Conjuntos Nebulosos - Introdução
Adriano Joaquim de O Cruz NCE e IM, UFRJ
©2002 [email protected]
Se você tem um martelo, tudo irá parecer
um prego
Atribuído a Dinísio de Agapunta (300 AC)
Sumário







Conjuntos Clássicos
Função de Inclusão em Conjuntos Clássicos
Operações com Conjuntos Clássicos
Propriedades de Conjuntos Clássicos
Conjuntos Nebulosos
Funções de Inclusão em Conjuntos
Nebulosos
Terminologia de Conjuntos Nebulosos
@2001 Adriano Cruz
NCE e IM - UFRJ
Conjuntos Nebulos
Introdu₤₧o 2
Conjuntos Clássicos

Universo de Discurso
Corresponde ao espaço onde estão
definidos os elementos do conjunto
Por exemplo:
alturas de seres humanos: 0 <= alt <= 2.5m
temperatura ambiente: -70o<=temp<=70o
@2001 Adriano Cruz
NCE e IM - UFRJ
Conjuntos Clássicos

Função de Inclusão
Define se um pertence ou não a um
conjunto
 1, x 1.70
 A (X)  
0, x  1.70
1
0
@2001 Adriano Cruz
1,70
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altura
Problemas/Conjuntos Clássicos



Apresentam problemas quando aplicados à uma
enorme classe de problemas do mundo real.
O problema da escolha do limiar entre dois
conjuntos (alto/não alto) é denominado de
paradoxo de Sorites, atribuído ao dialético,
Eubulides de Mileto, adversário de Aristóteles
O paradoxo se enuncia com os seguintes termos
Quando um monte de areia deixa de ser um monte de
areia, caso retiremos um grão de areia de cada vez?
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Operações com conjuntos clássicos
União
Interseção
Com plem ent
o
Diferença
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A  B  {x | x  A  x  B}
A  B  {x | x  A  x  B}
A  {x | x  A, x  X }
A | B  {x | x  A  x  B}
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Tabelas Verdade
x
y | x y
x y
x
0 0 |
0
0
1
0 1 |
1
0
1
1 0 |
1
0
0
1 1 |
1
1
0
Que funções matemáticas poderiam ser usadas
para representar as operações de união,
intercessão, e complemento?
@2001 Adriano Cruz
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Propriedades de Conjuntos Clássicos
Comutativi dade
A B  B  A
A B  B  A
Associativ idade
A  ( B  C )  ( A  B)  C
A  ( B  C )  ( A  B)  C
Distributi vidade
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
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NCE e IM - UFRJ
Propriedades de Conjuntos Clássicos
Idempotênc ia
A A  A
A A  A
Identidade
A  A
A  
A X  X
A X  A
De Morgan A  B  A  B
A B  A B
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Leis de Aristóteles

Tudo deve ser ou não ser, seja no
presente ou no futuro.

A União de um conjunto com seu
complemento forma o conjunto Universo.
A A  X

Esta é chamada de lei da exclusão do meio
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Conjuntos Nebulos
Introdu₤₧o 10
Leis de Aristóteles

A Intercessão de um conjunto com seu
complemento é vazia.
A A  

Esta é chamada de lei da não contradição
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Conjuntos Nebulosos

A função de inclusão de elementos em um
conjunto nebuloso A é caracterizada por
 (.) : X  [0,1]
que mapeia cada elemento do conjunto X em
um número real no intervalo [0,1]
1.0
0.5
0
1,70 1,80
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altura
Conjuntos Nebulosos - definição

Um conjunto nebuloso pode ser
expresso por um conjunto ordenado de
pares:
Valor
A  {( x,  A ( x )) | x  X }
Conjunto
Nebuloso
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Função de
Inclusão
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Universo de
Discurso
Tipos de Inclusão

Inclusão com grau: um elemento pertence a
um conjunto com um determinado grau de
certeza. Alguns elementos são mais
representativos da idéia central do conjunto
que outros
alunos excelentes={(Pedro,0.8), (Ana,0.9),
(Paulo,0.9), (Marta,1.0)}
muito altos = {(Oscar,0.95), (Michael
Jordan, 0.95), (Junior Baiano,0.8)}
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Tipos de Inclusão

Inclusão em diversos conjuntos: um
elemento pode ser membro parcial de mais
de um conjunto
crian₤as={Pedro, Ana, Paulo, Marta}
adolescentes = {Pedro, Mateus, Joaquim}
crianças(Pedro)=0.2
adolescentes(Pedro)=0.8
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Não é probabilidade


Pertencer ao conjunto das pessoas altas,
com um grau de inclusão de 0.25, indica
afastamento da definição ideal de uma
pessoa alta por uma diferença de 0.75
O grau 0.25 não significa que uma pessoa
com esta altura possa ser encontrada com
probabilidade 0.25 no conjunto das pessoas
altas
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Não é probabilidade




Um líquido em uma garrafa tem 95% de
probabilidade de ser veneno puro
Um líquido em uma garrafa pertence a
conjunto das garrafas com água pura com
grau 0.95, isto é 5% de veneno na água
Veneno nesta concentração não mata, mas
você irá passar muito mal.
De qual garrafa você beberia?
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Representando conjuntos nebulosos

