FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA
0.1
NOTAS DE AULA
Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos
(i) Matrizes Reais
Uma matriz real é o seguinte arranjo de números reais :
An×m


a11 a12 a13 · · · a1m
 a21 a22 a23 · · ·a2m 


=  ..
..
..
..  ,
 .
.
.
. 
an1 an2 an3 · · ·anm
onde, cada entrada (elemento) aij ∈ R, i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · , m.
Chama-se Matriz Nula, a matriz cujas entradas são zero, ou seja aij = 0, para
i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · , m. Escolhemos a letra O para representá-la, isto é
On×m

0
0

=  ..
.
0

0 ···0
0 · · ·0

..
..  .
.
. 
0 0 · · ·0
0
0
..
.
Seja Mn×m (R) o conjunto de todas as matrizes reais An×m . Note que O ∈ Mn×m (R).
Adição de Matrizes
Dadas An×m e Bn×m , a adição de matrizes é uma função + : Mn×m (R)×Mn×m (R) −→
Mn×m (R) dada por
+(A, B) = A + B,
onde An×m = (aij )n×m , Bn×m = (bij )n×m , A + B = (cij )n×m e cij = aij + bij ,
i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · , m.
Multiplicação de Número (Escalar) por Matrizes
Dados α ∈ R e An×m a multiplicação de número real (escalar) por matriz é uma função
• : R × Mn×m (R) −→ Mn×m (R) dada por
•(α, A) = α · A,
onde An×m = (aij )n×m , α·B = (cij )n×m e cij = α·aij , i = 1, 2, · · · , n e j = 1, 2, · · · , m.
1
Exemplo 1. Considremos as matrizes
1 −1 3
,
A2×3 =
0 −2 2
B2×3
3 −2 0
=
2 2 1
Calcule A + B e (−1) · A.
∗ Começamos por determinar a matriz A + B,
A2×3 + B2×3
1 −1 3
3 −2 0
c11 c12 c13
=
+
=
=
0 −2 2
2 2 1
c21 c22 c23
1 + 3 −1 + (−2) 3 + 0
4 −3 3
=
= A + B.
0+2
−2 + 2
2+1
2 0 3
• A multiplicação de número por matriz (−1) · A,
−1 1 −3
(−1)1 (−1) − 1 (−1)3
1 −1 3
= (−1) · A.
=
=
(−1) ·
0 2 −2
(−1)0 (−1) − 2 (−1)2
0 −2 2
Propriedades da Adição de Matrizes
Dadas An×m , Bn×m e Cn×m , são verdadeiras as afirmações abaixo:
A1 : A + (B + C) = (A + B) + C).
Associativa
A2 : A + B = B + A.
Comutativa
A3 : A + O = A.
Elemento Neutro
A4 : A + (−B) = O.
Elemento Simétrico
• O elemento −A ∈ Mn×m (R) é o Elemento Simétrico de A em relação à Adição de
Matrizes
Propriedades da Multiplicação de Número (Escalar) por Matrizes
Dados α, β ∈ R, An×m e Bn×m , são verdadeiras as afirmações abaixo:
M1 : (α + β) · A = α · A + β · A.
M2 : α · (A + B) = α · A + α · B.
M3 : 1 · A = A
2
M4 : α · (β · A) = (αβ) · A = β · (α · A).
• Observe que o conjunto Mn×m (R) com as operações de Adição e Multiplicação
por Escalar, que aqui indicamos por (Mn×m (R), +, ·) tem estruturas especiais com as
propriedades listadas em A1, A2, A3 e A4; M1, M2, M3 e M4 o que dá ao conjunto
(Mn×m (R), +, ·) um nome diferenciado, que é o de ESPAÇO VETORIAL.
Multiplicação de Matrizes
Definição 1. Dadas An×p e Bp×m , a multiplicação de matrizes é uma função ∗ :
Mn×p (R) × Mp×m (R) −→ Mn×m (R) dada por
∗(A, B) = A · B,
onde An×p = (aij )n×p , Bp×m = (bjk )p×m , A · B = (cik )n×m e cik =
p
X
(aij · bjk ).
j=1
Exemplo 2. Considere as matrizes
Calcule A · B.


