Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 19, no. 1, marco, 1997
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Enfoque Experimental no Ensino de
Mec^anica Qu^antica
(Experimental Approach on Teaching Quantum Mechanics)
Paulo R. S. Gomes, R. Meigikos dos Anjos, Marly S. Santos,
Isa Costa, Lucia de Almeida
Instituto de Fsica, Universidade Federal Fluminense
Av. Gal. Milton Tavares de Souza, s/no.,
Gragoata, 24210-340, Niteroi, RJ
Trabalho recebido em 13 de marco de 1996
Este artigo relata uma proposta de lecionar a disciplina Mec^anica Qu^antica, n~ao como
exclusividade de teoricos, mas atraves de um enfoque que torna evidente ao estudante a
estreita ligac~ao deste assunto com a Fsica Experimental. Este enfoque e exemplicado
utilizando-se soluc~oes de problemas de espalhamento e teoria de perturbac~ao.
Abstract
This paper presents a proposal of teaching Quantum Mechanics within an approach where
it is stressed that this subject is not just a theory, but it is directly related to Experimental
Physics. Examples are given on how to use this approach when solving scattering and
perturbation theory problems.
I. Introduc~ao
Geralmente as disciplinas envolvendo Mec^anica
Qu^antica (MQ), tanto a nvel de graduac~ao quanto de
pos-graduac~ao, s~ao lecionadas com ^enfase puramente
teorica. Esta vis~ao esta presente mesmo nas raras
ocasi~oes em que o professor que as leciona e um fsico
experimental. Alem disso, MQ e considerada uma disciplina teorica por natureza pelas Comiss~oes de Ensino,
que distribuem as disciplinas, pelos professores e, consequentemente, pelos alunos. Nas ementas das disciplinas, em qualquer instituic~ao de ensino, encontram-se
basicamente os mesmos topicos, que incluem a apresentac~ao dos formalismos e conceitos da MQ e resoluc~ao
de problemas, como: oscilador harm^onico, atomo de
Hidrog^enio, espalhamento, aplicac~oes de teoria de perturbac~ao etc. O conteudo da disciplina parece, portanto, bastante distante da Fsica que se faz em laboratorio, principalmente na vis~ao do estudante. Raramente o enfoque experimental e dado pelo professor,
mesmo quando o livro texto se presta a explicac~ao de fatos experimentais diretamente relacionados com os problemas de MQ, como e o caso do Quantum Mechanics,
de Cohen-Tannoudji[1].
Tambem n~ao se pode desprezar os fatos que deagraram o surgimento da MQ, ou seja, resultados experimentais relacionados a absorc~ao/emiss~ao de radiac~ao
termica.
Durante dois semestres letivos foi realizada uma graticante experi^encia na disciplina Mec^anica Qu^antica
II, do curso de Bacharelado em Fsica da UFF, procurando mostrar o vnculo direto entre o conteudo da
mesma e a Fsica Experimental. Cabe ressaltar que a
disciplina Mec^anica Qu^antica I, onde s~ao abordados os
fundamentos e a formulac~ao basica da MQ, n~ao e t~ao
adequada ao enfoque experimental aqui tratado.
O programa da disciplina n~ao precisou sofrer nenhuma modicac~ao em relac~ao ao enfoque tradicional, anteriormente aplicado pelo mesmo professor e seguindo o mesmo livro texto.
Paulo R. S. Gomes et al.
A reac~ao dos alunos a este tipo de abordagem foi
amplamente favoravel, tendo sido simples a comparac~ao
altamente positiva em relac~ao a apresentac~ao tradicional do conteudo. Isto foi constatado pelo interesse demonstrado pelos alunos no decorrer das atividades. A
repercuss~ao da proposta foi tambem muito boa entre
professores teoricos, que, posteriormente, passaram a
solicitar a presenca de pesquisadores experimentais em
suas aulas a nvel de pos-graduac~ao, quando ent~ao foram realizadas discuss~oes com os estudantes sobre o que
e mensuravel, como se mede etc.
