UNIVERSIDADE DO ALGARVE
0
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
CURSOS DE ENGENHARIA CIVIL/TOPOGRÁFICA – 1º Ciclo
REGIMES DIURNO/NOCTURNO
DISCIPLINA DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
Ficha de exercícios nº3
Sistemas de equações lineares
1. Resolva o sistema AX = B , se A−1 =
2 3
4 1
e B=
5
3
.
2. Classifique e resolva os sistemas de equações lineares cujas matrizes ampliadas são:
1 2
1 −2 3 −1
1 2 3 1 8
1 1
2.1) 3 3 0 2 ; 2.2) 1 3 0 1 7 ; 2.3)
1 1
−1 2 1 0
1 0 2 1 3
1 3
3
1
2
3
1
1 −1 3 3 −1
1
; 2.4) 0 2 1 −3 3 .
1
−2 2 −6 −6 1
1
x + y − z =1
x− y+z =0
x− y+z =0
3. Considere os sistemas lineares, 2 x + y + 3z = 2 , 2 x + y + 3 z = −1 e 2 x + y + 3z = −1 .
3x + 2 y − z = 0
−4 x − 2 y − 6 z = 2
− 12 x + 12 y − 12 z = 2
Classifique e resolva, caso seja possível, os sistema utilizando:
3.1) Método de Gauss;
3.2) Método de Gauss-Jordan;
3.3) Método da matriz inversa;
3.4) Regra de Cramer.
3.5) Verifique se as equações, x + y − z = 1 e 3 x − 2 y + z = −2 são compatíveis com os sistemas.
x − 2y + z = 1
x − 2y + z = 2
4. Considere seguintes sistemas lineares, 2 x − 5 y + z = −2 e 2 x − 5 y + z = −1 . Resolva-os:
3 x − 7 y + 2 z = −1
3x − 7 y + 2 z = 2
4.1) Pelo método da matriz inversa (repare que as matrizes dos sistemas são iguais);
4.2) Pelo método de Gauss-Jordan (sugestão: condense a matriz [ A | B1 | B2 ] ).
5. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de matéria prima, A e B. Para a
produção de cada kg de X são utilizados 1 grama de A e 2 gramas de B; para cada kg de Y, 1 grama
de A e 1 grama de B; e para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. O preço de venda do kg de
cada um dos produtos X, Y e Z é 2, 3 e 5 euros, respectivamente. Com a venda de toda a produção
de X, Y e Z manufacturada com 1kg de A e 2kg de B, essa indústria arrecadou 2500 euros.
Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.
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ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
Sistemas de equações lineares
6. Discuta os seguintes sistemas de equações lineares em função do parâmetro a ∈
x + 2 y − 3z = 4
x + y + az = 1
; 6.3) x + ay + z = a ;
x+ y+z =2
6.1) 3 x − y + 5 z = 2
; 6.2) 2 x + 3 y + 2 z = 5
4 x + y + (a 2 − 14) z = a + 2
2 x + 3 y + (a 2 − 1) z = a + 1
7. Considere o sistema de equações lineares:
:
ax + y + z = a 2
ax + y − z + aw = 0
(a + 1) y + z + w = 1
, a, b ∈
− x + y + (a + 1) w = b
(−a − 1) x + z + w = b
.
7.1) Discuta, em função do parâmetro real a, a característica da matriz do sistema.
7.2) Discuta, em função dos parâmetros reais a e b, a característica da matriz ampliada do sistema.
7.3) Classifique o sistema tendo em conta os resultados das alíneas anteriores.
7.4) Fazendo a = 1 e b = 0 , serão X T = [ 0 0 1 1] e X T = [ 14
1
4
1
2
0] soluções do sistema?
7.5) Resolva o sistema, pelo método de Jordan, para a = −1 e b = 0 .
8. Encontre condições sobre os bi ´s para que cada um dos sistemas seja possível e determinado:
x − 2 y + 5 z = b1
8.1) 4 x − 5 y + 8 z = b2 ;
−3 x + 3 y − 3 z = b3
x − 2 y − z = b1
8.2) −4 x + 5 y + 2 z = b2 , b1 , b2 , b3 ∈
.
−4 x + 7 y + 4 z = b3
9. Classifique e resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
x + 3 y + 13 z = 9
9.1) y + 5 z = 2
;
−2 y − 10 z = −8
x − y + 3 z = −2
9.2) −2 x + 5 y + 2 z = 1 ;
− x + 4 y + 5 z = −1
x + y + 2z = 8
9.3) − x − 2 y + 3 z = 1 ;
3 x − 7 y + 4 z = 10
x − 2 y + 3z = 1
9.4) −3 x + 6 y − 9 z = −3 ;
−2 x + 4 y − 6 z = −2
3z − 9w = 9
9.5) 5 x + 15 y − 10 z + 40w = −45 ;
x + 3 y − z + 5 w = −7
x − 2 y + z − 2w = 1
9.6) − x − 2 z + 4w = −5 ;
2 x + y − z − 3w = 1
x + y + 2z = 8
− x − 2 y + 3z = 1
9.7)
;
3 x − 7 y + 4 z = 10
x − y − 4 z = −6
x + y + 2z = 8
− x − 2 y + 3z = 1
9.8)
;
3 x − 7 y + 4 z = 10
x − y − 4 z = −10
x1 + 2 x2 − 3 x4 + x5 = 2
9.9)
x1 + 2 x2 + x3 − 3 x4 + x5 + 2 x6 = 3
.