1 −1
−1
1
−3
A = 0 −2 e B =
.
0 2 −2
3 2
Podemos utilizar umaa regra prática que consiste de posicionar as matrizes A e B e
realizar a multiplicação como segue,
c11
c12
c21
c22
= a11 b11 + a12 b21 + a13 b31
= a11 b12 + a12 b22 + a13 b32
= a21 b11 + a22 b21 + a23 b31
= a21 b12 + a22 b22 + a23 b32
−1 1 −3
0 2 −2

 c11
1
−1
c12
0 −2
c21
3 2
c22
c11 c12
c21 c22
= (−1)1 + 1(0) + (−3)3
= (−1)(−1) + 1(−2) + (−3)2
= 0(1) + 2(0) + (−2)3
= 0(−1) + 2(−2) + (−2)2
Matriz Produto
Assim, obtemos a matriz A · B dada por
−10 −7
.
A·B=
−6 −8
3
Definição 2. Dada uma matriz An×p = (aij )n×p chama-se Matriz Transposta de
An×p , outra matrix Bp×n = (bij )n×n tal que bij = aji , para i = 1, 2 · · · n, j = 1, 2 · · · p
e escrevemos B = At .
Propriedade da Transposição de Matrizes
Dados α ∈ R e matrizes quadradas A e B tem-se
T1 (At )t = A.
T2 (A + B)t = At + Bt .
T3 (A · B)t = Bt · At .
T3 (αA)t = αAt .
Exercı́cio 1. Dadas as matrizes




1 2 −3
−2 1 0
A= 3 4 0  e B= 0
3 0
−1 2 0
5 −4 0
Calcule A · B, (A · B)t e Bt · At .
∗ Dizemos que uma matriz quadrada A é SIMÉTRICA se A = At . A é ANTISIMÉTRICA se A = −At .
Exercı́cio 2. Mostre que se A e B forem semétricas então A+B e αA são simétricas.
• Mostre que se A e B forem semétricas então A · B é simétrica se e somente se
A · B = B · A.
Propriedades da Multiplicação de Matrizes
À partir deste momento, consideraremos apenas as Matrizes Quadradas, isto é,
matrizes An×n ∈ Mn×n (R). Faremos isto somente por que nossos propósitos estarão
satisfeitos com com matrizes quadradas.
• Chama-se Matriz Identidade a matriz An×n = (aij )n×n tal que
aij =
1,
0,
se i = j,
se i =
6 j,
esta matriz será denotada por In e então
In = In×n

1
0

=  ..
.
0
4

0 ···0
0 · · ·0

..
..  .
.
. 
0 0 · · ·1
0
1
..
.
∗ Dadas duas matrizes An×n e Bn×n , dizemos que as matrizes A e B Comutam se
A · B = B · A.
Observe que a comutatividade do produto de matrizes não é sempre verdadeira, veja
exemplo abaixo.
Exemplo 3. Consideremos as matrizes
−1 1
1 −1
.
e B=
A=
2 0
0 −2
Verifique que A · B 6= B · A.
Aplique a definição 1 (m = n = p) e verá que
1 −1
−1 1
−3 1
−1 1
1 −1
−1 −1
A·B =
·
=
e B·A =
·
=
.
0 −2
2 0
−4 0
2 0
0 −2
2 −2
Note que A · B 6= B · A.
⋆ Não é dificil ver que a matriz In comuta com qualquer An×n = (aij )n×n .
Definição 3. Dada uma matriz quadrada An×n ∈ Mn×n (R) chama-se Matriz Inversa
A à uma outra matriz Bn×n ∈ Mn×n (R) tal que
A · B = In
e
B · A = In .
Denotaremos a Matriz Inversa de A por A−1 .
∗ A matriz A−1 é o elemento simétrico de A em relação à Multiplicação de Matrizes.
Exemplo 4. Considere as matrizes
−2 1
A=
0 3
e
1 −3 1
.
B=
6 0 2
Não é dificil ver que,
1 −3 1
−2 1
1 0
·
=
0 3
0 1
6 0 2
1 −3 1
−2 1
1 0
e que
·
=
0 3
0 1
6 0 2
Portanto, A · B = In e B · A = In . Ou seja B é a matriz inversa de A em relação
à Multiplicação de Matrizes.
Propriedades da Multiplicação de Matrizes
5
Dadas An×n , Bn×n e Cn×n , são verdadeiras as afirmações abaixo:
MM1 : A · (B · C) = (A · B) · C).
Associativa
MM2 : A · In = A, e In · A = A .
Elemento Neutro
MM3 : A · (A−1 ) = In .
Elemento Simétrico
Propriedades de Distributividade
Dadas An×n , Bn×n e Cn×n , são verdadeiras as afirmações abaixo:
DM1 A · (B + C) = A · B + A · C) e (B + C) · A = B · A + C · A).
n−vezes
• A notação An significa A ·A · · · A.
Exemplo 5. Dadas as matrizes


