MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 47
ÁREAS DE POLÍGONOS
h
b
I
h
b
h
b
h
b
h
b
d
D
S
S
S
S
S
S
D
S
d
S
d
D
b
h
B
h
b
B-b
B
b
A
h
B
h
b
h
b
h
b
a
h
α
b
a
α
b
I
I
h
I
b
c
r
a
c
c
r
rar
b
b
r
r
r
a
b
c
r
a
Como pode cair no enem
(ENEM) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais
compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura:
B
C
A
D
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos
AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados
dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro
para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2.
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
a) R$ 22,50
d) R$ 42,50
b) R$ 35,00 e) R$ 45,00
c) R$ 40,00
Fixação
1) A área do quadrado sombreado é:
7m
1m
a) 36
1m
b) 40
c) 48
7m
d) 50
e) 60 1m
7m
s
s
7m
1m
Fixação
2) (UNIRIO) A área da figura sombreada é:
a) 100m²
b) 132m² c) 140m² d) 144m²
e) 156m²
y (em m)
14
10
6
2
5 8
14 17 x (em m)
Fixação
3) A figura mostra um quadrado de lado a e um triângulo ABC onde os vértices A e B são pontos
médios dos lados do quadrado.
C
A
a
)
B
Calcule a área desse triângulo.
F
Fixação
4) (ENEM) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em
5
quatro lotes de mesma área.
5
Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros.
r
Dos esquemas a seguir, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes
s
não possuem, necessariamente, a mesma área é:
n
Rua A
Rua C
Rua B
a) d)
b) e)
c)
Terreno
Rua D
r
a
b
c
Fixação
5) (ENEM) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, formado por
5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas
recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se de todas as
sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas
nas figuras 2 e 3.
figura 1
figura 2
figura 3
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2cm, então área da figura 3, que
representa uma “casinha”, é igual a:
a) 4cm
d) 14cm
b) 8cm
e) 16cm
c) 12cm
Fixação
6) (ENEM) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos
chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma
dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s. O cálculo da
vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água),
em m2, pela velocidade v da água no local, em m/s, ou seja, Q = A.v.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para
evitar a ocorrência de enchentes.
Figura I
Figura II
20 m
41 m
2.0 m
2.5 m
30 m
49 m
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para
depois da reforma na canaleta?
a) 90m3/s
b) 750m3/s
c) 1.050m3/s
d) 1.512m3/s
e) 2.009m3/s
Proposto
1) Um leitor encontra o seguinte anúncio entre os classificados de um jornal.
Vila das Flores
Vende-se terreno plano
medindo 200 m². Frente
voltada para o Sol no
período da manhã.
Fácil acesso.
(443) 0677 - 0032
Interessado no terreno, o leitor vai ao endereço indicado e, chegando lá, observa um painel com a planta a seguir, onde
estavam destacados os terrenos ainda não vendidos, numerados de I a V:
Rua dos Cravos
II
IV
III
V
Rua das Margaridas
I
Rua das Rosas
Rua dos Jasmins
N
Rua das Hortênsias
0 10 20m
Considerando as informações do jornal, é possível afirmar que o terreno anunciado é o:
a) I d) IV
b) IIe) V
c) III
Proposto
2) Um programa de reflorestamento será implantado em uma área em forma de trapézio retângulo, cuja planta está desenhada abaixo, na escala 1:20.000.
A área destinada a este programa de reflorestamento corresponde a:
a) 0,256km2
b) 2,56km2
5 cm
c) 25,6km2
d) 256km2
e) 2560km2
10 cm
11 cm
Proposto
-3) O quadrilátero ABCD é um retângulo, e os pontos E, F e G dividem a base AB em quatro
partes iguais.
D
C
h
A
E
F
G
B
A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é:
a) 1 d) 1
7
6
1
b) e) 1
8
9
c) 1
10
Proposto
4) (ENEM) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no
inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas
por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45
m2 de área.
O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que
deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos e um trapézio).
