U N IV ERSIDADE DO EST ADO DE SAN T A CAT ARIN A U DESC
^ CIAS T ECN OLOGICAS CCT
CEN T RO DE CI EN
DEP ART AM EN T O DE M AT EM AT ICA DM AT
Professora: Graciela Moro
Exercícios sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
1. Encontre a matriz [aij ] de tamanho 4
2. Dadas as matrizes A =
4 cujas entradas satisfaçam aij = ij 1 :
a + 2b 2a b
9
eB =
2c + d c 2d
4
2
; determine a; b; c e d para
7
que A = B.
3. Uma fábrica produz três produtos (banheiras, pias e tanques) e os envia para armazenamento em dois depósitos. O número
2 de unidades
3 enviadas de cada produto para cada
200 75
depósito é dado pela matriz A = 4 150 100 5 (em que é o número de unidades envi100 125
adas do produto para o depósito , e os produtos são colocados em ordem alfabética).
O custo de remessa de uma unidade de cada produto, por caminhão, é: $1; 50 por
banheira, $1; 00 por pia e $2; 00 por tanque. Os custos unitários correspondentes ao
envio por trem são: $1; 75; $1; 50; $1; 00. Organize esses custos em uma matriz e use
essa matriz para mostrar como a fábrica pode comparar os custos de remessa – por
caminhão e por trem –de seus produtos para cada um dos depósitos. Qual o meio de
transporte mais econômico?
4. Seja A =
2
x2
2x 1 0
:Determine o valor de x para que A seja uma matriz simétrica.
5. Mostre que se A é simétrica, então B T AB é simétrica (B quadrada de mesma ordem
que A).
6. Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz
simétrica com uma matriz anti-simétrica, ou seja, A = S + N onde S é uma matriz
simétrica e N é uma matriz anti-simétrica.
7. Seja A uma matriz simétrica. Mostre que as matrizes A2 e 2A2
3A + I são simétricas.
8. Sejam A e B matrizes n n e B uma matriz simétrica. Veri…que se as matrizes
AB + BAT e A + AT + B são simétricas.
9. Seja A uma matriz real de ordem n. Dizemos que A é uma matriz Normal se AAT =
AT A; isto é, se as matrizes A e At são comutativas. Com base nesta de…nição, mostre
que :
1
(a) Se B é uma matriz real de ordem m
n; então C = BB T é uma matriz normal.
(b) Se A é uma matriz real normal de ordem 2 2;então A ou é uma matriz simétrica
ou é a soma de uma matriz múltipla da Identidade com uma matriz anti-simétrica.
10. Mostre que a matriz
2
é uma matriz ortogonal.
cos
M = 4 sin
0
sin
cos
0
3
0
0 5
1
11. Sejam P e Q matrizes ortogonais de mesma ordem.
(a) P Q é uma matriz ortogonal? P T é uma matriz ortogonal? Justi…que sua resposta.
(b) Quais os valores que det Q pode ter?
12. Dada uma matriz A de ordem m n mostre que a matriz AAT é uma matriz simétrica
de ordem m m: A matriz AT A é simétrica? Qual sua ordem?
2
3
2
2
4
4 5 é idempotente, isto é, A2 = A:
13. Mostre que a matriz A = 4 1 3
1
2
3
14. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Qual a condição que devemos ter
para que (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ?
