caderno do
ensino fundamental
7ª- SÉRiE
volume 4 - 2009
matEmática
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Vice-Governador
Alberto Goldman
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira,
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia
Salem e Yassuko Hosoume
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes,
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza,
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark,
Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e
Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,
Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design
(projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Imprensa Oficial do Estado de São Paulo
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
S239c
Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7a série, volume 4 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo
de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto
Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-438-4
1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II.
Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado,
Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.5:51
Caras professoras e caros professores,
Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de
revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5-a a 8-a séries do Ensino
Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo.
Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente
completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula.
O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendizagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos.
A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elaboração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as
aprendizagens de todos os alunos.
Bom trabalho!
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
Sumário
São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
12
Situação de Aprendizagem 1 – Áreas de figuras planas
12
Situação de Aprendizagem 2 – Teorema de Tales: a proporcionalidade
na Geometria 25
Situação de Aprendizagem 3 – O teorema de Pitágoras: padrões numéricos
e geométricos 39
Situação de Aprendizagem 4 – Prismas
Orientações para Recuperação
57
62
Conteúdos de Matemática por série / bimestre do Ensino Fundamental
63
São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA
CuRRiCulAR PARA o EStAdo
Caros(as) professores(as),
Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documentos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos
professores em 2009.
Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para
que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo
reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em
diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos professores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento
coletivo e a cooperação entre eles.
A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favorecer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada,
significativa e motivadora de ensinar aos alunos.
Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez
ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhecimentos dos alunos.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
5
6
FiChA do CAdERno
áreas, tales, Pitágoras e volumes
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Ensino Fundamental
Série:
7a
Volume:
4
temas e conteúdos:
Áreas de figuras planas
Teorema de Tales: a proporcionalidade
na Geometria
Teorema de Pitágoras
Prismas: área e volume
7
oRiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam,
de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado
pelos livros didáticos. As inovações pretendidas
referem-se à forma de abordagem dos mesmos,
sugerida ao longo dos Cadernos de cada um
dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente
currículo, destacando-se a contextualização
dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas – especialmente as relacionadas com
a leitura e a escrita matemática –, bem como
os elementos culturais internos e externos
à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades aproximadamente de mesma extensão, que podem corresponder
a oito semanas de trabalho letivo. De acordo
com o número de aulas disponíveis por semana,
o professor explorará cada assunto com maior
ou menor aprofundamento, ou seja, escolherá
uma escala adequada para o tratamento do
mesmo. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das
unidades pode ser estendido para mais de uma
semana, enquanto o de outra unidade pode ser
tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que,
juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das
8
outras. Insistimos, no entanto, no fato de que
somente o professor, em sua circunstância
particular e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto
tempo dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando
o professor para sua ação em sala de aula.
As atividades são independentes e podem ser
exploradas com mais ou menos intensidade,
segundo seu interesse e de sua classe. Em razão das limitações no espaço dos Cadernos,
nem todas as unidades foram contempladas
com Situações de Aprendizagem. Por isso,
priorizou-se explicitar a forma de abordagem
dos temas nas atividades oferecidas.
Em cada Caderno, sempre que possível são
apresentados materiais disponíveis (textos,
softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta,
que podem ser utilizados pelo professor para
o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
esperadas para este bimestre, em cada Situação de Aprendizagem apresentada.
Matemática – 7a série – Volume 4
Conteúdos básicos do bimestre
No 4o bimestre da 7a série, o foco da
aprendizagem será a Geometria. Abordaremos temas importantes, como o cálculo de
áreas, os teoremas de Tales e de Pitágoras e
os prismas. Os conteúdos que foram objeto
de estudo do 2o bimestre, como os processos
que envolvem estimativas, o trabalho com as
operações algébricas e os produtos notáveis,
podem ser agora, no 4o bimestre, utilizados
nas deduções das fórmulas das áreas das figuras mais comuns como o paralelogramo, o
losango, o trapézio e o triângulo. Para esse trabalho, nos apoiamos na expressão da área do
retângulo (produto da medida da base pela
medida da altura) e no conceito de equivalência de figuras planas, isto é, figuras que,
mesmo diferentes, possuem a mesma área.
O uso das fórmulas como recurso de síntese
de ideias é apresentado ao aluno como um
modo de orientar sua leitura do enunciado
e das figuras, permitindo a identificação dos
termos necessários à resolução do problema.
Nesse sentido, frente a uma situação que envolva a determinação da área de um trapézio,
por exemplo, a fórmula pode chamar a atenção do aluno a observar os lados paralelos,
que são as bases, e a distância entre eles, a altura. Em algumas situações, esses valores não
são fornecidos explicitamente, e é necessária
uma análise mais detalhada da figura, com
necessidade de prolongar um lado, traçar
uma altura ou uma diagonal, por exemplo.
Situações como essas reforçam a ideia de que
a compreensão do problema e a aplicação da
fórmula são etapas para resolvê-los.
Em seguida, será apresentada a proporcionalidade que o teorema de Tales estabelece entre os segmentos determinados por retas
paralelas traçadas sobre transversais, fortalecendo o vínculo entre a abordagem geométrica e a numérica. A partir de situações que
exploram essa proporcionalidade de forma
intuitiva, é sugerida uma demonstração desse teorema com o objetivo de validar as ideias
adquiridas de maneira informal. Para contornar o problema de segmentos incomensuráveis que a demonstração formal exige, e que é
tema do 1o bimestre da 8a série, os argumentos
da demonstração encontram-se apoiados em
cálculos de áreas de triângulos, o que permite
aprofundar o estudo de áreas, tratado na
Situação de Aprendizagem anterior.
Os teoremas de Tales e de Pitágoras apresentam-se como excelentes situações para o
professor abordar a Matemática a partir de
uma perspectiva histórica, o que entendemos ser uma fonte de motivação e de criação
de significados.
Em relação ao teorema de Pitágoras, o
desafio proposto foi criar, a partir de um conjunto de situações-problema, uma síntese de
ideias que induzisse à equivalência entre a área
do quadrado construído sobre a hipotenusa
e a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo.
Com o teorema de Pitágoras, os problemas
geométricos ganham uma qualidade diferente.
A relação entre os lados do triângulo retângulo permite explorar as figuras geométricas
de novas maneiras. Vários conceitos métricos
9
associados a polígonos, como a determinação
das medidas da altura e das diagonais, podem
ser explorados de forma mais significativa. No
3o e 4o bimestres da 8a série, as noções sobre o
teorema de Pitágoras são ampliadas, particularmente quando são apresentadas as relações
métricas no triângulo retângulo e as razões trigonométricas. Com a compreensão do número
π (pi) e o cálculo de área de círculos, proporemos uma generalização do padrão pitagórico
para outras figuras além do quadrado sobre
os lados do triângulo retângulo.
Nós, professores, sabemos a importância
dos teoremas de Tales e de Pitágoras tanto no
estudo da Geometria no Ensino Fundamental como na compreensão de vários fatos que
serão apresentados aos alunos no decorrer de
sua escolaridade básica. O teorema de Tales
é uma ideia essencial aplicada nos estudos
de semelhança e de razões trigonométricas,
temas do 3o bimestre da 8a série, nos estudos
de colinearidade de pontos e de seções planas
nos sólidos geométricos, objeto de estudo do
Ensino Médio. A aplicação do teorema de
Pitágoras é muito abrangente, podendo ser
identificada na trigonometria, na geometria
analítica, quando são estudadas a distância entre pontos e as equações das cônicas, e
na geometria espacial métrica.
Na sequência, dando continuidade ao trabalho iniciado na 6a série, quando foram apresentadas as formas espaciais, o foco agora será
o estudo particularizado do prisma.
10
Algumas relações métricas e o cálculo da
área da superfície e do volume tornaram o
trabalho com os prismas uma síntese de toda
a Geometria discutida no bimestre, constituindo uma oportunidade para o professor
discutir as conexões entre as duas geometrias:
plana e espacial.
Na Situação de Aprendizagem 1, o trabalho
com áreas de figuras planas é iniciado com o
estudo sobre equivalência de polígonos, isto é,
polígonos que possuem a mesma área, embora
sejam de formatos diferentes. Em seguida, propomos alguns procedimentos de estimativa com
o auxílio de malhas. Para o cálculo da área de
polígonos, exploramos a necessidade do uso e
da demonstração de fórmulas, apoiando-nos
na decomposição de figuras e no cálculo
da área de retângulos, procedimento que consideramos conhecido pelos alunos. Na etapa seguinte, os exercícios propostos como exemplos
visaram explorar situações de análise de informações, contidas no enunciado ou na figura,
para a aplicação de fórmulas. Vale ressaltar
que os cálculos de áreas de polígonos estarão
presentes em várias situações do bimestre, não
se esgotando, portanto, nesse momento.
Na Situação de Aprendizagem 2, apresentamos o teorema de Tales e suas aplicações em
situações contextualizadas. Como ponto de
partida, propusemos algumas situações que
exploram, de forma intuitiva, a propriedade que o teorema estabelece. A demonstração
do teorema de Tales, além de dar continuidade
Matemática – 7a série – Volume 4
aos processos de demonstração iniciados com
as deduções das fórmulas das áreas dos polígonos, permite explorar uma habilidade frequentemente aplicada na Matemática: a capacidade
de generalização e validação de fatos apoiados
em situações intuitivas.
Na Situação de Aprendizagem 3, o teorema
de Pitágoras é foco da aprendizagem. Nela,
apresentamos uma sequência de atividades que
explora, em uma perspectiva histórica, a análise de fatos relacionados a padrões numéricos e
geométricos que, por sua vez, tornam-se argumentos na demonstração desse teorema. Esta
Situação de Aprendizagem também apresenta
um conjunto de exercícios exemplares que permite a identificação e a aplicação do teorema
de Pitágoras em situações contextualizadas.
Vale ressaltar que neste momento privilegiamos os cálculos que envolvem raízes de
quadrados perfeitos, uma vez que os números
irracionais são objeto de estudo do 1o bimestre
da 8a série. Caso o professor ache conveniente
trabalhar com esses números no contexto do
teorema de Pitágoras, pode apoiar-se em aproximações ou mesmo no uso da calculadora.
Dando continuidade ao estudo iniciado na
a
6 série, quando foram trabalhados os poliedros e a relação de Euler, a Situação de Aprendizagem 4 trata dos prismas e dos cálculos
métricos relacionados a eles, como a medida de
diagonais, área da superfície e volume. O trabalho com os prismas também visa construir um
padrão de formalização de conceitos relativos
a objetos espaciais, que serão explorados na
8a série com os estudos do cilindro.
Mais uma vez, vale lembrar que as situações-problema propostas aqui têm por objetivo auxiliar a prática educativa. São exercícios
exemplares que devem ser combinados àqueles
que o professor acumulou em seus anos de docência. Fica a critério do professor a escolha e
a exploração mais detalhadas das Situações de
Aprendizagem propostas.
Quadro geral de conteúdos do 4o bimestre
da 7a série do Ensino Fundamental
unidade 1 – Apresentação do teorema de
Tales.
unidade 2 – Reconhecimento e aplicação do teorema de Tales em situações de
contexto.
unidade 3 – Apresentação do teorema de
Pitágoras.
unidade 4 – Reconhecimento e aplicação
do teorema de Pitágoras em situações de
contexto.
unidade 5 – Apresentação do cálculo de
áreas de figuras planas.
unidade 6 – Áreas de figuras planas.
unidade 7 – Prismas.
unidade 8 – Problemas métricos envolvendo área e volume de prismas.
11
SituAçõES dE APREndizAgEm
SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 1
ÁREAS DE FIGuRAS PlANAS
tempo previsto: 10 aulas.
Conteúdos e temas: áreas de figuras planas representadas em malhas, áreas de triângulos e
quadriláteros.
Competências e habilidades: estimar áreas de figuras regulares e irregulares; compreender diferentes processos de cálculos de áreas; aplicar fórmulas para cálculo de áreas de polígonos;
identificar os termos necessários ao cálculo da área de um polígono.
Estratégias: compor e decompor figuras planas, resolução de situações-problema.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Nesta Situação de Aprendizagem, o foco do
estudo da Geometria está no cálculo da área de
figuras planas. Este estudo teve início no 3o bimestre da 5a série, quando o uso das malhas se
combinou com a decomposição das figuras. Na
6a série, 2o bimestre, o trabalho de “ladrilhar o
plano” possibilitou a apresentação dos polígonos regulares e algumas de suas propriedades.
No 1o bimestre da 7a série, aplicamos noções de
área de retângulos para o desenvolvimento das
expressões algébricas e dos produtos notáveis.
Dessa forma, fomos construindo a noção de
que medir ou avaliar uma superfície é determinar quantas vezes ela contém outra superfície
tomada por unidade. Ao mesmo tempo, foram
deduzidas fórmulas para o cálculo da área de
algumas figuras específicas, como o retângulo
12
e o quadrado. O trabalho que propomos nesta
Situação de Aprendizagem tem por objetivo
explorar e ampliar as ideias e os processos
aprendidos para o cálculo da área de figuras,
refinando o olhar do aluno sobre a identificação dos termos essenciais para esse cálculo
(medidas da base, da altura e das diagonais).
Para o desenvolvimento desse tema, a noção intuitiva da equivalência de polígonos
apresenta-se como central, servindo de apoio
às deduções das fórmulas para o cálculo das
áreas do paralelogramo, do losango, do trapézio e do triângulo. Em seguida, apresentamos alguns procedimentos para o cálculo de
área de figuras desenhadas sobre malhas quadriculadas. Nesta Situação de Aprendizagem,
procuramos também explorar a dissociação
dos conceitos de área e perímetro e a aplicação de conceitos algébricos na resolução de
Matemática – 7a série – Volume 4
problemas que envolvem o cálculo de áreas.
Cabe ressaltar que nas demais Situações de
Aprendizagem o cálculo da área de polígonos
continuará sendo explorado.
4m
Equivalência de figuras planas
2m
4m
8m
Dois polígonos iguais têm, evidentemente, a mesma área. Dois polígonos diferentes,
entretanto, podem ter a mesma área. Quando
dois polígonos têm a mesma área, dizemos que
eles são equivalentes. A noção de equivalência
pode ser associada à equidecomposição de polígonos. Naturalmente, se dois polígonos são
formados pelas mesmas partes, ou seja, se
são equicompostos, eles têm a mesma área.
Embora menos evidente, a recíproca desse teorema, isto é, que dois polígonos com a mesma
área são equidecomponíveis, foi demonstrada
por dois matemáticos, o húngaro F. Bolyai e o
alemão P. Gerwien, e recebeu o nome de teorema de Bolyai-Gerwien.
O importante, neste momento, é apresentar
Consideramos que a primeira forma é mais
conveniente para introduzir esse tema por ser
mais intuitiva e não exigir o uso de fórmulas ou
cálculos.
Pode-se iniciar a discussão apresentando a situação de equidecomposição a seguir. Tomando
um cartão no formato de um retângulo ABCD,
com um corte em sua diagonal AC, pode-se dividi-lo em dois triângulos (1) e (2). Promovendo
um movimento no triângulo (2), de modo que
o lado BC coincida com o lado AD, obtém-se
uma nova figura: o triângulo EFG.