O objetivo deste artigo e, ao contribuir neste Volume Especial, enderecar uma mensagem a Comiss~oes
de Ensino, professores (teoricos e experimentais) e estudantes interessados no tema, no sentido de alerta-los
para a import^ancia do enfoque experimental em MQ,
ampliando sua discuss~ao e aprofundamento nas diferentes instituic~oes de ensino do pas. O artigo n~ao
se prop~oe a ser um texto didatico sobre o assunto;
no entanto, para melhor relatar o enfoque aplicado,
ser~ao apresentados alguns exemplos de analise de problemas concretos. Como a maioria dos autores trabalha, ou ja trabalhou, com pesquisa em Fsica Nuclear, tais exemplos concentram-se em aplicac~oes desta
area. Porem, cada professor encontrara facilmente
exemplos de aplicac~oes em outras areas de pesquisa, o
que tambem contribuira para despertar o interesse e a
motivac~ao de alunos de graduac~ao em aprofundar seus
conhecimentos em areas especcas da pesquisa experimental.
Uma diculdade existente na aplicac~ao da proposta
e a aus^encia de livros textos com o aprofundamento
deste enfoque, o que a torna muito dependente da
formac~ao prossional e do conhecimento de Fsica Experimental do professor da disciplina. Para minimizar este problema, e de fundamental import^ancia a interac~ao entre professores com formac~ao teorica e experimental.
II. Desenvolvimento da Proposta
A inovac~ao desta experi^encia didatica pode ser resumida em dois aspectos. De incio, procura-se deixar
claro que, apesar de todos os problemas a serem resol-
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vidos comecarem com a denic~ao do sistema a ser estudado e de sua Hamiltoniana, na pesquisa em Fsica,
geralmente o maior interesse reside justamente num melhor conhecimento da Hamiltoniana. E este conhecimento e obtido pela confrontac~ao dos resultados dos
problemas (predic~oes teoricas) com dados experimentais (medic~oes).
O segundo passo e uma ampla analise dos resultados dos problemas, com ^enfase sobre: quais s~ao, na
pratica, as grandezas mensuraveis; como medir essas
grandezas; o que se determina a partir dos dados experimentais; como planejar experi^encias que possibilitem a determinac~ao desses dados; etc. Os topicos de
Espalhamento e Teoria de Perturbac~ao s~ao excelentes
para serem amplamente explorados em diversas areas
da Fsica.
II.1 - Exemplos com Problemas de Espalhamento
* Enfoque teorico
A soluc~ao de problemas de espalhamento de
partculas por um potencial de curto ou longo alcance
envolve, em geral, as seguintes etapas:
- denic~ao do potencial espalhador, que comumente
e do tipo central, V (r);
- resoluc~ao da equac~ao de Schrodinger, que pode seguir metodos diferentes, tais como o de ondas parciais,
ou o de aproximac~ao de Born;
- determinac~ao das grandezas que especicam a
soluc~ao da equac~ao de Schrodinger, como deslocamentos de fase, amplitudes de espalhamento, sec~oes de choque.
Por exemplo, pelo metodo de ondas parciais obtemse as seguintes express~oes para as sec~oes de choque diferencial, k (), e total, k :
1 p
2
X
4(2l + 1)ei Yl0 k () = k12 l
l=0
k = 4
k2
1
X
l=0
(2l + 1)sen2 l
(1)
(2)
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onde: k e o numero de onda; e o ^angulo de espalhamento; l e o momento angular orbital; l e o deslocamento de fase; e Yl0 e a func~ao harm^onico esferica para
m = 0. Os valores dos deslocamentos de fase s~ao obtidos ao se resolver a equac~ao de Schrodinger para cada
onda parcial, e s~ao eles que cont^em informac~oes sobre
o potencial espalhador.
