Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT
Inserção de Tecnologias no Ensino da
Matemática
Thiago Henrique das Neves Barbosa
Luiz Alberto Pilatti
Resumo
O cenário científico-tecnológico a cada ano tem mudado aceleradamente
de tal forma que a grande maioria da população está inserida neste contexto. É
inevitável a inserção gradativa de todas as áreas do conhecimento ou da ciência
como um todo neste cenário. No contexto escolar é notável essa mudança. Hoje
se fala de tecnologias no ensino. Desta forma, este artigo apresenta e discute a
inserção de novas tecnologias no ensino da matemática. Em particular, são
analisadas duas dessas tecnologias: o uso de computadores juntamente com
softwares e o uso de calculadoras. Além disso, ressalta pesquisas que demonstram
os benefícios da inserção desses recursos no processo de ensino-aprendizagem
em matemática, salientado quando é possível usar e qual o objetivo de se usar tais
instrumentos.
Palavras-chave: Tecnologia, escola, educação matemática.
Abstract
Insertion Technology in Mathematics Teaching
The scientific-technological scenario each year has changed so quickly that
the vast majority of the population is placed in this context. It’s inevitable the
gradual integration of all areas of knowledge or science as a whole in this
scenario. In the school context is remarkable this change. Today we talk about
technology in education. Thus, this paper presents and discusses the integration of
new technologies in the teaching of mathematics. In particular, the analysis of
these two technologies: the use of computers along with software and the use of
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07 a 09 de outubro de 2010
Artigo número: 24
ISSN 2178-6135
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calculators. In addition, highlights research demonstrating the benefits of
integration of these resources in the teaching and learning in mathematics,
stressed when you can use and what the purpose of using such instruments.
Keywords: Technology, school, math education.
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Introdução
A invenção de inúmeros artefatos tecnológicos tem como objetivo facilitar o cotidiano de
uma sociedade que exige velocidade na recepção, troca e envio de informações. Estes estão cada
vez mais acessíveis a qualquer pessoa, algo que não acontecia há algumas décadas atrás. Hoje a
grande maioria tem acesso à internet, a televisão, rádio, etc. que deixam todos os integrantes de
uma sociedade a par das mínimas informações necessárias para que haja integração do indivíduo
no meio em que ele vive. Não ter informações atualizadas sobre acontecimentos cotidianos,
significa para a sociedade de hoje estar num patamar surreal. Desta forma cada vez mais são
desenvolvidas novas maneiras para que essas informações sejam transmitidas de maneira sucinta,
prática, rápida e em grande quantidade de tal forma que todo indivíduo tenha o máximo de
informações para que ele possa integrar-se num grupo social. Além disso, as tecnologias não são
criadas somente para a troca e recepção de dados. Mas também, de maneira geral, para otimizar
a vida dos seres humanos: no trabalho, nos afazeres domésticos, nos lazeres, inclusive no ensino.
Este último por sua vez tem sido alvo de muitas pesquisas por parte dos professores
pesquisadores, pois cada vez mais as TIC’s (Tecnologia de Informação e Comunicação) estão
sendo inseridas dentro dos estabelecimentos de ensino em todos os níveis. Em particular, podese pensar no uso de tecnologias no ensino de matemática, pois se trata de uma disciplina base
para o desenvolvimento tecnológico. Isto é, não existe um curso de graduação na área
tecnológica que não tenha disciplinas de matemática. Logo, essa ciência e a tecnologia estão
intimamente ligadas. Então por que não inserir dentro da sala recursos que beneficiam o processo
de ensino-aprendizagem em matemática? Pesquisas feitas por inúmeras pessoas da área
mostram que uso de calculadoras gráficas e softwares têm contribuído muito no processo
educacional. A questão é quando e como inserir estes recursos numa aula de matemática. Não se
pode aderir somente a recursos computacionais, pois no processo de ensino-aprendizagem o
debate e as discussões são essenciais. Se somente o recurso for usado, a interação (perguntaresposta e réplica-tréplica) passa a não existir mais. Entender conceitos matemáticos exige a
discussão da teoria, algo que não pode ser realizado com o aluno somente defronte a um
computador ou a uma calculadora. Estes dois são somente, ferramentas que podem auxiliar de
maneira considerável tanto professor como estudante para aperfeiçoar e desvendar propriedades
matemáticas.