A
B
A
B
(2)
ao aluno, de forma intuitiva, as propriedades
relativas a esses teoremas. Duas situações referentes à forma e às dimensões dos polígonos
(1)
devem ser consideradas: na primeira, a equivalência é facilmente percebida na forma, e por
D
C
D
C
E
isso aplica-se a decomposição do polígono (um
quadrado formando um retângulo a partir de
um corte feito pela metade de seus lados); na
segunda, ela é percebida pelas dimensões dos
(2)
polígonos (o quadrado e o retângulo têm áreas
iguais):
F
(1)
G
13
Atividade 1
A
B
F
C
E
D
Cortando o hexágono pela diagonal CF, obtemos
dois trapézios isósceles. Coincidindo os lados
CD com AF, obtemos um paralelogramo. Para
provar que não há excessos nem espaços vazios
nesse encaixe, podemos argumentar que os dois
trapézios têm a mesma altura e que os ângulos formados no encaixe são suplementares.
A
B
F
C
E
14
D
12 cm
18 cm
4 cm
Considere o hexágono regular ABCDEF.
Com apenas um corte, construa um paralelogramo que seja equivalente a ele. Se desejar,
com o auxílio de régua e compasso, construa
um hexágono regular de papel e encontre um
corte que o transforme em um paralelogramo.
Como dissemos, um segundo caso que
deve ser abordado na equivalência de figuras é
aquele que envolve o cálculo de suas áreas com
o uso das fórmulas, isto é, sem a necessidade
da decomposição. Por exemplo, estes retângulos são equivalentes porque possuem a mesma
área: A = 72 cm2.
6 cm
Embora as figuras sejam diferentes, podemos dizer que o triângulo formado com as peças do retângulo possui algo em comum com
o retângulo: eles ocupam a mesma porção do
plano, eles têm a mesma área. Neste momento
o professor pode enunciar que “quando duas
figuras planas possuem áreas iguais, dizemos
que elas são equivalentes”.
Vale observar que, nessa perspectiva, o
professor pode explorar o fato de que figuras
equivalentes (mesma área) podem possuir perímetros diferentes. No caso, o primeiro retângulo possui 36 cm de perímetro, enquanto o
segundo possui 44 cm. A abordagem comum
de cálculos de áreas e perímetros possibilita
fixar melhor ambos os conceitos e preparar o
aluno para estudar posteriormente a geometria espacial, quando observamos que prismas equivalentes, isto é, com mesmo volume,
podem possuir – e isso geralmente ocorre
– áreas superficiais diferentes. Esse fato permite
um tipo muito interessante de investigação: o
da construção de embalagens com mesma
capacidade e menor custo de material.
Atividade 2
Dois retângulos são equivalentes. No primeiro, a base mede 125 cm e a altura mede 80 cm.
Matemática – 7a série – Volume 4
No segundo, a base mede 50 cm e desconhece-se
a altura.
a) Descreva uma forma de encontrar a altura do segundo retângulo e encontre
seu valor.
Como os retângulos são equivalentes, eles
possuem a mesma área, que, neste caso,
é o produto da base pela altura. Dividindo-se essa área pela medida da base do
segundo, encontramos a altura pedida.
Denominando a altura desconhecida por
h, temos:
A = 125 . 80 = 10 000 cm , logo 50 . h = 10 000
2
Portanto: h = 200 cm.
b) Compare o perímetro dos dois retângulos. O que você observa?
O perímetro do primeiro será 410 cm,
enquanto o do segundo será 500 cm. Observa-se que, embora eles tenham a mesma
área, seus perímetros são diferentes.
A atividade a seguir explora, sob forma de
investigação, uma situação que envolve medidas de áreas e perímetros.
Atividade 3
um retângulo tem base de 16 cm e altura de
4 cm. Encontre as medidas de um retângulo
equivalente a este que possua o menor perímetro
possível.
4 cm
16 cm
Para resolver essa atividade, o aluno pode
inicialmente calcular a área do retângulo:
64 cm2. A pesquisa sobre o retângulo de menor
perímetro equivalente a esse, que pode ser feita
por meio de uma tabela, deve conduzi-lo a um
quadrado de lado 8 cm. Trata-se de uma oportunidade para o professor retomar o conceito
de que o quadrado é também um retângulo.
Fórmula de Pick: calculando áreas por
contagem
Às vezes, a beleza de um teorema não é
associada à sua aplicação, mas à sua simplicidade. Em 1899, o matemático tcheco
Georg Alexander Pick publicou um artigo
que apresentava uma fórmula para cálculo de
áreas de polígonos cujos vértices eram pontos de uma malha quadriculada. Observando
a composição e decomposição de figuras planas na malha, Pick percebeu um padrão que
associava a área de um polígono à quantidade
de pontos da malha que se situavam no seu
interior e sobre seu perímetro.
A fórmula de Pick, para um polígono cujos
vértices são pontos de uma malha quadricuB
lada, é: A = + I − 1 , em que A é a área do
2
polígono, b é a quantidade de pontos da malha situados sobre a fronteira do polígono e
i é o número de pontos da malha existentes no
interior do polígono.
O professor pode propor aos alunos a
construção de polígonos sobre malhas e o
cálculo de suas áreas aplicando a fórmula de
15
Pick. A seguir sugerimos três figuras – um
quadrado, um paralelogramo e um triângulo
retângulo – e nos propomos a verificar se há
equivalência entre os três polígonos. O professor pode observar, pela contagem de quadradinhos, a validade intuitiva da fórmula de
Pick.
Figura
Valor de b
Valor de i
Quadrado
8
1
A=
8
+1−1
2
A=4u
Paralelogramo
6
2
A=
6
+ 2 −1
2
A=4u
Triângulo retângulo
6
0
A=
6
+ 0 −1
2
A=2u
Pelo exposto observamos que o quadrado e
o paralelogramo dados são polígonos equivalentes.
Atividade 4
Em uma tábua foram fixados, à mesma distância, alguns pregos formando um geoplano.
Com um elástico o professor formou a figura
a seguir. Aplique a fórmula de Pick para encontrar a área do polígono ABCD.
Cálculo
área
Na figura temos B = 5, I = 24, logo
A = 2,5 + 24 – 1 = 25,5 u. Observe que o
mesmo problema pode ser resolvido da forma indicada a seguir, pela diferença entre
a área do retângulo completo e a área dos
4 triângulos retângulos que o contornam:
D
C
A
d
C
B
 3 . 4 2 .7 5 . 1 2 . 4 
A = 9.5 − 
+
+
+

2
2
2 
 2
A
b
16
A = 45 − 19, 5 = 25, 5 u .
Matemática – 7a série – Volume 4
As atividades a seguir, embora explorem o
cálculo de áreas de figuras irregulares, ainda
se apoiam no uso das malhas quadriculadas.
O método aqui proposto permite a estimativa
de áreas e é empregado em várias atividades
do cotidiano.
Calculando áreas de figuras irregulares
Aerofotogrametria é um conjunto de técnicas que permite a elaboração de mapeamentos com base em fotografias tiradas por
câmeras instaladas em aviões ou satélites.
Fotogrametristas são os profissionais que
analisam as formas e as dimensões dos objetos baseando-se nessas fotografias métricas.
Esses profissionais têm recursos para determinar áreas de regiões como cidades, países
ou parques ambientais. A seguir, propomos
um método para determinar, de forma aproximada, áreas de regiões irregulares em um
mapa. Neste caso, consideramos que os
mapas foram construídos por meio de um
sistema de projeção que preserva a proporcionalidade entre as áreas representadas e as
áreas reais (existem mapas que são construídos tendo em vista outras finalidades, como
as relacionadas à navegação, e que não preservam tais proporções).
2. Conta-se o menor número de unidades
da malha que envolve totalmente a região, indicada por A2.
3. Calcula-se a média aritmética entre as
duas quantidades de unidades da malha
contadas nos processos 1 e 2.
A=
A 1 + A 2 12 + 33
=
= 22,5 u
2
2
A
A1 = 12 u
Atividade 5
Para calcular o valor aproximado da área
de uma região irregular, podemos desenhá-la
sobre uma malha quadrangular, em que cada
quadradinho indica uma unidade de área
(1u), e utilizar o seguinte processo:
1. Conta-se o número de unidades da malha totalmente contidas na região, indicada por A1.
A2 = 33 u
17
4. Se a figura estiver em escala, devemos
conhecer a área da unidade da malha
para multiplicá-la pelo valor encontrado
anteriormente.
A M A PÁ
RO RA IM A
© Wagner Batella adaptado por Conexão Editorial
utilize o procedimento que acabamos de
descrever para calcular a área aproximada do
Estado de Minas Gerais destacado no mapa
a seguir.
A M A ZO N A S
RIO G RA N D E
CEA RÁ D O N O RTE
M A RA N H Ã O
PA RÁ
PA RA ÍBA
PERN A M BU CO
PIA U Í
A CRE
A LA G O A S
SERG IPE
TO CA N TIN S
RO N D Ô N IA
BA H IA
M ATO G RO SSO
53 000 km 2
DF
G O IÁ S
M IN A S G ERA IS
M ATO G RO SSO
D O SU L
ESPÍRITO SA N TO
SÃ O PA U LO
RIO D E JA N EIRO
PA RA N Á
SA N TA
CATA RIN A
RIO G RA N D E
D O SU L
completamente a mesma região. Aplicando-se o método descrito, temos:
TO CA N TIN S
BA H IA
© Wagner Batella adaptado por Conexão Editorial
M ATO G RO SSO
TO CA N TIN S
DF
G O IÁ S
M IN A S G ERA IS
DF
G O IÁ S
M ATO G RO SSO
D O SU L
ESPÍRITO
SA N TO
M IN A S G ERA IS
SÃ O PA U LO
M ATO G RO SSO
D O SU L
ESPÍRITO
SA N TO
RIO D E JA N EIRO
PA RA N Á
SÃ O PA U LO
RIO D E JA N EIRO
PA RA N Á
18
BA H IA
M ATO G RO SSO
© Wagner Batella adaptado por Conexão Editorial
Contamos 4 unidades da malha totalmente
interiores à região do Estado de Minas
Gerais e 18 unidades como o menor número de unidades da malha que envolve
Matemática – 7a série – Volume 4
A=
A1 + A 2 4 + 18
=
= 11 u
2
2
Como cada unidade da malha corresponde a
53 000 km2, temos:
A = 11 . 53 000 = 583 000 km2 .
A área ocupada pelo Estado de Minas Gerais
é aproximadamente 583 000 km2 .
É possível explorar esse exemplo sugerindo
que os alunos pesquisem sobre a “área real” que
o Estado de Minas Gerais ocupa. Como resultado dessas pesquisas, o valor deve aproximar-se
de 588 400 km2. A título de informação, Minas
Gerais é o quarto Estado mais extenso do Brasil e representa, aproximadamente, 6,9% da área
do território nacional.
O professor pode sugerir, se achar oportuno, aos alunos que construam figuras irregulares sobre a malha e que determinem a
área da figura aplicando as duas fórmulas e
comparando os resultados.
As fórmulas das áreas de figuras planas
As noções sobre áreas apresentadas até o
momento envolvem os retângulos e os procedimentos de estimativa e cálculo de áreas de
figuras apoiados em malhas. Inicia-se agora a
etapa de exploração do cálculo da área de outros polígonos. O ponto de partida foi a primeira noção de área construída com os alunos: a
área de retângulos. É necessário, portanto, que
o seguinte enunciado seja significativo para os
alunos: Se um retângulo tem lados de medidas
a e b, então a sua área é dada por A = a . b.
Com base na fórmula da área do retângulo,
chegamos facilmente à expressão que estabelece a área de um quadrado de lado a: A = a2.
Para calcular a área de um triângulo, paralelogramo ou trapézio, necessitamos das medidas
da base e da altura. A identificação da altura dessas figuras costuma se apresentar como uma
dificuldade para os alunos. No caso do paralelogramo, cada lado pode ser considerado por
base e a altura será a distância entre essa base e
o lado paralelo a ela. No trapézio, as bases serão
os lados paralelos, e a altura, a distância entre
eles. Já no triângulo, cada lado pode ser considerado por base. Nos dois quadriláteros citados
é indiferente considerar se a altura passa ou não
pelos vértices, pois ela é a mesma em qualquer
lugar em que se meça a distância entre as paralelas. Em geral, no triângulo, a altura será relativa
ao lado que se toma por base e deve passar pelo
vértice oposto ao lado tomado por base.
A aplicação de uma propriedade, de um teorema ou de uma fórmula na resolução de um
problema é importante porque permite chegarmos, de forma mais rápida, à solução, sem
que tenhamos que proceder todos os passos da
demonstração. As fórmulas podem ser entendidas como um resumo de raciocínios. Contudo,
suas aplicações não podem prescindir de uma
análise dos dados do problema e de uma “leitura” atenta da figura.
A seguir, vamos deduzir as fórmulas das áreas
das figuras geométricas mais simples: paralelogramo, trapézio, losango e triângulo. Para
isso, o conceito central a ser aplicado é o da
equivalência entre cada uma dessas figuras e um
19
retângulo. Sugerimos ao professor que apresente
essas demonstrações usando figuras construídas
em papelão e que discuta com o grupo de alunos
cada passo, verificando se todos compreendem.
uma estratégia que pode ser aplicada é solicitar, em alguns momentos, que um aluno retome os argumentos e interpretações utilizados na
demonstração e que, ao final desta, cada aluno
faça seu registro no caderno.
Vamos destacar o triângulo ACE e transportá-lo para o outro lado do paralelogramo,
que, desse modo, vai transformar-se em um
retângulo equivalente ABE’E.
A
B
h
Área do paralelogramo
A área do paralelogramo é obtida a partir da
equivalência com a área de um retângulo de base
e altura, respectivamente, congruentes à base e
à altura do paralelogramo considerado. Vamos
mostrar isso a partir do paralelogramo ABCD:
A
D
E
C
B
A
B
h
E
D
C
Do vértice A, baixamos um segmento AE,
perpendicular às paralelas AB e CD. Nesse
caso, AE será a altura relativa às bases AB e CD.
B
A
20
E
b
E’
Observando a composição, percebemos que
ambos os quadriláteros possuem a mesma altura, AE, e a mesma base AB. logo, o mesmo
produto da medida AE. Ab, que determina a
área do retângulo, determina também a área
do paralelogramo. Denotando cada dimensão
por h (altura) e b (base), temos que a área do
paralelogramo é: A = b · h
Área do losango
h
D
C
C
Inicialmente, o professor pode lembrar aos
alunos que chamamos de losango um paralelogramo equilátero, isto é, com lados congruentes.
Matemática – 7a série – Volume 4
Como o losango é um paralelogramo, sua área
pode ser obtida pelo produto da base (lado do
losango) pela altura (distância entre a base e o
lado paralelo a essa base).
B
Área do triângulo
A área do triângulo pode ser deduzida a
partir da área do paralelogramo. Dado um
triângulo qualquer ABC, acrescentamos a ele
o triângulo AB’C, idêntico a ele, formando
um paralelogramo.
A
A
C
D
B
B
C
C
A
h
B’
A = b.h
h
b
D
A
Outra possibilidade é mostrar que o
losango ABCD equivale a um retângulo
ACFE em que um lado é igual a uma das
diagonais do losango e o outro é metade da
outra diagonal.
