ϕ1
Φ1
/
B1
ψ1
/
ϕ2
A2
Φ2
/
B2
ψ2
/
A3
ϕ3
/
A4
Φ3
B3
ψ3
/
ϕ4
Φ4
/
B4
ψ4
/
A5
Φ5
B5,
se as duas linhas forem exatas, Φ2 e Φ4 forem isomorfismos, Φ1 for sobrejetor e Φ5
for injetor (em particular, se Φ1 , Φ2 , Φ4 , Φ5 forem isomorfismos) então também Φ3
é um isomorfismo. A prova consiste em uma clássica aplicação das técnicas de “diagram chasing”,
ou seja se obtém mexendo-se no diagrama usando a exatidão e a comutatividade,
como já fizemos várias vezes. O leitor pode elaborar os detalhes.
5. Homologia
O grupo fundamental pode ser calculado para espaços não elementares graças ao
teorema de Seifert-Van Kampen, mas, sendo não abeliano, pode ter uma estrutura
bastante complicada. Só para provar que os grupos das superfı́cies compactas sem
borda não são isomorfos passamos aos abelianizados, bem mais simples a serem tratados. Por isso, a versão abeliana do grupo fundamental pode ser suficiente e mais
prática. Os grupos de homotopia de ordem superior são abelianos, mas em geral é
bem difı́cil calculá-los, pois não temos uma ferramenta parecida com o teorema de
Seifert-Van Kampen, ou seja uma ferramenta que nos permita calcular grupos de
espaços complicados a partir de uma cobertura adequada. Por estas razões a teoria dos grupos de homotopia não é suficientemente manejável para ser usada como
ferramenta básica no estudo dos espaços topológicos. A teoria da homologia é uma
valida substituta, pois resolve ao mesmo tempo os dois problemas que acabamos de
destacar. Aliás, o primeiro grupo de homologia singular de um espaço é isomorfo ao
abelianizado do grupo fundamental; ademais, a sequência de Mayer-Vietoris desempenha um papel análogo ao do teorema de Seifert-Van Kampen em qualquer grau,
não somente em grau 1. Por estes motivos os grupos de homologia são mais fáceis a
serem calculados e ao mesmo tempo proporcionam uma informação suficientemente
ampla para ser interessante.
5.1. Homologia simplicial. A primeira versão da homologia é a versão simplicial.
Trata-se de uma versão intuitiva do ponto de vista geométrico e bastante simples a
ser calculada, mas com a desvantagem de ser definida em um contexto demasiado
rı́gido. Por isso não é simples provar as propriedades fundamentais, como a independência da estrutura simplicial escolhida, a invariança por homotopia e assim por
diante. Antes de tudo precisamos da noção de ∆-complexo [1]. Trata-se de um certo
tipo de triangulação de um espaço topológico, menos rı́gida do que a usual noção
de complexo simplicial. Vamos agora mostrar a construção precisa.
Definição 5.1. Dados n + 1 pontos ordenados v0 , . . . , vn ∈ Rm que não fiquem em
um hiperplano de dimensão menor que n (ou seja tais que v1 − v0 , . . . , vn − v0 sejam
independentes) o n-simplexo [v0 , . . . , vn ] é o par formado por:
65
(1) o minimo subconjunto convexo de Rm que contém v0 , . . . , vn , sendo estes
pontos chamados de vértices;
(2) a ordem dos vértices.
Em particular, o n-simplexo canônico é o espaço:
∆n := {(x0 , . . . , xn ) ∈ Rn+1 : xi ≥ 0; x0 + · · · + xn = 1}
com a topologia euclidiana e a ordem dos vértices dada pela ordem usual da base
canônica de Rn+1 .
Um 0-simplexo é um ponto, um 1-simplexo é um segmento, um 2-simplexo é um
triângulo com a parte interna e assim por diante, juntos com a ordem dos vértices.
Dado um n-simplexo [v0 , . . . , vn ] existe um homeomorfismo canônico ϕv0 ,...,vn : ∆n →
[v0 , . . . , vn ] obtido restringindo a única aplicação linear que manda ei (i-mo vetor da
base canônica de Rn+1 ) em vi−1 . Isso implica que dados dois n-simplexos [v0 , . . . , vn ]
e [w0 , . . . , wn ] existe um homeomorfismo canônico ϕ : [v0 , . . . , vn ] → [w0 , . . . , wn ]
definido por ϕ := ϕw0 ,...,wn ◦ ϕ−1
v0 ,...,vn .
Definição 5.2. Dado um n-simplexo [v0 , . . . , vn ], uma k-face dele é um k-simplexo
obtido considerando uma subfamı́lia crescente de k + 1 vértices, ou seja [vi0 , . . . , vik ]
com i0 < · · · < ik .
Reparamos que o simplexo mesmo é a única n-face dele. Agora podemos definir
um ∆-complexo. Trata-se de um espaço topológico obtido juntando vários simplexos
identificando umas faces através do homeomorfismo canônico.
Definição 5.3. Um ∆-complexo é um espaço topológico X obtido do jeito seguinte:
• para n ∈ N é dado um conjunto (que pode ser também vazio) de n-simplexos
Sn = {∆nα }α∈In ;
• para n ∈ N é dada uma famı́lia (que pode ser também vazia) de conjuntos
disjuntos de faces de dimensão n, ou seja é dada uma famı́lia Fn = {Fβn }β∈Jn ,
n
n
onde um elemento de Fβn é uma n-face de um simplexo ∆m
α e Fβ1 ∩ Fβ2 = ∅
para β1 6= β2 ;
• definimos:
G
.
n
X :=
∆α
∼{Fβn }
n∈N,α∈In
onde ∼{Fβn } identifica as faces do mesmo conjunto Fβn através do homeomorfismo canônico para todo n e β.
Por exemplo, o toro T2 pode ser obtido considerando dois 2-simplexos que dividam
o retângulo aba−1 b−1 em dois triângulos, cortando ao longo da diagonal. Neste
caso os dados envolvidos na construção são A2 = {[v0 , v1 , v2 ], [v00 , v10 , v20 ]} e F1 =
{{[v0 , v1 ], [v10 , v20 ]}, {[v1 , v2 ], [v00 , v10 ]}, {[v0 , v2 ], [v00 , v20 ]}}. O plano projetivo RP2 pode
também ser obtido com dois 2-simplexos que dividam o retângulo ab−1 ab−1 em
dois triângulos, cortando ao longo da diagonal. Neste caso os dados são A2 =
{[v0 , v1 , v2 ], [v00 , v10 , v20 ]} e F1 = {{[v0 , v1 ], [v00 , v10 ]}, {[v1 , v2 ], [v00 , v20 ]}, {[v0 , v2 ], [v10 , v20 ]}}.
66
Definição 5.4. Para n ≥ 1, um n-simplexo aberto é definido analogamente a um
n-simplexo, só considerando a parte interna do minimo subconjunto convexo de Rm
que contém os vértices. Para n = 0, consideramos como parte interna do vértice o
vértice mesmo. Em particular, o n-simplexo aberto canônico é o espaço:
∆n := {(x0 , . . . , xn ) ∈ Rn+1 : xi > 0; x0 + · · · + xn = 1}
com a topologia euclidiana e a ordem dos vértices dada pela ordem usual da base
canônica de Rn+1 .
Dado um ∆-complexo X, obtido a partir dos simplexos {∆nα }n∈N,α∈In , podemos
considerar a famı́lia dos simplexos abertos {enα }n∈N,α∈In0 , sendo enα a parte interna de
n
n
uma n-face de um simplexo ∆m
β . Consideremos a projeção ao quociente σα : eα → X.
Como a identificação das faces é obtida através do homeomorfismo canônico, dados
dois n-simplexos abertos enα e enβ temos duas alternativas:
• os dois são completamente identificados, ou seja σαn (x) = σβn (ϕ(x)) para todo
x, sendo ϕ : enα → enβ o homeomorfismo canônico;
• as imagens σαn (enα ) e σβn (enβ ) são disjuntas em X.
Por isso, podemos reduzir a famı́lia {enα }n∈N,α∈In0 considerando só um representante
para cada classe de simplexos abertos identificados em X. O resultado é o seguinte:
G
(26)
X=
σαn (enα ),
n∈N,α∈In0
ou seja X, como conjunto, é união disjunta das imagens dos simplexos abertos.
Agora podemos definir a homologia simplicial. Seja X um ∆-complexo: isso
significa que consideramos X um espaço topológico com uma estrutura fixada de
∆-complexo, que indicamos com ∆.
Definição 5.5. O grupo das n-cadeias simpliciais de X a respeito de ∆ é o grupo
abeliano livre gerado pelos simplexos abertos de dimensão n, ou seja:
M
(27)
Cn∆ (X) :=
Z,
α∈In0
sendo In0 a famı́lia de ı́ndices que aparece em (26). Para n < 0 definimos Cn∆ (X) :=
0.
Vamos agora definir os morfismos de bordo que tornam C•∆ (X) um complexo de
cadeias. Usamos a convenção seguinte: na definição (27), identificamos o gerador de
Z correspondente a α ∈ In0 com enα mesmo e com σαn (enα ). Em particular, a segunda
identificação nos permite considerar as faces de enα (ou seja, as partes internas das
faces do fecho) subentendendo que, quando precisarem, vão ser substituı́das pelo representante equivalente escolhido na decomposição (26). Podemos portanto definir:
(28)
∆
∂n : Cn∆ (X) → Cn−1
(X)
n
X
∂n [v0 , . . . , vn ] :=
(−1)i [v0 , . . . , v̂i , . . . , vn ],
i=0
67
onde v̂i indica que o vértice i-ésimo não aparece. Claramente a definição de ∂n se
estende por aditividade ao grupo todo. Podemos verificar que os morfismos ∂• são
efetivamente morfismos de bordo, de fato:
∂n−1 ◦ ∂n [v0 , . . . , vn ] =
n
X
(−1)i ∂n−1 [v0 , . . . , v̂i , . . . , vn ]
i=0
(29)
n X
i−1
X
=
(−1)i+j [v0 , . . . , v̂j , . . . , v̂i , . . . , vn ]
i=0
+
j=0
n
X
(−1)
i+j−1
[v0 , . . . , v̂i , . . . , v̂j , . . . , vn ]
j=i+1
= 0,
pois a soma a respeito de (i, j) é o oposto da soma a respeito de (j, i). Deste jeito
obtemos o complexo de cadeias (C•∆ (X), ∂• ), cujos grupos de homologia são ditos
grupos de homologia simplicial de X a respeito de ∆ e se indicam com H•∆ (X). Na
verdade mostraremos que não dependem de ∆, mas não podemos provar isso agora.
Uns exemplos significativos são os seguintes:
• Seja X = {∗}. Temos uma natural estrutura de ∆-complexo com só um
0-simplexo. Isso implica que C0∆ ({∗}) ' Z e Cn∆ ({∗}) = 0 para n 6= 0. Os
morfismos de bordo são todos nulos, logo H0∆ ({∗}) ' Z e Hn∆ ({∗}) = 0 para
n 6= 0.
• Para X = S 1 podemos considerar só um 1-simplexo identificando os dois
vértices. Temos portanto C0∆ (S 1 ) ' Z, C1∆ (S 1 ) ' Z e Cn∆ (S 1 ) = 0 para
n 6= 0, 1. Os morfismos de bordo são todos nulos, pois ∂1 , aplicado ao 1simplexo, dá a soma entre o vértice e o oposto dele, portanto 0. Isso implica
que H0∆ (S 1 ) ' Z, H1∆ (S 1 ) ' Z e Hn∆ (S 1 ) = 0 para n 6= 0, 1.
• Para X = T2 , podemos considerar a decomposição descrita precedentemente
(dois 2-simplexos identificando três pares de lados e todos os vértices), portanto obtemos C0∆ (T2 ) ' Z, C1∆ (T2 ) ' Z ⊕ Z ⊕ Z, C2∆ (T2 ) ' Z ⊕ Z
e Cn∆ (T2 ) = 0 para n 6= 0, 1, 2. Os bordos são os seguintes: ∂2 (1, 0) =
∂2 (0, 1) = (1, 1, −1) e ∂n = 0 para n 6= 2. Em particular Ker(∂2 ) = h(1, −1)i,
logo H2∆ (T2 ) ' Z (sendo (n, m) ∼ (n+m, 0) em C2∆ (T2 )). Ademais Im(∂2 ) =
h(1, 1, −1)i, logo H1∆ (T2 ) ' Z ⊕ Z (sendo (n, m, p) ∼ (n + p, m + p, 0) em
C1∆ (T2 )). Enfim H0∆ (T2 ) ' Z e Hn∆ (T2 ) = 0 para n 6= 0, 1, 2.