15. Calcule o determinante de A onde
2
3
3
1 5
0
6 0 2
0
1 7
7;
(a) A = 6
4 2 0
1 3 5
1 1
2
0
3
2
3
0
0 0 0
6 19 18 0 0 0 7
7
6
7
(b) A = 6
6 6 p p5 0 0 7
4 4
2
3 0 0 5
8
3
5 6
1
0
1
9 1 9 9 9
B9 0 9 9 2C
B
C
C
4
0
0
5
0
(c) A = B
B
C
@9 0 3 9 0A
6 0 0 7 0
2
2
3
a b c
16. Seja A = 4 d e f 5 :Supondo que det(A) =
g h i
7; obtenha:
a) det(3A)
b) det(A 1 )
c) det(2A 1 )
2
3
4a 3g 4b 3h 4c 3i
2d
2e
2f 5
e) det 4
g
h
i
d) det(2A)
1
17. Sabendo que as matrizes A; B e C são matrizes quadradas e que det A = 3; det B =
p
e det C = 2; determine det X sabendo que AT (B 1 X) = C 1 A:
18. Encontre A 1 ;
2
4
6 3
(a) A = 6
4 2
0
2
1
(b) A = 4 1
2
1
2
onde
1
1
3
7
2
0
1
1
3
0 x
1 x2 5
2 x2
3
2
0 7
7;
0 5
1
19. Encontre os valores de k para os quais a matriz
2
3
k 3
0
3
k+2
0 5
A=4 0
5
0
k+5
é não inversível.
20. Em cada item, use a informação dada para encontrar A:
a) A
1
2
3
=
(I + 2A)
21. Seja A =
1
=
2 0
4 1
1
5
1 2
4 5
3
5
b) (5At )
1
=
: Calcule A3 ; A
3
e A2
1
2
c) (7A)
1
=
3
1
7
2
d)
2A + 1:
22. Resolva a seguinte equação matricial em X : (A 1 X)
1
= A(B 2 A) 1 :
23. Prove que se A é inversível e BA = CA; então B = C: Dê um contra-exemplo para
mostrar que o resultado pode falhar se A não for inversível.
24. Sejam A e C matrizes n n tais que det (I + C
t
B = 3 (A 1 + C 1 ) ; determine det B:
1
A) =
1
3
e det A = 5: Sabendo-se que
25. Em cada parte, encontre o maior valor possível para o posto de A e o menor valor
possível para a nulidade de A:
3
(a) A é 4
4
(b) A é 3
5
(c) A é 5
3
26. Existe alguma matriz "inversível" X tal que X 2 = 0? Justi…que sua resposta.
27. Veri…que como
2
1 1
a) A = 4 1 t
t 1
o posto de A varia com
3
2
t
1 5
b) A = 4
1
relação a t:
3
1
2 5
t
2
1
0
0
6 0 r 2
2
28. Existem valores de r e s para os quais o posto de 6
4 0 s 1 r+2
0
0
3
ou dois ? Se existirem, encontre estes valores.
t
3
1
3
6
3
3
7
7 seja igual a um
5
29. Sejam A e B matrizes n n e M uma matriz inversível tais que A = M
que det AT = ( 1)n det B e det(A I) = det(B I):
30. Seja M uma matriz inversível de ordem n
(a) Mostre que a matriz M
n tal que det(M 2
1
BM: Mostre
M ) = 0:
I é não-inversível.
(b) Existe uma matriz X inversível de ordem n
n tal que M X = X ?
31. Veri…que se as a…rmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem
verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
(a) Se uma matriz quadrada A for ortogonal então det A =
1:
(b) det(I + A) = 1 + det A
(c) (A + B)
1
=A
1
+B
1
(d) Se A é uma matriz simétrica então A + AT também é simétrica.
(e) Se A e B são inversíveis então A + B também é.
(f) Se A é uma matriz quadrada simétrica e B é uma matriz ortogonal então a matriz
A + B 1 nunca será simétrica.
(g) Se A é uma matriz anti-simétrica de ordem 3, então det A = 0
(h) Se A é não-inversível e AB = 0 então B = 0
(i) Se A é anti-simétrica inversível, então A
1
é anti-simétrica.
(j) Seja A uma matriz quadrada, então tr(A + B) = tr(A) + tr(B):
(k) Se A; B e C são matrizes n
n inversíveis, então (ABC)
1
=C
1
B 1A 1:
(l) As expressões tr(AAt ) e tr(At A) estão de…nidas, independente do tamanho de A:
(m) tr(AAt ) = tr(At A) para qualquer matriz A:
4
(n) tr(kA) = ktr(A); em que k é um escalar.