B
B
C
b
A área do triângulo é, portanto, igual à metade da área do paralelogramo, que é determinada pelo produto da medida da base b pela
altura h. logo, a área A do triângulo é igual a:
A=
M
A
C
d
2
D
E
D
A=
d.d
2
F
1
b.h
b . h ou A =
2
2
Área do trapézio
Neste momento, consideramos que os alunos já conhecem algumas ideias e procedimentos para demonstração de fórmulas de áreas.
A fórmula da área do trapézio pode ser encontrada por eles a partir de um desafio. Inicialmente, o professor divide a sala em grupos de
três alunos e propõe a seguinte atividade:
21
Atividade 6
Trapézio é todo quadrilátero convexo que
tem apenas dois lados paralelos. No trapézio
GAlO, dado a seguir, b é a medida da base
GA (base maior) e b é a medida da base lO
(base menor). A altura do trapézio é indicada por h e representa a distância entre as
bases. A área do trapézio é dada pela expres( B + b ). h
são: A =
. Encontre uma maneira de
2
demonstrá-la apoiando-se na figura a seguir.
b
O
base
menor
que o aluno deve reconhecer na figura os dados
essenciais para o cálculo de sua área. Em um
segundo momento, o professor pode explorar
enunciados e deixar a construção da figura a
cargo do aluno. Outra etapa é retomar o cálculo de áreas combinado aos conhecimentos de
cálculos algébricos, como propomos a seguir.
Atividade 7
A figura indica uma folha de latão que será
usada na montagem de uma peça (as medidas
estão em metro).
l
x + 10
x
h altura
Uma das possibilidades é compor um paralelogramo a partir da justaposição de um trapézio congruente ao dado, segundo a figura:
base
menor
h altura
base maior
base
menor
B+b
Com ele, aplicando a fórmula da área do pa( B + b ). h
.
ralelogramo, encontramos: A =
2
Terminadas as deduções dessas fórmulas,
o professor pode propor aos alunos uma série
de exercícios que já fazem parte de sua seleção, quando trata deste tema, ou que podem
ser escolhidos entre os vários encontrados na
maioria dos livros didáticos de 7a série. um
primeiro tipo de exercício pode ser aquele em
22
2x + 4
A
B
x
2x + 4
base maior
G
x
x
a) Se calcularmos a área da superfície da
folha de latão necessária à construção
da peça, ela será uma expressão que
depende do valor de x. Escreva essa expressão.
A área da folha pode ser calculada decompondo-a em quatro retângulos:
A = x (2x + 4) + x (2x + 4) + x ( x + 10) +
+ (x + 10) . (2x + 4)
A = 7x2 + 42x + 40.
b) Encontre o valor da área dessa superfície quando x = 4 metros.
Sendo x = 4, substituindo este valor na expressão anterior, temos: A = 7 . 42 + 42 . 4 + 40,
A = 320 m 2.
Matemática – 7a série – Volume 4
A atividade a seguir representa outro desafio aos alunos, pois envolve o conhecimento
de fórmulas e das relações entre as figuras envolvidas. Tomando este problema como modelo, o professor pode sugerir aos alunos um
pequeno projeto que explore sobreposições e
dobraduras de figuras.
Vale ressaltar que no percurso das outras Situações de Aprendizagem, o cálculo da área é
retomado, ampliando sua noção na geometria
plana e espacial.
Atividade 8
Separe duas folhas de papel sulfite. Disponha uma sobre a outra como mostra a figura.
Discuta com seu colega se a folha de cima cobriu a metade, mais da metade ou menos da
metade da folha de baixo.
Observando a figura, constatamos que o
quadrilátero que cobre a folha pode ser
decomposto em dois triângulos (ABC e
BCD), sendo que ABC possui como base o
lado maior do retângulo (b) e altura, o lado
menor (h). Portanto, sua área equivale à
metade da área do papel retangular. Como
ainda resta computar a área do outro triângulo (BCD), podemos concluir que a área
coberta é maior que metade da folha.
A
b
h
C
D
B
Considerações sobre a avaliação
Espera-se, ao final desta Situação de Aprendizagem, que os alunos tenham ampliado suas
estratégias para o cálculo de áreas, combinando
métodos de estimativa e uso de malhas com o
uso de fórmulas. As demonstrações das fórmulas se apresentam como um recurso não só
de sua compreensão, mas também de estratégia que os alunos podem adotar, decompondo
figuras em outras mais simples. A fórmula,
como dissemos anteriormente, deve auxiliar
o pensamento do aluno na identificação dos
elementos essenciais ao cálculo da área. Ela
deve indicar a necessidade da determinação
da base, da altura ou da diagonal e, para isso,
o aluno pode aplicar várias noções métricas
aprendidas anteriormente, como o conceito de
perímetro e de proporcionalidade. O trabalho
com áreas permite também retomar muitos
casos de fatoração (produtos notáveis). Nesse
sentido, vale a pena explorar alguns exercícios
23
em que os dados são indicados por letras.
lembramos que o cálculo de área é aplicado
em várias situações cotidianas e profissionais.
Além do material que o professor já possui
para tratar desse tema, em vários livros e vestibulares podem ser encontrados bons exercícios
para adaptá-los à linguagem da 7a série.
Para avaliação, sugerimos que o professor
aborde problemas:
Recursos para ampliar a perspectiva do
professor e do aluno para a compreensão
do tema
O professor pode encontrar um trabalho
muito interessante sobre a fórmula de Pick no
site: <http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/index.
html> ou no artigo “Como calcular a área
de um polígono se você sabe contar” do livro
Meu professor de Matemática e outras histórias, de Elon lages lima, editado pela SBM.
f que, partindo dos dados nas figuras, neces-
Se o professor achar oportuno, pode apresentar
sitem do uso direto da fórmula, o que exige
a identificação dos elementos necessários
aos alunos o site <http://earth.google.com/intl/
pt>. Ele apresenta um modelo tridimensional
ao cálculo da área;
do espaço, do globo terrestre e de várias regiões,
f em que os alunos devam desenhar a figura
e interpretar o enunciado;
f que envolvam termos algébricos;
f que permitam o uso de estratégias de estimativa.
24
construído a partir de fotos de satélites. Seria
um interessante recurso para o professor iniciar
a discussão sobre a importância da aerofotogrametria. O professor pode encontrar em vários
livros didáticos demonstrações e problemas interessantes sobre áreas de figuras geométricas.
O texto “Temas e problemas elementares”
(SBM – Coleção do Professor de Matemática),
A avaliação, no caso, pode apontar esse
de que um dos autores é Elon lages lima,
caminho para o professor. A dificuldade em
apresenta um capítulo sobre áreas com pro-
qualquer um dos aspectos pode ser superada
com exercícios que tenham maior significa-
blemas interessantes para serem resolvidos
em sala de aula. Por fim, na RPM, Revista
do para os alunos. Assim, por exemplo, se for
do Professor de Matemática, no 11, há um ar-
identificada uma dificuldade no tratamento
tigo sobre polígonos equidecomponíveis, de
algébrico, o professor poderá partir de proble-
autoria de Elon lages, em que encontramos
mas com dados numéricos e ir, pouco a pou-
a demonstração do teorema que envolve a
co, acrescentando termos indicados por letras,
equidecomposição de polígonos e de sua recí-
como em um processo de generalização.
proca, denominada teorema de Bolyai-Gerwien.
Matemática – 7a série – Volume 4
SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 2
TEOREMA DE TAlES: A PROPORCIONAlIDADE NA GEOMETRIA
tempo previsto: 10 aulas
Conteúdos e temas: teorema de Tales e suas aplicações em situações contextualizadas.
Competências e habilidades: perceber a Matemática como conhecimento historicamente construído; compreender o processo de demonstração; criar argumentos lógicos; explorar relações
entre elementos geométricos e algébricos; desenvolver a capacidade de síntese e generalização de
fatos; reconhecer situações que podem ser resolvidas pela aplicação do teorema de Tales.
Estratégias: demonstração, resolução de situações-problemas contextualizadas, criação de hipóteses.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
O teorema de Tales, ou teorema dos segmentos proporcionais, geralmente é enunciado
da seguinte forma: “Se um feixe de retas paralelas, indicado pelas retas a, b e c, é interceptado por duas transversais, d e e, então os
segmentos determinados pelas paralelas sobre
as transversais são proporcionais”.
e
d
b
c
D
A
a
B
E
F
C
AB DE
=
BC EF
A ideia de proporcionalidade que ele expressa é importante na combinação de elementos
geométricos e numéricos porque permite desenvolver noções matemáticas, como: o estudo
da semelhança de figuras e o estudo de perspectiva. São várias as possibilidades de aplicação
do teorema de Tales em situações-problema
contextualizadas. A partir da noção de semelhança de figuras, em particular de triângulos, objeto de estudo do 3o bimestre da
8a série, o teorema de Tales passa a ter uma
posição subsidiária, pois a proporcionalidade
que a semelhança sugere é mais abrangente
que a proposta pelo uso desse teorema.
A apresentação da proporcionalidade expressa pelo teorema de Tales será feita, inicialmente, de forma intuitiva, explorando paralelas
traçadas em um triângulo. Em seguida, propomos uma demonstração desse teorema aplicando o cálculo de áreas, recurso que evita
o enfrentamento de grandezas incomensuráveis, necessárias a sua demonstração formal,
e que será objeto de estudo na 8a série. uma
vez demonstrado o teorema, são sugeridas algumas atividades que exploram sua aplicação
e de sua recíproca.
25
A primeira noção a ser desenvolvida com
os alunos é uma interpretação do teorema
de Tales relativo aos triângulos, que pode
ser expressa da seguinte forma: “Se uma reta
paralela a um lado de um triângulo intersecta
os outros dois lados em pontos distintos,
então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados”.
proporcionalidade geométrica que serão aprendidas, apoiando-se no conhecimento de proporcionalidade que os alunos já adquiriram.
Atividade 1
Sílvio é um jardineiro que está trabalhando
no projeto de um canteiro triangular, em uma
esquina da praça de seu bairro.
Isso significa que, dado um triângulo
qualquer de vértices A, B e C, tomado o
segmento DE paralelo à base BC, vale a
proporção:
AD AE
=
AB AC
A
A
B
Ou seja,
de modo
equivalente:
AD AE
=
DB EC
B
C
A
D
E
C
Inicialmente, ele propõe que o canteiro seja
composto por dois tipos diferentes de folhagens rasteiras, e que a divisão entre elas seja
feita por uma faixa paralela à base BC, indicada na figura pelo segmento DE. Desse modo,
Sílvio fez as seguintes medições no canteiro:
AD = 4 m, DB = 4 m e AE = 3 m. Qual deve
ser a medida de EC?
A
4m
B
Para que os alunos tenham um primeiro
contato com essa proporcionalidade de segmentos em um triângulo, sugerimos que se
desenvolva, de forma dialogada com a classe,
a próxima atividade. A leitura da situação descrita no problema deve vir acompanhada de
sua figura. No primeiro momento, o professor pode dirigir um pouco mais as noções de
26
3m
C
D
E
4m
B
C
Neste momento, o professor pode deixar que
os alunos construam algumas hipóteses sobre
a medida de EC. Intuitivamente, eles podem
Matemática – 7a série – Volume 4
A
estabelecer o critério de que, sendo D o ponto
médio de AB, E também o será de AC. Portanto, a medida de EC deve ser 3 metros.
2m
D
F
G
C
1,5 m
O segmento EG = 3,75 m e GC = 0,75 m.
E
6m
B
1m
B
Com base nessas dimensões encontre as
medidas de EG e GC.
A
D
E
5m
Concluída essa primeira fase, o professor
pode propor o mesmo problema, mas admitindo, agora, que o ponto D não seja médio
de AB.
2m
1,5 m
C
Com essa atividade, buscamos evidenciar a
proporcionalidade entre os segmentos determinados pela paralela nos lados do triângulo.
Nesse caso, pode-se pensar de duas formas:
percebe-se a proporcionalidade 2 para 1,5 ou
2 para 6. A medida encontrada para EC deve
ser, portanto, 4,5 metros.
Vamos aproveitar o mesmo enunciado para
explorarmos outras proporções possíveis de serem construídas.
Atividade 2
Pelas dimensões encontradas no primeiro
projeto, Sílvio percebeu que poderia explorar
melhor o canteiro dividindo-o mais uma vez
por outra faixa paralela à base BC, indicada
na figura pelo segmento FG. Isso permitiria
plantar outro tipo de folhagem, deixando o
canteiro ainda mais bonito.
Neste momento, exigimos uma pequena
generalização da proporcionalidade entre os
lados do triângulo determinados pelas paralelas à base. O professor pode aproveitar para
explorar as proporções entre as medidas de
cada uma das partes como:
AD
AB
AE
AC
2 1,5
ou
=
6
8
AB
FB
AC
GC
8
6
=
1
,
ou
Professor, neste momento inicial é importante observar se os alunos estabelecem corretamente as posições dos termos na proporção.
Nesse sentido, deve-se ressaltar a ordem dos
termos que compõem a proporção.
Atividade 3
lucas queria estimar a medida mais extensa
do pequeno lago que havia perto de sua casa.
Pensando sobre o problema, ele inicialmente
27
fez um esquema da situação, indicando essa
extensão por AB e imaginando dois triângulos ABD e BCE, sendo as bases AD e EC
paralelas (Figura 1). Depois, foi ao local e
fincou 5 estacas, cada uma correspondente
a um vértice dos triângulos de seu esquema.
Contou com passos as medidas correspondentes aos lados AE, BD e CD e completou
seu esquema como na Figura 2.
E
A
B
C
Atividade 4
4 passos A
E
B
9 passos
D
3 passos
C
Figura 2
28
O objetivo desta atividade é fazer o aluno
explicitar, por meio de uma argumentação lógica, seu conhecimento a respeito da
propriedade aprendida. No caso, o método
aplicado por Lucas permite calcular a medida AB por considerar os segmentos AD e
EC paralelos, determinando, nos lados do
triângulo, segmentos proporcionais. Observando que a razão de proporcionalidade é
9
BD __
____
= = 3, podemos concluir que AB = 12
DC 3
passos.
Na atividade a seguir, apresentamos aos
alunos a expressão do teorema de Tales relacionada ao triângulo. Posteriormente ela será
ampliada para a proporção entre os segmentos
determinados por paralelas nas transversais.
D
Figura 1
O procedimento criado por lucas permite
a resolução do problema? Se sua resposta foi
afirmativa, expresse os cálculos efetuados por
ele e o valor, em passos, por ele encontrado
para a extensão AB.
De uma praça em formato retangular saem
4 avenidas, α, β, ϕ e θ, uma de cada vértice
do retângulo. ligando cada par de avenidas há
três ruas, 1, 2 e 3, sempre paralelas em cada caso.
Os pontos de encontro entre as ruas de mesmo
número são nomeados pelas letras do alfabeto,
A, B, C, D, etc. Observe na figura os pontos M e
P. O ponto M está na rua “2 leste”, enquanto o
ponto P está na rua “3 Norte”.