1 3
1 2 −3
A=
e B = A t =  2 4 .
3 4 0
−3 0
Uma Aplicação das Matrizes
Exemplo 6. Uma industria produz três produtos, X, Y , e Z, utilizando dois tipos de
insumos, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo
A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y são utilizados 1 grama do insumo A e
1 grama do insumo B, e cada kg de Z são utilizados 1 grama do insumo A e 4 gramas
do insumo B.
Usando matrizes o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma:
 
X Y Z
x kg de X produzidos
gramas de A por kg 1 1 1 = A, W =
y  kg de Y produzidos
gramas de B por kg 2 1 4
z kg de Z produzidos
AW =
x+y+z
2x + y + z
gramas de A usadas
gramas de B usadas.
Exercı́cio 3. Dadas as matrizes




1 2 −3
−2 1 −1
A = 3 4 0  e B =  0
3
1
2 3 −1
5 −4 0
6
Verifique se A · B = B · A.
Exercı́cio 4. Mostre que as matrizes
A=
1 y1
y 1
onde 0 6= y ∈ R, satisfazem X 2 = 2X. (X 2 = X · X).
Encontre os valores de y ∈ R tais que A · B = B · A.
Nós definimos a Matriz Inversa (ver definição 3) e não dissemos que tipo de matriz
quadrada pode ter inversa, e também, não sabemos o que fazer para determinar a
inversa de uma matriz. Uma ajuda importante é dada por uma função chamada
determinante.
Determinantes de Uma Matrizes
Ressasltamos que apenas as matrizes quadradas serão utilizadas neste momento.
Definição 4. Seja An×n = (aij )n×n , n ≥ 2. Chamamos Menor do elemento aij ,
denotado por Mij , a sub-matriz de ordem (n − 1) × (n − 1) obtida de A suprimindo da
matriz A a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Definição 5. O determinante de uma matriz An×n = (aij )n×n ; é uma função que a
cada matriz quadrada associa um número real, isto é, Det : M(R)n×n → R dada por
∗ Se n = 1 então o Det(A) = a11 .
∗ se n ≥ 2 então
Det(A) =
n
X
(−1)
i=1
(i+j)
n
X
aij Det(Mij ) =
(−1)(i+j) aij Det(Mij ).
(0.1.2)
j=1
• Não é difı́cil ver que se
a11 a12
,
A=
a21 a22
então
Det(A) =
2
X
(−1)(i+j) aij Det(Mij ) =
i=1
(−1)(1+1) a11 Det(M11 ) + (−1)(1+2) a12 Det(M12 ) = a11 a22 − a12 a21 .
Note que o determinante dado pela definição 5 pode ser desenvolvido por linhas ou por
colunas, (ver (0.1.2)). O determinante de uma matriz nos oferece um teste infalı́vel
7
para saber quais são as matrizes quadradas que podem ser invertı́veis ou seja que
possuem inversa com relação ao produto de matrizes.
• Uma matriz An×n = (aij )n×n , tem inversa em relação ao produto de matrizes se e
somente se Det(A) 6= 0.
Uma pergunta ainda se apresenta. Há um mecanismo capaz de produzir a insversa de
uma matriz quadrada em relação ao produto de matriz ? Veja abaixo que o determinante de uma matriz também nos ajuda responder esta questão.
Definição 6. Seja An×n = (aij )n×n , n ≥ 2. Chamamos Cofator do elemento aij ,
denotado por Aij , o número real dado por
Aij = (−1)(i+j) Det(Mij ), i, j = 1, 2, · · · , n′ ,
onde Mij é o Menor do elemento aji , i, j = 1, 2, · · · , n.
À matriz formada por todos os cofatores de A chamamos Matriz dos Cofatores
de A e denotamos por Cof (A).
Exemplo 7. Considere a matriz

A11 A12 A13 · · · A1n
 A21 A22 A23 · · ·A2n 


=  ..
..  ,
..
..
 .
. 
.
.
An1 An2 An3 · · ·Ann
Calcule Det(A).


