Circuitos Elétricos 2
Circuitos Elétricos Aplicados
Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa
Universidade de Brasília (UnB)
Departamento de Engenharia Elétrica (ENE)
Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos
Caixa Postal 4386
CEP 70.919-970, Brasília - DF
de Brasília
Homepage:Universidade
http://www.pgea.unb.br/~lasp
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1
Quadripolos



Não há interesse na estrutura interna da rede.
Uma descrição relacionando variáveis de entrada e saída é suficiente.
Um modelo de quadripolo é uma descrição que relaciona tensão e corrente
entre dois pares de terminais.
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2
Parâmetros de Admitância


A rede NÃO contém fontes independentes.
Os parâmetros de admitância descrevem as correntes em termos de tensão.
I1  y11V1  y12V2
I 2  y21V1  y22V2



O índice 1 indentifica a porta de entrada. O índice 2 identifica a porta de
saída.
y21 determina a corrente entrando na porta 2 quando a porta 2 é curtocircuitada e a tensão V1 é aplicada na porta 1.
Os parâmetros são obtidos diretamente das equações.
y11 
I1
V1 V
2 0
y12 
I1
V2 V 0
1
y21 
I2
V1 V
2 0
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y22 
I2
V2 V 0
1
3
Exemplo de Parâmetros de Admitância

Encontre os parâmetros de admitância da rede.
I1  y11V1  y12V2
I 2  y21V1  y22V2
 Circuito usado para determinar y11 e y21
 I2
1
3
I1  (1  )V1  y11  [ S ]
2
2
1
1
1
 I2 
I1  I 2   V1  y21   [ S ]
1 2
2
2
 Circuito usado para determinar y12 e y22
5
1 1
I 2    V2  y22  [ S ]
6
 2 3
 I1 
3
3 5
1
I2 
V2  y12   [ S ]
2 3
5 6
2
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4
Aplicação do Modelo de Admitância

Determine a corrente no resistor de 4
I1  y11V1  y12V2
I 2  y21V1  y22V2
3
1
I1  V1  V2
2
2
1
5
I 2   V1  V2
2
6
1
I1  2 A, V2  4 I 2 I 2   V2
4
 Resolvendo o sistema tem-se a corrente no resistor de 4
3
1
2  V1  V2
2
2
1
5 1
0   V1    V2
2
6 4
13
V2
6
8
V2  [V ]
11
2
I 2   [ A]
11
V1 
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5
Exemplo de Modelo de Admitância

Encontre os parâmetros de admitância
I1
I2

V1

V2


I1
I1  y11V1  y12V2
I 2  y21V1  y22V2
I2
1 1
3
 )V1  V1
21 42
42
42
I2  
I1
21  42
I1  (

V1

I1
1
[S]
14
1
y21   [ S ]
21
y11 
I2

V2

1 
 1
I2  
 V2
 10.5 21 
10.5
I1  
I2
21  10.5
1
y22  [ S ]
7
1
y12   [ S ]
21
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6
Aplicação do Modelo de Admitância

Determine a corente Io
I1
10 A
IO

V1
I2


5 V2

Condições nas portas de I/O
I1  10 A
1
I 2   V2
5
Io   I2
I1  y11V1  y12V2
I 2  y21V1  y22V2
1
[S]
14
1
y21   [ S ]
21
y11 
1
y22  [ S ]
7
1
y12   [ S ]
21
Substitua no modelo
1
1
V1  (5 I o )
14
21
1
1
 I o   V1  (5 I o )
21
7
10 
Resolva p/ a variável de interesse I o 
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420
[ A]
98
7
Parâmetros de Impedância

A rede NÃO contém fontes independentes.
V1  z11I1  z12 I 2
V2  z21I1  z22 I 2

Os parâmetros z são encontrados de forma semalhantes ao parâmetros y.
z11 
V1
I1 I
z21 
2 0
V2
I1
z12 
I 2 0
V1
I2
z22 
I1 0
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V2
I2
I1 0
8
Exemplo de Cálculo
dos Parâmetros de Impedância

Encontre os parâmetros z.
V1  z11I1  z12 I 2
V2  z21I1  z22 I 2
z11 
z12 

V1
I1 I
V1
I2
z21 
2 0
z22 
I1 0
V2
I1
I 2 0
V2
I2
I1 0
Escrevendo as equações das malhas
V1  2 I1  j 4( I1  I 2 )
V2  j 2 I 2  j 4( I 2  I1 )

Agrupando adequadamente
V1  (2  j 4) I1  j 4 I 2
V2   j 4 I1  j 2 I 2
 z11  2  j 4 
z12   j 4
z21   j 4
z22   j 2
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Exemplo de Aplicação
dos Parâmetros de Impedância

