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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ELIZANGELA CRISTINA RODRIGUES AZEVEDO
O ENSINO DA DERIVADA NO CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE
UMA VARIÁVEL REAL EM PERSPECTIVA CONSTRUTIVISTA
JUSSARA – GO
2013
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ELIZANGELA CRISTINA RODRIGUES AZEVEDO
O ENSINO DA DERIVADA NO CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE
UMA VARIÁVEL REAL EM PERSPECTIVA CONSTRUTIVISTA
Monografia apresentada ao Departamento de
Matemática da Universidade Estadual de Goiás – UEG,
Unidade Universitária de Jussara – GO, em
cumprimento a exigência para obtenção de título de
graduado em Matemática, sob orientação da Professora
Liviam Santana Fontes.
JUSSARA – GO
2013
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ELIZANGELA CRISTINA RODRIGUES AZEVEDO
O ENSINO DA DERIVADA NO CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE
UMA VARIÁVEL REAL EM PERSPECTIVA CONSTRUTIVISTA
Monografia apresentada no dia _____/_____/_____ à Banca Examinadora, como
requisito para obtenção do grau de licenciada em Matemática na Universidade Estadual de
Goiás, Unidade Universitária de Jussara.
Membros da Banca Examinadora:
______________________________________________________________
Orientadora: Pof.(a) Esp. Liviam Santana Fontes
UnU de Jussara e de Goiânia
___________________________________________________________
Examinadora: Prof. Esp. Helias Assunção de Freitas
UnU da Jussara
________________________________________________________________
Examinador: Prof. Me. Miguel Antônio Camargo
UnU de Jussara
JUSSARA - GO, 04 DE DEZEMBRO DE 2013
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Dedico este trabalho ao meu melhor amigo que sempre esteve presente em todos os
momentos da minha vida, em todos os meus caminhos, quando me sentia cansada, Ele
permitia que eu me apoiasse nele, quando estava triste, suas palavras me enchia de entusiasmo
e quando achava que não conseguiria caminhar, Ele me carregava no seu colo.
Jesus Cristo é a minha fonte de inspiração, faz com que eu tenha anseio por buscar
novos horizontes, com coragem e determinação. Se percorro este caminho é porque vós o
trilhastes para mim. Formastes-me desde o ventre e me designastes ser um instrumento em
tuas mãos. Obrigada, pela tua presença, és a rocha e minha fortaleza e alicerças os meus
projetos.
5
AGRADECIMENTOS
A minha filha Islla Ketlin, linda na plenitude da alma e da forma, que com seu sorriso
e carinho descansam a minha alma e renovam minha energia, dedico meu trabalho e minha
vida.
E a minha luz, meu namorado e meu esposo, companheiro de todas as horas, meu
lindo e gentil marido, Euripedes a quem devo minhas maiores alegrias, minhas maiores
inspirações, meus dias mais felizes, com todo o meu amor, dedico lhe este trabalho com
alegria e gratidão.
A minha mãe Maria, irmãos: Débora e Gesimar, cunhados e cunhadas.
Aos meus colegas que ingressaram comigo na Universidade em 2010, aos de 2007,
2008, 2009 e 2011, que me alegraram, me ajudaram e muitas vezes me irritaram de forma
recíproca. Vocês preencheram a minha vida e me deixou feliz pelo simples fato de ter cruzado
o meu caminho. Alguns de vocês percorreram ao meu lado, vendo muitas lutas passarem, mas
outras apenas vemos entre um passo e outro. Há muitos tipos de colegas, uns que são amigos
do coração, da farra, das trocas de informações, enfim os gestos de amizade ficaram para
sempre em meu coração.
E a minha orientadora Liviam pelo bom humor, sempre com um sorriso, pela
dedicação e orientação.
A coordenadora de 2010 à 2012 Rejane, pelos bons momentos passados ao seu lado,
carismática sempre com bom humor socorria os alunos. E sua fiel secretária Marciene.
Aos profissionais da UEG, pela gentileza, empenho e dedicação:
Os bons amigos da xérox Azarias e Sueli além da eficiência sabem serem prestativos e
cordiais, obrigada por me acompanharem nesses 04 (quatro) anos.
Dona Maria da Biblioteca, só tenho a agradecer por sua atenção, pois foi o alicerce
para minha graduação. Sua dedicação faz da senhora a funcionária mais gentil e agradável da
UEG.
Ao Diretor, Professores, administrativos, funcionários em geral, atual coordenador
Miguel e secretária Du’reis e Poliana meus agradecimentos.
Miguel obrigado por acreditar em mim...
6
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O universo todo está em movimento. Não há nada parado... Os
astros estão submetidos a movimentos de rotação e translação. Os
elementos do átomo circulam em movimentos rapidíssimos.
“Numa palavra, todo o universo, nos níveis micro e macro,
está em movimento. Se está em movimento, está constituindo, isto é,
construindo”.
Jiron matui
Manifesta-se aqui o limite de muitas pesquisas educacionais,
que fragmentam o educando para estudar apenas determinado
aspecto, desvinculado da totalidade. [...] O aluno real, concreto que
efetivamente está na sala de aula é um ser que tem suas necessidades,
interesses, nível de desenvolvimento cognitivo, quadro de
significações, experiências anteriores, sendo bem distinto daquele
aluno ideal, dos manuais pedagógicos (marcados pelos valores de
classe) ou do sonho do professor. [...] O conhecimento é o produto da
inteligência, da mesma forma que produz a inteligência. O homem é
geneticamente social, uma vez que o próprio desenvolvimento
orgânico depende das interações sociais.
Celso dos S. Vasconcellos
As inovações do pensamento científico surgem através de
pessoas revolucionárias, que conseguem propor novas formas de
olharmos os dados, embora tais pesquisadores necessitem, por vezes
serem redescobertos, muitos anos mais tarde por estarem à frente do
seu tempo.
Gladis Franck da Cunha
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RESUMO
O presente trabalho tem por objetivo principal propor que o processo de ensino e
aprendizagem das Derivadas, conteúdo da disciplina do Cálculo Diferencial de Funções de
uma Variável Real, se processe em um ambiente construtivista mediado pelo uso da didática
fundamental, que tem por base a autonomia como meta educacional. Como recurso para
elaboração da pesquisa optou-se por uma metodologia bibliográfica a partir de materiais já
elaborados, constituídos, principalmente, de livros, dissertações, teses e artigos periódicos
científicos, cujos preceitos buscam-se atender o artigo 43º da Lei nº 9.394/96 que propõe o
pleno desenvolvimento do educando, o que leva a articular as estratégias de ensino
necessárias para que o discente aprenda, retenha conhecimentos, desenvolva competências e
habilidades que o ajudem a vencer as demandas da sociedade. A partir da fundamentação
teórica estrutura-se o trabalho em três capítulos. No primeiro, discutem-se as dificuldades no
processo de ensino e aprendizagem, em reflexão a esta questão apresenta-se como a pesquisa
se configurou a partir das motivações e experiências da própria pesquisadora, o intuito deste
relato é diagnosticar quais as possíveis causas de fracasso na aprendizagem. O segundo, O
Construtivismo, trata de sua História, definições e características. Já o terceiro remete a
conhecer um pouco da História das Derivadas, seus conceitos fundamentais e suas aplicações.
PALAVRAS-CHAVE: Derivadas. Ensino e Aprendizagem. Construtivismo. Didática
fundamental.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
CAPÍTULO 01 DIFICULDADES DO PROCESSO DE ENSINO E
APRENDIZAGEM
1.1 Relatos de experiência
1.2 Reconhecendo os obstáculos do ensino e aprendizagem
1.3 Formação do professor
1.4 A importância de uma teoria
CAPÍTULO 02 CONSTRUTIVISMO
2.1 História e definição
2.2 O potencial discente
2.3 Aplicação de teoria construtivista através da didática fundamental
CAPÍTULO 03 A DERIVADA
3.1 Um pouco de sua história
3.2 Derivada de uma função
3.2.1 Inclinação ou coeficiente angular de uma reta
3.2.2 Derivada de uma função num ponto
3.2.3 Diferenciabilidade e continuidade
3.3 Derivada de algumas funções elementares
3.4 Regra de derivação
3.4.1 Teorema de funções deriváveis
3.4.2 Teorema de função composta
3.5 Derivada de ordem superior
3.6 Derivada de primeira ordem
3.6.1 Teorema do Valor Médio (TVM)
3.6.2 Intervalos de crescimento e decrescimento
3.6.3 Teorema do crescimento e decrescimento
3.6.3 Teorema da função contínua e diferencial
3.6.4 Pontos críticos
3.7 Algumas aplicações
3.7.1 Pressão sanguínea
3.7.2 Rastreando um avião pelo radar
3.7.3 A Catenária
CONSIDERAÇÕES FINAIS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Inclinação de reta
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Figura 2 Ângulo agudo
47
Figura 3 Ângulo obtuso
47
Figura 4 Ângulo reto. Tangente vertical
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Figura 5 Tangente horizontal
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Figura 6 Cálculo do Coeficiente angular
48
Figura 7 A Reta Secante tende a Reta Tangente
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Figura 8 Reta secante
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Figura 9 Reta tangente
51
Figura 10 Derivadas laterais
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Figura 11 Funções não diferenciáveis
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Figura 12 Função contínua não diferenciável
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Figura 13 Teorema do Valor Médio
60
Figura 14 Função Crescente
61
Figura 15 Função Decrescente
61
Figura 16 Pontos críticos relativos
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Figura 17 Pontos críticos
62
Figura 18 Máximos e mínimos relativos
64
Figura 19 Máximos e Mínimos relativos de f(x) =
64
Figura 20 Variação da pressão sanguínea
64
Figura 21 Rastreando um avião pelo radar Função exponencial
65
Figura 22 A Catenária
68
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INTRODUÇÃO
O construtivismo é dialético e supõe uma visão de totalidade
integradora. É movimento de mudança e transformação. Por se
dialético, supera os conflitos e desequilíbrios, para atingir níveis
estruturais qualitativamente superiores.
Jiron Matui
Esta pesquisa foi elaborada em análise sistemática a diversos trabalhos que norteiam
esta linha do conhecimento, escritos por pesquisadores experientes que atuam diretamente no
ensino e contemplam as dificuldades que os discentes enfrentam em cursar a disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I. São muitos os alunos que não a concluem para não enfrentar
a reprovação que é a antessala da evasão escolar, segundo Vasconcellos (1995), e optam pela
desistência. No entanto, quando persistem enfrentam a não aprovação e se deparam com o
fracasso de sua aprendizagem, nesse enfoque não ocorreu a ruptura dos obstáculos
epistemológicos (não houve a construção de conhecimentos) o que conduz ao fazer
pedagógico docente do professor secundário e universitário e ao seu papel social que delega
dimensões educacionais, humanas, técnicas, sociais, políticas e econômicas.
Portanto, este trabalho monográfico destina-se ao ensino e a aprendizagem da
Derivada, no Cálculo Diferencial de Funções de uma Variável Real, ministrada em geral no
Curso de Licenciatura em Matemática. Tem por objetivo o conhecimento do objeto de
pesquisa em ambiente construtivista com o intuito de habilitar e capacitar o discente para
exercer a profissão de professor em dimensões de autoeficácia1.
Segundo Alves e Villardi (1999) estas considerações voltadas a eficiência são
estabelecidas nas Leis que fixam as Diretrizes e Bases da Educação Nacional, conforme a Lei
de nº 9394, de 20 de dezembro de 1996 no Art. 43º que diz que o intuito da universidade é
formar diplomados nas diferentes áreas do conhecimento, aptos para a inserção em setores
profissionais e para a participação no desenvolvimento da sociedade brasileira. Para que o
Art. 43º seja confirmado é imprescindível reconhecer que a finalidade da educação é o pleno
desenvolvimento do discente, assim o seu preparo deve torná-lo apto e qualificado para
1
De acordo com Bandura (1986), as crenças de autoeficácia resultam de um complexo processo de
autopersuação, ou seja, o indivíduo processa a informação advinda de quatro principais fontes: 1ª) experiências
positivas de êxito em tarefas anteriores; 2ª) experiências vicariantes (suprem a ausência de algo), mediante a
observação de outras pessoas com êxito em situações similares; 3ª) persuasão verbal ou outras influências sociais
que comunicam e convencem e 4ª) estados fisiológicos, que sugerem julgamentos quanto à própria capacidade,
forças e vulnerabilidade. De acordo com esses fatores, são as reais experiências de êxito que proporcionam o
mais seguro incremento de autoeficácia [...]. Aliás, uma vez bem estabelecida numa pessoa a crença de
autoeficácia, eventuais experiências de fracasso não representam para ela uma ameaça significativa [...] (SISTO;
OLIVEIRA; FINI, 2004, p.124).
13
exercer a profissão de professor. Para tanto uma das características da universidade viável
para atingir esta meta, é a flexibilidade de métodos e critérios que devem ser vistos como
medida a ser tomada, em vez de se ajuizar somente a avaliação do aluno: “Deve-se fazer a
articulação entre a avaliação da aprendizagem e avaliação do ensino” (VASCOCELLOS,
1995, p.85). Para assim atender as peculiaridades dos alunos ingressantes na universidade,
revendo não somente o início de seu ingresso, mas o decorrer de todo o curso, em que o
aprendizado pode ser demorado, complexo, contínuo, não linear e às vezes difícil para ele,
exigindo do professor, a criação de estratégias que possibilitem o desenvolvimento das
atitudes desejáveis. Esta etapa é crucial para reconstruir seus conhecimentos e associá-los aos
novos, e envolve alguns critérios de justiça, como olhar as possibilidades do aluno e tentar
relacionar as atividades de aprendizagem a ele.
O desenvolvimento cognitivo ocorre, então, pelo constante contato do
sistema cognitivo com informações vindas do meio, e pelo não menos
constante processo de reestruturação que visa, justamente, fazer com que o
sistema atinja o equilíbrio e nele permaneça. Estas constantes reestruturações
ou reequilibrações passam por grandes etapas (os famosos estágios do
desenvolvimento); mas se compreende que passar por todas elas não é
destino pré-programa de cada sujeito: depende da solicitação do meio, à qual
o sistema cognitivo “reagirá”, construindo novas e superiores estruturas
mentais (TAILLE; OLIVEIRA; DANTAS, 1992, p.110).
A estrutura do ensino é fundamental, institui-se na tarefa mais importante do
professor, porque estar à frente de uma sala de aula (meio) não é tão difícil como conduzi-la
ao conhecimento (reação), esta atuação requer uma atividade sistemática de interação com o
meio que o influencie de forma a minimizar as dificuldades de aprendizagem. E para
desenvolver a aprendizagem do discente deve-se observar a prática social, que é o ponto de
partida e o ponto de chegada para esta ação pedagógica. Assim sendo, a forma como o ensino
é conduzido e a quantidade de orientação necessária depende do professor, da turma e de cada
aluno. Tal ação implica no exercício da profissão docente e de sua liderança em sala de aula.
“Seu estilo de atuar, que é reflexo de sua personalidade, de sua capacitação e de sua
experiência profissional, cria e acomoda o estilo ou clima de sala de aula.” (OLIVEIRA;
CHADWICK, 2001, p. 302). Para saber lidar com o aluno ou com turmas de alunos e atingir
uma liderança democrática, cabe ao professor adquirir conceitos básicos de Psicologia Social,
que não é o foco da pesquisa, entretanto é de suma importância saber se relacionar com o
aluno, desempenhando de forma profissional o seu papel.
No meio discente há uma especulação infinita e desregrada do porquê de se estudar
certas questões. Costuma-se considerar que alguma coisa só tem direito de existir se tiver
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alguma finalidade prática muito visível e de utilidade imediata. Tais questões voltadas a
prática, remete a importância de o aluno estar ativamente envolvido no que aprende e
associar os conceitos teóricos a prática destes.
O processo de ensino-aprendizagem não é uma tarefa fácil, pois se vive em uma
sociedade que o tempo é crucial, os conteúdos curriculares têm metas e cronogramas a serem
seguidos, situação desfavorável ao professor universitário em mediar à interação do aluno