Matemática – 7a série – Volume 4
C
NORTE
B
3
Avenida θ
P
Avenida α
2
l
A
K
M
1
J
3
lESTE
Praça
1
2
3
2
1
OESTE
G
H
I
Avenida ϕ
D
1
E
2
3
F
Sul
Avenida β
a) Considere apenas a parte Sul e as seguintes distâncias entre os pontos e verifique
GH ____
DE
se é válida a proporção ____
HI = EF .
GH = 50 m
HI = 40 m
DE = 60 m
EF = 48 m
A solução desta atividade exige um cuidado
na leitura do enunciado e das informações
contidas na gravura.
50
___
40
60
= ___ ⇔ 50 . 48 = 60 . 40 = 2 400.
48
b) A proporção verificada no item anterior
é a expressão matemática do teorema de
Tales, segundo o qual “se uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta
os outros dois lados em pontos distintos,
então ela determina segmentos que são
proporcionais a esses lados”. Considere
agora o lado leste da praça da figura e
escreva a expressão matemática do teorema de Tales.
AB DE .
=
BC EF
c) Dado que AB = 36 m, calcule a medida BC.
36 60
=
⇒ BC = 28, 8 m .
BC 48
d) Na figura, a distância entre os pontos J e
K é igual a 32 m. Sendo assim, calcule as
medidas de Kl a partir da proporcionalidade entre os segmentos do lado Norte
e de Kl com base na proporcionalidade
entre os segmentos do lado Oeste.
32
36
JK AB
=
⇒
=
⇒ KL = 25, 6 m .
KL BC
KL 28, 8
32 50
JK GH
=
⇒
=
⇒ KL = 25, 6 m.
KL HI
KL 40
29
Atividade 5
avenidas θ e ϕ encontram-se no ponto X,
enquanto as avenidas α e β encontram-se
no ponto Y.
Se a praça da figura da atividade anterior for retirada do mapa, observa-se que as
C
NORTE
B
3
Avenida θ
P
Avenida α
2
l
A
K
M
1
J
OESTE
3
1
2
3
2
1
X
lESTE
Y
D
G
1
H
E
2
I
3
Avenida ϕ
Adotando as medidas fornecidas ou calculadas na atividade anterior, e dado que
JX = 10 m e AY = 8 m, calcule:
F
Sul
Avenida β
b) DY
C
a) GX
B
l
K
32 m
OESTE
50 m
H
I
J
1
2
3
36 m
G
10 m
M
A
X
8m
Y
3
lESTE
2
1
D
60 m
E
F
JX GX
10 GX
125
=
⇒
=
⇒ GX =
= 15, 625 m
JK GH
32 50
8
AY DY
8 DY
40
=
⇒
=
⇒ DY =
= 13, 33... m.
JX GX
10 GX
125
AB DE
36 60
3
=
⇒
=
⇒ GX =
= 15, 625 m .
JK GH
32 50
8
30
Matemática – 7a série – Volume 4
A próxima etapa do nosso estudo contemplará a demonstração do teorema de Tales.
Para dar início a ela, sugerimos que o professor
aproveite a situação para fazer considerações
históricas sobre a vida de Tales, remetendo
às formas particularmente diferentes que o conhecimento matemático tinha nas civilizações
egípcia e grega.
uma perspectiva histórica: quem foi tales?
Na Ciência, temos alguns exemplos de propriedades ou fórmulas vinculados a nomes de
seus proponentes como: a fórmula de Bhaskara,
as leis de Newton, as leis de Kepler, a geometria
euclidiana e os teoremas de Tales e de Pitágoras.
Esse nexo entre “autor e obra” serve, muitas
vezes, como fonte de argumentação e indicação da aplicação da ideia que ele representa.
Dessa forma, é comum usarmos expressões
como: “aplique Tales”, “resolva por Pitágoras”
ou “resolva por Bhaskara”. A noção expressa
pelo teorema de Tales abre um grande espectro
de novos problemas geométricos.
No tema desta Situação de Aprendizagem,
dois fatos devem ser destacados: quem foi Tales?
O que é um teorema?
Com a primeira questão, o professor tem
a oportunidade de inserir a história da Matemática em seu curso. A abordagem histórica
possibilita o combate à visão do conhecimento
como pronto e acabado. Nesse caso, ela permitirá uma comparação entre formas diferentes de fazer Matemática. A forma empírica,
do “ensaio e erro”, que caracteriza a matemática dos egípcios e babilônios, tornou-se
o fundamento da forma dedutiva empregada
pelos gregos. É impossível omitir uma ou
outra na construção do conhecimento geométrico. Tales é o personagem que circula entre
as riquezas culturais de ambas as civilizações
e que, criando seus próprios nexos, forma a base
do que seria a tradição grega de fazer Matemática. Com Tales, a Geometria se transformou
de conhecimento empírico, cujos resultados
se deduzem diretamente da prática, em conhecimento dedutivo, baseado na aplicação das
leis da lógica. Contudo, os trabalhos de Tales e
Pitágoras ainda careciam de uma organização,
e essa tarefa coube a outro geômetra grego,
Euclides, em meados do século III a.C.
Tales viveu por volta de 585 a.C. e aprendeu muito com a matemática egípcia. À sua
vida estão associadas grandes façanhas, como
a de prever um eclipse e a de medir a altura
da pirâmide de Quéops observando sua sombra. Pelo que se sabe, é o primeiro personagem
da história a quem se atribuem descobertas
na Matemática desligadas da Geometria do
mundo real.
Atividade 6
Inicialmente, o professor pode orientar uma
pesquisa sobre a vida de Tales. É possível que
haja controvérsias entre algumas informações que os alunos encontrarão. Isso, como
dito anteriormente, deve-se ao fato de serem
poucos os registros sobre sua vida. O professor pode ilustrar esta aula com o apoio de um
mapa, localizando o Egito, a Grécia e, particularmente, a cidade de Mileto, antiga cidade
grega, hoje pertencente à Turquia.
31
A noção de teorema
A atividade prática dos povos egípcios e
babilônios levou à descoberta de um grande número de fatos geométricos. Esses eram
aprendidos indutivamente por meio de processos experimentais. No contato com essa
produção, os geômetras gregos perceberam
que alguns desses fatos podiam ser obtidos
a partir de outros, por deduções lógicas. Isso
lhes sugeriu que algumas verdades geométricas, tomadas como mais simples e gerais,
serviriam de base para a dedução de outras
propriedades geométricas.
Tendo por base um pequeno número de
afirmações tomadas como verdadeiras, denominadas axiomas ou postulados (do grego,
digno de confiança), demonstrava-se um conjunto de proposições geométricas, ao qual se
deu o nome de teoremas. Essa foi uma das
maiores contribuições gregas ao conhecimento matemático e científico: o método dedutivo. Tales é considerado um dos fundadores
da geometria dedutiva.
Como dissemos, no início desta Situação
de Aprendizagem, queremos demonstrar que
“se um feixe de retas paralelas é intersectado
por duas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais”.
Em um processo de demonstração, o destaque fica por conta das argumentações que
devem ter por base conhecimentos já adquiridos. A seguir propomos uma apresentação do
teorema de Tales, cuja base da argumentação é
32
o conhecido cálculo da área de um triângulo.
A vantagem dessa abordagem é não precisar
se referir a segmentos incomensuráveis, nem
à noção de semelhanças de figuras, temas da
8a série. Dando continuidade ao trabalho de
demonstrações, que teve início com as áreas,
o objetivo aqui é apresentar aos alunos uma
forma característica de fazer Matemática, forma essa que será também abordada na Situação de Aprendizagem 3, cujo tema é o teorema
de Pitágoras.
A demonstração do teorema de tales
Atividade 7
Para a demonstração do teorema de Tales,
iniciaremos por sua interpretação relativa aos
triângulos, já explorada de forma intuitiva nas
atividades anteriores. Segundo esse teorema:
“Se uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos
distintos, então ela determina segmentos que
são proporcionais a esses lados”.
Inicialmente vamos considerar um triângulo qualquer de vértices A, B e C. “Se uma
reta paralela a um lado de um triângulo
(considerado por base) intersecta os outros
dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a
esses lados”. O professor pode começar a atividade construindo com os alunos a seguinte
representação: dado um triângulo qualquer
de vértices A, B e C, tomado o segmento DE
paralelo à base BC, queremos mostrar que é
AE .
AD = ____
válida a proporção ____
DB EC
Matemática – 7a série – Volume 4
Dessa forma, temos:
A
AE . DG = AD . EF, que é o mesmo que a proEF
AE
porção ____ = ____ (1)
AD DG
B
C
A
D
Vamos agora observar os triângulos DEC
e BDE. Destacando que a base dos dois triângulos é DE e que a altura correspondente a ela
é também a mesma (h), podemos concluir que
possuem a mesma área.
ACDE = ABDE
E
A
G
D
B
E
C
Começamos por estudar a área do triângulo ADE: ela pode ser calculada de duas
formas distintas:
h
B
C
A
A
F
D
E
D
E
h
B
C
A
F
D
B
C
(h: altura relativa à base DE, ou ao vértice C,
considerando o triângulo CDE; ou ao vértice
B, considerando o triângulo BDE).
G
E
Contudo, podemos determinar a área desses triângulos de outra forma:
B
C
AADE = 1 . AE . DG ou AADE = 1 . AD . EF
2
2
ACDE = 1 . CE . DG e ABDE = 1 . BD . EF
2
2
EC ____
EF
____
logo, CE . DG = BD . EF e BD =
(2)
DG
33
Comparando as expressões (1) e (2), temos
EC ____
AE
que: ____
DB = AD
AE
AD ____
Ou, como preferimos: ____
DB = EC
EF
____
DG
EC ____
EF
Mas, como visto em (2) ____
BD = DG,
AC
EC ____
logo ____
BD = AB
A
AD
AE
AC
AB ____
Portanto, concluimos que: ____
DB = EC
E
D
DB
A
EC
C
B
AE
____
DB + 1 = EC + 1
AD
____
AD + DB
_________
DB
AC
____
DB = EC
E
h
B
C
B
Observando os triângulos ACD e ABE,
podemos deduzir que:
1
1
AACD = __ AC . DG e AABE = __ AB . EF
2
2
Como as áreas são iguais temos que:
1
1
__
AC . DG = __ AB . EF e, portanto,
2
2
AC . DG = AB . EF, que pode ser escrito
como a seguinte proporção:
34
AE + EC
= _________
EC
AB
____
F
D
C
Outra forma de chegarmos à mesma conclusão é por meio da adição de uma unidade
em cada termo da proporção encontrada anteriormente. Assim:
A
G
AC
EC
B
ACDE + AADE = ABDE + AADE, isto é: AACD = AABE
A
E
DB
Como vimos, ACDE = ABDE, logo:
E
D
AB
Com essa demonstração construímos a proporcionalidade entre as partes dos lados do
triângulo obtidas por segmentos determinados
por uma paralela a uma base. Outro passo nesse
estudo é generalizar essa proporção quando
se toma a parte e o todo dos segmentos determinados por uma paralela à base. Isso é possível por meio da adição da área do triângulo
ADE às áreas dos triângulos CDE e BDE.
D
AC
= ____
AB
C
Essa demonstração que fizemos, contudo,
não permite uma generalização para a interpretação do teorema de Tales como: “Se um feixe
de retas paralelas é intersectado por duas transversais, então os segmentos determinados pelas
paralelas sobre as transversais são proporcionais”. Isto porque a demonstração feita até aqui
está associada à proporcionalidade que envolve
segmentos que têm uma de suas extremidades
num vértice do triângulo. Para essa generalização propomos o seguinte procedimento:
1. Tomamos inicialmente o mesmo triângulo ABC e prolongamos dois de seus
Matemática – 7a série – Volume 4
lados de modo a criar uma nova base
PQ, paralela à BC.
A
B
Vale salientar que a recíproca desse teorema é verdadeira. Isto é: dado um triângulo de
vértices A, B e C, tomando-se os pontos D e
ÄÄÄ ÄÄÄ
E sobre os lados AB e AC, respectivamente, se
ÄÄÄ
ÄÄÄ
AD ____
AE
____
DB = EC , então BC é paralelo a DE.
C
P
Q
2. Da mesma forma que criamos a proporAD ____
AE
ção ____
DB = EC , encontraremos a proAC
AB ____
porção ____
BP = QC , que pode ser escrita
AC QC
.
como ____ = ____
AB BP
AC
AB
____
3. Retomamos a proporção ____
DB = EC ,
AC EC
que é equivalente à ____ = ____
.
AB DB
4. Comparando as proporções dos itens
QC ____
EC
1 e 2, podemos escrever que ____
BP = DB
e, portanto, estamos aptos a concluir
EC
DB ____
que ____
BP = QC .
podendo ser interpretado como proporções
entre segmentos obtidos por retas paralelas
e transversais.
A
determinação da distância entre dois
pontos inacessíveis
O teorema de Tales é aplicado a várias situações em que se necessita determinar a distância
entre dois pontos inacessíveis entre si. O objetivo das atividades propostas a seguir é colocar o
aluno diante de situações-problema que envolvem, de forma prática, um método de determinação de distâncias usando o teorema de Tales.
Atividade 8
Como alternativa à crise energética, uma
cidade resolveu construir uma pequena hidrelétrica aproveitando a correnteza de um rio
situado nas suas proximidades. A figura a seguir representa parte do projeto da construção
da barragem da hidrelétrica. Considerando
DE paralelo a BC, qual deve ser o comprimento da barragem a ser construída?
A
D
B
P
24 m
D
E
x
C
18 m
E
60 m
Q
Com essa proposição, o teorema de Tales
torna-se independente da figura do triângulo,
B
C
35
Observando as condições da figura, podemos
montar a seguinte proporção:
a) Encontre a expressão que determina a
conversão da temperatura na escala
Celsius para a escala Fahrenheit.
ºC
18
24
24 . 42
___
___
, o que implica x = ______ = 56.
x =
42
18
Logo, a barragem terá 56 m de comprimento.
Atividade 9
Informações sobre temperaturas são muito úteis e frequentes no nosso cotidiano. Nas
previsões do tempo são comuns as informações das temperaturas máxima e mínima no
decorrer de um período. Quando nos sentimos
doentes, uma das primeiras providências a ser
tomada é medir a temperatura do corpo, com
o auxílio de um termômetro. A escala térmica
mais utilizada no Brasil é a Celsius (ºC). Seu
nome é uma homenagem ao astrônomo sueco Anders Celsius (1701-1744), que a propôs
em 1742. A escala térmica considera, como
referências, o ponto de congelamento e o ponto de ebulição da água. Na escala Celsius, o
ponto de congelamento é 0 ºC e o de ebulição,
100 ºC. Contudo, existem diversas escalas térmicas. Nos Estados unidos e na Inglaterra, a
escala utilizada é a Fahrenheit (ºF), que considera 32 ºF o ponto de fusão (congelamento)
e 212 ºF o ponto de ebulição. De posse desse
conhecimento, podemos montar o seguinte
diagrama:
ºC
36
ºF
100
212
Tc
Tf
0
32
ebulição
da água
fusão
do gelo
ºF
100
212
Tc
Tf
0
32
ebulição
da água
fusão
do gelo
T f − 32
Tc − 0
=
100 − 0 212 − 32
Tc T f − 32
=
100
180
5 .(T f − 32 )
Tc =
9
b) O noticiário informa que em londres
a temperatura é de 46 ºF. Converta
essa temperatura em grau Celsius e responda: está frio em londres?