Pares ordenados: um conjunto nebuloso
pode ser representado por um par ordenado
de pares, sendo que o primeiro elemento
denota o elemento do conjunto e o segundo
o seu grau de inclusão no conjunto
Altos = {(João=1.6, 0.0), (Ana=1.7,0.5),
(Oscar=1.8,1.0)}
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Representando Conjuntos Nebulosos

Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode
ser representado por uma função que mapeia os
elementos do conjunto no intervalo [0,1]
altura  1.5
0
5  altura  7.5
1.5  altura  1.7

 media (altura)  
 5  altura  9.5 1.7  altura  1.9
0
altura  1.9
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Representando Conjuntos Nebulosos

Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode
ser representado por uma função que mapeia os
elementos do conjunto no intervalo [0,1]
µ(x)
1.0
Alturas médias
1.5
@2001 Adriano Cruz
1.7
1.9
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altura
Função Unimodal

Uma função é unimodal se
x1, x2  X ,  [0,1] :  (x1  (1   ) x2 )  min[  ( x1),  ( x2 )]

Uma função unimodal contém informação de tal
maneira que quando (x)>(y) para um conjunto
A implica que x está mais perto da definição
ideal de A do que y.
unimodal
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bimodal
Função Singular

Função singular (singleton) quando
1 x  x
 x ( x)  
0 x  x
1
SvOutPla ceObjec t
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Função Clássica

Funções clássicas são empregadas para
definição de conjuntos clássicos
1
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Função Linear

Conjunto nebuloso dos mais simples
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Função Trapezoidal e Triangular

Fáceis de implementar e permitem representar
conjuntos complexos. Podem ser representadas
por 4 valores (a, b, c, d)
2
1
a
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b
c
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d
Função Trapezoidal e Triangular

Uma função trapezoidal pode ser especificada
por 4 parâmetros (a, b, c, d). Triângulos , b=c
 0
xa
b a

trap( x : a , b, c, d )   1
d  x
d  c
 0

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xa
axb
b xc
c xd
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xd
Função Sigmóide

É definida usando-se três parâmetros: seu valor
0 de inclusão (a), seu valor 1 de inclusão (g) e o
ponto de inflexão (b), que é o ponto onde o valor
da função de inclusão vale 0.5
0
x a

2

 x a 
axb

 2

 g a 
S ( x, a , b , g )  
2
1  2   x  a 
b  xg

g a 

1
x g

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Função Sigmóide
1
0
a
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b
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g
Função Beta

É definida com dois parâmetros, o valor em
torno do qual a curva é construída (g) e um valor
que indica a metade da largura da curva no
ponto de inflexão (b)
B ( x, g , b ) 
@2001 Adriano Cruz
1
 x g 
1 

 b 
2
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Suporte de um conjunto

O suporte de um conjunto nebuloso A,
definido sobre um universo de discurso
X, é um conjunto clássico definido
como
S A  {x  X |  A ( x)  0}
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Suporte compacto


O suporte de um conjunto nebuloso é compacto
quando seu tamanho é menor que o Universo de
Discurso original.
Caso a função de inclusão não seja compacta
várias regras serão ativadas por cada entrada,
causando que o sistema seja sobrecarregado.
Suporte não compacto
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Suporte compacto
Conjunto Corte Alfa

O conjunto clássico Aa, , de elementos que
pertencem ao conjunto nebuloso A até pelo
menos o grau a é chamado de conjunto corte a.
O conjunto é definido como:
Aa  {x  X |  A ( x)  0}

O conjunto clássico Aé chamado conjunto corte
a forte. Ele é definido como:
Aa  {x  X |  A ( x)  0}
'
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Conjunto Corte Alfa
1
a
Nível alfa
0
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Cardinalidade

A cardinalidade |A| de um conjunto
nebuloso finito A é definida como
| A |
  ( x)
x X

A cardinalidade relativa de A é definida
como
A
A 
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X
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Cardinalidade - Exemplo
Seja o conjunto
A  {(6.5,0.25), (7,0.5), (7.5,0.75), (8,1),
(8.5,0.75), (9,0.5), (9.5,0.25)}
definido no universo de notas de 0 até 10 com
notas de 0.5 em 0.5. A cardinalidade de A vale
| A | 0.25  0.5  0.75  1  0.75  0.5  0.25  4.0
Então a cardinalidade relativa de A vale
4.0
A 
 0.2
20
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Cardinalidade - cont

Para conjuntos X infinitos, a
cardinalidade é definida como
A    A ( x) dx
x
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Altura de conjunto nebuloso

A altura de um conjunto nebuloso A é
definida como
H A  max xX { A ( x)}

Um conjunto é definido como normal se
HA=1 e subnormal no caso contrário
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Distância

Mede a distância que um valor está da definição
ideal do conjunto. É definida como

 A ( x)  0

 1
d ( A, x)  
 1  A ( x)  0
  A ( x )
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Distância
Distância d(A,x)
1
Conjunto A(x)
0
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Exemplo de Conjuntos
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Exemplo de Conjuntos
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Exemplo de Conjuntos
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Exemplo de Conjuntos
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