com o objeto de estudo. Tais dificuldades afetam a estrutura do aprendiz em vários aspectos,
entre outros, se destacam o fato de não conseguirem entender o que está sendo ensinado, o
que limita o entendimento impedindo a capacidade de apreender para poder processar e
armazenar as informações, além de não se envolver afetivamente com a disciplina. Situação
que forçará o aprendiz a trilhar o seu aprendizado com concepções fragmentadas e mecânicas
ficando alheio ao conhecimento se reduzirá à ideia do senso comum de que a Matemática é
para poucos e a aprendizagem do Cálculo Diferencial é para menos pessoas ainda. Tal
problemática se estende até aos discentes que conseguem a aprovação, porque nem sempre a
aprovação revela que o aluno apropriou-se dos conceitos e técnicas e todo o contexto teórico
que os justifiquem.
Diante destas questões, esta proposta justifica-se tendo por base a teoria construtivista
mediada pela Didática Fundamental que tem por diretriz a autonomia e deve ser organizada
sistematicamente para formar alunos autônomos e conscientes de que o conhecimento é a
grande categoria do processo educacional. Segundo Vasconcellos (1999), as demandas sociais
requerem das novas gerações uma compreensão científica, filosófica, estética da realidade em
que vivem, e para isso “[...] a autonomia significa considerar os fatos relevantes para decidir e
agir da melhor forma para todos” (KAMII, 1990, p. 101).
Neste estudo busca-se a habilidade em saber lidar com as técnicas que envolvem esta
pesquisa: a aprendizagem das Derivadas e competência em desenvolvê-las. Para alcançar tal
êxito o texto foi estruturado em três capítulos.
O primeiro capítulo, Dificuldades no processo de ensino e aprendizagem, apresenta as
ideias que motivaram a escolha desta linha de pesquisa, voltado para os obstáculos do ensino
e aprendizagem do Cálculo Diferencial e para a formação do professor, bem como faz
referência à importância da teoria e seus valores. Busca-se a compreensão de uma dada
realidade para a sua transformação.
O segundo capítulo aborda a definição do Construtivismo e os pressupostos teóricos
que o fundamentam. Por não ser um método ou teoria educacional que instrui a ação
pedagógica, usa a Didática Fundamental no ensino, pelo seu caráter multidimensional, tendo
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autonomia como método para a mediação do professor em interagir o aprendiz com o seu
objeto de estudo, nesse objetivo ressalta-se a importância da participação ativa do discente em
sua aprendizagem. Para esse fim, é importante que a preparação de um dado conteúdo seja
organizada sistematicamente para aumentar a capacidade do aluno de aprender e de poder
ensinar, para tanto se deve adaptar a aprendizagem às características individuais do aluno, o
que remete ao ensino democrático.
No terceiro capítulo, a Derivada, articula-se entre história, conceitos fundamentais e
aplicações. Tem-se por objetivo neste contexto avaliar em termos de processos cognitivos o
que se pretende desenvolver: a aprendizagem.
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CAPITULO 01 DIFICULDADES NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM
A principal meta da educação é criar homens que sejam
capazes de fazer coisas novas, não simplesmente repetir o que
outras gerações já fizeram. Homens que sejam criadores,
inventores, descobridores. A segunda meta da educação é
formar mentes que estejam em condições de criticar, verificar e
não aceitar tudo que a elas se propõe.
(Jean Piaget)
1.1 Relatos de experiências
Este breve relato de experiência da pesquisadora que aqui desenvolve o trabalho
aborda os aspectos motivacionais que influenciaram na escolha do tema proposto.
Professores, assim como alunos podem ser o ponto de referencia para se trabalhar teorias,
pressupostos e perspectivas em suas práticas quanto educador e educando.
Enquanto educando, o meu ponto de referencia foi um professor que tive a partir da 5ª
série do Ensino Fundamental até a conclusão do Ensino Médio em 1994, lecionava
Matemática, Física e Química e tinha o hábito de chegar até o final do livro. Visando a
aprendizagem optava por uma linguagem simples e coloquial para explicar as falas do livro
didático. Este foi o motivo da escolha do curso de Licenciatura em Matemática no qual
ingressei em 2010. Quando iniciei o curso de graduação tive dificuldades com a disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I, talvez pela longa data sem estudo. No entanto, tal situação
também era compartilhada com os alunos egressos e com aqueles que repetiam a disciplina.
Não conseguir um desempenho significativo me aborrecia, pois algumas vezes não conseguia
nem formular uma pergunta ao professor no decorrer da aula referente ao conteúdo, mesmo
me dedicando somente aos estudos, não tinha o êxito esperado.
Neste contexto de desequilibração, ou maturação que se estabelece o limite entre o que
se pode ou não esperar de um aluno, este processo desencadeou a minha ação da busca pelo
17
conhecimento. No final do ano de 2010, dediquei todos os dias das férias de dezembro ao
estudo do livro: Um estudo de Cálculo de Hamilton Guidorizzi, Volume I. Procurei relacionar
os conteúdos e refletir sobre eles, operando mentalmente algumas situações, em alguns livros
do Ensino Fundamental e do Ensino Médio buscava embasamento. Foi então que percebi que
os meus conhecimentos prévios eram frágeis e não davam suporte para o novo conhecimento.
Para conseguir compreender o Cálculo e construir o meu conhecimento, usei a equilibração
por coordenação e regulação. Por coordenação porque tive que usar vários esquemas como
compreender primeiro os números reais e as funções, observando os seus conceitos e
estruturas. E por regulação usando de repetições e correções para então perceber as relações.
Conforme Matui (1996), a regulação aparece quando determinada atividade oferece
resistência ao aluno, e este encontra a resposta depois de muitas tentativas e erros. “O erro é
construtivo na medida em que ao oferecer um feedback negativo, o aluno vai fazendo
correções.” (MATUI, 1996, p.87) Quando comecei a estudar Limites, a parte algébrica e
gráfica já não era empecilho, no entanto não houve um desenvolvimento significativo na parte
teórica em que se tem que provar e demonstrar, alguns exercícios feitos com essas
perspectivas ficaram evasivos e os outros deixei sem fazer. Porém já tinha uma base para
avançar em meu estudo autodidata. E prossegui no estudo da Derivada, percebi que a
posição tangente de uma reta pode oferecer tantas informações, que até então não conseguia
operar mentalmente. Estudando apenas o livro do Guidorizzi, não aprendi outras notações e
as tantas outras aplicações, entretanto esta relação sujeito/objeto influenciou na escolha do
tema e na motivação pelo estudo, quanto mais exercício fazia, mais queria fazer e avançar
para a próxima matéria. O período das férias passou rápido, mas me permitiu fazer centenas
de exercícios e chegar às Integrais racionais onde houve pouco desenvolvimento. Porém a
experiência da interação sujeito/objeto me capacitou para assimilar o conteúdo e compreender
o que estudava.
Espera-se que este texto seja um estímulo para que o leitor adote uma linha de reflexão
pedagógica2 frente ao compromisso que é cursar e lecionar em uma Licenciatura.
A fragilidade do conhecimento desses licenciando muitas vezes passam
despercebidas nos cursos de graduação e futuros professores são aprovados
nos cursos de Matemática, convencidos de que possuem o conhecimento
necessário para lecionar (D´AMBRÓSIO, 2005, p. 63).
2
Estudos dos ideais de educação, segundo determinada concepção de vida, e dos meios mais existentes para
realizá-los; conjunto de doutrinas e princípios que visam um programa de ação.
18
Diante destas questões que D’Ambrósio postula, se faz necessário ressaltar segundo
Oliveira e Chadwick (2001) que a aprendizagem deve ser vista como um processo de como
se aprende e como um produto: o conhecimento adquirido deve ter a capacidade de
desenvolver as estruturas que permitem processar a aprendizagem.
1.2 Reconhecendo os obstáculos do ensino-aprendizagem
Conforme Oliveira e Chadwick (2001) são dois fatores que afetam a aprendizagem do
aluno em absorver os princípios que estruturam um objeto de pesquisa, seus conceitos, regras
algoritmos e procedimentos: o nível de inteligência, que é a capacidade de abstração que o
aluno tem e os conhecimentos anteriores. Os alunos que aprendem mais rápido percebem as
relações e abstrações que foram feitas e conseguem desenvolver a sequência de
procedimentos, são aqueles que são considerados mais inteligentes. Dependendo da
intensidade dos conhecimentos prévios do aluno, mais depressa ele poderá aprender conceitos
e princípios, que são combinações de diversas informações novas e são essas estruturas
mentais preexistentes que permitem colocar as regras e conceitos dentro de um contexto,
dentro de um esquema mental já relativamente estruturado.
Oliveira e Chadwick (2001) apontam três consequências para o ensino: o primeiro se
volta a contextualização que é uma das características do ensino que irá habilitar
intelectualmente o aluno, não podendo separar a aprendizagem de regras e princípios dos
contextos de sua aplicação; o segundo, ao apresentar as aplicações o professor deve induzir o
aluno a identificar as situações que levaram a sua aplicação e como foi organizado; terceiro,
para que o aluno consiga perceber as relações que estão sendo ensinadas ele precisa aprender
a generalizar, situação que varia muito entre alunos. Uns poucos, considerados pelo autor
como os mais inteligentes conseguem fazer as abstrações necessárias para complementar os
raciocínios indutivos e dedutivos. “Os demais alunos, nos melhores casos aprendem (decoram
ou automatizam) apenas um conjunto concreto de instâncias em que aplicam (mecanicamente)
o raciocínio indutivo ou dedutivo” (p. 121). Diante disso, quanto mais informação o aluno
possuir sobre o conteúdo proposto, a disciplina em si, e isso adequado as suas estruturas
cognitivas, maior será a sua capacidade de inferir e generalizar.
Antes de ensinar é preciso romper com a “[...] desmistificação do senso comum dos
matemáticos, como um slogan denunciado por Machado (1993), de que a capacidade para a
matemática é inata” (RIBEIRO. DOMITE. FERREIRA, 2004, p.178). Os autores prosseguem
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afirmando que esta crença só exemplifica um cenário excludente em relação à matemática
formal e só evidenciam um pensamento antidemocrático movido pela Educação Matemática
historicamente constituída.
A Matemática não é apenas um mistério impenetrável para muitos, mas a ela
também tem sido, mais do que a qualquer outro assunto, designado o papel
de um juiz ‘objetivo’ de modo a decidir pode e quem ‘não pode’ na
sociedade. Portanto ela tem servido como o guardião para a participação no
processo de tomada de decisão da sociedade. Negar a alguns o acesso para
participar em matemática é, então, também determinar, a priori, quem irá
adiante e quem ficará quem para trás (VOLMINK, 1994, p. 51-52, apud
RIBEIRO. DOMITE. FERREIRA, 2004, p.104).
As questões de desempenho da atuação do aluno no ambiente escolar, geralmente são
delegadas ao olhar do professor frente às avaliações e na relação professor-aluno. De acordo
com Vasconcellos (1999), os alunos muitas vezes realizam tarefas sem saber o porquê, uma
situação típica do trabalho alienado. E no sentido de obter o respeito deles, o professor aborda
o objeto de estudo inadequadamente, apresentando-o de forma complexa e artificial, é o que
se chama de antipedagogia, o ensino não se ajusta aos alunos.
Entretanto, o alto e o baixo rendimento escolar, são questões irrelevantes quando se
propõe a investigar a construção de conhecimentos. Falar sobre Cálculo Diferencial, e qual é a
razão objetiva de seu estudo, significa afirmar que a realidade externa ao pensamento do
discente é racional, ele precisa atribuir significado. O porquê de se estudar processos, que em
seu limitado conhecimento, não há sentido.
Parafraseando Brecht, quando colocou na boca de Galileu as palavras: Eu
afirmo que o único objetivo da ciência é aliviar a dureza da existência
humana, o ensino da matemática ou de qualquer outra disciplina de nossos
currículos escolares, só se justifica dentro de um contexto próprio, de
objetivos bem delineados dentro do quadro das prioridades nacionais. É
unanimidade em todos os nossos países que a prioridade nacional absoluta é
a melhoria da qualidade de vida de nossos povos (D’AMBROSIO, 1986,
p.14).
Para se obter tal proposta a nossa visão deve ser ampliada para: o sentido histórico, o
relato dos interesses da época; sentido social, em que contribuiu para sociedade; sentido
cultural, a cultura contém a trama de signos com os quais as pessoas atribuem significados aos
objetos e a linguagem matemática; e para o sentido filosófico, porque esta ciência existe e
porque que ela é tal como é? Ao longo deste trabalho estas questões serão esclarecidas.
Construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de
fenômenos sejam eles naturais ou não, sempre foi historicamente difícil, mas necessário,
requerendo competência em formular hipóteses e ideias, às vezes até absurdas, para explicar o
20
efeito casual de certo fenômeno. Foi dentro deste cenário que renomados matemáticos
conceituaram o nosso objeto de pesquisa, embora existissem fórmulas matemáticas que
demonstrassem o movimento constante e regular, todavia o conhecimento era limitado em
relação aos seus propósitos, por que precisavam formular uma linguagem matemática que
expressassem o movimento que variava em instantes diferenciados (cinemática, mecânica,
evolução, reações, oscilações...). Independente das limitações da matemática da época, das
ideias e da vontade, os indícios que sustentavam os efeitos causados pela variação,
precisavam ser compreendidos. “O espaço e tempo existem em si, e por si mesmos, e as
relações matemáticas de causa e de efeito, existem nas próprias coisas, e que o acaso existe na
própria realidade” (CHAUÍ, 2012, p. 81).
Significa dizer que mesmo que um conhecimento exista em si mesmo e por si mesmo,
só podemos conhecê-lo da forma que nossas ideias o formularem e organizarem e não como
ele seria em si mesmo. Foi exatamente dessa forma que ocorreu a construção do Cálculo
Diferencial – a Derivada, sem os rigores da análise matemática, como afirma Stewart (2006).
Somente depois de reflexões envolvendo o infinito, que se conseguiu o Teorema Fundamental
do Cálculo (limites). Essa noção já existia nas ideias dos matemáticos que o conceituaram,
contudo de forma imprecisa, é o que se conhece por abstração reflexiva, aquilo que se
considera somente no domínio das ideias, sem base material. Dominar os conceitos teóricos
que envolvem está ciência não constitui uma tarefa fácil, pois ao se investigar os conceitos
que abrangem os fenômenos que podem ser descritos matematicamente, deparam-se com
procedimentos que requerem testes e demonstrações complexas.
A aprendizagem deficiente por parte dos alunos é um motivo que resulta em fracasso,
entretanto pode ter sido o ensino por parte do professor que não estruturou tal aluno,
conforme Matui (1996) o ensino é um meio fundamental do progresso intelectual dos
discentes, tal processo engloba a assimilação de conteúdos e fornece a instrumentalização que
sustenta a base de tudo que representa a educação.
Na realidade, a disciplina ‘Cálculo I’ é conhecida por seu alto índice de
reprovação e evasão, tanto no Brasil (LOPES, 1999) como nos EUA
(SMITH, 1994). Há controvérsias a respeito das razões para tal fracasso. De
um lado, muitos professores citam a aprendizagem deficiente, por parte de
seus alunos, da matemática ensinada nos ensinos médio e fundamental. Para
esses professores, muitos de seus alunos chegam ‘despreparados’ para
aprender Cálculo no ensino superior (KAWASAKI, 2008, p. 18).
O discente, despreparado ou não, encontrará dificuldades ao se deparar com as
comprovações e consequentemente não vai compreender, e isso de forma abrangente, porque
21
a natureza destas exposições é de operações formais e conceitos abstratos e requer do