Analisando este contexto se faz necessário uma análise qualitativa do uso de tecnologias na
escola. A idéia não é simplesmente o uso do recurso, mas a influência positiva que ele causa na
aquisição de novos conceitos por parte dos alunos. Desta forma, desfrutar destas inovações exige
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uma avaliação e análise peculiar do que e para que se quer usar. A partir destes argumentos, o
presente artigo tem como objetivo discutir os benefícios que algumas tecnologias podem trazer e
já trazem no ensino da matemática, enfatizando o uso de softwares e calculadoras, e os cuidados
que devem ser tomados ao inseri-los numa aula.
Softwares no ensino da matemática: quais aplicativos
podem ser podem ser usados.
Existe uma variedade de softwares que podem ser usados para o ensino da matemática, no
entanto é necessário distingui-los. Aqui serão diferenciados da seguinte forma.
Softwares educacionais – são programas que são desenvolvidos com o intuito de auxiliar no
processo de ensino-aprendizagem de determinada área do conhecimento. São criados
exclusivamente para o ambiente escolar. Exemplo: Tarsia. Nesse programa é possível desenvolver
jogos pedagógicos para ensinar matemática. Observe que ele foi desenvolvido para ser aplicado
na educação matemática.
Softwares não-educacionais – qualquer aplicativo que é desenvolvido sem o intuito de ser
aplicado no contexto escolar. Como exemplo, pode-se citar o MATLAB que se trata de um
software para trabalhar com problemas de análise numérica.
No entanto, um software que não foi criado com objetivo pedagógico não significa que não
pode ser inserido no contexto escolar. Muitas teses, dissertações foram feitas analisando a
melhora do ensino de matemática a partir de softwares como o MATLAB, MAPLE, WINPLOT.
Todos esses aplicativos não foram desenvolvidos com o intuito de ser aplicado no ensino.
Para exemplificar a potencialidade de um desses aplicativos, analise a seguinte problema:
Verifique a igualdade: i(cosx + isenx ) = cos(x + π 2) + isen(x + π 2) , onde i é a unidade
imaginária dos números complexos e x é um número qualquer do conjunto dos reais. Analisando
este problema, a maneira mais conveniente de explicar isso ao aluno de ensino médio é a partir
da visualização dos gráficos. Aplicando a distributiva no primeiro membro teremos:
− senx + i cos x = cos(x + π 2) + isen(x + π 2) . Assim pela definição de igualdade de
números complexos temos que − senx = cos(x + π 2) ou cos x = sen(x + π 2) . Se estas
duas últimas igualdade forem verificadas então a primeira igualdade é verdadeira. O objetivo aqui
não é demonstrar matematicamente isso, mas verificar a partir da visualização se esta igualdade é
verdadeira ou não. Neste caso o aplicativo que será usado é o WINPLOT. Observe os gráficos
abaixo:
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y
3
2
1
x
−2π
−3π/2
−π
−π/2
π/2
π
3π/2
2π
π/2
π
3π/2
2π
−1
−2
−3
Este primeiro gráfico indica a função − senx
y
3
2
1
x
−2π
−3π/2
−π
−π/2
−1
−2
−3
Este segundo gráfico indica a função − senx e a função cos x . Observe que para que
para os gráficos sejam equivalente, basta que o gráfico da função cosseno translade para a
esquerda π 2 no eixo das abscissas. Fazendo o gráfico da função cos(x + π 2) temos:
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y
3
2
1
x
−2π
−3π/2
−π
π/2
−π/2
π
3π/2
2π
−1
−2
−3
O que você leitor consegue concluir em relação a esses gráficos? A partir disso é possível
fazer uma série de atividades de investigação com os alunos. Neste caso, verifica-se que se temos
a função cos x , e tomarmos então outra função cos( x + a ) com “a” positivo, teremos que o
gráfico da função se deslocara uma distância “a” para esquerda do gráfico. Analogamente podese verificar a segunda igualdade que faltava.