• Para X = RP2 , podemos considerar a decomposição descrita precedentemente (dois 2-simplexos identificando três pares de lados e dois vértices),
portanto obtemos C0∆ (RP2 ) ' Z ⊕ Z, C1∆ (RP2 ) ' Z ⊕ Z ⊕ Z, C2∆ (RP2 ) '
Z ⊕ Z e Cn∆ (RP2 ) = 0 para n 6= 0, 1, 2. Os bordos são os seguintes:
∂1 (1, 0, 0) = ∂1 (0, 1, 0) = (−1, 1) e ∂1 (0, 0, 1) = 0; ademais ∂2 (1, 0) =
(−1, 1, 1), ∂2 (0, 1) = (1, −1, 1) e ∂n = 0 para n 6= 1, 2. Em particular
Ker(∂2 ) = 0, logo H2∆ (RP2 ) = 0. Ademais Ker(∂1 ) = h(1, −1, 1), (0, 0, 1)i e
Im(∂2 ) = h(1, −1, 1), (0, 0, 2)i, logo H1∆ (RP2 ) ' Z2 (sendo (n, n, p) ∼ (0, 0, p
68
mod 2) em Ker(∂1 )). Ademais Im(∂1 ) = h(−1, 1)i, logo H0∆ (RP2 ) ' Z (sendo
(n, m) ∼ (n + m, 0) em C0∆ (T2 )). Enfim Hn∆ (RP2 ) = 0 para n 6= 0, 1.
Enfim, podemos definir a versão relativa da homologia simplicial.
Definição 5.6. Dado um ∆-complexo X, um sub-∆-complexo A ⊂ X é um complexo simplicial obtido a partir de uma subfamı́lia dos complexos simplicial que definem X, com as mesmas identificações entre as faces envolvidas.
Podemos agora definir o complexo C•∆ (X, A) := C•∆ (X)/C•∆ (A). É claro que os
bordos ∂• de C•∆ (X) ficam bem definidos passando ao quociente, pois o bordo de um
simplexo contido em A é também contido em A. Logo podemos definir os grupos de
homologia simplicial relativa H•∆ (X, A) como os grupos de homologia do complexo
(C•∆ (X, A), ∂• ). Graças ao functor Bockstein (23) obtemos uma sequência exata
longa:
(in )∗
(πn )∗
βn
(in−1 )∗
(πn−1 )∗
∆
∆
· · · −→ Hn∆ (X) −→ Hn∆ (X, A) −→ Hn−1
(A) −→ Hn−1
(X) −→ · · · ,
sendo i∗ induzido pela imersão i : C•∆ (A) → C•∆ (X) e π∗ pela projeção π : C•∆ (X) →
C•∆ (X, A). A ideia é a seguinte: um n-ciclo de homologia relativo tem bordo contido
em A (portanto não necessariamente vazio). Aplicando o bordo, se obtém um (n−1)ciclo em A que é trivial como ciclo de X, mas não necessariamente como ciclo de A.
Por isso obtemos uma (n − 1)-classe de homologia de A, não trivial em geral, que é
a imagem do morfismo de Bockstein.
5.2. Homologia singular. O problema da homologia simplicial consiste no fato
que a noção de ∆-complexo é demasiado rı́gida, portanto é complicado incluı́-la
em uma estrutura functorial. Aliás, para definir um morfismo entre ∆-complexos,
seria natural considerar uma função contı́nua que mande n-simplexos abertos em
n-simplexos abertos. Todavia, já considerando a função de um ∆-complexo X a
um ponto, isso não pode acontecer em geral, pois o ponto não tem simplexos de
dimensão maior que 0. Não tendo uma simples estrutura functorial, fica complicado
provarmos as propriedades elementares das quais precisamos, por exemplo, o fato
que os grupos de homologia não dependam da estrutura de ∆-complexo, o fato que
sejam invariantes por tipo de homotopia e assim por diante. Por isso, precisamos
de uma teoria diferente. A ideia fundamental é a seguinte: o fato que os simplexos abertos sejam mergulhados no ∆-complexo X é o que torna simples calcular
os grupos de homologia, mas, ao mesmo tempo, é a causa da rigidez da estrutura
de ∆-complexo. Suponhamos de considerarmos uma função contı́nua σ : ∆n → X,
sendo ∆n o n-simplexo canônico, sem pedir que a restrição à parte interna seja um
mergulho. Neste caso, dada uma função f : X → Y , é muito simples definir o
push-forward f ◦ σ : ∆n → Y . Portanto, podemos considerar como n-cadeias todas
as funções contı́nuas de ∆n a X. É claro que isso torna bem maiores os grupos
de cadeias, sendo estes infinitamente gerados para qualquer espaço que contenha
infinitos pontos; logo também os grupos de ciclos e bordos são bem maiores. Todavia, podemos esperar que, passando ao quociente, ou seja, considerando os grupos
de homologia, o resultado seja de uma complexidade parecida com a dos grupos
de homologia simplicial. Na verdade, vale um resultado bem mais forte: quando o
69
espaço X é um ∆-complexo, os grupos assim obtidos são isomorfos aos de homologia
simplicial. Obtemos deste jeito uma nova teoria, dita homologia singular, com una
natural estrutura functorial.
Seja ∆n o n-simplexo canônico, conforme a definição 5.1.
Definição 5.7. Seja X um espaço topológico. O grupo das n-cadeias singulares de
X é o grupo abeliano livre gerado pelas funções contı́nuas de ∆n a X, ou seja:
M
(30)
Cn (X) :=
Z.
σ:∆n →X
Para n < 0 definimos Cn (X) := 0. Chamamos um gerador σ : ∆n → X de nsimplexo singular.
Podemos identificar uma k-face de ∆n com ∆k através do homeomorfismo canônico.
Ademais, identificamos o gerador da cópia de Z correspondente a σ : ∆n → X com σ
mesmo. Por isso podemos definir os morfismos de bordo do jeito seguinte (chamando
de v0 , . . . , vn os vértices de ∆n ):
(31)
∂n : Cn (X) → Cn−1 (X)
n
X
∂n σ :=
(−1)i σ|[v0 ,...,v̂i ,...,vn ] .
i=0
A formula (29), modificada do jeito óbvio, mostra que ∂n−1 ◦ ∂n = 0, portanto
obtemos o complexo de cadeias (C• (X), ∂• ), cujos grupos de homologia são ditos
grupos de homologia singular de X e se indicam com H• (X). Segue daPdefinição
que um representante de uma classe de homologia é uma soma formal pi=0 ni σi ,
sendo ni ∈ Z e σi : ∆n → X, tal que o bordo seja nulo.
Seja f : X → Y uma função contı́nua. Podemos definir os morfismos f#,n :
Cn (X) → Cn (Y ) por f#,n (σ) := f ◦ σ, extenso por aditividade (usamos f#,n em vez
que f∗,n , pois usaremos f∗,n a respeito do push-forward em homologia). É imediato
verificar, a partir de (31), que f# : C• (X) → C• (Y ) é um morfismo de complexos
de cadeias, logo induz um morfismo em homologia
f∗ : H∗ (X) → H∗ (Y ),
definido por f∗ [a] := [f# (a)]. É imediato verificar também que (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ e
que id∗ = id, logo obtemos o functor homologia singular H• : Top → SeqGrAb; em
particular, isso mostra que espaços homeomorfos têm grupos de homologia isomorfos.
Mais precisamente, como (g ◦ f )# = g# ◦ f# e id# = id, fica bem definido o functor
C• : Top → CompCad, cuja composição com o functor homologia H• : CompCad →
SeqGrAb é o functor homologia singular (que indicamos também com H• ).
Podemos agora estender a definição ao caso relativo. Dado um par de espaços
topológicos (X, A) (por definição isso significa que A ⊂ X), podemos considerar o
complexo C• (X, A) := C• (X)/C• (A). É claro que os bordos ∂• de C• (X) ficam bem
definidos passando ao quociente, pois o bordo de um simplexo pertencente a C• (A)
pertence também a C• (A). Logo podemos definir os grupos de homologia singular
70
relativa H• (X, A) como os grupos de homologia do complexo (C• (X, A), ∂• ). Dado
um morfismo de pares f : (X, A) → (Y, B), fica bem definido um morfismo de
complexos de cadeias f# : C• (X, A) → C• (Y, B), sendo f# [σ] := [f ◦ σ]. Isso induz
um morfismo f∗ : H• (X, A) → H• (Y, B). Obtemos deste jeito o functor homologia
singular relativa:
H• : Top2 → SeqGrAb,
(32)
o qual é a composição do functor C• : Top2 → CompCad com o functor homologia
H• : CompCad → SeqGrAb. É claro que, para A = ∅, obtemos a cohomologia de X,
portanto a cohomologia de um espaço pode ser pensada com um caso particular da
cohomologia relativa através do mergulho de categorias (2). É natural perguntarse se há uma relação entre os grupos relativos H• (X, A) e os grupos do quociente
H• (X/A). Responderemos a esta pergunta em seguida.
Graças ao functor Bockstein (23) obtemos uma sequência exata longa:
(33)
(in )∗
(πn )∗
βn
(in−1 )∗
(πn−1 )∗
· · · −→ Hn (X) −→ Hn (X, A) −→ Hn−1 (A) −→ Hn−1 (X) −→ · · · ,
sendo i∗ induzido pela imersão i : A → X (portanto pela imersão de complexos
i# : C• (A) → C• (X)) e π∗ pela imersão de pares π : (X, ∅) → (X, A) (ou seja
pela projeção de complexos π# : C• (X) → C• (X, A)). Como no caso simplicial, a
ideia é a seguinte: um n-ciclo de homologia relativo tem bordo pertencente a C• (A)
(portanto não necessariamente vazio). Aplicando o bordo, se obtém um (n − 1)ciclo em A que é trivial como ciclo de X, mas não necessariamente como ciclo de
A. Por isso obtemos uma (n − 1)-classe de homologia de A, não trivial em geral,
que é a imagem do morfismo de Bockstein. O significado geométrico da exatidão é
o seguinte:
• Exatidão em Hn (A). Dado um ciclo relativo a, a borda ∂a está contida em
A. Aplicando o Bockstein obtemos [a] em A, que, por construção, é trivial
como classe de X. Vice-versa, se um ciclo a0 em A for trivial em X, é borda
de uma cadeia a de X, a qual define um ciclo relativo, logo β([a]) = [a0 ].
• Exatidão em Hn (X). Dado um ciclo a de A, como ciclo de X pode não ser
trivial, mas como ciclo relativo é trivial pelo fato de estar contido em A.
Vice-versa, dado um ciclo a de X, se for trivial como classe relativa, existe
uma cadeia b de X tal que ∂b = a − a0 , com a0 contido em A. Logo [a] = [a0 ]
em X, ou seja [a] é o push-forward da classe [a0 ] de A.
• Exatidão em Hn (X, A). Dado um ciclo a de X, como ciclo relativo pode
não ser trivial, mas, como não tem borda, aplicando o Bockstein se obtém 0.
Viceversa, dado um ciclo relativo a, se o Bockstein der a classe nula significa
que ∂a = ∂a0 com a0 contida em A, logo a − a0 é um ciclo de X e, como classe
relativa, [a − a0 ] = [a], logo [a] é imagem de uma classe de X.
Do ponto de vista categorial, temos um functor:
(34)
B : Top2 → SeqExL,
que associa a um par (X, A) a sequência (33) e a um morfismo de pares o correspondente morfismo de sequências exatas. Este functor é a composição de um
functor de Top2 a SeqExCCompCad , que associa ao par (X, A) a sequência exata
71
0 → C• (A) → C• (X) → C• (X)/C• (A) → 0, com o functor B : SeqExCCompCad →
SeqExL. Partindo de Top2 , podemos também pensar nos morfismos de Bockstein
do jeito seguinte. Seja Π2 : Top2 → Top o functor tal que Π2 (X, A) = A e, para
f : (X, A) → (Y, B), Π2 (f ) := f |A . O leitor pode verificar que temos um morfismo de functores βn : Hn → Hn−1 ◦ Π2 . Equivalentemente, temos um morfismo de
functores
β• : H• → H•−1 ◦ Π2 .
(35)
Enfim, podemos generalizar a sequência exata longa de um par do seguinte jeito.
Seja (X, A, B) um objeto de Top3 , logo B ⊂ A ⊂ X. Temos uma sequência exata
curta 0 → C• (A, B) → C• (X, B) → C• (X, A) → 0, a qual induz uma sequência
exata longa:
(36)
(in )∗
(πn )∗
(in−1 )∗
βn
(πn−1 )∗
· · · −→ Hn (X, B) −→ Hn (X, A) −→ Hn−1 (A, B) −→ Hn−1 (X, B) −→ · · · .
Obtemos deste jeito um functor
(37)
B : Top3 → SeqExL.
Para B = ∅ obtemos a sequência (33).
Para calcularmos concretamente uns grupos de homologia singular significativos,
ainda precisamos de ferramentas que introduziremos mais adiante. Por enquanto
começamos por X = {∗}. Temos que Cn ({∗}) ' Z para todo n ≥ 0, pois só
há uma função de ∆n ao ponto. Ademais, ∂2n+1 : C2n+1 ({∗}) → C2n ({∗}) é o
morfismo nulo, pois, aplicando ∂2n+1 ao único (2n + 1)-simplexo, obtemos uma soma
de um número par de cópias do único 2n-simplexo (uma cópia para cada 2n-face
de ∆2n+1 ), com sinal alternado (a partir de (−1)0 até (−1)2n+1 ). Pelo contrário,
∂2n : C2n ({∗}) → C2n−1 ({∗}) é a identidade, pois ∆2n tem um número ı́mpar de
(2n − 1)-faces e a soma alternada parte de (−1)0 e chega a (−1)2n . Logo temos:
0
id
0
id
0
C• ({∗}) = · · · ←− 0 ←− 0 ←− Z ←− Z ←− Z ←− Z ←− Z ←− · · · .