estudante um grau mais elevado de raciocínio lógico, precisando assim de pensar a um nível
mais complexo, como se voltar a reflexão, ao pensamento simbólico, ao pensamento sintético.
Além de empenho e compromisso, é preciso um ensino estratégico democrático, que exponha
os conteúdos com clareza e acessibilidade apropriada para o grau de conhecimento do aluno
egresso na Universidade.
[...] pesquisas acadêmicas apontam obstáculos no ensino do Cálculo em si e
não somente na falta de preparo do aluno. Tradicionalmente, nas aulas dessa
disciplina, o conteúdo matemático é trabalhado por meio da transmissão
oral, auxiliada pelas mídias ‘quadro-negro/giz’ e impressa (FRANCHI,
1993; SMITH, 1994), e, priorizando um tratamento simbólico-algébrico da
disciplina. É senso comum e resultado de pesquisa (ver, por exemplo, TALL,
1991) que tal tratamento na introdução de conceitos como derivada, integral
e limite de uma função podem dificultar a compreensão dos mesmos. Em
minha opinião, esta abordagem não contempla a ideia de movimento e/ou
variação dinâmica que caracterizam as funções (KAWASAKI, 2008, p. 18).
Kawasaki (2008) retrata o cenário do ensino-aprendizagem do Cálculo Diferencial e
Integral I em dimensões que precisam ser atenuadas. Sua proposta se volta para o uso de
tecnologias e formação continuada dos professores, refere-se também a resistência dos
mesmos em optar por mudanças que só pressupõe novas formas de ensinar, e assim dificulta o
seu progresso científico e o do aluno. Logo, deve-se privilegiar a educação reconhecendo a
importância do poder do conhecimento por todos os meios sociais, tendo também a
preocupação de colocar o discente no meio do processo educativo como sujeito ativo.
Para se compreender este campo com uma linguagem específica, voltado à
compreensão do limite de uma função, principal conceito das ciências exatas, constitui em um
pré-requisito indispensável ao estudante entendê-la minuciosamente, em termos algébricos,
gráficos e numéricos. Este conhecimento unido às técnicas e regras de derivação
proporcionará a articulação eficaz para se interpretar os resultados oriundos desta aplicação.
Apresentados formalmente através de modelos conceituais e modelos matemáticos,
possibilitando a visão da regra empregada e a relação das várias áreas dos conhecimentos da
Matemática Elementar, pré-requisito fundamental para apropriação técnica e conceitual desta
pesquisa. Tal requisito constitui-se um dos problemas mais difíceis para a gestão de sala de
aula, o professor universitário tem que revisar vários conteúdos do Ensino Fundamental e
Médio. Destacam-se entre outros, o manejo de números reais em operações com frações,
radiciação, potenciação, a manipulação de equações algébricas como fatorar e aplicar
produtos notáveis, funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e o
22
domínio e imagem destas, elementos básicos da trigonometria como identidades, lei dos senos
e cossenos e enfim, o circulo trigonométrico dentre outros.
Atribuir significados ao Cálculo Diferencial tem sido suplantado pela decadência da
educação secundária, situação que tem provocado apreensão no Sistema Educacional. E as
dificuldades do seu ensino-aprendizagem têm sido tema de análises documentais que refletem
as opiniões de vários profissionais das Ciências Exatas e Humanas, devido à históricos
acadêmicos constarem desistência e reprovação; estes são aspectos relevantes, que podem ser
vistos de forma social, político e econômico que despontam em processos de exclusão do
saber.
Este cenário deve ser alterado, começando com a mudança de nossos próprios hábitos
enquanto educando e educadores em buscar limitar nossos horizontes para facilitar o nosso
trabalho. Neste contexto, horizonte significa perspectivas para o futuro, a aprendizagem.
Consegue ver o fim do horizonte do seu campo de observação? O educando limita o seu
horizonte quando não tem compromisso em fazer as atividades avaliativas que são propostas
para a sala toda, para que esforçar é mais fácil recorrer a outros meios. Oliveira e Chadwick
(2001), com base em várias pesquisas, afirmam que a aprendizagem está relacionada com o
período que os alunos passam envolvidos em tarefas (prática), em que precisam de tempo para
ativar a memória e recuperar conhecimentos anteriores e se esses não são suficientes, terão
que buscar novas informações. Esta é a ação do sujeito sobre o objeto de conhecimento onde
o aluno pode observar se lhe falta pré-requitos, se sabe se autoavaliar ou fazer ajustes no seu
processo de aprendizagem, se conhece as regras e os procedimentos, mas não pode aplicá-los
ou generalizá-los, se lhe falta estrutura (esquemas), em adotar sequências inadequadas, se as
informações que possui são incompletas, errôneas, lentas ou difíceis de recuperar.
O educador limita o seu horizonte quando não facilita o processo de ensinoaprendizagem, Oliveira e Chadwick (2001) discorre sobre isso e, em seguida, aponta algumas
questões necessárias para ajudar na prática do ensino: planejamento de aula, ao entrar na sala
de aula saber o que vai fazer e ter os materiais previamente selecionados com instruções e
tarefas predefinidas, com perguntas preparadas; conhecer bem seus alunos, difícil se o número
é excessivo, mas através da observação, conversas e análises de deveres e cadernos pode
ajudar; domínio da disciplina é essencial para se transmitir conhecimentos e habilidades com
segurança, através de representações adequadas e exemplos para que o aluno aprenda por
compreensão e assim consiga generalizar; fazendo muitas perguntas, nestas expectativas entra
a especialidade do educador em saber manejar os assuntos do curso e ajudar os alunos a
pensarem; dando feedback, um auxílio eficaz para o aluno se autoavaliar; avaliação contínua
23
para detectar as dificuldades do aluno e agir sobre elas através de trabalho individual
independente, neste procedimento o que se espera é que o aluno busque auxílio do colega ou
recorra ao professor.
Diante das dificuldades de ensino-aprendizagem, Chauí (2012) propõe flexibilidade
para encontrar meios para um novo fim, ou adaptar os meios existentes para uma finalidade
nova deixando de lado os hábitos e os instintos em mascarar autoritarismos ou preferências,
principalmente com relação a notas, fatores prejudiciais à aprendizagem.
Percebe-se que a história se repete: o aluno entra na universidade, sem uma boa
formação no ensino secundário, se depara com o ensino do professor universitário que usará
um grau maior de formalidade e com esforço se forma como professor e vai lecionar no
ensino secundário. Somente um ambiente que propicie uma aprendizagem significativa pode
romper com os pensamentos que desencadeiam estes acontecimentos.
1.3 Formação do Professor
Segundo Bueno (1986), a palavra professor e a execução de tal profissão precisariam
ser uma meta para o processo de aprender. O professor é alguém que professa, proclama,
atesta e transmite o conhecimento adquirido por ele em uma arte ou ciência. Matui (1996)
baseado nos trabalhos de Fernando Becker: “A epistemologia do professor” e “O que é
construtivismo?”, assinala que o professor deveria repensar a sua prática, e uma boa maneira
de refletir sobre ela é compreender o processo de aprendizagem e usar este conhecimento para
planejar, ministrar suas aulas e o progresso de seus alunos. As teorias de aprendizagem
surgiram e foram de extrema importância para o desenvolvimento da humanidade; entretanto,
por que as dificuldades do ensino-aprendizagem da Matemática, sobretudo na disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I, têm sido um tema tão abordado? Há de se pensar na prática
docente e como o conhecimento tem sido regido.
Alguns professores agem como se o conhecimento viesse do aluno, de acordo com
Matui (1996), apriorismo é o conhecimento inato que amadurece com o tempo e em etapas, e
não considera a experiência anterior do aluno. Ainda cita algumas das falas do professor
apriorista: “Ninguém pode transmitir. É o aluno que aprende. Ah! Isso é difícil, porque
ninguém pode ensinar ninguém; pode tentar transmitir, pode tentar mostrar (...). Acho que a
pessoa aprende praticamente por si” (p.39). Para Matuí (1996), a educação é regida pelo
24
empirismo, uma teoria de conhecimento que considera que o conhecimento vem de fora (do
objeto), através dos sentidos e das experiências, não há relação com o todo. E isso ocorre em
toda a sua gestão escolar, pois considera o aluno como aquele que não tem conhecimento e o
professor aquele que detém o saber. O aluno é condicionado a fazer e aprender, muitas vezes
é sem sentido para ele, quando conduzido a responder questionários e exercícios em livros
didáticos. E são mais vastas as falas dos professores empiristas: “O conhecimento se dá
sempre via cinco sentidos, de uma ou de outra maneira. O conhecimento se dá à medida que
as coisas vão aparecendo e sendo introduzidas por nós nas crianças” (p. 41).
Quando se analisam certas questões, há de se questionar, por que tais práticas de
ensino são aceitas tão naturalmente e têm permanecido? Para quem elas servem, seriam para
os alunos? Esses métodos convêm a um sistema de ideias autoritário e a uma política
antidemocrática, conforme Matui (1996).
Entretanto, seja qual for a teoria empregada ou o método aplicado na sala de aula, “o
processo
de conhecimento
por
parte
do educando
é
dirigido
pelo
educador”
(VASCONCELLOS, 1999, p.45). Nesse sentido o mediador tem que se autoavaliar, observar
se a sua postura promove a aprendizagem expressiva que instrumentalize o discente a agir
sobre o mundo, para tanto não se deve separar a teoria da prática, educação e vida, e que a sua
profissão implica em educação, uma questão de poder que está comprometida com a
economia, com a política, com a reflexão crítica da cultura.
Pesquisas de Ribeiro; Domite; Ferreira (2004), pautadas na prática docente entendem
que a formação desse profissional é um processo contínuo de reflexão sobre a ação, portanto,
considera as experiências que obteve durante sua formação, os valores, seus saberes práticos e
teóricos, seu envolvimento com o aprendizado, com as questões sociais e culturais vigentes no
processo educativo e seus investimentos em atitudes investigativas que não se limitaram
somente ao interior da sala de aula.
Cabe destacar que a prática docente se processa em um ambiente coletivo, composto
pela equipe pedagógica da instituição, que irá discutir debater e orientar a ação pedagógica
frente ao discente. E que o ensino e aprendizagem da matemática devem ocorrer em meio ao
diálogo, possibilitando a troca de conhecimentos e saberes entre o professor e o aluno de
maneira que os discentes possam abandonar a passividade e a reprodução de procedimentos
impostos anteriormente e que educadores deixem de agir como meros transmissores de
conhecimento.
25
As concepções de Kamii (1990) são baseadas em outros autores e apontam a falta de
autonomia3 como o agravante do sucesso na aprendizagem.
Pesquisas feitas por Mckinnon e Renner (1971) e por Shwebel (1975)
mostram que os estudantes das primeiras séries dos cursos universitários de
graduação não estão preparados para ser críticos, intelectualmente
autônomos e capazes de pensar de maneira bastante lógica. [...] questionam
ainda o tipo de educação que esses universitários receberam na escola.
Prosseguem afirmando que as escolas secundárias não ensinam os estudantes
a pensar logicamente e que os professores destas escolas não enfatizam o
pensamento lógico, devemos indagar sobre quem os treinou. A resposta é:
foram os professores universitários. Ou seja, as escolas desvalorizam o
pensamento crítico e autônomo do começo ao fim (KAMII, 1990, p. 34-35).
Concordando com a autora, em relação ao despreparo do aluno advindo da escola
secundária, Vasconcellos (1999) discorre a respeito: “A escola brasileira de ensino
fundamental e médio padece de males crônicos” e que além das esferas administrativas que
regem a educação, a gestão em sala de aula contribui para isso; com base em pesquisas
pedagógicas retrata que uma boa parte da aula é usada para buscar amenizar a indisciplina e
obter a atenção do discente. Para isso chama atenção do aluno pelo nome, para que preste
atenção ou que se sente em sua cadeira, quando não dá sermão, elogia a turma para poder
ganhar sua atenção, coloca-os para fazer trabalho com objetivo de respirar um pouco e evitar
gritar, ameaçar e pedir incessantemente silêncio, isso quando não tem que amenizar alguns
ânimos alterados, ficando em segundo plano a interação construtiva entre o aluno e o
conhecimento.
Alguns professores conseguem a participação ativa de seus alunos na aprendizagem,
que se mostram atenciosos e prestativos, e uma das premissas básicas para se desenvolver o
conhecimento encontra-se na interação professor-aluno, a qual deve ser estabelecida no
sentido de desenvolver suas competências e habilidades e no sentido de emancipação do
professor; para isso este precisa conhecer o desenvolvimento próprio de sua espécie, porque a
forma com que se socializa com os alunos tem papel construtivo no seu desenvolvimento.
Assim, as habilidades se postulam nas abordagens e no relacionamento professoraluno, e o significado surgirá através da ação comunicativa que é estabelecida nessa interação
que ocorre dentro da sala de aula. Para Morales (1999), a sala de aula é um lugar de relação
que promova a satisfação pessoal e profissional do professor, o qual deve se orientar neste
relacionamento de forma profissional no que tange aos aspectos formais e informais e no que
tange a própria vida em si. Dessa forma, melhorar e enriquecer a relação com os alunos o qual
3
Faculdade de se governar por si próprio; independência; autodeterminação; sistema ético segundo o qual as
normas de conduta provêm.
26
deve potencializar o seu aprendizado integral, não só dos conteúdos que são explicados e isso
deve interessar ao professor “pelo mesmo tanto quanto interessa ao vendedor, não só não
espantar seus clientes, mas até fazer com que comprem e levem mais do que tinham a
intenção de comprar” (MORALES, 1999, p.13).
Em decorrência aos aspectos oriundos à formação docente, pode se generalizar que
tudo o que acontece no ensino-aprendizagem é relação e comunicação, até mesmo o modo do
professor olhar os alunos diz algo a eles. Tendo em vista tais considerações, é conveniente
observar que uma teoria de aprendizagem pode ajudar a relação dos professores com os seus
alunos com a finalidade da educação ser alcançada, a aprendizagem.
1.4 A importância de uma teoria
A teoria em si (...) não transforma o mundo. Pode contribuir para a
transformação, mas para isso tem que sair de si mesma e, em primeiro
lugar, tem que ser assimilada pelos que vão ocasionar com seus atos reais,
efetivos, tal transformação. Entre a teoria e a entidade prática
transformadora se insere um trabalho de educação das consciências, de
organização dos meios materiais e planos concretos de ação (D. SAVIANI,
Escola e democracia. p. 75 apud VASCONCELLOS, 1999, p. 100).
Os povos da antiguidade desenvolveram inúmeras formas de saber baseados nas
imposições práticas de sua época, promovendo a existência da humanidade, tendo como força
propulsora o “conhecimento”. E adquiri-lo é o que nos faz apto a refletir, a descobrir através
de especulações acerca dos princípios que norteiam determinados objetos e levantar ou formar
hipóteses, sem uma lógica de descoberta. Entretanto há métodos, segundo Carvalho (1989),
que testem as conjecturas, teorias e hipóteses, ressalta-se que as teorias com suas
características singulares promovem a pesquisa que, por sua vez, as consolidam, fazendo com
que ocupem todos os espaços da explicação.
Um bom exemplo disso foi à teoria newtoniana. Ela foi formulada para
explicar o movimento e a interação dos corpos em termos de espaço e
tempo. Para a mecânica, dadas a velocidade e a posição de um corpo é
sempre possível se saber qual será a posição e velocidade em qualquer outro
ponto e instante. O caráter preditivo da teoria era tão poderoso que, certa
vez, Laplace afirmou que com a mecânica se poderia conhecer a história do
universo, tanto a passada como a futura. Foi exatamente usando esse
potencial explicativo da mecânica que Leverrier, utilizando simplesmente
papel e lápis, descobriu Netuno. Todos conheciam as irregularidades da
27
