JURO COMPOSTO
No regime de capitalização simples, o juro produzido por um
capital é sempre o mesmo, qualquer que seja o período financeiro,
pois ele é sempre calculado sobre o capital inicial, não importando o
montante correspondente ao período anterior.
Já no regime de capitalização composto, o juro, a partir do
segundo período, é calculado sobre o montante do período anterior.
Daí afirmamos que neste regime, “o juro rende juros”.
A título de ilustração, comparemos a evolução de um capital
de R$ 100,00, aplicado a 2% ao mês, no regime de juro simples e
juro composto.
Regime de Juro simples
Regime de Juro composto
Mês
Juro
Montante Mês
Juro
Montante
0
–
100,00
0
–
100,00
1 100 x 0,02 x 1 = 2 102,00
1 100,00 x 0,02 x 1 = 2,00 102,00
2 100 x 0,02 x 1 = 2 104,00
2 102,00 x 0,02 x 1 = 2,04 104,04
3 100 x 0,02 x 1 = 2 106,00
3 104,04 x 0,02 x 1 = 2,08 106,12
– Juro composto
Juro composto é aquele que em cada período financeiro, a
partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período
anterior.
Assim, no regime de juro composto, o juro produzido no fim de
cada período é somado ao capital que o produziu, passando os
dois, capital e juro, a render juro no período seguinte.
– Cálculo do montante
Consideremos, agora, um capital inicial C, aplicado em regime
de juro composto à taxa i. Temos:
Esta é a fórmula do montante em regime de juro composto.
O fator (1+i)n é denominado fator de capitalização ou fator de
acumulação de capital.
Exemplo
Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00, aplicados em
regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses.
Obs.: A única dificuldade que existe no cálculo do montante em regime de juro
composto é a determinação do valor do fator de capitalização (1+ i)n.
Entretanto, podemos contorná-la se nos valermos de uma calculadora científica
ou de uma tábua financeira ou de logaritmos.
Exercícios resolvidos
01) Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, a juro de 3% ao
mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta.
Qual o montante a ser devolvido?
02) Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de
3,5% ao mês, durante 35 meses.
03) Calcule o montante de R$ 5.000,00, a juros compostos de
2,25% ao mês, no fim de 4 meses.
– Cálculo do capital
A fórmula do montante em regime de juro composto pode ser
escrita como:
O fator (1 + i) –n é denominado fator de descapitalização.
Exercícios resolvidos
01) Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao
mês, produziu o montante de R$ 4.058,00.
02) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de
R$ 3200,00, sem entrada, para pagamento em uma única
prestação de R$ 4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa
mensal cobrada pela loja?
03) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode
ser quitado em um único pagamento de R$ 22,125,00, sabendo
que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro
composto.
– Taxas proporcionais
Sendo ia uma taxa anual e is, it, ib, im e id taxas,
respectivamente, semestral, trimestral, bimestral, mensal e diária,
temos:
is =
ia
i
i
i
i
; it = a ; ib = a ; im = a e i d = a
2
4
6
12
360
Assim, para um período
i
1
do ano, a taxa proporcional será a ,
k
k
isto é:
ik =
ia
k
– Taxas equivalentes
Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos
de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo
montante num mesmo tempo.
Consideremos o seguinte problema:
Calcule o montante, em regime de juro composto, relativo a
um capital de R$1.000,00 empregado:
1º) durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano;
2º) durante 12 meses, à taxa de 2º ao mês.
Como M12 ≠ M1 e as taxas empregadas (2%a.m. e 24%a.a.)
são proporcionais, podemos concluir que:
Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes
– Cálculo da taxa equivalente
Pelo conceito de taxas equivalentes, podemos afirmar que o
montante produzido pelo capital C, à taxa anual ia, durante 1 ano,
tem que ser igual ao montante produzido pelo mesmo capital C,
durante 12 meses, à taxa mensal im, equivalente à taxa anual ia.
Temos, então:
(1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1 + is)2 = 1 + ia
Exemplos
01) Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano?
02) Qual é a taxa anual equivalente a 2% ao mês?
– Montante para períodos não-inteiros
Pode ocorrer que o número de períodos financeiros não seja
um número inteiro. Neste caso, a fórmula fundamental não tem
sentido, pois, ao determiná-la, supusemos que os juros fossem
formados apenas no fim de cada período de capitalização.