Portanto H0 ({∗}) ' Z e Hn ({∗}) = 0 para todo n 6= 0.
Por enquanto só calculamos a homologia singular do ponto. Graças ao lema
seguinte podemos calcular o grupo H0 para qualquer espaço e podemos mostrar o
comportamento da homologia a respeito das componentes conexas por caminhos de
X.
F
Lema 5.1. Seja X = α∈I Xα a decomposição de X em componentes conexas por
caminhos. Valem os resultados seguintes:
L
• existe um L
isomorfismo canônico H• (X) ' α∈I H• (Xα );
• H0 (X) ' α∈I Z.
Sejam A ⊂ X e Aα := A ∩ Xα . Seja J ⊂ I tal que α ∈ J se e somente se Aα = ∅.
Temos que:
L
• existe um isomorfismo
canônico
H
(X,
A)
'
•
α∈I H• (Xα , Aα );
L
• H0 (X, A) ' α∈J Z.
72
Prova: Como ∆n é conexo por caminhos, a imagem de um simplexo singular está
toda
L contida na mesma componente. Por isso temos uma decomposição C• (X) '
α C• (Xα ), que se obtém separando os geradores de C• (X) conforme a componente
conexa à qual pertencem. Como as faces de umL
simplexo singular estão contidas
na
α Ker(∂n |Cn (Xα ) ) e Im(∂n+1 ) '
L mesma componente, temos que Ker(∂n ) '
Im(∂
|
),
logo
os
grupos
de
homologia
se decompõem do mesmo jeito.
n+1
Cn+1 (Xα )
α
0
Para n = 0, como ∆ é um ponto, temos que C0 (X) é o grupo abeliano livre gerado pelos pontos de X. Como C−1 (X) = 0 por definição, temos que ∂0 = 0, logo
Ker(∂0 ) = C0 (X). Enfim, como ∆1 é homeomorfo a I, para p, q ∈ X, temos que
p − q ∈ Im(∂1 ) se e somente se existe um caminho ϕ : I → X tal que ϕ(0) = q e
ϕ(1) = p, ou seja, se e somente se p e q pertencem à mesma componente conexa por
caminhos. Logo H0 (X) é o grupo abeliano livre gerado pelas componentes de X.
No caso relativo a prova é parecida. Existe também um jeito natural de definir a homologia como functor de Top+ em
vez que de Top2 .
Definição 5.8. Seja (X, x0 ) um espaço com ponto marcado. Definimos os grupos
de homologia reduzida de (X, x0 ) do jeito seguinte:
H̃• (X)x0 := H• (X, {x0 }).
Consideremos a sequência exata longa correspondente:
(38)
(in )∗
(πn )∗
βn
· · · −→ Hn ({x0 }) −→ Hn (X) −→ H̃n (X)x0 −→ Hn−1 ({x0 }) −→ · · · .
Para n ≥ 2 temos que Hn ({x0 }) = Hn−1 ({x0 }) = 0, logo Hn (X) ' H̃n (X)x0 . O
morfismo i0,∗ : H0 ({x0 }) → H0 (X) é injetor, pois consiste na imersão da cópia
de Z correspondente à componente de x0 (v. lema 5.1). Logo β1 = 0, portanto
H1 (X) ' H̃1 (X)x0 . Enfim, como H−1 ({x0 }) = 0, temos que π0,∗ é sobrejetor, logo
H̃0 (X)x0 ' H0 (X)/Im(i0,∗ ). Isso significa que H̃0 (X)x0 é canonicamente isomorfo
ao grupo que se obtém a partir de H0 (X), apagando a cópia de Z correspondente à
componente de x0 (destacamos em particular que, escolhendo dois pontos marcados
na mesma componente, obtemos os mesmos grupos). Por isso, temos uma decomposição canônica H0 (X) ' H̃0 (X)x0 ⊕ Z. Ademais, como in,∗ = 0 para n 6= 0, temos
que:
H̃• (X)x0 ' H• (X)/Im(i∗ ) = Coker(i∗ ).
Dado um morfismo f : (X, x0 ) → (Y, y0 ), já está definido o push-forward f∗ :
H̃• (X)x0 → H̃• (Y )y0 , pois trata-se de um caso particular de homologia relativa.
Portanto, acabamos de definir o functor
(39)
H̃• : Top+ → SeqGrAb,
o qual coincide com a composição do functor C̃• : Top+ → CompCad (que associa
a (X, x0 ) o complexo C• (X)/C• ({x0 })) com o functor homologia H• : CompCad →
SeqGrAb. Dado um objeto (X, A, x0 ) de Top+
2 , fica bem definida a sequência exata
73
longa:
(in )∗
(πn )∗
(in−1 )∗
βn
(πn−1 )∗
(40) · · · −→ H̃n (X)x0 −→ Hn (X, A) −→ H̃n−1 (A)x0 −→ H̃n−1 (X)x0 −→ · · · .
De fato, trata-se de um caso particular de (36), para B = {x0 }. Logo obtemos um
functor B : Top+
2 → SeqExL.
Existe também um jeito de definir a homologia reduzida sem marcar um ponto.
Dado um espaço X, consideramos a única função p : X → {∗} e definimos H̃• (X) :=
Ker(p∗ : H• (X) → H• ({∗})). Neste caso obtemos que H̃0 (X) é o subgrupo de
P
P
H0 (X) formado pelas classes [ ki=0 ni σi ] tais que ki=0 ni = 0. Temos portanto uma
sequência exata curta 0 → H̃0 (X) → H0 (X) → Z → 0. A sequência cinde mas
de um jeito não canônico. De fato, a escolha de uma função i : {∗} → X, ou seja
de uma inversa a direita de p, determina um morfismo i∗ : Z → H0 (X) tal que
p∗ i∗ = id, logo determina uma cisão da sequência (v. lema 4.1). A cisão todavia
depende da escolha de i. Os grupos assim definidos correspondem aos grupos de
homologia do complexo de cadeias seguinte, dito complexo singular aumentado:
(41)
C̃• (X) :=
ε
∂
∂
1
2
· · · ←− 0 ←− 0 ←− Z ←− C0 (X) ←−
C1 (X) ←−
··· ,
P
P
sendo ε( ki=1 ni σi ) = ki=1 ni . A partir da sequência exata curta 0 → C̃• (A) →
C̃• (X) → C• (X, A) → 0, obtemos de novo uma sequência exata longa em homologia
(análoga a (40) sem marcar o ponto x0 ), logo um functor B̃ : Top2 → SeqExL.
Todavia, por motivos que esclareceremos em seguida, é mais natural considerar a
homologia reduzida como functor de Top+ , ou seja marcando um ponto.
5.2.1. Invariança por homotopia. Vamos agora provar as propriedades fundamentais
da homologia singular. A primeira é a invariança por homotopia. Sejam f, g :
X → Y funções homotópicas. Seja F : X × I → Y uma homotopia: a partir de
F , vamos construir um operador homotopia entre f# e g# . Dado um n-simplexo
singular σ : ∆n → X, podemos considerar σ × id : ∆n × X → I: para torna-lo
um simplexo singular, temos que decompor ∆n × I em (n + 1)-simplexos singulares.
Sejam ∆n × {0} = [v0 , . . . , vn ] e ∆n × {1} = [w0 , . . . , wn ]. Temos que ∆n × I é
a união dos simplexos [v0 , . . . , vi , wi , . . . , wn ], cada um intersetando o sucessivo em
uma n-face. Definimos o operador prisma do jeito seguinte:
(42)
P• : C• (X) → C•+1 (Y )
n
X
Pn (σ) :=
(−1)i F ◦ (σ × id)|[v0 ,...,vi ,wi ,...,wn ] .
i=0
74
n
Vamos mostrar que Pn−1 ◦ ∂X
+ ∂Yn+1 ◦ Pn = f# − g# . Temos que:
∂Yn+1
n
X
◦ Pn (σ) =
(−1)i ∂Yn+1 F ◦ (σ × id)|[v0 ,...,vi ,wi ,...,wn ]
i=0
=
n X
i
X
(−1)i+j F ◦ (σ × id)|[v0 ,...,v̂j ,...,vi ,wi ,...,wn ]
i=0 j=0
n X
n
X
(−1)i+j+1 F ◦ (σ × id)|[v0 ,...,vi ,wi ,...,ŵj ,...,wn ] .
+
i=0 j=i
n
A soma dos termos com i 6= j coincide com −Pn−1 ◦ ∂X
, pois, na soma para j < i,
n
j
o operador ∂X pula vj com sinal (−1) e o operador Pn−1 atua passando de vi a wi ,
com sinal (−1)i−1 pois vj foi pulado antes de vi . O mesmo argumento vale para a
n
soma com i > j, sendo o sinal (−1)i+j . Logo Pn−1 ◦ ∂X
+ ∂Yn+1 ◦ Pn coincide com as
suas somas só considerando i = j. Como os sinais são opostos, os termos das duas
somas se apagam, exceto os casos i = 0 na primeira e i = n na segunda, logo sobra
f# (σ) − g# (σ). Isso mostra que P• é uma homotopia entre f# e g# , logo f∗ = g∗ .
Considerando morfismos f, g : (X, A) → (Y, B) em Top2 , fica bem definido o
operador prisma P• : C• (X, A) → C•+1 (Y, B), pois uma homotopia é em particular
um morfismo F : (X × I, A × I) → (Y, B), logo P• manda cadeias de A em cadeias
de B. Logo f∗ = g∗ . Isso mostra que a homologia singular pode ser refinada a um
functor
(43)
H• : TopH2 → SeqGrAb.
Em particular, pares de espaços (ou espaços) com o mesmo tipo de homotopia têm
grupos de homologia isomorfos. O mesmo vale para a homologia reduzida, definindo
o functor
(44)
H̃• : TopH+ → SeqGrAb.
Pelo que acabamos de provar, se f : (X, A) → (Y, B) induz uma equivalência homotópica de pares, então f∗ : H• (X, A) → H• (Y, B) é um isomorfismo. Existe
também uma versão mais fraca deste resultado, ou seja, é suficiente pedir que
f : X → Y e f |A : A → B induzam uma equivalência homotópica, sem que
isso aconteça para f como morfismo de pares. Por exemplo, consideremos o morfismo i : (D2 , ∂D2 ) → (D2 , D2 \ {0}) induzido pela indentidade de D2 . Quer
i : D2 → D2 quer i|∂D2 : ∂D2 → D2 \ {0} induzem uma equivalência homotópica,
todavia isso não vale entre os dois pares, pois, se uma inversa r0 : D2 \ {0} → ∂D2
pudesse ser extensa a r : D2 → D2 , por continuidade r seria uma retração fraca de
D2 sobre o bordo. Mostraremos em seguida que, para o par (D2 , ∂D2 ), se existe
uma retração fraca, existe também uma retração, o que não é possı́vel. Todavia,
i∗ : H• (D2 , ∂D2 ) → H• (D2 , D2 \ {0}) é um isomorfismo pelo seguinte lema.
Lema 5.2. Seja f : (X, A) → (Y, B) um morfismo de pares tal que f : X → Y
e f |A : A → B sejam isomorfismos na categoria TopH. Então f∗ : H• (X, A) →
H• (Y, B) é um isomorfismo.
75
Prova: Chamamos de f |X : X → Y o morfismo entre os espaços maiores. Consideremos o push-forward f∗ entre sequências exatas longas:
/
···
···
/
Hn (A)
/
(f |A )∗
Hn (X)
Hn (B)
/
/
(f |X )∗
Hn (Y )
/
Hn (X, A)
/
f∗
Hn (Y, B)
/
/
Hn−1 (A)
···
(f |A )∗
Hn−1 (B)
/
··· .
Os morfismos (f |A )∗ e (f |X )∗ são isomorfismos. Logo, pelo lema dos cinco, também
f∗ é um isomorfismo. Destacamos que não é suficiente que X ' Y e A ' B. É necessário que exista uma
função f : X → Y tal que quer f quer f |A induzam uma equivalência homotópica.
Em geral pode acontecer que A ' B graças a uma equivalência homotópica que
não é restrição de uma entre os espaços maiores. Neste caso o lema não pode ser
aplicado.
5.2.2. Excisão. A excisão é a propriedade que realmente distingue a homologia da
homotopia, pois mostra que os grupos relativos de um par (X, A) têm algo em
comum com os grupos do quociente X/A, pelo menos sob hipóteses adequadas. Isso
torna bem mais simples calcular os grupos de homologia; em particular, a partir
da excisão, poderemos provar a exatidão da sequência de Mayer-Vietoris. Há duas
formulações equivalentes da excisão.