* Enfoque experimental
Inicialmente deve ser explicado como se realiza uma
experi^encia de espalhamento de partculas em laboratorio e quais as grandezas e par^ametros envolvidos.
Para tanto, e necessario especicar os par^ametros:
- xos e variaveis durante a experi^encia;
- determinados a partir da montagem experimental;
- mensuraveis e suas formas de medic~ao.
Finalmente, deve-se ter bem claro quais as informaco~es que se quer obter a partir das medic~oes feitas.
Um exemplo destes procedimentos e feito,
baseando-se na montagem experimental simples da
Fig. 1, para o problema de espalhamento de partculas.
Figura 1. Esquema de um arranjo experimental simples
para medidas de seca~o de choque de espalhamento. O feixe
e originario de um acelerador; os colimadores servem para
uma boa denica~o das direc~oes incidente e espalhada; na
gura est~ao representadas duas posic~oes angulares distintas
do detetor.
Um feixe de partculas carregadas X (eletrons,
protons, ou nucleos pesados), proveniente de um acelerador, incide sobre um alvo (l^amina na) de um material A. A maior parte das partculas X atravessa o alvo
sem interagir com as partculas A, mas diversas sofrem
interac~oes atraves de um potencial V. Se um detetor for
colocado a um a^ngulo com a direc~ao incidente, este
sera capaz de informar:
- o numero de partculas X deetidas entre os
^angulos e ( =2), durante um certo intervalo de
tempo, sendo a abertura angular do detetor;
- a energia das partculas.
O detetor informa, portanto, quantas partculas X
foram espalhadas elasticamente pelo centro espalhador, constitudo de partculas A, numa certa direca~o
e ^angulo solido, durante certo tempo. Assim, o detetor determina a relac~ao entre o numero de partculas
detetadas (Nd ) e a sec~ao de choque diferencial de espalhamento elastico, d=d
, dada por
Nd = Ni NA (d=d
)
;
(3)
onde: Ni e NA s~ao, respectivamente, o numero de
partculas X incidente no alvo durante o tempo de contagem no detetor e o numero de partculas no alvo; e o ^angulo solido subentendido pelo detetor. Toda a
Fsica do problema encontra-se na sec~ao de choque diferencial, que depende do potencial V atraves de sua
relac~ao com o deslocamento de fase l , como mostra a
equac~ao (1); k () e a integral de d=d
em relaca~o ao
^angulo azimutal .
Determinam-se Ni , NA , e atraves de medic~oes:
Ni - utiliza-se um Copo de Faraday (Fig. 1), colocado
ao nal da canalizac~ao do acelerador, apos o alvo; um
dispositivo eletr^onico acoplado ao Copo de Faraday permite a leitura da carga eletrica total que o atinge durante o intervalo de tempo de contagem. Conhecida
a carga de cada partcula incidente X, pode-se ent~ao
calcular quantas partculas X chegam ao Copo.
NA - e obtido conhecendo-se a espessura e a densidade
do alvo. Em geral, a espessura de alvos muito nos e
calculada por uma relac~ao entre seu peso, area e densidade.
- mede-se a posic~ao angular do detetor em relaca~o
ao alvo e divide-se este valor pela area do detetor exposta ao feixe espalhado (muitas vezes esta area e limitada por colimadores, como mostrado na Fig. 1).
Desta forma, conhecendo-se Nd pode-se determinar
k (). Para se tirar alguma conclus~ao sobre o potencial,
Paulo R. S. Gomes et al.
