UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
Departamento de Matemática
a
5 Lista de Exercı́cios de Int. a Alg. Linear
OBS: Nesta lista, os espaços vetoriais são considerados com suas operações usuais.
1. Determine os subespaços de R3 gerados pelos seguintes conjuntos
(a) A = {(2, −1, 3)}
(b) A = {(−1, 3, 2), (2, −2, 1)}
(c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)}
(d) A = {(1, 2, −1), (−1, 1, 0), (0, 0, 2), (−2, 1, 0)}
Resp.: a) {(x, y, z) : x = −2y, z = −3y} b) {(x, y, z) : 7x + 5y − 4z = 0} c) {(x, y, z) :
x + y − z = 0} d) R3
2. Verifique que o subconjunto {1, x, x2 , 2 + x + x2 } de P2 (R) é L.D.
3. Seja A = {u, v} em que u = (−1, 3, 1) e v = (1, −2, 4). Determine
(a) O subespaço [u, v]
(b) Uma base para o espaço acima. Qual a dimensão desse espaço?
(c) O valor de k para que o vetor (5, k, 11) pertença a [u, v];
(d) É possı́vel escrever w = (−10, 27, −5) como combinação linear de u e v? Diga quem
é [u, v, w].
(e) Seja t ∈ R3 um vetor tal que t = 2u − 3v + 7w. Mostre que [u, v, w, t] = [u, v].
Resp.: a) {(x, y, z), 10x + 3y − z = 0}, b) dim [u, v] = 2, c) k = −13 (d) w = 7u − 3v.
4. Porque os conjuntos abaixo não formam uma base para R2 ?
(a) {(1, 2), (−1, 3), (2, 2)}
(b) {(1, 2), (−2, −4)}
5. Para que valores de k o conjunto {(1, k), (k, 4)} forma uma base para R2 .
Resp.: k ̸= ±2
6. Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base para R3 . Justifique.
(a) (1, 1, −1), (2, −1, 0), (3, 2, 0)
(b) (1, 2, 3), (4, 1, 2)
(c) (1, 1, 1), (2, 3, 1), (−1, 1, 1), (0, 1, 2) Resp.: só o item (a)
7. Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base para P2 (R):
(a) 2t2 + t − 4, t2 − 3t + 1;
(b) 2, 1 − x, 1 + x2 ;
(c) 1 + x, 1 − x, 2 + x2 , 1
Resp.: (a) não forma base (b) forma base (c) não forma base.
1
8. Mostre que o conjunto (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 0, 5) forma uma base para R4 .
9. Por que é possı́vel afirmar que o conjunto de vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 (3, 0, 2), v4 =
(2, −1, 1) não forma uma base para R3 ? Verifique que esses vetores geram R3 .
10. Por que é possı́vel afirmar que o conjunto de vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3) não forma
uma base para R3 ? Verifique que esses vetores são L.I.
11. Determine uma base do subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, −1, 0, 0), v2 =
(−2, 2, 2, 1), v3 = (−1, 1, 2, 1), v4 = (0, 0, 4, 2). Resp: {v1 , v2 }
12. Mostre que o conjunto {(0, 2, 2), (0, 4, 1)} forma uma base para o sub-espaço vetorial U =
{(x, y, z) : x = 0}.
13. Dê uma base e a dimensão do sub-espaço W = {(x, y, z, w) : x − y = y e x − 3y + w = 0}
de R4
Resp.: Base: {(2, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} e portanto dim W = 2.
14. Verifique que as matrizes
(
1 1
0 0
) (
) (
) (
)
2 1
0 1
0 0
,
,
,
,
0 0
1 0
0 2
formam uma base para o espaço M2 (R) das matrizes quadradas 2 × 2 com entradas reais.
15. Seja A = {u, v, w} com u = (1, 2, 3), v = (−2, −4, −6), w = (1, −1, 2). A é L.I. ou L.D.?
16. Determine uma base de R4 que contenha os vetores (1, 1, 1, 1), (0, 1, −1, 0), (0, 2, 0, 2).
Resp.: basta acrescentar ao conjunto acima, por exemplo, o vetor (0, 0, 0, 1).
17. (a) Verifique que B = {(1, 0, 0), (−1, 2, 1), (0, −1, 2)} forma uma base para R3 .
(b) Se (u)B = (1, 2, −1) são as coordenadas de u na base B, diga quem é o vetor u.
Resp.: u = (−1, 5, 0).
18. Encontre as coordenadas do vetor v = (6, 2) em relação a cada uma das seguintes bases
de R2 . Faça uma ilustração em cada caso.
Resp.: (v)S1
S1 = {(3, 0), (0, 2)} S2 = {(1, 0), (0, 1)} S3 = {(1, 2), (2, 1)}
(
)
= (2, 1), (v)S2 = (6, 2), (v)S3 = − 32 , 10
3
19. Seja B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, −1, 1)} uma base de R3 . Dado v = (2, −3, 4) encontre (v)B
(as coordenadas de v na base B).
Resp.:(−2, 1, 4)
20. Seja B = {(1, 0, −1), (1, 2, 1), (0, −1, 0)} base de R3 . Encontre as coordenadas de cada
vetor da base canônica de R3 na base B.
Resp.: (e1 )B = ( 12 , 12 , 1), (e2 )B = (0, 0, −1), (e3 )B = (− 21 , 12 , 1)
21. Determine as coordenadas da matriz
(
A=
em relação a base
{(
B=
1 0
0 1
1 −1
2
0
)
) (
) (
) (
)}
0 1
0 0
0 0
,
,
,
0 0
2 0
1 2
Resp.: (A)B = (1, −1, 54 , − 21 )
2
22. Determine uma base e a dimensão para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(a) {(x, y, z) ∈ R3 : y = 3x};
(b) {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0}
(c) {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y + 3z = 0};
{
(
)
}
a b
(d) A =
; b = a + c, d = c ⊂ M2 (R)
c d
Resposta das dimensões: a) 2, b) 1, c) 2, d) 2
23. Encontre uma base e a dimensão do espaço solução dos seguintes sistemas:

 x + 2y − 2z − t = 0
2x + 4y + z + t = 0
(a)

x + 2y + 3z + 2t = 0

 x − 2y − z = 0
2x + y + 3z = 0
(b)

x + 3y + 4z = 0

 2x + 2y − 3z = 0
x−y−z
= 0
(c)

3x + 2y + z = 0
{
x + y − 2z + t
= 0
(d)
2x + 2y − 4z + 2t = 0
Resp.:
(a) Uma base possı́vel: {(1, 0, 3, 5), (0, 1, 6, −10)}, dim: 2
(b) Uma base possı́vel: {(1, 1, −1)} dim: 1
(c) não existe base, dim: zero (a única solução é o vetor nulo).
(d) Uma base possı́vel: {(−1, 0, 0, 1), (−1, 1, 0, 0), (2, 0, 1, 0)}
Exercı́cios Teóricos
24. Seja A uma matriz m × n e X uma matriz n × 1.
(a) Mostre que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo AX = 0 é um subespaço vetorial de Rn ;
(b) O conjunto solução de uma sistema não homogêneo AX = B (isto é, B ̸= 0) é um
subespaço vetorial?
25. Seja V um espaço vetorial. Mostre que o conjunto {0} ⊂ V é L. D.
26. Seja u ∈ [w] e v ∈ [w] mostre que {u, v} é L.D.
27. Sejam u = (1 − a, 1 + a) e v = (1 + a, 1 − a) vetores de R2 , em que a ̸= 0. Mostre que
{u, v} é L.I.
28. Seja B = (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3) base de R3 .
(a) Encontre a matriz mudança de base de B para a base canônica.
(b) Encontre a matriz mudança de base da base canônica para a base B.
(c) Se v ∈ R3 é tal que (v)B = (1, −1, 3), quais são as coordenadas de v na base canônica?
3
(d) Se u ∈ R3 é tal que u = (1, −1, 3),
para encontrar as coordenadas de



1 0 0
1 0



1 1 0
−1 1
Resp.: (a)
(b)
0 0 3
0 0
29. Seja V um espaço de dimensão três e
V . Suponha que

 v1
v2

v3
utilize uma das matriz obtidas nos ı́tens anteriores
u na base B.

0
0  (c) (1, 0, 9) (d) (1, −2, 1)
1
3
sejam A = {u1 , u2 , u3 } e B = {v1 , v2 , v3 } bases de
=
u1 + u3
= 2u1 + u2 + u3
= u1 + 2u2 + u3
(a) Qual a matriz mudança de base de B para A?
(b) Qual a matriz mudança de base de A para B?
(c) Se (u)A = (2, 0, 2) quem é (u)B ?
Resp.:


 1
1 2 1
−2



0 1 2
1
(a)
(b)
1 1 1
− 12
− 12
0
1
2
3
2

−1  (c) (2,0,2).
1
2
30. (a) Seja MS (2) o sub-espaço das matrizes simétricas 2 × 2. Encontre uma base para este
sub-espaço e conclua que sua dimensão é 3.
(b) Seja MS (3) o sub-espaço das matrizes simétricas 3 × 3. Encontre uma base para este
sub-espaço e conclua que sua dimensão é 6.
(c) Generalize as ideias acima e mostre que a dimensão do sub-espaço MS (n) das matrizes
n(n + 1)
simétricas de ordem n × n é
.
2
31. (a) Seja MAS (2) o sub-espaço das matrizes anti-simétricas 2×2. Encontre uma base para
este sub-espaço e conclua que sua dimensão é 3.
(b) Seja MAS (3) o sub-espaço das matrizes anti-simétricas 3×3. Encontre uma base para
este sub-espaço e conclua que sua dimensão é 6.
(c) Generalize as ideias acima e mostre que a dimensão do sub-espaço MAS (n) das man(n + 1)
trizes anti-simétricas de ordem n × n é
.
2
32. Coloque verdadeiro ou falso justificando sua resposta
(a) Se w = a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un então [u1 , · · · , un , w] = [u1 , · · · , un ];
(b) n + 1 vetores em Rn são sempre L.D.
(c) Se u, v e w são L.I. então {u + v − 3w, u + 3v − w, v + w} é L.D.
(d) A = {v1 , · · · , vn , 0} é L.D.
(e) Se {u, v, w} um conjunto L.D. então {u, v, w, 2u + 3w} é L.D.
(f) Se {u, v, w, t} um conjunto L.I. então {u, v, w}, {u, v}, {u, v, t} são todos conjuntos
L.I.
(g) Se A = {u, v, w} é um subconjunto L.I de R3 que é L.I. então A é uma base para R3 .
4