Teorema 5.3 (Excisão v. 1). Seja (X, A) um par de espaços, e seja Z um espaço tal
que Z̄ ⊂ int(A) (sendo Z̄ o fecho de Z e int(A) a parte interna de A). O mergulho
'
i : (X \ Z, A \ Z) → (X, A) induz um ismorfismo i∗ : H• (X \ Z, A \ Z) −→ H• (X, A).
Teorema 5.4 (Excisão v. 2). Seja X um espaço topológico e sejam A, B ⊂ X tais
que int(A)∪int(B) = X. O mergulho i : (B, A∩B) → (X, A) induz um isomorfismo
'
i∗ : H• (B, A ∩ B) −→ H• (X, A).
As duas versões são equivalentes considerando B = X \ Z e Z = X \ B. Provamos
a segunda versão. A ideia é a seguinte:
• consideramos o subcomplexo C• (A + B) de C• (X), que contém as cadeias
geradas pelos simplexos singulares cuja imagem esteja contida em A ou em
B. Vamos provar que a imersão ι : C• (A + B) → C• (X) é um isomorfismo
na categoria CompCadH, ou seja existe um morfismo inverso, a menos de
homotopia, ρ : C• (X) → C• (A + B). Isso prova que os grupos de homologia
de C• (A + B) são isomorfos aos grupos de homologia singular de X.
• Claramente fica bem definida ι : C• (A + B)/C• (A) → C• (X)/C• (A); ademais, mostraremos que também ρ : C• (X)/C• (A) → C• (A + B)/C• (A) fica
bem definida, logo obtemos um isomorfismo entre H• (X, A) e os grupos de
homologia de C• (A + B)/C• (A).
• Enfim, a inclusão C• (B) ,→ C• (A + B) induz um isomorfismo (já ao nı́vel
'
das cadeias, antes de considerar a homologia) C• (B)/C• (A ∩ B) −→ C• (A +
76
B)/C• (A), pois em ambos os casos sobram os geradores contidos em B mas
não em A. Assim concluı́mos que H• (B, A ∩ B) ' H• (X, A).
Temos portanto de construir ρ e de mostrar que é um inverso de ι em CompCadH.
Na verdade, consideramos mais em geral uma cobertura U de X e o sub-complexo
C•U (X), que contém as cadeias geradas pelos simplexos singulares cuja imagem esteja contida em um elemento de U. Não é necessário que os elementos de U sejam
abertos, é suficiente que X seja a união das partes internas. Vamos provar que a
imersão ι : C•U (X) → C• (X) é um isomorfismo na categoria CompCadH. Dividimos
a prova em quatro etapas.
Etapa
Pn1: Subdivisão baricêntrica. O baricentro do simplexo [v0 , . . . , vn ] é o ponto
1
i=0 vi , ou seja o ponto realizado pela combinação linear dos vértices com con+1
eficientes todos iguais. A subdivisão baricêntrica de [v0 , . . . , vn ] é a estrutura de
∆-complexo (mais precisamente, de complexo simplicial) definida pelos simplexos
cujos vértices são os baricentros das faces de [v0 , . . . , vn ]. Em particular, definimos
indutivamente a subdivisão baricêntrica de um vértice como o vértice mesmo, e a
subdivisão baricêntrica de [v0 , . . . , vn ] como a decomposição em simplexos da forma
[b, w0 , . . . , wn−1 ], sendo b o baricentro de [v0 , . . . , vn ] e [w0 , . . . , wn−1 ] um elemento da
subdivisão baricêntrica de uma (n − 1)-face. O fato fundamental é o seguinte: dado
um simplexo [b, w0 , . . . , wn−1 ] pertencente à subdivisão baricêntrica de [v0 , . . . , vn ],
temos que:
n
(45)
diam([b, w0 , . . . , wn−1 ]) ≤
diam([v0 , . . . , vn ]),
n+1
sendo o diâmetro a distância máxima entre dois pontos do conjunto. Provamos isso
em dois etapas:
• O diâmetro de um simplexo é a distância máximaP
entre os vértices.
P De fato,
o ponto genérico de [v0 , . . . , vn ] é dado por w = ni=1 ti vi , comP ni=1 ti = 1
eP
ti ≥ 0. Logo, paraPqualquer outro ponto
v, kv − wk = kv − ni=1 ti vi k =
P
n
k ni=1 ti (v −vi )k ≤ ni=1 ti kv −vi k ≤
i=1 ti maxi kv −vi k = maxi kv −vi k.
Portanto, dados dois pontos v e w, existe um vértice vi tal que kv − wk ≤
kv − vi k. Aplicando o mesmo argumento entre vi e v achamos um vértice vj
tal que kvi − vk ≤ kvi − vj k.
• Provamos (45) por indução. É óbvio que valha para n = 0. Para n genérico,
pelo ponto precedente, temos que diam([b, w0 , . . . , wn−1 ]) coincide com kb −
wi k ou com kwi − wj k, para i e j entre 1 e n. No segundo caso wi e wj
pertencem a um simplexo da subdivisão baricêntrica de uma face própria
n
k
[vi0 , . . . , vik ], logo (45) vale por indução, dado que k+1
< n+1
e diam([vi0 , . . . ,
vik ]) ≤ diam([v0 , . . . , vn ]). No primeiro caso, podemos supor que wi seja um
vértice vj , pois, pelo ponto precedente, a distância entre b e o ponto wi de
[v0 , . . . , vn ] é menor ou igual à distância entre b eP
um vértice. SejaPbj o
1
baricentro de [v0 , . . . , v̂j , . . . , vn ]. Temos que bj = n1 i6=j vi e b = n+1
i vi ,
1
n
1
n
logo b = n+1 vj + n+1 bj . Como n+1 + n+1 = 1, temos que b pertence ao
n
n
segmento [vj , bj ]. Enfim kb − vj k = n+1
kbj − vj k ≤ n+1
diam([v0 , . . . , vn ]).
77
n
A importância de (45) está no fato que n+1
< 1, logo, iterando a subdivisão bak
n
ricêntrica, temos que limk→+∞ n+1 = 0.
Etapa 2: Cadeias lineares. Vamos considerar um subespaço convexo Y ⊂ Rm . Podemos considerar o subcomplexo LC• (Y ) de C• (Y ), gerado pelos simplexos singulares
lineares, ou seja pelos simplexos σ : ∆n → Y que sejam restrição de uma função
linear de Rn a Rm . É claro que o bordo de uma cadeia linear é linear, logo obtemos um subcomplexo de cadeias. Identificamos um simplexo linear com a imagem
dos vértices de ∆n , logo o chamamos de [w0 , . . . , wn ] (a imagem não é necessariamente um simplexo, pois a função linear pode não ser invertı́vel; em particular,
uns vértices da imagem podem coincidir ou k vértices podem ficar no mesmo subespaço de dimensão k − 2). Consideremos o complexo aumentado LC̃• (Y ). Dado
um ponto b ∈ Y , podemos definir os homomorfismos b : LC̃n (Y ) → LC̃n+1 (Y )
por b([w0 , . . . , wn ]) = [b, w0 , . . . , wn ]. Aplicando a definição de bordo temos que
∂(b([w0 , . . . , wn ])) = [w0 , . . . , wn ] − b∂[w0 , . . . , wn ], logo ∂b + b∂ = 1. Agora podemos
definir o operador de subdivisão baricêntrica:
S• : LC̃• (Y ) → LC̃• (Y )
(46)
por indução. Em particular, S−1 := id : Z → Z e, para um gerador linear
σ = [w0 , . . . , wn ], que manda o baricentro de ∆n em bσ ∈ Y , definimos Sn (σ) :=
bσ (Sn−1 (∂n σ)). Comparando esta definição com a definição indutiva de subdivisão
baricêntrica, vemos que Sn aplica o gerador σ à subdivisão baricêntrica de ∆n .
Vamos agora mostrar que S• é um morfismo de complexos de cadeias homotópico
à identidade. Para mostrar que é um morfismo, reparamos que S0 = id, pois, para
σ um gerador de grau 0, temos que S0 (σ) = bσ (S−1 (1)) = bσ (1) = [bσ ] = σ. Logo S•
comuta com o morfismo aumentado ε. Para n genérico raciocinamos por indução.
Temos que (escrevendo na coluna direita a fórmula que usamos a esquerda para
passar à linha sucessiva):
∂n Sn σ
∂n Sn σ
∂n Sn σ
∂n Sn σ
= ∂n bσ Sn−1 ∂n σ
= Sn−1 ∂n σ − bσ ∂n−1 Sn−1 ∂n σ
= Sn−1 ∂n σ − bσ Sn−1 ∂n−1 ∂n σ
= Sn−1 ∂n σ.
∂n bσ = 1 − bσ ∂n−1
∂n−1 Sn−1 = Sn−1 ∂n
∂n−1 ∂n = 0
Agora temos de construir uma homotopia entre S• e a identidade. Definimos:
(47)
T• : LC̃• (Y ) → LC̃•+1 (Y )
por indução. Em particular, T−1 := 0 e Tn (σ) := bσ (σ − Tn−1 ∂n σ). Verificamos que
∂T + T ∂ = 1 − S. Para n = −1 é trivial, pois S = 1 e T = 0. Em geral, por indução:
∂n+1 Tn σ
∂n+1 Tn σ
∂n+1 Tn σ
∂n+1 Tn σ
∂n+1 Tn σ
= ∂n+1 bσ (σ − Tn−1 ∂n σ)
= σ − Tn−1 ∂n σ − bσ ∂n (σ − Tn−1 ∂n σ)
= σ − Tn−1 ∂n σ − bσ (1 − ∂n Tn−1 )(∂n σ)
= σ − Tn−1 ∂n σ − bσ Sn−1 ∂n σ
= σ − Tn−1 ∂n σ − Sn σ.
∂n+1 bσ = 1 − bσ ∂n
1 − ∂n Tn−1 = Sn−1 + Tn−2 ∂n−1
Sn = bσ Sn−1 ∂n
78
Agora podemos considerar o complexo não aumentado. A relação ∂T + T ∂ = 1 − S
continua a valer, pois T−1 = 0 também no complexo aumentado.
Etapa 3: Cadeias genéricas. Para um gerador σ : ∆n → X genérico podemos definir
Sn σ := σ# Sn ∆n , sendo Sn ∆n o valor de (46) sobre a identidade de ∆n . Podemos verificar que S• comuta com o bordo, pois quer σ# quer (46) comutam. Em particular,
chamando de ∆ni a i-ésima (n − 1)-face de ∆n , temos:
∂n Sn σ = ∂n σ# Sn ∆n = σ# Sn−1 ∂n ∆n =
n
X
(−1)i σ# Sn−1 ∆ni
i=1
n
n
X
X
i
=
(−1) Sn−1 (σ|∆ni ) = Sn−1
(−1)i σ|∆ni = Sn−1 ∂n σ.
i=1
i=1
Do mesmo jeito definimos Tn σ := σ# Tn ∆n e podemos verificar que ∂T +T ∂ = 1−S.
De fato:
∂n+1 Tn σ = ∂n+1 σ# Tn ∆n = σ# ∂n+1 Tn ∆n
= σ# (∆n − Sn ∆n − Tn−1 ∂n ∆n ) = σ − Sn σ − σ# Tn−1 ∂n ∆n
e, repetindo a mesma conta feita para S (a partir da terceira posição), σ# Tn−1 ∂n ∆n =
Tn−1 ∂n σ.
Etapa 4: Subdivisão baricêntrica iterada. Seja S m a iteração m-ésima deP
S. Clarai
m
mente S é homotópico à identidade. Em particular, o operador Dm := m−1
i=0 T S
é uma homotopia. DePfato, como S comuta
o bordo, temos ∂Dm + Dm ∂ =
Pm−1como
P
m−1
m−1
i
i+1
i
i
) = 1 − S m . Consideremos
i=0 (S − S
i=0 (1 − S)S =
i=0 (∂T + T ∂)S =
n
agora a cobertura U da qual partimos. Como ∆ é compacto, dado um simplexo
singular σ, existe um número de Lebesgue ε de σ −1 U, ou seja, um número ε > 0
tal que todo subespaço de diâmetro menor ou igual a ε seja mandado por σ em
um elemento de U. Pela fórmula (45), o diâmetro dos simplexos de S m σ tende a 0
para m crescente, logo existe um número inteiro m(σ) tal que S m σ ∈ CnU (X) para
todo m ≥ m(σ). Se m(σ) não dependesse de σ, S•m seria o morfismo procurado (homotópico à identidade graças a Dm ), mas temos que levar em conta a dependência
de σ. Definimos então D : C• (X) → C•+1 (X) por Dσ := Dm(σ) (σ). Temos que
∂Dm(σ) (σ) = σ − S m(σ) σ − Dm(σ) ∂(σ). Acrescentando D∂σ de ambos os lados, como
por definição Dm(σ) (σ) = Dσ, obtemos:
∂Dσ + D∂σ = σ − S m(σ) σ − Dm(σ) ∂σ + D∂σ.
