M23
Ficha
de
Trabalho
NOME:____________________________________________________
SUCESSÕES 2
I PARTE
1.
Relativamente à sucessão an = − n , pode-se afirmar que:
(A) É um infinitamente grande positivo
(B) É um infinitésimo
(C)
(D) É limitada
É um infinitamente grande negativo
2. Considere a sucessão de termo geral
un = ( n – 105 ) 2 + 1 .
Pode-se afirmar que a sucessão é
(A)
monótona decrescente porque u6 < u5
(B)
monótona decrescente porque cada termo é menor que o anterior
(C)
não monótona
(D)
monótona crescente porque a partir de uma certa ordem cada termo é maior que o
anterior
3. Na seguinte sequência de figuras, considere a sucessão que a cada figura associa o número de
“átomos”.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) Esta sucessão não é uma progressão aritmética
(B) É uma progressão aritmética de razão 4
(C) O termo geral é un = 3 n + 1
(D)
A 25ª figura tem 66 “átomos”
1
4. Sobre uma sucessão de termo geral u n = (n – a) 2 , com a ∈ IR, podemos afirmar que:
(A)
u n é um infinitamente grande negativo, qualquer que seja o valor de a
(B) u n é monótona, qualquer que seja o valor de a
(C) u n é monótona para a ≤ 1
(D) Existe um valor de a para o qual u n é limitada
5. Se u n é uma sucessão convergente e u n > 0, ∀ n ∈ IN, então:
(A) u n é não limitada
(B) u n pode ser um infinitésimo
(C) u n pode ser uma progressão aritmética de razão positiva
(D) O limite de u n é - 3
6. Uma instituição bancária oferece uma taxa de juro de 8% ao ano para depósitos feitos numa
certa modalidade.
Um cliente desse banco fez um depósito de 100 contos, nessa modalidade.
Qual é, em contos, o capital desse cliente, relativo a esse depósito, passados n anos?
(A)
100 + 0,8 n
(B) 100 × 1,08 n
7. O limite da sucessão de termo geral vn =
(A)
0
(B)
8. Considera a sucessão bn =
(A)
2
(C)
2 − 10 n
n +1
(C)
- 10
(D) 100 × 1,08 n
100 × 1,8 n
é
(D)
+ ∞
5
8 n2 + 3
. O seu limite é:
4 n2 + n
(B) + ∞
(C)
(D)
0
8
9. Qual é o limite da sucessão de termo geral u n = 1 + e – n ?
(A) - ∞
(B)
(C)
0
(D)
+ ∞
1
10. Numa progressão aritmética:
(A)
un +1
=r
un
(B) un+1 - un = r
(C)
un = u1 × r n –1
(D)
un - un+1 = r
11. Considere a progressão geométrica de termo geral wn = 2 n – 5 .
2
A razão desta progressão é :
(A)
(B)
2
4
(C)
1
4
(D)
1
2
II PARTE
1. Nesta sequência de figuras o primeiro quadrado tem 12 cm de lado.
1.1 Escreve os primeiros termos das seguintes sucessões:
Qn : Número de quadrados de cada figura;
Ln : Medida do lado dos quadrados sombreados;
An : Área dos quadrados sombreados;
Pn : Perímetro dos quadrados sombreados.
1.2 Escreve o termo geral de cada uma destas sucessões.
1.3 Indique quais destas sucessões são monótonas (crescentes ou decrescentes).
2. Seja bn a sucessão que tem por termo geral a expressão bn =
n+2
.
n
2.1 Calcule os termos de ordem 10 e de ordem 24.
2.2 Verifique que
3. Sejam an =
n2 − 4
5n
7
é termo da sucessão.
6
e
bn =
n+3
os termos gerais de duas sucessões.
n
3.1 Calcule os cinco primeiros termos de cada uma das sucessões.
3.2 Determine a ordem do termo
3
da sucessão an .
2
3.3 Justifique que 3 não é termo da sucessão bn .
3
4. Estude quanto à monotonia as sucessões:
4.1 un = 2 n 2 − 8 ;
4.2 vn = (n − 3) 2 ;
5. Seja un a sucessão de termo geral un =
4.3 wn =
(−1)n
n
n +1
.
2n
5.1 Determine os quatro primeiros termos da sucessão.
5.2 Mostre que a sucessão é decrescente e limitada.
6. Seja vn a sucessão de termo geral vn = (n − 3) 2 .
6.1 Determine os cinco primeiros termos da sucessão.
6.2 Com base nos termos calculados na alínea anterior, mostre que a sucessão não é
monótona.