9m
II
III
IV
4m
14 m
7m
I
8m
5m
Avaliando-se todas as informações, serão necessários:
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B.
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.
Proposto
5) (ENEM) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá
após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas
originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura.
A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
3
y
5
x
Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:
a) 2xy
b) 15 - 3x
c) 15 - 5y
d) - 5y - 3x
e) 5y + 3x - xy
Proposto
6) (ENEM) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por
metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais.
Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8
quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora
para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm).
O valor da segunda encomenda será:
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram;
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro;
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram;
d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade;
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.
Proposto
7) (UFRJ) ABCD é um retângulo. Mostre que a área do triângulo PAB independe da posição
do ponto P sobre o lado CD.
D
P
C
8
a
;
A
B
Proposto
8) (UFRJ) Tangram é um antigo quebra-cabeça chinês formado por um quadrado decomposto
em sete peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, como mostra a figura A. A
figura B é obtida a partir da figura A por meio de translações e rotações de seis dessas peças.
Figura A
Figura B
Determine a razão da área da figura A para a área da figura B.
Proposto
9) (UERJ)
A
.
O decágono da figura acima foi dividido em partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos
regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao quadrado, e mais 4
outros triângulos.
Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que
a área do decágono é equivalente a:
a) 14T + 3Q
b) 14T + 2Q
c) 18T + 3Q
d) 18T + 2Q
Proposto
10) (UERJ) O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e sua diagonal (BD) divididos, cada um,
em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos {E, F} e {G, H}. A área do triângulo FGB
é uma fração da área do paralelogramo ABCD.
D
C
H
G
A
E
F
B
A sequência de operações que representa essa fração está indicada na seguinte alternativa:
1 1 1
a) – . – . –
2 3 3
1 1 1
b) – - – . –
2 3 3
1 1 1
c) – . – + –
2 3 3
1 1 1
d) – + – + –
2 3 3
Proposto
11) (UFRJ) Há um conhecido quebra-cabeça que consiste em formar um quadrado com as
partes de um triângulo equilátero, como mostram as figuras:
:
B
Q
P
S
N
M
A
R
Q
N
C
N
P
B
A
S
C
N
R
M
Partindo de um triângulo equilátero de perímetro 24cm, calcule o perímetro do quadrado.
Proposto
12) (PUC) O símbolo de uma corporação é formado por três losangos iguais. Cada losango
tem lado a e ângulo de 60° e 120°. A soma das áreas desses losangos vale:
2a2√3
a) –––––
3
2
3a √3
b) –––––
3
3a2√3
c) –––––
2
d) a2√3 e) 3a2√3
Proposto
13) (ENEM) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos, e fazendo demarcações por onde a obra deve
começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano.
Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo
retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode
ser visto na figura, na qual as estacas foram indicadas por letras.
B
P
A
M
N
C
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde:
a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.
Proposto
14) (ENEM) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação
da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada
temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça.
(Disponível em. www.arq.ufsc.br Acesso em: 3 mar. 2012.)
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos
lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%.
Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em
a) 4%
b) 20%
c) 36%
d) 64%
e) 96%
Proposto
-15)
B
-
m
A
C
Na figura anterior vemos uma “malha” composta de 55 retângulos iguais. Em três dos nós
da malha são marcados os pontos A, B e C, vértices de um triângulo. Considerando-se a área
S de cada retângulo, a área do triângulo ABC pode ser expressa por:
a) 24S
d) 6S
b) 18S
e) 4S
c) 12S
Proposto
16) (UFF) Cortando-se pedaços quadrados iguais nos vértices de uma cartolina retangular de 80
cm de comprimento por 60 cm de largura, obtém-se uma figura em forma de cruz. Se a área da
cruz for a terça parte da área retangular original, o tamanho do lado de cada quadrado é igual a:
a) 5√2 cm
b) 10√2 cm
c) 15√2 cm
d) 20√2 cm
e) 25√2 cm
Proposto
17) (PUC) Dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. O valor máximo
aque pode ter a área desse triângulo é de:
a) 11cm2
b) 15cm2
c) 20cm
d) 25cm2
e) 30cm2
Proposto
18) (ENEM) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y
centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada
a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas. Devido a uma demanda do mercado
por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las
em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada.