O leitor pode se perguntar no que o software foi relevante, visto que tudo poderia ser feito
no quadro-negro pelo professor. Aí estão algumas vantagens relevantes:
•
Os gráficos são precisos. Não é necessário se preocupar com escalas ou se a curva está de
acordo o que de fato deve ser.
•
A velocidade de transmissão de dados, ou seja, os alunos podem fazer vários gráficos
simultâneos e compará-los. Além disso, pode alterar facilmente os parâmetros das
funções e observar o seu comportamento.
•
A interação, ou seja, o aluno manipula da maneira que ele achar conveniente. O professor
será somente um mediador do processo de ensino-aprendizagem.
Em relação à última vantagem citada, Leme (2007, p. 42) ressalta:
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“O computador pode ser um importante recurso para promover a passagem da
informação ao usuário ou facilitar o processo de construção do conhecimento.
No entanto, o processo não deve estar restrito ao software, mas a interação do
aluno-software [...]”
Como foi comentado anteriormente, o programa junto com a ferramenta computacional
deve ser apenas um artefato que ajuda a melhorar qualitativamente o ensino da matemática, mas
nunca o ensino pode ser totalmente dependente desses recursos.
Uma experiência realizada no CEFET Rio Pombas por Vargas e Silva (2008) comprova o
potencial do WINPLOT. Os dois pesquisadores realizaram uma experiência com seis alunos que
foram reprovados na disciplina de cálculo diferencial e integral. Uma das problemáticas
observadas pelos pesquisadores foi que os alunos sabiam regras de derivação de funções, mas
não entendiam o conceito. Algo muito comum no ensino de matemática. Após a atividade em
ambiente informatizado onde os alunos manipulavam o software, houve resultados satisfatórios
em relação à concepção que os alunos passaram a ter em relação ao conteúdo de derivadas. Tal
assunto geralmente é visto pelos alunos nos primeiros períodos de qualquer curso da área
tecnológica ou exata (Engenharias, matemática, física, ciência da computação, etc). A interação
entre aluno-máquina é fundamental caso for inserido na aula de matemática. Segundo Ruthven e
Hennessy (2002, p. 48):
“[...] Não é de estranhar que os estudos do uso do computador na matemática
escolar foram amplamente examinadas situações explicitamente inovadoras,
geralmente ligados a projetos de desenvolvimento de algum tipo [...]”
“[...] Do mesmo modo, o foco desses estudos tem sido predominantemente na
cognição e interação aluno máquina”. (Tradução pessoal)
Desta forma o professor deve estar em sala como mediador entre o aluno e a máquina. O
programa não dará as respostas para os alunos. Com ele apenas será possível manipular entes
matemáticos de tal forma que os estudantes possam criar suas próprias conjecturas. Toumasis
(2004, p. 8) comprova isto em uma atividade cujo tema era logaritmos:
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“Olhando para as mudanças substanciais que a tecnologia trouxe nos últimos
anos, acreditamos que o ensino da matemática terá que se adaptar com as
novas circunstâncias ou então se tornará cada vez mais irrelevante. Esta
exploração é um exemplo de como o uso da tecnologia em uma aula de
matemática permite que os alunos descubram e explorem as relações
matemáticas. Nesta atividade agradável, os alunos descobriram um resultado
com base em uma atividade no computador e, em seguida, verificaram o
resultado analítico. As principais questões foram colocadas e resolvidas de
forma interativa pelo aluno e o computador. Convém salientar que este esforço
de investigação não acrescenta fatos novos ao mundo da matemática. Aquele
não era o nosso propósito. O ponto era que o conhecimento adquirido às vezes
era novo tanto para o professor como para o aluno. Estes resultados não
existem em livros comuns de texto de cálculo que os alunos utilizam e,
portanto, eles tiveram a oportunidade de redescobri-los apreciando as
experiências únicas escondidas em uma aventura”. (tradução pessoal)
Outra vantagem de fazer uma atividade em ambientes informatizados, como o autor acima
relata, é o fato de o aluno criar conjecturas que não são esperadas pelo professor, ou seja, novas
alternativas de ensino são desvendadas pelos próprios alunos. Desta forma o docente acaba
absorvendo novos conhecimentos a partir das experiências e descobertas dos seus estudantes,
participando ativamente do processo de ensino-aprendizagem. Desta forma, a impressão que o
aluno tem de que a matemática é uma ciência pronta e acabada mude.
