0.1
Expansão em Série de Taylor de Uma Função
Numa análise de propriedade de uma função, um conceito fundamental é a expansão em série de Taylor de uma função. Seja f = f (x) uma função arbitrária,
contínua e suave. Gostaríamos de estudar o comportamento desta função em
torno de um certo ponto fixo, digamos x = x0 . Naturalmente o valor da função
no ponto x = x0 é f (x0 ). Queremos saber como o valor da função varia quando
x = x0 + ε, onde ε = δx ≡ x − x0 é uma quantidade bem pequena.
Para estudar este problema, vamos ver a figura abaixo.
y=f(x)
y=f(x ) + f'(x )(x-x )
0
0
0
x
0
x
Fig.1
A reta indicada é a reta tangente desta função no ponto x = x0 . Aqui,
¯
df ¯¯
0
f (x0 ) =
dx ¯x=x0
é a derivada no ponto x = x0 . Esta figura mostra que, quando x é muito
próximo do x0 , a reta tangente praticamente coincide com a função f (x) em si.
Isto é,
f (x) ' f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) ,
ou seja definindo o novo variável ε por ε = δx = x − x0 , podemos escrever
f (x0 + ε) ' f (x0 ) + f 0 (x0 ) ε.
Exercício: Calcule o erro da expressão (1) nos seguintes casos:
1.
f (x) = exp(x), x0 = 0, δx = 0.2
2.
f (x) = cos(x), x0 = 0, δx = 0.2
3.
f (x) = sin(x), x0 = 0, δx = 0.2
1
(1)
4.
f (x) = sin(x), x0 = 0, δx = 0.5
Vejamos que, de fato, a aproximação (1) é bastante boa enquanto δx é
pequeno. Mas, naturalmente a aproximação vai piorando na medida que δx
se torna maior. Para melhorar a aproximação, podemos incluir a dependência
quadrática em δx como
f (x0 + ε) ' f0 + f 0 (x0 )ε + C ε2 ,
(2)
onde C é uma constante a ser determindada. Naturalmente esta expressão ainda
é uma aproximação e não é possível que os dois lados se tornem idênticos como
função de ε. Por outro lado, a aproximação linear (Eq.(1, ou os primeiros dois
termos da Eq.(??) acima) já ajustava a curva no ponto x = x0 até a derivada.
Assim, para melhorar aproximação em torno de x = x0 , é interessante que o
último termo na Eq.(??) ajustasse a segunda derivada da curva no ponto x = x0 .
Temos
¯
d2 f (x0 + ε) ¯¯
= f 00 (x0 ),
¯
dε2
ε=0
e
¢
d2 ¡
f0 + f 0 (x0 )ε + C ε2 = 2C.
dε2
Escolhendo
1
C = f 00 (x0 ),
2
teremos
1
f (x0 + δx) ' f0 + f 0 (x0 )δx + f 00 (x0 ) (δx)2 ,
(3)
2
como uma aproximação melhor que a Eq.(1).
Exercício: Calcule o erro da expressão (3) nos casos do Exercício anterior.
Note que o termo quadrático em ε decresce rapidamente comparado com o
termo linear. Por exemplo, se ε = 0.1, ε2 = 0, 01, mas se ε = 0.001, então
ε2 = 0.000001, etc.
O procedimento acima sugere que podemos ir melhorando a aproximação
até obtermos uma expressão polinomial em ε que seja idêntica à função original.
Vamos então pôr
1
f (x0 + ε) = f0 + f 0 (x0 )ε + f 00 (x0 )ε2 + c3 ε3 + c4 ε4 + · · · + cn εn + · · ·
2
(4)
Os coeficientes c0i s podem ser determinados requerendo que todas as derivadas
em relação a ε dos dois lados no ponto ε = 0 devem coincidir. Por exemplo,
para a terceira derivada no ponto ε = 0 do lado esquerdo fica
¯
¯
d3
¯
f
(x
+
ε)
= f 000 (x0 ),
0
¯
3
dε
ε=0
2
no entanto, o lado direito fica
e portanto, temos
3 · 2 · c3 ,
1 (3)
f (x0 ),
3!
onde f (n) (x0 ) representa a n−esima derivada no ponto x0 . Em geral,
c3 =
cn =
1 (n)
f (x0 ) .
n!