0 1 5
A = 3 −6 9 .
2 6 1

Cof (A)n×m
Nós vamos calcular o determinante de A desenvolvendo pela primeira linha.
2
X
−6 9
Det(A) =
(−1)
a1j Det(M1j ) = (−1)
· 0 · Det
+
6 1
j=1
3 −6
3 9
(1+3)
(1+2)
+ (−1)
· 5 · Det
(−1)
· 1 · Det
2 6
2 1
= 0 + 1 · 15 + 5 · 30 = 165.
(1+j)
(1+1)
Exercı́cio 5. Considere a matriz


0 1 2
A = 3 −1 1 .
2 0 1
Calcule Cof (A), [Cof (A)]t , A · [Cof (A)]t ,
8
[Cof (A)]t · A
e
1
[Cof (A)]t .
Det(A)
Matriz Adjunta Clássica e Inversa
Definição 7. Dada An×n = (aij )n×n , chama-se Adjunta Clássica de A à matriz
[Cof (A)]t .
Teorema 0.1. Dada An×n = (aij )n×n , se DetA 6= 0, então
1
1
· A · [Adj(A)] = In e
· [Adj(A)] · A = In
Det(A)
Det(A)
Segue facilmente da definição 3 que
(0.1.3)
1
· [Adj(A)] = A−1 ( Inversa de A).
Det(A)
Exemplo 8. Considere a matriz


1 2 3
A = 0 3 2  .
0 0 −2
Use (0.1.3) e calcule a martiz inversa (elemento inverso) de A em relação ao produto
de matriz.
Vamos calcular os cofatores dos elementos de A.
A11 = (−1)
(1+1)
A13 = (−1)
3 2
= −6;
Det
0 −2
(1+3)
A22 = (−1)
(2+2)
A31 = (−1)
(3+1)
0 3
= 0;
Det
0 0
A12 = (−1)
A21 = (−1)
1 3
= −2;
Det
0 −2
2 3
= −5;
Det
3 2
A33 = (−1)
(3+3)
(1+2)
(2+1)
A23 = (−1)
A32 = (−1)
0 2
= 0;
Det
0 −2
2 3
= 4;
Det
0 −2
(2+3)
(3+2)
1 2
Det
= 0;
0 0
1 3
= −2;
Det
0 2
1 2
Det
= 3.
0 3
Assim, a matriz cofatora de A será dada por


−6 0 0
Cof (A) =  4 −2 0 .
−5 −2 3
A matriz Adjunta Clássica é a transposta de matriz cofatora de A, ou seja
9


−6 4 −5
Adj(A) =  0 −2 −2 .
0
0
3
O teorema 0.1 nos dá a matriz procurada que é
A−1


−6 4 −5
1
1 
0 −2 −2 .
=
Adj(A) =
DetA
−6
0
0
3
Exemplo 9. Uma industria produz três produtos, X, Y , e Z, utilizando dois tipos
de insumos, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do
insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y s ao utilizados 1 grama do
insumo A e 1 gramas do insumo B e, cada kg de Z s ao utilizados 1 grama do insumo
A e 4 gramas do insumo B. O preço de venda de um kg de cada um dos produtos X,
Y e Z é R$ 2,00 R$ 3,00 e R$ 5,00 respectivamente. Com a venda de toda produção
de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B, essa industria arrecadou R$
2500,00. Vamos determinar quantos kg de cada produto X, Y e Z foram vendidos.
Como já vimos no exemplo 6 usando matrizes o esquema de produção pode ser descrito
da seguinte forma:
X Y Z 
 
gramas de A por kg 1 1 1
x kg de X produzidos
gramas de B por kg 2 1 4= A, W = y  kg de Y produzidos
preço por kg
2 3 5
z kg de Z produzidos
 