Definimos então:
(48)
ρ(σ) := S m(σ) σ + Dm(σ) ∂σ − D∂σ.
Se provarmos que:
(1) ρn (σ) ∈ CnU (X);
(2) ρ• comuta com os bordos;
(3) ρ|C•U (X) = id,
79
obtemos que, para i : C•U (X) ,→ C• (X) a imersão, ρ ◦ i = idC•U (X) e D é uma
homotopia entre idC• (X) e i ◦ ρ. Logo provamos que i é um isomorfismo a menos de
homotopia. Vamos provar os três pontos listados.
(1) Analisando (48), temos que S m(σ) σ ∈ CnU (X) por definição de m(σ). No
termo D∂σ, temos uma soma de termos T S i (σj ) para 0 ≤ i ≤ m(σj ), sendo
σj a j-ésima (n−1)-face de ∆n . Claramente m(σj ) ≤ m(σ), logo, na diferença
Dm(σ) ∂σ − D∂σ, só sobram termos T S i (σj ) para i > m(σj ). Isso implica que
U
S i (σj ) ∈ Cn−1
(X), logo, aplicando T , obtemos um elemento de CnU (X).
(2) A partir da equação ∂Dσ + D∂σ = σ − ρ(σ), aplicando o bordo a ambos
os lados obtemos que ∂ρ(σ) = ∂σ − ∂D∂σ, enquanto substituindo σ por ∂σ
obtemos ρ(∂σ) = ∂σ − ∂D∂σ, portanto ∂ρ(σ) = ρ(∂σ).
(3) Para σ ∈ CnU (X), temos que m(σ) = 0, portanto as somas que definem D e
Dm(σ) são vazias. Só sobra S 0 σ = σ.
Com isso provamos o resultado. Para provar a excisão (v. 2), consideramos U =
{A, B} e raciocinamos como explicado no começo.
Acabamos de mostrar as propriedades fundamentais da homologia singular, ou
seja: invariança por homotopia, excisão, sequência exata longa associada a um par,
o fato que a homologia de um ponto seja nula em graus diferentes de 0, aditividade a respeito das componentes conexas por caminhos. Mostraremos em seguida
que estes são os axiomas caracterizantes da homologia singular, a menos de equivalência, em subcategorias adequadas de Top2 , enquanto precisaremos de mais um
axioma para caracterizar a homologia singular em Top2 toda. Antes de considerar
a formulação axiomática, vamos mostrar outras propriedades significativas e vamos
calcular explicitamente uns grupos de homologia.
5.2.3. Homologia relativa e homologia do quociente. Mapa cone. Graças à excisão
podemos mostrar a ligação entre homologia relativa e homologia do quociente.
Definição 5.9. Um par de espaços (X, A) é dito bom par se A é fechado em X e
existe uma vizinhança aberta V de A tal que A seja retrato por deformação de V .
Teorema 5.5. Seja (X, A) um bom par. A projeção p : (X, A) → (X/A, A/A) induz
um isomorfismo H• (X, A) ' H̃• (X/A)A/A .
Prova: Consideremos o diagrama seguinte:
Hn (X, A)
p∗
Hn (X/A, A/A)
i∗
/
p0∗
i0∗
/
j∗
Hn (X, V ) o
Hn (X/A, V /A) o
Hn (X \ A, V \ A)
p00
∗
j∗0
Hn (X/A \ A/A, V /A \ A/A),
induzido pelos mergulhos e pelas projeções de pares correspondentes. Temos que i∗ é
um isomorfismo pelo lema 5.2 (ou também pela sequência exata da tripla (X, V, A),
na qual H• (V, A) = 0). Uma retração por deformação r : V → A se projeta a
uma retração por deformação r0 : V /A → A/A, logo também i0∗ é um isomorfismo.
Também j∗ e j∗0 são isomorfismos, pela excisão. Enfim, p00∗ é um isomorfismo, pois
80
p00 é induzido por p|X\A , que é a identidade. Isso prova que também p∗ é um isomorfismo, pois é composição de isomorfismos (o mesmo vale para p0∗ ). A partir disso podemos calcular a homologia das esferas. De fato, podemos considerar a sequência exata longa reduzida do par (Dn , ∂Dn ). Temos que H̃• (Dn ) = 0
pois Dn é contrátil e H• (Dn , ∂Dn ) ' H̃• (Dn /∂Dn ) pelo lema precedente. Como
Dn /∂Dn ≈ S n−1 e ∂Dn ≈ S n−1 , obtemos isomorfismos H̃k (S n ) ' H̃k−1 (S n−1 )
para todo k. Sendo S 0 a união disjunta de dois pontos, temos que H̃0 (S 0 ) ' Z e
H̃k (S 0 ) = 0 para k 6= 0. Logo:
Z
k=n
n
(49)
H̃k (S ) '
0
k 6= n.
Corolário 5.6. Rn não é homeomorfo a Rm para n 6= m.
Prova: Se ϕ : Rn → Rm for um homeomorfismo, então ϕ : Rn \ {0} → Rm \ {ϕ(0)} é
também. Como Rn \ {0} ' S n−1 e Rm \ {ϕ(0)} ' S m−1 , calculando os grupos H̃n−1
dos dois espaços deduzimos que n = m. Podemos refinar o corolário precedente mostrando que dois abertos de dimensão
diferente não são homeomorfos. Para isso, precisamos da definição seguinte.
Definição 5.10. Os grupos de homologia local de um espaço X num ponto x ∈ X
são os grupos H• (X, X \ {x}).
O fato que se chamem de grupos locais é devido ao seguinte fato. Seja U ⊂ X uma
vizinhança aberta de x e suponhamos que X seja pelo menos T1 (ou seja, um ponto é
fechado). Pela excisão, tirando Z = X \U obtemos H• (X, X \{x}) ' H• (U, U \{x}).
Isso mostra que os grupos de homologia local só dependem do comportamento local
de X perto de x. É claro que são invariantes por homeomorfismo; o que acabamos
de observar mostra que são invariantes também por homeomorfismo local.
Lema 5.7. Seja U ⊂ Rn aberto. Temos que:
Z
Hk (U, U \ {x}) '
0
k=n
k 6= n.
Prova: Consideremos uma bola Bεn ⊂ U . Temos que H• (U, U \ {x}) ' H• (Bεn , Bεn \
n
n
{x}). O par (Bεn , Bεn \ {x}) é homotopicamente equivalente ao par (Dε/2
, Dε/2
\ {x}).
n
n
n
n
Pelos lemas 5.2 e 5.5, temos que H• (Dε/2 , Dε/2 \ {x}) ' H• (Dε/2 , ∂Dε/2 ) ' H̃• (S n ).
Corolário 5.8. Sejam V ⊂ Rn e W ⊂ Rm abertos. Se V é homeomorfo a W , então
n = m. Podemos também caracterizar a homologia da união a um ponto de uma famı́lia
de espaços, desde que os pontos marcados sejam escolhidos corretamente.
Corolário 5.9. Seja {(Xα , x0,α )}α∈I uma famı́lia de espaços com ponto marcado,
tais que (Xα , {x0,α }) seja um bom par para cada α ∈ I. Os mergulhos iα : (Xα , x0,α ) →
81
(∨α∈I Xα , ∗) induzem um isomorfismo:
_
M
'
⊕α∈I (iα )∗ : H̃•
Xα −→
H̃• (Xα )x0,α .
α∈I
∗
α∈I
Prova: Sendo (Xα , {x0,α }) um bom par para cada α, também (tα∈I Xα , tα∈I {x0,α })
é um bom par. Logo, pelo teorema 5.5 e pelo lema 5.1, temos:
H̃• (∨α∈I Xα )∗ = H• ((tα∈I Xα )/(tα∈I {x0,α }), {∗}) ' H• (tα∈I Xα , tα∈I {x0,α })
' ⊕α∈I H• (Xα , {x0,α }) = ⊕α∈I H̃• (Xα )x0,α .
Existe também outro jeito de definir a homologia relativa. Dado um espaço topológico X, podemos definir o cone de X do seguinte jeito:
(50)
CX :=
X ×I
.
X × {1}
Isso é equivalente a construir um cone acima de X, conectando todos os pontos
de X ao vértice. O espaço CX tem um ponto marcado natural, ou seja, o vértice
mesmo X×{1}
. Indicamos com (CX, ∗) o cone com o vértice como ponto marcado.
X×{1}
Ademais, uma função contı́nua f : X → Y define naturalmente uma função contı́nua
Cf : (CX, ∗) → (CY, ∗) do seguinte jeito: Cf ([x, t]) := [f (x), t]. Definimos assim
um functor:
C : Top → Top+ .
É claro que CX é contrátil para qualquer X. Consideremos agora um par (X, A).
Definimos:
(51)
C(X, A) := (X ∪ CA)/ ∼,
a ∼ [(a, 0)] ∀a ∈ A.
Isso significa que construı́mos um cone sobre A, sendo A subespaço de X. Deste jeito,
A se torna contrátil dentro do espaço total. Também neste caso o vértice é um ponto
marcado natural, portanto usamos a notação (C(X, A), ∗). Dado um morfismo de
pares f : (X, A) → (Y, B), fica bem definido o morfismo Cf : C(X, A) → C(Y, B)
por f ([x]) = [f (x)] e f ([(a, t)]) = [(f (a), t)]. Definimos assim um functor:
C : Top2 → Top+ .
Claro que, para A = ∅, obtemos o functor precedente. Como A se torna contrátil
dentro do cone, podemos imaginar que haja uma relação entre a homologia do cone
e a homologia relativa de (X, A). Aliás, vale o seguinte resultado:
Lema 5.10. Seja (X, A) um par de espaços topológicos. Há um isomorfismo natural:
H• (X, A) ' H̃• (C(X, A))∗ .
82
Prova: Considerando a sequência exata longa reduzida do par (C(X, A), CA), como
CA é contrátil, obtemos que H̃n (C(X, A))∗ ' Hn (C(X, A), CA). Por excisão, temos
que Hn (C(X, A), CA) ' Hn (C(X, A) \ {∗}, CA \ {∗}) ' Hn (X, A), onde o último
isomorfismo é devido ao fato que A é retrato por deformação de CA \ {∗}. O cone proporciona um jeito alternativo de definir a homologia relativa, que pode
ser generalizado do seguinte jeito. Um par (X, A) é equivalente a um mergulho
i : A ,→ X. Podemos definir os grupos de homologia relativos associados a uma
genérica função contı́nua f : A → X, mesmo não sendo um mergulho. De fato,
podemos definir o cone de f identificando A ⊂ X e a base de CA através de f .
Mais precisamente:
C(f ) := (X ∪ CA)/ ∼,
(52)
[(a, 0)] ∼ f (a) ∀a ∈ A.
Assim podemos definir:
(53)
H• (f ) := H̃• (C(f ))∗ .
Mostraremos em seguida que é possı́vel definir morfismos de Bockstein que tornem
exata a seguinte sequência longa:
(54)
(f∗ )n
(j∗ )n
βn
(f∗ )n−1
(j∗ )n−1
· · · −→ Hn (X) −→ Hn (f ) −→ Hn−1 (A) −→ Hn−1 (X) −→ · · · ,
sendo j : X ,→ C(f ) o mergulho natural. Na verdade é possı́vel também definir
Hn (f ) através dos complexos de cadeias singulares de A de X, mas não vamos mostrar os detalhes.
Enfim, dado um espaço com ponto marcado (X, x0 ), definimos a suspensão (SX, ∗)
por:
SX := S 1 ∧ X,
escolhendo um ponto marcado para S 1 (por exemplo, (1, 0) ∈ S 1 ⊂ R2 ). O ponto
marcado é dado naturalmente pelo produto wedge. Temos que:
SX ≈
X × [−1, 1]
,
(X × ∂[−1, 1]) ∪ ({x0 } × [−1, 1])
ou seja, a suspensão é um duplo cono construı́do sobre X, quocientando pelo segmento que junta os dois vértices passando por x0 .
Teorema 5.11. Há um isomorfismo canônico, dito isomorfismo de suspensão:
H̃• (X)x0 ' H̃•+1 (SX)∗
Prova: Consideramos o cone CX e quocientamos pelo segmento que junta o ponto
marcado ao vértice, o qual coincide com o cone do ponto marcado. Obtemos
CX/Cx0 , que é contrátil como CX. Aliás, a contração de CX no vértice ao longo do
segmentos se projeta a uma contração de CX/Cx0 . Consideramos a sequência exata
longa reduzida associada ao par com ponto marcado (CX/Cx0 , X, x0 ), sendo X mergulhado no cone como base. O quociente (CX/Cx0 )/X é homeomorfo à suspensão
SX. Ademais, como CX/Cx0 é contrátil, obtemos o isomorfismo de suspensão. 83
5.2.4. Sequência de Mayer-Vietoris. A sequência de Mayer-Vietoris é o análogo do
teorema de Seifert-Van Kampen (com uma cobertura de dois abertos) para a homologia, mas fica válida em qualquer grau. Sejam A, B ⊂ X tais que X = intA ∪ intB
(ou seja, valem as mesmas hipóteses da excisão). Consideremos a seguinte sequência
exata curta de complexos:
ϕ•
ψ•
0 −→ C• (A ∩ B) −→ C• (A) ⊕ C• (B) −→ C• (A + B) −→ 0,
onde:
• C• (A + B) é o complexo gerado pela cadeias com imagem contida em A ou
em B, conforma a definição que já demos para provar a excisão;
• ϕn (σ) := (σ, −σ);
• ψn (σ, ρ) := σ + ρ.
