Operações com Conjuntos Nebulosos
Adriano Cruz ©2002
NCE e IM/UFRJ
[email protected]
Nossa vida é desperdiçada em detalhes.
Simplifique, simplifique.
Henry Thoureau
Sumário





Operações de Zadeh
Normas T
Normas S
Propriedades de Conjuntos Nebulosos
Entropia Nebulosa
@2001 Adriano Cruz
NCE e IM - UFRJ
Operações com Conjuntos
Nebulosos 2
Operacões de Zadeh


Lofty Zadeh definiu funções para as
operações básicas entre conjuntos
nebulosos
Estas operações reduzem-se as
operações booleanas quando
utilizamos conjuntos nitidamente
definidos.
@2001 Adriano Cruz
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 3
Operação de União

União: a função de inclusão mU(x) da
união dos conjuntos A e B (AB) é
definida como
m  ( x)  max(m A ( x), m B ( x)), x  X
max(m A ( x), m B ( x))
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 4
Operação de Interseção

Interseção: a função de inclusão m(x)
da interseção dos conjuntos A e B
(AB) é definida como
m  ( x)  min(m A ( x), m B ( x)), x  X
min(m A ( x), m B ( x))
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 5
Operação de Complemento

Complemento: a função de inclusão
mC(x) do complemento de um conjunto
A é definida como
m A ( x)  1  m A ( x), x  X
m A (x)
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1  m A ( x)
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 6
Por que estes operadores?



Para conjuntos nitidamente definidos as
operações básicas estão bem definidas, mas
para conjuntos nebulosos esta definição é
nebulosa
As operações com conjuntos nebulosos devem
obedecer a um conjunto de regras que as
generalizam e são chamadas de normas T e
normas S
Normas T generalizam a operação de Interseção
e Normas S as de união
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 7
Operação de Interseção



Qualquer função que seja empregada para
representar interseção deve respeitar as
Normas T
Normas T mapeiam [0,1]x[0,1]  [0,1] e
devem satisfazer os cinco axiomas
mostrados a seguir
Sejam mA(x), mB(x), mC(x) e mD(x) quatro
funções. Para facilitar vamos representá-las
por a, b, c e d.
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 8
Normas T
T .1 T (0,0)  0
T .2
T .3
T .4
T .5
T (a, b)  T (b, a )
T (a,1)  a
T [T (a, b), c]  T [a, T (b, c)]
T (c, d )  T ( a , b )
se c  a e d  b
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comutativa
elemento neutro
associativa
monotônica
Operações com Conjuntos
Nebulosos 9
Normas T - comentários




Pode ser provado que a operação de mínimo
é uma norma T
A operação de produto também é uma norma
T
Existem outras operações que satisfazem a
estes axiomas
Pode ser provado que para qualquer norma
T temos
T [ m A ( x), m B ( x)]  min(m A ( x), m B ( x)]
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 10
Mínimo, norma T?
T .1 min(0,0)  0
T .2 min(a, b)  min(b, a )
T .3 min(a,1)  a
T .4 min[min(a, b), c]  min[a, min(b, c)]
 min(a, b, c)
T .5 min(c, d )  min(a, b)
se c  a e d  b
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 11
Operação de União



Qualquer função que seja empregada para
representar união deve respeitar as Normas
S
Normas S mapeiam [0,1]x[0,1]  [0,1] e
devem satisfazer os cinco axiomas
mostrados a seguir
Sejam mA(x), mB(x), mC(x) e mD(x) quatro
conjuntos nebulosos. Para facilitar vamos
chamá-los de a,b,c e d.
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Nebulosos 12
Normas S
S .1 S (1,1)  1
S .2
S .3
S .4
S .5
S (a, b)  T (b, a )
S ( a ,0 )  a
S [ S (a, b), c]  S [a, S (b, c)]
S (c, d )  S ( a , b )
se c  a e d  b
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comutativa
elemento neutro
associativa
monotônica
Operações com Conjuntos
Nebulosos 13
Normas S - comentários




Pode ser provado que a operação de
máximo é uma norma S
Existem outras operações que satisfazem a
estes axiomas
A operação de soma não satisfaz a norma
S.1 e não pode ser usada
Pode ser provado que para qualquer norma
S temos
S[ m A ( x), m B ( x)]  max(m A ( x), m B ( x)]
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 14
Máximo, norma S?
S .1 max(1,1)  1
S .2 max(a, b)  max(b, a )
S .3 max(a,0)  a
S .4 max[max(a, b), c]  max[a, max(b, c)]
 max(a, b, c)
S .5 max(c, d )  max(a, b)
se c  a e d  b
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 15
Operação de soma limitada, norma S?
m A B ( a, b)  a  b  a  b
S .1 1  1  1  1  1
S .2 a  b  a  b  b  a  b  a comutativa
S .3 a  0  a  0  a
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 16
Operação de soma limitada, norma S?
S .4 (a  b  ab)  c  (a  b  ab)c 
a  (b  c  bc)  a (b  c  bc)
a  b  c  ab  ac  bc  abc 
a  b  c  ab  ac  bc  abc
S .5 Se c  a, d  b, a, b, c, d  1
a  b  ab  c  d  cd
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 17
Outros testes
Provar que T(a,b)<= min(a,b)
T .5
T .2
T .5
T .5
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T (a, b)  T (a,1)  a
T (a, b)  T (b, a )
T (b, a )  T (b,1)  b
T (a, b)  min(a, b)
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 18
Pairs of T-norms and S-norms

T-norm - Drastic Product:
min( x, y ) if max( x, y )  1
DP( x, y )  
0
x, y  1


S-norm - Drastic Sum:
max( x, y ) if min( x, y )  0
DS ( x, y )  
1
x, y  0

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Operações com Conjuntos
Nebulosos 19
Pairs of T-norms and S-norms

T-norm - Bounded Difference:
BD( x, y)  max( 0, x  y  1)

S-norm - Drastic Sum:
BS ( x, y)  min(1, x  y)
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 20
Pairs of T-norms and S-norms

T-norm – Einstein Product:
xy
EP( x, y ) 
2  [ x  y  ( xy )]

S-norm - Einstein Sum:
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x y
ES ( x, y ) 
1  x. y
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 21
Pairs of T-norms and S-norms

T-norm – Algebraic Product:
AP( x, y )  xy

S-norm - Algebraic Sum:
AS ( x, y )  x  y  xy
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 22
Pairs of T-norms and S-norms

T-norm – Hamacher Product:
xy
HP( x, y ) 
x  y  xy

S-norm - Hamacher Sum:
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x  y  2 xy
HS ( x, y ) 
1  xy
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 23
Pairs of T-norms and S-norms

T-norm – Dubois-Prade:
xy
DPrT ( x, y ) 
max( p, x, y )
Obs. p is a parameter that ranges from 0 to 1.

S-norm – Dubois-Prade:
x  y  xy  min(1  p, x, y)
DPrS ( x, y) 
max( p,1  x,1  y)
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 24
Dubois-Prade Operators

When p=1
– Dubois-Prade T-norm becomes the Algebraic
Product (xy)
– Dubois-Prade S-norm becomes the Algebraic
Sum (x+y-xy)

When p=0
– Dubois-Prade T-norm becomes the min(xy)
– Dubois-Prade S-norm becomes the max(xy)
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 25
Pairs of T-norms and S-norms

T-norm – Yager:
YT ( x, y )  1  min(1, [(1  x) p  (1  y ) p ]1 p )
Obs. p is a parameter that ranges from 0 to .

S-norm – Yager:
YT ( x, y )  min(1, [ x p  y p ]1 p )
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 26
Yager Operators

When p=1.0
– Yager T-norm becomes the bounded
difference (max(0,x+y-1))
– Yager S-norm becomes the bounded sum
(min(1,x+y))

When p->
– Yager T-norm converges to min(x,y)
– Yager S-norm converges to max(x,y)
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 27
Propriedades de Conjuntos Nebulosos
Comutatividade
A B  B  A
A B  B  A
Associatividade A  ( B  C )  ( A  B )  C
A  ( B  C )  ( A  B)  C
Distributividade A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C )
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 28
Propriedades de Conjuntos Nebulosos
Idempotência
A A  A
A A  A
Identidade
A  A
A  
A X  X
A X  A
De Morgan A  B  A  B
A B  A B
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 29
Verificando propriedades
Lembrar que
e
a se a  b
min(a, b)  
b se b  a
ab ab
min(a, b) 
2
b se a  b
max(a, b)  
a se b  a
ab a b
max(a, b) 
2
@2001 Adriano Cruz
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 30
Verificando propriedades
Vamos verificar a propriedade de Absorção
A  ( A  B)  A
max[m A ( x), min(m A ( x), m B ( x)]  m A ( x)
ab ab
A B

2
ab ab
ab ab
a
 a
2
2
A  ( A  B) 
2
@2001 Adriano Cruz
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 31
Verificando propriedades
3a  b  a  b a  b  a  b

2
2
A  ( A  B) 
2
3a  b  a  b  a  b  a  b

4
Se a  b
3a  b  (a  b)  (a  b)  (a  b)

4
A  ( A  B)  a
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 32
Verificando propriedades
3a  b  a  b  a  b  a  b
A  ( A  B) 
4
se a  b
3a  b  (a  b)  (a  b)  (a  b)

4
A  ( A  B)  a
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 33
Leis de Aristóteles


Lei da não contradição: Estabelece que
um elemento ou pertence a um
conjunto ou ao seu complemento.
Como a interseção entre um conjunto e
seu complemento pode não ser vazia
temos o seguinte resultado
A A  
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 34
Leis de Aristóteles


Lei da exclusão do meio: Estabelece
que a união de um conjunto ao seu
complemento fornece o conjunto
Universo
O resultado pode não ser o universo
domínio
A A  X
@2001 Adriano Cruz
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 35
Interseção entre conjuntos
Não adultos
adultos
adulto não adulto
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 36
Entropia Nebulosa

A entropia de um conjunto é definida pela
fórmula
c( A  A)
E ( A) 
c( A  A)

c refere-se a uma contagem (adição ou
integração) sobre o suporte do conjunto.
Observar que para um conjunto nítido o
numerador é sempre 0 e a entropia de um
conjunto nítido é sempre igual a 0.

@2001 Adriano Cruz
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 37
Entropia Nebulosa
A entropia dos conjunto dos adultos é igual a
c( A  A)  5
c( A  A)  20  20  5  35
5
E ( A)

 0.14
35
Não adultos
adultos
1
adulto não adulto
10
@2001 Adriano Cruz
20
30
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 38