7. Determine, se existir, o limite de cada uma das sucessões de termos gerais:
7.1 an =
8n
;
4 n +1
7.2
bn =
n3 + 3
;
1− 2 n
7.3
cn =
(−1) n . n
.
n+3
8. Das sucessões seguintes, indique as que são infinitamente grandes e as que são
infinitésimos.
3
;
n+5
8.1
un =
8.3
wn = 6 n −3 ;
9. Considere a sucessão de termo geral un =
8.2
vn = −
3n
;
n
8.4 kn = 4 n 2 − 1 .
6n
.
2 n +1
9.1 Determine os cinco primeiros termos da sucessão, com duas casas decimais.
9.2 Mostre que a sucessão é monótona e limitada.
9.3 A sucessão é convergente? Justifique.
9.4 Mostre que a sucessão tem por limite 3.
10. Considere a sucessão de termo geral un =
2 − 3n
n +1
10.1 Determine quantos termos de un são superiores a - 2,7 .
10.2 Investigue se - 2,8 é termo da sucessão.
4
10.3 Calcule os termos de ordem 500 e de ordem 1000.
10.4 Estude a monotonia da sucessão.
10.5 Mostre que un é limitada.
11. Seja
un =
4n + 1
o termo geral de uma sucessão.
n +1
11.1 Determina u6 e u10 .
11.2 Averigua se
37
é termo da sucessão e em caso afirmativo indica a sua ordem.
10
11.3 Classifica un quanto à monotonia.
11.4 Investiga se un é limitada.
n +1
.
3n
12.1 Prova que a sucessão un é monótona.
12. Considera a sucessão de termo geral un =
12.2 Mostra que a sucessão un é limitada.
12.3 Justifica que a sucessão un é convergente.
13. Prove que a sucessão de termo geral vn =
14. Mostre que a sucessão
1
n+3
.
converge para
2n +1
2
3n + 1
3
→
1+ 2n
2
15. Considere as seguintes sucessões:
un = 5 − 7 n ;
vn = n 2 + 1 ;
wn =
4
;
n
xn =
2
n −1 .
3
15.1 Relativamente a cada uma das sucessões, averigúe se é ou não uma progressão
aritmética.
15.2 No caso das progressões aritméticas, determine o 1º termo e a razão.
16. Mostre que a sucessão definida por un = 2 n – 5 é uma progressão aritmética e calcule a
soma dos seus primeiros 20 termos.
17. Uma sucessão an é definida do seguinte modo: a1 = - 5
e
an+1 = an + 3 .
17.1 Mostre que an é uma progressão aritmética e indique a razão da progressão.
5
17.2 Escreva an em função de n .
17.3 Calcule a6 + a7 + … + a18 .
17.4 Determine n sabendo que
a6 + a7 + … + an = 913 .
18. Usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, calcule
a soma:
5 + 11 + 17 + 23 + … + 119 .
19. Determine o termo geral de uma progressão aritmética, sabendo que a6 = 7 e a10 = 4 .
20. Calcule a soma dos primeiros 10 termos de uma progressão geométrica de razão 2 e
primeiro termo 100.
21. Considere a sucessão vn , definida por
v1 = 5

vn +1 = −2 vn
21.1 Mostre que vn é uma progressão geométrica e determine o seu termo geral.
21.2 Qual é a soma dos 10 primeiros termos da progressão geométrica.
21.3 A progressão geométrica é monótona? Justifique.
22. Sejam as duas sucessões de termos gerais: un = 3 n −5
e
vn = 3 5− n .
22.1 Mostre que qualquer das sucessões é uma progressão geométrica.
22.2 Calcule os primeiros quatro termos de cada uma das sucessões.
22.3 Estude quanto à monotonia e indique o limite de cada uma das sucessões.
23. Numa progressão geométrica S5 = 1,21 e
a razão é - 2.
Calcule u6 .
24. Uma progressão aritmética un de razão 3 tem primeiro termo igual a 5.
24.1 Escreva a expressão do termo geral de un .
24.2 Calcula
u4 + u5 + u6 + … + u20 .
24.3 Sabendo que a soma dos n primeiros termos é 19 208, calcula n.
25. Calcula n sabendo que na progressão aritmética vn se tem
Sn = - 360 ;
v1 = 1
e
r = -2
6
26. A soma dos 30 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 4 é 1980.
Qual é o termo geral da sucessão?
Soluções
I PARTE
1. (C)
2.
