Universidade Federal do Espírito Santo
Prova de Cálculo I: Limite e Continuidade
Prof. Lúcio Fassarella
DMA/CEUNES/UFES
Data: 07/05/2014
Aluno:________________________ Matrícula________ . Nota:
:
:
_______
.Observações:
I A prova tem duração de 100 min; não é permitido entrar na sala após 20 min desde seu início
e não é permitido sair da sala antes desse prazo. I A resolução da prova é individual e sem consulta;
só é permitido o uso de caneta, lápis e borracha, além das folhas de prova e rascunho cedidas; não são
permitidos conversas, uso de calculadora ou qualquer outro dispositivo eletrônico.I As respostas devem
ser justi…cadas para serem consideradas válidas; resoluções caóticas, confusas e vagas serão anuladas.
I As respostas devem ser registradas a caneta.
Questão 1 (2 pontos): Num processo industrial, a velocidade da reação que produz uma substância
química S deve ser igual a (3 0:2) mol= l: min. Sabe-se que a velocidade da reação depende da concentração
c ( mol= l) de acordo com a função
v (c) = 0:4 + 12c ( mol= l: min) ; c
0:
Determine o valor da concentração do catalizador e a margem de erro admissível para que a velocidade de
reação cumpra as condições do processo industrial.
Resolução. A concentração do catalizador para que a velocidade de reação seja 3 é solução
c0 da equação v (c0 ) = 3, i.e.,
0:4 + 12c0 = 3
c0 =
3
2:6
0:4
=
12
12
0:21
Nas condições do problema, os valores admissíveis das concentrações do catalizador são soluções
da inequação 2:8 < v (c) < 3:2, i.e.,
2:8 < 0:4 + 12c < 3:2
() 2:8 < 0:4 + 12c < 3:2
() 2:4 < 12c < 2:8
() 0:2 < c < 0:23:
Considerando que o valor de referência da concentração do catalizador é c0 , de…nimos a margem
de erro admissível pelo menor distância aos extremos do intervalo (0:2; 0:23):
= min fc0
0:2; 0:23
c0 g
min f0:01; 0:02g = 0:01:
Resposta: o valor da concentração do catalizador deve ser c0
admissível de
0:01.
0:21 e margem de erro
— — II — —
Respostas alternativas:
* A concentração c do catalizador deve satisfazer a condição 0:2 < c < 0:23.
** A concentração c do catalizador deve pertencer ao intervalo (0:2 ; 0:23).
*** A concentração do catalizador deve ser c = 0:21
**** A concentração do catalizador deve ser c0 =
admissível = 0:015.
1
0:01.
0:2+0:23
2
= 0:215 e a margem de erro
Questão 2 (2 pontos) Considere a curva C de…nida pela equação
p
y = x2 + 16:
Item a. Escreva a expressão para a inclinação da reta secante que passa por (3; 5) e por um ponto
distinto (x; y) da curva.
Resolução: A inclinação da reta secante que passa por (3; 5) e por (x; y) depende apenas de
x e é dada por
p
x2 + 16 5
y 5
=
; x=
6 3: (Resposta)
m (x) =
x 3
x 3
Item b. Calcule a inclinação da reta que tangencia a curva no ponto (3; 5).
Resolução: A inclinação da reta que tangencia a curva no ponto (3; 5) é dada pelo limite
das inclinações das retas secantes:
p
x2 + 16 5
lim m (x) = lim
x!3
x!3
x 3
(p
)
p
x2 + 16 5
x2 + 16 + 5
p
= lim
x!3
x 3
x2 + 16 + 5
(
)
x2 + 16 25
p
= lim
x!3
(x 3) x2 + 16 + 5
(
)
x2 9
p
= lim
x!3
(x 3) x2 + 16 + 5
=
=
x+3
+ 16 + 5
3+3
3
6
p
= :
=
10
5
32 + 16 + 5
lim
x!3
p
x2
(Resposta)
Item c. Determine a reta tangente a curva no ponto (3; 5).
