Versão preliminar
6 de setembro de 2002
Notas de Aula de Física
02. VETORES E ESCALARES........................................................................................... 2
UM POUCO DE TRIGONOMETRIA............................................................................................ 2
MÉTODO GEOMÉTRICO ........................................................................................................ 2
MÉTODO ANALÍTICO ............................................................................................................ 3
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES............................................................................................... 3
Multiplicação de um vetor por um escalar..................................................................... 4
Produto escalar ............................................................................................................. 4
Produto vetorial ............................................................................................................. 5
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 7
02 .................................................................................................................................. 7
06 .................................................................................................................................. 7
32 .................................................................................................................................. 8
39 .................................................................................................................................. 8
45 .................................................................................................................................. 9
46 .................................................................................................................................. 9
47 ................................................................................................................................ 10
51 ................................................................................................................................ 10
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02. Vetores e escalares
Algumas grandezas físicas ficam completamente definidas quando informamos um
número e uma unidade. Quando dizemos que a temperatura de uma pessoa é 370C a
informação está completa. A temperatura é uma grandeza escalar. Se dissermos que a
velocidade de um automóvel é de 50km/h não definimos completamente a informação.
Não foi dito em que direção e sentido esse corpo se movimentava. A necessidade dessa
informação complementar - direção e sentido - caracteriza a velocidade como um vetor.
Os vetores são representados por setas, e costuma-se representar um vetor com
módulo maior que outro por uma seta de tamanho maior. Usamos basicamente de dois
modos de representar os vetores, o método geométrico e o método analítico.
Um pouco de trigonometria
Vamos considerar um triângulo retângulo com hipotenusa a e catetos b e c respectivamente. O teorema de
Pitágoras diz que:
a2 = b2 + c2
α
As funções seno e cosseno são definidas como:
c
c
= cos α
a
b
cos θ = = sen α
a
E do Teorema de Pitágoras, encontramos que:
a
senθ =
θ
b
sen 2 θ + cos 2 = 1
senθ
c
cos α
= tan θ = = cot α =
cos θ
a
sen α
Método geométrico
No método geométrico, a visualização dos vetores fica mais óbvia, mas não é adequado para a operações com diversos vetores.
Método geométrico
A força é uma grandeza vetorial.
Quando consideramos duas forças atuando
sobre um dado corpo, o efeito resultante será !
igual à atuação de uma única força que seja a
!
!
a soma vetorial das duas forças mencionab
c
das.
!
!
A soma desses dois vetores pode ser
a
b
efetuada usando-se a regra do paralelogramo.
! ! !
c =a+b
Cap 02
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Método analítico
O método analítico consiste basicamente em definir um sistema de coordenadas
cartesianas e decompor os vetores segundo as suas componentes nestes eixos.
Vamos considerar um sistema de coordenadas
bidimensional, definido pelos eixos x ! e y , como
mostrados na figura ao lado. O vetor a tem componentes cartesianas ax e ay que tem a forma:
y
ax = a . cosθ
ay = a . senθ
!
a
ay
Ou de maneira inversa:
a = a +a
2
x
tan θ =
θ
ax
2
y
x
ay
ax
Uma maneira de representar vetores é através de suas componentes num dado
sistema de coordenadas, como foi antecipado na figura anterior. Desse modo:
!
a = iˆa x + ˆja y
onde iˆ e ˆj são vetores unitários (ou versores) que apontam nas direções dos eixos x
e y respectivamente e têm módulos iguais a um.
A soma de dois vetores será então definida como:
" ! !
c =a+b
onde
!
a = iˆa x +

e
!
b = iˆb +
x

ˆja
y
!
c = iˆ (a x + b x ) + ˆj (a y + b y )
⇒
ˆjb
y
ou seja:
!
c = iˆc x + ˆjc y
onde
c x = a x + b x

e

c = a + b
y
y
 y
Multiplicação de vetores
As operações com vetores são utilizadas de maneira muito ampla na Física, para
expressar as relações que existem entre as diversas grandezas.
Cap 02
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Multiplicação de um vetor por um escalar
!
!
Sejam dois vetores a e b e um escalar k. Definimos a multiplicação mencionada como:
!
!
b = ka
!
!
O vetor k a tem a mesma direção do vetor a . Terá
mesmo sentido se k for positivo e sentido contrário se
k for negativo.
!
ka
!
a
Produto escalar
!
Define-se o produto escalar de dois vetores a e
!
b como a operação:
! !
a ⋅ b = ab cos ϕ
!
a
ϕ
!
b
onde ϕ é o ângulo formado pelos dois vetores.
Podemos dizer que o produto escalar de dois vetores é igual ao módulo do primeiro
vezes a componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro, ou vice-versa. Isso
pode-se resumir na propriedade :
! ! ! !
a ⋅b = b ⋅a
Uma aplicação do produto escalar é a definição de trabalho W executado por uma
força constante que atua ao longo de um percurso d:
! !
W = F .d = Fd cos θ
Usando o conceito de vetor unitário encontramos que:
iˆ ⋅ iˆ = iˆ iˆ cos 0 0 = 1
z
jˆ ⋅ ˆj = 1
kˆ ⋅ kˆ = 1
e de modo equivalente:
iˆ ⋅ ˆj = iˆ ˆj cos 90 0 = 0
k̂
iˆ
ĵ
y
iˆ ⋅ kˆ = 0
x
jˆ ⋅ kˆ = 0
Podemos utilizar a decomposição de um vetor segundo as suas componentes cartesianas e definir o produto escalar:
Cap 02
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!
a = iˆa x + ˆja y + kˆa z
!
b = iˆb x + ˆjb y + kˆb z
(
)(
! !
a ⋅ b = iˆa x + ˆja y + kˆa z ⋅ iˆb x + ˆjb y + kˆbz
e portanto:
)
! !
a ⋅ b = a x b x + a y by + a z bz
Fica fácil perceber que:
! !
a ⋅ a = a 2 = a x2 + a y2 + a z2
!!
! !
a.b
Como a ⋅ b = ab cos ϕ , temos que cos ϕ =
, e assim poderemos calcular o
ab
ângulo entre os dois vetores, em função de suas componentes cartesianas:
cos ϕ =
a x b x + a y by + az bz
a x2 + a y2 + a z2 b x2 + b y2 + b z2
Produto vetorial
!
Define-se o produto vetorial de dois vetores a e
!
b como a operação:
! ! !
c = a×b
e módulo c é definido como:
c = ab sen ϕ
!
onde c é um vetor
! perpendicular ao plano defino pe!
los vetores a e b e ϕ é o ângulo formado por esses
dois últimos dois vetores.
!
c
!
b
ϕ
!
a
!
Uma aplicação do produto vetorial é a definição da força F que atua em uma car!
ga elétrica
q que penetra com velocidade v numa região que existe um campo magnéti!
co B :
!
! !
F = qv ×B
ou ainda:
F = q v B senϕ
Cap 02
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Usando a definição de produto vetorial, encontramos que:
iˆ × ˆj = kˆ = − ˆj × iˆ
jˆ × kˆ = iˆ = −kˆ × ˆj
z
k̂
kˆ × iˆ = jˆ = −iˆ × kˆ
iˆ
iˆ × iˆ = jˆ × jˆ = kˆ × kˆ = 0
ĵ
y
x
De modo genérico, podemos definir o produto vetorial como:
(
)(
! ! !
c = a × b = iˆa x + ˆja y + kˆa z × iˆb x + ˆjb y + kˆb z
)
e usando os resultados dos produtos vetoriais entre os vetores unitários, encontramos
que:
!
c = iˆ(a y b z − a z b y ) + ˆj (a z b x − a x bz ) + kˆ (a x b y − a y b x )
Usando as propriedades de matrizes, encontramos que o produto vetorial pode ser
expresso como o determinante da matriz definida a seguir:
 iˆ
! ! ! 
c = a × b =  ax

 bx
Cap 02
ˆj
ay
by
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kˆ 
az 

bz 
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Solução de alguns problemas
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
!
02 Quais são as propriedades dos vetores a! e b tais que:
! ! !
a)
a+b =c e a+b=c
Temos que:
! !
! ! ! !
! ! ! !
! !
c ⋅ c = a + b ⋅ a + b = a ⋅ a + b ⋅ b + 2a ⋅ b
ou seja:
c 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos θ
(
)(
)
!
b
!
c
θ
!
a
Para que c = a + b é necessário que θ = 0 pois
!
b
!
a
c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2
! !
Portanto a b
! ! ! !
a+b =a−b
b)
Da equação acima, temos que:
!
!
! ! ! !
a − a = b + b ∴ 2b = 0 ∴ b = 0
! ! !
a+b =c
c)
e
a2 + b2 = c 2
Como
c 2 = a 2 + b 2 + 2ab cos θ ,
para que
2
2
2
!
b
2
c = a + b + 2ab = (a + b)
devemos ter
θ =
θ
! !
π
portanto a ⊥ b
2
!
a
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
!
!
O vetor a tem módulo de 3 unidades e está dirigido para Leste. O vetor b está diri06 gido para 350 a Oeste do Norte e tem módulo 4 unidades. Construa os diagramas
!
!
!
!
vetoriais
para
a
+
b
e
b
- a . Estime o módulo e a orientação dos vetores
!
!
!
!
a + b e a - b a partir desse diagramas.
!
a = iˆa x
! ˆ
b = i b x + ˆjb y
a x = a = 3

0
b x = −b senθ = −4 sen 35 = −2,29
b = b cos θ == 4 cos 35 0 = 3,27
 y
Cap 02
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y
!
b
θ
Oeste
Leste
!
a
x
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a)
! ! !
c =a+b
c x = a x + b x

c y = a y + b y
cx = 3 - 2,29 = 0,71
cy = 3,27
c = c x2 + c y2 = 3,34
b)
! ! !
d = b −a
d x = b x − a x

d y = b y − a y
dx = -2,29 - 3 = -5,29
dy = 3,27
d = d x2 + d y2 = 6,21
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
Prove que dois vetores devem ter o mesmo módulo para que sua soma seja perpen32 dicular á sua diferença.
(a! + b! )⋅ (a! − b! ) = a
2
− b2 = 0
⇒
a=b
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
39 Mostre que num sistema de coordenadas destrógiro:
iˆ ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1
e
iˆ ⋅ ˆj = ˆj ⋅ kˆ = kˆ ⋅ iˆ = 0
! !
A definição de produto escalar é tal que: a ⋅ b = a b cos θ , onde θ é o ângulo formado
pelos vetores. Logo:
iˆ ⋅ iˆ = iˆ iˆ cos 0 0 = 1.1.1 = 1
e
iˆ ⋅ ˆj = iˆ ˆj cos 90 0 = 1.1.0 = 0
Os outros itens seguem-se como extensão desses anteriores.
Cap 02
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Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
45
A soma de três vetores é igual a zero, como mostra a
figura. Calcule:
α
!
c
θ
!
a) a! ⋅ b = ?
! !
π
a ⋅ b = a b cos = 0
2
! !
b) a ⋅ c = - a c cosθ = -a c (a/c) = - a2
c)
!
b
!
a
! !
b ⋅ c = - b c cosα = - b c (b/c) = - b2
Podemos concluir que:
! ! !
c +a+b =0
! ! ! ! ! !
c ⋅c + c ⋅b + c ⋅a = 0
logo:
c2 = a2 + b2
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
46 Para o problema anterior, calcule:
! !
a) a × b = ?
!
b
Suponhamos que o eixo z seja! perpendicular ao pla!
no definido pelos vetores a e b .
! !
a × b = ẑ a b sen(π/2) = ẑ a b
β
!
a
! !
b) a × c = ?
c)
θ
! !
a × c = a c senθ
! !
a × c = (- ẑ ) a c senθ = - ẑ a c (b/c) = - ẑ a b
! !
b×c =?
! !
b × c = b c senα
! !
b × c = ẑ b c senα = ẑ b c (a/c)
! !
b × c = ẑ a b
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!
c
!
a
!
b
!
c
α
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Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
47 Produto escalar em função das coordenadas: Suponha que dois vetores sejam
representados em termos das coordenadas como:
!
!
a = iˆa x + ˆja y + kˆa z e b = iˆb x + ˆjb y + kˆb z
mostre que:
! !
a ⋅ b = a x b x + a y by + a z bz
Por definição temos que:
(
)(
! !
a ⋅ b = iˆa x + ˆja y + kˆa z ⋅ iˆb x + ˆjb y + kˆb z
)
Usando os resultados do problema 39, resolvido anteriormente, temos a resposta
pedida.
! !
a ⋅ b = a x b x + a y by + a z bz
Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
!
!
Dois vetores são dados por a = 3iˆ + 5 ˆj e b = 2iˆ + 4 ˆj . Calcule:
51
!
a) a! × b =?
 iˆ ˆj kˆ 

! ! 
a × b =  3 5 0  = kˆ (3.4 − 5.2) = 2kˆ


2 4 0
! !
b) a ⋅ b =?
! !
a ⋅ b = 3.2 + 5.4 = 26
c)
(a! + b! )⋅ b! =?
(a! + b )⋅ b = (5iˆ + 9 ˆj )⋅ (2iˆ + 4 ˆj )= 5.2 + 9.4 = 46
!
Cap 02
!
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