Uso de Calculadoras no Ensino de Matemática
Outra questão a ser analisada é o uso de calculadora na aula de matemática. Alguns
cuidados precisam ser tomados antes de inserir esta tecnologia em sala. O primeiro deles é que só
se deve beneficiar o aluno com esse recurso desde que ele saiba como operar sem ela. Isto é, um
erro comum que muitos professores de matemática do ensino fundamental cometem, por
exemplo, é permitir seu uso, conscientes de que os alunos não sabem fazer as quatro operações
básicas. A calculadora deve ser usada como ferramenta para otimizar o processo de
aprendizagem de outras matérias. Desta forma, obviamente não se deve usar quando o objetivo é
ensinar as quatro operações básicas. Ela deve ser usada mais tarde quando o foco não for mais
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esse. Além disso, o fato da dela ser uma ferramenta implica que o estudante na falta de uma,
deve ter bagagem matemática para resolver determinado problema. Ele não pode tornar-se
dependente do recurso.
Partindo deste pressuposto de que o aluno, independentemente do grau de instrução no
qual ele está inserido, deve usar a calculadora como uma ferramenta a qual ele não pode se
tornar dependente, pesquisas indicam que o uso de calculadoras gráficas no ensino da
matemática tem contribuído para seu aprendizado. Segundo Graham e Thomas (2000, p. 268)
existem duas qualidades que não foram explorados com relação ao uso de calculadora na
educação matemática:
“[...] Em primeiro lugar, como a informática, as variáveis são intrinsecamente
empregadas em suas operações e seu grande número de variáveis que podem
ser designadas são identificadas ou rotuladas pelo uso de letras maiúsculas.
[...] O ato de armazenar e recuperar números das variáveis fornece uma
relação direta com o uso de letras no início da álgebra. Em segundo lugar, o
visor múltiplo permite ver uma linha, refletir sobre ela e interagir com vários
dados anteriores de entrada e saída, verificando alguma mudança na natureza
de uma variável. Este elemento dinâmico é um aspecto importante a salientar,
ao apresentar ideias sobre variável”. (tradução pessoal)
Os autores comentam sobre o uso de letras (variáveis) no ensino da álgebra. Até o quarto
ano o aluno, em geral, somente trabalha com problemas numéricos, onde nenhuma variável é
inserida. A partir do quinto ano o aluno se depara com o as “letras” no estudo da álgebra. Trata-se
de uma fase do processo de ensino da matemática muito impactante para o aluno, pois é uma
fase transitória onde ele desvincula-se do concreto para entrar na etapa que Piaget designa
abstrata reflexiva. Trata-se de uma etapa onde o indivíduo consegue construir relações entre
objetos de tal forma que a variável (letras) consegue ser observada e analisada mesmo que ela
não seja mensurável e/ou visível. Para facilitar o trabalho, a manipulação destas “letras” em uma
calculadora ajuda expressivamente a desenvolver esta etapa.