Aplicando a expressão encontrada no item
anterior, temos que:
5 (46 – 32) _____
5 . 14
7 7,8 ºC.
=
Tc = __________
9
9
Temperatura de um ambiente frio.
c) Em contato com um cidadão americano, que deseja passar as férias de janeiro
no Brasil, uma agente informa que, nesse período, a temperatura média em
certa cidade no Nordeste brasileiro é de
32 ºC. Sem saber julgar a temperatura
pela escala Celsius, o turista pede que
a agente informe a temperatura na escala Fahrenheit. Qual é a medida encontrada pela agente nessa escala?
Matemática – 7a série – Volume 4
Podemos aplicar novamente a expressão
dada no primeiro item ou aplicar o teorema
de Tales nas escalas:
T f − 32
32 − 0
=
100 − 0 212 − 32
32 T f − 32
=
100
180
32 . 180
T f − 32 =
100
T f = 57 , 6 + 32 = 89, 6 ºF
ºC
ºF
100
212
32
Tf
0
32
ebulição
da água
Caso o professor queira, pode ainda explorar uma terceira escala térmica, o Kelvin (K).
O zero Kelvin, quando convertido para grau
Celsius, equivale à temperatura de –273 ºC.
K
ebulição
da água
100
373
fusão
do gelo
0
273
–273
Atividade 10
Para apoiar uma planta trepadeira, um jardineiro constrói, com algumas varas de bambu,
uma treliça. Tomando duas varas transversais,
ele fixou, com corda, outras três varas com a
intenção de que elas ficassem paralelas umas
às outras. Terminada a construção, ele efetuou
algumas medidas que estão expressas na figura
a seguir. Com base nas medidas apresentadas,
é possível afirmar se ele conseguiu o paralelismo desejado? Em caso negativo, o que ele
deverá fazer para consegui-lo?
fusão
do gelo
A temperatura de 32 ºC corresponde a 89,6 ºF.
ºC
mais sistemática no estudo referente a funções lineares.
20 cm
26 cm
36 cm
A intenção dessa atividade é explorarmos
a recíproca do teorema de Tales. No caso,
aplicando as proporções dos segmentos, te20 30
. Logo, os três bambus não
mos que
≠
26 36
estão paralelos.
0
A atividade a seguir, embora envolva
a relação entre duas unidades de medidas
diferentes, também pode ser interpretada
como uma situação de aplicação do teorema de Tales. Essa ideia é explorada de forma
30 cm
20 cm
26 cm
30 cm
x
37
Para resolver essa situação, ele poderá pensar de algumas formas, entre elas, ampliar
o segmento de 36 cm para 39 cm, pois indicando seu segmento correspondente por x, encontramos na proporção 20 = 30 , x = 39 cm.
26
x
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
espera-se que os alunos tenham compreendido os princípios do método de demonstração em Geometria e que tenham ampliado
seus conhecimentos sobre proporcionalidade, observando que a Geometria permite o
enfrentamento de várias situações-problema
contextualizadas. Espera-se também que a
abordagem histórica tenha sido um elemento
motivador do curso. É comum alguns alunos
reagirem de forma negativa à perspectiva histórica da Matemática, essencialmente porque ela exige leitura e compreensão de textos.
Vale lembrar que as competências leitora e
escritora são preocupações permanentes deste Projeto, e que, portanto, devemos manter
o firme propósito de proporcionar aos alunos Situações de Aprendizagem em que elas
sejam exploradas.
O reconhecimento de uma situação em que
se aplica o teorema de Tales ou sua recíproca
é essencial nesta etapa do trabalho. Na 8a série,
quando o foco da aprendizagem for semelhança
de figuras, em especial semelhança de triângulos,
essa habilidade será retomada e aprofundada.
Para avaliação, o professor pode incluir outros problemas que já fazem parte de sua lista
de exercícios ou pesquisar, nos livros didáticos,
38
outras situações que permitam ao aluno aplicar,
em diferentes contextos, o teorema de Tales.
Recursos para ampliar a perspectiva do
professor e do aluno para a compreensão
do tema
No livro As demonstrações em Geometria, de
A. I. Feitosa (Coleção Matemática Aprendendo
e Ensinando, da Editora Atual e Editora Mir),
encontramos um grande suporte conceitual
sobre o tema “demonstrações geométricas”. O
livro O teorema do papagaio, de Denis Guedj
(Cia. das letras), é uma obra instigante, que
nos leva a pensar sobre vários problemas matemáticos a partir de uma perspectiva histórica.
Particularmente no capítulo 3, o personagem
Pierre Ruche, um antigo livreiro francês,
aborda a vida e as façanhas de Tales de forma
simples e muito envolvente, afinal trata-se de
“um thriller da história da Matemática”. É um
livro para jovens repleto de enigmas e fatos
importantes da história da Matemática.
O livro História da Matemática, de Carl
Boyer, é outra referência importante quando
pensamos na abordagem histórica da Matemática. O livro Euclides, a conquista do espaço,
do matemático Carlos Tomei (publicado pela
Editora 34, na Coleção “Imortais da Ciência”),
está escrito em linguagem acessível e apresenta os fatos essenciais do processo de axiomatização que Euclides inaugura na Ciência. Na
RPM (Revista do Professor de Matemática),
nos números 21 e 23, encontramos uma discussão sobre a forma como demonstramos o
teorema de Tales.
Matemática – 7a série – Volume 4
SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 3
O TEOREMA DE PITÁGORAS: PADRõES NuMÉRICOS
E GEOMÉTRICOS
tempo previsto: 13 aulas.
Conteúdos e temas: teorema de Pitágoras; demonstrações geométricas e algébricas.
Competências e habilidades: justificar um resultado a partir de fatos considerados mais simples; identificar padrões numéricos e geométricos; interpretar enunciados; perceber a Matemática como conhecimento historicamente construído.
Estratégias: proposição de atividades de investigação, resolução de problemas.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Assim como no teorema de Tales, no ensino do teorema de Pitágoras a perspectiva
histórica se justifica como elemento motivador da aprendizagem. Nesse caso, a tarefa do
professor é facilitada pelo grande número de
publicações sobre o tema.
Aqui comentaremos as diferenças entre a
matemática aplicada dos egípcios e a matemática abstrata dos gregos, destacando a importância da combinação entre elas; afinal,
a abstração permite que essas noções sejam
aplicadas em diferentes contextos. A formalização do conhecimento feita por Pitágoras,
a partir de dados empíricos dos egípcios, fortalece tanto o papel da história como o da
modelagem no ensino de Matemática.
As atividades iniciais permitem a construção da lógica que servirá de referência para
o professor demonstrar o teorema de Pitágoras, que pode ser enunciado como:
Em um triângulo retângulo, a área do
quadrado construído sobre a hipotenusa é
igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
a2 = b2 + c2
a2
C
b2
a
b
A
c
B
c2
lembramos que o teorema de Pitágoras é
retomado na 8a série em dois momentos: no
39
3o bimestre, quando o foco será as relações métricas no triângulo retângulo, e no 4o bimestre,
quando, após os estudos relativos ao número
p (pi) e à área dos círculos, o teorema é generalizado com a exploração de qualquer figura semelhante sobre os lados do triângulo retângulo.
uma perspectiva histórica
Como na aprendizagem do teorema de Tales, propomos ao professor que organize, junto aos alunos, uma atividade de pesquisa sobre
Pitágoras e sua visão de mundo. No debate de
apresentação, o professor pode buscar paralelos entre Tales e Pitágoras, como serem gregos, terem vivido parte de suas vidas no Egito,
interessarem-se por assuntos mais abstratos da
Matemática e aplicarem o processo demonstrativo neste campo de conhecimento.
Pitágoras de Samos (ilha do mar Egeu) foi
um filósofo que exerceu, no século VI a.C., forte
influência na civilização grega. Em seus trabalhos, identificamos a originalidade de construção de um sistema formal de reconhecimento,
classificação e exploração de padrões numéricos e geométricos. O centro da motivação das
pesquisas de Pitágoras e seus discípulos encontra-se na ideia de conceber uma ordenação
matemática do cosmos. Os pitagóricos acreditavam que os segredos espirituais do universo
poderiam ser desvendados por relações numéricas e, para eles, os números deixaram de ser
utilizados somente para contagem e revelaram
outras propriedades. Embora a motivação possa ser alvo de críticas, deve-se admitir, contudo,
que ela gerou uma contribuição fantástica ao
conhecimento matemático.
40
Consideramos os fatos relacionados às próximas três atividades como essenciais na construção lógica da demonstração do teorema de
Pitágoras. O objetivo é colocar o aluno diante
de situações-problema próximas às enfrentadas pelos pitagóricos. Esse resgate combina a
história da Matemática e a resolução de problemas em uma só abordagem de ensino.
Atividade 1
É muito difícil estudar Geometria sem
o apoio de desenhos. Os gregos, em muitas
de suas demonstrações geométricas, apoiavam-se na observação de figuras. A figura é
um importante veículo para a imaginação
matemática. Para ilustrar o valor da figura
no processo demonstrativo pode-se recorrer
à história da morte de Arquimedes. uma
das várias versões narra que Arquimedes
encontrava-se diante de uma figura, quando
sua cidade, Siracusa, foi invadida pelo exército romano. um soldado, inclinando-se sobre uma figura desenhada na areia, ordenou
a Arquimedes que o acompanhasse, ao que
este teria respondido: “Não perturbe meus
círculos”. Sentindo-se desafiado, o soldado
desembainhou a espada e o matou.
um dos problemas clássicos da Antiguidade
grega era o da duplicação da área do quadrado. Imagina-se que Tales tenha sido o primeiro
a demonstrá-lo. No entanto, esse problema não
escapou também das anotações de Pitágoras. O
problema consiste em, dado um quadrado, encontrar outro que tenha o dobro de sua área.
Na malha a seguir construiu-se um quadrado.
Encontre outro quadrado cuja área seja o dobro da dele.
Matemática – 7a série – Volume 4
uma interpretação de padrões geométricos.
Naquela ocasião, o foco estava na expressão
algébrica associada ao padrão numérico;
agora o objetivo é utilizar a forma figurada
da sequência como recurso para a compreensão de um fato numérico.
Atividade 2
Se o aluno buscar a forma algébrica para
resolver este problema, ele encontrará uma
raiz não inteira, que dificilmente poderá ser
obtida, a não ser por aproximação. A exemplo dos antigos gregos, podemos resolver o
problema evitando o incômodo do número
irracional. Para isso, é preciso que nos apoiemos no método figurativo, como mostramos
na solução.
Na investigação de padrões em sequências numéricas, Pitágoras apoiava-se na
representação figurativa destes. Números
figurados são aqueles representados por
determinada configuração geométrica. A
forma figurada permite observar a “anatomia”
da sequência. A seguir, cada termo da sequência está representado por certa disposição de quadradinhos.
A1
A2
A3
A5
A4
Em caso de dificuldade, o professor pode
indicar alguns passos para que os alunos resolvam o problema. um deles é comentar que
a área do quadrado preto é igual à de dois
triângulos retângulos isósceles, obtidos pelo
corte do quadrado pela sua diagonal.
a) Faça a representação figurativa dos próximos dois números da sequência.
A atividade a seguir retoma as ideias tratadas no 1o bimestre da 7a série, quando as
propriedades algébricas foram resultado de
41
b) Associando cada figura ao número de
quadradinhos que a compõem, escreva a sequência numérica que corresponde à sequência figurativa. Você
reconhece os termos dessa sequência?
É uma sequência de números ímpares {1, 3,
5, 7, 9, 11, 13}.
c) Observando a sequência figurativa,
percebemos que o primeiro elemento
é um quadrado de uma unidade de
lado. Quando encaixamos o segundo
termo no primeiro, completamos um
quadrado cujo lado tem uma unidade
a mais que o primeiro termo. Numericamente encontramos a seguinte relação: 1 + 3 = 4.
nulo, pode ser obtido pela soma dos n primeiros números ímpares.
Atividade 3
A propriedade que concluímos na atividade anterior foi uma das que mais fascinaram
Pitágoras.
a) Aplique-a para encontrar o quadrado
do número 13.
132 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 +
+ 19 + 21 + 23 + 25 = 169.
b) Como podemos aplicar esse método
para determinar a raiz quadrada de um
número? Aplique-o para o número 64.
64 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15.
Logo, a raiz quadrada de 64 é 8, pois ele é
decomposto na soma dos oito primeiros números ímpares.
c) Verifique que a raiz quadrada de 72 não
é um número inteiro.
1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Quando encaixamos o terceiro termo nesse
quadrado, completamos um novo quadrado
que tem por lado, novamente, uma unidade a
mais que o anterior. Numericamente temos:
1 + 3 + 5 = 9. Em cada encaixe em um quadrado de lado x obtemos um quadrado maior, de
lado x + 1. Repita essa operação com os outros
termos da sequência. Organize suas anotações e,
refletindo um pouco mais sobre as condições
oferecidas no problema, expresse, em palavras,
uma conclusão que relacione o quadrado dos
números naturais com os números ímpares.
Da sequência apresentada podemos dizer
que o quadrado de um número natural n, não
42
O número 72 não pode ser decomposto somente pela soma de números ímpares
72 = 1 +3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 8.
Atividade 4
A civilização egípcia é notável quando o
assunto é construção. Apoiada em uma matemática experimental, essa civilização construiu
um conjunto arquitetônico cujo destaque são
as enormes pirâmides. Grande parte do processo de construção civil se apoia na formação
de ângulos retos. Para se ter uma ideia, a base
da pirâmide de Quéops, construída há mais de
4 500 anos, é composta por pedras esquadrejadas e tem por base um quadrilátero muito próximo de um quadrado. O problema de traçar
ângulos retos foi resolvido pelos egípcios de
Matemática – 7a série – Volume 4
13 nós distribuídos em intervalos iguais. Dobrando a corda de modo que formasse um triângulo de lados 3, 4 e 5, e emendando-a pelas
extremidades (1o e 13o nós), obtinham um ângulo reto, oposto ao lado 5.
© Conexão Editorial
modo tão engenhoso quanto simples. Como
descobriram que todo triângulo de lados 3, 4
e 5 unidades de comprimento era necessariamente um triângulo retângulo, os arquitetos e
construtores egípcios usavam uma corda com
4
3
5
Vamos fazer como os agrimensores egípcios
e criar um esquadro de barbante. Tomando um
pedaço de barbante, distribua 13 nós de modo
que suas distâncias sejam iguais. Atenção: use
do bom senso para definir essa distância. Essa
etapa deve ser feita com muito capricho! uma
vez construído o esquadro de barbante, vamos
verificar se as paredes da sala de aula ou outra
estrutura que contenha linhas horizontais e verticais estão no esquadro.
Essa atividade pode ser utilizada como um
pequeno projeto proposto a grupos de alunos.
Como todo projeto, o professor pode pedir um
relatório em que estejam detalhados os processos envolvidos e os conhecimentos adquiridos.
Atividades como essas, que envolvem circulação de alunos pela sala ou pela escola, necessitam de preparo prévio. O professor pode
discutir com os alunos a melhor forma de levar
a termo a execução das tarefas.
