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dos Materiais
Resistências
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dos Materiais
Resistências
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – AMB 28
AULA 9
Membros Carregados axialmente
Professor Alberto Dresch Webler
Setembro 2014
Resistências dos Materiais - Aula 9
Veremos
• Estruturas estaticamente indeterminadas;
• Efeitos térmicos.
planetarafael.blogspot.com
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Resistências dos Materiais - Aula 8
1. Estruturas estaticamente indeterminadas
• Molas, cabos e barras tem características em comum,
suas reações e forças internas podem ser determinadas a
partir de diagramas de corpo livre e equações de
equilíbrio.
• Estruturas como estas são classificadas como
estaticamente determinadas.
• Em especial, devemos notar que as forças em uma
estrutura estaticamente determinada podem ser
encontradas sem levar em conta as propriedades dos
materiais.
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Resistências dos Materiais - Aula 8
1. Estruturas estaticamente indeterminadas
• Por exemplo:
• Para realizar cálculos para as forças axiais em ambas as
partes da barra, como a reação R na base, independe do
material.
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1. Estruturas estaticamente indeterminadas
• A maioria das estruturas apresentam um estudo mais
complexo do que a figura anterior.
• Sua reação e forças internas não podem ser consideradas
apenas com a estática.
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1. Estruturas estaticamente indeterminadas
• Por exemplo:
As reações Ra e Rb não
podem ser encontradas
apenas considerando a
estática, porque há
somente uma equação de
equilíbrio disponível.
FIXADAS EM SUPORTES RÍGIDOS
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1. Estruturas estaticamente indeterminadas
•
𝐹𝑣𝑒𝑟𝑡 = 0
• RA + RB – P= 0
• É preciso de uma equação adicional para encontrarmos
as duas reações desconhecidas.
• Como faço isso?
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1. Estruturas estaticamente indeterminadas
• A equação adicional é baseada na observação de que
uma barra com ambas extremidades fixadas não
apresenta variação no comprimento.
• Se separarmos de seus suportes!
• Assim obtemos uma barra livre em ambas as
extremidades e carregada pelas três forças RA, RB e P.
Essas barras fazem a barra sofrer uma variação δAB de
comprimento, que deve ser igual a zero.
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1. Estruturas estaticamente indeterminadas
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1. Estruturas estaticamente indeterminadas
• δAB = δAC + δCB
δAB =
𝑅𝐴𝑎
𝐸𝐴
-
𝑅𝐵𝑏
𝐸𝐴
• O próximo passo é resolver simultaneamente a equação
𝑅𝐴𝑎
de equilíbrio (RA + RB – P= 0) e a equação anterior (
-
𝑅𝐵𝑏
𝐸𝐴
𝐸𝐴
).
• Assim obtemos:
𝑃𝑏
RA=
𝐿
𝑃𝑎
RB=
𝐿
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Resistências dos Materiais - Aula 9
1. Estruturas estaticamente indeterminadas
• Com essa reações conhecidas, todas as outras
quantidades de força e descolamento podem ser
determinadas.
• Suponha que desejamos encontrar o deslocamento para
baixo δC do ponto C. Esse deslocamento é igual ao
alongamento do segmento AC:
• Como fica?
δC= δAC =
𝑅𝐴𝑎
𝐸𝐴
=
𝑃𝑎𝑏
𝐸𝐴𝐿
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Resistências dos Materiais - Aula 9
Exemplo 1
• Um cilindro circular sólido S, feito de aço, está
encerrado em um tubo circular vazado de cobre C
(Figura a seguir). O cilindro e o tubo são comprimidos
entre as placas rígidas de uma máquina de teste por
forças de compressão P. O cilindro de aço tem área de
seção transversal AS e módulo de elasticidade ES’ o tubo
de cobre tem área Ac e modulo Ec, e ambos têm o
mesmo comprimento L.
• Determine as seguintes quantidades: (a) as forças de
compressão Ps no cilindro de aço e Pc no tubo de cobre;
(b) as tensões de compressão correspondentes ζs e ζc e
(c) o encurtamento δ do conjunto.
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1. Estruturas estaticamente indeterminadas
•A
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Solução problema
• Resolvido em Sala.