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varia-se o ^angulo e obtem-se toda a depend^encia angular para a sec~ao de choque diferencial, que n~ao depende
do ^angulo azimutal no caso do potencial ser central;
integrando-se em , calcula-se a sec~ao de choque total
k . Pela analise das distribuic~oes angulares para diversos valores de l, determinam-se quais os l n~ao nulos
para uma dada energia incidente. Depois, variando-se
tambem a energia do feixe, e com isto o numero de onda
k, obtem-se o valor do l crtico, isto e, o l acima do
qual todos os demais s~ao nulos. Deve-se ressaltar que as
diferencas de fase n~ao s~ao medidas diretamente. Este
conjunto de dados gera informac~oes sobre a forma, intensidade e alcance de potenciais, que em geral possuem
par^ametros ajustaveis atraves dos dados experimentais,
como sera exemplicado na aplicac~ao a seguir.
II.2. Aplicaca~o - O Potencial Nuclear e o Espalhamento Elastico
O espalhamento nuclear entre dois ons pesados e
uma aplicac~ao interessante do espalhamento elastico
na determinac~ao do potencial de interac~ao. Como n~ao
existe uma forma analtica para se descrever o forte potencial atrativo nuclear, utiliza-se ent~ao o artifcio de
modelos para estuda-lo. Dois nucleos podem interagir
atraves de dois tipos de potencial: VN - nuclear, atrativo, de curto alcance e desconhecido; VC - Coulombiano, repulsivo, de longo alcance e conhecido. Assim, o
potencial total e dado por
V = VN + VC
(4)
E comum descrever o potencial nuclear por uma express~ao do tipo Woods-Saxon, com uma parte real e
outra imaginaria, na forma[2]
iW0 (5)
V0 ; VN = ; r
;
r
1 + exp a
1 + exp r;a r
r
r
i
i
onde: V0 (W0 ), rr (ri ) e ar (ai ) s~ao, respectivamente, a
profundidade, o raio e a difusividade da parte real (imaginaria) do potencial nuclear. Esta forma de descrever
[2]
o potencial nuclear e chamada de Modelo Optico
.A
parte imaginaria e responsavel pela absorc~ao do uxo
do canal elastico em algum mecanismo de reac~ao, de
forma analoga a parte imaginaria do deslocamento de
fase, que esta relacionada com esta mesma absorc~ao[1] .
Um dos maiores interesses dos fsicos nucleares e determinar os valores dos par^ametros acima mencionados, para diversos nucleos e pares de nucleos, o que
pode ser obtido atraves do ajuste de distribuico~es angulares do espalhamento elastico entre ons pesados.
A Figura 2 mostra um exemplo destas distribuico~es
com os respectivos ajustes, atraves dos quais se determinam os par^ametros do potencial optico[3] . Neste
caso, as partculas X e A s~ao, respectivamente, 16O
e 64 Zn, e as distribuic~oes est~ao representadas em termos da raz~ao entre a sec~ao de choque de espalhamento elastico e a sec~ao de choque de Rutherford (espalhamento puramente Coulombiano). E interessante
lembrar que a seca~o de choque de Rutherford, obtida
atraves da aplicac~ao da teoria de perturbac~ao dependente do tempo, e uma ferramenta experimental importantssima, uma vez que possibilita, por exemplo, a
determinac~ao da espessura de alvos, calibraco~es e testes de eci^encia de detetores nucleares, bem como o
alinhamento de uma c^amara de espalhamento e o monitoramento da experi^encia em execuc~ao.
Uma analise cuidadosa da Fig. 2 revela que:
i) xando-se em um valor de energia:
- enquanto os dados experimentais descrevem uma linha horizontal (del =dR = 1); ocorre apenas espalhamento Coulombiano; os valores de CM para este caso
s~ao correspondentes a ^angulos dianteiros, ou seja, colis~oes distantes associadas a ondas parciais com altos
valores de l;
- a partir de certo valor de CM , surgem desvios entre
as sec~oes de choque de espalhamento elastico e Rutherford, indicando o incio da inu^encia da interac~ao
nuclear; as colis~oes ocorrem a dist^ancias muito curtas.
ii) comparando-se as curvas para diferentes energias: a
faixa angular em que ocorre apenas espalhamento Coulombianodiminuia medida que a energia aumenta; para
cada valor de energia e possvel determinar um valor de
CM a partir do qual observa-se a contribuic~ao do potencial nuclear. Por exemplo: para ECM = 32 MeV,
o valor deste a^ngulo e em torno de 130, enquanto que
para ECM = 51:2 MeV o ^angulo e aproximadamente
30.