8. (A)
9. (D)
3. (C)
(C)
4. (C)
10. (B)
5. (B)
6. (D)
7. (B)
11. (A)
II PARTE
1.1 Qn: 1, 4, 9, 16, ... ; Ln: 12, 6, 4, 3, ... ; An: 144, 36, 16, 9, ... ;
1.2
Qn = n 2 ;
Ln =
12
n
;
An =
144
;
n2
Pn =
Pn: 48, 24, 16, 12, ...
48
n
1.3 Crescentes: Qn ; Decrescentes: Ln , An e Pn
2.1
b10 =
3.1
a1 = -
6
13
; b24 =
5
12
2.2 É o termo de ordem 12
3
1
3
21
; a2 = 0 ; a3 = ; a4 = ; a5 =
5
3
5
25
b1 = 4 ; b2 =
5
7
8
; b3 = 2 ; b4 = ; b5 =
2
4
5
3.2 É o termo de ordem 8
4.1 Monótona crescente
5.1
u1 = 1 ;
u2 =
3
;
4
3.3 bn = 3 n =
4.2 Não é monótona
u3 =
2
;
3
5.2 É decrescente porque un+1 – un = -
É limitada porque
u4 =
3
∉ ⊆
2
4.3
Não é monótona
5
8
1
< 0 , ∀ n ∈ ⊆.
2 n (n + 1)
1
< un ≤ 1 .
2
6.1 v1 = 4 ; v2 = 1 ; v3 = 0 ; v4 = 1 ; v5 = 4
6.2 A sucessão não é monótona porque v2 > v3 e v3 < v4
7.1 2
7.2
-∞
7.3 Não tem
8.1
Infinitésimo
8.2 Infinitamente grande negativo
8.3
Infinitésimo
8.4 Infinitamente grande positivo
9.1
u1 = 2,00 ; u2 = 2,40 ; u3 = 2,57 ; u4 = 2,67 ; u5 = 2,73
7
9.2
un+1 – un =
6
> 0 , ∀ n ∈ IN, logo un é monótona crescente.
(2n + 3) (2n + 1)
É limitada porque 2 ≤ u n < 3
9.3 É convergente porque a sucessão é monótona e limitada.
10.1 15 termos
10.2 É o termo de ordem 24
10.4 Monótona decrescente
11.1 u 6 =
25
7
; u10 =
10.3 u500 = - 2,99 ; u1000 = - 2,995
10.5 É limitada porque − 3 < u n ≤ −
41
11
1
2
11.2 É o termo de ordem 9
11.3 Monótona crescente
11.4 É limitada porque 2,5 ≤ u n < 4
12.1 É Monótona decrescente
12.2 É limitada porque
1
2
≤ un <
3
3
12.3 É convergente porque a sucessão é monótona e limitada
15.1 São progressões aritméticas: un e xn ; Não são progressões aritméticas: vn e wn
1
2
e r=
3
3
15.2
un : u1 = - 2 e r = - 7 ;
16.
un+1 – un = 2 (constante), un é uma progressão aritmética de razão 2. S20 = 320 .
17.1
an+1 – an = 3 (constante), an é uma progressão aritmética de razão 3.
17.2
an = 3 n – 8
18.
S20 = 1240
17.3 364
19.
an =
xn : x1 = -
17.4
n = 27
43
 3
+ (n − 1) ×  − 
4
 4
20. S10 = 102 300
21.1
vn +1
= −2 (constante) ; vn = 5 . ( - 2 ) n - 1
vn
21.3
Não, porque os seus termos são alternadamente positivos e negativos
22.1
un +1
= 3 (constante), un é uma progressão geométrica de razão 3
un
21.2 S10 = - 1 705
1
vn +1 1
= (constante), vn é uma progressão geométrica de razão
vn
3
3
1
1
1
1
; u2 =
; u3 = ; u4 =
;
81
27
9
3
22.2
u1 =
22.3
Sendo un = 3 n . 3 – 5 , a sucessão é monótona crescente e é um infinitamente grande
positivo, porque u1 > 0 e
v1 = 81 ; v2 = 27 ; v3 = 9 ; v4 = 3
r=3 > 1;
8
1
Sendo vn = 35 .  
3
v1 > 0 e r =
n
, a sucessão é monótona decrescente e é um infinitésimo, porque
1
está entre 0 e 1 .
3
24.1
un = 3 n + 2
24.2
25.
n = 20
26.
23.
646
u6 = - 3,52
24.3 n = 112
un = 4 n + 4
9