É imediato provar a exatidão. Lembrando que, graças à hipótese X = intA ∪ intB,
a cohomologia de C• (A + B) é isomorfa à cohomologia de X (v. excisão), temos a
seguinte sequência exata longa:
(55)
(ϕ∗ )n
βn−1
(ψ∗ )n
(ϕ∗ )n−1
βn
· · · −→ Hn (A ∩ B) −→ Hn (A) ⊕ Hn (B) −→ Hn (X) −→ Hn−1 (A ∩ B) −→ · · · .
O morfismo de Bockstein pode ser descrito do seguinte jeito: dada uma classe [c] ∈
Hn (X), podemos representa-la como [c] = [a + b], onde a ∈ Cn (A) e b ∈ Cn (B).
Como ∂c = 0, temos que ∂a = −∂b. Conforme a definição do morfismo de Bockstein,
levantamos a cadeia a + b à cadeia (a, b) ∈ Cn (A) ⊕ Cn (B), aplicamos o bordo e
obtemos (∂a, ∂b) = (∂a, −∂a) = ϕ(∂a), logo βn [c] = [∂a].
Podemos refinar a sequência de Mayer-Vietoris do seguinte jeito. Seja C ⊂ A ∩ B.
Temos então a sequência exata curta:
ϕ•
ψ•
0 −→ C• (A ∩ B, C) −→ C• (A, C) ⊕ C• (B, C) −→ C• (A + B, C) −→ 0,
a qual induz a sequência exata longa:
βn−1
(56)
(ψ∗ )n
(ϕ∗ )n
· · · −→ Hn (A ∩ B, C) −→ Hn (A, C)⊕Hn (B, C) −→ Hn (X, C)
βn
(ϕ∗ )n−1
−→ Hn−1 (A ∩ B, C) −→ · · · .
Para C = {x0 } obtemos a sequência de Mayer-Vietoris reduzida. Podemos também
obter a sequência reduzida sem ponto marcado, considerando a sequência curta dos
complexos de cadeias aumentados (estendendo do jeito óbvio a definição de ϕ• e ψ•
ao grau −1).
A sequência de Mayer-Vietoris proporciona outro jeito de calcular a homologia das
esferas. De fato, consideremos S n para n ≥ 1. Podemos considerar como abertos A
e B uma vizinhança para cada hemisfério, tais que A ∩ B se retraia por deformação
no equador S n−1 e A e B se retraiam por deformação no hemisfério correspondente.
Deste jeito, na sequência de Mayer-Vietoris reduzida, temos que H̃k (A)⊕ H̃k (B) = 0,
pois os hemisférios são contráteis, logo obtemos H̃k (S n ) ' H̃k−1 (S n−1 ). A partir da
homologia de S 0 podemos calcular a de S n .
84
Podemos também calcular os grupos de homologia das superfı́cies topológicas
compactas. Aliás, consideremos por exemplo considerando o bitoro Σ2 . Na sequência
reduzida consideremos o trecho:
(ψ)∗,1
(ϕ)∗,1
β1
H̃1 (A ∩ B) −→ H̃1 (A) ⊕ H̃1 (B) −→ H̃1 (Σ2 ) −→ H̃0 (A ∩ B).
Como B é contrátil, H̃• (B) = 0. Como A ' S 1 ∨ S 1 ∨ S 1 ∨ S 1 e A ∩ B ' S 1 , a menos
de isomorfismo (ϕ)∗,1 : Z → Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z. O gerador c de H̃1 (A ∩ B) se retrai
na borda de A, logo (ϕ)∗,1 (c) = a1 + b1 − a1 − b1 + a2 + b2 − a2 − b2 = 0, portanto
(ϕ)∗,1 = 0. Isso implica que (ψ)∗,1 seja injetor. Como o grupo a direita é nulo, (ψ)∗,1
é também sobrejetor, logo H1 (Σ2 ) ' Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z. Consideremos agora o trecho:
(ψ)∗,n
βn
(ϕ)∗,n
H̃n (A) ⊕ H̃n (B) −→ H̃n (Σ2 ) −→ H̃n−1 (A ∩ B) −→ H̃n−1 (A) ⊕ H̃n−1 (B).
Temos as seguintes possibilidades:
• n = 0: os grupos externos são nulos, logo H̃0 (Σ2 ) ' H̃−1 (S 1 ) = 0, portanto
H0 (Σ2 ) ' Z. Isso é obvio pois Σ2 é conexo por caminhos.
• n = 2: o grupo a esquerda é nulo, logo β2 é injetor. Já provamos que
(ϕ)∗,1 = 0, portanto β2 é também sobrejetor. Logo, H2 (Σ2 ) ' Z.
• n ≥ 3: os grupos externos são nulos, logo Hn (Σ2 ) ' Hn−1 (A ∩ B) = 0.
Com a mesma técnica podemos calcular os grupos de homologia de todas as superfı́cies compactas, obtendo, para superfı́cies sem borda:
• H0 (Σg ) ' Z, H1 (Σg ) ' Z⊕2g , H2 (Σg ) ' Z e os demais são nulos;
• H0 (Σg #RP2 ) ' Z, H1 (Σg #RP2 ) ' Z⊕2g ⊕ Z2 e os demais são nulos;
• H0 (Σg #K) ' Z, H1 (Σg #K) ' Z⊕2g+1 ⊕ Z2 e os demais são nulos.
Enfim, para superfı́cies com borda:
• H0 (Σg,k ) ' Z, H1 (Σg,k ) ' Z⊕2g+k−1 , H2 (Σg,k ) ' Z e os demais são nulos;
• H0 (Σg,k #RP2 ) ' Z, H1 (Σg,k #RP2 ) ' Z⊕2g+k e os demais são nulos;
• H0 (Σg,k #K) ' Z, H1 (Σg,k #K) ' Z⊕2g+k+1 e os demais são nulos.
O mesmo resultado podia ser obtido através da homologia simplicial.
5.2.5. Equivalência entre homologia singular e simplicial. Podemos agora provar
que, para um ∆-complexo, a homologia singular é canonicamente isomorfa à homologia simplicial. Isso implica em particular que a homologia simplicial não dependa
da estrutura de ∆-complexo e que seja invariante por tipo de homotopia. Dado
um ∆-complexo X, chamamos de X k o k-esqueleto, ou seja, o subespaço de X que
se obtém considerando simplexos de dimensão menor ou igual a k. Ademais, ob0
servamos que existe um morfismo natural ξX
: Cn∆ (X) → Cn (X), que manda um
simplexo de X na função caracterı́stica correspondente σ : ∆n → X, a qual é um
0
simplexo singular. No caso de um par (X, A), obtemos um morfismo análogo ξ(X,A)
:
∆
0
∆
∆
Cn (X, A) → Cn (X, A), ou seja, ξ(X,A) : Cn (X)/Cn (A) → Cn (X)Cn (A), obtido pro0
0
jetando ao quociente ξX
. A projeção é bem definida pois ξX
um simplexo de A em um
simplexo singular de A. É fácil provar que trata-se de um morfismo de complexos de
cadais, portanto induz um morfismo em homologia ξ(X,A) : Hn∆ (X, A) → Hn (X, A),
85
functorial a respeito das sequências exatas longas. Considerando o par (X k , X k−1 ),
obtemos um morfismo de sequências exatas longas:
/
∆
(X k , X k−1 )
Hn+1
···
···
/
/
ξ(X k ,X k−1 )
Hn∆ (X k−1 )
Hn+1 (X k , X k−1 )
/
/
ξX k−1
Hn∆ (X k )
Hn (X k−1 )
/
/
ξX k
Hn (X k )
/
Hn∆ (X k , X k−1 )
/
···
ξ(X k ,X k−1 )
Hn (X k , X k−1 )
/
··· .
Os morfismos ξ(X k ,X k−1 ) são isomorfismos. De fato, para k 6= n temos que Hn∆ (X k , X k−1 )
é nulo, enquanto para k = n é abeliano livre gerado pelos n-simplexos. O mesmo
acontece para Hn (X k , X k−1 ), sendo (X k , X k−1 ) um bom par e sendo X k /X k−1 a
união a um ponto de uma esfera para cada k-simplexo. Em particular, para k = n o
morfismo ξ(X k ,X k−1 ) manda um gerador de Hn (X n , X n−1 ) no gerador correspondente
de H̃n (X n /X n−1 ), logo é um isomorfismo. Considerando o esqueleto X k−1 , podemos
assumir por indução que o ξX k−1 seja um isomorfismo. O fato que seja para k = 0 é
obvio, pois X 0 é um espaço discreto. Logo, pelo lema dos cinco, também ξX k é um
isomorfismo.
Isso conclui a prova para X finito. Se for infinito, raciocinamos do seguinte
jeito. Um subconjunto compacto K ⊂ X só pode intersetar um número finito de
células, sendo uma célula a parte interna de um simplexo. De fato, se intersetasse um
número
S infinito, poderı́amos escolher um ponto xi para cada uma. Os conjuntos Ui =
X \ j6=i {xi } seriam abertos, pois a pre-imagem a respeito da função caracterı́stica
de um simplexo qualquer é aberta. Por isso, as interseções destes conjuntos com K
seriam uma cobertura aberta de K que não admite sub-coberturas finitas, absurdo
sendo K compacto. Consideremos agora um n-ciclo singular a ∈ Cn (X). Como o
ciclo é combinação de um número finito de geradores, a imagem dele é compacta, logo
interseta um número finito de células. Por isso, existe k tal que a ∈ Cn (X k ). Como
o morfismo ξX k é um isomorfismo (em particular é sobrejetor), o ciclo a é homologo
a um ciclo simplicial em X k , logo também em X. Isso mostra que o morfismo ξX é
sobrejetor. Analogamente, seja a ∈ Cn∆ (X) um ciclo simplicial tal que ξX ([a]) = 0.
Isso significa que a = ∂b em X, mas, como a imagem de b é compacta, b está contido
em um k-esqueleto. Logo ξX k ([a]) = 0. Como ξX k é um isomorfismo (em particular
é injetor), temos que a é a borda de uma cadeia simplicial de X k , a qual é também
uma cadeia simplicial de X. Isso mostra ξX é injetor.
Enfim, temos que considerar um par (X, A). O fato que ξ(X,A) seja um isomorfismo é consequência trivial do lema dos cinco, aplicado às duas sequências longas
associadas ao par (uma para a homologia simplicial e uma para a homologia singular).
Observação: O isomorfismo que acabamos de provar implica em particular que, se
um espaço admite uma estrutura de ∆-complexo finito, então os grupos de homologia
singular são finitamente gerados.
5.3. CW-Complexos e homologia celular. Vamos agora introduzir os CWcomplexos, os quais formam uma categoria fundamental em topologia algébrica.
A observação de partida é a seguinte. É claro que um espaço topológico genérico
86
pode ser muito patológico, mesmo sendo de Hausdorff. Por exemplo, em Qn ou
(R\Q)n cada ponto é uma componente conexa por caminhos, portanto estes espaços
se comportam de um jeito bem inatural a respeito das ferramentas fundamentais da
topologia algébrica, ou seja, a homotopia, a homologia e a cohomologia. De fato,
nem podemos distinguir Qn de Z, pois também em Z cada ponto é uma componente
conexa por caminhos e o conjunto é numerável. O problema geral é o fato que, para
definirmos uma homotopia entre duas funções, precisamos do intervalo I, dotado
da topologia euclidiana; o mesmo vale para os grupos de homologia e cohomologia,
pelos quais precisamos dos simplexos ∆n , e para os grupos de homotopia πn , pelos quais precisamos de I n ou das esferas S n . Por isso, é razoável pensar que, se
um espaço tiver pouco a ver com a topologia euclidiana, seus grupos de homotopia ou de homologia não sejam particularmente significativos. Logo, é melhor nos
restringirmos a uma categoria de espaços que se comportem de um jeito razoável.
A ideia mais simples que pode-se pensar consiste em considerar as variedades topológicas, ou seja, espaços que localmente sejam homeomorfos a Rn ou, se houver
borda, a Hn . O problema é que esta escolha exclui muitos espaços que aparecem
naturalmente em várias ocasiões, como a união a um ponto de esferas ou os cones.
Por isso, precisamos de uma categoria intermediária, que seja bastante ampla para
conter todos os espaços significativos que estamos considerando, mas também suficientemente limitada para excluir espaços demasiado irregulares. Logo, temos de
considerar espaços cuja topologia, pelo menos localmente, não se afaste demais da
euclidiana, sem todavia serem necessariamente regulares como uma variedade. A
categoria dos CW-complexos satisfaz estes requisitos: trata-se de espaços obtidos
partindo de uma famı́lia de pontos e acrescentando discos de várias dimensões, colando a borda do disco ao espaço precedente através de uma função contı́nua. Isso
faz com que a topologia do espaço final seja parecida com a euclidiana, pois o espaço
é formado por discos, mas sem impor uma regularidade excessiva, pois o colamento
é obtido através de uma função contı́nua qualquer. Vamos mostrar em detalhe esta
construção.
