Sinal unidimensional 1
f(x)
X=10
|F(u)|
espectro centrado em u = 0
espectro centrado em u = 60
Sinal unidimensional 2
f(x)
|F(u)|
espectro centrado em u = 0
espectro centrado em u = 60
Sinal unidimensional 2
f(x)
|F(u)|
espectro centrado em u = 0
espectro centrado em u = 60
Fourier
original
Fourier com log(1+|F(u)|)
Fourier com shift
200000
47
Filtro ideal
F
H
Filtro ideal
1[ F.H ]
Filtro de Butterworth
F
H
Filtro de Butterworth
1[ F.H ]
Filtro passa-altas ideal
F
H
Filtro passa-altas ideal
1[ F.H ]
Filtro passa-altas Butterworth
F
H
Filtro passa-altas Butterworth
1[ F.H ]
f(m)
Convolução espacial
200
0
400
m
h(m)
f(x)*h(x)
200
0
400
m
h(-m)
0
200
0
400
m
h(x-m)
x
0
200
400
m
200
400
600
800
x
Convolução levando-se em conta a periodicidade da DFT
f(m)
200
0
400
m
400
m
f(x)*h(x)
h(m)
200
0
0 100
h(-m)
200
0
400
m
h(x-m)
x
0
200
m
400
m
400
x
Convoluçao com as funções estendidas: T = 800 (400+400)
f(m)
200
0
400 600
m
800
h(m)
f(x)*h(x)
200
0
400 600
800
m
h(-m)
500
200
0
400 600
800
400 600
800
m
h(x-m)
x
0
200
m
800
x
Etapas da implementação da filtragem por DFT
h : PxQ 
f : MxN  
• Estender o período MxN de f considerando o período PxQ do filtro h
 Novo período RxS
(R  M  P - 1 e S  N  Q - 1)
• Calcular a TF de f estendida
 F   (fRxS )
• Gerar a função H do filtro de tamanho RxS
 H   (h)
• Multiplicar ponto a ponto a transformada de f estendida pelo filtro
 G = F.H
• Obter a parte real da transformada inversa discreta de Fourier
 g  1 (G)
• Recortar o canto superior esquerdo de g de dimensão MxN
 g = crop(g)
Exemplo: filtragem sem extensão
(padding)
f
F
H
sem padding
.
.
.
1[ F.H ]
…
…
.
.
.
Exemplo: filtragem com extensão
(padding)
f
F
H
Com padding
.
.
.
…
.
.
.
1[ F.H ]
Filtragem gaussiana
original
imagem com ruído
imagem com ruído
espectro de Fourier
Máscara h de convolução gaussiana 15x15 (sigma = 3)
Filtragem no domínio espacial
imagem com ruído f
imagem filtrada: f*h
espectro de Fourier H da máscara de convolução
H estendido e com origem no centro
H estendido e com origem não transladada
Filtragem no domínio da frequência
imagem com ruído f
1
g   ( F .H )
Comparação dos resultados
g = f*h
1
g   ( F .H )
imagem de diferença entre as filtragens
máximovalor 1.13x10-13
mínimovalor - 3.41x10-13
Filtro passa-altas
H = Espectro máscara de Sobel
h = Sobel
1
2
1
0
0
0
-1
-2
-1
H = Sobel
imagem f
F  (f)
g =f *h
g  1 ( F .H )
Contornos após limiarização (10% do maior valor na imagem)
por convolução
por TF
Filtros definidos diretamente no domínio da frequência
Exemplo: Filtro passa-baixas ideal
Original f
F  (f)
H ideal
F
Imagem filtrada
1
g   ( F.H )
H ideal
F
Imagem filtrada
1
g   ( F.H )
H ideal
F
Imagem filtrada
1
g   ( F.H )
H = Butterworth
Imagem filtrada
1
g   ( F.H )
Filtragem gaussiana passa-baixas
H (u, v)  e
 D 2 ( u ,v ) / 2 D0 2
Quando D  D0 o filtroatinge0.607do seu valormáximo1
H com D0  0.3M
M
M
original f
g  1 ( F .H )
H (u, v)  e
 D2 (u ,v ) / 2 D0 2
H com D0  0.05M
M
M
original f
g  1 ( F.H )
H com D0  0.02M
M
M
original f
g  1 ( F.H )
Filtragem passa-altas
• Definida também por:
H pa (u, v)  1 - H pb (u, v)
H pa  passa - altas ; H pb  passa - baixas
Passa-altas ideal
1  H pb (ideal)
f
H ideal
g  1 ( F.H )
Filtro passa-altas gaussiano
1  H pb (gaussiano)
f
H gaussiano
g  1 ( F.H )
Filtragem com ênfase nas altas frequências
• restitui parte da componente DC perdida na filtragem passa-altas
e reforça as componentes de alta frequência do filtro Hpa.
H EAF (u, v)  a  bHpa (u, v)
Exemplo:
Original
Equalização
Original
Butterworth
Butterworth
Equalização
0.5 + 2*Hpa
Equalização