x+y+z
1000
gramas de A usadas




2x + y + z
gramas de B usadas.
(S) AW =
= 2000
arrecadação
2x + 3y + 5z
25000
Veja que a resposta à pergunta que foi formulada no exemplo 6 será dada pelo conjunto
solução para o Sistema de Equações (S).
Sistemas de Equações Lineares
Uma Equação Linear em n variáveis x1 , x2 , · · · , xn reais é uma equação da forma
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b,
onde a1 , a2 , · · · , an e b são números reais que não dependem das variáveis envolvidas
na equação e são conhecidos. Um Sistema de Equações Lineares ou simplesmente
Sistema Linear é um conjunto de equações lineares, ou seja
10


a11 x1 + a12 x2 + · · · a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + · · · a2n xn = b2
(S) ≃
..
..
..
..
..
..
..
..

.
.
.
.
.
.
.
.


 a x + a x + ··· a x = b
m1 1
m2 2
mn n
m
(0.1.4)
onde os aij e bi i = 1, 2, · · · m, j = 1, 2, · · · n são todos números reais conhecidos.
Usando o produto de matrizes (ver definição 1) o sistema 0.1.12 pode ser escrito como
uma equação matricial,
AX = B,
onde,
An×m


 
 
a11 a12 a13 · · · a1m
x1
b1
 a21 a22 a23 · · ·a2m 
 x2 
 b2 


 
 
=  ..
..
..
..  , X =  ..  e B =  ..  .
 .
.
.
.
.
. 
an1 an2 an3 · · ·amm
xn
bn
(0.1.5)
Uma Solução para o sistema 0.1.12 é uma matriz
 
s1
 s2 
 
S =  ..  ,
.
sn
tal que as equações do sistema 0.1.12 são satisfeitas quando substituimos x1 = s1 ,
x2 = s2 , · · · , xn = sn .
Exemplo 10. Considere o sistema linear de duas equações e duas incógnitas
(S) ≃
x + 2y = 1
2x + y = 0
O sistema (S) pode ser escrito na forma matricial
(S) ≃
0
x
1 2
.
=
·
1
y
2 1
Ainda, podemos verificar facilmente que x =
sistema (S), ou seja
S=
11
−1
2
e y = formam uma solução para o
3
3
−1
3
2
3
!
é o conjunto solução de (S).
Um Sistema Linear que tem solução é denominado SISTEMA POSSÍVEL. Se um
Sistema Linear que não tem solução é denominado SISTEMA IMPOSSÍVEL. Mas
dentre os SISTEMAS POSSÍVEIS, há aqueles que possuem mais que uma solução .
Exemplo 11. O sistema linear de duas equações e quatro incógnitas
(S) ≃
x + 3y + 0z + 2w = −5
0x + 0y + z − 3w = 2
tem mais que uma solução .
Note que S1 = [−5 0 2 0]t e S2 = [−7 0 5 1]t são soluções para o sistema (S).
Mas afinal dado um Sistema Linear (S) o que devemos fazer para decidirmos entre as
três possibilidades; Sistema Possı́vel com mais que uma solução , Sistema Possı́vel
apenas uma solução e Sistema Impossı́vel.
Operações Elementares
Definição 8. Uma Operação Elementar sobre as linhas de uma matriz é uma das
seguintes operações com outra linha da mesma matriz:
(i)
Trocar a posição de uma das linhas da matriz.
(ii)
Multiplicar uma linha por uma constante (escalar) diferente de zero.
(iii) Somar a uma linha da matriz, um múltiplo escalar de outra linha da mesma
matriz.
Dado um Sistema Linear (S) como em (0.1.12) temos a Matriz A e B associada à (S).
∗ Chama-se Matriz Aumentada associada à (S) a Matriz

 a11 a12 a13 · · · a1m

a
a
· · ·a2m
a
[A|B] =  .21 .22 .23
..
 ..
..
..
.

an1 an2 an3 · · ·amm
..
.
..
.
..
.
..
.