Definição 5.11. Um CW-complexo é um espaço topológico X obtido do seguinte
jeito:
• partimos de um conjunto X0 com a topologia discreta.
• Para n ∈ N, são dados um conjunto de n-discos {Dαn }α∈In e um conjunto
de funções contı́nuas {ϕα : ∂Dαn → Xn−1 }. Definimos Xn := (Xn−1 tα∈I
Dαn )/ ∼, sendo x ∼ ϕα (x) para todo x ∈ Dαn .
Se o conjunto deSdiscos for vazio para todo n > n0 , definimos X := Xn0 . Se não,
definimos X := n Xn com a topologia fraca, ou seja, A ⊂ X é aberto se e somente
se A ∩ Xn é aberto em Xn para todo n ∈ N.
S
Quando definimos X := n Xn , estamos considerando as inclusões naturais Xn ⊂
Xn+1 , portanto trata-se da união de uma sequência crescente de espaços. Quando
X = Xn0 , a topologia fraca de X coincide com a deSXn0 , portanto a definição é
coerente (por isso, na verdade, podı́amos definir X := n Xn em qualquer caso, sem
dar duas definições separadas). Ademais, dado um CW-complexo X:
87
• o subespaço Xn é dito n-esqueleto de X;
• se X = Xn0 e X 6= Xn0 −1 , a dimensão de X é n0 , se não é infinita;
• a parte interna de um disco Dαn , que chamamos de enα , é dita n-célula de X
(para n = 0, consideramos como parte interna de um ponto o ponto mesmo);
um CW-complexo, como conjunto, é a união disjunta das suas células, pois
a operação de colamento só envolve a borda;
• a função de colamento ϕα : ∂Dαn → X n−1 se estende a uma função Φα :
Dαn → X n tal que Φα |enα : enα → X n é um mergulho;
• se X contiver um número finito de células, é dito CW-complexo finito; é
claro que um CW-complexo finito tem dimensão finita, mas em geral não
vale o vice-versa.
Exemplos de CW-complexos são os seguintes:
• a esfera S n é um CW-complexo com duas células. De fato, pode ser obtida
de um ponto D0 e um disco Dn , com morfismo de colamento ϕ : ∂Dn → D0
definido pela única função possı́vel.
• O disco Dn é um CW-complexo com três células. De fato, acrescentamos um
disco Dn à esfera S n−1 , com morfismo de colamento ϕ : ∂Dn → S n−1 igual
à identidade. Não podemos considerar só um disco Dn , pois o morfismo de
colamento teria contra-domı́nio vazio, logo não seria uma função.
• O espaço projetivo RPn é um CW-complexo com n células, uma para cada
dimensão entre 0 e n. De fato, RP1 ' S 1 e RPn ' RPn−1 t Rn , portanto,
sendo Rn homeomorfo a uma bola aberta, podemos obter RPn acrescentando
um disco Dn a RPn−1 . Pensando em RPn−1 como em S n−1 / ∼, onde ∼
identifica pontos antipodais, o morfismo de colamento ϕ : ∂Dn → S n−1 / ∼
é a projeção ao quociente.
• O espaço projetivo CPn é um CW-complexo com n células, uma para cada
dimensão par entre 0 e 2n. De fato, CP1 ' S 2 e CPn ' CPn−1 tCn , portanto,
sendo Cn homeomorfo a uma bola aberta de dimensão 2n, podemos obter
CPn acrescentando um disco D2n a CPn−1 . Pensando em CPn−1 como em
S 2n−1 / ∼, onde (z1 , . . . , zn ) ∼ (λz1 , . . . , λzn ) para |λ| = 1 e |z1 |2 + · · · |zn |2 =
1, o morfismo de colamento ϕ : ∂D2n → S 2n−1 / ∼ é a projeção ao quociente.
Vamos agora mostrar que é possı́vel definir uma teoria homológica especı́fica para
CW-complexos, a qual é isomorfa à homologia singular, mas mais simples a ser
calculada em vários casos.
Lema 5.12. Seja X um CW-complexo:
(1) Hk (X n , X n−1 ) é trivial para k 6= n e é isomorfo a Zm para k = n, sendo
m o número de n-células (ou seja, conforme a notação da definição 5.11,
m = |In |);
(2) Hk (X n ) = 0 para k > n (em particular, se dim X = n, temos que Hk (X) = 0
para k > n);
(3) Hk (X n ) ' Hk (X) para k < n, sendo o isomorfismo induzido pelo mergulho
jn : X n ,→ X.
Prova:
88
(1). (X n , X n−1 ) é um bom par, pois podemos escolher uma vizinhança de X n−1
em X n obtida
uma vizinhança da borda em cada n-disco. Ademais,
W acrescentando
n
n−1
n
X /X
≈ α∈In S , sendo In o conjunto dos n-discos (v. def. 5.11).
(2). Na sequência exata longa do par (X n , X n−1 ), consideremos o trecho
Hk+1 (X n , X n−1 ) → Hk (X n−1 ) → Hk (X n ) → Hk (X n , X n−1 ).
Para k > n, o ponto precedente implica que os grupos relativos sejam nulos, logo
Hk (X n ) ' Hk (X n−1 ). Iterando o isomorfismo, chegamos a Hk (X 0 ), o qual é nulo
para k > 0, pois X 0 é um espaço discreto.
(3). Considerando o mesmo trecho da sequência exata, para k < n − 1 temos
que Hk (X n−1 ) ' Hk (X n ). Substituindo n por n + 1, temos que, para k < n,
Hk (X n ) ' Hk (X n+1 ). Se dim X = m, iterando o isomorfismo temos que Hk (X n ) '
Hk (X m ) = Hk (X), logo obtemos a tese. Se X não for de dimensão finita, o resultado segue do fato que a imagem de um conjunto compacto (em particular, de uma
cadeia singular) pode intersetar um número finito de células, logo está contida em
um m-esqueleto. Por isso, dada uma classe [a] ∈ Hk (X), temos que o ciclo a representa uma classe em Hk (X m ) com m > n, logo, por (3) no caso de dimensão finita,
é homólogo a um ciclo de Hk (X n ). Isso mostra que o morfismo Hk (X n ) → Hk (X) é
sobrejetor. Enfim, se a = ∂b, temos que b também está contida em um m-esqueleto,
logo [a] = 0 em Hk (X m ), logo, por (3) no caso de dimensão finita, temos que [a] = 0
em Hk (X n ). Pelo lema precedente, os grupos Hn (X n , X n−1 ) são livres, gerados pelas n-células
de X, e podem ser pensados como cadeias de um complexo CnCW (X) := Hn (X n , X n−1 ).
O bordo:
∂n : Hn (X n , X n−1 ) → Hn−1 (X n−1 , X n−2 )
é definido do seguinte jeito: consideramos o morfismo de Bockstein βn : Hn (X n ,
X n−1 ) → Hn−1 (X n−1 ) e o compomos com o push-forward (πn−1 )∗,n−1 induzido pelo
mergulho de pares πn−1 : (X n−1 , ∅) → (X n−1 , X n−2 ). Temos que ∂n−1 ◦ ∂n = 0,
pois a composição βn−1 ◦ (πn−1 )∗,n−1 é um trecho da sequência exata longa do par
(X n−1 , X n−2 ), logo é nula. Obtemos assim um complexo de cadeias, que chamamos
de (C•CW (X), ∂• ), cujos grupos de homologia são chamados de grupos de homologia
celular de X e se indicam por H•CW (X).
Teorema 5.13. H•CW (X) ' H• (X) canonicamente.
89
Prova: Vamos considerar o diagrama seguinte:
Hn (X n+1 , X n ) = 0
4
Hn (X n−1 ) = 0
Hn (X n+1 ) ' Hn (X)
6
(in )∗,n
(
βn+1
H (X
6 n
n
CW
∂n+1
Hn+1 (X n+1 , X n )
)
(πn )∗,n
/
(
CW
∂n
Hn (X n , X n−1 )
0
βn
*
/
Hn−1 (X n−1 , X n−2 )
4
(πn−1 )∗,n−1
Hn−1 (Xn−1 )
4
Hn−1 (Xn−2 ) = 0
CW
= 0 pois βn0 ◦ (πn )∗,n é a composição de dois morfismos
Já mostramos que ∂nCW ◦ ∂n+1
sucessivos na sequência exata longa do par (X n , X n−1 ). Ademais:
• como (in )∗,n é sobrejetora, temos que Hn (X) ' Hn (X n )/Ker((in )∗,n ) =
CW
Hn (X n )/Im(βn+1 ). Logo, temos de mostrar que Ker(∂nCW )/Im(∂n+1
) é ison
morfo a Hn (X )/Im(βn+1 ).
• Como (πn )∗,n é injetor, se restringe a dois isomorfismos Hn (X n ) ' Im((πn )∗,n )
CW
), portanto induz um isomore Im(βn+1 ) ' Im((πn )∗,n ) ◦ βn+1 ) = Im(∂n+1
n
CW
fismo entre os quocientes Hn (X )/Im(βn+1 ) ' Im((πn )∗,n )/Im(∂n+1
), sendo
0
CW
o último grupo igual a Ker(βn )/Im(∂n+1 ) por exatidão.
• Como (πn−1 )∗,n−1 é injetor, Ker(βn0 ) = Ker((πn−1 )∗,n−1 ◦ βn0 ) = Ker(∂nCW ).
CW
). Afinal, obtemos Hn (X) ' Ker(∂nCW )/Im(∂n+1
Enfim, podemos caracterizar mais explicitamente o bordo ∂nCW . Dada uma célula
enα , vamos considerar a função de colamento ϕα : ∂Dαn → X n−1 . Dada outra célula
n−1
en−1
, logo há um homeomorβ , temos que a célula mesma fica mergulhada em X
n−1
n−1
n−1
n−1
n−1
\ eβ ), sendo os dois termos homeomorfos a
fismo Dβ /∂Dβ ≈ X /(X
n−1
S . O homeomorfismo é a projeção ao quociente da função Φβ : Dβn−1 → X n−1 ,
portanto o denotamos por Φ0β . Podemos definir um homeomorfismo canônico:
ϕα
(Φ0β )−1
∗
0
πn−1
n−1
(57) ∆αβ : ∂Dαn −→ X n−1 −→ X n−1 /(X n−1 \ en−1
/∂Dβn−1 =: Sβn−1 .
β ) −→ Dβ
Teorema 5.14. Seja dαβ := deg(∆αβ ). Temos:
(58)
∂nCW (enα ) =
X
β∈In−1
dαβ en−1
β .
90
Prova: Consideremos o seguinte diagrama:
Hn (Dαn , ∂Dαn )
βn
/
(Φα )∗,n
Hn (X n , X n−1 )
0
βn
CW
∂n
/
(∆αβ )∗,n−1
H̃n−1 (∂Dαn )
)
(πn−1 )∗,n−1
/
H̃n−1 (X n−1 /(X n−1 \ en−1
β ))
O
0
)∗,n−1
(πn−1
H̃n−1 (Sβn−1 )
' (Φ0β )∗,n
(ϕα )∗,n
H̃n−1 (X n−1 )
/
Hn−1 (X n−1 , X n−2 )
(jβ )∗
'
/
H̃n−1 (X n−1 /X n−2 ).
O retângulo acima à direita comuta por definição de ∆αβ . O retângulo abaixo
à direita comuta pois comutam as funções contı́nuas que induzem os morfismos
envolvidos. O retângulo acima à esquerda comuta pois Φα |∂Dαn = ϕα e o morfismo de Bockstein é uma transformação natural. Enfim, o triângulo abaixo à
esquerda comuta por definição de ∂nCW . Consideremos 1 ∈ Hn (Dαn , ∂Dαn ) ' Z.
Aplicando (Φα )∗,n obtemos
o gerador enα ∈ Hn (X n , X n−1 ), logo, aplicando ∂nCW ,
P
n−1
(por enquanto dαγ é um coeficiente genérico
obtemos a imagem
γ∈In−1 dαγ eγ
que temos de calcular). Aplicando o isomorfismo na última linha obtemos o elemento de ⊕γ∈In−1 Z correspondente a dαγ para cada γ ∈ In−1 . Como (jβ )∗ reduz
ao ponto marcado todas as esferas correspondentes a um ı́ndice diferente de β, ob0 −1
temos dαβ ∈ H̃n−1 (X n−1 /(X n−1 \ en−1
β )) ' Z. Enfim, aplicando (Φβ )∗,n , obtemos
dαβ ∈ H̃n−1 (Sβn−1 ) ' Z. Voltando ao começo, βn (1) = 1 ∈ H̃n−1 (∂Dαn ) ' Z. Aplicando (∆αβ )∗,n−1 a 1, por definição obtemos deg(∆αβ ). Logo, pela comutatividade
do diagrama, dαβ = deg(∆αβ ). Podemos agora calcular a homologia dos espaços projetivos reais e complexos.