O objetivo da próxima atividade é levar o
aluno a construir uma relação entre os quadrados dos números do triângulo 3, 4 e 5. Esse
fato se caracterizará como um caso particular
do teorema de Pitágoras.
43
Atividade 5
Pitágoras, em sua viagem pelo Egito, tomou
conhecimento da propriedade do triângulo 3,
4 e 5. Seu espírito crítico logo o levaria a estabelecer uma outra relação entre esses números.
Vamos acompanhar nesta atividade um suposto caminho percorrido por Pitágoras. Vamos
chamar de quadrado geométrico de um segmento a construção de um quadrado que tenha
esse segmento por lado.
Com o segmento
25
16
9
b) Analisando os valores dos quadrados
aritméticos, podemos concluir uma relação entre eles. Tente descobri-la.
Com esta atividade experimental, esperamos
que os alunos concluam que os números 3, 4
e 5, lados do triângulo retângulo, se relacionam pela expressão 32 + 42 = 52.
construímos seu quadrado geométrico
Vamos chamar de quadrado aritmético o
cálculo em potência de expoente quadrado (2)
do número que representa a medida daquele
lado. Com o número 3 encontramos o quadrado aritmético 32 = 9.
a) utilizando um papel quadriculado, construa os quadrados geométricos dos segmentos de medidas: 3, 4 e 5. Pinte de
cores diferentes o interior de cada um
deles. Calcule os quadrados aritméticos
dos números 3, 4 e 5 e escreva seus resultados sobre os quadrados geométricos.
44
Caso isso não aconteça, o professor pode
lançar mão de perguntas como: é possível
estabelecer uma relação entre esses três
valores, aplicando alguma operação matemática? Será que somando os dois valores
menores obtemos o valor do maior?
25
9
16
Matemática – 7a série – Volume 4
c) Recorte os quadrados geométricos dos
segmentos 3, 4 e 5. Construa no papel
quadriculado um triângulo de lados 3, 4
e 5. Acomode, sem sobrepor figuras, sobre cada lado do triângulo o quadrado
geométrico do segmento que lhe corresponde à medida. O lado maior do triângulo retângulo chama-se hipotenusa (do
grego hypoteinousa – “esticado abaixo”,
no lado dos catetos), e os outros lados
são denominados catetos (do grego
kathetos – “coisa perpendicular”). Formule uma sentença que combine esses
termos com as descobertas feitas sobre
os quadrados geométricos e aritméticos
associados ao triângulo 3, 4 e 5.
É desejável que as sentenças sejam formulações próximas de: “No triângulo retângulo
3, 4 e 5, a área do quadrado construído sobre
a hipotenusa é igual à soma das áreas dos
quadrados sobre os catetos”.
Caso o professor deseje, pode explorar a
demonstração geométrica da relação entre
as áreas dos três quadrados. Para isso sugira
que os alunos façam sobreposição de figuras,
como propomos a seguir.
O quadrado de lado 4 pode ser sobreposto a
16 quadradinhos do quadrado de lado 5. O quadrado de lado 3 deve ser decomposto de modo a
completar a área do quadrado de lado 5.
Atividade 6
Com base nos conhecimentos adquiridos
até agora, vamos nos tornar discípulos de
Pitágoras e buscar outros triângulos que possuam a mesma propriedade do triângulo 3, 4
e 5, isto é, que formem um triângulo retângulo com lados de medidas inteiras e cuja área
do quadrado sobre a hipotenusa seja igual à
soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
a) Desenhe um retângulo qualquer. Corte
o retângulo pela diagonal. Qual foi a
figura criada? Meça seus lados com o
auxílio de uma régua. Esta medida resultou em um número inteiro?
Professor, você pode coletar as informações
e registrá-las na lousa: para quantos alunos
essa medida resultou um número inteiro?
De maneira geral, não lidamos sempre
com triângulos retângulos cujos lados sejam números inteiros, como foi o caso do
triângulo 3, 4 e 5. Contudo, o triângulo 3,
4 e 5 pode gerar uma série de outros triângulos retângulos com lados de medidas inteiras. Vamos retomar as ideias tratadas
no bimestre anterior sobre as transformações geométricas, com foco especial para
a ampliação.
45
b) Vamos construir o esquadro dos egípcios no plano cartesiano. O vértice do
triângulo 3, 4 e 5, que corresponde
ao ângulo de 90º, será posto na origem do sistema. Portanto, os vértices serão A(0,0), B(0,3) e C(4,0). Para
ampliar as dimensões do triângulo
ABC em duas vezes, multiplicamos suas
coordenadas por 2, obtendo o triângulo
A’B’C’, de coordenadas (2x,2y), isto é,
A’(0,0), B’(0,6) e C’(8,0). Se quisermos
triplicar as suas dimensões, multiplicamos suas coordenadas por 3, obtendo o
triângulo de vértices (0,0), (0,9), (12,0).
O resultado dessas ampliações mostra
que todos os lados ampliaram seguindo
a mesma razão.
y
6
15
10
5
0
4
8
12
x
Dessa forma, encontramos outros triângulos
de lados com medidas inteiras, que possuem
a mesma propriedade do triângulo 3, 4 e 5.
Outra forma de apresentar este estudo é
dispondo os vértices do triângulo 3, 4 e 5
como representado nesta figura. Essa disposição é mais clara quando se evidencia a
pouca frequência de triângulos retângulos
de lados com medidas inteiras, como os obtidos no item a; a possibilidade de infinitos ternos
numéricos, chamados de ternos pitagóricos, que
46
12
y
D’ (9,12)
8
4
C’
(6,8)
(3,4)
B’
x
A
3
6
9
B
C
D
Com base nessa atividade, o professor pode discutir que o terno pitagórico (3, 4, 5)
pode gerar outros infinitos ternos, como 6, 8,
10 e 30, 40, 50. O terno 3, 4, 5 é considerado
um terno pitagórico primitivo, pois seus elementos são primos entre si.
9
3
formam triângulos retângulos; e a garantia de
que a razão de ampliação também se verifica
entre as hipotenusas.
O professor pode explorar, ainda, que a relação entre o quadrado da hipotenusa e a soma
dos quadrados dos catetos se mantém para
todos os ternos formados a partir do triângulo
3, 4 e 5, isto é, 102 = 82 + 62; 502 = 302 + 402, etc.
Atividade 7
Em Matemática, como em muitas outras
atividades humanas, depois que se toma
gosto é difícil parar. Embora satisfeitos por
nossas façanhas matemáticas no encontro de
outros ternos pitagóricos, reconhecemos sua
limitação por todos serem relacionados a um
único triângulo, o de lados 3, 4 e 5. Como
Pitágoras, lancemo-nos em mais um desafio:
Matemática – 7a série – Volume 4
Como encontrar outros ternos de números
inteiros que sejam lados de um triângulo retângulo, sem que estejam diretamente relacionados a ampliações do triângulo 3, 4 e 5?
Para dar continuidade a este estudo,
vamos fazer como os pitagóricos e aplicar
alguns conceitos aprendidos nas atividades
anteriores. Retomando as ideias da atividade 2,
identificaremos os números figurados no formato de um l por gnômon, termo antigo que
os gregos usavam para se referir ao esquadro
de carpinteiro.
Naquela atividade, chegamos à conclusão de que, em cada encaixe de um gnômon
em um quadrado de lado x, obtemos um
quadrado maior, de lado x + 1. Essa constatação relaciona, portanto, a área de dois
quadrados. Nas atividades anteriores, observamos que, em um terno pitagórico, a
soma de dois quadrados resulta em um terceiro. Combinando essas ideias, podemos
criar outra fonte de ternos pitagóricos. Para
compreender isso, vamos analisar mais uma
vez o triângulo 3, 4 e 5.
Partindo de um quadrado de 4 unidades de
lado, precisamos, para que haja encaixe, que
o gnômon seja composto por 9 quadradinhos,
isto é, uma unidade a mais que a soma de dois
lados do quadrado dado (quadradinho que
fica no cotovelo do gnômon).
Encaixando o gnômon no quadrado, produzimos um novo quadrado cujo lado mede
5 unidades (uma unidade a mais que o lado
do quadrado dado) e cuja área é a soma das
áreas do quadrado de lado 4 com a área do
gnômon.
Geometricamente construímos um quadrado de lado 5.
Como, neste caso, a quantidade de quadradinhos no gnômon é igual a 9, que é o quadrado
de um número inteiro, conseguimos a relação
esperada: a área de um quadrado foi gerada pela soma da área de dois quadrados, o
que aritmeticamente é assim representado:
42 + 32 = 52.
Aplicando o método do encaixe de um
gnômon, encontre o terno primitivo tomando
por base um quadrado de lado 12. Construa
uma figura que represente essa situação.
O gnômon terá 25 quadradinhos e no encaixe produzirá um quadrado de lado 13
unidades. Aritmeticamente constatamos
que: 12 2 + 5 2 = 13 2.
47
problema, ela sempre deverá ser igual ao quadrado aritmético de um número ímpar, como
9, 25, 49, etc. Para pensar sobre a medida
do lado do quadrado do encaixe (quadrado
“abraçado” pelo gnômon), basta imaginar
um quadrado que se encaixa nos lados abaixo
do gnômon. Quanto ao terceiro quadrado,
sua área é igual à do quadrado que tem o
gnômon por lado.
Atividade 8
Encontre o terno pitagórico formado pelo
gnômon composto por 49 quadradinhos.
Se o gnômon tem 49 quadradinhos, o quadrado do encaixe terá 24 unidades de lado.
O quadrado com os lados do gnômon terá
25 unidades de lado. Portanto, teremos:
242 + 72 = 252. O terno pitagórico é (7, 24, 25).
13
5
12
Assim, o terno (5, 12, 13) é um terno pitagórico e, portanto, o triângulo construído
com lados dessas medidas será retângulo.
Nessa atividade é importante que os alunos
observem que, para obtermos ternos inteiros, a
quantidade de quadradinhos do l formado
– que é ímpar – deve ser o quadrado de um
número ímpar. Dessa forma, para que possa
haver o encaixe, o lado do quadrado dado
deve ser par.
Portanto, uma forma de pensarmos a
criação de ternos pitagóricos pode partir de
uma análise da quantidade de quadradinhos
que compõem o gnômon. Na condição do
48
Atividade 9
O terno (7, 20, 21) é pitagórico? Justifique
geométrica e aritmeticamente.
Esse método, embora mais sofisticado que
o anterior, era ainda empírico e só valia para
triângulos retângulos em que os dois lados
maiores diferiam em apenas uma unidade.
uma pergunta que Pitágoras se colocou, e
que provamos agora, é: A propriedade da área
do quadrado construído sobre a hipotenusa é
igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos é válida para qualquer
triângulo retângulo?
Apoiado nos mesmos conhecimentos que
mostramos até agora, Pitágoras demonstrou a veracidade dessa propriedade para
Matemática – 7a série – Volume 4
qualquer triângulo retângulo. Vamos acompanhar o raciocínio dele, partindo de um quadrado. Encaixemos sobre ele um gnômon. O
gnômon é formado por dois retângulos iguais
e um quadrado, como mostra a figura:
FAKE
Comparando as duas figuras seguintes, observamos que a área azul da primeira é igual à
área vermelha da segunda. A área da figura azul,
como dito anteriormente, corresponde à soma
da área do quadrado construído sobre o cateto
menor com a área do quadrado construído sobre
o cateto maior. A área vermelha corresponde à
área do quadrado construído sobre a hipotenusa
do mesmo triângulo retângulo (Figura 3).
Figura 1
O retângulo que forma um dos “braços”
do gnômon pode ser decomposto, por uma de
suas diagonais, em dois triângulos retângulos
(Figura 1).
Vamos analisar um desses triângulos retângulos. Seu lado menor corresponde ao quadrado do canto do gnômon. O cateto maior
corresponde ao lado do quadrado abraçado
pelo gnômon.
E a hipotenusa, qual sua relação na figura?
Para descobrir, precisamos fazer um novo desenho distribuindo outros braços do gnômon sobre
a figura, de modo a surgir um novo quadrado inclinado: o quadrado da hipotenusa (Figura 2).
Figura 2
Figura 3
Assim, fica provada a generalidade da propriedade, isto é, está provado o teorema de
Pitágoras:
Em todo triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das
áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
Para essa demonstração, o professor pode
propor aos alunos uma atividade prática. Eles
devem ter em mãos:
f 2 retângulos congruentes quaisquer. Recorte esses retângulos por uma diagonal e obtenha 4 triângulos retângulos congruentes;
f 3 quadrados. um deles deve ter lado igual
à hipotenusa do triângulo retângulo anteriormente formado; os outros dois devem
ter como lados cada um dos catetos do
triângulo já referido;
49
f 1 quadrado de lado igual à soma das medidas dos catetos.
Solicite aos alunos que façam, sobre o
quadrado maior (o que tem lado igual à soma
dos catetos), cada uma das configurações representadas na Figura 3. Assim, eles poderão
concluir que as duas formas têm a mesma
área e que, portanto, retirando as áreas dos
triângulos retângulos, a área do quadrado
da hipotenusa será igual à soma das áreas dos
quadrados dos catetos.
1
2
1
2
3
4
3
4
Terminada essa etapa, pode-se retomar as
ideias principais estudadas até aqui e enfatizar que, em uma demonstração, é importante
que os argumentos utilizados sejam verdades
demonstradas ou conhecidas. Quando aplicamos o método da demonstração figurativa,
como no caso do teorema de Pitágoras, apenas
as figuras não bastam. É necessário um intenso trabalho para demonstrar o pensamento e
raciocínio lógico.
Sabemos que o mesmo teorema foi provado de outras formas. Na 8a série, quando
tratarmos das relações métricas no triângulo
retângulo, o foco será a demonstração proposta por Euclides em Elementos. A seguir,
propomos outras duas demonstrações do teorema de Pitágoras, caso o professor considere o
tempo suficiente para tratá-las.
50
brincando de Pitágoras
Atividade 10
Nessa demonstração, aplicaremos o resultado aprendido anteriormente sobre a duplicação da área de um quadrado. Aqui são
envolvidos somente triângulos isósceles, o que
não permite uma generalização do teorema,
que deve servir para qualquer triângulo. Contudo, essa demonstração torna-se uma etapa
na generalização do teorema.
Tomando por base um quadrado e a duplicação de sua área por meio da construção de
um quadrado sobre a hipotenusa do triângulo
retângulo isósceles, precisamos construir, sobre cada cateto, um quadrado de área igual à
do quadrado original.
A partir de 9 triângulos isósceles idênticos,
construídos a partir de quadrados, e aplicando o processo de duplicação da área de um
quadrado, faça uma construção que demonstre a validade do teorema de Pitágoras para
triângulos retângulos isósceles. lembre-se de
que não basta construí-los. Como se trata
de uma demonstração, você deve elaborar argumentos que a justifiquem.
Após algumas tentativas, os alunos devem
chegar à composição a seguir. Na argumentação, é importante que se apresente a justificativa de que todas as figuras são quadradas.
Isso é possível porque, sendo triângulos retângulos isósceles, as medidas dos catetos,
e, portanto, dos lados dos quadrados, são
iguais. Quanto à medida dos ângulos, ou
são ângulos retos ou são a soma de dois ângulos complementares do triângulo.