(o) Se a primeira coluna de A for toda constituída de zeros, o mesmo ocorre com a
primeira coluna de qualquer produto AB:
(p) Seja A uma matriz 4
4; então det(2A) = 2 det A:
(q) det(B 1 AB) = det A:
(r) Não existe matriz quadrada A para a qual det(AAt ) =
0
1
0
2 3
1 0
2
1 0 1
1
B1 1 0
C
B1 3 1 2
5
2
B
C
B
CeD=B 1 1 1 1
1
2
1
4
3
(s) Se A = B
B
C
B
@0 0 1
@ 1 4 1 2
3 2A
2 3 1
0
1
2 1 2 1
1
A BA = D então det B = 24:
2
1
32. Use o método do escalonamento para mostra que det 4 a
a2
a)(c b):
1:
1
4
1C
C
1C
C satisfazem a relação
1A
2
3
1 1
b c 5 = (b
b2 c 2
a)(c
33. Resolva o sistema de equações, escrevendo a matriz ampliada do sistema inicial e
escrevendo o sistema …nal do qual se obterá a solução do sistema original:
8
2x y + 3z = 11
>
>
<
4x 3y + 2z = 0
x+y+z
= 6
>
>
:
3x + y + z = 4
8
< x + y + 3z = 2
x + 2y + 4z = 3 : Para que valores de a e b o sistema
34. Considere o sitema linear
:
x + 3y + az = b
(a) tem uma in…nidade de soluções?
(b) tem única solução?
(c) é impossível?
2
3
..
a 0 b . 2
6
7
6
35. Seja 4a a 4 ... 47
5 a matriz ampliada de um sistema linear. Para quais valores de a
..
0 a 2 . b
e b o sistema tem
(a) única solução,
(b) nenhuma solução,
(c) uma solução com duas variáveis livres?
5
8
< x + 2y 3z = a
36. Encontre a relação entre a; b e c para que o sistema linear 2x + 3y + 3z = b seja
:
5x + 9y 6z = c
possível para quaisquer valores de a; b e c:
37. Reduza as
2
1
(a) 4 2
3
2
0
6 1
(b) 6
4 3
2
matrizes à forma escada através de operações linhas:
3
2 3
1
1 2 3 5
1 2 3
3
2 2
1 3 7
7
4 2 5
3 1
38. Determine k
8
< 4x + 3y
5x 4y
:
2x y
para que o sistema admita solução
= 2
= 0
= k
39. Encontre todas as soluções do
8
< x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 7x5
2x1 + 6x2 + x3 2x4 + 5x5
:
x1 + 3x2 x3 + 2x5
sistema
= 14
=
2
=
1
40. Quais condições devem ser satisfeitas por b1 ; b2 ; b3 ; b4 e b5 para que o sistema linear
sobredeterminado abaixo seja consistente?
8
x1 3x2 = b1
>
>
>
>
< x1 2x2 = b2
x 1 + x 2 = b3
>
>
x1 4x2 = b4
>
>
:
x1 + 5x2 = b5
41. Apresente todos os possíveis resultados na discussão de um sistema não-homogêneo de
6 equações lineares com 4 incógnitas.
42. Se A é uma matriz 3
4 2?
5; quais são os possíveis valores da nulidade de A? E se A for
43. Explique por que a nulidade de uma matriz nunca é negativa.
44. Um sistema homogêneo com 3 equações e 4 incógnitas sempre tem uma solução nãotrivial ?
45. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos
termos independentes são todos nulos.
(a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?
6
(b) Encontre os valores de k 2 R, tais que o sistema homogêneo
8
< 2x 5y + 2z = 0
x+y+z
= 0
:
2x + kz
= 0
tenha uma solução distinta da solução trivial.