órbita de Urano e Leverrier partiu do pressuposto de que os desvios de
Urano tinham como causa a presença de uma grande concentração de massa,
e por volta de 1842 forneceu as coordenadas do novo planeta. Do
observatório de Berlin, o astrônomo Galle descobriu o novo planeta no exato
lugar indicado por Leverrier (CARVALHO, 1989, p. 24).
No entanto, desconhecem-se os inúmeros fenômenos que ocorrem no universo e suas
anomalias, questões difíceis de serem explicadas, situações encontradas em que a mecânica
newtoniana não era suficiente para a sua compreensão, produziram, então, um amplo campo
de pesquisas e novas teorias foram formuladas para explicar adequadamente a realidade. “As
teorias – quaisquer que sejam – são compostas por certos tipos de proposições que não se
referem diretamente a observáveis: são conceitos teóricos [...] que na maioria das vezes têm
grande poder explicativo – constituem o cerne4 das teorias e as próprias conjecturas”
(CARVALHO, 1989, p. 24). Se há uma explicação é porque há um problema ou vários
problemas, e uma teoria que se apresente promissora tem que proporcionar respostas aos
problemas.
Ao longo da história da Educação, foram muitas as metodologias aplicadas em sala de
aula para o ensino eficaz, baseadas em várias teorias de aprendizagem e todas de alguma
forma contribuíram, para que fossem reformuladas e a partir destas outras novas fossem
criadas.
Conhecer o processo de aprendizagem implica em conhecer como a mente
funciona. Como esse é um processo interno, tudo o que podemos fazer é
‘inferir’ o que acontece no cérebro, a partir do que podemos observar do que
as pessoas aprendem e de como elas aprendem. [...] esse processo – isso que
as pessoas fazem para aprender – é de extrema importância, pois a forma
como aprendemos depende muito da forma como ensinamos: para saber
como ensinar o professor precisa saber como as pessoas aprendem
(OLIVEIRA; CHADWICK, 2001, p. 81).
A teoria Construtivista nasceu de uma prática para se estabelecer a interpretação geral
da gênese do conhecimento. É no pensamento que se tenta explicar para dar significados,
porque é importante que o discente estabeleça conexões entre os diferentes temas abordados
no ensino do Cálculo Diferencial e saiba instituí-los as demais áreas do conhecimento (seja no
campo da Matemática, da Física, da Biologia, da Economia, da Engenharia, entre outros) e
nas situações do dia a dia, priorizando os métodos eficientes para se obter informações.
Esta teoria valoriza também a função Professor e lhe laureia com o dom do ensino,
baseado na Didática Fundamental, definindo sua posição como “o mediador na construção de
conhecimentos”. Aquele que orienta em uma relação de diálogo, sendo a linguagem
4
A parte interior e mais dura do lenho das árvores, em outras palavras, é o núcleo duro da teoria.
28
condizente com o grau de entendimento do aluno, porque “o mestre que ensina ultrapassa os
alunos que aprendem somente nisto: que ele deve aprender ainda muito mais do que eles
porque deve aprender a deixar aprender” (M. HEIDEGGER apud CARVALHO, 1989, p. 99)
Assim sendo, é necessário ter bem definido o objeto de estudo por parte do mediador
que irá regular e orientar, pois aqui se aplicou o cerne da teoria, segundo Carvalho (1989) é a
ação do sujeito interagindo com o seu meio ambiente em um processo dinâmico de trocas.
Neste ocorrerá a construção de conhecimentos, essas construções se processam
psicogeneticamente5, ou seja, entra a individualidade do aprendiz, porque ele tem um modo
próprio de conhecer o objeto.
5
De acordo com Matui (1996), a psicogênese é o estudo da mente e dos conhecimentos. Então, as construções
são feitas através da gênese da psique humana e pela gênese dos conhecimentos. Vai depender das
representações mentais, da memória e do pensamento. Portanto, o conhecimento é construído de acordo com o
nível de desenvolvimento do indivíduo e de seus esquemas.
29
CAPÍTULO 02 CONSTRUTIVISMO
2.1 História e Definição
A mente que se abre a uma nova ideia, jamais volta ao seu tamanho
original.
Albert Einstein
Com uma ideia fundamental, o professor ganha a capacidade de
interligar vários assuntos da matemática, e ela sempre transborda os
limites de uma só disciplina. E ganha o interesse dos alunos.
Nilson (Revista Cálculo Ed. 17 02.2012)
Os princípios e as condições que fundamentam teórica e criticamente a escolha desta
visão de mundo e linha de pensamento estão ligados ao prazer de saber. Tem-se por finalidade
provocar o raciocínio e a reflexão crítica, cultivar o interesse pela aquisição do saber e como
culturalmente foi estabelecido, bem como estimular o prazer pela interrogação, pois
questionar é atribuir significados.
Para tanto esta proposta se baseia em uma atividade puramente intelectual do
conhecimento e de como construí-lo a partir das ideias de Jean Piaget (1896-1980) sobre a
epistemologia genética6, estudo voltado para a observação da gênese do conhecimento e para
seu desenvolvimento no meio em que o sujeito está inserido. Conforme Matui (1996), esta
relação desencadeia na consciência do indivíduo o processo para iniciar a ação com um amplo
campo de possibilidades.
O aprendizado envolvendo a história é relativo à estrutura da sociedade, assim se faz
uma análise da mesma.
6
Episteme significa conhecimento, logia é estudo e gênese que vem de origem. Portanto é o estudo critico dos
princípios, das hipóteses e dos resultados das diversas ciências, destinado a determinar a sua origem lógica (não
psicológica), seu valor e seu alcance objetivo. Como essa lógica se desenvolve nas crianças. Então, estuda a
gênese do desenvolvimento das estruturas lógicas (é o mesmo que: como se constrói o conhecimento).
30
Se é verdade que a organização da história é relativa a um lugar e a um
tempo, isto ocorre, inicialmente, por causa de suas técnicas de produção.
Falando em geral, cada sociedade se pensa “historicamente” com os
instrumentos que lhe são próprios (CERTEAU, 2008, p. 78. apud
SILVÉRIO, 2012, p. 07).
A história do Construtivismo mostrará que toda a sua produção teórica tem suas raízes
no campo de investigação que estuda os seres vivos e nos problemas que surgem na prática do
dia a dia, na relação da sociedade com o meio. Segundo Matui (1996), Jean William Fritz
Piaget nasceu na Suíça em Neuchãtel, em 9 de agosto de 1896, e se formou em história
natural, sua tese de Doutorado foi sobre os moluscos. Ao observar os moluscos em seu meio
ambiente e isso desde a sua adolescência, somado ao seu interesse pela filosofia nos trabalhos
de Bergson, Comte, Spencer, Le Dantec e Kant, que “Piaget inspirou-se na biologia para
postular que o desenvolvimento é caminhar junto ao equilíbrio, que é característico de
qualquer indivíduo, seja qual for o seu sexo, idade ou cultura” (LA TAILLE; OLIVEIRA;
DANTAS, 1992, p. 110).
Cunha (2007) em seus estudos relata que a fenocópia é uma hipótese formulada por
Piaget (1978) em que um genótipo é responsável pelas alterações e assimilações. Foi através
de experimentos com moluscos gastrópodes (Limnaea stagnalis), que se verificou que as
variações no tamanho da concha eram derivadas do ambiente em que certas raças habitavam.
O meio influenciava a formação estrutural das conchas dos moluscos ao se fixarem nas
rochas: se habitavam em locais de águas tranquilas, as conchas eram mais alongadas, se em
águas agitadas as conchas apresentavam aspectos mais achatados devido ao esforço que eles
faziam para se fixarem nas rochas. As conchas intermediárias eram resultados dos animais
que cresciam nos dois ambientes (parte do tempo nas águas tranquilas e parte nas águas
agitadas). O estudo de Piaget se voltou à criação de inúmeras espécies em aquários com o
mesmo formato e partilhando da mesma alimentação variando apenas na agitação das águas.
Também estudou plantas com os mesmos critérios e por meio de seus estudos, a nível
biológico e a nível psicológico, investigou o mundo das construções humanas no sentido
intelectual e físico de milhares de crianças de várias idades. Foi nas estruturas biológicas, no
equilíbrio, na autorregulação 7 que Piaget encontrou explicação para a construção do
conhecimento.
As concepções de Kamii (1990), também podem ser percebidas em Matui (1996), a
partir das quais a Teoria de Jean William Fritz Piaget aplicada ao processo educacional é
definida pelo estágio do processo de construção do conhecimento. São assinalados quatro
7
Estabelecer normas por si próprio.
31
períodos gerais de desenvolvimento cognitivo: o Sensório-motor, o Pré-operacional, o
Operacional-concreto e o operacional-formal, que são subdivididos em estágios ou níveis. Na
criança acontece o primeiro estágio Sensório-motor desde o nascimento até dois anos de
idade, pelos reflexos neurológicos básicos8, o bebê começa a edificar desenhos de ação para
poder assimilar mentalmente o meio. A gênese da inteligência começa a partir dos oito a
nove meses, através da prática adquirem as noções espaço e tempo e são construídas pela
ação. A relação com o meio é direta e imediata, sem representações ou pensamentos. O
segundo estágio é chamado de Pré-operatório ou inteligência simbólica, acontecem em
crianças de dois a sete anos e é caracterizada principalmente pela interiorização de
esquemas de ação construídos no estágio anterior (Sensório-motor). O terceiro estágio é o
Operatório-concreto, acontece na idade de sete a onze anos em que as crianças são capazes
de relacionar e abstrair dados da realidade. Por fim, o quarto estágio, o Operatório-formal,
acontece dos doze anos em diante e as representações agora permitem a abstração total.
Todos os estágios foram desenvolvidos através de dois processos conhecidos como
invariantes funcionais (é o modo que funciona a mente): a preparação, a organização que o
sujeito faz internamente, para se adaptar ao meio e isso mediante a assimilação e
acomodação.
Conforme Matui (1996), o construtivismo de Piaget é a reformulação do
Interacionismo de Immanuel Kant (1724-1804), acrescido da visão genética e transformista.
Teve contribuição de Lev Geminovitch Vigotski (1896-1934), o qual ampliou a concepção de
construtivismo para Sócio-construtivista, por acreditar que o pensamento é construído pouco a
pouco num ambiente que é histórico, cultural e, em essência, social. E de Heri Wallon (18791962), que se dedicou mais ao desenvolvimento psicomotor: estágios impulsivos, emocional,
sensório-motor e projetivo. Diagnosticou-se que o meio biológico das espécies tem tudo a ver
com o seu meio social; assim como Piaget integra em seus trabalhos o interacionismo, “Esses
autores concordam que o desenvolvimento e a aprendizagem não são resultados só dos
estímulos externos (objetos), nem só da produção da razão (sujeito), mas o fruto da interação
dos dois, sujeito e objeto” (p.148), a qual se processa em um ambiente democrático e tem
como metodologia a autonomia.
Assim, o construtivismo é uma teoria do conhecimento que engloba numa só
estrutura os dois polos, o sujeito histórico e o objeto cultural, em interação
recíproca, ultrapassando dialeticamente e sem cessar as construções já
8
Apresenta comportamentos do tipo reflexos, tais como sucção, choro, preensão (ato de segurar ou agarrar) e
atividade corporal indiferenciada.
32
acabadas para satisfazer as lacunas ou carências (necessidades) (MATUI,
1996, p.46).
Quando se fala em sujeito histórico, devemos ampliar nossas perspectivas para um
tempo imemorial; a história foi construída por uma sequência de fatos que se desencadearam
pela ação: refletir, perceber, arquitetar, fazer, criar, construir, reconstruir, avaliar, processar e
voluntariamente selecionar todas as informações necessárias para regular as ações ou inibir,
caso estas reações sejam inadequadas. Houve uma organização cognitiva do sujeito para
receber esses subsídios, em que se selecionaram e arquitetaram-se quais movimentos seriam
feitos para se alcançar os objetivos propostos. É este funcionamento cognitivo de organização
e seleção que o sujeito se faz competente ou apto para conhecer o objeto.
Assim, o conhecimento só se desenvolve ou se amplia se tiver embasado no que já se
sabe pela humanidade e pelas descobertas resultantes das pesquisas e daquilo que nos
dispomos a investigar e compreender (pelo sujeito). Para obter êxito nesta proposta têm que se
permitir influenciar (interação recíproca) pelo objeto, esgotando as possibilidades de diálogo
com ele. Portanto o conhecimento só ira acontecer se houver antes uma organização interna.
Todo objeto é cultural e se apresenta na sociedade. E a maneira de captá-lo
ou assimilá-lo é pelo diálogo. O próprio Paulo Freire diz: “O diálogo é este
encontro dos homens, mediatizados pelo mundo, para pronunciá-lo, não se
esgotando, portanto, na relação eu-tu” (Pedagogia do oprimido, p. 93).
Portanto a interação social é uma forma privilegiada de acesso à informação,
de acesso ao objeto de conhecimento. (MATUI, 1996, p. 45, grifo do autor)
Neste processo o professor não será um transmissor de conhecimentos, ele oferece os
meios cabíveis, ou seja, ele reformula, orienta e estabelece as metas que devem ser iluminadas
pelos princípios que valorizem a autonomia moral e a busca do bem comum, de modo a
favorecer a participação de todos (alunos e instituição) nas decisões a serem tomadas. Sendo o
mediador da interação sujeito-objeto através de um ensino democrático. Quando a
participação do aluno na construção e no estabelecimento das metas se processa, surge um
sentimento de bem estar e responsabilidade nele, assim este convívio democrático favorece a
compreensão do objeto de estudo.
Conforme Matui (1996), a democracia, que é um regime político, também é uma
forma de sociabilidade por meio da qual se permite que as diferenças sejam expressas. Cada
indivíduo participa se relacionando uns com os outros mediados pelas instituições em que
convivem, pelas classes e categorias a que pertencem e pelos interesses e poderes que neles
circulam.
33
A postura política-construtivista defende a participação ativa do cidadão na sociedade
tendo direito e ter direitos, bem como construir novos direitos, é rever os já existentes, “o
compromisso político do construtivismo sócio-histórico é com a formação do cidadão.”
(MATUI, 1996, p. 18). Ainda ressalta o autor que a instituição deve ser medida pelo grau de
cidadão que forma, a qualidade deve ser uma meta a ser seguida e ao primar pela qualidade
articular-se entre metas e considerações que satisfaçam o bem estar deste cidadão dentro dela.
“Muitas vezes as barreiras simbólicas são as que mais amarram as pessoas, porque agem no
imaginário delas” (p.18). Assim sendo, as medidas sócio-educativas a serem tomadas deve
viabilizar uma prática pedagógica compromissada com a política que seja destinada a
coletividade. “A didática, pela qual fazemos a aplicação do construtivismo ao ensino, não
considera apenas a dimensão técnica, mas também a humana (ou social) e, principalmente, a
política” (p. 18).
O que se necessita frente ao construtivismo é apostar na superioridade humana, na
compreensão e superação de obstáculos por mais difíceis que eles sejam. Superar o ensinoaprendizagem que apresenta dificuldades é um compromisso social, sem reduzir-se a
apropriação do ensino a meros resultados mecânicos. Os renomados matemáticos se
destacaram porque antes de tudo eles desejavam o conhecimento e viam nele a sua realização,
um fato relevante a ser exposto é a história de Isaac Newton (1643-1727), um dos criadores
do Cálculo Diferencial. Dizia ele que só foi possível a construção deste conhecimento por se
apoiar nos ombros de gigantes, grandes matemáticos que vieram antes dele e contribuíram
com suas ideias adiante de seu tempo.
Piaget (1983) afirma que o desenvolvimento intelectual é construído e se processa nas
pré-formações e na auto-organização. Neste estágio entra a competência em adotar ações para
a formação do professor, enquanto este ainda estuda para tal e que organize seus
conhecimentos por si mesmo, esta realidade de ensino autodidata é vista nas universidades,
entretanto, sem as informações necessárias que o conduz a uma abordagem superficial do
objeto de estudo, onde não há uma reflexão sobre as finalidades.
É preciso atentar para a formação do professor em um ambiente construtivista porque
“As dificuldades de aprendizagem têm sua causa na prática escolar, na incompetência da