Aliás, já mostramos que CPn tem uma estrutura de CW-complexo com uma célula
para cada dimensão par entre 0 e 2n. Por isso, o complexo celular é o seguinte:
··· ← 0 ← Z ← 0 ← Z ← 0 ← ··· ← Z ← 0 ← ··· ,
sendo o primeiro Z de grau 0 e o último de grau 2n. É claro que os morfismos de
bordo são triviais, logo os grupos de homologia são isomorfos aos grupos de cadeias.
Por isso obtemos:
Z
k = 0, 2, . . . , 2n
n
Hk (CP ) '
0
demais k.
Podemos nos perguntar qual é um ciclo singular que representa um gerador de
H2k (CPn ). Seja a um ciclo deste tipo e seja X 2k o 2k-esqueleto de CPn . Considerando a prova do teorema 5.13, temos que [a] ∈ H2k (X 2k ) é mandado por
(in )∗,n no gerador [a] ∈ H2k (CPn ) do qual partimos. Ademais, é mandado por
CW
(πn )∗,n no gerador [(πn )#,n (a)] ∈ H2k
(CPn ), o qual corresponde à célula e2k . Como
2k
2k−1
2k
X /X
≈ S , pois só há uma 2k-célula, a é um ciclo tal que, aplicando (πn )#,n ,
obtemos um gerador da homologia da a esfera X 2k /X 2k−1 . Temos que X 2k é uma
cópia de CPk dentro de CPn , logo é a imagem de um ciclo cuja projeção satisfaz a
propriedade pedida. Por isso, a classe de homologia singular que gera H2k (CPn ) é
91
representada por um ciclo cuja imagem é a cópia de CPk mergulhada em CPn como
2k-esqueleto.
Analisemos agora os espaços projetivos reais. Já mostramos que RPn tem uma
estrutura de CW-complexo com uma célula para cada dimensão entre 0 e n. Neste
caso os morfismos de bordo podem não ser triviais. Para calculá-los, vamos usar a
fórmula (58). Considerando a única célula ek e a fórmula (57), temos uma única
função ∆ : S k−1 → S k−1 definida do seguinte jeito. O domı́nio é a borda ∂Dk e a
função de colamento ϕ : ∂Dk → X k−1 é a projeção ao quociente ϕ : S k−1 → RPk−1 .
O complementar de ek−1 em X k−1 é a cópia de RPk−2 mergulhada em RPk−1 como
equador, logo o quociente X k−1 /(X k−1 \ ek−1 ) se identifica com RPk−1 /RPk−2 . Isso
é equivalente a considerar o hemisfério norte do domı́nio S k−1 e colapsar o equador a
um ponto, pois o hemisfério sul fica identificado com o norte por reflexão a respeito
do centro. Portanto, ϕ pode ser descrita do seguinte jeito:
• partimos de S k−1 e quocientamos pelo equador;
• deste jeito obtemos a união a um ponto de duas (k−1)-esferas, que chamamos
norte e sul;
• a restrição à esfera norte de ϕ é a identidade;
• a restrição à esfera sul de ϕ é a composição entre a reflexão a respeito do
centro e a identidade.
Podemos agora calcular o grau de ϕ. Seja p um ponto do contra-domı́nio cuja preimagem seja diferente do equador. Neste caso ϕ−1 (p) contém dois pontos {q, q 0 },
um para cada hemisfério. Como ϕ coincide com a identidade em uma vizinhança
de q, temos que degq ϕ = 1. Ademais, como ϕ é a composição entre a reflexão e
a identidade em uma vizinhança de q 0 , temos que degq0 ϕ = (−1)(k−1)+1 = (−1)k .
Afinal, temos deg(ϕ) = 1 + (−1)k , ou seja, 2 para k par e 0 para k ı́mpar. Por isso,
o complexo celular é o seguinte:
RP2n :
RP2n+1 :
0
·2
0
·2
··· ← 0 ← Z ← Z ← Z ← ··· ← Z ← 0 ← ···
0
·2
0
0
··· ← 0 ← Z ← Z ← Z ← ··· ← Z ← 0 ← ··· ,
sendo o primeiro Z de grau 0 e o último de grau 2n e 2n + 1. Por isso obtemos:

 Z
Z2
Hk (RP2n ) '

0
k=0
k = 1, 3, . . . , 2n − 1
demais k

 Z
Z2
Hk (RP2n+1 ) '

0
k = 0, 2n + 1
k = 1, 3, . . . , 2n − 1
demais k.
Como mostramos no caso complexo, a classe de homologia singular que gera H2k (CPn )
é representada por um ciclo cuja imagem é a cópia de RPk mergulhada em RPn como
k-esqueleto. Para k par não nulo, temos que o espaço RPk não é orientável, por isso
não pode ser a imagem de um ciclo de homologia.
Podemos dar uma estrutura categorial aos CW-complexos, tornando a homologia
celular um functor, mas, como mostraremos daqui a pouco, de fato só trata-se de
reduzir a classe dos objetos da categoria Top.
Definição 5.12. Uma função entre CW-complexos f : X → Y é dita função celular
se f (X n ) ⊂ Y n para todo n.
92
Uma função celular determina uma função fn : (X n , X n−1 ) → (Y n , Y n−1 ) para
todo n, logo induz um morfismo de complexos de cadeias f# : C•CW (X) → C•CW (Y ),
sendo (f# )n o push-forward em homologia singular (fn )∗ : Hn (X n , X n−1 ) → Hn (Y n ,
Y n−1 ). É fácil verificar que comuta com o bordo ∂•CW , pois o bordo é definido como
a composição de um morfismo de Bockstein e um push-forward:
Hn (Xn , Xn−1 )
(fn )∗,n
X
βn
/
X )
(πn−1
∗,n−1
Hn−1 (Xn−1 )
/
Hn−1 (Xn−1 , Xn−2 )
(fn |Xn−1 )∗,n−1
Hn (Yn , Yn−1 )
Y
βn
/
Y
(πn−1
)∗,n−1
Hn−1 (Yn−1 )
/
(fn−1 )∗,n−1
Hn−1 (Yn−1 , Yn−2 ).
Podemos calcular explicitamente f# . Consideremos um gerador enα ∈ CnCW (X).
Consideremos a seguinte função:
Φn
jβ
fn
α
fαβ : Sαn := Dαn /∂Dαn −→
X n /X n−1 −→ Y n /Y n−1 −→ Y n /(Y n \ enβ ) =: Sβn .
P
Temos que (f# )n (enα ) = β dαβ enβ , sendo dαβ = deg(fαβ ). De fato, (Φnα )∗ (1) = enα ,
P
logo, aplicando (fn )∗ , obtemos γ dαγ enγ . Como jβ reduz ao ponto marcado todas
as esferas correspondentes a um ı́ndice diferente de β, aplicando (jβ )∗ obtemos dαβ .
Logo, dαβ = deg(fαβ ).
A partir de f# fica definido o push-forward f∗ : H•CW (X) → H•CW (Y ). O morfismo
f∗ coincide com o push-forward em homologia singular a menos do isomorfismo
canônico H•CW (X) ' H• (X). De fato, considerando a prova do teorema 5.13, isso
segue do fato que o diagrama seguinte é comutativo:
Hn (X) o
X )
(jn+1
∗,n
'
Hn (Y ) o
(iX
n,∗ )n
'
Hn (X n )
Ker((iX
n )∗,n )
/
(f |X n+1 )∗,n
f∗,n
Hn (X n+1 )
Y
(jn+1
)∗,n
'
Hn (Y n+1 )
X )
(πn,∗
n
/
'
(f |X n )∗,n
(iY
n,∗ )n
'
/
Hn (Y n )
Ker((iY
n )∗,n )
HnCW (X)
f∗,n
Y )
(πn,∗
n
'
/
HnCW (Y ).
Isso prova em particular que f∗ : H•CW (X) → H•CW (Y ) é invariante por homotopia,
mesmo quando a homotopia não é uma função celular. Podemos definir as seguintes
categorias:
• Categoria CW (ou CW f ): Objetos: CW-complexos (finitos). Morfismos:
funções celulares.
Deste jeito, a homologia celular se torna um functor H•CW : CW → SeqGrAb, o
qual é composição do functor C•CW : CW → CompCad com o functor homologia.
Claramente CW f é uma subcategoria cheia de CW (pode-se também considerar a
subcategoria intermediária dos CW-complexos de dimensão finita). Em ambos os
casos podemos quocientar os morfismos por homotopia e o functor homologia fica
bem definido.
93
5.4. Homologia com coeficientes. Consideremos a definição (30) de cadeias singulares. Dado um grupo abeliano G, podemos considerar a seguinte definição:
M
(59)
Cn (X; G) :=
G,
σ:∆n →X
ou seja, substituı́mos Z por G. Equivalentemente C• (X; G) = C• (X) ⊗Z G, logo
podemos definir o bordo como ∂• ⊗ 1. Deste jeito obtemos os grupos de homologia singular com coeficientes em G, denotados por H• (X; G); é claro que os grupos
H• (X) que consideramos por enquanto coincidem com H• (X; Z). A mesma generalização pode ser aplicada aos grupos relativos e à homologia simplicial e celular.
Todas as propriedades fundamentais que provamos continuam a valer: invariança
por homotopia, excisão, sequência exata longa do par e da tripla, sequência de
Mayer-Vietoris, aditividade a respeito das componentes conexas por caminhos e, no
caso reduzido, por soma conexa; relação entre homologia relativa e homologia do
quociente para cofibrações. De fato, para provarmos estas propriedades só usamos
o fato que Z seja um grupo abeliano. Ademais, com a mesma técnica podemos
mostrar que H0 ({∗}; G) ' G e Hn ({∗}; G) = 0 para n 6= 0. Também:
G
k=n
n
(60)
H̃k (S ; G) '
0
k 6= n.
Um caso particularmente interessante é G = Z2 , por questões que mostraremos em
seguida relativas à orientabilidade.
Seja ϕ : H → G um morfismo de grupos. É claro que induz um morfismo ϕ# :
C• (X; H) → C• (X; G), o qual se projeta a um morfismo ϕ∗ : H• (X; H) → H• (X; G).
Deste jeito, dado um espaço X, ou um par (X, A), obtemos um functor da categoria
dos grupos abelianos à das sequências exatas longas de grupos abelianos. Se não
fixarmos o par, obtemos um functor:
H• : Top2 × GrpAb → SeqGrAb.
Uma consideração análoga vale para a homologia reduzida. Enfim, vale o seguinte
resultado:
Lema 5.15. Seja f : S n → S n uma função de grau k. Então f∗ : H̃n (S n ; G) →
H̃n (S n ; G) (ou seja, a menos de isomorfismo, f∗ : G → G) é dada por f∗ (g) = kg.
Prova: Dado g ∈ G, seja ϕ : Z → G o morfismo tal que ϕ(1) = g. O seguinte
diagrama é comutativo:
Z
'
ϕ
/
G
'
/
H̃n (S n )
f∗
ϕ∗
/
H̃n (S n ; G)
H̃n (S n )
ϕ∗
f∗G
/
H̃n (S n ; G)
'
/
Z
ϕ
'
/
G.
Portanto, a menos dos isomorfismos externos, f∗G (g) = f∗G ϕ∗ (1) = ϕ∗ f∗ (1) =
ϕ∗ (k) = kg. 94
É natural perguntar-se qual é a relação entre os grupos de homologia do mesmo
espaço com coeficientes diferentes. Em geral H• (X; G)'H
/ • (X) ⊗Z G; todavia, mostraremos que a igualdade em alguns casos particulares, por exemplo G = Q ou
G = R. Antes de tudo podemos considerar uma sequência exata curta de grupos
abelianos
0 −→ H −→ G −→ K −→ 0.
A correspondente sequência curta de complexos de cadeias é também exata:
0 −→ C• (X; H) −→ C• (X; G) −→ C• (X; K) −→ 0.
P
A prova da exatidão é imediata considerando o fato que uma cadeia ki=1 σi ⊗ gi ∈
Cn (X, G) é nula se e somente se σi ⊗ gi = 0 para todo i, o que equivale a gi = 0
para todo i. Por isso, obtemos uma sequência exata longa em homologia:
(61) · · · −→ Hn (X; G) −→ Hn (X; K) −→ Hn−1 (X; H) −→ Hn−1 (X; G) −→ · · · .
É fácil descrever o morfismo de Bockstein a partir da definição geral.
Referências
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge university press
E. Spanier, Algebraic topology, McGraw-Hill
W. S. Massey, A basic course in algebraic topology, Springer-Verlag
A. Dold, Lectures on Algebraic topology, Springer-Verlag
M. Greenberg and J. Harper, Algebraic topology - A First Course, The Benjamin/Cummings
Publishing Company
[6] S. Eilenberg and N. Steenrod, Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press
[7] J. Vick, Homology theory - An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag