Instituto Superior Técnico - Álgebra Linear - 1o Semestre 2015/2016
LEAN - LEMat - MEQ
4a Ficha de exercícios teóricos
1. Seja V um espaço euclidiano real. Veri…que que para todos os u; v; w 2 V;
tem:
(i) hu; vi = hv; ui
(ii) h u; vi = hu; vi =
2 R se
hu; vi
(iii) hu; v + wi = hu; vi + hu; wi
(iv) hu + v; wi = hu; wi + hv; wi
(v) hu + w; v + wi = hu; vi + hu; wi + hw; vi + kwk2
(vi) hu; 0i = h0; ui = 0
(vii) hu; vi = 0 se e só se ku + vk = ku
vk.
(viii) hu; vi = 0 se e só se ku + vk2 = kuk2 + kvk2 :
(ix) hu; vi = 0 se e só se ku + cvk
(x) hu + v; u
kuk para todo o real c.
vi = 0 se e só se kuk = kvk.
(xi) Lei do paralelogramo
ku
vk2 + ku + vk2 = 2 kuk2 + 2 kvk2 :
2. Seja V um espaço euclidiano real.
(i) Seja u 2 V . Veri…que que se hu; vi = 0 para qualquer v 2 V então u = 0.
(ii) Sejam u; v 2 V . Veri…que que u = v se e só se hu; wi = hv; wi para qualquer
w 2V.
3. Seja V um espaço euclidiano com dim V = n. Seja S = fu1 ; :::; un g uma base ortonormada de V . Seja T : V ! V uma transformação linear. Veri…que que a matriz
A = (aij ) que representa T em relação à base S é dada por
A = (aij ) = (hT (uj ); ui i) .
4. Seja V um espaço euclidiano de dimensão n. Seja fu1 ; :::; uk g um conjunto linearmente
independente de k vectores de V . Considere a transformação linear T : V ! V de…nida
por
k
X
T (v) =
hv; ui i ui ,
i=1
com v 2 V .
Mostre que T é invertível se e só se k = n.
1
5. Seja V um espaço euclidiano real. Seja T : V ! V uma transformação linear tal que
kT (w)k = kwk
para qualquer w 2 V . Mostre que
hT (u); T (v)i = hu; vi ,
para quaisquer u; v 2 V .
6. Seja U uma matriz unitária. Mostre que os valores próprios de U têm módulo 1.
7. Considere o espaço euclidiano Rn . Seja T : Rn ! R uma transformação linear. Mostre
que existe um e um só u0 2 Rn tal que
T (u) = hu; u0 i;
para todo o u 2 Rn .
8. Seja P : Rn ! Rn a projecção ortogonal sobre um subespaço V de Rn de dimensão k.
Determine o polinómio característico de P e prove que P é diagonalizável.
9. Considere o espaço linear Rn munido com o produto interno usual. Seja A 2 Mn
tal que
AT A = AAT :
n (R)
Prove que o complemento ortogonal do espaço das colunas de A é igual ao núcleo de
A, isto é
(C(A))? = N (A).
10. Seja V um espaço linear complexo, isto é, cujo corpo dos escalares é C. Considere V
munido de um produto interno h; i. Seja T : V ! V uma transformação linear tal que
hT (u); ui = 0
para todo o u 2 V . Mostre que T = 0.
11. Seja T : Rn ! Rn uma transformação linear invertível. Seja u um vector próprio de T
associado a um valor próprio de T . Veri…que que u é também um vector próprio de
T 1 e determine o valor próprio de T 1 que lhe está associado.
12. Seja V um espaço linear. Seja T : V ! V uma transformação linear. Seja u um vector
próprio de T associado a um valor próprio de T . Veri…que que u é também um vector
próprio de T 2 associado ao valor próprio 2 de T 2 .
13. Seja A uma matriz do tipo n n. Mostre que se é um valor próprio de A então
é um valor próprio de Ak , onde k é um inteiro positivo.
k
14. Uma matriz A do tipo n n diz-se nilpotente se Al = 0 para algum inteiro positivo l.
Mostre que se A é nilpotente então o único valor próprio de A é 0.
15. Seja A uma matriz n
n. Veri…que que A e AT têm os mesmos valores próprios.
2
16. Seja A uma matriz n n cuja soma das suas colunas é constante e igual a r. Mostre
que r é um valor próprio de A:
17. Seja A 2 Mn n (R). Seja P uma matriz diagonalizante para A. Determine uma matriz
diagonalizante para AT em termos de P .
18. Seja Q uma matriz n
n real ortogonal, isto é, tal que Q
1
= QT .
Mostre que se n fôr ímpar então Q tem o valor próprio 1 ou tem o valor próprio
1.
19. Seja A 2 M2 2 (R) tal que det A < 0. Mostre que A é diagonalizável.
20. Seja A uma matriz n n e seja um valor próprio de A com multiplicidade algébrica
igual a n. Mostre que se A fôr diagonalizável então A é uma matriz diagonal.
21. Seja V um espaço linear e seja T : V ! V uma transformação linear tal que todos
os vectores não nulos de V são vectores próprios. Mostre que T tem um único valor
próprio.
22. Sejam A e B duas matrizes do tipo n n. Mostre que AB e BA têm os mesmos valores
próprios.
23. Seja A uma matriz n
n e sejam
(A
1;
2
escalares, com
1 I) (A
2 I)
1
6=
2,
tais que
= 0:
Mostre que A é diagonalizável.
24. Seja A matriz real n n nilpotente, isto é, existe um natural k tal que Ak 6= 0 e
Ak+1 = 0. Prove que A não é diagonalizável.
25. Considere a aplicação h; i : R3
R3 ! R dada por:
h(x1 ; x2 ; x3 ); (y1 ; y2 ; y3 )i = x1 y1 + x1 y3 + 2x2 y2 + x3 y1 + x3 y3 .
Determine um subespaço de R3 com a maior dimensão possível relativamente ao qual
a aplicação anterior de…na um produto interno.
26. Sejam A; B 2 Mn n (R), com A ortogonalmente diagonalizável de valores próprios
todos não negativos e tal que A2 B = BA2 . Mostre que
AB = BA:
27. Seja A 2 Mn
n
(R) uma matriz cujos valores próprios são todos reais e tal que
(tr A)2 > (n
1) tr A2 :
Mostre que A é invertível. Sugestão: Poderá ser útil considerar a desigualdade de
Cauchy-Schwarz relativamente ao produto interno usual.
3