escola e dos autores dos livros didáticos e pedagógicos, nas metodologias usadas nas salas de
aulas, bem como na política educacional do país” (MATUI, 1996, p. 24).
Diante destas exposições, radicalizar certas atitudes seria uma postura política que
mudaria os autores que lidam diretamente na educação: os professores e os alunos, visando
um ensino plural e diversificado, porque é plausível considerar as dificuldades da maioria. O
34
ambiente construtivista simplesmente delega ao professor, que o processa, o dom do ensino. E
ainda, é preciso notificar que aqueles que acreditam no potencial de tal ambiente postulam a
liberdade de aprender e da autonomia como base de seu trabalho, esses princípios
pedagógicos simplesmente promovem dentro dos limites do educando, de suas possibilidades
cognitivas, o pensar, o argumentar, apresentar hipóteses e justificá-las.
Portanto, não há independência na educação, o aluno depende do professor e este
depende da cooperação do aluno. Seja qual for à situação, o conhecimento sempre pode ser
construído, quando a meta da Educação for graduar o universitário num ambiente que lhe
propicie o desenvolvimento de suas estruturas de conhecimento.
Conforme PCN’s (1998) é inegável a importância de um currículo bem estruturado
neste processo, além de ordenar quais os conteúdos que serão trabalhados, fixará as diretrizes
a serem estabelecidas e quais as intenções. E tem-se por intenção em um currículo
construtivista provocar uma mudança de postura dos professores e alunos num processo
dialético no qual o aluno tem parte ativa e essa forma de se portar trata-se de uma postura
política, de uma busca da democratização do processo ensino-aprendizagem. Tendo ainda em
vista que este procedimento se processe em meio interdisciplinar.
Entretanto, cabe enfatizar que Jean Piaget esteve no Brasil no ano de 1949
representando a UNESCO – Organizações das nações Unidas para a Educação, Ciência e
Cultura, em um Seminário de Educação e Alfabetização de Adultos. Desde então a dedicação
ao estudo de sua teoria foi eminente, gerando textos que apresentam leituras parciais
distorcidas bem como assimilações levadas a práticas de forma indevida, como desenvolver
atividades em sala de aula de forma mecânica, a teoria Construtivista de Piaget não se aplica
em sala de aula, ela não é um processo de como se chega a uma determinada ideia.
2.2 O potencial discente
No pensamento do adulto, o autor Ivic (2010) observa um fenômeno que ocorre e
explica o porquê das dificuldades em conhecer o objeto de pesquisa – neste caso o Cálculo
Diferencial. “[...] embora o pensamento do adulto tenha acesso à formação de conceitos e
opere com eles, ainda assim nem de longe esse pensamento é inteiramente preenchido por tais
operações” (IVIC, 2010, p.54).
35
Entretanto, Neimeyer e Mahoney (1997) professores experientes com doutorado em
psicologia, reconhecidos por inúmeras contribuições acadêmicas, reportam a um importante
relato no livro Construtivismo em Psicoterapia, que são as estruturas transcendentes,
definidas na física como um mundo de potencial ilimitado que se supera a dicotomia entre os
fenômenos físicos e mentais, sujeito e objeto. Pois, “[...] os seres humanos são fontes
potenciais de energia, que constantemente se materializa e desmaterializa em projetos”
(p.177). Estes projetos podem ser individuais e sociais e são eles os responsáveis pelas
construções humanas sejam intelectuais ou físicas, e é para este mundo de energia (o
aprendiz) que a nossa teoria está voltada.
Assim, para os construtivistas, o foco está na potencialidade, ou seja, para a
eficiência e funcionalidade da energia humana. Conforme Pribram (1986)
nos explica, “a energia não é material, apenas transformável em matéria. Ela
é medida através da quantidade de trabalho que pode ser obtida pelo seu uso,
e a eficiência de seu emprego depende de sua organização, medida por sua
entropia9” (NEIMEYER; MAHONEY, 1997, p. 177).
2.3 Aplicação da teoria Construtivista através da didática fundamental
Vasconcellos (1999) remete a um comunicado importante a respeito da sala de aula:
ela é o centro da educação escolar, lugar onde acontece a interação do aluno, objeto de estudo
e o professor como mediador. Situação esta que leva o professor a se questionar que tipo de
ação educativa deve ser desenvolvido e quais os meios que serão utilizados (metodologia,
técnicas, conteúdos, relacionamentos, etc.).
Conforme Bueno (1986), a didática trata de um método de ensino a ser aplicado, então
ter uma boa didática é ser eficiente em instruir. A pedagogia é uma ciência normativa e
prescritiva, se refere a um programa de ação que visa à aplicação dos ideais da educação,
segundo a concepção de vida daquele que aplica e dos meios mais eficientes para realizá-los.
Objetiva-se direcionar a teoria construtivista à didática fundamental devido as suas
características peculiares considerarem as nossas perspectivas.
Conforme Matui (1996), a didática fundamental se situa no tempo e no espaço,
contextualizada (liga todas as partes de um todo), comprometida com a libertação e com a
transformação social; apresenta um aspecto multidimensional no processo de ensino
9
Em termodinâmica, é a grandeza que permite avaliar a degradação de energia dentro de um dado sistema.
36
aprendizagem, além de trabalhar a dimensão técnica analisa a dimensão humana e políticosocial; considera as pesquisas e a realidade do aluno; coloca-se no papel mediador de
conhecimentos; desmitifica métodos e técnicas de ensino, questionando: como fazer? Por que
fazer? Para que serve ou a quem serve? E qual é a intenção? A didática fundamental:
Entende que a preocupação com a eficiência não deve ser vista como
utilização de meios técnicos sofisticados. Pelo contrário, trata-se de partir
das condições reais em que se desenvolve o ensino em nossas escolas e
buscar formas de intervenção simples e viáveis (MATUI, 1996, p. 162).
Como o construtivismo não se trata de um método pedagógico, que se aplique
diretamente ao ensino, pode ser mediado pela didática fundamental, assim “ao lado da teoria
interacionista10 de construção dos conhecimentos e da dialética11, a pedagogia é tomada
como critério de integração do construtivismo” (MATUI, 1995, p. 157).
Todavia, a aplicação desta teoria requer competência, habilidade, prática e
investigação param se empregar a informação útil através de um raciocínio convincente, de
modo formal e informal, para que o aprendiz possa se adaptar aos diferentes modos e alcançar
o objetivo que é efetivar a aprendizagem.
Porque a didática fundamental se baseia na razão crítica: a razão crítica é
aquela que analisa e interpreta os limites e os perigos do pensamento
instrumental e afirma que as mudanças sociais, políticas e culturais só se
realizarão verdadeiramente se tiverem como finalidade a emancipação do
gênero humano e não as ideias de controle e domínio técnico - cientifico
sobre a natureza, a sociedade e a cultura (CHAUÍ. Convite a filosofia, p. 50
apud MATUI, 1996, p. 162)
Portanto, para que haja assimilação, a sala de aula será um cenário de envolvimento,
organização interna e da coletividade (entre alunos, mediador e objeto de conhecimento); para
se trabalhar com o conhecimento é necessário: objetivo, conteúdo, metodologia e avaliação.
É na inadequabilidade de explanação de conteúdos e nas abordagens que residem a
descontextualização, a falta de significado. Segundo La Taille, Oliveira, Dantas (1992) as
ideias principais em torno dos processos mentais superiores mais difundidas por Vygotsky,
são processos mediados por sistemas simbólicos como a linguagem, é ela que “fornece os
conceitos e as formas de organização do real que constituem a mediação entre o sujeito e o
objeto de conhecimento” (LA TAILLE; OLIVEIRA; DANTES, 1992, p. 80).
10
Sistema epistemológico que admite que o conhecimento não provem só dos objetos que são os estímulos
externos, ou só dos sujeitos, mas da interação entre o sujeito e o objeto.
11
Arte de raciocinar de forma lógica conduz o pensamento ao conceito da razão que se interpõe nas contradições
e as supera como as dicotonomias (divisões em dois) e dualismos (existência de dois princípios necessários e
opostos).
37
Também é na linguagem que reside o significado. Como se envolver com um objeto
de pesquisa, se este é tão complexo? Ou é linguagem usada para explicá-lo é que o torna
complexo? Tal situação não desenvolve o aprendiz, que muitas vezes não conseguem nem
questionar, por isso quando a linguagem dá significados aos signos, o pensamento e a fala se
unem, então ocorre o entendimento.
São os significados que vão proporcionar a mediação simbólica entre o
indivíduo e o mundo real, constituindo-se no ‘filtro’ através do qual o
individuo é capaz de compreender o mundo e agir sobre ele. [...] uma palavra
sem significado é um som vazio; o significado, portanto, é o critério da
palavra, seu componente indispensável [...] Mas, do ponto de vista da
psicologia, o significado de cada palavra é uma generalização ou conceito. E
como as generalizações e os conceitos são inegavelmente atos de
pensamento, podemos considerar o significado como um fenômeno do
pensamento. [...] O significado refere-se ao sistema de relações objetivas que
se formou no processo do desenvolvimento da palavra, consistindo num
núcleo relativamente estável de compreensão palavra, compartilhado por
todas as pessoas que a utilizam. O sentido, por sua vez, refere-se ao
significado da palavra para cada indivíduo, composto por relações que dizem
respeito ao contexto de uso da palavra e às vivências afetivas do individuo
(LA TAILLE; OLIVEIRA; DANTES, 1992, p. 81)
O diagnóstico que se apresenta em relação ao saber e não saber do aprendiz deverá ser
o princípio das ações. Uma boa aula deverá ser embasada na comunicação, é nela que se
entende o processo de construção de significados, por ser a base dos saberes e dos
pensamentos pessoais e a forma de se criar vínculos.
Para Guidano (1991), o “[...] conhecimento é basicamente uma atividade emocional e
motora, que provê uma apreensão global e imediata da realidade” (apud NEIMEYER;
MAHONEY, 1997, p. 178). Os autores prosseguem afirmando que os seres humanos como
qualquer outra criatura são representações estéticas de seus ambientes. Nesse sentido, a sala
de aula é o ambiente em foco e deve se adequar para favorecer aquisição do conhecimento.
Freire (2001) ressalta que “A comunicação tem que ser simples. Na simplicidade é que se vai
fundo nas coisas de maneira acessível, não complicada.” (apud RIBEIRO; DOMITE;
FERREIRA, 2004, p. 263). Para se conhecer é preciso compreender e a compreensão só vai
ocorrer através da própria ação do aprendiz, agindo sobre o objeto através da intervenção do
professor. Através do diálogo o professor intervirá, levando o aluno a refletir, instigando-os;
só assim dará início aos processos que constituem o órgão que dá a vida à teoria
Construtivista, segundo Matui (1996), a assimilação e a acomodação.
A criança dá significação ao mundo e aos objetos assimilando uma coisa à
outra, isto é, para ter significação, um objeto novo é assemelhado a outro já
conhecido. Mas esse processo é uma interação; faz parte de um processo de
38
incorporar o objeto nas estruturas do sujeito, de acomodar as estruturas do
sujeito ao objeto e de organizar os elementos do conhecimento e da mente
(MATUI, 1996, p. 92).
Segundo o autor esses processos são denominados por Piaget como invariantes
funcionais, pelo fato de não se alterarem com a idade do sujeito, desde o nascimento até a
morte, o sujeito está sempre construído conhecimentos.
Matui (1996) explica a assimilação através da mediação de Vygotsky e da assimilação
de Piaget, como conceitos que se completam, “pois nós assimilamos o mundo e as coisas pela
mediação de imagens mentais, memória, de estruturas operatórias de classificação, seriação,
casualidade etc. e, principalmente, da palavra” (p. 93 grifo nosso). Na assimilação “o sujeito
‘encaixa’ os objetos às estruturas que já possui. Na acomodação o sujeito ‘muda’ a própria
estrutura para encaixá-la ao objeto (p. 95).
Como dito anteriormente, a linguagem compreensível favorece a assimilação cujo
significado é torna-se semelhante, ou seja, um objeto de estudo toma a forma das estruturas
cognitivas (mentais) do aprendiz e é estruturado a ele, de forma que a sua mente se acomoda
às exigências do objeto e do meio. Quando o aprendiz não consegue assimilar determinadas
situações, a sua mente irá desistir ou se modificar. E quando se modifica é quando ocorrerá a
acomodação que, por sua vez, levará a mente a construir novos esquemas de assimilação,
então ocorre a construção de conhecimentos. Ao equilibrar a assimilação e a acomodação
acontece a adaptação.
Após as explicações, o aprendiz deve interagir com o objeto de estudo para que haja a
construção de um esquema de assimilação mental. Os esquemas são, assim, unidades
altamente ativas, que buscam sobrepor e assimilar várias situações à sua estrutura, mesmo
sobre condições insatisfatórias (quando lhe falta informação) no que tange ao aspecto de
adaptação.
Diante de um objeto desconhecido, o sujeito tenta assimilá-lo a um esquema
que já possui. Mas o sujeito não consegue assimilar, porque o esquema que
ele possui não é adequado. Não ocorre a assimilação generalizadora. O que o
sujeito precisa fazer? Ele pode realizar uma das seguintes ações: modificar
um esquema já existente de modo que o objeto possa ser assimilado; criar
um novo esquema no qual possa ser encaixado (MATUI, 1996, p. 96).
Criar esquemas ou modificar os anteriores (acomodação), só acontecerá quando o
aprendiz vir claramente o objeto de estudo e identificar suas partes, suas propriedades, seus
elementos, como se classifica e todas as suas características. Para que isso aconteça os
39
conceitos prévios devem ser compreendidos através de pequenos trabalhos em que o aprendiz
deve explicá-los com palavras de seu próprio vocabulário.
No entanto, o equilíbrio é o que traz a aptidão ao aprendiz em se desenvolver no meio
físico e social, pois se predominar a acomodação: o aluno decora sem, todavia, entender
(assimilar); se predominar a assimilação: não há aprendizagem verdadeira, o objeto é alterado
pelas paixões e desejos. Uma vez que o aluno se adaptando ao meio, que é uma atividade
externa (os trabalhos em que ele frise os conceitos e saiba associá-los as técnicas), ele deverá
se organizar, isto é operar mentalmente “as transformações já existentes em outros elementos
pela acomodação, a estrutura se organiza ou se desequilibra. A organização é justamente a
ação de reorganizar os elementos de um todo ou de colocar ordem nas coisas” (MATUI, 1996,
p. 100).
O procedimento didático-construtivista avalia continuamente o aprendiz, pois deseja o
desenvolvimento potencial e a aprendizagem, para tanto a intervenção e mediação do
professor é essencial: “o construtivismo depende da equilibração/maturação, também depende
da experiência/transmissão cultural. O primeiro determina a fase espontânea do
desenvolvimento e o segundo, o aspecto provocado da aprendizagem” (Matui, 1996, p. 180).
Para Piaget, conforme Matui (1996), a aprendizagem é uma ação que se processa
espontaneamente, e deve ser provocada por situações planejadas e mediadas pelo professor
para favorecer o aprendiz a agir sobre o objeto de estudo.
O papel do professor é promover a interação aluno/objeto de conhecimento.
O que quer que o professor faça nas atividades de ensino-montagem do
ambiente,
atividades
pedagógicas,
intervenções
mediadoras,
questionamentos e conversações dialógicas, se não resultar na interação do
aluno com o objeto de aprendizagem e vice-versa, nada absolutamente
acontecerá de ação construtivista (MATUI, 1996, p. 186).
Conduzir uma sala de aula mediante a imposição ou mediante espontaneísmo
pedagógico (deixar a vontade), não favorece aos propósitos da LDB, apresentados no início
do trabalho. Portanto para que ocorra a construção de conhecimentos, a mediação deve
funcionar “como um catalisador químico, que presente numa reação, facilita ou acelera e até
mesmo possibilita esta reação. Ausente, retarda a reação ou até mesmo esta pode não
acontecer” (Matui, 1996, p. 188).
Entretanto, existe uma política de obstáculos que envolvem o ensino da matemática