Desse modo, a obtenção do montante para períodos nãointeiros só pode ser feita mediante convenções adicionais.
É comum serem adotadas duas convenções: a convenção
linear e a convenção exponencial.
Na convenção linear os juros do período não-inteiro são
calculados por interpolação linear. Na convenção exponencial os
juros do período não-inteiro são calculados utilizando-se a taxa
equivalente.
Utilizaremos a convenção exponencial por ser mais lógica.
Suponhamos um capital C, aplicado em regime de juro composto à
taxa i, durante o período n +
p
, sendo p < q.
q
Pela convenção exponencial, o capital C renderá juros
compostos à taxa i durante os primeiros n períodos. A seguir, seu
montante Mn passará a render juros compostos à taxa iq
(equivalente à taxa i e relativa à fração
períodos iguais a
1
do período) durante os p
q
1
.
q
Por dedução, chegamos, então, à fórmula:
Mn + p/q= C.(1+i)n + p/q
que nos dá o montante para períodos não-inteiros.
Exemplo
Qual será o montante de R$ 3.000,00, a juros compostos de
47% ao ano, em 4 anos e 3 meses?
– Taxa nominal
Vimos que o juro só é formado no final de cada período.
Entretanto, são freqüentes, na prática, enunciados do tipo:
Juros de 48% ao ano capitalizados semestralmente
Juros de 36% ao ano capitalizados mensalmente
Tais enunciados caracterizam o que se convencionou chamar
de taxas nominais.
Taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não
coincide com aquele a que ela se refere.
A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual.
Para resolvermos problemas que trazem em seu enunciado
uma taxa nominal, adotamos, por convenção, que a taxa por
período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.
Exemplo
Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 2
anos, com juros de 24% ao ano capitalizados trimestralmente?
– Taxa efetiva
É evidente que, ao adotarmos a convenção, a taxa anual paga
não é a oferecida e, sim, maior. Essa é a taxa efetiva.
Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos
semestralmente a 3%, a taxa de 6% é, como vimos, a taxa nominal.
A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 3% semestrais. Logo,
sendo if a taxa efetiva, temos:
1 + if = (1 + 0,03)2 ⇒ if = 1,06090 – 1 = 0,06090, isto é, a taxa
efetiva é de 0,0609 a.a. ou 6,09% a.a.
Assim, sendo:
i a taxa nominal
if a taxa efetiva
k o número de capitalizações para um período da taxa
nominal
i
ik a taxa por período de capitalização ⎛⎜ ik = ⎞⎟
⎝
como if é equivalente a ik, temos:
1 + if = (1 + ik)k
Mas ik =
i
k
k
i
Logo: 1 + if = ⎛⎜1 + ⎞⎟
⎝
k⎠
k⎠
Exemplo
Uma taxa nominal de 18%
semestralmente. Calcule a taxa efetiva.
ao
ano
é
capitalizada
– Taxa real e taxa aparente
Denominamos taxa aparente aquela que vigora nas
operações correntes.
Quando não há inflação, a taxa aparente é igual à taxa real;
porém, quando há inflação, a taxa aparente é formada por dois
componentes: um correspondente à inflação e outro correspondente
ao juro real.
Sendo:
C o capital inicial
r a taxa real
i a taxa aparente
l a taxa de inflação
podem acontecer os seguintes casos:
• Com uma inflação igual a zero e uma taxa de juros r, o capital
inicial se transformará, ao final de um período, em C(1+ r)
• Com uma taxa de inflação l, o capital inicial, ao final de um
período, equivalerá a C(1 + l)
• Com uma taxa de juros r e uma taxa de inflação l,
simultaneamente, o capital inicial equivalerá a C(1+ r)(1 + l) (a)
• Com uma taxa aparente i, o capital inicial se transformará, ao
final de um período, em C(1 + i) (b)
Como (a) e (b) são expressões equivalentes, já que ambas
traduzem o valor efetivamente recebido, temos:
C(1 + i) = C(1 + r)(1 + l)
Daí
1 + i = (1 + r)(1 + l)
Exemplos
01) Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real
de 0,8% a.m. e a uma inflação de 20% no período?
02) Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a
resgata na época B. O juro aparente recebido foi de 25%.
Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação,
nesse período, foi de 15%?