Matemática – 7a série – Volume 4
Vamos recortar as peças e tentar montar
um retângulo.
1
2
9
8
6
7
Você conseguiu? Agora, conte a quantidade
de quadradinhos que compõem este retângulo. A qual número você chegou? Ele corresponde
à quantidade de quadradinhos iniciais? O que
será que aconteceu?
3
4
Com esta atividade, construímos um absurdo:
5
64 = 65. A justificativa é que, precisamente,
a decomposição do quadrado não forma um
A fim de darmos um salto do processo de
demonstração figurativo para o algébrico,
vamos colocar os alunos diante de um paradoxo que mostra os limites das demonstrações apoiadas exclusivamente nas figuras
construídas sobre malhas.
se verifica a semelhança dos triângulos de
Para essa atividade os alunos precisarão de
papel quadriculado e tesoura.
Inicialmente vamos construir um quadrado
de 64 casas no papel quadriculado (Figura 1).
Depois, vamos decompor o quadrado em 4 figuras: dois triângulos retângulos (ACE e CEF)
e dois trapézios retângulos (BEGH e DFGH),
conforme a Figura 2.
B
A
E
A1
B
A4
G
H
A2
D
Figura 1
segmentos laranja e verde possuem inclina3
2 __
ções diferentes: __
5 % 8). Assim, nessa composição há um espaço vazio que não permite
ma de perceber esse fato é observar que não
Atividade 11
C
não é formada por segmentos colineares (os
o encaixe perfeito entre as peças. Outra for-
o limite da demonstração por figuração
A
retângulo. A suposta diagonal do retângulo
C
A3
F
Figura 2
D
área A1 e A1 + A4 .
E/H
G
F/H
A2
A3
A4
C/D
E
A1
B
A/G
C/F
O objetivo da atividade é colocar o aluno diante do limite da demonstração apoiada na figura. O professor pode argumentar
que, enquanto os fatos geométricos apoiaram as deduções de propriedades algébricas –
tema do 2o bimestre –, o uso das relações
algébricas agora permitirá a validação das
propriedades geométricas aplicadas até aqui.
51
o uso dos termos algébricos nas
demonstrações
No 2o bimestre da 7a série, o significado das
operações algébricas e dos produtos notáveis
teve como suporte a visualização geométrica.
De certa forma, agora faremos o contrário.
Os fatos algébricos permitirão a generalização de fatos geométricos.
uma demonstração algébrica do teorema
de Pitágoras
ternos pitagóricos com diferença de
1 unidade
Retome a demonstração do teorema de
Pitágoras com base na figura a seguir. Com o
auxílio da álgebra, prove que: a2 = b2 + c2.
Atividade 12
No 2o bimestre da 7a série, aprendemos
o produto notável: a2 – b2 = (a + b) . (a – b),
tomando o terno pitagórico (a,b,c), sendo c a
medida da hipotenusa. logo, c é o maior lado
e, portanto: c > a e c > b. Podemos concluir,
pela aplicação do teorema de Pitágoras, que
a2 = c2 – b2 = (c + b) . (c – b). logo, se c – b = 1,
teremos a2 = c + b. Esse fato pode ser percebido em vários ternos encontrados pelo método
descrito na atividade 7:
Terno (3, 4, 5) 32 = 4 + 5
Terno (5, 12, 13) 52 = 12 + 13
Terno (7, 24, 25) 72 = 24 + 25
Mantendo o padrão geométrico-numérico,
percebemos o seguinte diagrama:
3
4 (+1)
5
12 (+1)
13
+2
5
+2
7
24 (+1)
25
40 (+1)
41
+2
9
+2
11
52
Complete o terno pitágórico em que um
dos elementos é 11.
(11, 60, 61).
Atividade 13
c
a
b
c–b
Na figura, a é a medida da hipotenusa; b e c
são as medidas dos catetos do triângulo retângulo.
Observamos que a área do quadrado maior
é igual à soma das áreas do quadrado interior inclinado, de lado a, com os quatro
triângulos retângulos de catetos b e c.
Na figura, o quadrado maior tem lados
(b + c). Logo, sua área é:
(b + c)2 = b2 + 2bc + c2
A área do quadrado inclinado, quadrado da
hipotenusa de lado a, é: a2.
Os quatro triângulos retângulos de catetos
b e c formam dois retângulos de lados b e c.
Logo, a soma de suas áreas é: 2bc.
Matemática – 7a série – Volume 4
Efetuemos, agora, os cálculos:
(b + c)2 = a2 + 2bc
Embora a resolução do problema envolva
uma simples aplicação do teorema de Pitágoras, o interessante na atividade é o procedimento criado para determinar a medida da
distância inatingível entre dois pontos, semelhante ao sugerido pela aplicação do teorema de Tales. A resposta será 25 m.
b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc, simplificando os termos semelhantes da expressão:
b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc, temos a2 = b2 + c2.
Atividade 14
Thiago quer descobrir a medida aproximada
da parte mais extensa de uma lagoa (BC). Como
não sabe nadar, viu uma forma de resolver seu
problema com o uso de seus conhecimentos em
Geometria. lembrando dos egípcios, fixou três
estacas na margem da lagoa e esticou cordas de
A até b e de A até C. Como lhe interessa uma
medida aproximada, fez o máximo para formar
no encontro das cordas em A um ângulo reto.
Medindo o comprimento dessas cordas obteve
AB = 7 m e AC = 24 m. Construiu, então, em
seu caderno, um esboço da situação e a resolveu.
Qual é o valor encontrado por Thiago?
B
C
7m
24 m
A
Aqui, temos o projeto de uma escada com
5 degraus de mesma altura. um marceneiro
foi contratado para construir o corrimão dessa escada. Quantos metros lineares de madeira serão utilizados no corrimão?
30 cm
corrimão
30 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
90 cm
Esses exercícios exemplares exploram algumas situações contextualizadas em que se
aplica o teorema de Pitágoras.
Atividade 15
90 cm
Os exercícios exemplares a seguir visam
aplicar o teorema de Pitágoras em diferentes
contextos. O professor pode combiná-los com
aqueles que já fazem parte de seu curso ou buscar outros que estão presentes em livros didáticos da 7a série do Ensino Fundamental.
Para resolver a atividade, pode-se sugerir que
os alunos usem calculadora. Observando a figura, temos um triângulo retângulo. O pedaço
inclinado do corrimão, que indicaremos por c,
é a hipotenusa. Um dos catetos mede 90 cm, e
o outro mede o comprimento total das bases
dos degraus, isto é, 24 . 5 =120 cm.
Portanto, teremos: c2 = 902 + 1202
Logo, c2 = 8 100 + 14 400 = 22 500
______
c = ®22 500 = 150 cm
O comprimento total de madeira para o corrimão será 150 + 30 + 30 = 210 cm ou 2,1 m.
53
Atividade 16
Esta figura representa a “pipa” construída
por Cadu. Ele possui 1 metro de linha para reforçar a pipa, contornando sua estrutura. Encontre o comprimento da linha que contorna
a estrutura da pipa e verifique se a quantidade
de fio é suficiente.
33 cm
24 cm
12 cm
16 cm
O comprimento total de fio será, portanto,
resultado da soma:
13 + 12 + 20 + 20 + 12 + 13 = 90 cm.
Portanto, Cadu conseguirá reforçar a estrutura da pipa, pois ele tem 1 metro de fio.
Atividade 17
A figura representa a planta de um terreno com a forma de um trapézio retângulo
ABCD. No momento de colocá-lo à venda, o
proprietário resolveu dividi-lo em duas partes,
de modo que ambas tivessem a mesma área.
A divisão entre os dois terrenos foi feita com
uma cerca, indicada na figura por PQ, paralela ao lado Ab. Encontre o perímetro do terreno ABPQ.
12 cm
20 m
O problema se resume em achar as medidas
das hipotenusas dos triângulos retângulos,
indicados pelas cores vermelho e amarelo.
33 cm
A
Q
FAKE
13 cm
D
15 m
12 cm
B
20 cm
12 cm
12 cm
20 cm
12 cm
5 cm
No vermelho aplicamos: x2 = 162 + 122,
x = 20 cm.
No amarelo aplicamos: y2 = 122 + 52,
y = 13 cm.
54
C
29 m
24 cm
16 cm
P
Este tipo de atividade coloca o aluno em
uma situação em que só o conhecimento da
fórmula não basta para resolver o problema.
Ela, contudo, serve para orientar o pensamento no sentido de buscar os termos essenciais para a resolução da atividade. No caso,
o cálculo da área do trapézio indica a necessidade de determinar sua altura. O aluno deve
observar que a altura pode ser traçada pelo
vértice D, formando, assim, um triângulo
Matemática – 7a série – Volume 4
retângulo. No entanto, ainda faltará um
dado para podermos aplicar o teorema de
Pitágoras: a medida de um cateto. A partir
da análise da figura, percebe-se que a medida do cateto, que não é a altura, pode ser
encontrada pela diferença das medidas das
bases do trapézio. Outra forma de resolver
o problema é atribuir à distância BP ou AQ
um valor algébrico. Contudo, a medida final
dessa distância também pode ser resolvida
por cálculo sem a atribuição da variável. Às
vezes é difícil para os alunos encontrarem
essas relações. Se o professor achar conveniente, é interessante buscar outros exercícios que, como este, explorem situações em
que os dados necessários sejam encontrados
como resultado de uma análise da figura.
1o passo – cálculo da área do trapézio: para
determinar a altura, uma ideia é levantarmos
a altura no vértice D e, com o uso do teorema
de Pitágoras, encontrar o valor de h:
FAKE
15 m
h
20 m
9m
29 m
152 = h2 + 92
h = 12 m
Comecemos pelo cálculo da área da figura
(29 + 20) . 12
total: A = _____________ = 294 m2.
2
A área do retângulo ABPQ será, portanto, A = 147 m2. Chamando BP de x, as dimensões do retângulo serão x e 12. Assim,
teremos:
A
Q
12 m
h=12 m
B
x
P
A = 12 . x
147 = 12 . x
x = 12,25 m
Logo, o perímetro do quadrilátero ABPQ é
2 . 12 + 2 . 12,25 = 48,5 m.
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
espera-se que os alunos tenham ampliado os
princípios do método de demonstração iniciados com o teorema de Tales. Embora tenhamos
focalizado os aspectos ligados à demonstração – exigindo várias habilidades relacionadas
ao enfrentamento de situações-problema, ao
processo de reconhecimento e generalização
de propriedades e ao desenvolvimento da argumentação lógica –, é importante considerar que caberá ao professor encontrar outras
situações contextualizadas em que o teorema
é aplicado. O reconhecimento das situações
em que se emprega o teorema de Pitágoras
é um elemento essencial a ser considerado
55
como resultado dessa Situação de Aprendizagem. um tema que decorre da demonstração de um teorema é a validade de sua
recíproca. Em outras palavras, mesmo sem
demonstração, o professor pode discutir com
o grupo de alunos que a recíproca do teorema de Pitágoras é válida, isto é, que, se em um
triângulo o quadrado da medida do maior
lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, então o ângulo
oposto ao lado maior é reto e, portanto, o
triângulo é retângulo. Essa conclusão pode
nortear alguns exercícios em que o professor,
oferecendo as medidas dos lados de um triângulo, pode indagar sobre ele ser ou não um
triângulo retângulo. Este tema é retomado no
estudo de trigonometria na 1a série do Ensino
Médio, quando, na aplicação da lei dos Cossenos, podemos investigar se um triângulo é
acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
Na avaliação, o professor pode explorar
alguma situação nova de demonstração figurativa. A atividade 11, por exemplo, pode
ser aplicada em uma situação avaliativa no
sentido de apreender como os alunos estão
analisando uma situação e como argumentam
em sua demonstração. O reconhecimento das
situações-problema que são resolvidas pela
aplicação do teorema de Pitágoras deve também ser focalizado na avaliação do professor.
É importante o professor observar que em
alguns exercícios, em que os dados vêm
expressos nas figuras, os alunos, geralmente,
cometem o erro de considerar o lado desconhecido como a hipotenusa na expressão
a2 = b2 + c2. Para determinar raízes quadradas,
56
se o professor julgar necessário, pode propor
o uso de calculadoras ou o uso do método
aprendido na atividade 3, isto é, pela decomposição em uma soma de números ímpares.
Recursos para ampliar a perspectiva do
professor e do aluno para a
compreensão do tema
São várias as obras que exploram a vida de
Pitágoras e a demonstração de seu teorema.
Contexto histórico, atividades, demonstrações e
um grande número de explorações do teorema
fazem do livro Descobrindo padrões pitagóricos,
do professor Ruy Madsen Barbosa (Editora
Atual), uma das referências mais completas.
Na Coleção “Vivendo a Matemática” (Editora
Scipione), o volume Descobrindo o Teorema de
Pitágoras, de luiz Marcio Imenes, traz atividades e demonstrações em linguagem simples,
muito acessível aos alunos. Pela editora da
Sociedade Brasileira de Matemática, na Coleção do Professor de Matemática, o livro
Temas e problemas elementares (Elon lages
lima e outros autores) trata também da
demonstração de recíproca deste teorema
e sua aplicação na classificação de triângulos quanto à medida dos seus ângulos. No
livro O último Teorema de Fermat, de Simon
Sing (Editora Record), encontramos, além
de uma abordagem histórica bastante rica
em detalhes, a ligação que envolve o teorema de Pitágoras como um caso particular do
teorema proposto por Fermat. uma aventura instigante pela história da Matemática
é contada em 20 000 léguas Matemáticas de
A. K. Dewdney (editora Jorge zahar).
Matemática – 7a série – Volume 4
SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 4
PRISMAS
tempo previsto: 7 aulas.
Conteúdos e temas: prismas: identificação, relações métricas, área da superfície e volume de
um prisma reto.
Competências e habilidades: reconhecer e nomear um prisma; explorar as relações entre elementos geométricos e algébricos; visualizar figuras espaciais no plano; sintetizar e generalizar
fatos obtidos de forma concreta.
Estratégias: manipulação de sólidos geométricos; planificação de prismas; leitura e interpretação de enunciados e dados; resolução de problemas.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
Nesta Situação de Aprendizagem seguimos no estudo de Geometria, mas agora com
foco na geometria espacial. Este assunto foi
iniciado no 2o bimestre da 6a série, quando o
objetivo era reconhecer, classificar e nomear
os poliedros por meio de atividades que envolviam planificação, montagem de sólidos e um
estudo preliminar da relação de Euler.
Agora, na 7a série, o foco será o reconhecimento, a planificação, a representação plana
e as relações métricas dos prismas, em particular os prismas retos. No 4o bimestre da
8a série, os cilindros concluem os estudos
da geometria espacial nesse segmento da escola básica. No 4o bimestre da 2a série do Ensino Médio, a geometria espacial é retomada
em uma perspectiva mais ampla e formal.
Neste momento serão tratadas as relações
métricas de outros sólidos, como a pirâmide,
o cone e a esfera.
Prismas: identificação e elementos
O prisma é um formato presente em muitas situações do cotidiano dos estudantes. A
palavra “prisma” deriva do grego pris, que
significa “serrar”, e do sufixo -ma, que indica
“resultado”. Os antigos gregos utilizavam esse
termo para se referir aos pedaços de madeira
que eram cortados. Nos dias de hoje, a maioria das embalagens e objetos com que tomamos contato tem essa forma.