(5)
(6)
Assim, temos
1 0
1
1
f (x0 )ε + f 00 (x0 )ε2 + · · · + f (n) (x0 ) εn + · · ·
1!
2!
n!
∞
X
1 (n)
f (x0 ) εn .
=
n!
n=0
f (x0 + ε) = f0 +
(7)
Podemos escrever tambem como
1
1
1
f (x) = f (x0 )+ f 0 (x0 ) (x − x0 )+ f 00 (x0 ) (x − x0 )2 +· · ·+ f (n) (x0 ) (x − x0 )n +· · ·
1!
2!
n!
A expressão acima é conhecida como a expansão em série de Taylor da função
f (x) em torno de x = x0 .
Exercício: Obtenha as séries de Taylor nos seguintes casos:
1.
sin(x), cos(x), ex
em torno de x = 0.
2. As mesmas funções em torno de x = π/2.
3.
ln(1 − x)
em torno de x = 0.
4.
1
1−x
em torno de x = 0.
Exercício: Verifique se as relações,
d
sin x = cos x,
dx
d
cos x = − sin x,
dx
Z x
dx
= − ln(1 − x),
1
−x
0
são válidas nas séries de Taylor correspondentes.
3
Exercício: Prove que
Z
x
0
1
dx = tan−1 x,
1 + x2
(8)
e usando a fórmula acima, obtenha a expansão de Taylor da função
tan−1 x
(9)
em torno de x = 0.
Quando a variação de x, ε for pequena, como vimos, podemos truncar a série
de Taylor dentro de uma precisão desejada. O truncamento de série de Taylor
em certa ordem de ε, digamos n = 2, é
f (x0 + ε) = f0 +
1 0
1
f (x0 )ε + f 00 (x0 ) ε2 + O(ε3 ),
1!
2!
¡ ¢
onde O δx3 significa “da ordem de ε3 ”, mostrando que os termos desprezados
não passam de uma quantidade pequena da ordem superior de ε3 . Ou seja, se
ε = 0.01, o termo de correção seria da ordem de 10−6 .
0.1.1
Raio de Convergência
A série de Taylor pode não convergir. Por exemplo, a série de Taylor,
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · ·
1−x
(10)
não é válida para |x| ≥ 1. Ou seja, o lado esquerdo é bem definida mesmo
|x| > 1,(exceto x = 1) mas o lado direto não é definida se |x| ≥ 1.
Exercício: Calcule os dois lados da Eq.(10) para os valores de x = 0.1, x = −2,
e x = 2.
Para uma dada série, o domínio de variável para o qual a série converge é
chamado de raio de convergência. No exemplo do exercício acima, o raio da
convergência da série da Eq.(10) é |x| = 1. Os raios de convergência das séries
de Taylor para sin (x), cos(x) e exp(x) são infinitas, ou seja, a série converge
para qualquer valor de x.
0.1.2
Variável complexa
Vamos ver um exemplo interessante da aplicação de série de Taylor. Já sabemos
que
1 3
1
1
x + x5 − x7 + · · ·
3!
5!
7!
1
1
1
cos (x) = 1 − x2 + x4 − x6 + · · ·
2!
4!
6!
sin (x) = x −
4
e
1
1
1
1
z + z2 + z3 + z4 · · · .
1!
2!
3!
4!
ez = 1 +
Em particular, se
z = ix
na última expressão, temos
eix = 1 + ix −
1 2
1
1
1
x − i x3 + x4 + i x5 + · · ·
2!
3!
4!
5!
(11)
A inspeção das expressões acima mostra que vale a segunte relação:
eix = cos (x) + i sin (x) .
(12)
Esta é conhecida como a relação de Euler, e é extremamente útil para tratar as
funções trigonométricas. Por exemplo,
eix · eiy = ei(x+y)
= cos (x + y) + i sin (x + y) .
(13)
mas
eix · eiy = (cos x + i sin x) (cos y + i sin y)
= cos x cos y − sin x sin y + i (sin x cos y + cos x sin y)
(14)
Igualando as partes reais e imaginárias das equações (12) e (13), temos as fórmulas de adição,
cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y,
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y.
Podemos obter a inversa da Eq.(12) como
eix + e−ix
,
2
eix − e−ix
.
sin (x) =
2i
cos (x) =
Exercício: Prove as relaçoes acima.
Exercício: Obtenha a fórmula que expressa
sin 3x
em termos de polinômio de sin (x) e cos (x).
0.1.3
5