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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Cristianeguedes.pro.br/cefet
1
Vizinhança de um ponto
2
Para um valor arbitrariamente pequeno >0, a vizinhança de
a é o conjunto dos valores de x pertencentes ao intervalo:
a   x  a 

0
a
a-
  x  a  
xa 

x
a+
OBS: dAB = I A – B I
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Limite de uma função
3
Seja Y=f (x) uma função definida na vizinhança do ponto a, ou, em certos
pontos desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou
lim f ( x)  b
x a
se, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se
indicar um δ > 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ
, a desigualdade | f(x) - b | < ε, fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite
de f(x).

b

a
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

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Limites Laterais
9
Definições: Limites Laterais à Direita e à Esquerda.
Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a < b.
Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x se
aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral
à direita L em a e escrevemos:
(x se aproxima de a por valores maiores que a)
lim f ( x)  L
x a
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Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se
f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se
aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite
lateral à esquerda M em a e escrevemos:
(x se aproxima de a por valores menores que a)
lim f ( x)  M
x a
10
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Exemplo:
x
Para a função f ( x) 
x
na figura, temos:
x
lim f ( x)   1 e
x 0
x
x
lim f ( x)  lim
 lim (1)  1
x 0
x 0  x
x 0
11
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Teorema
Uma função f(x) terá um limite quando x se aproximar
de c se e somente se tiver um limite lateral à direita e um à
esquerda e os dois limites laterais forem iguais:
lim f ( x)  L  lim f ( x)  lim f ( x)  L
x c
12
x c
x c
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Propriedades dos Limites
13
Sejam b e c dois números reais, e seja n um inteiro
positivo. Então:
I) lim b  b
x c
II) lim x  c
x c
III) lim xn  cn
x c
IV) lim n x 
x c
n
c
Obs.: Em IV, se n for par, c deve ser positivo.
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Operações com Limites
14
Sejam b e c dois números reais, n um inteiro positivo e f e
g funções para as quais lim f ( x)  L e lim g ( x)  M .
x c
xc
I) lim [b.f(x)]  bL
x c
II) lim [f(x)  g(x)]  L  M
xc
 f(x)  L
IV) lim 
 ;

x  c  g(x) 
M
 lim g(x)  0
 x c

V) lim  f(x)  Ln
n
III) lim [f(x).g(x)]  L.M
xc
x c
VI) lim
x c
n
f(x)  n L
Obs.: Em VI, se n for par, L deve ser positivo.
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Exemplo:
lim ( x  3x  5)  lim x  lim 3x  lim 5 
2
2
x 2
x 2
x 2
x 2
lim x  3 lim x  lim 5  2  3.2  5  15
2
x 2
2
x 2
x 2
Exemplo:
( x  5)
35
1
 x  5  lim
x 3
lim  3



3
x 3 x  7 
( x  7) 27  7 10

 lim
x 3
Exemplo:
lim (2 x  x )  (lim (2 x  x ))  3  81
3 4
x 1
15
3
4
4
x 1
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Limite de uma função polinomial
Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então
lim P( x)  P(c)
x c
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser
obtidos por Substituição:
n
n 1
P
(
x
)

a
x

a
x
 ...  a0
Se
n
n 1
n
n 1
lim
P
(
x
)

P
(
c
)

a
c

a
c
 ...  a0
então
n
n 1
x c
16
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Exemplo
lim (3x  4 x  x  x  2) 
5
4
2
x 2
 3  (2)  4  (2)  (2)  (2)  2 
5
4
2
 3  (32)  4 16  4  2  2 
 96  64  4  2  2  32
17
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Limites de Funções Racionais
18
Teorema – Os Limites de Funções Racionais podem ser
obtidos por Substituição, caso o limite do
denominador não seja zero:
Se
P(x) e Q(x) são polinômios e Q(c)  0 , então:
P ( x)
P (c )
lim

x c Q ( x )
Q (c )
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Exemplo
x 3  4 x 2  3 (1)3  4(1) 2  3 0
lim

 0
2
2
x 1
6
x 5
(1)  5
19
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Exercícios
20
Determine os seguintes limites:
1) lim
x4 2
, Resposta: 1/4
x
2) lim
1 x  1 x
, Resposta: 1
x
x 0
x 0
1/3
 x x2 
3
3
 ; Resposta:
3) lim  3
2
2
x 1  x  4x  3x 
2
2

x
  2, se x  3
4)lim f(x); onde f(x)  

x 3
1/ x  1, se x  3
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Exercícios
21
x4 1
1) lim
x 1 x - 1
3) lim
x a
4) lim
x 4
x2
2) lim
x 2 4 - x 2
xb  ab
,
2
2
x a
ab
4x  x 2
2 x
2x  4, x  0
5) lim f(x); f(x)  
x  1, x  0
x 0