b1 

b1 
.
b1 

b1
Exemplo 12. Considere o sistema linear de duas equações e duas incógnitas
(S) ≃
x + 2y = 1
2x + y = 0
A Matriz Aumentada associada ao sistema (S) é a matriz
[A|B] =
12
. !
1 2 .. 1
.
.
2 1 .. 0
Teorema 0.2. Dados dois Sistemas Lineares AX = B e CX = D tais que a Matriz
Aumentada [C|D] pode ser obtida da Matriz Aumentada [A|B] aplicando-se
apenas uma Operação Elementar (ver definição 8), então os dois sistemas lineares
possuem o mesmo Conjunto Solução .
Agora vamos utilizar o teorema 0.2 e apresentar uma maneira eficiente para encontrarmos o conjunto solução para um Sistema Linear.
Método de Gauss-Jordan
O método que vamos apresentar aqui para resolver Sistemas Lineares, consiste na
aplicação das operações elementares às linhas da Matriz Aumentada associada ao
sistema linear em estudo.
Primeiro procuramos através de operações elementares obter a Matriz Aumentada
de forma que na primeira linha o primeiro elemento seja não nulo, este elemento será
chamado de Pivô. Vejamos um exemplo.
Exemplo 13. Considere o sistema linear (S) dado por

 x − y + z = 1
2x + y + 4z = 0
(S) ≃

3x + 2y + 5z = −2
A Matriz Aumentada associada à S é
A=


..
L = l1
1 1 1 . 1
 1

2 1 4 ... 0  L = 2l − l
 2
1
2

..
3 2 5 . −2 L3 = 3l1 − l3




..
..
1 1 1 . 1
1 1 1 . 1 L1 = l1




0 1 −2 ... 2 
0 1 −3 ... 2 L = l


 2
2

..
..
0 1 −2 . 5 L3 = l2 − l3 0 0 1 . −3
(0.1.6)
Note que as linhas L1 , L2 e L3 são linhas da matriz aumentada obtida da outra matriz
aumentada (anterior) cujas linhas são l1 , l1 e l3 elas operações elementares indicadas
(ver figura 0.1.6).
Agora usando o teorema 0.2 vemos facilmente que

 x + y + z = 1
0x + y − 3z = 2
(S) ≃

0x + y − 2z = 5
Mas o Sistema
13

1
 x + y + z =
0x + y − 3z =
2
≃

0x + 0y + z = −3

1
 x + y + z =
(S3 ) ≃
0x + y − 3z =
2

0x + 0y + z = −3
tem como conjunto solução S3 = [11, −7, −3]t , portanto pelo teorema 0.2, o conjunto
solução para o Sistema (S) é S = S3 = [11, −7, −3]t ,
(ii) Sistemas Escalonados
Dada uma matriz
An×m


a1r1 a1r1 +1 a1r1 +2 · · · a1m
 0
a2r2 a2r2 +1 · · ·a2m 


=  ..
..
..
..  ,
 .
.
.
. 
0
0
0
· · ·anrm
(0.1.7)
onde, a1r1 6= 0, a1r2 6= 0, · · · a1rm 6= 0. Se tivermos 1 ≤ r1 < r2 < · · · < rm ≤ m
diremos que a matriz A está escalonada.
Um Sistema Linear (S) está escalonado se a matriz aumentada associada à (S)
estiver na forma .

ou seja




[A|B] = 



a1r1 a1r1 +1 a1r1 +2 · · ·
a1n
0
..
.
a2r2
..
.
0
0
0
· · · amrm
0
0
0
···


a1r1 x1




 0x1
..
(S) ≃
.



0x

1

 0x
1
a2r2 +1 · · ·
..
..
.
.
a2n
..
.
0

..
. β1

..
. β2 


..
,
.

..

. βk 
..
. βk+1
+ a1r1 +1 x2 + · · · a1n xn
+ a2r2 +1 x2 + · · · a2n xn
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
+
0x2
+ · · · amrm xn
+
0x2
+ ···
0xn
=
=
..
.
β1
β2
..
.
(0.1.8)
(0.1.9)
= βk
= βk
onde, a1r1 6= 0, a1r2 6= 0, · · · a1rm 6= 0 e 1 ≤ r1 < r2 < · · · < rm ≤ m.
Discussão e Resolução de Um Sistema Linear
Discutir um Sistema Linear (S) significa efetuar um estudo de (S) visando classificá-lo
segundo a definição a seguir.
14
Definição 9. Dizemos que um Sistema Linear (S) é Incompatı́vel se (S) não admite
solução . Um Sistema Linear (S) que admite uma única solução é chamado Compatı́vel Determinado. Se um sistema admitir mais do que uma solução então ele é
denominado Compatı́vel e Indeterminado
(I) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtém-se