x1 + 2 x2 − 3 x4 + 2 x5 + x6 = 4
3 x1 + 6 x2 + x3 − 9 x4 + 4 x5 + 3 x6 = 9
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Ficha nº3 de Álgebra linear e geometria analítica
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
Sistemas de equações lineares
a
0
10. Considere as matrizes M =
0
0
0 1 1
a 1 −1
e B=
0 2 −2
a a −1
1
1
, a, b ∈
0
b
.
10.1) Tendo em conta o parâmetro a, indique a característica da matriz M.
10.2) Discuta o sistema correspondente à equação matricial MX = B .
10.3) Para a = 2 , determine o valor de b tal que
1
1
11. Considere a matriz X =
0
−1
[ 12
1
2
0 0] seja solução do sistema MX = B .
2
4 0
1
2 −1
em que α ∈
1
2 α
0 α2
0
T
.
11.1) Calcule, em função de α , o determinante e a característica da matriz X.
11.2) Suponha que a matriz X é a matriz ampliada de um sistema de equações lineares. Diga, para
que valores de α o sistema tem pelo menos uma solução.
12. Determine os coeficientes a, b, c e d da função polinomial p ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d , cujo
gráfico passa pelos pontos P1 = (0,10) , P2 = (0, 7) , P3 = (3, −11) e P4 = (4, −14) .
13. Determine os coeficientes a, b e c da equação p ( x) = x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 , cujo gráfico
passa pelos pontos P1 = (−2, 7) , P2 = (−4, 5) e P3 = (4, −3) .
14. Utilizando determinantes, calcule a característica de cada uma das matrizes dos sistemas e das
matrizes ampliadas dos sistemas da questão 9)
15. Classifique os sistemas da questão 9) utilizando o Teorema de Rouché.
16. Considere o sistema
x + y − z =1
2 x + y + 3z = 2 . Utilizando o teorema de Rouché, verifique quais das
3x + 2 y − z = 0
seguintes equações são compatíveis com o sistema: 15.1) x + y − z = 1 ; 15.2) 3 x − 2 y + z = −2 .
17) Calcule o núcleo dos sistemas da questão 9).
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Ficha nº3 de Álgebra linear e geometria analítica
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
Sistemas de equações lineares
2 x1 + 3 x2 − x3 + 5 x4
x− y+z =0
3 x1 − x2 + 2 x3 − 7 x4
18. Considere os seguintes sistemas homogéneos, x − 2 y − z = 0 e
4 x1 + x2 − 3 x3 + 6 x4
2x − 3y = 0
x1 − 2 x2 + 4 x3 − 7 x4
18.1) Classifique os sistema sem os resolver.
=0
=0
=0
.
=0
18.2) Resolva os sistemas, indicando, se possível dois sistemas fundamentais de soluções.
19. Seja A uma matriz 3 × 3 . Diga, justificando se existe A−1 , nos seguintes casos:
19.1) Se X = [1 −2 3] é solução do sistema homogéneo AX = 0 .
T
19.2) Se X = [ 0 0 0] é a única solução do sistema homogéneo AX = 0 .
T
1 0 5
20. Seja A = 1 1 1 . Encontre as soluções gerais dos sistemas:
0 1 −4
20.1) ( A + 4 I 3 ) X = 0 .
20.2) ( A − 2 I 3 ) X = 0 .
1 2
2 0 0
2 3 0
2 2 2
0 −1
21. Considere as matrizes A = 3 −1 0 , B = 0 1 0 , C = 0 2 0 , D =
0 0
0 4 3
0 0 2
0 1 3
0 0
3
3
3
0
4
2
.
3
2
21.1) Calcule as características das matrizes. Qual o número de colunas e de linhas LI? Justifique?
21.2) Diga, justificando, se as matrizes admitem inversa.
21.3) Para cada matriz, determine os valores de λ ∈
21.4) Para cada um dos valores de λ ∈
tais que X ≠ 0 que satisfaz AX = λ X .
encontrados na alínea anterior, encontre a solução geral
do sistema AX = λ X .
2x − y + z + w = 1
22. Considere o seguinte sistema de equações lineares x + 2 y − z + 4 w = 2 .
x + 7 y − 4 z + 11w = 5
22.1) Calcule o núcleo do sistema.
22.2) Sabendo que X T = [1 −5 −7 1] é uma solução do sistema determine, utilizando o sistema
homogéneo associado, a solução geral do sistema.
22.3) Dadas duas soluções do sistema, à sua escolha, determine uma solução do sistema
homogéneo.
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Ficha nº3 de Álgebra linear e geometria analítica