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Resistências dos Materiais - Aula 9
Exemplo 2.
• Uma barra horizontal rígida AB está presa por pinos na
extremidade A e é sustentada por dois cabos (CD e EF)
nos pontos D e F (Figura a seguir). Uma carga vertical P
age na extremidade B da Barra. A barra tem
comprimento 3b e os cabos CD e EF têm comprimentos
L1 e L2, respectivamente. O cabo CD tem diâmetro d1 e
módulo de elasticidade E1; o cabo EF tem diâmetro d2 e
módulo E2.
• a) Calcule fórmulas para a carga admissível P se a
tensões admissíveis nos cabos CD e EF são
respectivamente, ζ1 e ζ2. (Desconsidere o peso da barra.)
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Exemplo 2.
• b) Calcule a carga admissível P para as seguintes
condições: O cabo CD é feito de alumínio com módulo
E1=72GPa, diâmetro d1=4,0mm e comprimento
L1=0,40m. O cabo EF é feito de magnésio com módulo
E2=45GPa, diâmetro d2=3,00mm e comprimento
L2=0,30m. As tensões admissíveis nos cabos de alumínio
e de magnésio são ζ1=200MPa e ζ2=175MPa,
respectivamente.
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Resistências dos Materiais - Aula 9
2. Efeitos térmicos
• Cargas externas não são únicas fontes de tensões e
deformações em uma estrutura!
• Outras fontes incluem efeitos térmicos que surgem de
diferenças de temperatura, erros de montagem ou
fabricação resultantes de imperfeições na construção e
pré-deformações iniciais.
• Como regra geral, eles são muitos mais importantes no
projeto de estruturas estaticamente indeterminadas do que
nas estaticamente indeterminadas do que nas
estaticamente determinadas.
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2.1 Efeitos térmicos
• O que ocorre quando aplicamos calor em uma estrutura?
• Ou resfriamos?
• Resulta então deformações e tensões térmicas.
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2.1 Efeitos térmicos
• Quando temos um bloco de material pode mover-se sem
restrições e por isso, é livre para expandir-se.
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2.1 Efeitos térmicos
• Para a maioria dos materiais estruturais, a deformação
térmica εT é proporcional à variação de temperatura ΔT,
isto é,
εT = α(ΔT)
• Em que α é uma propriedade do material chamada
coeficiente de dilatação térmica.
• Uma vez que a deformação é quantidade adimensional, o
coeficiente de dilatação térmica tem unidades inversas
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àquelas da variação de temperatura.
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2.1 Efeitos térmicos
• Em unidade SI, as dimensões de α podem ser expressas
por 1/𝐾 (o inverso de kelvins) ou 1/°C (o inversos de
graus célsius).
• Valor típicos estão na tabela a seguir.
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2.1 Efeitos térmicos
• b)
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2.1 Efeitos térmicos
• Quando uma convenção de sinal é necessário para
deformações térmicas, em geral assumimos que a
expansão é positiva e a contração é negativa.
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2.1 Efeitos térmicos
• É importante considerar a temperatura?
• Se sim, em todos os casos?
• Por exemplo um barra de aço inoxidável com E=210GPa
e α=17.10-6/°C. Para uma variação de temperatura de
60°C qual a tensão necessária para ocorrer a mesma
deformação?
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Resistências dos Materiais - Aula 9
2.1 Efeitos térmicos
• Assim vemos que uma variação relativamente modesta na
temperatura produz deformações de mesma intensidade
que deformações causadas por cargas “comuns”,
evidenciando que a temperatura é uma fator importante
a ser considerado!
• Materiais estruturais comuns expandem-se quando
aquecidos e contraem-se quando resfriados.
• Geralmente esse processo é reversível. O que quer
dizer?
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Resistências dos Materiais - Aula 9
2.1 Efeitos térmicos
• Á agua tem densidade máxima a que temperatura?
• 4°C.
• É considerado um material incomum do ponto de vista
térmico, pois ela se expande quando aquecida de em
temperatura acima de 4°C e também quando resfriada
abaixo de 4°C.
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2.1 Efeitos térmicos
• Considerando a barra abaixo.