Inicialmente, propomos que o professor
apresente aos alunos uma série desses objetos
concretos, como caixa de fósforos, embalagens
de pizzas, caixas de sapatos, e discuta com
eles alguns conceitos básicos como:
f as bases dos prismas retos são polígonos de
mesma forma e tamanho e suas faces laterais são retangulares;
f o nome do prisma é dado pela forma de
sua base, que pode ser triangular, quadrangular, hexagonal, etc;
57
f o paralelepípedo é um prisma cujas bases
são paralelogramos;
f se todas as faces do paralelepípedo são retangulares, ele será chamado de paralelepípedo retângulo;
f se o prisma tiver todas as faces quadradas,
ele formará um cubo, também chamado
de hexaedro regular (grego hexa – seis, e
hedros – apoiar-se, faces), o conhecido formato do dadinho.
Nas embalagens, o professor pode indicar o
nome dos principais elementos que formam os
prismas retos.
vértice
A partir do trabalho com embalagens,
o professor pode distribuir aos alunos algumas planificações de prismas de diferentes
bases para que eles façam as suas construções.
diagonais de um prisma
A atividade a seguir explora as diagonais em
um prisma quadrangular reto. Esse caso permite aplicar o teorema de Pitágoras em figuras
espaciais. Esse mesmo problema pode ser proposto imaginando caixas de lápis em formato
de um prisma de base triangular. Nele observa-se que o prisma não tem diagonal e que a
medida do lápis coincide com a diagonal da
face lateral. Outra possibilidade é supor a caixa como um cubo ou como um prisma regular
de base hexagonal.
Atividade 1
face
aresta
Desmontando a embalagem, o professor
pode começar a discussão sobre a planificação
do prisma e sobre o cálculo de sua área.
uma caixa tem o formato de um paralelepípedo reto-retângulo com 3 cm de comprimento, 4 cm de profundidade e 12 cm de
altura, conforme figura a seguir. Encontre a
medida do segmento AB, também chamado
de diagonal do prisma.
A
12
3
4
B
A partir da figura, podemos construir um
triângulo retângulo que tem a distância AB
58
Matemática – 7a série – Volume 4
como a hipotenusa e, por catetos, a altura do
prisma e a diagonal da base, indicada pela
letra d.
A
corresponde à quantidade de cubos apoiados
sobre a mesma, pela altura (H), que corresponde à quantidade de camadas de cubos que
preenchem completamente o sólido.
Desta forma, o volume de um paralelepípedo
pode ser calculado com a expressão: V = Abase . H.
D
12
3
d
4
B
Inicialmente aplicaremos o teorema de Pitágoras para determinarmos a medida de d:
Neste momento, mesmo sem a aplicação do
Princípio de Cavalieri, podemos generalizar que
o volume de qualquer prisma se dá pela mesma
expressão. uma imagem que pode auxiliar os
alunos nessa generalização é caracterizar
os prismas pela sobreposição de placas idênticas,
umas sobre as outras.
Diagonal da base: d 2 = 16 + 9 = 25 ⇒ d = 5
Assim, a diagonal do prisma pode ser encontrada aplicando-se mais uma vez o teorema
de Pitágoras: D 2 = 144 + 25 = 169 ⇒ D = 13.
Portanto, o segmento AB = 13 cm.
Volume de um prisma
Para calcular o volume de um prisma determinamos quantos cubinhos de aresta de 1 unidade
de comprimento cabem no mesmo. Comecemos
com um paralelepípedo reto, de base retangular.
Cálculo do volume do paralelepípedo reto pela
decomposição e contagem de cubinhos.
Com isso, é possível concluir que a quantidade de cubinhos que cabem no paralelepípedo reto é igual à área da base (Abase ), que
um tema que vem se tornando de relevância
social, quando se trata da preservação do meio
ambiente, é o referente a embalagens dos produtos. Além do tipo do material utilizado na
fabricação das embalagens, como isopor, papelão ou plástico, é importante também considerar se as embalagens são bem dimensionadas,
isto é, se a relação volume interno/quantidade
de material utilizado é a melhor possível. Também deve-se atentar ao fato de que, para serem
embaladas coletivamente, isto é, lado a lado, o
formato deve satisfazer a condição de permitir
o menor espaço vazio entre elas.
59
A atividade a seguir explora essa relação
entre a área da superfície de um prisma e seu
volume. O objetivo é levar o aluno a compreender que prismas equivalentes, isto é, de mesmo
volume, podem possuir áreas superficiais diferentes. A atividade ainda exige a representação
algébrica do volume, a resolução de uma equação e o cálculo de áreas. Configura-se, portanto,
como um exercício que trabalha vários conceitos tratados na 7a série.
Atividade 2
Dizemos que dois prismas são equivalentes
quando têm o mesmo volume. A seguir, são
dados dois formatos diferentes que compõem
o projeto de uma caixa.
8 cm
8 cm
4 cm
8 cm
(x + 10) cm
Sabendo que eles são equivalentes, determine:
a) o volume das caixas.
Para calcular o volume do cubo podemos
aplicar a expressão geral para o volume de
prismas, V = 64 . 8 = 512 cm3.
60
A área lateral do cubo é composta por 6 quadrados de lados iguais a 8 cm.
Assim, a área da superfície total do cubo é
igual a Acubo= 6 . 64 = 384 cm2.
Para o cálculo da área da superfície total
do paralelepípedo, necessitamos encontrar
o valor de x. Como os prismas são equivalentes, eles possuem o mesmo volume. Para
o paralelepípedo, vale a seguinte expressão
para o volume:
V = Abase . h = 8 . (x + 10) . 4 = 32x + 320
Como V = 512 cm3, podemos escrever a
equação: 32x + 320 = 512 ⇒ x = 6.
Assim, as dimensões do paralelepípedo serão: 8 cm, 16 cm e 4 cm. A área da sua superfície total é composta por dois retângulos
de lados 16 cm e 8 cm (bases), dois retângulos de lados 8 cm e 4 cm e dois retângulos de
lados 16 cm e 4 cm. Portanto, a expressão
de sua área superficial será:
8 cm
FAKE
b) a caixa cuja superfície tem a menor área.
Aparalelepípedo = 2 . 8 . 16 + 2 . 8 . 4 + 2 . 4 . 16 =
= 256 + 64 + 128 = 448 cm2.
Logo, embora os prismas tenham o mesmo
volume, o cubo representa aquele que consome menor quantidade de material para
ser produzido.
O professor pode acrescentar que, dentre
os retângulos equivalentes, o quadrado é o de
menor perímetro, ao passo que dentre os paralelepípedos equivalentes, o cubo é o de menor
área superficial.
Matemática – 7a série – Volume 4
Atividade 3
A área a ser coberta pela capa é igual à soma
O uso de urnas eletrônicas nas eleições no
Brasil se configura como um dos processos
eleitorais mais modernos do mundo. Na figura, temos representada uma dessas urnas.
Vamos considerá-la um prisma cujas bases
são trapézios retângulos. Na figura estão dadas as medidas de AB, AC, CD e DE. Considere, também, a diferença entre o perímetro
do retângulo BDEF e o perímetro do trapézio
ABDC igual a 34 cm.
17 cm
F
trapézios, com as áreas dos três retângulos
que são suas faces laterais, excluída a face
apoiada sobre a mesa.
(17 + 37) . 21
A = 2 . _____________ + 40 . 29 + 17 . 40 +
2
+ 21 . 40 = 3 814 cm2.
b) Encontre o volume ocupado por uma
urna.
Para o cálculo do volume precisamos da área
da base, que é a área do trapézio e da al-
BB
A
das áreas das duas bases do prisma, os dois
tura do prisma, que, no caso, é a medida da
aresta DE. Portanto:
21 cm
E
C
37 cm
D
40 cm
a) Desejando-se produzir uma capa de
material plástico para cobrir a urna, necessita-se calcular a área da urna a ser
coberta. Encontre-a (no caso, ignora-se
a área da face apoiada sobre a mesa).
Para resolver esta atividade é necessário
indicar a aresta BD por uma incógnita, por
exemplo, x. Desse modo, podemos escrever a
seguinte expressão:
40 + 40 +x + x – (21 + 37 + 17 + x) = 34
80 + 2x – 75 – x = 34
x = 29 cm
Ou podemos encontrar a incógnita aplicando o teorema de Pitágoras, como segue:
BD2 = 212 + 202
BD2 = 841
BD = 29 cm
V=
( 17 + 37 ). 21
. 40 = 22 680 cm3.
2
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
espera-se que os alunos tenham se apropriado
dos fatos principais associados aos prismas.
Inicialmente priorizamos a identificação e caracterização dos prismas para sua posterior
representação plana. Junto a isso criamos um
vocabulário geométrico, que permite a diferenciação entre elementos da geometria plana
e da geometria espacial, como a diferenciação
entre lados do polígono e arestas do poliedro.
A aprendizagem dos alunos pode ser avaliada inicialmente a partir de situações que
envolvam: aspectos qualitativos dos prismas,
como identificação da base e da altura; nomenclatura dos prismas, a partir de objetos
concretos; e suas representações planas com o
uso das malhas.
61
Em um segundo momento, o professor
pode explorar situações-problema que envolvam o cálculo de áreas e volumes de prismas.
É também uma oportunidade para o professor investigar sobre a consistência do conhecimento sobre áreas de figuras planas.
Recursos para ampliar a perspectiva do
professor e do aluno para a compreensão
do tema
Para o desenvolvimento deste conteúdo,
vários livros didáticos de Ensino Fundamental
apresentam uma série de situações-problema
sobre a geometria métrica nos prismas. O professor pode selecionar alguns desses problemas
e agregá-los àqueles que já fazem parte de sua
experiência no tratamento deste tema. Propomos que o professor dê preferência aos problemas que envolvem situações contextualizadas.
Na Revista do Professor de Matemática, encontramos vários números que tratam dos prismas.
Particularmente no número 3, do 2o semestre de
1982, encontramos uma interessante abordagem sobre a relação dos poliedros e as formas na
natureza. A RPM é uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática, disponível em:
<http://www.rpm.org.br/cms>. Para o trabalho com planificações de sólidos, o professor
encontra modelos em vários livros didáticos ou
em pesquisas em sites de busca na internet.
ORIENTAçõES PARA RECuPERAçãO
Considerando que algumas metas não tenham sido alcançadas na Situação de Aprendizagem 1, o professor pode acrescentar outros
tipos de problemas que o auxiliem a identificar os pontos a serem reforçados.
Algumas vezes os alunos apresentam dificuldades em “montar” a proporção, trocando
os termos de posição, conforme Situação de
Aprendizagem 2. A atenção do professor nesse sentido é fundamental para que o aluno reconheça as partes que se colocam em razão e
proporção. O apoio de figuras, para identificar
o que são as paralelas e as transversais, é fundamental na superação dessas dificuldades.
Caso as metas aplicadas na Situação de
Aprendizagem 3 não tenham sido atingidas,
sugere-se que o professor retome os aspectos
essenciais do processo de demonstração do
teorema e que proponha aos alunos um conjunto de exercícios de contexto que permitam
62
a identificação da hipotenusa e dos catetos
e a aplicação do teorema na sua solução.
Caso os objetivos da Situação de Aprendizagem 4 não tenham sido plenamente alcançados, sugerimos que as atividades de
recuperação retomem:
f as figuras planas, particularmente o triângulo equilátero, o retângulo, o paralelogramo, o quadrado e o hexágono regular,
enfatizando, de forma esquemática, suas
propriedades e relações métricas;
f a manipulação dos objetos sólidos em forma de prismas, identificando seus elementos, particularmente aqueles relacionados
às figuras planas vistas anteriormente;
f a representação plana de prismas;
f o cálculo de áreas e volumes dos prismas
com diferentes bases.
Matemática – 7a série – Volume 4
ContEúdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE/bimEStRE
3o bimestre
2o bimestre
1o bimestre
do EnSino FundAmEntAl
5a série
6a série
7a série
8a série
númERoS nAtuRAiS
- Múltiplos e divisores.
- Números primos.
- Operações.
- Introdução às potências.
númERoS nAtuRAiS
- Sistemas de numeração na
Antiguidade.
- O sistema posicional
decimal.
númERoS RACionAiS
- Transformação de decimais
finitos em fração.
- Dízimas periódicas e
fração geratriz.
FRAçõES
- Representação.
- Comparação e ordenação.
- Operações.
númERoS intEiRoS
- Representação.
- Operações.
PotEnCiAção
- Propriedades para
expoentes inteiros.
- Problemas de contagem.
númERoS REAiS
- Conjuntos numéricos.
- Números irracionais.
- Potenciação e radiciação
em IR.
- Notação científica.
númERoS dECimAiS
- Representação.
- Transformação em
fração decimal.
- Operações.
SiStEmAS dE
mEdidAS
- Comprimento, massa e
capacidade.
- Sistema métrico decimal.
gEomEtRiA/mEdidAS
- Formas planas e espaciais.
- Noção de perímetro e área
de figuras planas.
- Cálculo de área
por composição e
decomposição.
númERoS RACionAiS
- Representação fracionária
e decimal.
- Operações com decimais
e frações.
tRAtAmEnto dA
inFoRmAção
- A linguagem das potências.
gEomEtRiA/mEdidAS
- Ângulos.
- Polígonos.
- Circunferência.
- Simetrias.
- Construções geométricas.
- Poliedros.
EXPRESSõES
AlgébRiCAS
- Equivalências e
transformações de
expressões algébricas.
- Produtos notáveis.
- Fatoração algébrica.
álgEbRA
- Equações de 2o grau:
resolução e problemas.
- Noções básicas sobre
funções; a ideia de
interdependência.
- A ideia de variação.
- Construção de tabelas e
gráficos para representar
funções de 1o e 2o graus.
númERoS/
PRoPoRCionAlidAdE
- Proporcionalidade direta
e inversa.
- Razões, proporções,
porcentagem.
- Razões constantes na
geometria: π.
álgEbRA/EQuAçõES
- Equações de 1o grau.
- Sistemas de equações e
resolução de problemas.
- Inequações de 1o grau.
- Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
gEomEtRiA/mEdidAS
- Proporcionalidade,
noção de semelhança.
- Relações métricas em
triângulos retângulos.
- Razões trigonométricas.
gEomEtRiA/mEdidAS
- Teoremas de Tales e
Pitágoras: apresentação e
aplicações.
- Área de polígonos.
- Volume do prisma.
gEomEtRiA/mEdidAS
- O número π; a
circunferência, o círculo e
suas partes; área do círculo.
- Volume e área do cilindro.
4o bimestre
tRAtAmEnto dA
inFoRmAção
- Gráficos de setores.
- Noções de probabilidade.
tRAtAmEnto dA
inFoRmAção
- leitura e construção de
gráficos e tabelas.
- Média aritmética.
- Problemas de contagem.
álgEbRA
- uso de letras para
representar um valor
desconhecido.
- Conceito de equação.
- Resolução de equações.
- Equações e problemas.
tRAtAmEnto dA
inFoRmAção
- Contagem indireta e
probabilidade.
63