46. Podemos resolver um sistema usando matriz inversa da seguinte forma:
AX = B
A 1 AX = A 1 B
X = A 1B
Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que
matriz dos coe…cientes.
2
1
Usando a teoria acima resolva os sistema AX = B onde A = 4 2
3
2 3
2
3
2
3
2
3
1
1
1000
111
4
5
4
5
4
5
4
3
10
a) B = 2 b) B =
c)
d) 311 5
3
100
100
511
47. Resolva o sistema
2
1 0 0 0
6 0 1 2 2
6
6 0 0 1 1
A=6
6 0 0 0 1
6
4 0 0 0 0
0 0 0 0
possuem a mesma
2
5
7
3
2
4 5e
5
matricial D 1 X = A onde D = diag(1; 2; 3; 4; 5; 6)
3
1
1
2
2 7
7
1
1 7
7
1
1 7
7
1
0 5
0
1
48. Classi…que o sistema e exiba uma solução, caso ela exista:
8
6
< 2x + 4y + 6z =
3x 2y 4z =
38
:
x + 2y + 3z =
3
8
1x 2y + z = 1
<
4x + 8y + 5z = k 1 : Determine (se possível):
49. Considere o sistema
:
2x 4y + kz = 4
(a) Os valores de k 2 R que faz com que o sistema admita in…nitas soluções.
(b) Os valores de k 2 R que faz com que o sistema admita única solução.
(c) Os valores de k 2 R que faz com que o sistema seja impossível.
7
50. Uma editora publica um best-seller potencial com três encadernações diferentes: capa
mole, capa dura e encardenação de luxo. Cada exemplar necessita de um certo tempo
para costura e cola conforme mostra a tabela abaixo:
Se o local onde são feitas as costuras …ca disponível 6 horas por dia e o local onde se
cola, 11 horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia, de modo
que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados?
51. Num grande acampamento militar há 150 blindados dos tipos BM3, BM4 e BM5, isto
é, equipados com 3, 4 e 5 canhões do tipo MX9 respectivamente. O total de canhões
disponíveis é igual a 530. A soma dos BM4 com os BM5 corresponde aos 2 / 3 dos
BM3. Se para o início de uma manobra militar, cada canhão carrega 12 projéteis,
quantos projéteis serão necessários para o grupo dos BM4 no início da operação?
52. Veri…que se as a…rmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem
verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
(a) Se X1 e X2 são soluções do sistema AX = B; então X1 + X2 também é uma
solução deste mesmo sistema.
(b) Se det A = 0 então o sistema AX = 0 tem in…nitas soluções.
(c) Seja A uma matriz inversível n n: Então o sistema AX = X tem necessariamente
solução única.
53. a) Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema AX = B é
possível. Se for, determine o número de variáveis livres da solução geral. Justi…que
sua resposta.
Tamanho de A
Posto de A
Posto de [A jB ]
(a)
(b)
(c)
(d)
3 3 9 5 4 4 3 3
2
4
0
3
3
4
0
3
b) Para cada uma das matrizes da tabela acima determine se o sistema homogêneo
AX = 0; é possível. Indique a quantidade de soluções para cada caso.
8
ALGUMAS RESPOSTAS :
2
3
1 1 1
2 4 8 7
7
3 9 27 5
4 16 64
1
6 1
1. A = 6
4 1
1
2. a = 1; b = 4; c = 3; d =
1; 5
1 2
1; 75 1; 5 1
3. B =
2
:O caminho mais econômico é por trem, R$1081; 3
4. x = 1
12. AT A é simétrica de ordem n
15. a) 12
16. a)
17.