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Figura 2.
Os ajustes de varias destas distribuic~oes, para diferentes energias do feixe, permitem que valiosas informac~oes sobre o potencial sejam obtidas; dentre elas,
o alcance do mesmo, uma vez que existe uma relac~ao
direta entre o ^angulo de espalhamento e a dist^ancia de
maior aproximac~ao entre os nucleos interagentes.
Do ponto de vista do enfoque tradicional, o problema a ser resolvido consiste em se determinar a amplitude de espalhamento dada pela express~ao
f() = fC () + fN ()
6)
onde fC () e fN () s~ao as contribuic~oes do potencial
Coulombiano e nuclear, respectivamente. A sec~ao de
choque diferencial e ent~ao calculada pela express~ao
d
2
2
d
= j(fC ()j + jfN ()j + [fC ()fN ()+ fC ()fN ()]
(7)
Note-se o termo de interfer^encia entre os dois potenciais. As oscilac~oes nas distribuic~oes angulares de espalhamento elastico s~ao incrivelmente bem ajustadas por
potenciais nucleares como os mencionados acima.[2]
II.3. Aplicaca~o - Problemas usando aproximac~ao de Born
Para potenciais fracos e de longo alcance, e comum
estudar o espalhamento usando a aproximac~ao de Born,
atraves da qual se chega a seguinte relac~ao entre seca~o
de choque diferencial e potencial espalhador
Z
2
k(B) () = 4~2 j d3r exp(;iK~ ~r)V (r)j2
(8)
onde: K~ = ~kd ; ~ki; ~kd e ~ki s~ao, respectivamente, os
vetores de onda dos feixes detetado e incidente.
A discuss~ao deste problema e similar ao descrito
anteriormente por ondas parciais, pois mede-se k ()
da mesma forma ja descrita. As informac~oes sobre os
par^ametros do potencial espalhador V (r) s~ao ent~ao obtidas.
Paulo R. S. Gomes et al.
II.4. Exemplos com Problemas de Teoria da
Perturbaca~o
* Enfoque teorico
Este e um excelente assunto para se mostrar a
relac~ao direta entre a teoria qu^antica e resultados experimentais, sendo grande o numero de exemplos de problemas apresentados em MQ envolvendo perturbac~oes
independentes e dependentes do tempo. Livros textos
como o de Cohen-Tannoudji[1] exploram explicitamente
varios resultados experimentais, de forma proxima a
que esta sendo sugerida neste artigo. Os sistemas n~ao
perturbados mais usuais s~ao o atomo de Hidrog^enio
e o oscilador harm^onico. Em geral s~ao apresentados
varios efeitos perturbativos, tais como: interac~ao spinorbita, aplicac~ao de campos externos, interac~ao de radiac~ao com o atomo etc. A soluc~ao do problema tem
incio explicitando-se a express~ao da contribuic~ao da
perturbac~ao a Hamiltoniana, sendo ent~ao calculados os
novos autovalores e autoestados e as probabilidades de
transic~ao, alem de serem deduzidas regras de selec~ao.
* Enfoque experimental
Como mencionado anteriormente, ao contrario do
que ocorre com a teoria de espalhamento, n~ao e difcil
encontrar livros textos de MQ abordando resultados
experimentais em diversos exemplos interessantes envolvendo variaco~es de nveis de energia at^omicos com
a aplicac~ao de campos externos, efeitos de estrutura
na e hiperna, probabilidades de transic~ao entre nveis
at^omicos etc. N~ao se pretende neste trabalho a repetic~ao dos mesmos, no entanto cabe enfatizar a import^ancia de se explicar ao aluno quais as grandezas
efetivamente mensuraveis.