• E agora como vamos calcular δT.
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2.1 Efeitos térmicos
• Utilizando a equação:
• δT=εTL=Lα(ΔT)
• Esse alongamento é um problema?
• Depende!!!
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2.1 Efeitos térmicos
• No caso que ela em um local que não há nenhuma
restrição e é capaz de expandir-se ou de contrair-se
livremente. Nesses casos nenhuma tensão é produzida.
• Embora variações de temperatura não uniformes possam
produzir tensões internas, porém muitas estruturas
possuem apoio que previnem a livre expansão e
contração.
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2.1 Efeitos térmicos
• Vamos analisar a figura abaixo:
• A estrutura está estaticamente determinada ou
indeterminado?
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2.1 Efeitos térmicos
• Como esta está estaticamente determinada, ambas as
barras estão livres para alongar ou encurtar, resultando
em um deslocamento da Junta B.
• Entretanto, não há tensões em nenhuma das barras e
nenhuma reação nos suportes.
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2.1 Efeitos térmicos
• Isso é aplicado a estruturas estaticamente determinada,
isto é, variações de temperatura uniforme nos membros
produzem deformações térmicas sem produzir nenhuma
tensão correspondente.
• Mas o que ocorre então?
• Apenas um alongamento.
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2.1 Efeitos térmicos
• Essa estrutura é estaticamente determinada ou
indeterminada?
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2.1 Efeitos térmicos
• Estaticamente indeterminada!
• Quando a armação e uniformemente aquecida de o que
ocorre?
• Não ocorre nenhuma tensão! Visto que todos os membros
crescem em comprimento de forma proporcional aos seus
comprimentos iniciais, e a armação fica ligeiramente
maior em tamanho.
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Resistências dos Materiais - Aula 9
2.1 Efeitos térmicos
• Mas se houver aquecimento não uniforme!
• As tensões térmicas vão se desenvolver, porque o arranjo
estaticamente indeterminado das barras limita a livre
expansão.
• Se aquecer apenas a barra AC. O que ocorre?
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2.1 Efeitos térmicos
• Resumindo.
• As análises serão similares o que foi discutido da aula
passada. Porém usamos as relações de temperaturadeslocamento e juntamente com as relações de forçadeslocamento ao fazer análise.
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Resistências dos Materiais - Aula 9
Exemplo
• Uma barra prismática AB de comprimento
L está presa entre apoios imóveis (figura
abaixo). Se a temperatura da barra
aumentar uniformemente em uma
quantidade ΔT, qual será o valor da tensão
térmica ζT desenvolvida na barra?
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2.1 Efeitos térmicos
• Resolvido em Sala.
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• Resolvido em Sala
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Resistências dos Materiais - Aula 9
Observações do exercício
• O que podemos tirar desse exemplo?
• O L importa?
• E a área.
• Não.
• Pois as reações independem do comprimento da barra e a
tensão independe tanto do comprimento quando da área
de seção transversal.
• Por isso evidencia mostrar uma solução simbólica de uma
puramente numérica.
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Resistências dos Materiais - Aula 9
Observações do exercício
• Consideramos o material homogêneo?
• Sim.
• Temperatura uniforme?
• Sim
• O material era elástico linear?
• Sim.
• Qual o deslocamento da barra?
• Nulo.
• Só na extremidades?
• Não, mas também na seção transversal.
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Resistências dos Materiais - Aula 9
Exemplo 2
• Uma luva, na forma de tubo circular de comprimento L, é
colocada em torno de um parafuso circular e presa por
arruelas em cada extremidade (Figura abaixo). A porca é
então girada apenas até o ponto de ajuste. A luva e o
parafuso são feitos de materiais distintos e têm área de
seção transversal diferentes (assuma que o coeficiente da
expansão térmica αS da luva é maior que o coeficiente αB
do parafuso).
• a) Se a temperatura de todo o conjunto for aumentada em
quantidade ΔT, qual o valor das tensões ζS e ζB
desenvolvidas na luva e no parafuso, respectivamente?
• b) Qual é o aumento δ do comprimento L da luva e do
parafuso?
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2.1 Efeitos térmicos
• b)
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• Resolvido em Sala
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