b) 0 c)
12
1
7
b)
189
n:
c)
8
7
1
56
d)
e)
56
p
2
4
18. a) A
19. k =
1
2
1
1
6 3
4
=6
4 11 14
10 14
2 ou k = 0
5
13
3
13
20. a) A =
8 0
28 1
21. A3 =
22. X = AB
24. det B =
3
4
2
12
6 7
7
43 22 5
41 21
11
13
2
13
;A
2
5
1
5
b) A =
3
=
1
8
7
2
b) A
0
1
1
1
2
1
4
1
=
0
c) A =
3
5
; A2
2A + 1 =
1
x
2
91
1
91
2
x
(x
2)
2
x2
1
x
1
x
(x
1
13
3
91
1
x2
3
1) 5
d) A =
9
13
2
13
1 0
4 0
2
3n
5
1
25. a) posto(A) = 4; nulidade(A) = 0
3; nulidade(A) = 0
27. a) posto(A) = 2 se t = 1; 32
b) posto(A) = 3; nulidade(A) = 2
c) posto(A) =
b) posto(A) = 3 se t 6= 1; 32
28. O posto é 2 se r = 2 e s = 1; o posto nunca é 1:
31. a) V , b) F , c) F , d) V , e)F , f) F , g)V , h) V , i) V , j) V , k) V , l) V , m) V , n) V , o) F ,
p) F , q) V , r) V , s) V:
33. x =
1
13
6
13
1; y = 2; z = 5
9
34. a) a = 5; b = 4
b) a 6= 5; b 6= 4
35. a) a 6= 0 ; b 6= 2
c) a = 5; b 6= 4
b) a = 0; b 6= 2
36. a; b; c devem satisfazer a equação: c
2
2
3
1 0
22
1 0 0 7
6
0 1
11 5
37. a) 4 0 1 0
b) 6
7
4
0 0
17
0 0 1
7
0 0
38. k =
c) a = 0; b = 2
b 3a = 0
3
2
1 7
7
0 5
0
6
2 3 2
3 2 3
2
x1
1 3x2 x5
1
6x2 7 6
7 607
6
x2
6
6 7 6
7 6 7
7 = 6 2 + x5 7 = 627 + x2 6
x
39. X = 6
3
6 7 6
7 6 7
6
4x4 5 4 3 + 2x5 5 435
4
x5
x5
0
40. b3 = 4b2
3b1 ; b4 = 2b1
b2 ; b5 = 8b2
3
2 3
3
1
7
6
7
17
607
6 7
07
7 + x5 627
435
05
0
0
7b1
41. Se pa = pc = 4 o sistema tem única solução. Se pa = pc < 4 o sistema tem in…nitas
soluções. Se pa 6= pc o sistema é impossível.
45. a) Solução
2 3
1
4
46. a) 0 5
0
2
1 0 0
6 0 2 4
6
6 0 0 3
47. 6
6 0 0 0
6
4 0 0 0
0 0 0
48. X =
trivial.
2
x
=
y
b) k = 2
3
2
3
2
3
185
3160
111
b) 4 5 5 c) 4 1990 5 d)4 89 5
98
910
89
3
0 1
1
4 4
4 7
7
3 3
3 7
7
4
4
4 7
7
0 5
0 5
0 0
6
41
4
29
8
+ 14 z
=
13
z
8
41
4
29
8
+z
1
4
13
8
49. a) k = 3 ou k = 4
b)Não existe k para que a solução seja única pois para haver
solução o posto máximo é 2: c) k 6= 3 e k 6= 4:
50. Uma solução possível é: 180 livros de capa mole, nenhum de capa dura e 60 de luxo.
Mas esta não a única solução. Você consegue exibir outras?
51. Serão necessários 1920 projéteis.
52. a) F , b) V , c) F
53. a) i)Impossível
ii) In…nitas soluções e uma variável livre iii) In…nitas soluções e 4
variáveis livres iv) Única solução
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b) Um sistema homogêneo sempre tem solução. i) uma variável livre ii) uma variável
livre iii) 4 variáveis livres iv) nenhuma variável livre
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