Por exemplo, os nveis de energia de atomos, nucleos
e moleculas, com seus respectivos momentos angulares,
podem ser determinados atraves da soluc~ao de complexos \quebra-cabecas" envolvendo as frequ^encias dos
fotons (raios X e ) emitidos pelo material, apos os
mesmos terem sido excitados por colis~oes ou interac~ao
com radiac~ao externa. Os raios X (ou ) caractersticos
de cada elemento at^omico (ou nucldeo) s~ao registrados
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por um detetor de radiac~ao que fornece os seus espectros de energia, ou seja, o numero de fotons detetados com determinados valores de energia ou frequ^encia,
dando informac~oes sobre as diferencas entre os nveis
de energia inicial e nal correspondentes.
Quando mais de um detetor e colocado proximo ao
alvo, e possvel realizar experi^encias em \coincid^encia",
onde se determinam quais os raios X (ou ) que foram emitidos sob a forma de uma cascata sequencial de
desexcitac~ao, facilitando e permitindo a precisa \montagem" dos nveis de energia`. Se o potencial utilizado
estiver correto, esses nveis ser~ao previstos pela soluca~o
da equac~ao de Schrodinger.
Outros testes diretos da teoria podem ser exemplicados para se determinar:
- a proporcionalidade entre o numero de fotons detetados num certo intervalo de tempo e a intensidade da
transic~ao correspondente;
- a relac~ao entre as larguras dos picos correspondentes
as transic~oes e as larguras de resson^ancias;
- calculo dos momentos angulares dos fotons emitidos,
a partir da analise das formas das suas distribuic~oes
angulares.
Consequentemente, sera possvel vericar as regras de selec~ao e calcular os momentos eletricos e
magneticos dos fotons. As diversas caractersticas de
certas transic~oes detetadas so podem ser explicadas por
efeitos de estrutura na, ou hiperna, ou ainda de \anarmonicidade", permitindo que estas informac~oes experimentais sejam usadas para desenvolvimento da teoria e para a determinac~ao de par^ametros.
III. Conclus~oes
A avaliac~ao da implementac~ao desta proposta foi
realizada junto aos alunos e a diversos professores que
dela tiveram conhecimento durante sua aplicac~ao; os
resultados t~ao positivos motivaram a iniciativa da sua
divulgac~ao para que ela seja aplicada e aperfeicoada em
outras instituic~oes de ensino e pesquisa do pas. Assim,
fsicos experimentais s~ao incentivados a lecionar MQ,
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bem como ca estimulada uma interac~ao mais forte entre teoricos e experimentais de uma mesma instituic~ao
ao prepararem suas aulas desta disciplina.
Acredita-se que um dos principais motivos do sucesso da proposta tenha sido esse entrosamento. Outro
aspecto tem a ver com o enriquecimento dos conteudos
da disciplina. Os exemplos aqui citados, voltados para
a Fsica Nuclear, s~ao t~ao interessantes quanto os de outras areas da Fsica, havendo ampla gama de opc~oes
para os professores da disciplina. Com este enfoque
acredita-se que os estudantes estar~ao vivenciando situac~oes mais proximas de linhas de pesquisa experimental, facilitando uma futura escolha por uma delas.
Refer^encias bibliogracas
1. C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantum
Mechanics, John Wiley and Sons, New York, 1977.
2. R. Bass, Nuclear Reactions with Heavy Ions,
Springer-Verlag, Berlim, 1980.
3. C. Tenreiro, J. C. Acquadro, P. A. B. Freitas, R.
Liguori Neto, N. Cuevas, P. R. S. Gomes, R. Cabezas, R. M. Anjos, J. Copnell, \Elastic and Inelastic Scattering of 16O + 64Zn at near Barrier
Energies", Physical Review C 53, 2870 (1996).