Em geral, aulas de matemática são somente expositivas, isto é, o aluno ouve muito mais do
que age. Quando é permitido ao aluno explorar este tipo de recurso ele acaba transferindo os
dados da memória de trabalho (onde as informações são armazenadas por pouco tempo e por
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isso também é chamada de memória de curto prazo) para a memória de longo prazo (onde as
informações são gravadas por tempo ilimitado). O interessante no processo de ensinoaprendizagem é sempre conseguir atingir no aluno a memória de longo prazo. A ação do aluno
favorece isso.
Considerações Finais
As tecnologias em um curto prazo de tempo serão integradas no contexto escolar, talvez
não totalmente, mas em grande parte das escolas do país. Todas as áreas do conhecimento
possuem e criam cada dia mais novos recursos que podem e devem ser trabalhadas em sala de
aula. Hoje existe uma série de problemas burocráticos de cunho governamental que impedem o
investimento (principalmente nas escolas públicas) de novas tecnologias. No entanto, observa-se
que no ensino privado tem investido bastante em novos recursos. Dificilmente nos deparamos
com uma escola privada que não possui uma sala de informática. Se está sendo usado ou não, isto
caracteriza outra problemática que não é o objeto de discussão desse artigo.
Outro fator preocupante é a formação continuada dos professores. Será que os docentes
estão capacitados a realizar suas aulas em ambientes informatizados o fazendo uso de uma
tecnologia? Será que ele tem bagagem teórica para poder desenvolver tal atividade. Desta
maneira, pode-se pensar na prática reflexiva do professor. Uma pós-graduação é muito
importante que o educador esteja sempre a par de novos conhecimento e teorias e forneçam
suporte no seu dia-a-dia de trabalho junto aos alunos. Porém, a autorreflexão do professor com
relação a sua prática docente é fundamental. É desperdício possuir toda uma infraestrutura
tecnológica ideal de ensino sem que haja profissionais capacitados para usufruir dos vários
recursos.
Outra problemática é a formação dos licenciados durante a graduação. Analisando quatro
cursos de licenciatura em matemática em quatro regiões distintas do país, observou-se que em
aproximadamente 2% das disciplinas de cada curso são de áreas que envolvem tecnologia. E não
necessariamente essas disciplinas da área tecnológica são voltadas diretamente para o ensino.
Está incluso nestes 2% disciplinas como: programação de computadores e métodos numérico
onde o uso de tecnologias (neste caso o computador) é fundamental, no entanto estas duas não
estão focadas no ensino.
A estruturação desses currículos devem se adequar ao cenário científico-tecnológico atual
para que o profissional que termine o curso de licenciatura em qualquer área do conhecimento
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esteja apto, isto é, tenha bagagem teórica e prática para adequar-se ao uso de recursos
tecnológicos em sua aula.
Referências
LEME, Nelson D. O ensino-aprendizagem de matemática financeira utilizando ferramentas
computacionais: uma abordagem construcionista. 2007. 199 f. (Mestrado em Educação
Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007.
RUTHVEN, Kenneth; HENNESSY, Sara; BRINDLEY, Sue. Teacher representations of the successful
use of computer-based tools and resources in secondary-school English, mathematics and
science. Teaching and Teacher Education. V. 20, n. 3, p. 259-275, abr. 2004.
GRAHAM, Alan T.; THOMAS, Michael O. J. Building a versatile understanding of algebraic variables
with a graphic calculator. Educational Studies in Mathematics. Netherlands, v. 41, n. 3, p. 265282, mar. 2000.
TOUMASIS, Charalampos. Are there numbers, which equal their logarithms? A computer-based
activity. Teaching Mathematics Applications. V. 25, n. 3, p. 73-81, jun. 2006.
Thiago Henrique das Neves Barbosa, Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Campus Ponta
Grossa, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia (PPGECT),
[email protected]
Luiz Alberto Pilatti, Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Campus Ponta Grossa,
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia (PPGECT), [email protected]
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