em que “o professor não deve facilitar para o aluno”. Tal afirmação pode ser vista como um
obstáculo para a construção de conhecimentos, que é descabida e antidemocrática, pois se
facilita, pode acelerar, através de atividades onde o emprego dos conceitos abstratos da
40
matéria deve-se verificar. O ideal é que o aluno explique como ele desenvolveu o raciocínio.
Só agindo sobre o objeto se pode conceituá-lo é o que se chama por metacognição12:
“corresponde à conceituação e buscará não só a finalização dos conhecimentos, mas
principalmente aquilo que Piaget chama de conhecimentos verdadeiros: as leis e as
explicações lógicas” (MATUI, 1996, p. 197).
Segundo Vasconcellos (1995), quando o professor vai explicando o objeto de
conhecimento, o aluno entende porque está no modo passivo, entretanto ao confrontá-lo a
situação muda. Diante disso, orienta a prática do professor:
[...] Quanto mais estudar o professor, quanto melhor preparar as aulas e as
por em conformidade com as forças do aluno, mais facilmente acompanhará
as ideias dos alunos, provocará mais respostas e perguntas, será mais fácil
para o aluno estudar (VASCONCELLOS, 1995, p. 56)
A metodologia usada tem muito haver com a participação ativa do aluno e, para tanto,
uma exposição interativo-dialogada ajuda, bem como debates, trabalhos em grupo na
resolução de exercícios de aplicação e sua explicação no quadro negro.
Em síntese, para se construir um conhecimento novo, é preciso explicações precisas
com uma linguagem favorável e simples, tendo como condições necessárias, além do
empenho, o aluno deve ter estrutura (conhecimentos anteriores) para poder assimilar, se estes
não são eficazes são transformados para se adaptar, aos novos esquemas mentais que
representarão o objeto. No decorrer do processo de conhecimento deste, o aluno deve agir
sobre ele podendo representá-lo através do pensamento e da linguagem. Sem saber explicá-lo
não há instalação do conhecimento significativo, assim é preciso analisar e, se possível,
representá-lo de forma gráfica. A visão do aluno deve estar voltada para um nível mais
elevado de conhecimento, tendo em mente que haverá situações problematizadoras, que o
forçarão a levantar hipóteses para tentar explicar o objeto. Com a colaboração do professor o
aluno (o sujeito aprendente) poderá então conhecer e assim representar mentalmente o objeto
de estudo.
12
Esse é o nível que Piaget chama de “ação sobre ação” e Vygotsky, de “experiência de experiência”, isto é,
“pensar a palavra” ou “discurso anterior”, quando o aluno se coloca diante do seu próprio pensamento e toma
consciência dele e das razões por que pensa de determinada forma (MATUI, 1996, p. 212).
41
42
CAPÍTULO 03 A DERIVADA
3.1 Um pouco de sua História
Qual é o significado do Cálculo? Na Roma Antiga, “calculus” era uma pequena pedra
utilizada para auxiliar na contagem de jogo. O verbo latino calculare, expressa: figurar,
computar, calcular. O Dicionário da Língua Portuguesa de Francisco Silveira Bueno apresenta
os termos científicos e técnicos que melhor orientam o leitor.
Pedra, formação de corpos duros no organismo [...]; conta; cômputo;
avaliação; estimação do valor de objetos, de lucros de negócios; operações
aritméticas: - diferencial (mat.) que trata das grandezas variáveis contínuas,
baseando-se nos quociente diferencial ou “derivada” de uma grandeza em
relação da qual é função; - integral: o inverso do cálculo diferencial, ou seja,
tem por objetivo achar o valor da função de uma variável quando se conhece
a derivada (BUENO, 1976, p. 214).
Há fenômenos que ocorrem na natureza que envolvem mudanças e são expressos em
linguagem matemática conhecidas por equações, as quais relacionam quantidades de
variáveis. A Derivada age quantificando a variação de uma função que a representa,
a
interpretação geométrica é a medida da declividade (coeficiente angular) da uma reta tangente
ao curva gráfico em um ponto da função dada, a ideia é que a reta tangente deve ter a mesma
direção e sentido que a curva no ponto estipulado. Essa declividade da reta tangente é
conhecida como a taxa de variação, que fornece valores relativos de muita utilidade para a
construção do gráfico que representa a função. Simmons (2010), Anton (2000), Stewart
(2006), Ávila (1994) e Munem e Foulis (1982) exemplificaram a interpretação geométrica e
física. Os autores descrevem, definem e interpretam graficamente funções e a reta tangente e
secante, de forma a construir o conhecimento, onde elabora para cada passo um significado.
Simmons (2010) concluiu a cerca da Derivada.
[...] é uma das três ou quatro ideias mais fecundas que qualquer matemático
já tenha tido, pois sem ela, não haveria o conceito de velocidade ou
aceleração ou força Física, nem dinâmica ou astronomia newtoniana, nem
ciência física de qualquer natureza, excerto como uma mera descrição verbal
de fenômenos, e certamente não teríamos a idade moderna de engenharia e
tecnologia (p.72).
43
A natureza influenciou o homem a desenvolver ideias que o levaram à criação da
Derivada, e para a sua criação foi preciso análise de vários conceitos e métodos já existentes
e conhecer melhor os infinitésimos, que são números muito pequenos próximos a um ponto,
pois sem eles não seria possível construir um instrumento formal de expressão e comunicação
para diversas outras ciências. A Geometria Analítica foi o conhecimento que possibilitou a
criação da Derivada, porque se podia as curvas tanto geometricamente como de forma
algébrica. Entretanto há controvérsias com respeito ao seu inventor, Nicole Oresme antecipou
alguns aspectos da geometria analítica ao representar graficamente a função de uma variável.
No entanto, para que ela desempenhasse plenamente o seu papel, teve que esperar o
desenvolvimento de vários símbolos e processos algébricos, a sistematização veio somente no
século XVII pelos franceses René Descartes e Pierre de Fermat, de acordo com Eves (1997).
Pode-se então presumir que “[...] ideias são como sementes resistentes, e às vezes a origem
presumida de um conceito pode ser apenas uma reaparição de uma ideia muito mais antiga
que ficara esquecida” (BOYER, 2010, p. 05). Antes da Geometria Analítica, as curvas eram
estudadas sem o plano cartesiano e se evitava os infinitésimos, essas são algumas das muitas
dificuldades que os grandes matemáticos enfrentaram, só foi possível a criação da Derivada
pelo empenho deles e de suas ideias.
Dentre alguns se destaca Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) este foi o autor da
primeira série infinita a ocorrer na História da Matemática, mas evitando o infinito. Usou uma
preposição para provar o método de exaustão, além de antecipar com os seus estudos sobre
volume e área, o Cálculo integral, sem a sua metodologia voltada para a Geometria, Física,
Mecânica e dispositivos de Engenharia, a atuação de outros matemáticos seria prejudicada.
Ele forneceu a variedade para a geometria da época.
[...] Arquimedes, em seu estudo de espiral, parece ter achado a tangente a
uma curva por considerações cinemáticas aparentadas ao cálculo diferencial.
[...] - ele parece ter achado (através do paralelogramo de velocidades) a
direção do movimento (logo da tangente a uma curva) observando o
resultante de dois componentes. Parece ser esse o primeiro caso em que foi
achada a tangente a uma curva que não era círculo (BOYER, 2010, p. 87).
Como afirma Boyer (2010), a Academia Filosófica de Platão se tornou o centro
Matemático do mundo, da qual surgiu um dos maiores mestres pesquisadores do quarto
século: Eudoxo de Cnido (408-355? a.C). Ele promoveu uma reforma na Matemática, tal que
muitos se escandalizaram arruinando teoremas envolvendo proporções, a descoberta do
incomensurável (o que não se pode medir), pois a matemática da época não tinha o
conhecimento de limite. Foi Eudoxo que proveu a proposição preliminar que facilita a
44
demonstração do teorema, que hoje é chamado de axioma de Arquimedes (287-212 a.C.),
“[...] Eudoxo
forneceu o lema [...] que serviu de base para o método de exaustão, o
equivalente grego de cálculo integral” (p.63). Esta propriedade é descrita em sua forma atual
assim:
. No sentido de se compreender melhor, o método consistia em
usar o círculo como limite dos polígonos regulares de lados cada vez menores, que
preenchiam-no de forma a exauri-lo.
Ao longo da História, a Matemática elementar era suficiente para se encontrar a
velocidade constante, trajetórias retilíneas e circulares, mais quando estas variavam, não havia
um conhecimento que desvendasse a variação e a trajetória irregular. A Astronomia foi o
palco do aperfeiçoamento das ideias que conceberam o Cálculo Diferencial, devido às três leis
do desenvolvimento planetário de Johannes Kepler (1571-1630). “Kepler observou que os
incrementos de uma função tornam-se infinitesimais nas vizinhanças de um ponto de máximo
ou de mínimo comum. Fermat transformou esse fato num processo para determinar, esses
pontos de máximo ou de mínimo” (EVES, 2004, p. 429), e os resultados obtidos oriundos
desses estudos possibilitaram o desenvolvimento da astronomia newtoniana e do Cálculo
Diferencial.
Pierre de Fermat (1601-1665) estudou os trabalhos de Arquimedes, de Apôlonio: retas
máximas e mínimas, normais e tangentes, sem aplicabilidade na época em que foram criados,
entretanto, depois de 1800 anos, veio a ser a base fundamental para a dinâmica terrestre e a
mecânica celeste. Estudou
também os trabalhos de Diofenato e Pappus que em geral,
constituiu para Fermat a união perfeita
das propriedades geométricas com equações
algébricas, conhecida por Geometria Analítica (1629) que vinculou a aritmética a geometria.
No mesmo ano da criação da Geometria Analítica, ele encontrou um método conhecido por
Diferenciação de Fermat, que consiste em determinar máximos e mínimos e encontrar
tangente a uma curva. “Newton afirmou – numa carta descoberta apenas em 1934 – que suas
primeiras ideias próprias acerca do Cálculo vieram diretamente da maneira pela qual Fermat
traçava tangentes” (SIMMONS, 1925, p. 696). Os cálculos feitos por Fermat já tinham a ideia
do infinitamente pequeno.
Stewart (2006), relata que o primeiro matemático a desenvolver as ideias de limite
como alicerce do Cálculo diferencial foi sir Isaac Newton (1642 – 1727), a exemplo segue um
trecho retirado de seu livro Philosophiae naturalis principia mathematica (Princípios
Matemáticos da filosofia Natural), escrito 1663-1666, publicado em 1687 em que ele explica
a teoria das primeiras e última razões.
45
[…] essas razões últimas com as quais as quantidades se desvanecem não
são verdadeiramente as razões das quantidades últimas, mas os limites para
os quais as razões das quantidades convergem,decrescendo sem cessar; e dos
quais se aproximam mais que qualquer diferença dada, nunca indo além dos
limites, nem efectivamente os atingindo, até que as quantidades diminuam
infinitamente. [...] as quantidades e as razões de quantidades que em
qualquer tempo finito convergem continuamente para a igualdade e, antes do
final desse tempo, se aproximam umas das outras mais do que qualquer
diferença dada, tornam-se finalmente iguais (Principio I, Sect. I , Lemma I
Apud PIRES, 2004, p. 48)
Compreende-se que as razões últimas se referem a
, e que os infinitésimos
eram as quantidades evanescentes (que desaparecem), que eram consideradas ora como
desprezíveis ou às vezes como nulas. Estas são as explicações sobre o cálculo de flúxions (o
espaço percorrido deu o nome de fluente e a velocidade o nome fluxões) que foi uns dos
primeiros esforços científicos de Newton, em 1663. E em 1666, escreveu o Método inverso
das Fluxões (a derivação e a integração eram operações inversas). Para Newton, movimento
era o alicerce fundamental para curvas, tangentes e fenômenos relacionados. O seu último
trabalho intitulado Method of Fluxions foi publicado em 1736, nele pode-se perceber o
conceito de limite com uma melhor formulação, de acordo com Pires (2004).
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), semelhantemente através de vários estudos,
desenvolveu as ideias que fundamentaram o Cálculo Diferencial. Em 1672 encontrou
Christiaan Huygens (1629 – 1695) que o influenciou a conhecer a Matemática, por meio dos
trabalhos de René Descartes (1596 – 1650) e Pascal (1623 – 1662). Em 1673, comprou um
exemplar das Lectiones geometricae de Issac Barrow. Mas as ideias de Leibniz só ficaram
claras quando “[...] leu a carta de Amos Dettonville sobre Traité dês sinus Du quart de cercle
[...]. Percebeu então, em 1673, que a determinação da reta tangente a uma curva dependia da
razão das diferenças das ordenadas e das abscissas, quando essas se tornarem infinitamente
pequenas [...]” (BOYER, 2010, p. 276). Expôs o seu Cálculo Diferencial em 1684 intitulado
por “Um novo método para achar máximos e mínimos e também para tangentes que não é
obstruído por quantidades irracionais”. Todavia, o raciocínio de Newton estava mais próximo
dos modernos fundamentos do Cálculo Diferencial, do que os de Leibniz, mas as notações e
as demonstrações de Leibniz foram mais compreensíveis, e assim obtiveram maior aceitação.
A noção de limite de Newton e Leibniz não era clara, a precisão da definição sobre
limites como se conhece, foi dada por Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783), pois ele
percebeu a importância central do limite no Cálculo Diferencial. A definição mais precisa e
elegante possível do cálculo diferencial é que a derivada é o limite de certas razões quando os
46
numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que este limite produz
certas expressões algébricas que chamamos de derivada.
[...] d’Alembert achava que a verdadeira metafísica do Cálculo se
encontraria na ideia de limite. [...] afirmou que a diferenciação de equações
consiste simplesmente em achar os limites da razão de diferenças finitas de
duas variáveis na equação. [...] d’Alembert insistia que uma quantidade é
alguma coisa ou é nada: se é algum a coisa, não desapareceu ainda; se é
nada, ela literalmente desapareceu. A suposição de que há um estado
intermediário entre esses dois é uma quimera (BOYER, 2010, p. 311).
Todavia, ainda não havia a exatidão devida sobre limites, fato que só ocorreu em
1823, pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857), que usou a aritmética,
dispensando a geometria e os infinitésimos. Atualmente se usa a definição de continuidade em
analogia a de Cauchy de acordo com Boyer (2010).
As simbologias deltas e épsilons foram incorporados por Karl Weierstrass definindo
de modo mais sucinto o conceito de limite: “[...] parecendo banir definitivamente do cenário
do Cálculo os fluxões e os infinitésimos, com suas vaguezas ou obscuridades. Desta forma, a
derivada e integral passaram a ser definidas em termos de conceito de limite [...]”
(MACHADO, 2011, p. 159).
Nota-se que esta ciência milenar foi estruturada a partir de conceitos que
presumidamente pode ser reaparição de uma ideia muito mais antiga, que foi aprimorada em
cada época que reapareceu. Construída com empenho de muitos matemáticos, em meio a
especulações e críticas.
3.2 Derivada de uma função
Conforme Matui (1999), a compreensão dos conceitos e definições que envolvem um
conhecimento só poderá ocorrer mediante a relação do estudante com o objeto de estudo.
Neste processo o aluno coleta os dados, observa suas características, assimila e acomoda-se
(ação sobre o objeto). Conhecer é dar formato a este objeto através da intuição e
entendimento. Para se envolver com o conhecimento é preciso obter algumas informações
preliminares ao seu respeito. Entende-se por aula construtivista, dois planos de níveis de ação
do professor: as atividades e o nível de conceituação do objeto. Através das atividades
objetiva-se a interação aluno/matéria, que exemplificando ainda não é o conhecimento
47
verdadeiro. É só no nível de conceituação que a matéria recebe a forma pela atividade
pensante ou esquemas de assimilação do aluno. Neste contexto o que se busca nesta pesquisa
é o coeficiente angular de uma reta que irá tangenciar uma dada curva. Mas, o que é um
coeficiente angular?
3.2.1 Inclinação ou coeficiente angular de uma reta
Seja s uma reta não paralela ao eixo y, e o ângulo que a reta forma com o eixo x,
medido do eixo para s no sentido anti-horário.
y