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6) lim
x 1
2x (x  1)
x 1
7) lim  (x  3)
x  2
22
x2
(x  2)
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Exercícios
23
1)
x 2  5x  4
Lim
x 1
x 1
3
x
2) Lim  3x  2
x 1
x2 1
3)
x3  3
x
Lim
x 0
R: -3
R: 0
R:
3
6
x4 1
4) Lim 3
x 1 x  1
R: 4/3
x 1
Lim
x 1
x 1
R: 2/3
3
5)
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Limites no Infinito
24

lim f ( x)  L
x 
significa que para qualquer Ԑ > 0, existe
A>0 tal que I f(x) – L I < Ԑ sempre que x > A.
 lim f ( x)  L significa que para qualquer Ԑ > 0, existe
x 
B<0 tal que I f(x) – L I < Ԑ sempre que x < B.
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Teorema:
1
n    lim n  0
x  x
*
Exemplos:
3x 2  x  2
a) lim 2
 ...  3 / 5
x  5 x  4 x  4
2x  5
b) lim
 ...  2
x 
2x2  5
2x  5
c) lim
 ...   2
x  
2x2  5
25
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Assíntota Horizontal
26

A reta y = L é uma Assíntota Horizontal da função
y=f(x), se pelo menos uma das seguintes condições
for satisfeita:
lim f ( x)  L
x 
lim f ( x)  L
x  
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Exemplo : Gráfico de
27
2x  5
f ( x) 
x 8
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Limites Infinitos
28
significa que podemos fazer os valores
x a
de f(x) ficarem arbitrariamente grandes, tomando x
suficientemente próximo de a.

lim f ( x)  
lim f ( x)  
significa que podemos fazer os valores
x a
de f(x) ficarem arbitrariamente grandes em módulo,
porém negativos, tomando x suficientemente próximo
de a.

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
Considere, por exemplo, a função
1
f ( x) 
x
Perceba que, quando x tende a 0 pela direita, isto é, quando x
tende a 0 por valores menores que 0, os valores da função f(x)
tendem a crescer indefinidamente.

1
lim  
x 0 x
29
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Exemplo:
30
2x
6
lim
  
x 3 x  3
0
2x
6
lim
   
x 3 x  3
0

não existe
2x
lim
x 3 x  3
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Assíntota Vertical
31

A reta x = a é uma Assíntota Vertical da função
y=f(x), se pelo menos uma das seguintes condições
for satisfeita:
lim f ( x)  
xa
lim f ( x)  
xa
lim f ( x)  
xa
lim f ( x)  
xa
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
Os símbolos +  e -  , não representam números reais, não
podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de
cálculo algébrico.
Dado b  IR, teremos as seguintes igualdades simbólicas:
b + (+  ) = + 
b+(-)=-
(+  ) + (+  ) = + 
(-  ) + (-  ) = - 
(+  ) + (-  ) = nada se pode afirmar inicialmente. É uma
indeterminação.
(+  ) . (+  ) = + 
(+  ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma
indeterminação.
 /  = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

32
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Continuidade
33
Uma função f é contínua em um número a pertencente ao seu
Domínio se:
lim f ( x)  f (a)
x a
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Exemplos:
34

Verifique a continuidade das seguintes funções:
x2  x  2
a) f ( x) 
x2
1
 2 se x  0
b) f ( x )   x
 1 se x  0
 x2  x  2

se
x

2
c) f ( x)   x  2

3 se x  2
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Questão da prova 2011.2
35
 x2  x  6
se x  3

f ( x)  8 xse 3 x  3
 2
 x  5 x  m se x  3
a) Determine m para que exista lim f ( x)
x3
b) Para esse valor de m, f é contínua?
c) Calcule lim f ( x)
x1
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Limites Fundamentais
36
sen( x)
lim
1
x 0
x
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Exercícios:
37
sen( x / 3)
a ) lim

x 0
x
sen(ax)
b) lim

x 0
bx
sen 2 (2 x)
c) lim

2
x 0
x
sen( x)
d ) lim

x 0 x  
sen 2 ( x)
e) lim

x  0 1  cos( x )
sen(3 x)
f ) lim

x 0 sen(5 x )
1  cos( x)
g ) lim

x 0
x
Re sp : 1 / 3
Re sp : a / b
Re sp : 4
Re sp : 1
Re sp : 1
Re sp : 3 / 5
Re sp : 0
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Número de Euler
38
x
 1
f ( x )  1  
 x
f (10)  2,5937
f (100)  2,7048
f (1000)  2,7169
x
 1
 lim 1    e  2,7182818284...
x 
 x
f (10000)  2,7181
f (10 )  2,718268
5
f (106 )  2,718280
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Outro Limite Fundamental
39
a 1
lim
 ln( a)
x 0
x
x
ln(u  1)
a  1  u  x  log a (u  1) 
ln( a)
x0u 0
x
u
ln( a)
ln( a)
ln( a)
lim
 lim
 lim

 ln( a)
u 0 ln(u  1)
u 0 1 / u. ln(u  1)
u 0 ln(u  1)1 / u
ln(e)
ln( a)
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