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:
N
a) ––
9
N
b) ––
16
N
c) ––
3
d) 3N
e) 9N
Proposto
y19) (UFRS) No triângulo ABC desenhado abaixo, P, Q e R, são os pontos médios dos lados.
Se a medida da área do triângulo hachurado é 5, a medida da área do triângulo ABC é:
a) 20
s
A
b) 25
c) 30
d) 35
Q
P
e) 40
C
R
B
Proposto
20) (UERJ) A imagem mostra uma pessoa em uma asa-delta.
O esquema abaixo representa a vela da asa-delta, que consiste em dois triângulos isósceles
ABC e ABD congruentes, com AC = AB = AD. A medida de AB corres-ponde ao comprimento
da quilha. Quando esticada em um plano, essa vela forma um ângulo CÂD = 2θ.
Suponha que para planar, a relação ideal seja de 10dm2 de vela para cada 0,5 kg de massa
total. Considere, agora, uma asa-delta de 15 kg que planará com uma pessoa de 75 kg.
De acordo com a relação ideal, o comprimento da quilha, em metros, é igual à raiz quadrada
D
de:
a) 9 cos θ
b) 18 sen θ
9
θ
c) ––––
A θ
B
cos θ
18
d) ––––
sen θ
B
Proposto
21) (UFRJ) Os triângulos ABC e ABC da figura são equiláteros e têm o centro O em comum.
o
A
–
A
–
B
B
L
–
C
C
l
Sendo L o lado do triângulo maior, determine o lado l do triângulo menor, de forma que
a área da figura sombreada seja metade da área do triângulo ABC.
Proposto
22) (ENEM) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda para
seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com as leis, deve-se
ter uma reserva legal de 20% de sua área total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para
compor a reserva para o filho, conforme a figura a seguir.
a
B
x
área de
reserva legal
(filho)
x
área 100%
cultivada
(filho)
Fazenda
do pai
De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma
faixa da largura x metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva.
O dobro da largura x da faixa é:
a) 10% (a + b)²
b) 10%(a - b)2
c) √ a + b - (a + b)
d) √ (a + b)2 + ab - (a + b)
e) √ (a + b)2 + ab + (a + b)
Proposto
23) (UERJ) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizouse um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento,
obedecendo-se às instruções abaixo.
D
M
C
15 cm
I) Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente:
D
M
C
N
B=P
A
B’
B
II) Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o
ponto P do segmento MN:
D
M
C
A
III) Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.
A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2, é igual a:
a) 25 (4 -√3)
b) 25 (6 -√3)
c) 50 (2 -√3)
d) 50 (3 -√3)
P
A
B
Proposto
24) (UERJ) Um tabuleiro retangular com pregos dispostos em linhas e colunas igualmente
espaçadas foi usado em uma aula sobre área de polígonos.
A figura abaixo representa o tabuleiro com elástico fixado em quatro pregos indicados pelos
pontos A, B, C e D.
D
C
A
B
Considere u a unidade de área equivalente ao menor quadrado que pode ser construído com vértices
em quatro pregos do tabuleiro.
Calcule, em u, a área do quadrilátero ABCD formado pelo elástico.
Proposto
25) (UFRJ) O hexágono ABCDEF é construído de modo que MNP seja um triângulo equilátero
e AMPF, BCNM e DEPN sejam quadrados.
B
A
M
F
C
P
N
E
D
A área do hexágono ABCDEF é igual a 3+√3cm². Determine o comprimento, em centímetros,
do lado do triângulo MNP.
Proposto
26) (UERJ) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40 cm.
Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que DÂE = 45º e BÂC = 30º, conforme ilustrado a seguir:
A
D
B
E
C
Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que 3 = 1,7, a área, em cm2, do triângulo
CAE equivale a:
a) 80
b) 100
c) 140
d) 180