Continuidade de uma função
Consideremos f : D f ⊆ ℝ → ℝ uma função real de variável real
(f.r.v.r.) e a um ponto de acumulação de D f que pertence a D f .
Diz-se que a função f é contínua em a se lim fx = fa.
x→a
Diz-se que a função f é contínua se f é contínua em qualquer
ponto do seu domínio.
Diz-se que f é contínua à direita em a se lim fx = fa;
x→a +
diz-se que f é contínua à esquerda em a se lim fx = fa.
x→a −
Da definição de limite segundo Cauchy, resulta que
f é contínua em a
sse
∀δ > 0 ∃ > 0 ∀x : x ∈ D f ∧ |x − a| <   |fx − fa| < δ
Da definição de limite segundo Heine, resulta que
f é contínua em a
sse
para qualquer sucessão x n , de elementos de D f ,
se x n → a então fx n  → fa.
Ana Matos - AMI 07/08
(versão de 29 de Outubro 07)
Acet. Continuidade 1
Prolongamento por continuidade
Sendo f e g duas funções com domínios D f e D g , diz-se que g é
um prolongamento de f (ou que f é uma restrição de g) se
D f  D g e ∀x ∈ D f ,
fx = gx.
Diz-se que f é prolongável por continuidade a a, sendo
a um ponto de acumulação de D f que não pertence a D f ,
se existe um prolongamento de f, com domínio D f ∪ a,
contínuo em a.
Proposição: Seja f : D f ⊆ ℝ → ℝ e a um ponto de acumulação
de D f , com a ∉ D f .
f é prolongável por continuidade a a sse existe (e é finito) lim fx.
x→a
Neste caso, o prolongamento por continuidade de f a a é a função
g : D f ∪ a → ℝ
definida por
gx =
fx
, se x ∈ D f
lim fx , se x = a
x→a
Exemplo:
O prolongamento por continuidade de
g : ℝ → ℝ definida por
gx =
Ana Matos - AMI 07/08
sin x
x
sin x
x
, se x ≠ 0
1
, se x = 0
(versão de 29 de Outubro 07)
é a função
.
Acet. Continuidade 2
Teoremas fundamentais das funções contínuas
Se a, b ⊆ D f , então diz-se que f é contínua no intervalo a, b
se f é contínua em a, b, é contínua à direita em a e é contínua à
esquerda em b.
Teorema de Bolzano (ou do Valor Intermédio):
Seja f : D f ⊆ ℝ → ℝ uma função contínua em a, b, com a < b.
Então, para qualquer k estritamente compreendido entre fa e
fb, existe pelo menos um c ∈a, b tal que fc = k.
Intuitivamente,
uma função contínua num intervalo não passa de um valor a
outro sem assumir todos os valores intermédios.
Corolário 1: Se f é contínua no intervalo a, b e não se anula em
algum ponto de a, b, então em todos os pontos de a, b a
função f tem o mesmo sinal.
Corolário 2: Se f é contínua no intervalo a, b e fa × fb < 0
então f tem pelo menos um zero em a, b.
Teorema de Weirstrass: Qualquer função contínua num
intervalo a, b (fechado e limitado) tem máximo e mínimo
nesse intervalo.
Observação: Em qualquer um destes resultados, as condições
são apenas condições suficientes; não são condições necessárias.
Ana Matos - AMI 07/08
(versão de 29 de Outubro 07)
Acet. Continuidade 3
Propriedades das funções contínuas
(relativamente às operações)
Proposição: Se f, g são funções contínuas em a e k ∈ ℝ, então:
•
as funções kf, f + g, f − g, f × g e | f | são contínuas em a;
•
se ga ≠ 0, as funções
1
g
e
f
g
são contínuas em a.
Proposição: Se f é uma função contínua em a e g é contínua em
fa, então g ∘ f é contínua em a.
Teorema (continuidade da função inversa):
Se f : I ⊂ ℝ → ℝ é uma função contínua e estritamente
monótona em I, então:
•
•
•
f é invertível em I;
f −1 é estritamente monótona;
f −1 é contínua.
Observação: O facto de f ser estritamente monótona em I
garante que f é injectiva em I.
Ana Matos - AMI 07/08
(versão de 29 de Outubro 07)
Acet. Continuidade 4