x











Figura 1: Inclinação da Reta
A tangente ao ângulo é a inclinação da reta s. Denomina-se coeficiente angular da reta
s o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação.
(1)
Podem ocorrer quatro casos:
1º caso:
2º caso:
s

y
y
tang


s









x










Figura 2: Ângulo Agudo

x










Figura 3: Ângulo Obtuso

48
3º caso:

4º caso:
y


y

s







s

x





.



x







Figura 4: Ângulo reto. Tangente
Vertical







Figura 5: Tangente Horizontal
Em análise aos gráficos, observa-se que o ângulo
é o único tal que se encontra entre
. E para se calcular o coeficiente angular:
Considere a reta r que passa pelos pontos
que forme com o eixo x um ângulo de medida
No 1º caso:
, com
e
Considerando as relações trigonométricas,
No 2º caso:
(
a)
Figura 6: Cálculo do coeficiente angular
Fonte: (GIOVANNI & BONJORNO, 2005, p. 35)
Do Triângulo ABC:
Do Triângulo ABC:
Portanto, para os dois casos:
(2)
49
A variação
é a fórmula para se encontrar o coeficiente angular da reta, mas também
é usada para se encontrar a velocidade escalar média, então se tem um dos motivos mais
relevantes para a criação da Derivada: a necessidade de se chegar a uma forma de estudo do
comportamento de objetos em movimento em cada instante de sua trajetória. A ferramenta
matemática que Newton precisava para estudar o movimento planetário e explicar
analiticamente as leis empíricas de Kepler e chegar à Lei de Atração Universal de acordo com
Pires (2004).
Para modelar, na abordagem construtivista, é preciso que o aluno tenha todas as
informações necessárias para compreender o estudo, dentre outras, algumas se destaca como:
1) Identificar o nome do que será estudado;
Derivada: forma de reconhecê-la é através de suas terminologias e notações que
expressão o processo de derivar (diferenciar) uma função.
Seja
uma função definida por
, obteremos uma nova função a partir do
processo de derivação ou diferenciação. Pode-se identificá-las através das seguintes notações,
de acordo com Giovanni & Bonjorno (2005):

(lê-se derivada de y, derivada de x ou derivada da f) por Newton em
(1642-1727).

(lê-se derivada de y em relação à x ou derivada da f de x em
relação a x) por Leibniz (1646-1716).



(lê-se y linha; f linha de x) por Lagrange em (1736-1813)
(lê-se derivada de f de x) por Arbogast em (1759-1803)
(lê-se derivada de y em relação à x) por Cauchy em (1789-1857)
2) O porque precisa-se conhecer?
A princípio a criação da Derivada pelos matemáticos do século XII tinha o objetivo
de descrever a variação de um objeto em movimento, em um dado instante, considerando o
quociente de quantias infinitesimais. Entretanto na medida em que os conhecimentos se
aprofundaram, por meio de pesquisas, Newton um de seus criadores, percebeu que o cálculo
de derivadas e antiderivadas podiam resolver o problema da tangente, o problema da
velocidade e da aceleração, o problema de máximos e mínimos e o problema da área.
3) O que é necessário saber?
A ideia principal da Derivada no Cálculo Diferencial se baseia em encontrar o
coeficiente angular de uma reta
, m o coeficiente angular também é conhecido
50
como taxa de variação
. Que será calculado como limite da reta que antes era secante a
curva se tornar tangente a ela em um ponto dado (x0). A partir da variação de duas variáveis
relacionadas por uma função y = f (x), então a taxa da variação instantânea de y em relação à x
no ponto x0 consiste em encontrar uma nova função através da diferenciação.
O método de encontrar reta tangente a uma curva qualquer, com precisões geométricas
e analíticas adequadas, só ocorreu em 1630 por Pierre de Fermat (1601-1695).
Figura 7: Quando
tende para zero, a reta secante tende para a reta tangente
Fonte: (LARSON. HOSTETLER. EDWARDS, 1998, p. 87)
A Figura 7 mostra que a Derivada se baseia no quociente de quantidades
infinitesimais, de acordo com Ávila (1994) fazendo as diferenças
forma infinitesimal de zero, sem contudo
e
se aproximar de
, pois teríamos uma indeterminação 0/0.
Tomando um ponto P fixo dado e Q um ponto variável próximo a ele sobre uma curva
e traçando uma reta secante a curva nos pontos PQ. Para se obter uma reta tangente
a curva, a reta secante variável vai convergir passando por infinitos pontos ao longo da curva
até chegar à posição limite P. A análise do intervalo determinado pelos extremos P e Q, a
trajetória que o ponto Q faz sobre a curva nos levará a considerações importantes sobre
variações e coeficiente angular.
A reta tangente tem por finalidade tocara curva em determinado ponto e o da
Derivada é encontrar a declividade desta reta neste ponto. Para obter esta inclinação
conhecida como o coeficiente angular que a reta tangente forma com o eixo das abscissas,
considere-se
e Q=
P = (x0,
0))
um
ponto
arbitrário
fixado
na
curva
) um segundo ponto próximo a P, em seguida desenha-se a reta secante PQ,
representada na Figura 8.
51
Figura 8: Reta Secante
Seja uma função real e
segundo número no domínio de
como um número fixo no domínio de
, com
, a reta
e
como um
, que passa pelos pontos
, é chamada reta secante ao gráfico de
com o coeficiente
angular (ou inclinação) dada por
Para que a reta secante a
, no ponto P, basta fazer
aproxime da
nos pontos P e Q se torne tangente ao gráfico da
se aproximar indefinidamente de
e encontre em P
se
a posição limite ao qual possa convergir. Para
que isso ocorra a distância entre as abscissas
conhecida como a variação
tão pequena de modo a tender a zero, expressamos “
reta
, de modo que a
deve ser
”. Quando esse processo ocorre a
que antes era secante ao gráfico nos pontos PQ move-se ao longo da curva convergindo
ao ponto fixo, onde se tornará tangente em P, como mostrado na Figura 9.
Figura 9: Reta Tangente
O coeficiente angular (ou inclinação) da reta tangente
ao gráfico
ponto P é o valor limite aproximado pelo coeficiente angular da reta secante
no
, será
52
expresso pelo símbolo
que tem por significado “se aproximar”, ou “convergir” ou a
formar mais usada “tender”. Este processo é conhecido como derivar uma função no ponto
também é o limite, caso exista da diferença finita ou razão incremental quando
algebricamente expresso pela equação (3), princípio que pode ser aplicado para o gráfico de
qualquer função.
A derivada de uma função em um ponto
de seu domínio é o coeficiente angular da
tangente geométrica ao gráfico da função no ponto
. Também é vista como o
limite da taxa de variação de uma função. E para determinar a equação da reta neste ponto
temos que
é apenas uma notação para determinar o valor do limite de uma função, e
y = f(x), assim a equação da reta s é dada por
3.2.2 Derivada de uma função num ponto
Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo o ponto
seu domínio o
simbolizada por f’(x0) e dada por
de
quando existe e é finito, denomina-se derivada de f em x0,
desde que o limite exista. Se
f admite derivada em x0, então diz-se que f é derivável ou diferenciável em x0. O domínio da f’
função derivada é o conjunto de todos os números de x no domínio da f função para os quais
o limite do quociente da diferença existe. Quando se fala em um intervalo aberto, em que uma
função f é definida por y = f(x) subtende-se que seu domínio seja ]a,b[ se o é para todo c em
]a,b[ , refere-se às funções diferenciáveis em intervalos da forma ]
. Tradicionalmente encontram-se outras notações onde o símbolo
ser expresso por h.
pode
53
À medida que o ponto Q = (x, f(x)) se aproxima de P = (x0,f(x0)), a variação
tende à zero, Todavia
imaginar-se que
pode assumir valores positivos ou negativos neste processo. Se
assume valores exclusivamente positivos, então o ponto Q se aproxima de
P pela direita.
3.2.3 Diferenciabilidade e continuidade
Mas pode-se também imaginar que esteja assumindo valores estritamente negativos e,
neste caso, o ponto Q estará se aproximando de P pela esquerda. Este caso se aplica a
intervalos fechados onde se adota uma convenção semelhante à definição de continuidades
em um intervalo fechado. São os limites laterais que determinam se a função de f é
diferenciável em todos os pontos de seu domínio em um intervalo aberto e fechado.
Definição: Uma função f é diferenciável em um intervalo fechado [a,b], se é
diferenciável em um intervalo aberto (a,b) e se existem os seguintes limites:
Essa definição especifica a derivada à direita de f em a e a derivada à esquerda de f em
b em um intervalo fechado [a,b]. Se ocorrer da função f não estiver definida fora do intervalo
fechado, as derivadas à direita e a esquerda permitem determinar o coeficiente angular da reta
tangente nos pontos P = (a,f(a)) e R = (b,f(b)), observe na Figura 10.
54
Esta forma determina a diferenciabilidade em intervalos [a,b[ ; [a,∞[; ]a,b] ou]-∞,b] ,
utilizando-se o limite lateral em um extremo. Tome-se um de seus extremos em que a f esteja
definida em um intervalo aberto contendo a, então a f (a) existe se e se somente se existem
ambas as derivadas à direita e à esquerda, e se ambas são iguais.
Então a f será contínua no ponto a, isso acontece quando o limite de uma função
coincide com o seu valor no ponto para onde tende a variável x,
. Toda
função diferenciável é contínua, entretanto a continuidade de uma função não garante que ela
seja diferenciável neste ponto.
A Figura 11 apresenta algumas das funções que não são diferenciáveis, no ponto dado.
y
y
s
s1
2
x
a
x
a
aa
É continua e apresenta um nó no
ponto a
(a)
y
y
Não é continua
(b)
x
x
s2
a
s1
É continua e apresenta uma ponta em a
(c)
É continua e apresenta
Tangente vertical no ponto a
(d)
Figura 11: Funções não diferenciáveis
No gráfico 11(a) mostra que o ponto a é um nó (ponto de intersecção) cuja tangente é
vertical. No gráfico 11(b) mostra a descontinuidade da função no ponto a. Nos gráficos 11(c)
o ponto a é uma ponta que resulta em uma tangente vertical e no gráfico 11(d) mostra que a
55
reta tangente no ponto a é vertical, perpendicular ao eixo Ox, como se sabe não se define
coeficiente angular de retas verticais, pois não existe tg 90º, seria indefinida, cuja posição
coincidiria com o eixo da ordenada.
As funções cujos gráficos foram esboçados, Figura 11 (a) e (c) e Figura 10
demonstram a derivada à direita e à esquerda de a, através das retas s1 e s2 .Observe que os
coeficientes angulares de s1 e s2 existem e são distintos em um determinado ponto, diz-se que
este é um ponto anguloso do gráfico da função, então o gráfico da f apresenta retas tangente à
direita e à esquerda (a,f(a)) diferentes, isto implica a f não é derivável em a e que a f’(a) não
existe.
Este processo estuda as variações de funções, em um intervalo dado quando se calcula
a derivada de uma função encontram-se os sinais positivo e negativo nos intervalos de
continuidade, os valores encontrados anulam essa derivada.
Exemplo 3.2.1
Em análise dos termos algébricos e gráficos, da função f(x) = (x-1)|x+2|, define-se o
módulo de um número real como o valor absoluto da expressão:
A função dada será reescrita considerando as propriedades do valor absoluto de um
número:
Usando a definição, encontrarem-se as derivadas laterais no ponto da abscissa
segue os dados:
Derivada lateral à direita
o ponto obtido
56
é o deslocamento da função pela direita no ponto (-2 ,0).
Derivada lateral à esquerda
f(-2) = (-2)2+(-2)-2 = 0
Para representar graficamente, é necessário aplicar a equação da reta tangente:
57
As retas s1 com declividade 3 e s2 com declividade -3 são as derivadas laterais à direita
e a esquerda do ponto
, o fato de existirem e da função ser contínua não me garante
sua diferenciabilidade. Sendo as derivadas laterais distintas, conclui-se que a derivada
não existe. As retas s1 com declividade 3 e s2 com declividade -3 são as derivadas laterais à
direita e a esquerda do ponto
, o fato de existirem e da função ser contínua não me
garante sua diferenciabilidade. Sendo as derivadas laterais distintas, conclui-se que a derivada
não existe.
No entanto, a diferenciabilidade de uma função não se adquire somente através de se
calcular limites, outros métodos garantem a possibilidade de se obter a derivada de certas
funções a partir das derivadas de outras funções, que são as regras gerais que simplificam o
trabalho de se diferenciar.
3.3 Derivadas de Funções Elementares
De acordo com Larson (1998), três categorias de funções se revelaram de grande
utilidade em modelar situações que ocorrem na natureza durante o desenvolvimento do
Cálculo, observados durante os últimos 300 anos. São elas, as Funções Algébricas (funções
polinomiais, funções racionais e funções radicais), as Funções Exponenciais e Logarítmicas e
as Funções Trigonométricas.
Todas as Derivadas são obtidas a partir do conceito de limite de uma função, o
quociente da diferença. Ter êxito derivando através da definição irá depender da simplicidade
58
de algumas funções, sendo necessários conhecimentos prévios, se estes forem frágeis é bom
que se tenha em mãos fórmulas, propriedades, identidades trigonométricas entre outras
informações da Matemática Elementar.
3.4 Regras de derivação
Todas as regras de derivação foram obtidas a partir do Conceito Fundamental do
Cálculo, Limite e é pela definição
que elas foram estabelecidas e
em decorrência de f e g serem funções deriváveis em todos os pontos de seu domínio,
garantem o enunciado a seguir.
3.4.1 Teorema da função derivável: Sejam f e g funções deriváveis em x, e c um
número real, então as funções
e
são funções deriváveis em x, um real dado
então:
1) Derivada do Múltiplo constante
2) Derivada da Soma e Subtração de funções
3) Derivada do Produto de funções
4) Derivada do Quociente de funções
3.4.2 Teorema da função composta: Sejam duas funções f e g que procedem das
operações como soma, produto ou quociente de funções algébricas com números reais. E se
g é uma função derivável em x, um real dado e f é derivável neste número g(x), então a
composta
é derivável em x.
59
5)
Derivada da Função Composta ou Regra da cadeia.
A forma mais comum de encontrar a Regra da Cadeia é através das notações em que
é expressa
3.5 Derivada de Ordem Superior
A Derivada fornece informações precisas acerca do comportamento e variação de uma
função em um dado intervalo. Tais informações facilitam o esboço do gráfico que representa a
função, pois dentro de um determinado intervalo mostra se a função é contínua, se está
definida neste intervalo ou não, se a função é crescente ou decrescente, quais os pontos
máximos e mínimos, que são os chamados pontos críticos, pontos do gráfico em que
ocorrem mudanças de concavidade, lugares em que a inclinação da reta tangente é zero ou
não existe (tangente vertical). Entretanto é preciso averiguar se há crescimento antes do ponto
crítico e depois decrescimento, para então determinar se este é um ponto de máximo ou
mínimo local, entre outros conhecimentos que surgem a partir de se derivar uma função mais
de uma vez, que para serem compreendidos necessitam serem bem fundamentados por
definições e teoremas.
Dada uma função
obtém a função derivada f'(x), se derivar novamente
obtêm-se a derivada segunda de f(x), tal procedimento pode se
repetir n vezes até derivada n-ésima, ou derivada de n-ésima ordem, ou ainda derivada de
ordem n da f(x),representada assim:
Entretanto, esta pesquisa limita-se a derivada primeira, onde se pretende estabelecer
as relações necessárias para chegar ao conceito de definição.
60
3.6 A Derivada de primeira ordem
Os critérios que se relacionam com a primeira Derivada que serão estudados aqui
serão:
a) O crescimento e decrescimento de uma função no interior de um intervalo sem considerar
seus extremos;
b) Os pontos críticos para que se possa estabelecer os valores de x para os quais f’(x) = 0 ou
em que f’(x) não existe.
E para o seu estudo, deve-se considerar:
3.6.1 Teorema do Valor Médio (TVM): Seja f continua em um intervalo fechado [a,b]
e derivável em um intervalo aberto (a,b), então existirá um c em (a,b) que
Em termos gráficos representam duas retas paralelas, s e t. A reta s passa
por dois pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), cujo número
é o seu coeficiente angular.
Então existirá pelo menos um ponto contido neste intervalo (a,b), em que
tal que ele seja da reta s ou da reta t, assim
como demonstrado na Figura 13.
Figura 13: Teorema do valor médio
Pode-se concluir em análise a Figura 13, que f apresenta mudança de comportamento
em relação ao crescimento dentro de um intervalo aberto (a,b), então f possui pontos críticos
61
em (a,b). Que são determinados quando o coeficiente angular da reta tangente (Derivada)
assume valores positivos ou negativos.
Em consequência ao Teorema do Valor Médio (TVM), pode-se determinar desde que
não haja pontos críticos em (a,b) se f’ é positiva f é crescente e se f’ é negativa, então a f é
decrescente.
3.6.2 Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Teorema 3.6.3: Seja f uma função continua e diferenciável em I = (a, b), um
intervalo contido em seu domínio em que não há pontos críticos, pode-se utilizar a derivada
para determinar se a função é crescente ou decrescente no interior deste intervalo.
f(b)
f(a)
f(b)
f(a)
a
Figura 14:
b
a
b
Figura 15:
3.6.4 Pontos Críticos
Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função continua
é preciso conhecer em que ponto a Derivada muda de sinal.
críticos em que a
São os chamados pontos
(não está definida), ver Figura 16 (a) e (b).
62
Figura 16: Pontos Críticos relativos
Uma vez conhecidos estes pontos críticos em que f seja continua, deve-se estabelecer
se este ponto garante a mudança de comportamento de f quanto ao seu crescimento. Pontos
conhecidos por extremos locais ou relativos.
Definição 3.6.4- Máximos e Mínimos: Seja f uma função definida em c e (a,b) um
intervalo contendo c.
(i) f(c) é um máximo local de f, se c estiver contido em (a,b), tal que
para todo x
em (a,b).
(ii) f(c) é um mínimo local de f, se c estiver contido em (a,b), tal que
para todo x
em (a,b).
Se f tem de máximo local e mínimo local quando x = c, então c é um ponto crítico de f , tais
situações pode ocorrer como:
A Figura 17 mostra a interpretação gráfica de várias situações que podem ocorrer:
(a)
(c)
(b)
(d)
Figura 17: Pontos Críticos
Fonte: (LARSON.HOSTETLER.EDWARDS. 1998, p.163)
63
Assim, alguns critérios devem ser instituídos:
Seja f uma função continua no intervalo (a,b) e c é o único ponto crítico de f nesse
intervalo, então uma das quatro situações abaixo ocorre:
(a)
(b)
(c)
(d)
Em síntese, pode-se orientar seguindo algumas etapas:
1) Dada uma f(x), calcula-se f’(x)
2) Resolve-se a equação f’(x) = 0
3) Sendo x1 e x2 raízes de f’(x), estuda-se o sinal de f’(x) em x1 e x2