Resolução: A reta tangente a curva no ponto (3; 5) é dada pelo conjunto dos pontos (x; y) 2
R2 que cumprem a seguinte relação:
y
5=
3
(x
5
3)
y=
3
16
x+ :
5
5
(Resposta)
Questão 3 (1:5 ponto): Determine os valores de a 2 R para os quais a função f é contínua:
8
2
>
< cos 3a x x 0
f (x) =
>
: sin(2a3 x)
x<0
x
Resolução: f é contínua em todo ponto x 6= 0, independentemente do valor de a 2 R. Para
que f seja contínua em x = 0 é necessário e su…ciente que os limites laterais de f nesse ponto
sejam iguais. Assim, calculamos os limites laterais de f em x = 0:
lim f (x) = lim
x!0
x!0
sin 2a3 x
sin 2a3 x
= 2a3 lim
x!0
x
2a3 x
= 2a3 lim
|{z}
u!0
u=2a3 x
sin (u)
= 2a3 :
u
lim f (x) = lim cos 3a2 x = cos 3a2 :0 = 1; pois cos 3a2 x é função contínua em x = 0:
x!0+
x!0+
Comparando os limites, temos:
p
3
lim f (x) = lim f (x) () 2a3 = 1 () a = 1= 2:
x!0
x!0+
2
(Resposta)
Questão 4 (1:5 ponto) Calcule os limites:
15x3 + 20x2
6x3 + 2
a) lim
x!1
5
Resolução: Usando que limx!1 (a=xn ) = 0 8a 2 R; 8n > 0:
15x3 + 20x2
6x3 + 2
lim
x!1
5
b) lim
x3
x!3
= limx!1
=
15
6
=
5
2
15+20=x 5=x3
6+2=x3
(Resposta)
6x2 x + 30
x2 8x + 15
Resolução: Observamos que x = 3 é raiz dos polinômios no numerador e no denominador
desse quociente; portanto, para calcular o limite fatoramos esses polinômios por x 3:
x3
6x2
x + 30 = (x
3) x2
3x
x2
8x + 15 = (x
3) (x
5) :
10
e
Assim,
lim
x!3
x3
6x2 x + 30
= limx!3
x2 8x + 15
= limx!3
=
(x 3)(x2 3x 10)
(x 3)(x 5)
x2 3x 10
x 5
32 3:3 10
3 5
=5
(Resposta)
ln 3x2 3
x!1
x2 1
c) lim
Resolução: Com a mudança de variáveis
u := ln 3x2
temos
x2
eu
1=
e
3
portanto,
3 ;
0
lim u = lim ln @3x2 3A =
| {z }
x!1
x!1
!0+
1;
! 1
z}|{
ln 3x
3
u
=
3
lim
=
u! 1 eu
x!1
x2 1
|{z}
2
1
lim
!0+
3
1:
(Resposta)
Questão 5) Considere a função f : [0; 3] ! R, cujo grá…co é mostrado parcialmente na …gura abaixo.‘
Item a (2 pontos) Deduza os limites, caso existam:
i) limx!1 f (x) = 1. (Resposta)
ii) limx!1 f (x) = @, pois o limite a direita não é igual ao limite a esquerda.
h
i
2
iii) limx!2 3f (x)
1 = 3:02 1 = 1. (Resposta)
h
i
3
iv) limx!2+ 2f (x)
3 = 2:23 3 = 13. (Resposta)
(Resposta)
Item b (1 ponto) Considere uma função g : [0; 3] ! R.
i) Se g (2) = 0, o que podemos dizer sobre o limite limx!1 f (x) g (x)?
Resposta: Nada conclusivo.
Justi…cativa: A informação g (2) = 0 é irrelevante para a questão. Não podemos concluir
nada acerca de limx!1 f (x) g (x) pois o limite de f em x = 1 não existe e o valor do limite de g
em 1 é desconhecido (não foi informado).
ii) Se g é g:f são contínuas em 2, o que podemos dizer sobre g (2)?
Resposta: g (2) = 0.
Justi…cativa: Como f e g possuem limites laterais em x = 2, calculamos os limites laterais
do produto f:g:
lim g (x) f (x) = lim g (x) lim f (x) = g (2) :0 = 0
x!2
x!2
x!2
e
lim g (x) f (x) = lim g (x) lim f (x) = g (2) :2 = 2g (2) :
x!2+
x!2+
x!2+
Como g:f é contínua em x = 2, esses limites laterais devem ser iguais, donde
2g (2) = 0
g (2) = 0:
4
CHAVE DE CORREÇÃO
Questão 1.
- Determinação do intervalo para variação admissível da concentração do catalizador = 0:5 ponto;
- Resolução da inequação que determina os valores admissíveis da concentração do catalizador = 1:0
ponto;
- Determinação da concentração ideal, da margem de erro e registro da resposta = 0:5.
* Total: 2 pontos.
Questão 2.
a) Resposta correta = 0:5;
b) De…nição do limite = 0:5; cálculo do limite = 0:5;
c) Resposta correta = 0:5.
* Total: 2 pontos.
Questão 3.
-Análise da continuidade em Rn f0g = 0:3;
- Determinação dos limites laterais em 0 = 0:5;
- Cálculo dos limites laterais em 0 = 0:5;
- Conclusão = 0:2.
* Total: 1:5 ponto.
Questão 4:
- a, b, c) Cálculo correto e justi…cado = 0:5.
* Total: 1:5 ponto.
Questão 5:
- i.a, b, c, d) Resposta correta = 0:5 (cada subitem);
- ii.a, b) Resposta correta e justi…cada = 0:5 (cada subitem).
* Total: 2 pontos.
5