 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
0x1 + 0x2 + · · · 0xn = βk
(S) ≃

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
(0.1.10)
com βk 6= 0, o Sistema Linear será Imcompatı́vel ou Impossı́vel e denoteremos por
(SI) ou o conjunto solução para (S) é o conjunto vazio (ver difinição 9) .
(II) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtém-se


x1 + a1r1 x2 + · · · a1n xn = β1


 0x1 +
x2
+ · · · a2n xn = β2
(S) ≃
..
..
..
..
..
..
..
..

.
.
.
.
.
.
.
.


 0x + 0x
+
·
·
·
x
=
β
1
2
n
n,
(0.1.11)
o sistema (S) é Compatı́vel e Determinado (o sistema linear está escalonado e
número de equações é igual ao número de incógnitas)
(III) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtém-se


x1 + a1r1 x2 + · · · a1rp xrp + · · · a1n xn = β1


 0x1 +
x2
+ · · · a2rp xrp + · · · a2n xn = β2
(S) ≃
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


 0x + 0x
+
·
·
·
a
x
=
β
+
·
·
·
x
pn n
p,
1
2
rp
(0.1.12)
onde, p < n o sistema (S) é Compatı́vel e Indeterminado (o sistema linear está
escalonado e número de equações é menor ao número de incógnitas)
• Se um Sistema Linear tiver mais que uma solução , então o sistema terá infinitas
soluções .
Exemplo 14. Considere o Sistema

 x − 2y − z = 1
2x + y − 3z = 0
(S) ≃

x − 7y + 0z = 3

 x − 2y − z = 1
2x + y − 3z = 0
(S) ≃

0x − 7y + 0z = 3

L1 = l1
 x − 2y − z = 1
0x + 5y − z = −2
L2 = −2l1 + l2 ≃

0x − 5y + z = 2
L3 = −l1 + l2
15

L1 = l1
 x − 2y − z = 1
L2 = l2
≃
0x + 5y − z = −2

L3 = l2 + l3
0x + 0y + 0z = 0
L1 = l1
x − 2y − z = 1
L2 = l2
≃ S3 ≃
0x + 5y − z = −2
L3 pode ser eliminada
O teorema 0.2, garante que o conjunto solução do Sistema (S) é igual aoconjunto
solução para o Sistema (S3 ), que é
2 1
1 7
S = {( + z, − + z, z) z ∈ R}.
5 5
5 5
Note que o Sistema (S) tem uma quantidade infinita de soluções .
Exemplo 15. Considere o Sistema

 x + y + z = 1
(S) ≃
2x + y + 5z = 0

3x + 2y + 5z = −2
Vamos realizar o escalonamento de (S),

L1 = l1
 x
0x
(S) L2 = 2l1 − l2 ≃

L3 = 3l1 − l3
0x

L1 = l1
 x
L2 = l2
≃ (S3 ) ≃
0x

L3 = l2 − l3
0x
+ y + z = 1
+ y − 3z = 2
+ y − 2z = 5
+ y + z =
1
+ y − 3z =
2
+ 0y − z = −3
como conjunto solução para o sistema (S3 ) é S3 = [−14 11 3]t , pelo teorema 0.2, o
conjunto solução para o Sistema (S) é S = S3 = [−14 11 3]t . Note que o Sistema (S)
tem uma única solução e portanto (S) é Compatı́vel e Determinado.
Exemplo 16. Considere o Sistema

 x + 2y + 3z = 1
3x + 6y + 9z = 0
(S) ≃

3x + 2y + 5z = −2
Precedomos ao escalonamento de (S),

L1 = l1
 x + y + z = 1
0x + 0y − 0z = 3
(S) L2 = 3l1 − l2 ≃

L3 = 3l1 − l3
0x + y − 2z = 5
16
Note que a segunda equação já é incompatı́vel com as demais, e isto torna o Sistema
(S) incompatı́vel ou seja o conjunto solução de (S) é vazio.
17