Use os parâmetros z para encontrar a corrente no resistor de 4.
V1  z11I1  z12 I 2
V2  z21I1  z22 I 2
 Restrição na porta de saída
V2  4I 2
 Restrição na porta de entrada
V1  120  (1) I1
V1  (2  j 4) I1  j 4 I 2
V2   j 4 I1  j 2 I 2
12  (3  j 4) I1  j 4 I 2
 j4
0   j 4 I1  (4  j 2) I 2
 (3  j 4)
48 j  (16  (4  j 2)(3  j 4)) I 2
 I 2  1.61137.73 A
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10
Exemplo de Cálculo e Aplicação
dos Parâmetros de Impedância

Encontrar os parâmetros Z e a corrente na carga 4 com tensão de 24 V na
ent.
I1
I2

V1

V2


I1

V1



V1  12 I1  6( I1  I 2 )
z21  6,
z22  9

V2
24V
4

V1  18 I1  6 I 2
V2  3I 2  6( I1  I 2 )
z11  18, z12  6
I2
V2  6 I1  9 I 2
re striçãona portade saída:V2  4 I 2
re striçãona portade e ntradaV1  24[V ]
24  18 I1  6 I 2
0  6 I1  13I 2
 (3)
24  (39  6) I 2
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I2  
24
[ A]
33
11
Parâmetros Híbridos

A rede NÃO contém fontes independentes.
V1  h11I1  h12V2
I 2  h21I1  h22V2
h11 
V1
I1 V
h21 
V1
V2
h22 
2 0
h12 

I1  0
I2
I1 V
h11  i m pe dân ci a
de e n tradade cu rto- ci rcu i to
I2
V2
h21  gan h odi re tode corre n tede cu rto- ci rcu i to
2 0
I1  0
h12  gan h oi n ve rsode te n sãode ci rcu i toabe rto
h22  adm i tân ci a
de saí dade ci rcu i toabe rto
Estes parâmetros são muito comuns no modelamento de transistores.
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Exemplo de Cálculo dos Parâmetros Híbridos

Encontrar os parâmetros híbridos para o circuito abaixo.
I R2
I DS
V1  ( Ri  R1 || R2 ) I1  h11  Ri 
I 2   I R 2  I DS  
R1 R2
R1  R2
R1
ARi I1
I1 
R1  R2
Ro
 ARi
R1 


h21  

 Ro R1  R2 
V1 
R1
R1
V2  h12 
R1  R2
R1  R2
Vi  0  I 2 
h22 
V2
Ro || ( R1  R2 )
Ro  R1  R2
Ro ( R1  R2 )
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Exemplo de Cálculo dos Parâmetros Híbridos

Encontrar os parâmetros híbridos para o circuito abaixo.
I1
I2

V1

V2


V1  h11I1  h12V2
I 2  h21I1  h22V2
I2
I1

V1


V1
I2
I1  0


V2

V2  0
V1  (12  (6 || 3)) I1  h11  14
6
2
I2  
I1  h21  
3 6
3
V1 
6
2
V2  h12 
3 6
3
I2 
V2
1
 h22  [ S ]
9
9
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Exemplo de Cálculo dos Parâmetros Híbridos

Determinar a impedância de entrada do quadripolo.
I1
V1  h11I1  h12V2
I2

V1
I 2  h21I1  h22V2

V2

4

2
3
1
h22  [ S ]
9
Rin  14 
Verificação
V1
I1
re striçãona portade saída: V2  4 I 2
V1  h11I1  h12 (4 I 2 )
h11  14, h12 
2
h21  
3
Rin 
I 2  h21I1  h22 (4 I 2 )  I 2 
h21
I1
1  4h22

4h h 
V1   h11  12 21  I1
1  4h22 

4(2 / 3)( 2 / 3)
16
 14   15.23
1  4(1 / 9)
13
Rin  12  6 || 7  12 
42

13
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15
Parâmetros de Transmissão

Parâmetros ABCD

A rede NÃO contém fontes independentes.
V1  AV2  BI 2
I1  CV2  DI2
A
V1
V2
C
I 2 0
V
B 1
I2 V
2 0
I1
V2
A  re laçãode te nsãode circuitoabe rto
B  ne gativode transimpeância
d
de curto- circuito
I 2 0
I
D 1
I2 V
C  transadmit
ânciade circuitoabe rto
D  ne gativoda re laçãode curto- circuito
2 0
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Exemplo de Cálculo
dos Parâmetros de Transmissão

V1  AV2  BI 2
Determinar os parâmetros de transmissão.
I1  CV2  DI2
A
qdo I 2  0
1
j
V2 
V  A  1  j
1 1
1
j
V2 
1
I
I1  1  C  j
j
V2
V1
V2
B
C
I 2 0
V1
I2 V
2 0
I1
V2
D
I 2 0
I1
I2 V
2 0
qdo V2  0
1
1
j
I2  
I1  
I1
1
1  j
1
j
 D  1  j

 2  j 
1 
V1  1  (1 ||
) I1  
 (1  j )I 2
j

1

j





B  2  j
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