Se passar de positiva a negativa, há um ponto de máximo.

Se passar de negativa a positiva, há um ponto de mínimo.

Nos demais casos há pontos de inflexão.
Exemplo 3.6.5 Aplicação dos critérios (a) e (b)
Determine os máximos e mínimos locais da função
Resolução:
Calcular a Derivada primeira
Igualando a 0 a Derivada primeira
Pondo em evidência o fator comum
Fatorando
Pontos críticos
64
Estudo do sinal de f’(x) em x1 e x2
(x - 3)
- - - - - - - - - - - - 3 + + +
- - -2+ + + + + + + + + +
(x+2)
2
Estudam-se os intervalos
3
e
em que
e
e
conclui-se que:
Figura 18: Máximos e Mínimos relativos
Fonte: (LARSON.HOSTETLER.EDWARDS. 1998, p.163)

No intervalo
então f
crescente;

No intervalo

No intervalo
então f decrescente;
então f crescente
Figura 19: Máximos e Mínimos relativos
Fonte: (LARSON.HOSTETLER.EDWARDS. 1998, p.163)
65
Portanto, a partir da Derivada primeira pode-se determinar que o ponto crítico -2
fornece um máximo relativo, porque f’(x) muda de sinal positivo para negativo, e que o ponto
crítico 3 fornece um mínimo relativo, pois a f’(x) muda de sinal negativo para positivo.
3.7 Algumas Aplicações
As aplicações têm por objetivo reforçar a aprendizagem dos conteúdos já estudados e
mostrar a utilidade destes. Entretanto, ao resolver problemas nesse contexto, a dificuldade da
maioria dos alunos reside na busca de uma tradução do problema para a linguagem
matemática.
Serão empregadas algumas das noções e teorias estudadas nesta pesquisa, com a
finalidade de se obter conclusões e previsões de situações que vão desde problemas triviais
dos vivenciados no dia a dia, a questões mais sutis que surgem em outras áreas, quer
científicas, tecnológicas ou sociais.
3.7.1 Pressão sanguínea
Na medida em que o sangue corre do coração pelas artérias principais para as capilares e de
retorno pelas veias, a pressão sistólica cai continuamente (ver Figura 22). Considere uma
pessoa
cuja
pressão
sanguínea
P
(em
milímetros
de
mercúrio)
é
dada
por
Onde t é medido em segundos. A que taxa está variando a pressão sanguínea, 5 segundos após
o sangue deixar o coração?
Va Figura 20: Figura20:Variação da pressão sanguínea
Fonte: (LARSON. HOSTETLER. EDWARDS. 1998, p.122)
66
Solução:
Para resolver este problema, encontraremos uma nova função através da derivação e
assim, obteremos a medida da pressão no instante dado, aplica-se neste processo a Regra do
Quociente
onde u e v representam a 1ª e 2ª função, numerador e denominador.
A pressão está em função do tempo, logo:
A simples aplicação da regra, no entanto, não está de acordo com toda a noção
construtivista abordada do trabalho. Portanto é preciso que o professor, ao apresentar o
problema, instigue os alunos para que, partindo dos conhecimentos que eles já adquiriram ao
longo das discussões teóricas, sejam capazes de resolver o problema.
3.7.2 Rastreando um avião pelo radar
Segundo Alves Neto (2008), em 2006 teve início o Projeto Avião que Voa Sozinho
(AqVS), cuja plataforma aérea utilizada foi um motoplanador elétrico autônomo, de
decolagem por arremesso manual (hand-launched). Esse UAV de pequeno porte (SUAV) foi
embarcado com um receptor GPS para localização espacial, sensor de pressão absoluta para
estimar a altitude, microcâmera para a aquisição de imagens e unidade de aquisição de dados
em vôo para controle de navegação (Iscold, 2007).
67
Figura 21: Avião rastreado pelo radar. Projeto AqVS: primeiro
VAANT de pequeno porte da UFMG (Iscold, 2007). Fonte: (ALVES
NETO. 2008, p.11)
E esteve voando a uma altitude de 6 milhas passando sobre uma estação de rastreamento por
radar. Seja s a distância entre a estação de radar e o avião. À distância s diminui à razão de
400 milhas por hora quando s é 10 milhas. Qual é a velocidade do avião?
Resolução:
Nesta aplicação o aluno deve identificar as variáveis envolvidas, saber que já foi dada
a ele uma taxa de variação, ou seja, a derivada da distância. E que a equação é obtida
através do Teorema de Pitágoras, a qual relacionará a altitude, à distância e a velocidade,
uma função composta, que nos remete a Regra da Cadeia, em que as grandezas x e s estão
variando em relação ao tempo. Observe que a distância diminui à razão de 400 milhas e só
substituir os valores das variáveis após derivar.
Variáveis
68
.
3.7.3 A Catenária
É uma curva que representa um cabo flexível e inextensível, suspenso em dois pontos
e sujeito a seu próprio peso, toma forma do gráfico de um co-seno hiperbólico. De acordo
com Larson (1998), representa um fio telefônico esticado entre dois postes, que toma a forma
de uma curva em U, dada pela função:
Modelo de um fio telefônico distendido entre dois postes separados por uma distância
de 60 pés. Quanto o fio cai entre os dois postes?
30
30
Figura 22: A Catenária
Resolução:
Uma expectativa de aprendizagem aqui é conduzir o aluno a analisar o gráfico, devese considerar qual é a altura do poste e o valor mínimo da altura entre eles.
Como tem-se uma função composta, usa-se a Regra da Cadeia
obtém-se com a Derivada primeira o ponto crítico relativo (mínimo local).
, tal que
69
Para determinar o quanto o fio cai entre os dois postes, analisaremos f(x) quando:
Quando
Quando
Os postes da direita e da esquerda têm
encontra-se uma queda de 7,7 pés entre os dois postes.
e no ponto médio
, subtraindo
70
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho de conclusão de curso discutiu em uma perspectiva de construção de
conhecimento, como este ocorre e buscou-se compreender o que acontece quando o aluno se
dispõe a aprender e não consegue. Tomou como ponto de partida a experiência da
pesquisadora, não somente com a Derivada, mas com a disciplina Cálculo Diferencial e
Integral, uma síntese de vários momentos enquanto discente obtida durante o curso e
evidenciou a importância de uma teoria como norteadora das ações pedagógicas.
A análise dos documentos elencados para esta pesquisa não ambicionou dar conta da
totalidade de implicações que influenciam o ensino/aprendizagem. Mas em alguma medida,
procurou-se compreender que a aprendizagem é um processo que não ocorre de forma
significativa sem o conhecimento do discente sobre os conceitos, que de uma maneira simples
de definir, seria a lógica de uma ideia, que a mente percebe e depois de conhecer as várias
formas e categorias ao qual o objeto pertence lhe dá forma.
As contribuições de uma Monografia não se restringem ao seu resultado final, mas a
um repertório de contextos que embasam a teoria e prática de um graduando, que desde os
assuntos abordados, perpassando pelos procedimentos metodológicos e a perspectiva
construtivista aqui proposta, embora tenham um objetivo intrínseco à Monografia, também é
um produto de compartilhamento para que outros graduandos e professores, possam adaptálas à sua sala de aula como faz esta pesquisadora. Que percebeu em sua prática, que a
construção de conhecimento depende da reconstrução dos velhos conhecimentos.
Para Ávila (1994), o ensino da Derivada pode ser tão simples que pode ser ministrado
na 1ª série do 2º grau, dando ao professor de Física a ferramenta necessária ao estudo da
Cinemática que é a análise da velocidade e aceleração, se antes forem estabelecidos
conhecimentos sobre a equação da reta e funções, considerando apenas alguns conceitos
básicos da Derivada de forma bem justificada sem as análises sistemáticas do Limite como
Teorema Fundamental do Cálculo.
Entretanto, Giovanni & Bonjorno (2005) introduziu Limites e Derivadas na 3ª série do
Ensino Médio. Antes de formalizar (sem rigor matemático), fez ilustrações que simplificaram
o conceito de Limite. Primeiro explicou a Taxa de variação média, depois apresentou a
Derivada, e caracterizou-a como a ferramenta que fornece a rapidez com que a função varia
em um ponto dado, determinando a velocidade e aceleração. Explicou a Derivada da soma e
71
subtração, da multiplicação, do quociente a regra da cadeia. Estudou a variação das funções
estabelecendo os critérios da primeira e segunda Derivada, Máximos e Mínimos, em seguida,
passou vários exercícios de aplicação.
Balbino & Francalossi (2012) semelhantemente consideraram esta perspectiva, e
comprovaram que o conceito da Derivada justificada pelo uso de infinitésimos, pode ser
explicado do ponto de vista epistemológico através de uma história para crianças e adultos.
Considera difícil para os calouros provenientes do Ensino Médio brasileiro o conceito de
Derivada alicerçado no conceito de Limites.
Os desafios que se encontram no processo de ensino e aprendizagem de qualquer
conteúdo exposto de ordem científica e formal são inúmeros, e para que o aprendiz se torne
proficiente é preciso utilizar-se de mecanismos de autoavaliação. Se lhe faltam conhecimentos
da matemática elementar o caminho é adquiri-los. No entanto, se o aprendiz não tem tal
ciência o professor construtivista orienta e indica.
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